专题02 勾股定理
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
勾股数的判断
题型2
判断能否构成直角三角形
题型3
勾股定理与网格问题
题型4
勾股定理的应用
题型5
利用勾股定理求最短路径问题
题型6
利用勾股定理解决折叠问题
题型7
利用勾股定理的逆定理求解
题型8
勾股定理的证明方法
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 直接应用求直角三角形边
长。
2. 逆定理判定三角形形状。
3. 勾股数识别与构造。
4. 折叠问题中列方程求线段
长。
5. 最短路径问题（圆柱、长方
体表面）。
6. 实际应用（梯子、芦苇、航
海）。
1. 基础计算必考：直接利用勾股定理求直角三角形的边长是选择题、
填空题的必考内容，需特别注意区分直角边与斜边。
2. 逆定理应用强化：利用逆定理判断三角形形状及找勾股数是中档
题热点，“小方和等于大方”的判定口诀是实用技巧。
3. 实际情境建模：将梯子滑动、芦苇出水、航海距离等实际问题转
化为直角三角形模型是核心考查能力。
4. 折叠与最值综合：结合矩形折叠列方程求边长、立体图形表面最
短路径是解答题的高频题型。
5. 数形结合与分类讨论：涉及等腰三角形或不确定直角位置的问题，
需运用分类讨论思想求解。
考情解码：根据2026 年新教材考情，《勾股定理》强调从计算到实际建模的转化。高频考点包括直
接求边长、逆定理判定三角形形状，以及折叠问题中构造方程求线段。常与坐标系、几何体（圆柱、
长方体）表面最短路径结合，考查数形结合思想。同时重视勾股数规律探究及在网格构图中的应用，
体现直观想象素养。
知识点一勾股定理
勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a
b
，，斜边长为c ，那么
2
2
2
a
b
c
.
勾股定理证明
（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中
，所以
.
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中
，所以
.
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以
.
【易错警示】
- 定理：a2+b2=c2，其中c 为斜边，勿忽略直角前提，乱用边。
- 验证：常见拼图面积法，注意中间小正方形边长为|a-b|，勿错。
即时即练1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为
1S ，
2S ，
3
S ，如图2，分别
以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为
4
S ，
5S ，
6
S ，其中
1
1
S ，
2
3
S
，
5
2
S
，
6
4
S
，
则
3
4
S
S
（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、等边三角形的面积、圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到
2
1
3
S
S
S
，
同理可得
5
6
4
S
S
S
，然后根据
1
1
S ，
2
3
S ，
5
2
S
，
6
4
S
即可得到
3
4
S
S
的值，本题得以解决．
【详解】解：如图1，
2
1
3
4
S
AC
，
2
2
3
4
S
AB
，
2
3
3
4
S
BC
，
∵
2
2
2
BC
AB
AC
，
∴
2
1
3
S
S
S
，
如图2，
同理可得，
5
6
4
S
S
S
，
∵
1
1
S ，
2
3
S
，
5
2
S
，
6
4
S
，
∴
3
4
3 1
2
4
2
6
8
S
S
，
故选：C．
2．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，a、b、c 分别表示
A
、
B
、
C
的对边．
(1)已知
3
a
，
2
b
，求c；
(2)已知
11
c
，
7
a
，求b．
【答案】(1)
13
c
(2)
2
b
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据勾股定理可进行求解；
（2）根据勾股定理可进行求解．
【详解】（1）解：∵
90
C
，
3
a
，
2
b
，
∴
2
2
2
a
b
c
，即
2
2
2
3
2
13
c
，
∴
13
c
；
（2）解：∵
90
C
，
11
c
，
7
a
，
∴
2
2
2
b
c
a
，即
2
2
2
11
7
4
b
，
∴
2
b
．
知识点二勾股定理逆定理
勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长a
b
c
，，，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如c ）.
（2）验证
2c 与
2
2
a
b
是否具有相等关系.若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若
2
2
2
c
a
b
，则△ABC 不是直角三角形.
勾股数
像15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理
②三个正整数
【易错警示】
- 找最大边：先确定最长边，计算其平方与另两边平方和比较，勿随意设c。
- 条件满足：只有a2 + b2 = c2 时才是直角三角形，漏等号或误用为锐角/钝角判断需谨慎。
- 书写规范：结论要说清哪个角是直角。
即时即练1．下列各组数中，是勾股数的是（
）
A．0.3，0.4 ，0.5 B．3
5 ，4
5 ，1
C．4，5，6
D．9，40，41
【答案】D
【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，如果a，b，c 为正整数，且满足
2
2
2
a
b
c
，
那么，a、b、c 叫做一组勾股数．
根据勾股数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．0.3，0.4 ，0.5，不是整数，不是勾股数；
B．3
5 ，4
5 ，不是整数，不是勾股数；
C．
2
2
2
4
5
6
，不是勾股数；
D．
2
2
2
9
40
41
，是勾股数；
故选：D
2．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架
80cm
AC
，
60cm
BC
，两轮轮轴的水平距离
100cm
AB
（购物车车轮半径忽略不计），DE ，GF 均与地面平行．
(1)猜想两支架AC 与BC 的位置关系并说明理由；
(2)若EM 的长度为70cm ，
120
DEF
，求购物车把手点M 到AB 的距离．
【答案】(1) AC
BC
，理由见解析
(2)
48
35 3 cm
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键．
（1）根据勾股定理逆定理判断
ACB
△
为直角三角形，即可得到结论；
（2）过点M 作MN
AB
交AB 的延长线于点N ，延长DE 交MN 于点H ，求出
2
2
35 3cm
MH
ME
EH
，
48cm
HN
．即可得答案．
【详解】（1）解：AC
BC
．理由如下：
2
2
2
2
2
2
80
60
10000
100
10000
AC
BC
AB
，
，
2
2
2
AC
BC
AB
．
∴
ACB
△
为直角三角形，
90
ACB
，
AC
BC
；
（2）解：过点M 作MN
AB
交AB 的延长线于点N ，延长DE 交MN 于点H ，如图，
MN
AB
，
∴
90
ANM
．
又
GF
DE
AB
∥
∥
，
∴
90
ANM
DHM
，
120
DEM
．
180
60
MEH
DEM
，
90
30
EMH
MEH
，
在Rt
MEH
△
中，
70cm
ME
，
∴
1
1
70
35cm
2
2
EH
ME
，
根据勾股定理，得
2
2
35 3cm
MH
ME
EH
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB HN
，
∴80 60
100 HN
解得：
48cm
HN
．
48
35 3 cm
MN
MH
HN
．
购物车把手点M 到AB 的距离为
48
35 3 cm
．
知识点三勾股定理的应用
1.解决实际问题：勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直
角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边
的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
2.平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用
勾股定理求解
【易错警示】
- 实际情境：需判断题目所求是直角边还是斜边，勿套错公式。
- 单位统一：边长单位不一致时先换算，再代入计算。
- 隐含条件：无图时考虑多解（如高在形内或形外），勿漏情况。
- 非整数解：结果保留根号或按要求近似。
即时即练1．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔
船A 和B 与某灯塔C 位置如图，其中A 在C 的北偏西57方向上，与C 的距离是600 海里，B 在C 的南偏
西33方向上，与C 的距离是450 海里．
(1)求渔船A 与渔船B 之间的距离．
(2)若C 处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390 海里，此时B 渔船准备沿直线向A 渔船靠拢航行，航行的速
度为每小时25 海里．求B 渔船在驶向A 渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？
【答案】(1)750 海里
(2)12 小时
【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据方向角，易得
90
ACB
，再根据勾股定理，计算即可求解．
（2）过点C 作CH
AB
交AB 于点H，在AB 上取点D，E，使得
390
CD
CE
海里，根据等面积法，可
得
360
CH
，根据勾股定理，求出
150
DH
EH
，从而得出ED ，计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得：
57
NCA
，
33
SCB
，
90
ACB
，
600
AC
海里，
450
BC
海里，
2
2
2
2
600
450
750
AB
AC
BC
（海里），
即渔船A 与渔船B 之间的距离为750 海里；
（2）过点C 作CH
AB
交AB 于点H，在AB 上取点D，E，使得
390
CD
CE
海里，
CH
AB
，
90
CHB
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CH
，
360
CH
（海里），
390
CD
CE
海里，
2
2
150
DH
EH
CD
CH
（海里），
则
300
DH
E
E
H
D
（海里），
行驶时间为300
25
12
（小时），
答：B 渔船在驶向A 渔船的过程中，收到信号的持续时间有12 小时．
2．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、
失衡等风险，该模型一条大腿支架AB 与小腿支架BC 需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架
实施固定，其示意图如图2 所示，实际测得数据如下：
8dm,
6dm
AB
BC
，
10dm
AC
，
90
CAD
．
(1) AB 与BC 垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的CD 比AD 长2dm ，求支架AD 的长度．
【答案】(1) AB 与BC 垂直，理由见详解
(2)
24dm
AD
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键；
（1）根据题意易得
2
2
2
AB
BC
AC
，然后问题可求解；
（2）由题意可设
dm
AD
x
，则有
2 dm
CD
x
，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】（1）解：AB 与BC 垂直，理由如下：
∵
8dm,
6dm
AB
BC
，
10dm
AC
，
∴
2
2
2
2
2
8
6
100
AB
BC
AC
，
∴AB
BC
；
（2）解：由题意可设
dm
AD
x
，则有
2 dm
CD
x
，
∵
90
CAD
，
∴
2
2
2
AC
AD
CD
，即
2
2
2
10
2
x
x
，
解得：
24
x
，
∴
24dm
AD
．
题型1
勾股数的判断
例1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各
组数中，是“勾股数”的是（
）
A．2 ，3，5
B．7 ，8 ，9
C．6 ，8 ，10
D．5，12，11
【答案】C
【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组
勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可．
【详解】解：A．
2
2
2
3
4
9
13
，
25
25
，13
25
，故该选项不是勾股数，不符合题意；
B．
2
2
7
8
49
64
113
，
2
9
81
，113
81
，故该选项不是勾股数，不符合题意；
C．
2
2
6
8
36
64
100
，
2
10
100
，100
100
，故该选项是勾股数，符合题意；
D．
2
2
5
11
146
，
2
12 =144 ，146
144
，故该选项不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
例2．在下列四组数中，是勾股数的是（
）
A．2，1，
5
B．6，8，12
C．7，40，41
D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数是三个正整数，且满足两较
小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、含5 ，不是正整数，不符合定义，故该选项错误；
B、
2
2
6
8
36
64
100
，
2
12
144
，100
144
，不符合定义，故该选项错误；
C、
2
2
7
40
49
1600
1649
，
2
41
1681
，1649
1681
，不符合定义，故该选项错误；
D、
2
2
5
12
25 144
169
，
2
13
169
，相等且均为正整数，符合定义，故该选项正确；
故选：D．
【技巧总结】
1. 验证平方：判断较小两数平方和是否等于最大数平方。
2. 观察倍数：一组勾股数同乘整数倍仍为勾股数。
3. 奇偶特征：勾股数中必含偶数，且若a 为奇数，则b, c 为连续整数（如3,4,5）。
【变式训练1-1】下列四组数中，是勾股数的一组是（
）．
A．1，1，2
B．2 ，
3 ，
5
C．3，4，5
D．3，4，6
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三
条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得．
【详解】解：A、
2
2
2
1
1
2
，故此项不是勾股数，不符合题意；
B、2 ，
3 ，
5 ，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意；
C、
2
2
2
3
4
5
，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意；
D、
2
2
2
3
4
6
，故此项不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-2】勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（
）
A．6，7，10
B．0.3，0.4，0.5
C．1，1，
2
D．16，30，34
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股数，熟知满足
2
2
2
a
b
c
的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
根据勾股数的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A、
2
2
6
7
36
49
85
，
2
10
100
，85
100
，∴6，7，10 不是勾股数．故此选项不符合
题意；
B、∵0.3，0.4，0.5 非整数，∴0.3，0.4，0.5 不是勾股数．故此选项不符合题意；
C、
2
非整数，∴1，1，
2 不是勾股数．故此选项不符合题意；
D、
2
2
16
30
256
900
1156
，
2
34
1156
，1156
1156
，∴16，30，34 是勾股数．故此选项符合题意．
故选：D．
题型2
判断能否构成直角三角形
例3．在
ABC
中，
,
,
A
B
C
的对边分别是, ,
a b c ．下列条件中，不能判断
ABC
为直角三角形的是（
）
A．
3
a
，
5
b
，
6
c
B．
A
B
C
C．
3
a
，
4
b
，
5
c
D．
: :
5:12:13
a b c
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆
定理判断即可．
【详解】解：A．∵
2
2
2
3
5
6
，
∴
2
2
2
a
b
c
∴
ABC
不是直角三角形，则符合题意；
B．∵
A
B
C
，
∴
A
B
C
∠
∠
∠
，
∵
180
A
B
C
，
∴
90
A
，
∴
ABC
是直角三角形，则不符合题意；
C．∵
2
2
2
3
4
5
，
∴
2
2
2
a
b
c
∴
ABC
是直角三角形，则不符合题意；
D．∵
: :
5:12:13
a b c
，
∴设
5 ,
12 ,
13
a
k b
k c
k
，
∴
2
2
2
a
b
c
，
∴
ABC
是直角三角形，则不符合题意．
故选：A．
例4．在
ABC
中，下列条件中，不能判断
ABC
是直角三角形的是（
）
A．
2
2
a
，
2
3
b
，
2
5
c
B．
1
1
2
3
A
B
C
C．
:
:
3: 4 :5
A
B
C
D．
A
B
C
+
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算各选项判断是否能构成直角三角形，
熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键．
【详解】解：A、∵
2
2
a
，
2
3
b
，
2
5
c
，∴
2
2
2
a
b
c
，故
ABC
是直角三角形，不符合题意；
B、∵
1
1
2
3
A
B
C
，
∴设
A
x
，则
2
B
x
，
3
C
x
，
∵
180
A
B
C
，
∴
2
3
180
x
x
x
，
解得
30
x
，
∴
90
C
，
故
ABC
是直角三角形，不符合题意；
C、∵
:
:
3: 4 :5
A
B
C
，
∴设
3
A
k
，
4
B
k
，
5
C
k
，
∵
180
A
B
C
，
∴3
4
5
12
180
k
k
k
k
，
解得
15
k
，
∴
75
90
C
，
故
ABC
不是直角三角形，符合题意；
D、∵
A
B
C
+
，且
180
A
B
C
，
∴
180
C
C
，即2
180
C
，
∴
90
C
，
故
ABC
是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【技巧总结】
1. 排序：将三边从小到大排序为a ≤b ≤c。
2. 验勾股：计算a2 + b2 是否等于c2，相等则直角。
3. 钝/锐角：若a2 + b2 < c2 为钝角；大于则为锐角。
4. 先判三边：需先满足三角形两边之和大于第三边。
【变式训练2-1】满足下列条件的
ABC
，不是直角三角形的是（
）
A．
2
2
2
c
b
a
B．
: :
3: 4:5
a b c
C．
C
A
B
D．
:
:
3: 4 :5
A
B
C
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理逆定理和三角形内角和定理.通过判断每个选项是否满
足直角三角形条件，通过计算得到选项D 的角比例计算后均为锐角，因此不是直角三角形，从而得到答案.
【详解】解：A、∵
2
2
2
c
b
a
∴
2
2
2
b
a
c
，
由勾股定理逆定理，
ABC
是以b 为斜边的直角三角形.
B、∵
: :
3: 4:5
a b c
，且
2
2
2
3
4
9 16
25
5
，
∴
ABC
是直角三角形.
C、∵
C
A
B
，且
180
A
B
C
，
代入得
2
180
A
B
A
B
A
，
∴
90
A
，
ABC
是直角三角形.
D、设
3 ,
4 ,
5
A
k
B
k
C
k
，则3
4
5
12
180
k
k
k
k
，
解得：
15
k
，
∴
45 ,
60 ,
75
A
B
C
，均小于90，
∴
ABC
不是直角三角形.
【变式训练2-2】在
ABC
中，AB
c
，AC
b
，BC
a
．下列条件中：①
A
B
C
，
②
:
:
3: 4 :5
A
B
C
，③
2
2
2
a
b
c
，④
1
1
2
2
A
B
C
，⑤
: :
3: 4:5
a b c
．能确定
ABC
是直角三
角形的有（
）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：对于条件①：∵
A
B
C
，且
180
A
B
C
，
∴
180
B
C
B
C
，即
90
B
Ð
=
°，
∴
ABC
是直角三角形．
对于条件②：设
3 ,
4 ,
5
A
k
B
k
C
k
，则3
4
5
180
k
k
k
，
∴
15
k
，
∴
45 ,
60 ,
75
A
B
C
，
∴
ABC
不是直角三角形．
对于条件③：∵
2
2
2
a
b
c
，
∴由勾股定理逆定理，
ABC
是直角三角形．
对于条件④：∵
1
1
2
2
A
B
C
，即
2
,
2
B
A
C
A
，
∴
2
2
180
A
A
A
，
∴
36 ,
72 ,
72
A
B
C
，
∴
ABC
不是直角三角形．
对于条件⑤：设
3 ,
4 ,
5
a
k b
k c
k
，则
2
2
2
2
2
2
2
9
16
25
,
25
a
b
k
k
k
c
k
，
∴
2
2
2
a
b
c
，
∴
ABC
是直角三角形．
∴能确定
ABC
是直角三角形的条件有①、③、⑤，共3 个．
故选：C
题型3
勾股定理与网格问题
例5．如图，在3 3
正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，
ABC
的顶点都在网格线的交点上，下
列说法错误的是（
）
A．
10
AC
B．
90
B
Ð
=
°
C．只有两条边长为无理数
D．AC 边上的高为2
10
5
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式．
根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D 即可．
【详解】解：
2
2
1
3
10
AC
，A 说法正确；
2
2
1
1
2
AB
，
2
2
2
2
2 2
BC
，则三边长均为无理数，C 说法错误；
则
2
2
2
2
2
2
2 2
AB
BC
AC
，即
90
B
Ð
=
°，B 说法正确；
设AC 边上的高为h ，则1
1
2
2 2
10
2
2
h
，解得
2 10
5
h
，D 说法正确；
故选：C．
例6．如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则下列结论错误的
是（
）
A．
2
20
AB
B．
90
BAC
C．
ABC
的面积为10
D．点A 到直线BC 的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．
【详解】解：A、
2
2
2
2
4
20
AB =
+
=
，本选项结论正确，不符合题意；
B、
2
2
2
1
2
5
AC
，
2
2
2
2
4
20
AB =
+
=
，
2
2
2
3
4
25
BC
，
2
2
2
AC
AB
BC
，
90
BAC
，本选项结论正确，不符合题意；
C、
1
1
1
4 4
1 2
2 4
3 4
5
2
2
2
ABC
S
，本选项结论错误，符合题意；
D、点A 到BC 的距离
2
2
5
5
2
ABC
S
BC
，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【技巧总结】
1. 构造直角三角形：以格点为顶点，利用网格横竖线作直角边，斜边即所求距离。
2. 巧用面积：直接求三角形面积或用“割补法”间接求，再结合勾股定理列方程。
3. 数形结合：格点间水平竖直距离已知，转化为代数计算。
【变式训练3-1】如图，在8 8
的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD 的顶点都在格点（网
格线的交点）上．
(1)求线段BC 和CD 的长．
(2)
BAD
是直角吗？请说明理由．
【答案】(1)
2 10
BC
，
29
CD
(2)
BAD
是直角，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的
关键．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理逆定理即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
2
2
2
6
2 10
BC
，
2
2
2
5
29
CD
；
（2）解：
BAD
是直角，理由如下：
如图，连接BD ，
根据题意得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
20,
2
1
5,
3
4
25
AB
AD
BD
，
∴
2
2
2
AB
AD
BD
，
∴
ABD
△
为直角三角形，且
90
BAD
，
即
BAD
是直角．
【变式训练3-2】如图，点A ，B ，C 在边长为1的正方形组成的网格格点上，解答下列问题：
(1)线段AB 的长为______，线段AC 的长为______；
(2)连接BC ，判断ABC
的形状，并证明你的结论．
【答案】(1) 10 ，
2 ；
(2) ABC
是直角三角形，证明见解析
【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
（1）根据勾股定理进行计算即可；
（2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】（1）解：由图可知，
2
2
1
3
10
AB
，
2
2
1
1
2
AC
，
故答案为：10 ，2 ；
（2）解：
ABC
是直角三角形，
证明：由
1 知，
2
10
AB
，
2
2
AC
，
2
2
2
2
2
8
BC
，
2
2
2
AC
BC
AB
，
ABC
是直角三角形．
题型4
勾股定理的应用
例7．如图，长方形ABCD 是某公园的荷花观赏池，对角线AC 为观赏浮桥，点E 为公园小门，BE ，DE 为
两条小路，图中阴影部分为草坪，测得
15
AB
米，
25
AC
米，
60
DE
米，
65
BE
米．
(1)求观赏池BC 边的长；
(2)求草坪的面积．
【答案】(1)20 米
(2)600 平方米
【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）连接BD ,根据勾股定理求出
25
BD
米,然后证明出
BDE
是直角三角形，且
90
BDE
，然后利用
BDE
BCD
S
S
S
△
△
草坪
代数求解即可.
【详解】（1）解：因为四边形ABCD 为长方形，
所以
90
ABC
．
在Rt
ABC
中，
15
AB
米，
25
AC
米，
由勾股定理，得
2
2
2
AB
BC
AC
，即
2
2
2
15
25
BC
，
所以
20
BC
米．
答：观赏池BC 边的长为20 米;
（2）解：连接BD ．
因为
90
BCD
,
15
CD
AB
米，
20
BC
米，
根据勾股定理，得
2
2
2
BD
BC
CD
，
所以
25
BD
米．
因为在
BDE
中，
2
2
2
2
25
60
4225
BD
DE
，
2
2
65
4225
BE
，
所以
2
2
2
BD
DE
BE
，
所以
BDE
是直角三角形，且
90
BDE
，
所以
1
1
1
1
25 60
20 15
600
2
2
2
2
BDE
BCD
S
S
S
BD DE
BC CD
△
△
草坪
（平方米）．
答：草坪的面积为600 平方米．
例8．如图，小明在某泳池沿泳道l 练习游泳，点A 处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B 处的小明想上
岸休息，他决定游至点C 处后再向攀梯游去．已知B
C
D
，，
三点都在直线l 上，
9m
12m
15m
BC
AC
AB
，
，
．
(1) AC 的长是否为攀梯A 到泳道l 的最短距离？
(2)小明游至点C 处后又沿泳道l 滑行2m 到达点D，若从点D 游至攀梯A，求AD 的长度（结果保留根号）．
【答案】(1) AC 的长是攀梯A 到泳道l 的最近距离，理由见解析
(2)2 37m
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理，推导出
90
BCA
，即AC
l
，由垂线段最短，得到AC 的长是攀梯A 到泳
道l 的最近距离，即可解答；
（2）根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：AC 的长是攀梯A 到泳道l 的最近距离．理由如下：
在
ABC
中，
2
2
2
2
2
9
12
225
BC
AC
AB
，
90
BCA
，即AC
l
，
由垂线段最短，
AC
的长为攀梯A 到泳道l 的最近距离．
（2）
AC
l
，
90
ACD
．
在Rt ACD
中，
2
2
2
2
12
2
2 37(m)
AD
AC
CD
．
答：AD 的长度为2 37m ．
【技巧总结】
1. 识直角三角形：找或构造垂直关系（如高、对角线）。
2. 列方程：设未知边，用a2+b2=c2 建立方程。
3. 统一单位：注意实际问题的单位换算。
4. 常见模型：梯子滑动、芦苇出水、最短路径（展开侧面）、折叠问题。
【变式训练4-1】一艘轮船从A 港向南偏西48方向航行100km 到达B 岛，再从B 岛沿BM 方向航行125km 到
达C 岛，A 港到航线BM 的距离是60km ．
(1)若轮船速度为25km/h ，求轮船从C 岛沿CA 返回A 港所需的时间；
(2)C 岛在A 港的什么方向？
【答案】(1)3h
(2)北偏西42
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用；
（1）先求解
80km
BD
，结合
125km
BC
，可得
45km
CD
BC
BD
，再进一步的利用勾股定理计算即
可；
（2）先证明
2
2
2
AB
AC
BC
，可得
90
BAC
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知
60km,
AD
AD
BC
．
在Rt
ABD
△
中，
2
2
2
AD
BD
AB
，
∴
2
2
2
60
100
BD
，
∴
80km
BD
，
∵
125km
BC
，
∴
125
80
45 km
CD
BC
BD
，
∴
2
2
2
2
2
2
45
60
75
AC
CD
AD
，
∴
75km
AC
，而
75
25
3 h
，
∴轮船从C 岛沿CA 返回A 港所需的时间为3h ．
（2）解：∵
2
2
2
2
100
75
15625
AB
AC
，
2
2
125
15625
BC
，
∴
2
2
2
AB
AC
BC
，
∴
90
BAC
，
∴
180
90
48
42
NAC
，
∴C 岛在A 港的北偏西42方向上．
【变式训练4-2】小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A ，小王的赛车从点C 出发，以4 米/秒的速度
由西向东行驶，同时小林的赛车从点B 出发，以3 米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距
离小于或等于25 米时，遥控信号会产生相互干扰，
40
AC
米，
30
AB
米．
(1)出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距A 点的距离之和为35 米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】(1)不会
(2)两赛车距点A 的距离之和为35 米时，遥控信号将会相互干扰，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得
1
12
CC
米，
1
9
BB
米，得到
1
28
AC
米，
1
21
AB
米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发t 秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
出发3秒钟时，
1
12
CC
米，
1
9
BB
米
40
AC
米，
30
AB
米
1
28
AC
米，
1
21
AB
米
2
2
1
1
28
21
35
B C
（米）
35
25
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；
（2）解：设出发t 秒钟时，两赛车距A 点的距离之和为35 米，
由题意得，40
4
30
3t
35
t
，解得
5
t
此时
1
1
20,
15
AC
AB
，
此时
2
2
2
2
1
1
1
1
20
15
25
B C
C A
B A
，
即两赛车间的距离是25 米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰．
题型5
利用勾股定理求最短路径问题
例9．步行台阶每一层高20cm ，宽40cm ，长50cm．一只蚂蚁从点A 爬到点B ，最短路程是
cm．
【答案】130
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键．
将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可；
【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形，
∵台阶阶梯每一层高20cm ，宽40cm ，长50cm ，
∴
20
40
20
40
120 cm
AC
，
50cm
BC
，
∴在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
2
50
120
130 cm
AB
AC
BC
．
故答案为：130．
例10．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD ，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，
半圆柱的底面半径为2 ，已知
6m
AE
BF
，
5m
BC
，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，且必须翻过半圆柱凸起，
则它至少要走
m 的路程．（π取3）
【答案】13
【分析】本题考查了勾股定理的应用- 最短路径问题，将中间半圆展开，连接AC ，则线段AC 的长度即为
蚂蚁爬行的最短路程，先求出AB 的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的
关键．
【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接AC ，则线段AC 的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可得，
1
1
2π
2 3 2
6m
2
2
EF
r
，
∴
6
6
12m
AB
AE
BF
EF
，
∵
5m
BC
，
∴
2
2
2
2
12
5
13m
AC
AB
BC
，
∴它至少要走13m 的路程，
故答案为：13．
【技巧总结】
1. 化曲为直：将立体图形表面沿棱展开成平面，连接起点与终点。
2. 勾股计算：展开图中水平、竖直距离为直角边，斜边长即最短路径。
3. 分类讨论：不同展开方式路径不同，需比较取最小值。
4. 注意起点：从一点到对侧点常需跨过棱。
【变式训练5-1】课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A
B
，两点的位
置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A
B
，
对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________cm ．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm ，高为10cm．在其侧面从点A 开
始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B 停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A 到顶点B 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知
此六棱柱的高AB 为7cm ，底面边长为4cm ，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC 为4cm ，点A 处有一只蚂蚁沿
如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B 处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）
【答案】（1）15，（2）26cm （3）25cm （4）10cm
【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间
线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长
度，进而构建直角三角形求解．
【详解】解：（1）展开后A 、B 、C 构成直角三角形，两直角边分别为9cm 和12cm ．
根据勾股定理，最短路径为：
2
2
9
12
81 144
225
15cm
（2）底面是正方形，周长为3 4
12cm
，垂直方向为直四棱柱的高10cm ，绕一周高为
10
2
5 cm
，
根据勾股定理，
2
2
12
5
144
25
169
13cm
，
绕两周彩条最短长度为：13 2
26cm
；
（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为4 6
24cm
，绕一周垂直长度为7cm ；
根据勾股定理，金属丝最短长度为：
2
2
24
7
576
49
625
25cm
（4）底面是半圆长加一个半径，
3 2
2
8
r
r
，高为6cm ，
根据勾股定理，爬行最短长度为
2
2
m
8
0
6
1
0
0
1 c
．
【变式训练5-2】阅读并回答下列问题
【几何模型】（1）如图①，A 、B 是直线l 同侧的两个定点，问题：在直线l 上找一点P ，使PA
PB
值最
小．
方法：如图②，作B 点关于l 的对称点B，连接AB交l 于P 点，则P 为所求作的点．试说明理由．
【模型应用】（2）如图③，若A 、E 两点在直线l 同侧，分别过点A 、E 作AB
BD
，ED
BD
，C 为线
段BD 上一动点，连接AC 、EC ．已知
5
AB
，
3
DE ，
15
BD
，设CD
x
．请问点C 满足什么条件时，
AC
CE
的值最小，并求出最小值；
【拓展应用】（3）直接写出代数式
2
2
1
9
4
1
x
x
的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）当点E 关于BD 的对称点与点
,
A C 共线时，AC
CE
的值最小，最小值为17 ；
（3）
41
【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质
求解．
（1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解；
（2）作点E 关于BD 的对称点G ，过点G 作AB 延长线的垂线，垂足为点F ，连接
,
AG CG ，则
,
3
CE
CG DE
DG
，那么AC
CE
AC
CG
AG
，故当点
, ,
A C G 三点共线时，AC
CE
的值最小，
最小值为AG ，再由勾股定理求解即可；
（3）将代数式
2
2
1
9
4
1
x
x
的值转化为点
,0
x
到点
1,3
和点
4,1 的距离之和，设
,0
T x
，
1,3
A
，
4,1
B
，过点A 作x 轴的对称点
1, 3
A
，连接A B
与x 轴交点即为点T ，此时最小值即为A B
，
再由两点之间距离公式求解即可．
【详解】解：（1）由轴对称的性质可得BP
B P
，
∴AP
BP
AP
B P
AB
，
∴当点
, ,
A P B三点共线时，PA
PB
的值最小，点P 为AB为直线l 的交点；
（2）作点E 关于BD 的对称点G ，过点G 作AB 延长线的垂线，垂足为点F ，连接
,
AG CG ，
∴
,
3
CE
CG DE
DG
，
∴AC
CE
AC
CG
AG
，
∴当点
, ,
A C G 三点共线时，AC
CE
的值最小，最小值为AG
∵AB
BD
，ED
BD
，
∴AF
EG
∥
，
∵GF
AF
，BD
AF
，
∴
15
BD
GF
，
同理
3
BF
DG
，
∴
5
3
8
AF
AB
BF
，
∴
2
2
17
AG
AF
FG
，
∴最小值为17 ；
（3）解：∵
2
2
2
2
2
2
1
9
4
1
1
3
0
4
1
0
x
x
x
x
，
∴代数式
2
2
1
9
4
1
x
x
的值表示点
,0
x
到点
1,3
和点
4,1 的距离之和，
设
,0
T x
，
1,3
A
，
4,1
B
，如图，过点A 作x 轴的对称点
1, 3
A
，连接A B
与x 轴交点即为点T ，此
时最小值即为A B
，
∴
2
2
1 4
3 1
41
A B
，
∴代数式
2
2
1
9
4
1
x
x
的最小值为
41 ．
题型6
利用勾股定理解决折叠问题
例11．如图，长方形纸片
,
6,
10
ABCD AB
AD
，将这张长方形纸片翻折，点D 落到BC 边点H 处，点C 落
到点G 处，折痕交边
,
AD BC 于点E，F，若
1
BH ，则AE 的长为
．
【答案】3.5
【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造
直角三角形是解题的关键．
过点E 作EP
BC
于点P，则
,
6
AE
BP EP
AB
，由折叠的性质以及平行线的性质可得
EFH
HEF
，
从而得到EH
FH
，在Rt FGH
中，利用勾股定理可得FH 的长，然后在Rt EPH
中，求出PH 的长，即
可求解．
【详解】解：如图，过点E 作EP
BC
于点P，则
,
6
AE
BP EP
AB
，
根据题意得：
6,
10
AB
CD
BC
AD
，AD
BC
∥
，
∴
H
DEF
EF
，
∵
1
BH ，
∴
9
CH
BC
BH
，
由折叠的性质得：
6,
HG
CD
FG
CF
，
DEF
HEF
，
∴
EFH
HEF
，
∴EH
FH
，
在Rt FGH
中，
2
2
2
FH
GH
FG
，
∴
2
2
2
6
9
FH
FH
，
解得：
6.5
FH
，
∴
6.5
EH
，
在Rt EPH
中，
2
2
2
2
6.5
6
2.5
PH
EH
PE
，
∴
3.5
AE
BP
．
故答案为：3.5
例12．如图，在ABC 中，
90
C
，把
ABC
沿直线DE 折叠，使
ADE
与
BDE
重合：
(1)若
10
CBD
，则
A
的度数为_____；
(2)若
12
AC
，
9
BC
，求AD 的长．
【答案】(1)40
(2)
75
8
AD
【分析】（1）由折叠性质得
A
DBA
，结合三角形内角和定理即可求解；
（2）由折叠性质得AD
BD
，设AD
BD
x
，则
12
CD
AC
AD
x
，结合勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：由折叠性质得
A
DBA
，
ABC
中，
180
C
A
ABC
，
即
180
C
A
DBA
CBD
，
又
90
C
，
10
CBD
，
180
90
10
40
2
A
DBA
，
故答案为：40；
（2）解：由折叠性质得AD
BD
，
设AD
BD
x
，则
12
CD
AC
AD
x
，
Rt BCD
中，
2
2
2
BC
CD
BD
，
即
2
2
2
9
12
x
x
，
解得
75
8
x
，
即
75
8
AD
．
【技巧总结】
1. 找等量：折叠前后对应边、角相等，设未知数表示相关线段。
2. 构直角三角形：利用折叠后重合点的位置，在折叠痕迹处构造直角三角形。
3. 列方程：用勾股定理a2+b2=c2 建立方程，解出未知边长。
【变式训练6-1】我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形ABCO
中，
90
A
ABC
C
AOC
，AB
CO
，AO
BC
，AB
CO
∥
，AO
BC
．将长方形OABC 沿OB
翻折，点A 的对应点为D，OD 与BC 交于点E，
4
OC
，
8
BC ．
(1)求CE 的长；
(2)
BDE
的面积为__________；
(3)如图2，点P 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着OA向终点A 运动，设点P 运动的时间为t
秒．当OPE
是等腰三角形时，求符合条件的t 的值；
【答案】(1)3
(2)6
(3)
2.5
t
或3 或25
12
【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握
以上性质．
（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出EO
EB
，假设OE
BE
x
，表示出相关线段的长度，然后利用
勾股定理列方程求解即可；
（2）利用（1）的结论
5
OE
BE
，求出三角形的底和高，然后求面积即可；
（3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵将该长方形沿OB 翻折，点A 的对应点为点D，OD 与BC 交于点E．
DOB
AOB
，
∵四边形OABC 是长方形，
BC
OA
．
OBC
AOB
，
OBC
DOB
，
EO
EB
；
设OE
BE
x
，则
8
CE
x
，
在Rt OCE
中，
4
OC
，根据勾股定理得，
2
2
2
OC
CE
OE
，
2
2
16 (8
)x
x
\
+
-
=
，
5
x
，
5
BE
，
3
CE
；
（2）解：由（1）得
5
OE
BE
，
∴
8
5
3
DE
OD
OE
，
根据翻折的性质得
4
BD
AB
CO
，
90
D
A
，
∴
BDE
的面积为1
1
3 4
6
2
2
DE BD
，
故答案为：6；
（3）解：①若OE
OP
，
2
5
t
，
2.5
t
；
②若OE
EP
，作EF
OP
于点F ，
2
OP
t
，OF
t
，
4
EF
OC
，
2
2
3
FO
OE
EF
，
6
OP
，
3
t
；
③若OP
PE
，则
2
OP
EP
t
，
4
EF
，
5
OE
，
3
OF
，
2
3
FP
t
，
2
2
2
4
(2
3)
(2 )
t
t
，
25
12
t
；
综上所述，
2.5
t
或3 或25
12 ．
【变式训练6-2】在长方形ABCD 中，
10,
8
AB
CD
BC
AD
．P 为BC 上一点，将ABP
沿直线AP 翻
折至
AEP
△
的位置（点B 落在点E 处）．
(1)如图1，当点E 在边CD 上时，求CP的长度．
(2)如图2，当点E 在边CD 外时，PE 与CD 相交于点F，AE 与CD 相交于点G，且FC
FE
，求BP 的长．
(3)如图3，已知点Q 为射线BA 上的一个动点，将
BCQ
△
沿CQ翻折，点B 恰好落在直线DQ 上的点B处，
求BQ 的长．
【答案】(1)3
(2)
20
3
BP
(3)4 或16
【分析】（1）根据折叠的性质可得
10
AE
AB
CD
，BP
PE
，再由勾股定理可得DE 的长，从而得
到CE 的长，然后根据
2
2
2
PC
CE
PE
，即可求解；
（2）证明
GEF
PCF
△
≌△
，可得
,
8
GF
PF EG
PC
x
，从而得到GC
EP
x
，
10
,
2
DG
x AG
x
，然后在Rt ADG
中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：当点Q 在线段AB 上时，根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得
10
QD
CD
=
=
，再
由勾股定理得DB的长，即可求解；当点Q 在BA 延长线上时，由勾股定理得DB的长，设BQ
B Q
x
，
则
6,
10
DQ
x
AQ
x
，然后在Rt
ADQ
△
中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
90
D
C
，
由折叠的性质得：
10
AE
AB
CD
，BP
PE
，
∵
8
AD
BC
，
∴
2
2
2
2
10
8
6
DE
AE
AD
，
8
PE
PC
，
∴
4
CE
CD
DE
，
在Rt
PCE
△
中，
2
2
2
PC
CE
PE
，
∴
2
2
2
4
8
PC
PC
，
解得：
3
PC ；
（2）解：由翻折的性质得：
,
10,
90
BP
EP AE
AB
E
B
，
∴
E
C
，
设BP
EP
x
=
=
，则
8
PC
x
，
∵
,
EFG
CFP FE
FC
，
∴
ASA
GEF
PCF
≌
，
∴
,
8
GF
PF EG
PC
x
，
GC
EP
x
，
∴
10
,
10
8
2
DG
CD
GC
x AG
AE
GE
x
x
，
在Rt ADG
中，由勾股定理得：
2
2
2
AD
DG
AG
，
∴
2
2
2
8
10
2
x
x
，
解得：
20
3
x
，
即
20
3
BP
；
（3）解：当点Q 在线段AB 上时，如图：
由翻折的性质得：
,
8,
,
90
CQB
CQB
B C
BC
BQ
B Q
CB Q
B
，
∴
90
CB D
，
∵四边形ABCD 是长方形，
∴CD
AB
∥
，
∴
DCQ
CQB
，
∴
DCQ
CQD
，
∴
10
QD
CD
=
=
，
∴
2
2
6
DB
CD
B C
，
∴
10
6
4
BQ
B Q
QD
DB
；
当点Q 在BA 延长线上时，如图：
由翻折的性质得：
,
8,
90
BQ
B Q B C
BC
B
B
，
∴
2
2
6
DB
CD
B C
，
设BQ
B Q
x
，则
6,
10
DQ
x
AQ
x
，
∵
90
BAD
，
∴
90
DAQ
，
在Rt
ADQ
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
AD
AQ
DQ
，
2
2
2
8
10
6
x
x
，
解得：
16
x
，
即
16
BQ
；
综上所述，BQ 的长为4 或16．
题型7
利用勾股定理的逆定理求解
例13．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在BC 上有一处古建筑，使得BC 的长不
能直接测出，于是工作人员在BC 上取一点D ，测得
120
AD
米，
50
BD
米后，又测得
130
AB
米，
150
AC
米．
(1)求证：
90
ADB
．
(2)求BC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
140
BC
米．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可推出
90
ADB
；
（2）根据勾股定理求出CD 的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：
120
AD
米，
50
BD
米，
130
AB
米，
2
2
2
AB
AD
BD
，
90
ADB
，
90
ADC
；
（2）解：
90
ADB
，
90
ADC
，
2
2
2
2
150
120
90
CD
AC
AD
（米），
50
90
140
BC
BD
CD
（米）．
例14．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A ，B ，且A ，B 均位于地下管道AC
的同侧，售卖机A ，B 之间的距离为500 米，管道分叉口M 与B 之间的距离为300 米，MN
AB
于点N ，
M 到AB 的距离为240 米，假设所有管道的材质相同．
(1)求B ，N 之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道AC 上的任意一处向售卖机B 引出的分叉管道中，BM 是这些分叉管道中最省材料的，
请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
【答案】(1)180 米
(2)珍珍的观点正确，见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
（1）因为MN
AB
，故利用勾股定理进行列式，解答即可；
（2）先运算
320m
AN AB
BN
=
=
，再利用勾股定理及其逆定理，证明BM
AM
即可．
【详解】（1）解：∵MN
AB
，
∴
90
BNM
．
在Rt
BMN
△
中，
300m
BM
，
240m
MN
由勾股定理得
2
2
180m
BN
BM
MN
，
即B，N 之间的距离为180 米；
（2）解：珍珍的观点正确，过程如下：
由（1）得
180m
BN
，
∴
500 180
320 m
AN
AB
BN
．
在Rt AMN
中，
由勾股定理得
2
2
400m
AM
AN
MN
．
∵
2
160000
AM
，
2
90000
BM
，
2
250000
AB
，
∴
2
2
2
AB
AM
BM
，
∴
90
AMB
，即BM
AM
，
∴BM 是垂线段，
∴BM 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
【技巧总结】
1. 判直角：已知三边长，计算较小两边的平方和与最大边的平方比较。
2. 证垂直：在几何题中，若三边满足a2+b2=c2，则边c 所对角为直角。
3. 建方程：设未知边长，利用逆定理列等式求值或证明垂直。
【变式训练7-1】为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目
式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测
量数据如表所示：
项目主题
为校园空地设计创意花坛
项目背景
“综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛．
实践工具
卷尺、铅笔等．
设计说明
如图，四边形ABCD 是校园里的一块空
地，线段AC 是将该空地分割成两块区
域的栅栏（宽度忽略不计），其中ACD
区域内种植矮牵牛，ABC
种植三色堇．
测量数据
90
BAC
，
4m
AB
CD
，
9m
BC
，
7m
AD
．
项目任务
分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积．
请你完成项目任务．
【答案】种植矮牵牛的面积为
2
14m ，种植三色堇的面积为
2
2 65m
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得
65m
AC
，进而由勾股定理的逆定理可证明ACD
是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵
4 m
AB
CD
，
9 m
BC
，
7 m
AD
在
ABC
中，
90
BAC
，
由勾股定理可得：
2
2
2
2
9
4
65m
AC
BC
AB
，
∴
2
65
AC
，
又∵
2
2
2
2
7
4
65
AD
CD
，
∴
2
2
2
AC
AD
CD
，则ACD
是直角三角形，AD
CD
，
∴种植矮牵牛的面积为
2
1
1
4
7
14m
2
2
AD CD
，
种植三色堇的面积为
2
1
1
4
65
2 65m
2
2
AB AC
．
【变式训练7-2】综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集
设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，
9m,
12m,
17m,
8m
AB
BC
CD
AD
，在CD 上选取两点E，
F 为浇灌点，从水源点G 处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G 处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G 作CD 的垂线，垂足为H，先从水源点G 处铺设管道到点H 处，再从点H 处分别向浇灌点
E，F 铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点
之间的距离，就确定了
90
ABC
．
(1)施工人员测量的是点与点之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100 元，求建造绿化地的费用．
(3)若
90
EGF
，
10m
8m
EF
EG
,
，管道铺设费用为50 元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案
所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
【答案】(1)A，C
(2)建造绿化地的费用为11300 元
(3)方案一所花的费用700 元方案二所花的费用740 元，铺设管道所需的最少费用为700 元
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．
（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证
90
DAC
，再计算
2
1
60m
2
DAC
S
AD AC
，
2
1
54m
2
ACB
S
AB BC
，最后相加，即可作答；
（3）根据勾股定理得到
2
2
2
2
10
8
6 m
FG
EF
EG
，根据三角形的面积公式得到
8 6
24m
10
5
EG FG
HG
EF
，求得方案一：铺设管道所花的费用
6
8
50
700
（元），方案二：铺设
管道所花的费用
24
10
50
740
5
（元），于是得到结论．
【详解】（1）解：连接AC ，
施工人员测量的是A，C 两点之间的距离，
∵
9m
12m
AB
BC
,
,
90
ABC
∴
2
2
2
2
2
9
12
225
AC
AB
BC
，
∴
15m
AC
，
即当测量A，C 两点之间的距离为15m
∴满足勾股逆定理得
2
2
2
AB
BC
AC
；
∴
90
ABC
，
故答案为：A，C；
（2）解：∵
2
2
2
2
8
15
289
AD
AC
，
2
2
17
289
DC
，
∴
2
2
2
AD
AC
DC
，
∴
90
DAC
，
∴
2
1
1
8 15
60 m
2
2
DAC
S
AD AC
，
∴
2
1
1
9 12
54 m
2
2
ACB
S
AB BC
∴四边形ABCD 的面积
2
60
53
113 m
，
∴建造绿化地的费用100 113
11300
（元）；
（3）解：∵
90
10m
8m
EGF
EF
EG
,
,
，
∴
2
2
2
2
10
8
6 m
FG
EF
EG
∵GH
EF
，
∴
1
2
1
2
EGF
S
EG FG
EF GH
，
∴
8 6
24 m
10
5
EG FG
HG
EF
∴求得方案一：铺设管道所花的费用
6
8
50
700
（元），
方案二：铺设管道所花的费用
24
10
50
740
5
（元），
∵740
700
∴铺设管道所需的最少费用为700 元．
题型8
勾股定理的证明方法
例15．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个
全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a
b
），斜边为c，
请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：
2
2
2
a
b
c
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求
2
a
b
的值．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确, ,
a b c 与面积的关系．
（1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可；
（2）由图可得到
2
(
)
3
a
b
和
2
2
13
a
b
的值，进而求出2
10
ab
，代入
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
，即可得到
结论．
【详解】（1）证明：∵大正方形面积为
2c ，直角三角形面积为2ab ，小正方形面积为
2
b
a
，
∴
2
2
2
2
1
4
2
2
2
c
ab
a
b
ab
a
ab
b
∴
2
2
2
c
a
b
．
（2）解：大正方形面积为13，
2
13
c
，
2
2
2
a
b
c
，
2
2
13
a
b
，
又小正方形面积为3，
2
(
)
3
a
b
，
2
2
2
3
a
ab
b
，
2
10
ab
，
2
2
2
(
)
2
13 10
23
a
b
a
ab
b
．
例16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，
也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
取4 个与Rt
ABC
△
（图1）全等的三角形，其中
90
C
，AB
c
，BC
a
，AC
b
，把它们拼成边长为a
b
的正方形DEFG ，其中四边形MNOP 是边长为c 的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理．
(2)应用勾股定理
①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1 的点D 和表示4 的点A，过点
A 作直线l 垂直于DA ，在l 上取点B，使
2
AB
，以点D 为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴在点D 右
侧的交点C 表示的数是________；
②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度
0.5m
BE
，
将它往前推至C 处时，水平距离
2m
CD
，踏板离地的垂直高度
1.5m
CF
，它的绳索始终拉直，求绳索AC
的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①13
1
；②绳索AC 的长为2.5m
【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的
应用．
（1）根据正方形DEFG 的面积为
2
a
b
，或
2
2
1
4
2
2
c
ab
c
ab
，即可得到
2
2
2
a
b
c
ab
，化简即
可证明；
（2）①根据勾股定理求出DB，根据实数与数轴解答即可；
②设秋千的绳索长为m
x
，根据题意可得
1 m
AD
x
，利用勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，正方形DEFG 的边长为a
b
，则面积为
2
a
b
，
又正方形DEFG 由正方形MNOP 和4 个全等的三角形组成，故面积为
2
2
1
4
2
2
c
ab
c
ab
，
∴
2
2
2
a
b
c
ab
，
即
2
2
2
2
2
a
ab
b
c
ab
，
∴
2
2
2
c
a
b
．
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
（2）解：①∵在Rt DBA
中，
4 1
3
AD
，
2
AB
，
∴
2
2
2
2
3
2
13
DB
DA
AB
，
∴
13
DC
DB
，
∴点C 表示的数是13
1
，
答案为：13
1
；
②∵
1.5m
CF
，
0.5m
BE
，
∴
1m
DB
．
设秋千的绳索长为m
x
，即
m
AB
AC
x
，
∴
1 m
AD
AB
BD
x
，
∵在Rt
ACD
△
中，
2
2
2
AD
CD
AC
，
∴
2
2
2
1
2
x
x
，
解得：
2.5
x
．
∴绳索AC 的长为2.5m．
【技巧总结】
1. 面积法：用四个全等直角三角形拼成大正方形，列面积等式导出a2+b2=c2。
2. 相似法：作斜边上的高，由相似三角形对应边成比例推得。
3. 等积变形：通过割补图形，保证总面积不变，建立方程。
【变式训练8-1】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长
都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为
2c ，也可以表示为
2
1
4
(
)
2 ab
a
b
´
+
-
，由此推导出重要
的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为,a b ，斜边长为c ，则
2
2
2
a
b
c
．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点
,
A B ，AB
AC
，由于某种原
因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点
( ,
,
H A H B 在同一条直线
上），并新修一条路CH ，且CH
AB
．测得
0.8
CH
千米，
0.6
HB
千米，求新路CH 比原路CA 少多少
千米？
【问题拓展】
（3）
ABC
中，
10,
17,
21,
AC
BC
AB
CH
AB
，垂足为H ，请求出CH 的值．
【答案】（1）见解析；（2）1
30 千米；（3）8
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
（1）利用梯形ABCD 的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设AB
AC
x
千米，在Rt ACH
中，根据勾股定理
2
2
2
CA
CH
AH
得到
2
2
2
0.8
0.4
x
x
，解得
5
6
x
，即
5
6
CA
千米，即可得到答案；
（3）在Rt ACH
中，
2
2
2
CH
CA
AH
，在Rt
BCH
△
中，
2
2
2
CH
CB
BH
，则
2
2
2
2
CA
AH
CB
BH
，
则
2
2
2
2
10
17
21
y
y
，解得：
6
y
，利用勾股定理即可得出
8
CH
．
【详解】（1）解：梯形ABCD 的面积为
2
2
1
1
1
(
)(
)
2
2
2
a
b a
b
a
ab
b
+
+
=
+
+
，
也可以表示为
2
1
1
1
2
2
2
ab
ab
c
，
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
ab
ab
c
a
ab
b
\
+
+
=
+
+
，即
2
2
2
a
b
c
；
（2）设AB
AC
x
千米，
(
0.6)
AH
AB
BH
x
千米，
在Rt ACH
中，根据勾股定理得：
2
2
2
CA
CH
AH
，
2
2
2
0.8
(
0.6)
x
x
，
解得
5
6
x
，即
5
6
CA
千米，
5
1
0.8
6
30
CA
CH
(千米)，
答：新路CH 比原路CA 少1
30 千米；
（3）解：如图，
设AH
y
，
21
BH
AB
AH
y
，
CH
AB
，
10
AC
，
17
BC
，
21
AB
，
根据勾股定理：
在Rt ACH
中，
2
2
2
CH
CA
AH
，
在Rt
BCH
△
中，
2
2
2
CH
CB
BH
，
2
2
2
2
CA
AH
CB
BH
，
即
2
2
2
2
10
17
21
y
y
，
解得：
6
y
，
6
AH
，
2
2
10
6
8
CH
\
=
-
=
．
【变式训练8-2】【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们
对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在
1994 年构造发现了一个简洁优美的新证法．
【证法再现】
如图，把两个全等的直角三角形DAE
和
ABC
如图1 放置，其三边长分别为a，b，c．显然，
90
DAB
B
，
AC
DE
．请用a，b，c 分别表示出梯形ABCD，EBC
．四边形AECD 的面积：
ABCD
S
梯形
______，
EBC
S
△
______，
AECD
S
四边形
______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过
程；
【知识运用】
如图2，河道上A，B 两点(看作直线上的两点)相距160 米，C，D 为两个菜园(看作两个点)，AD
AB
，BC
AB
，
垂足分别为A，B，
70
AD
米，
50
BC
米，现在菜农要在AB 上确定一个抽水点P，使得抽水点P 到两个
菜园C，D 的距离和最短．
(1)请在图2 中确定点P 的位置，并说明理由；
(2)该最短距离和为多少米？
【答案】证法再现：
1
2 a a
b
，
1
2 b a
b
，
2
1
2 c 证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200 米
【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理
常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．
证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
知识运用：（1）作点C 关于AB 的对称点F，连接DF 交AB 于点P，连接PC ，点P 即为所求．
（2）运用勾股定理求出DF ，就是代数式PC
PD
的最小值，
【详解】证法再现：由题意，
1
2
ABCD
S
a a
b
四边形
，
1
2
BEC
S
b a
b
，
2
1
2
EBC
AECD
ABCD
S
S
S
c
四边形
四边形
．
满足关系式：
2
1
1
1
2
2
2
a a
b
b a
b
c
．
整理得：
2
2
2
a
b
c
；
故答案为：
1
2 a a
b
，
1
2 b a
b
，
2
1
2 c ．
知识运用：(1)作点C 关于AB 的对称点F ，连接DF ，PC ，
,
PD PF ，如图．
∴PF
PC
又PD
PF
DF
,
当
, ,
D P F 三点共线时，PD
PF
的最小值为DF ，
PC
PD
的最小值为DF ，此时点P 到两个菜园C，D 的距离和最短．
（2）作DE
BC
交BC 的延长线于E．
在Rt
DEF
△
中，∵
160
DE
AB
米，
120
EF
AD
BC
米，
∴
2
2
200
DF
DE
EF
（米）．
故答案为：200．
1．在
ABC
中，
A
，
B
，
C
的对边分别是a ，b ，c ，下列条件所对应的
ABC
中，不是直角三角形
的是（
）
A．
2
3
A
B
C
B．
3
a
，
4
b
，
5
c
C．
:
:
1:1: 2
A
B
C
D．
2
2
2
a
b
c
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的判定，利用三角形内角和定理与勾股定理逆定理，计算各选项的角度或边
长关系，即可求解．
【详解】解：∵三角形内角和为180，
对选项A，设
A
x
，由
2
3
A
B
C
，
得
2
x
B
，
3
x
C
，
则
180
2
3
x
x
x
，
解得
1080
11
x
，则
1080
11
A
，
540
11
B
，
360
11
C
，三个内角均不为90，故△ABC 不是
直角三角形；
对选项B，
2
2
2
3
4
25
5
，满足勾股定理逆定理，
ABC
是直角三角形；
对选项C，设三个角分别为x ，x ，2x ，则
2
180
x
x
x
，
解得
45
x
，得最大角2
90
x
，
ABC
是直角三角形；
对选项D，由
2
2
2
a
b
c
移项得
2
2
2
a
c
b
，满足勾股定理逆定理，
ABC
是直角三角形；
综上，不能判断
ABC
为直角三角形的是A 选项．
2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、
B 、C 、D 的面积分别是4 、9、9、36，则最大正方形E 的面积是（
）
A．14
B．34
C．58
D．72
【答案】C
【分析】根据勾股定理可得大正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 的面积的和，代入数据，即可求
解．
【详解】解：如图，
根据勾股定理可得正方形F 的面积等于正方形
,
A B 的面积，
正方形G 的面积等于正方形
,
C D 的面积，
正方形E 的面积等于正方形
,
F G 的面积，
∴大正方形E 的面积
4
9
9
36
58
．
3．如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则下列结论错误的是（
）
A．
2
20
AB
B．
90
BAC
C．
ABC
的面积为10
D．点A 到直线BC 的距离是2
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
【详解】解：A、
2
2
2
2
4
20
AB =
+
=
，正确，不符合题意；
B、
2
2
2
1
2
5
AC
，
2
2
2
2
4
20
AB =
+
=
，
2
2
2
3
4
25
BC
，
2
2
2
AC
AB
BC
，
90
BAC
，正确，不符合题意；
C、
1
1
1
4
4
3 4
1 2
2
4
5
2
2
2
ABC
S
△
，结论错误，符合题意；
D、设点A 到直线BC 的距离为h ，
2
2
2
3
4
25
BC
，
5
BC
，
则1
5
5
2
h
，
解得
2
h
，即点A 到直线BC 的距离是2，正确，不符合题意．
4．如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，将ABE
沿直线BE 翻折，得到FBE
，
连接DF ，当DF 的长最小时，DE 的长为（
）
A．2 2
B．2 2
2
C．4
2 2
D．2
【答案】C
【分析】由翻折的性质可知，点F 在以点B 为圆心，BF 为半径的圆上运动，当点B 、F 、D 三点共线时，
DF 的长最小，求出DF ，设此时DE
x
，利用勾股定理列方程，即可解得答案．
【详解】解：由翻折的性质可知，
2
AB
BF
，
∴点F 在以点B 为圆心，BF 为半径的圆上运动，
当点B 、F 、D 三点共线时，DF 的长最小，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
2
AB
AD
BF
，
90
BAD
BFE
，
∴
2
2
2 2
BD
AB
AD
，
此时
2 2
2
DF
BD
BF
，
设此时DE
x
，则
2
AE
EF
x
，
在Rt
DEF
△
中，
2
2
2
DF
EF
DE
，
即
2
2
2
2 2
2
2
x
x
，
解得=4
2 2
x
．
5．若三角形的三边长为a、b、c，且满足
2
(
3)
|
4|
5
5
a
b
c
c
，则该三角形的面积为________．
【答案】6
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定c 的值，再利用非负数的性质求出,a b 的值，最后根据勾股定理
的逆定理判断三角形形状，计算三角形面积即可.
【详解】解：由题意，
5
0,5
0
c
c
，解得
5
c
，
将
5
c
代入原式得
2
(
3)
4
0
a
b
，
∴
3
0
a
，
4
0
b
，
解得
3
a ，
4
b
，
2
2
2
2
2
2
3
4
25
5
a
b
c
，
该三角形是直角三角形，直角边长为3和4 ，
面积为1
3 4
6
2
.
6．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿
A
B
C
D
顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为__________．
【答案】3
5
【分析】由题意可得：
2
AB
，
1
CD ，由勾股定理求出BC ，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：作CE
AB
交AB 于点E ，
由题意，得
1
BE ，
2
EC
，
在Rt BEC
中，由勾股定理，得
2
2
2
BC
BE
EC
，
∴
2
2
2
2
1
2
5
BC
BE
EC
，
又∵
2
AB
，
1
CD ，
∴按手势解锁一次的路径长为：
2
5
1
3
5
AB
BC
CD
．
7．如图1，这个图案是3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受
这幅图的启发，尝试解决如下问题：如图2，正方形ABCD 中，
,
3
AE
DE DE
，则CDE
的面积是
___________．
【答案】9
2
【分析】根据题意可知正方形ABCD 可以由四个全等的直角三角形拼接而成，画出对应的示意图可得CDE
的边DE 上的高CF 满足DE
CF
，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，根据题意可知正方形ABCD 可以由四个全等的直角三角形拼接而成，其中中间的
四边形EFGH 也是正方形，
∴DF
CF
，DE
CF
，
∴
1
1
9
3 3
2
2
2
CDE
S
DE CF
△
．
8．在
ABC
中，
90
ABC
，
30
C
，
4
BC
，D 是BC 的中点，P 为边AC 上一动点，连接DP ，将
CDP
△
沿DP 翻折，得到C DP
，当C D
与AC 垂直时，CP 的长为___________．
【答案】2 3 或2 3
3
【分析】由折叠的性质可知C PD
CPD
≌
，根据点P 位置的不同，分两种情况讨论，结合勾股定理，30角
所对的直角边是斜边的一半，求出CP 的长度．
【详解】解：
CDP
△
沿DP 翻折，得到C DP
，
C PD
CPD
≌
，
CD
C D
¢
=
，
CP
C P ，
30
C
C
，
有两种情况，
①点P 在C D
左侧，延长C D
，交AC 于点E，如下图
D 是BC 的中点，
1
1
4
2
2
2
CD
BC
，
2
C D
CD
，
C D
与AC 垂直，
30
C
，
1
1
2
1
2
2
DE
CD
，
2
2
2
2
1
3
CE
CD
DE
，
在PC E
中，
90
PEC
，
30
C
，
1
1
2
2
PE
C P
CP
，即点E 是CP 中点，
2
2 3
CP
CE
，
②点P 在C D
右侧，如下图
C D
AC
，
30
C
C
，
1
2
DE
CD
，
90
90
30
60
C PE
C
，
D 是BC 的中点，
1
1
4
2
2
2
CD
BC
，
1
1
2
1
2
2
DE
CD
，
在CDE
中，
90
CED
，
2
2
2
2
1
3
CE
CD
DE
，
C PD
CPD
≌
，
1
1
180
180
60
120
2
2
C PD
CPD
C PE
，
180
30
PDC
C
CPD
，
CP
DP
，
在Rt
DEP
△
中，
1
1
2
2
EP
DP
CP
，
1
3
2
CP
CE
EP
CP
，
解得
2
3
3
CP
，
综上所述，CP 的长为2 3 或2 3
3
．
9．如图，在
ABC
中，
90 ,
30
ACB
B
，作BC 的垂直平分线DE ，交BC 于点E ，交AB 于点D ．
(1)判断ACD
的形状，并说明理由．
(2)若
1
DE ，求
ABC
的周长．
【答案】(1)等边三角形，理由见详解
(2)6
2 3
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握30直角三角形的特点是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的性质得DB
DC
，则
60
ADC
，在结合三角形内角和定理得
60
A
，即可确
定ACD
的形状；
（2）根据（1）可推得
2
AC
，根据30直角三角形的特点得
4
AB
，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：ACD
为等边三角形，理由如下，
∵
90
ACB
，
30
B
，
∴
60
A
，
∵DE 垂直平分BC ，
∴DB
DC
，
∴
30
B
DCB
，
∴
60
ADC
，
则ACD
为等边三角形；
（2）解：由（1）可知，ACD
为等边三角形，
则CD
AD
BD
，即D 为AB 的中点，
∵DE 垂直平分BC ，即点E 是BC 的中点，
∴DE 是ABC
的中位线，
∴
2
2
AC
DE
，
∵
30
B
，
∴
2
4
AB
AC
，
∴
2
2
2 3
BC
AB
AC
，
则
ABC
的周长为
4
2 3
2
6
2 3
AB
BC
AC
．
10．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小
明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的
水平距离BD 为15m ；根据手中余线长度，计算出AC 的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB 为
1.5m ．已知点A，B，C，D 在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在余线仅剩7.5m 的情况下，若想要风筝沿射线DC 方向再上升12m ，请问能否成功？请运用数学知识说
明．
【答案】(1)9.5m
(2)不能成功，理由见解析．
【分析】（1）过点A 作AE
CD
于点E ，在Rt AEC
中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升12m ，
作图RtAEF ，根据勾股定理可得
25m
AF
，再根据题意，17
7.5
24.5
25
，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
过点A 作AE
CD
于点E ，则
15
AE
BD
m
，
1.5
AB
DE
m
，
90
AEC
，
在Rt AEC
中，
2
2
2
2
17
15
8 m
CE
AC
AE
，
8 1.5
9.5 m
CD
CE
DE
；
（2）不能成功，理由如下：假设能上升12m ，如图所示，
延长DC 至点F ，连接AF ，则
12m
CF
，
8 12
20 m
EF
CE
CF
，
在Rt AEF
中，
2
2
2
2
15
20
25 m
AF
AE
EF
，
17
AC =
m
，余线仅剩7.5m ，
17
7.5
24.5
25
，
不能上升12m ，即不能成功．
11．如图1，某公园内有一条笔直的马路EF ，马路EF 同侧有观景台A 、凉亭B ，已知AC
EF
于点
,
C BD
EF
于点
,
700m,
100m
D AC
BD
，
800m
CD
．
请结合所学知识，解决下列问题：
(1)【基础应用】
观景台A 与凉亭B 之间的直线距离AB __________ m ；（直接写出结果）
(2)【核心探究】如图2，现计划在路段CD之间放置一个自动售货点G ，使G 到A，B 两处的距离相等，该
自动售货点G 应修建在离点C 多少米处？
(3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路EF 边上设置一个便民服务点M ，使得M 到A、
B 两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出M 到A、B 两处的距离之和最小值（结果保留根号）．
【答案】(1)1000
(2)自动售货点G 应修建在离点C100 米处
(3)800 2m
【分析】（1）连接AB ，过点B 作BG
AC
于点G，易得四边形CDBG 是矩形，再由勾股定理即可求AB 的
长；
（2）设
m
CG
x
，则
800
m
DG
CD
CG
x
，由勾股定理分别表示出AG 、BG ，再根据AG
BG
，列
方程求解即可；
（3）作点B 关于EF 对称的点B，连接AB交EF 于点M，连接BM ，作B H
AC
交AC 延长线于H，则M
到A、B 两处的距离之和最小值即为AB，易得四边形B HCD
是矩形，由勾股定理求AB即可；
【详解】（1）解：如图，连接AB ，过点B 作BG
AC
于点G，
∵AC
EF
，BD
EF
，BG
AC
，
∴四边形CDBG 是矩形，
∴
m
100
CG
BD
，
800m
BG
CD
，
∴
700 100
600m
AG
AC
CG
，
在Rt
ABG
△
中，
2
2
2
2
600
800
1000m
AB
AG
BG
；
（2）解：设
m
CG
x
，则
800
m
DG
CD
CG
x
，
∴
2
2
2
2
700
AG
AC
CG
x
，
2
2
2
2
800
100
BG
GD
BD
x
，
∵G 到A，B 两处的距离相等，
∴AG
BG
，
∴
2
2
2
2
700
800
100
x
x
，
解得
100
x
，
∴自动售货点G 应修建在离点C 100 米处；
（3）解：如图，作点B 关于EF 对称的点B，连接AB交EF 于点M，连接BM ，作B H
AC
交AC 延长
线于H，则
100m
BD
B D
，
90
H
，
可知四边形B HCD
是矩形，
∴
100m
CH
B D
，
800m
B H
DC
，
∴
800m
AH
AC
CH
B H
，
∴
2
2
800 2m
AB
AH
B H
，
∵AM
BM
AM
B M
，
∴AM
BM
的最小值为AB，
即M 到A、B 两处的距离之和最小值为800 2m ．
12．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、
最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国
历代数学家的贡献独树一帜．
【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直
角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1 所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理．
(1)请你根据上述思路证明：
2
2
2
a
b
c
．
【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题：
(2)如图1，若
2
b
a
，那么小正方形面积:大正方形面积的比值等于．
(3)如图2，小明先将图1 上方的两直角三角形向内折叠，如果
3,
5
a
b
，那么空白部分的面积等于．
(4)如图3，小明再将4 个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28 ，
2
OC
，
求该风车状图案的面积．
【答案】(1)见解析
(2)5:9
(3)19
(4)154
9
【分析】（1）根据大正方形面积
4
个小三角形面积+小正方形面积，即可得证．
（2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；
（3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可，
（4）可设AC
x
，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵大正方形面积
4
个小三角形面积+小正方形面积，
∴
2
2
1
(
)
4 2
a
b
ab
c
，即
2
2
2
2
2
a
b
ab
ab
c
，
∴
2
2
2
a
b
c
．
（2）解：∵
2
2
c
a
b
，
2
b
a
，
∴
5
c
a
，
∴小正方形面积:大正方形面积
2
2
5
3
5:9
a
a
:
，
故答案为：5 9
∶；
（3）根据题意得
2
2
2
2
3
5
34
c
a
b
，
∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，
∴空白部分的面积
2
1
34
2
3 5
19
2
．
（4）如图，
根据题意得
28
4
7
AB
AC
，
2
OB
OC
，
设AC
x
，则
2
OA
x
，
7
AB
x
，
在Rt
ABO
△
中，
2
2
2
OA
OB
AB
，
即
2
2
2
2
2
7
x
x
，
解得
41
18
x
，
∴
77
18
OA
，
∴该风车状图案的面积
1
77
154
4
4
2
2
2
18
9
AOB
S
OA OB
△
．
