专题03 三角形
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
判断三边是否能构成三角形
题型2
判断是否能使两三角形全等
题型3
利用三边关系化简绝对值
题型4
根据三角形的中线求解
题型5
利用三角形的中线、高线、角平分线求解
题型6
利用全等三角形的性质求解
题型7
与全等三角形有关的多结论问题
题型8
全等三角形的判定与性质综合
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 三角形内角和定理及直角三角形的
两锐角互余。
2. 三角形三边关系：两边之和大于第
三边。
3. 重要线段：中线、角平分线、高线。
4. 全等三角形：判定（SSS、SAS、ASA、
AAS）与性质应用。
5. 全等测距：利用全等解决实际问题。
1.
强化全等证明规范：从直观判断转向严谨的演绎推理，重
点考查判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）的准确选取及证明
过程的逻辑层次。
2.
注重尺规作图融合：新增或强化已知三边、两边及其夹角
作三角形，常与全等性质综合考查。
3.
突出实际情境应用：利用全等三角形测距（如河宽、零件
检验）成为应用题热点。
4.
渗透数学思想：涉及分类讨论（等腰三角形边角不确定）、
转化与建模思想。
考情解码：根据2026 年新教材考情，第四章《三角形》在夯实基础知识的同时，显著强化了逻辑推
理与作图能力。核心考查点包括三角形内角和定理及三边关系的实际应用，以及按角度或边长对三角
形进行分类。重点聚焦全等三角形的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）与性质的灵活对应，避
免“边边角”的错误。高频题型为几何证明的说理填空、利用尺规作三角形，以及结合生活情境（如
测量距离）构造全等解决问题。
知识点一三角形有关概念
1.三角形有关概念：
(1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
（2）直角三角形两个锐角互余。
(3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；
三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；
三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；
2.三角形基本元素的定理
(1)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
(2)三角形的内角和等于180.
3.三角形的分类
(1)按边分类可以分为
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
；
(2)按角分类可以分为
锐角
直角
钝
三角形
三角形
三角形
角
【易错警示】
- 三边关系：任意两边之和大于第三边，之差小于第三边，判断能否构成三角形时勿只验一组。
- 高、中线、角平分线：都是线段；钝角三角形的高可能在外部，勿遗漏。
- 稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具有。
即时即练1．一个三角形的三边长分别为2，5，x．
(1)求x 的取值范围；
(2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长．
【答案】(1)3
7
x
<
<
(2)这个三角形的周长为12
【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义．
（1）根据三角形三边关系作答即可；
（2）根据等腰三角形的定义分情况结合三角形三边关系作答即可．
【详解】（1）解：根据三角形的三边关系，可得5
2
5
2
x
，
∴3
7
x
<
<
；
（2）解：当
5
x
时，由2
5
5
，所以周长为5
5
2
12
；
当
2
x
时，由2
2
5
，故不能构成三角形；
综上所述，这个三角形的周长为12．
2．（1）在
ABC
中，AD 是
BAC
的平分线，BE 是AC 边上的中线．若
40
BAD
，则
BAC
；
若
6
AC
cm，则AE
cm．
（2）在
ABC
中，AB
AC
，AD 是边BC 上的中线，
ABC
的周长为34cm，
ABD
△
的周长为30 cm，则
AD
cm．
【答案】
80/80 度
3
13
【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键．
（1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可；
（2）由AD 是边BC 上的中线，可得
1
2
BD
BC
，由题意知，
ABC
的周长为
2
2
34
AB
AC
BC
AB
BD
cm
，
ABD
△
的周长为
30
AB
BD
AD
cm
，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵AD 是
BAC
的平分线，
40
BAD
，
∴
2
80
BAC
BAD
，
∵BE 是AC 边上的中线，
6
AC
cm，
∴
1
3
2
AE
AC
，
故答案为：80，3；
（2）解：∵AD 是边BC 上的中线，
∴
1
2
BD
BC
，
由题意知，
ABC
的周长为
2
2
34
AB
AC
BC
AB
BD
cm
，
ABD
△
的周长为
30
AB
BD
AD
cm
，
∴
17
AB
BD
cm
，
13
AD
cm
，
故答案为：13 ．
知识点二全等三角形的性质
1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；
相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角；
2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.画三角形
（1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边.
【易错警示】
- 对应：全等则对应边相等、对应角相等，需找准对应顶点，勿错配。
- 用途：性质用于“已知全等推边角相等”，不可用性质直接证明全等。
- 注意：周长、面积相等是推论，但面积相等的三角形不一定全等。
即时即练如图，
ABC
DEC
≌
△
△
，
2
BC
，
3
CD
，点B，C，D 在同一直线上，点E 在AC 上，延长DE 交
AB 于点F．
(1)求AE 的长；
(2)求
BFD
的度数．
【答案】(1)1
(2)90
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
（1）利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）证明
90
AFE
ECD
即可．
【详解】（1）∵
2
3
ABC
DEC
BC
CD
≌
，
，
，
3
2
AC
CD
CE
BC
，
，
3
2
1
AE
AC
CE
；
（2）∵
ABC
DEC
≌
△
△
，
,
ACB
ECD
A
D
，
∵B，C，D 共线，
90
ACB
ECD
，
AEF
CED
，
90
AFE
ECD
，
90
BFD
∴
．
知识点三全等三角形的判定
判定方法
简记
条件
三边对应相等
SSS
三条边分别相等
两边及其夹角对应相等
SAS
两边及夹角分别相等
两角及其夹边对应相等
ASA
两角及夹边分别相等
两角及其中一角的对边对应相等
AAS
两角及一对边分别相等
注意：AAA（三角对应相等）只能判定相似，不能判定全等；SSA 不能判定全等。
【易错警示】
- SSA（或ASS）不能判定全等。
- AAA 不能判定全等，只能判定相似。
- 对应：判定条件中的边角必须是对应边和对应角，书写顺序要一致。
- 公共边、公共角、对顶角是隐含条件，勿遗漏。
即时即练如图，在△ADE 和△BCF 中，A ，C ，D ，B 四点在同一直线上，AC
BD
，AE
BF
，DE
CF
．
(1)求证：
E
F
；
(2)若
38
F
，
104
A
，求
EGC
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)76
【知识点】全等的性质和SSS 综合（SSS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由SSS可证ADE
BCF
≌
，可得
E
F
；
（2）由三角形内角和定理可得
38
ADE
，由全等三角形的性质可得
38
ADE
BCF
，即可求解．
【详解】（1）证明：
AC
BD
，
AD
BC
，
在△ADE 和△BCF 中，
AD
BC
AE
BF
DE
CF
，
SSS
ADE
BCF
≌
，
E
F
；
（2）解：
38
E
F
，
104
A
，
38
ADE
，
ADE
BCF
≌
，
38
ADE
BCF
，
76
EGC
．
知识点四利用三角形全等测距离
原理：构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，测量不可直接测量的距离（如池塘宽度、河
宽等）。
常见方案：
测量情境
构造全等方法
池塘宽度
SAS（构造对顶角相等）
河宽
ASA（构造同位角相等）
底部不可达的高度
AAS 或ASA
【易错警示】
- 构造全等：构造时要确保对应边、对应角相等，常用SAS 或ASA。
- 误差：忽略测量误差或工具精度，结果会不准确。
- 条件：假设不可测点要能通过全等转化为可测线段，注意不能直接用SSA。
即时即练王强同学用10块高度都是4cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好
可以放进一个等腰直角三角板
,
90
AC
BC
ACB
，点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合．
(1)求证：
ADC
CEB
△
≌△
；
(2)求两堵木墙之间的距离；
(3)求四边形ABED 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)40cm
(3)
2
800cm
【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
（1）根据题意可得AC
BC
，
90
ACB
，AD
DE
，BE
DE
，进而得到
90
ADC
CEB
，再根
据等角的余角相等可得
BCE
DAC
，再证明
ADC
CEB
△
≌△
即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答；
（3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）证明：
AC
BC
，
90
ACB
，AD
DE
，BE
DE
，
90
ADC
CEB
，
90
ACD
BCE
，
90
ACD
DAC
，
BCE
DAC
．
在
ADC
△
和CEB
中，
ADC
CEB
DAC
ECB
AC
CB
AAS
ADC
CEB
≌
；
（2）解：由题意得：
4
3
12cm
AD
，
4
7
28cm
BE
．
ADC
CEB
△
≌△
，
12cm
EC
AD
，
28cm
DC
BE
，
40cm
DE
DC
CE
，
故两堵木墙之间的距离为40cm ．
（3）解：依题意，四边形ABED 是梯形，
∴四边形ABED 的面积
1
2 AD
BE
DE
2
1 12
28
40
800cm
2
．
题型1
判断三边是否能构成三角形
例1．下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（
）
A．1，2 ，4
B．8 ，6 ，4
C．15，5，6
D．1，3，4
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系，逐一判断即可．
【详解】解：A 、∵较短边为1，2 ，最长边为4 ，1
2
3
4
，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B 、∵较短边为4 ，6 ，最长边为8 ，6
4
2
8
且6
4
10
8
，
∴能构成三角形，符合题意；
C 、∵较短边为5，6 ，最长边为15，5
6
11 15
，
∴不能构成三角形，不符合题意；
D 、∵较短边为1，3，最长边为4 ，1 3
4
，不满足两边之和大于第三边，
∴不能构成三角形，不符合题意．
例2．下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（
）
A．1cm 2cm 3cm
，
，
B．2cm 3cm 4cm
，
，
C．3cm 4cm 5cm
，
，
D．5cm 6cm 10cm
，
，
【答案】A
【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结果．
【详解】解：选项A 中，∵1
2
3
，不满足两边之和大于第三边，
∴不能组成三角形，符合题意；
选项B 中，∵2
3
4
，满足三角形三边关系，
∴能组成三角形，不符合题意；
选项C 中，∵3
4
5
，满足三角形三边关系，
∴能组成三角形，不符合题意；
选项D 中，∵5
6
10
，满足三角形三边关系，
∴能组成三角形，不符合题意．
【技巧总结】
只需验证任意两边之和大于第三边，实际操作中取最小两边和与最大边比较即可，注意等于时无法构成，
排除三点共线，单位统一后计算，避免遗漏或重复验证。
【变式训练1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（
）
A．4cm 4cm 8cm
，
，
B．8cm 16cm 7cm
，
，
C．11cm 5cm 5cm
，
，
D．13cm 10cm 20cm
，
，
【答案】D
【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形．
【详解】解：A. ∵4
4
8
，
∴长度为4cm 4cm 8cm
，
，
的三根小木棒不能组成三角形，A 不符合题意；
B. ∵7
8
15
16
，
∴长度为8cm 16cm 7cm
，
，
的三根小木棒不能组成三角形，B 不符合题意；
C. ∵5
5
10
11
，
∴长度为11cm 5cm 5cm
，
，
的三根小木棒不能组成三角形，C 不符合题意；
D. ∵10
13
23
20
，
∴长度为13cm 10cm 20cm
，
，
的三根小木棒能组成三角形，D 符合题意．
【变式训练1-2】以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（
）
A．4
,5
,6
cm
cm
cm
B．7
,8
,16
cm
cm
cm
C．4
,4
,8
cm
cm
cm
D．3
,5
,10
cm
cm
cm
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是利用三边关系进行判断；根据三角形三边关系“任意两边之
和大于第三边”，验证每组线段中较短两边之和是否大于第三边，即可判断能否构成三角形．
【详解】解：A 选项中，4
5
9
6
，满足三边关系，能构成三角形；
B 选项中，7
8
15
16
，不满足三边关系，不能构成三角形；
C 选项中，4
4
8
，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
D 选项中，3
5
8
10
，不满足三边关系，不能构成三角形；
故选：A．
题型2
判断是否能使两三角形全等
例3．根据下列已知条件，能唯一画出
ABC
的是（
）
A．
5,
4,
10
AB
BC
CA
B．
45 ,
70 ,
6
A
B
AB
C．
4,
3,
30
AB
BC
A
D．
90 ,
6
C
AB
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角
形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可．
【详解】解：A 选项中5
4
9
10
，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，
故A 不符合题意；
B 选项中
45 ,
70 ,
6
A
B
AB
，符合全等三角形判定定理ASA ，∴能画出唯一
ABC
，故B 符合题意；
C 选项中
4,
3,
30
AB
BC
A
，属于SSA 的情况，无法确定唯一三角形，故C 不符合题意；
D 选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一
ABC
，故D 不符合题意．
故选：B．
例4．下列选项所给条件不能画出唯一
ABC
的是（
）
A．
50 ,
30 ,
2
A
B
AB
B．
50 ,
30 ,
9
A
B
BC
C．
30 ,
8,
7
A
AB
BC
D．
5,
6,
9
AC
AB
BC
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据ASA 、AAS 、SSS、SAS 等判定唯一三角形，同时考虑SSA
情况可能不唯一即可解答．
【详解】解：选项A：
50 ,
30 ,
2
A
B
AB
（两角及夹边，ASA ），能唯一画出
ABC
；
选项B：
50 ,
30 ,
9
A
B
BC
（两角及一边，AAS），能唯一画出
ABC
；
选项C：
30 ,
8,
7
A
AB
BC
（两边及非夹角，SSA ），有两个交点，不能唯一画出
ABC
；
选项D：
5,
6,
9
AC
AB
BC
（三边，SSS），满足三角形三边关系，能唯一画出
ABC
；
故选C．
【技巧总结】
检查已知条件是否符合SSS、SAS、ASA、AAS，注意边角对应位置，SAS 中角必须是夹角，SSA 不一定全等，
可举反例排除，图形隐含公共边或对顶角。
【变式训练2-1】如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，BE
CF
，
ACB
F
．只需添加一个条件
即可证明
ABC
DEF
≌△
△
，这个条件可以是_____．（写出一个即可）
【答案】
A
D
（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5 种判定方法是解决问题的关键，选用哪
一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用AAS 、SAS 、ASA 证明
ABC
DEF
≌△
△
，
所以补充的条件不唯一，写出一个即可．
【详解】解：∵BE
CF
，
ACB
F
．
∴当添加
A
D
时，根据“ AAS”可判断
ABC
DEF
≌△
△
；
当添加AC
DF
时，根据“SAS ”可判断
ABC
DEF
≌△
△
；
当添加
B
DEF
时，根据“ ASA ”可判断
ABC
DEF
≌△
△
；等等．
故答案为：
A
D
（答案不唯一）．
【变式训练2-2】如图，给出下列四组条件：
①
,
,
AB
DE
C
F
A
D
；②
,
,
AB
DE
B
E BC
EF
；③
,
,
B
E BC
EF
C
F
；
④
,
,
AB
DE AC
DF
B
E
．其中能使
ABC
DEF
≌△
△
的条件是___________．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解．
【详解】解：①∵
,
,
AB
DE
C
F
A
D
，
∴
AAS
ABC
DEF
≌
△
△
，符合题意；
②∵
,
,
AB
DE
B
E BC
EF
∴
SAS
ABC
DEF
≌
△
△
，符合题意；
③
,
,
B
E BC
EF
C
F
，
∴
ASA
ABC
DEF
≌
△
△
，符合题意；
④
,
,
AB
DE AC
DF
B
E
，满足边边角，无法证得
ABC
DEF
≌△
△
．
故答案为：①②③
题型3
利用三边关系化简绝对值
例5．已知a，b，c 为三角形的三边，则式子|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
（
）
A．2a
B．2b
C．0
D．2
2
a
c
【答案】D
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边
关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到
0
a
b
c
，
0
a
b
c
，再根据绝对
值的性质进行化简计算．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得到
0
a
b
c
，
0
a
b
c
，
|
2
2
|
|
| a
b
c
a
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
．
故选：D．
例6．已知
ABC
的三边分别为a、b、c，化简：a
b
c
a
b
c
c
b
a
．
【答案】a
b
c
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再化简绝
对值即可．
【详解】解：由题意，得：a
b
c
a
c
b
b
c
a
，
，
，
∴
0,
0,
0
a
b
c
a
b
c
c
a
b
，
∴原式
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
c
b
．
故答案为：a
b
c
【技巧总结】
1. 判正负：根据三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负。
2. 去绝对：正数直接去，负数变相反数。
3. 凑两边：将式子重组为(a+b-c)、(a-b-c)等形式，利用三边关系确定符号，再合并化简。
【变式训练3-1】若a ，b ，c 分别为
ABC
三边，化简：a
b
c
a
b
c
c
a
b
．
【答案】
3
a
b
c
【知识点】三角形三边关系的应用、整式的加减运算、化简绝对值
【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的
意义，化简即可.
【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
所以
0
a
b
c
，
0
a
b
c
，
0
c
a
b
，
∴a
b
c
a
b
c
c
a
b
a
b
c
a
b
c
c
a
b
3
a
b
c
.
【变式训练3-2】a，b，c 为
ABC
的三边，化简：a
b
c
a
b
c
a
b
c
．
【答案】a
b
c
．
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义．由三角形的三边关系以及绝对值的意义进行
化简，即可得到答案．
【详解】解：∵a，b，c 为
ABC
的三边，
∴b
c
a
，a
b
c
，
0
a
b
c
∴
(
)
0
a
b
c
，
0
a
b
c
，
∴a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
．
题型4
根据三角形的中线求解
例7．在
ABC
中，AB
AC
，ABC
的中线BD 将
ABC
的周长分为12 和15，则
ABC
的边BC 的长为_____．
【答案】7 或11
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和中线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据中线的定义得到AD
CD
，设
2
AB
AC
x
，则AD
DC
x
，需分类讨论周长被分成的两部分，并
利用三角形三边关系验证．
【详解】解：设
2
AB
AC
x
，则AD
DC
x
．
中线BD 将周长分为两部分：
3
AB
AD
x
和BC
DC
BC
x
．
若3
12
x
，
15
BC
x
，
解得
4
x
，
11
BC
，
此时
8
AB
AC
，
11
BC
，满足三边关系；
若3
15
x
，
12
BC
x
，
解得
5
x
，
7
BC
，
此时
10
AB
AC
，
7
BC
，满足三边关系．
故答案为：7 或11．
例8．如图，
1
AP 为
ABC
的中线，
2
AP 为
1
APC
的中线，
3
AP 为
2
APC 的中线，，按此规律，
n
AP 为
1
n
AP C
的中线．
（1）若
12cm
AB
，
16cm
AC
，则
1
ACP
△
的周长与
1
△ABP 的周长相差_____cm．
（2）若
ABC
的面积为64，则
5
APC
的面积为_____．
【答案】
4
2
【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键．
（1）根据三角形的中线性质，可得
1
1
BP
CP
，再根据三角形的周长公式解答即可；
（2）根据三角形的中线性质，可得
1
APC
的面积为32，
2
APC 的面积为16，以此类推，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵
1
AP 为
ABC
的中线，
∴
1
1
BP
CP
，
∵
12cm
AB
，
16cm
AC
，
∴
1
ACP
△
的周长与
1
△ABP 的周长的差为
1
1
1
1
16 12
4 cm
AC
AP
CP
AB
AP
BP
AC
AB
；
故答案为：4
（2）
1
AP
为
ABC
的中线，
1
1
32
2
APC
ABC
S
S
，
同理
2
1
1
16
2
AP C
APC
S
S
，
3
2
1
8
2
AP C
AP C
S
S
，
4
3
1
4
2
AP C
AP C
S
S
，
∴
5
4
1
2
2
AP C
AP C
S
S
．
故答案为：2．
【技巧总结】
中线平分对边，也平分面积；常构造全等或利用中点关系，倍长中线法可将分散条件集中，结合三角形三
边关系或勾股定理，设未知数列方程求边长或角度。
【变式训练4-1】如图，ABC
的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则AFG
的面积是________．
【答案】9
2
【分析】依据是等底等高的三角形的面积相等即可求解．
【详解】解：∵D 是BC 的中点，
1
1 12
6
2
2
ABD
ABC
S
S
，
∵E 是AD 的中点，
1
1
6
3
2
2
ABE
ABD
S
S
，
F
是BE 的中点，
1
1
3
3
2
2
2
AFE
ABE
S
S
，
同理可得：
3
2
AEG
S
，
3
2
FEG
S
，
∴
9
2
AFG
AFE
AEG
FEG
S
S
S
S
．
【变式训练4-2】如图，
ABC
的面积为7 ，分别倍长（延长一倍）AB
BC
CA
、
、
得到
1
1
1
A B C
△
，再分别倍
长
1
1
A B ，
1
1
B C ，
1
1
C A 得到
2
2
2
A B C
△
，，按此规律，倍长2026 次后得到的
2026
2026
2026
A
B
C
△
的面积为______．
【答案】
2027
7
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后
求出第一次倍长后
1
1
1
A B C
△
的面积是ABC
的面积的7 倍，依此规律可得结论．
【详解】解：如图，连接
1
AB ，
1AC ，
1
BC ，
根据等底等高的三角形面积相等可得：
1A BC
，
1
1
A B C
，
1
AB C
△
，
1
1
AB C
△
，
1
ABC
，
1
1
A BC
，
ABC
都
相等，
∴
1 1
1
7
A B C
ABC
S
S
，
同理可得
2
2
2
1 1 1
2
7
7
A B C
A B C
ABC
S
S
S
，
以此类推：
2026
2026
2026
2026
7
A
B
C
ABC
S
S
，
∵
7
ABC
S
△
，
∴
2026
2026
2026
2027
7
A
B
C
S
，
∴
2026
2026
2026
A
B
C
△
的面积为
2027
7
．
题型5
利用三角形的中线、高线、角平分线求解
例9．如图，AD 为
ABC
的中线，BE 为
ABD
△
的角平分线．
(1)若
16
ABE
，求
ABD
的度数．
(2)若
ABC
的面积为60，
5
BD
，则点A 到BC 边的距离为多少？
【答案】(1)
32
ABD
(2)12
【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由AD 是中线，可得BC 的值，根据已知条件利用三角形
面积公式即可求解.
【详解】（1）解：BE 为
ABD
△
的角平分线，
16
ABE
，
2
32
ABD
ABE
．
（2）解：AD 为
ABC
的中线，
5
BD
，
2
10
BC
BD
．
设点A 到BC 边的距离为h ，则
1
2
ABC
S
BC h
，
2
2
60
12
10
ABC
S
h
BC
△
，
故点A 到BC 边的距离为12．
例10．如图，在
ABC
中，AD 是BC 上的中线，点E 是AD 的中点，连接CE ，EF
BC
．
(1)若
20
DEF
，
37
BAD
，求
B
的度数；
(2)若
ABC
的面积为24 ，
4
CD
，求线段EF 的长度．
【答案】(1)73°
(2)3
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的
关键．
（1）先求出
EDF
的度数，在
ABD
△
中，根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：
EF
BC
，
90
DEF
EDF
，
20
DEF
，
70
EDF
，
180
B
BAD
EDF
，
37
BAD
，
180
70
37
73
B
；
（2）解：
AD
是
ABC
的中线，
1
1
24
12
2
2
ACD
ABC
S
S
，
点E 是AD 的中点，
1
1
12
6
2
2
CDE
ACD
S
S
，
1
2
CDE
CD EF
S
，
1
4
6
2
EF
，
3
EF
．
【技巧总结】
中线得中点与等面积，高线得垂直与直角三角形，角平分线得等角与到边等距；综合运用时，常作辅助线
构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理或等面积法列方程求解。
【变式训练5-1】如图，在
ABC
中，BE 是角平分线，点D 在边AB 上（不与点A，B 重合），CD 与BE 交
于点O．
(1)若CD 是中线，
7,
5
BC
AC
，则
BCD
△
与ACD
的周长差为______．
(2)若
64
ABC
，CD 是
ABC
的高，求
BOC
的度数．
【答案】(1)2
(2)122
【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余：
（1）根据三角形中线的定义可得AD
BD
，即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得
1
32
2
ABE
ABC
，再由三角形高的定义可得
=90
BDC
，从而得到
90
58
BOD
ABE
，即可求解．
【详解】（1）解：∵CD 是
ABC
的中线，
∴AD
BD
，
∵
7,
5
BC
AC
，
∴
BCD
△
与ACD
的周长差为
2
BC
CD
BD
AC
CD
AD
BC
AC
；
（2）解：∵BE 是角平分线，
64
ABC
，
∴
1
32
2
ABE
ABC
，
∵CD 是
ABC
的高，
∴
=90
BDC
，
∴
90
58
BOD
ABE
，
∴
180
122
BOC
BOD
．
【变式训练5-2】数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有
三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知
ABC
的高
cm
AD
ab
，面积为
2
2
2
2
cm
a b
ab
，求BC 的长度．
(2)小涵：如图2，已知D 是BC 中点，
2cm
AB
AC
，
16cm
ABD
C
△
，求
ACD
C
．
(3)小宇：如图3，已知AD 平分
BAC
，
40
B
，
60
C
，求
DAC
．
【答案】(1) 2
4
ab
(2)14cm
(3) 40
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键．
（1）根据
1
2
ABC
S
BC
AD
△
即可求解；
（2）根据
ABD
C
AB
AD
BD
、
ACD
C
AC
AD
CD
△
、BD
CD
、
2cm
AB
AC
即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理求出
BAC
即可求解．
【详解】（1）解：∵
1
2
ABC
S
BC
AD
△
，
又∵
cm
AD
ab
，
2
2
2
2
cm
S
a b
ab
，
∴
2
2
2
a b
ab
1
2
BC
ab
，
∴
2
4
BC
ab
；
（2）解：∵D 是BC 中点，
∴BD
CD
，
∵
16cm
ABD
C
AB
AD
BD
△
，
∴
16cm
AB
AD
CD
，
∵
ACD
C
AC
AD
CD
△
，
2cm
AB
AC
，
∴
2
2
14cm
ACD
C
AB
AD
CD
AB
AD
CD
；
（3）解：∵
40
B
，
60
C
，
∴
180
40
60
80
BAC
，
∵AD 平分
BAC
，
∴
1
40
2
DAC
BAC
．
题型6
利用全等三角形的性质求解
例11．如图，已知
ABC
EBD
△
≌△
，若
5
AB ，
8
BD
，则CE 的长为
．
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全
等三角形的性质得出
5,
8
AB
EB
BC
BD
，根据CE
BC
EB
，即可求解．
【详解】解：∵
ABC
EBD
△
≌△
，
5
AB ，
8
BD
，
∴
5,
8
AB
EB
BC
BD
，
∴
8
5
3
CE
BC
EB
．
故答案为：3．
例12．如图，CA
AB
，垂足为A，
12
AB
厘米，
6
AC
厘米，射线BM
AB
，垂足为B，一动点P 从
点A 出发以3 厘米/秒的速度沿射线AN 运动，同时动点D 从点B 出发沿射线BM 运动．设点D 运动的速度
为v 厘米/秒，当
v
厘米/秒时，能够在某一时刻使
BPD
△
与
ABC
全等．
【答案】3
4 或2 或6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P 运动的时间为
0
t t
秒，则
3
AP
t
厘米，
12
3
PB
t
厘米，BD
vt
厘米，当点P 在线段AB 上时，只有
ABC
BDP
△
≌△
这种情况，当点P 在AB 的延长线上时，
只存在
ABC
BDP
△
≌△
和
ABC
BPD
≌
△
△
两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可．
【详解】解：设点P 运动的时间为
0
t t
秒，则
3
AP
t
厘米，
12
3
PB
t
厘米，BD
vt
厘米，
∵AC
AB
，BM
AB
，
∴
90
A
ABD
，
当点P 在线段AB 上时，
∵AB
PB
，
∴此时只有
ABC
BDP
△
≌△
这种情况，
∴
12
BD
AB
厘米，
6
BP
AC
厘米，
∴
12
3
6
12
t
vt
，
解得
2
6
t
v
；
当点P 在AB 的延长线上时，
90
PBD
A
，
∴只存在
ABC
BDP
△
≌△
和
ABC
BPD
≌
△
△
两种情况，
当
ABC
BDP
△
≌△
时，则
12
BD
AB
=
=
厘米，
6
AC
PB
厘米，
∴
3
12
6
12
t
vt
，
解得
6
2
t
v
；
当
ABC
BPD
≌
△
△
时，则
6
BD
AC
厘米，
12
AB
BP
厘米，
∴
3
12
12
6
t
vt
，
解得
8
3
4
t
v
；
综上所述，v 的值为3
4 或2 或6．
故答案为：3
4 或2 或6．
【技巧总结】
全等对应边等、角等、周长面积等；先证全等再转移条件，将未知边角转化为已知，常结合等腰或平行线，
通过等量代换建立关系，设未知数列方程求解，注意判定方法选择。
【变式训练6-1】如图，
≌
ABC
DCE ，
40
B
，
65
E
，点B
C
E
、、
在同一条直线上，则
ACD
的
度数为
．
【答案】75
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得
65
ACB
E
°，
40
DCE
B
，
再根据平角的定义，即可求解．
【详解】解：∵
≌
ABC
DCE ，
40
B
，
65
E
，
∴
65
ACB
E
°，
40
DCE
B
，
∵点B
C
E
、、
在同一条直线上
∴
ACD
的度数为180
180
65
40
75
ACB
DCE
故答案为：75．
【变式训练6-2】如图，
ABC
中，
90
ACB
，
3cm
AC
，
4cm
BC
，
5cm
AB
，直线l 经过点C 且
与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A
C
B
路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B
C
A
路径
向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm / s 和2cm / s，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B
时计时结束．设运动时间为t 秒．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE
l
于点E，QF
l
于点F，当t
为何值时，PEC
与QFC
全等．
【答案】1 或7
3 或6
【分析】分点Q 在BC 上，点P 在AC 上；点P 与点Q 重合；Q 与A 重合三种情况，根据全等三角形的性质
列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握
全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵PE
l
，QF
l
，
90
PEC
CFQ
ACB
∴
，
90
CPE
PCE
PCE
FCQ
，
CPE
FCQ
；
∵
3
4
3 s
2 s
1
2
，
，
∴点P 运动3 秒到达点C，点Q 运动2 秒到达点C；
①如图1，当点Q 在BC 上，点P 在AC 上时，
由题意得，
cm
AP
t
，
2 cm
BQ
t
，
3cm
AC
，
4cm
BC
，
3
cm
CP
AC
AP
t
，
4
2 cm
CQ
BC
BQ
t
，
∵PEC
与QFC
全等，
∴只存在
PEC
CFQ
△
≌△
这种情况，
∴PC
CQ
，
即3
4
2
t
t
，
解得
1
t ；
②如图2，当点P 与点Q 重合时，则CP
CQ
，此时满足
PEC
QFC
△
≌△
，
∵
2
4 cm
CQ
t
，
3
2
4
t
t
，
解得
7
3
t
；
③如图3，当点Q 与A 重合时，
∵PEC
与QFC
全等，
∴只存在
PEC
CFQ
△
≌△
这种情况，
∴PC
CQ
，
即
3
3
t
，
解得
6
t
；
综上所述：当
1
t 或
7
3
t
或
6
t
时，PEC
与QFC
全等．
故答案为：1 或7
3 或6．
题型7
与全等三角形有关的多结论问题
例13．如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD 是AB 边的中线，AE 平分
CAB
，CF
AB
，AE 与CF 相
交于点G ．下列结论一定成立的是（
）
①ACD
与
BCD
△
的面积相等；②
ACF
B
；③
ACE
CFD
△
≌△
；④
CEG
CGE
A．①②
B．②③
C．①③④
D．①②④
【答案】D
【分析】利用DA
DB
＝
和三角形面积公式可对①进行判断；利用等角的余角相等可对②进行判断；根据AC
和CF 的大小关系和全等三角形的判定方法可对③进行判断；由于
CAE
BAE
＝
，
ACF
B
＝
，则根据
三角形外角性质可对④进行判断．
【详解】解：
90
ACB
，CD 是AB 边的中线，
DA
DB
．
1
2
ACD
S
DA CF
，
1
2
BCD
S
DB CF
△
，
ACD
BCD
S
S
，所以①成立；
CF
AB
，
90
AFC
．
90
CAF
ACF
，
90
CAF
B
，
ACF
B
，所以②成立；
AC
CF
，
ACE
CFD
≌
错误，所以③不成立；
AE
平分
CAB
，
CAE
BAE
．
180
CEG
AEB
EAB
B
，
180
CGE
AGC
ACG
CAG
，
ACG
B
，
CGE
CEG
，所以④成立．
故选：D.
例14．如图，在
ABC
中，AD 是BC 边上的高，
90 ,
,
BAF
CAG
AB
AF AC
AG
．连接FG ，交DA
的延长线于点E，连接
,
BG CF ．则下列结论：①BG
CF
；②BG
CF
⊥
；③EF
EG
；④
2
BC
AE
，其中
正确的有（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】先证
(SAS)
CAF
GAB
≌
即可判断①，利用
FCA
BGA
及三角形内角和定理与对顶角即可判断
②，点F 作FM
AE
于点M，过点G 作GN
AE
交AE 的延长线于点N，证明
(AAS)
AFM
BAD
≌
，得
出AM
BD
，同理得到ANG
CDA
≌
，从而得出EM
EN
，证明
FME
GNE
△
≌△
，从而得到EF
EG
，
即可判断③④，即可得到答案．
【详解】解：∵
90
BAF
CAG
，
BAF
BAC
BAC
CAG
，
∴
CAF
GAB
，
在CAF
与
GAB
△
中，
∵
AF
AB
CAF
GAB
AC
AG
，
∴
(SAS)
CAF
GAB
≌
，
∴BG
CF
，故①正确，
∵
CAF
GAB
△
≌△
，
∴
FCA
BGA
，
如图，记
,
BG AC 交于点H ，
,
BG CF 的交点为K ，
∵
AHG
CHK
，
∴
90
HAG
CKH
，
∴BG
CF
⊥
，故②正确，
过点F 作FM
AE
于点M，过点G 作GN
AE
交AE 的延长线于点N，
，
∵
90
FMA
FAB
ADB
，
∴
90
FAM
BAD
，
90
FAM
AFM
，
∴
BAD
AFM
，
又∵AF
AB
，
∴
AAS
AFM
BAD
≌
（
），
∴AM
BD
，FM
AD
，
同理
AAS
ANG
CDA
≌
，
∴NG
AD
，AN
CD
，
∴FM
NG
，
∵FM
AE
，NG
AE
，
∴
90
FME
ENG
，
∵
MEF
NEG
，
∴
AAS
FME
GNE
≌
（
），
∴EF
EG
，EM
EN
，
∴
2
BC
CD
BD
AN
AM
AE
EN
AE
EM
AE
，
故③正确，④正确．
【技巧总结】
先证一组全等，再由全等推出边角关系，进而证其他全等；每个结论单独验证，注意顺序，从易到难，利
用已得结论，避免循环论证，常需多次全等转换条件。
【变式训练7-1】如图，AD 是
ABC
的中线，E，F 分别是AD ，AD 延长线上的点，连接BF ，CE ，且CE
BF
∥
，
有下列说法：①DE
DF
；②
ABD
△
和ACD
面积相等；③CE
BF
；④BDF
CDE
≌
；⑤
CEF
F
.
其中正确的有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．
根据平行线的性质得
F
CEF
，可判断⑤正确；然后利用“角角边”证明
BDF
和CDE
全等，可判断④
正确；根据全等三角形对应边相等可得DE
DF
，CE
BF
，可判断①③正确；最后根据等底等高的三角
形的面积相等判断出②正确．
【详解】解：∵CE
BF
∥
，
∴
F
CEF
，故⑤正确，
∵AD 是
ABC
的中线，
∴BD
CD
，
在
BDF
和CDE
中，
F
CED
BDF
CDE
BD
CD
，
∴
AAS
BDF
CDE
≌
，故④正确，
∴DE
DF
，CE
BF
，故①③正确，
∵BD
CD
，点A 到BD
CD
、
的距离相等，
∴
ABD
△
和ACD
面积相等，故②正确，
综上所述，正确的有5 个，
故选：D．
【变式训练7-2】如图1，已知AB
AC
，D 为
BAC
的角平分线上一点，连接BD
CD
、
；如图2，已知AB
AC
，
D、E 为
BAC
的角平分线上两点，连接BD
CD
BE
CE
、
、
、
；如图3，已知AB
AC
，D、E、F 为
BAC
的角平分线上三点，连接BD
CD
BE
CE
BF
CF
、
、
、
、
、
；…，依此类推，第n 个图形中全等三角形的对数
是（
）
A．2
1
n
B．(
)
3
1
n +
C．
1
2
n n
D．
1
2
n n
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形规律的探索，全等三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上
性质，并找出图形规律．
根据角平分线的性质得出相等的角，证明
ABD
ACD
△
≌△
，根据图2 和图3 找出全等三角形的对数，最后
总结出规律即可．
【详解】解：由图1 可得，D 为
BAC
的角平分线上一点，
∴
BAD
CAD
，
又∵AB
AC
，AD
AD
，
∴
SAS
ABD
ACD
≌
；
同理图2 中有3 对全等三角形；
图3 中有6 对全等三角形；
∴第n 个图形中全等三角形的对数是
1
2
n n
，
故选：D．
题型8
全等三角形的判定与性质综合
例15．如图，BE ，CF 分别是
ABC
的边AC ，AB 上的高，且BP
CA
，AB
QC
．求证：
(1)
ABP
QCA
△
≌△
；
(2) AP
AQ
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）根据题意易得
90
BFP
CEP
，
FPB
EPC
，则
FBP
ECP
，即可根据SAS 判定
ABP
QCA
△
≌△
；
（2）根据全等三角形的性质得出
Q
BAP
，再根据
90
Q
QAF
∠
∠
，得出
90
QAP
BAP
QAF
，
即可求证AP
AQ
．
【详解】（1）证明：∵BE ，CF 分别是
ABC
的边AC ，AB 上的高，
∴
90
BFP
CEP
，
∴
FPB
FBP
EPC
ECP
，
∵
FPB
EPC
，
∴
FBP
ECP
，
在ABP
和QCA
中，
BP
CA
FBP
ECP
AB
QC
，
∴
SAS
ABP
QCA
≌
；
（2）解：∵
ABP
QCA
△
≌△
，
∴
Q
BAP
，
∵CF 是
ABC
的边AB 上的高，
∴AB
CQ
，即
90
AFQ
，
∴
90
Q
QAF
∠
∠
，
∴
90
QAP
BAP
QAF
Q
QAF
，
∴AP
AQ
．
例16．如图，在四边形ABCD 中，AD
BC
∥
，E 为对角线BD 上一点，
180
A
CED
，且AD
BE
．
(1)求证：ABD
ECB
≌
．
(2)若
15
BC
，
9
DE
，求AD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由补角的性质得到
A
BEC
，由平行得
ADB
EBC
，由ASA 即可证明三角形全等；
（2）由全等三角形得
15
DB
BC
，AD
BE
，进而求得
15
9
6
BE
BD
DE
，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
180
A
CED
，
180
BEC
CED
，
∴
A
BEC
，
∵AD
BC
∥
，
∴
ADB
EBC
，
在
ABD
△
和ECB
中，
A
BEC
AD
BE
ADB
EBC
，
∴
ASA
ABD
ECB
≌
．
（2）解：∵ABD
ECB
≌
，
∴
15
DB
BC
，AD
BE
，
∵
9
DE
，
∴
15
9
6
BE
BD
DE
．
∴
6
AD
BE
．
【技巧总结】
先由边角条件判定全等，再应用性质得对应边角相等，从而转移条件证新关系；多次全等与等量代换是关
键，常作辅助线构造全等三角形，注意隐含公共边或对顶角。
【变式训练8-1】如图，在
ABC
中，D 是BC 的中点，连接AD ，E 是AB 边上一点，过点C 作CF
AB
∥
交
ED 的延长线于点F ．
(1)若AB
AC
，求证：AD
BC
．
(2)若
12
EF
，求DF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据中点的性质可得BD
CD
，根据SSS证明BAD
CAD
≌
，即可得出
90
ADB
ADC
；
（2）根据平行线的性质可得
BEF
F
，进而根据AAS证明BDE
CDF
≌
，得出DE
DF
，根据
12
EF
，
即可求解．
【详解】（1）解：证明：
D
是BC 的中点，
.
BD
CD
在BAD
和CAD
中，
,
AB
AC
BD
CD
AD
AD
，
，
(SSS),
BAD
CAD
≌
90
ADB
ADC
AD
BC
．
（2）
CF
AB
∥
，
.
BEF
F
D
是BC 的中点，
.
BD
CD
在
BDE
和CDF
中，
,
,
,
BEF
F
EDB
FDC
BD
CD
(AAS),
BDE
CDF
≌
DE
DF
．
12,
EF
DE
DF
6.
DF
【变式训练8-2】【问题初探】
（1）如图①，
90
BAC
，AB
AC
，直线l 经过点A ，分别从点B ，C 向直线l 作垂线，垂足分别为D ，
E ，则DE ，BD ，CE 的数量关系是_____________；
【变式探究】
（2）如图②，
在
ABC
中，
90
BAC
，AB
AC
，直线l 经过点A ，分别从点B ，C 向直线l 作垂线，垂足分别为D ，
E ．已知
10
BD
，
5
CE
，求DE 的长；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以
ABC
的边AB ，AC 为一
边向外作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
，AB
AD
，AC
AE
，AF 是边BC 上的高．延长FA
交DE 于点G ，设
ADG
△
的面积为
1S ，
AEG
△
的面积为
2S ，猜想
1S ，
2S 的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）DE
BD
CE
；（2）15；（3）
1
2
S
S
=
，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键：
（1）证明
AAS
ABD
CAE
≌
，得到
,
BD
AE AD
CE
，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论；
（2）证明
AAS
BDA
AEC
≌
，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果；
（3）过点D 作DM
AG
交AG 的延长线于点M，过点E 作EN
AG
于点N，则
90
AFB
M
，进而
得
90
ABF
BAF
，再根据
90
BAD
得
90
BAF
DAM
，由此得
ABF
DAM
，进而依据
“ AAS ”判定FBA
和△MAD 全等得AF
DM
，同理证明FAC
和NEA
全等得AF
EN
，进而得DM
EN
，
然后再根据三角形的面积公式即可得出
1S 与
2S 之间的数量关系．
【详解】解：（1）DE
BD
CE
；
∵从点B ，C 向直线l 作垂线，垂足分别为D ，E ，
∴
90
BDA
AEC
BAC
，
∴
90
ABD
CAE
BAD
，
又∵AB
AC
，
∴
AAS
ABD
CAE
≌
，
∴
,
BD
AE AD
CE
，
∴DE
AE
AD
BD
CE
；
（2）
BD
l
，CE
l
，
90
BDA
AEC
，
在Rt BDA
中，
90
DAB
DBA
，
90
BAC
，
180
90
DAB
EAC
BAC
，
DBA
EAC
，
在
BDA
△
和
AEC
△
中，
BDA
AEC
DBA
EAC
AB
AC
，
AAS
BDA
AEC
≌
；
10
AE
BD
，
5
AD
CE
，
10
5
15
DE
AE
AD
；
（3）
1S 与
2S 之间的数量关系是：
1
2
S
S
=
，理由如下：
如图3，过点D 作DM
AG
交AG 的延长线于点M，过点E 作EN
AG
于点N，
∵AF 是
ABC
的高，DM
AG
，
∴
90
AFB
M
，
∴
90
FAB
FBA
，
∵
90
BAD
，
∴
90
MAD
FAB
，
∴
FBA
MAD
，
在FBA
和MAD
中，
AFB
M
FBA
MAD
AB
AD
，
∴
AAS
FBA
MAD
≌
，
∴AF
DM
，
同理证明：
AAS
FAC
NEA
≌
，
∴AF
EN
，
∴DM
EN
，
∵ADG
的面积为
1
1
2
S
AG DM
，AEG
的面积为
2
1
2
S
AG EN
，
∴
1
2
S
S
=
．
1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（
）
A．3，6，8
B．2，3，5
C．1，2，1
D．8，4，3
【答案】A
【详解】解：∵对于选项A，较小两边为3 和6，最大边为8，3
6
9
8
，∴能围成三角形，符合题意．
∵对于选项B，较小两边为2 和3，最大边为5，2
3
5
，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角
形，不符合题意．
∵对于选项C，较小两边为1 和1，最大边为2，1 1
2
，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，
不符合题意．
∵对于选项D，较小两边为3 和4，最大边为8，3
4
7
8
，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三
角形，不符合题意．
2．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（）
A．
4cm
AB
，
60
A
，
30
B
B．
4cm
AB
，
3cm
BC
，
30
A
C．
4cm
AB
，
6cm
BC =
，
30
B
D．
4cm
AB
，
5cm
BC
，
6cm
AC
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，
反之无法确定，其中SSA （两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形．
【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括ASA ，AAS，SAS ，SSS，HL ，
但SSA 不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形，
A 、选项给出
4cm
AB
，
60
A
，
30
B
，符合ASA 判定，可确定唯一三角形，不符合题意；
B 、选项给出
4cm
AB
，
3cm
BC
，
30
A
，属于SSA ，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确
定三角形的形状和大小，符合题意；
C 、选项给出
4cm
AB
，
6cm
BC =
，
30
B
，符合SAS 判定，可确定唯一三角形，不符合题意；
D 、选项给出
4cm
AB
，
5cm
BC
，
6cm
AC
，符合SSS判定，可确定唯一三角形，不符合题意．
3．如图，把等腰Rt
ACB
△
和等腰Rt
DCE
△
放在一起，A
C
D
、、
三点在一条直线上，其中
90
ACB
DCE
，点E 在CB 上，连接AE 交BD 于点F ．若
18,
21.1
AE
AF
，则
BDE
的面积为（
）
A．27.9
B．28.7
C．26.9
D．27.4
【答案】A
【分析】证明ACE
BCD
≌
，得到BD
AE
，推出AE
BD
，利用三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】解：∵等腰直角
ACB
△
和等腰直角DCE
，
90
ACB
DCE
，
∴
,
AC
BC CD
CE
，
∴
SAS
ACE
BCD
≌
，
∴BD
AE
，
CBD
CAE
，
∵
AEC
BEF
，
∴
90
BFE
ACB
，
∴EF
BD
，
∵
18,
21.1
AE
AF
，
∴
18,
3.1
BD
AE
EF
AF
AE
，
∴
BDE
的面积为1
1
·
18 3.1
27.9
2
2
BD EF
.
4．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰
ABC
的周长为10，其中
一条边长是3，则它的“优美比”是（
）
A．3
4
B．6
7
C．4
3 或6
7
D．3
4 或7
6
【答案】C
【分析】本题分3 为腰长和3 为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三
边关系验证能否构成三角形，即可得到结果．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当3为腰长时，
∵等腰
ABC
的周长为10，
∴底边长
10
3 3
4
，
∵3
3
4
，满足三角形三边关系，
∴“优美比”为4
3 ；
②当3为底边长时，
∵等腰
ABC
的周长为10，
∴腰长
10
3
7
2
2
，
∵
7
7
3
2
2
，满足三角形三边关系，
∴“优美比”为
7
6
3
2
7
；
综上，该等腰三角形的“优美比”是4
3 或6
7 ．
5．已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x 为整数，请写出一个满足条件的x 的值：______．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据三角形三边关系求出x 的取值范围，再选取范围内的整数即可．
【详解】解：根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得7
5
7
5
x
化简得2
12
x
．
因为x 为整数，
所以在2
12
x
内的整数均满足条件，
此处取
3
x
．
故答案为3（答案不唯一）．
6．图1 是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2 所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段AB ，其像
可视为线段CD，光线AC 与光线BD 交于小孔点O．已知点O到像CD的距离OE 与点O到蜡烛火焰AB 的
距离OF 相等，且点E ，O，F 三点共线．像的高度CD为2cm ，则蜡烛火焰AB 的高度为_________cm．
【答案】2cm
【详解】解：由题意可得OE
OF
，
DOE
BOF
，
90
OED
OFB
，
∴
ASA
OED
OFB
≌
，
∴DE
BF
，
同理可得
ASA
OEC
OFA
≌
，
∴CE
AF
，
∴CE
DE
AF
BF
，
∴
2cm
AB
CD
．
7．如图，ABC
中，
4
AB
AC
，P 是BC 上任意一点，PE
AB
于点E，PF
AC
于点F，若
3
ABC
S
△
，
则PE
PF
________．
【答案】3
2
【分析】根据题意得到
1
1
3
2
2
ABP
ACP
S
S
AB PE
AC PF
，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AP ，
∵
,
,
4,
3
ABC
PE
AB PF
AC AB
AC
S
，
∴
1
1
3
2
2
ABP
ACP
S
S
AB PE
AC PF
，
∴
1
3
2 AB PE
PF
，
∴
3
2
PE
PF
．
8．如图，
10
AB
cm
，
16
BC
cm
，
B
C
，如果点P 在线段BC 上以3
/ s
cm
的速度由B 点向C 点运动，
同时，点Q 从C 点出发以cm / s
x
的速度沿射线CD运动，经过t 秒后，若以A 、B 、P 为顶点的三角形与以P 、
C 、Q 为顶点的三角形全等，则x 的值是__________．
【答案】3或15
4
【分析】已知
B
C
，两个三角形全等存在两种对应情况：①ABP
PCQ
≌
；②ABP
QCP
≌
，分别
根据全等三角形对应边相等列方程求解t ，进而求出x ．
【详解】解：由题意得：
3 cm
BP
t
，
16
3 cm
PC
t
，
cm
CQ
xt
，
B
C
，ABP
与PCQ
全等，分两种情况：
情况1：ABP
PCQ
≌
，
此时对应边：AB
PC
，BP
CQ
，
由AB
PC
得10
16
3t
，
解得：
2
t
，
BP
CQ
，
3t
xt
，
将
2
t
代入，得6
2x
，解得
3
x
；
情况2：ABP
QCP
≌
，
此时对应边：AB
QC
，BP
CP
，
BP
CP
，即3
16
3
t
t
，
解得：
8
3
t
，
AB
QC
，
10
xt
，
将
8
3
t
代入，得
8
10
3 x
，解得
15
4
x
，
综上，x 的值为3或15
4 ．
9．已知：如图，
ABD
CBE
，AB
BD
，BC
BE
，若
2
AD
，
3
DC
，
4
BC
．
(1)证明：ABC
DBE
≌
(2)求
DFC
△
与
BFE
△
的周长的和．
【答案】(1)见详解
(2)16
【分析】（1）先结合角的和差关系得出
ABC
DBE
，再证明
SAS
ABC
DBE
≌
，即可作答．
（2）根据全等三角形的性质得
5
DE
AC
，
4
BE
BC
，再把数值代入
FC
DC
DF
FE
BE
BF
DC
BE
DE
BC
计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
ABD
CBE
，
∴
ABD
DBC
CBE
DBC
，
∴
ABC
DBE
，
∵AB
BD
，BC
BE
，
∴
SAS
ABC
DBE
≌
；
（2）解：由（1）得ABC
DBE
≌
，
∴
2
3
5
DE
AC
AD
DC
，
4
BE
BC
，
则
DFC
△
与
BFE
△
的周长的和
FC
DC
DF
FE
BE
BF
DC
BE
DE
BC
DC
BE
DE
BC
3
4
5
4
16
．
10．如图，CD是
ABC
的角平分线，E 是CD的中点，过点E 作EF
AB
于点F ，连接BE ．
(1)若
36
A
，
66
ABC
，求
DEF
的度数；
(2)若
8
BD
，
6
EF
，求BCE
的面积．
【答案】(1)15
(2) 24
【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出
ACD
，进而求出
CDB
，利用垂直的定义
进行计算即可解答；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵CD是
ABC
的角平分线，
∴
1
2
ACD
ACB
，
∵
180
180
36
66
78
ACB
A
ABC
，
∴
1
1
78
39
2
2
ACD
ACB
，
∴
36
39
75
CDB
A
ACD
，
∵EF
AB
，
∴
90
EFB
，
∴
90
90
75
15
DEF
CDB
；
（2）解：∵
8
BD
，
6
EF
，EF
AB
，
∴
1
1
8 6
24
2
2
EDB
S
BD EF
，
∵E 是CD的中点，
∴CE
ED
，
∵
EDB
△
的边DE 上的高与BCE
的边CE 上的高相同，
∴
24
BCE
EDB
S
S
．
11．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明，
人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，风筝的一角(
)
E
缺失，为修补该风筝，现测得：
BAF
DAC
，
B
D
，AB
AD
，
50cm
AC
．
(1)求修补完风筝后AE 的长度．
(2)若
CHG
△
用纸面积为
2
75cm ，求EHF
的用纸面积．
【答案】(1) AE 的长度为50cm
(2) EHF
的用纸面积为
2
75cm
【分析】（1）证明
(
)
BAC
DAE ASA
≌
，即可得到答案；
（2）证明
ASA
EAG
CAF
≌
，根据图形间的面积关系即可求出答案．
【详解】（1）解：∵
BAF
DAC
，
∴
1
1
BAF
DAC
，
即
BAC
DAE
，
在BAC
和DAE
中，
BAC
DAE
AB
AD
B
D
∴
(
)
BAC
DAE ASA
≌
，
∴
50
AE
AC
cm
，
∴修补完风筝后AE 的长度为50cm．
（2））∵
BAC
DAE
△
≌△
，
∴
C
E
，AC
AE
，
∴在
EAG
△
和CAF
中，
1
1
C
E
AE
AC
∴
ASA
EAG
CAF
≌
，
∴
EAG
CAF
S
S
，
∴
EAG
CAF
AFHG
AFHG
S
S
S
S
四边形
四边形
，
即
2
75
EFH
CHG
S
S
cm
，
∴EHF
的用纸面积为
2
75cm
12．ABC
和DBE
是两个角都是45的等腰直角三角形（BA
BC
，BE
BD
，
90
DBE
ABC
）的
三角板，
【问题初探】
(1)当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C 在同一直线上，连接AD 、CE ，请证明：
AD
CE ；
【类比探究】
(2)当三角板ABC 保持不动时，将三角板DBE 绕点B 顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD 与CE 的
数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
AD
CE ，理由见解析
【分析】（1）证明
SAS
ADB
CEB
≌
，即可求证；
（2）证明
SAS
ABD
CBE
≌
，即可解答．
【详解】（1）证明：在ADB
和CEB
中，
∵
,
,
BD
BE
ABD
CBE AB
CB
，
∴
SAS
ADB
CEB
≌
，
∴
AD
CE ；
（2）解：
AD
CE ，理由如下：
∵
90
ABC
DBE
，
∴
ABD
DBC
CBE
DBC
，
即
ABD
CBE
，
在
ABD
△
和
CBE
△
中，
∵
,
,
AB
BC
ABD
CBE BD
BE
，
∴
SAS
ABD
CBE
≌
，
∴
AD
CE ．
13．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，AD 是
ABC
的中线，
8
5
AB
AC
，
，求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点E ，使DE
AD
，
连接BE ，根据SAS 可证
ADC
EDB
≌
△
△
，所以BE
AC
．接下来，在ABE
中利用三角形的三边关系可
求得AE 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是：________；
(2)如图2 ，
90
AB
AE
AC
AF
BAE
CAF
，
，
，点D 为BC 的中点，连接AD ．求证：
2
EF
AD
．
【答案】(1)1.5
6.5
AD
(2)证明见解析
【分析】（1）由
SAS
EDB
ADC
≌
可得
5
BE
AC
，再根据三角形三边关系解答即可求解；
（2 ）延长AD 至G ，使DG
AD
，连接BG ，则
2
AG
AD
，同理可证
SAS
ADC
GDB
≌
，即得AC
GB
，
C
GBD
，再证明
SAS
ABG
EAF
≌
，得到AG
EF
，即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵AD 是
ABC
的中线，
∴BD
CD
，
又∵ED
AD
，
BDE
CDA
，
∴
SAS
EDB
ADC
≌
，
∴
5
BE
AC
，
在ABE
中，∵AB
BE
AE
AB
BE
，
∴8
5
2
8
5
AD
，
∴1.5
6.5
AD
，
故答案为：1.5
6.5
AD
；
（2）解：如图，延长AD 至G ，使DG
AD
，连接BG ，则
2
AG
AD
，
同理可证
SAS
ADC
GDB
≌
，
∴AC
GB
，
C
GBD
，
∵AC
AF
，
∴BG
AF
，
∵
90
BAE
CAF
，
∴
180
BAC
EAF
，
∵
180
BAC
ABC
C
，
∴
180
BAC
ABC
GBD
，
即
180
BAC
ABG
，
∴
ABG
EAF
，
又∵AB
AE
，
∴
SAS
ABG
EAF
≌
，
∴AG
EF
，
∴
2
EF
AD
．
14．在Rt
ABC
△
中，
90
CAB
，AB
AC
，点D 为直线AB 上方一点，且
90
ADB
．
(1)如图1，过点C 作CE
AD
，
①求证：ACE
ABD
≌
；
②若
9
BD
，
20
CE
，求DE 的长．
(2)如图2，延长AD 交BC 于点F ，若BD 恰好平分
ABC
，且
8
DF
，请求出
ADC
△
的面积．
【答案】(1)①见解析；②11
(2)32
【分析】（1）①利用AAS即可证明ACE
ABD
≌
；
②由全等三角形的性质求得
9
AE
BD
，
20
AD
CE
，再利用线段的和与差计算即可求解；
（2）作CH
AF
交AF 的延长线于点H ，证明
ASA
FDB
ADB
≌
，求得
8
AD
DF
，同理证明
AAS
CAH
ABD
≌
，求得
8
CH
AD
，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）①证明：∵
90
CAB
，
90
ADB
，CE
AD
，
∴
90
CAB
AEC
BDA
，
∴
90
ACE
CAE
BAD
∠
，
∵AB
AC
，
∴
AAS
ACE
BAD
≌
；
②解：∵ACE
ABD
≌
，
∴
9
AE
BD
，
20
AD
CE
，
∴
20
9
11
DE
AD
AE
；
（2）解：作CH
AF
交AF 的延长线于点H ，
∵BD 平分
ABC
，
∴
ABD
FBD
，
∵
90
ADB
，
∴
180
90
FDB
ADB
ADB
，
∵BD
BD
，
∴
ASA
FDB
ADB
≌
，
∴
8
AD
DF
，
∵
90
CAB
ADB
H
，
∴
90
CAH
DAB
ABD
，
∵AB
AC
，
∴
AAS
CAH
ABD
≌
，
∴
8
CH
AD
，
∴
ADC
△
的面积1
1
8 8
32
2
2
AD CH
．
