专题03 三角形
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
判断三边是否能构成三角形
题型2
判断是否能使两三角形全等
题型3
利用三边关系化简绝对值
题型4
根据三角形的中线求解
题型5
利用三角形的中线、高线、角平分线求解
题型6
利用全等三角形的性质求解
题型7
与全等三角形有关的多结论问题
题型8
全等三角形的判定与性质综合
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 三角形内角和定理及直角三角形的
两锐角互余。
2. 三角形三边关系：两边之和大于第
三边。
3. 重要线段：中线、角平分线、高线。
4. 全等三角形：判定（SSS、SAS、ASA、
AAS）与性质应用。
5. 全等测距：利用全等解决实际问题。
1.
强化全等证明规范：从直观判断转向严谨的演绎推理，重
点考查判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）的准确选取及证明
过程的逻辑层次。
2.
注重尺规作图融合：新增或强化已知三边、两边及其夹角
作三角形，常与全等性质综合考查。
3.
突出实际情境应用：利用全等三角形测距（如河宽、零件
检验）成为应用题热点。
4.
渗透数学思想：涉及分类讨论（等腰三角形边角不确定）、
转化与建模思想。
考情解码：根据2026 年新教材考情，第四章《三角形》在夯实基础知识的同时，显著强化了逻辑推
理与作图能力。核心考查点包括三角形内角和定理及三边关系的实际应用，以及按角度或边长对三角
形进行分类。重点聚焦全等三角形的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）与性质的灵活对应，避
免“边边角”的错误。高频题型为几何证明的说理填空、利用尺规作三角形，以及结合生活情境（如
测量距离）构造全等解决问题。
知识点一三角形有关概念
1.三角形有关概念：
(1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.
（2）直角三角形两个锐角互余。
(3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；
三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；
三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。
三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；
2.三角形基本元素的定理
(1)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边.
(2)三角形的内角和等于180.
3.三角形的分类
(1)按边分类可以分为
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
；
(2)按角分类可以分为
锐角
直角
钝
三角形
三角形
三角形
角
【易错警示】
- 三边关系：任意两边之和大于第三边，之差小于第三边，判断能否构成三角形时勿只验一组。
- 高、中线、角平分线：都是线段；钝角三角形的高可能在外部，勿遗漏。
- 稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具有。
即时即练1．一个三角形的三边长分别为2，5，x．
(1)求x 的取值范围；
(2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长．
2．（1）在
ABC
中，AD 是
BAC
的平分线，BE 是AC 边上的中线．若
40
BAD
，则
BAC
；
若
6
AC
cm，则AE
cm．
（2）在
ABC
中，AB
AC
，AD 是边BC 上的中线，
ABC
的周长为34cm，
ABD
△
的周长为30 cm，则
AD
cm．
知识点二全等三角形的性质
1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；
相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角；
2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.画三角形
（1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边.
【易错警示】
- 对应：全等则对应边相等、对应角相等，需找准对应顶点，勿错配。
- 用途：性质用于“已知全等推边角相等”，不可用性质直接证明全等。
- 注意：周长、面积相等是推论，但面积相等的三角形不一定全等。
即时即练如图，
ABC
DEC
≌
△
△
，
2
BC
，
3
CD
，点B，C，D 在同一直线上，点E 在AC 上，延长DE 交
AB 于点F．
(1)求AE 的长；
(2)求
BFD
的度数．
知识点三全等三角形的判定
判定方法
简记
条件
三边对应相等
SSS
三条边分别相等
两边及其夹角对应相等
SAS
两边及夹角分别相等
两角及其夹边对应相等
ASA
两角及夹边分别相等
两角及其中一角的对边对应相等
AAS
两角及一对边分别相等
注意：AAA（三角对应相等）只能判定相似，不能判定全等；SSA 不能判定全等。
【易错警示】
- SSA（或ASS）不能判定全等。
- AAA 不能判定全等，只能判定相似。
- 对应：判定条件中的边角必须是对应边和对应角，书写顺序要一致。
- 公共边、公共角、对顶角是隐含条件，勿遗漏。
即时即练如图，在△ADE 和△BCF 中，A ，C ，D ，B 四点在同一直线上，AC
BD
，AE
BF
，DE
CF
．
(1)求证：
E
F
；
(2)若
38
F
，
104
A
，求
EGC
的度数．
知识点四利用三角形全等测距离
原理：构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，测量不可直接测量的距离（如池塘宽度、河
宽等）。
常见方案：
测量情境
构造全等方法
池塘宽度
SAS（构造对顶角相等）
河宽
ASA（构造同位角相等）
底部不可达的高度
AAS 或ASA
【易错警示】
- 构造全等：构造时要确保对应边、对应角相等，常用SAS 或ASA。
- 误差：忽略测量误差或工具精度，结果会不准确。
- 条件：假设不可测点要能通过全等转化为可测线段，注意不能直接用SSA。
即时即练王强同学用10块高度都是4cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好
可以放进一个等腰直角三角板
,
90
AC
BC
ACB
，点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合．
(1)求证：
ADC
CEB
△
≌△
；
(2)求两堵木墙之间的距离；
(3)求四边形ABED 的面积．
题型1
判断三边是否能构成三角形
例1．下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是（
）
A．1，2 ，4
B．8 ，6 ，4
C．15，5，6
D．1，3，4
例2．下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（
）
A．1cm 2cm 3cm
，
，
B．2cm 3cm 4cm
，
，
C．3cm 4cm 5cm
，
，
D．5cm 6cm 10cm
，
，
【技巧总结】
只需验证任意两边之和大于第三边，实际操作中取最小两边和与最大边比较即可，注意等于时无法构成，
排除三点共线，单位统一后计算，避免遗漏或重复验证。
【变式训练1-1】下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（
）
A．4cm 4cm 8cm
，
，
B．8cm 16cm 7cm
，
，
C．11cm 5cm 5cm
，
，
D．13cm 10cm 20cm
，
，
【变式训练1-2】以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（
）
A．4
,5
,6
cm
cm
cm
B．7
,8
,16
cm
cm
cm
C．4
,4
,8
cm
cm
cm
D．3
,5
,10
cm
cm
cm
题型2
判断是否能使两三角形全等
例3．根据下列已知条件，能唯一画出
ABC
的是（
）
A．
5,
4,
10
AB
BC
CA
B．
45 ,
70 ,
6
A
B
AB
C．
4,
3,
30
AB
BC
A
D．
90 ,
6
C
AB
例4．下列选项所给条件不能画出唯一
ABC
的是（
）
A．
50 ,
30 ,
2
A
B
AB
B．
50 ,
30 ,
9
A
B
BC
C．
30 ,
8,
7
A
AB
BC
D．
5,
6,
9
AC
AB
BC
【技巧总结】
检查已知条件是否符合SSS、SAS、ASA、AAS，注意边角对应位置，SAS 中角必须是夹角，SSA 不一定全等，
可举反例排除，图形隐含公共边或对顶角。
【变式训练2-1】如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，BE
CF
，
ACB
F
．只需添加一个条件
即可证明
ABC
DEF
≌△
△
，这个条件可以是_____．（写出一个即可）
【变式训练2-2】如图，给出下列四组条件：
①
,
,
AB
DE
C
F
A
D
；②
,
,
AB
DE
B
E BC
EF
；③
,
,
B
E BC
EF
C
F
；
④
,
,
AB
DE AC
DF
B
E
．其中能使
ABC
DEF
≌△
△
的条件是___________．
题型3
利用三边关系化简绝对值
例5．已知a，b，c 为三角形的三边，则式子|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
（
）
A．2a
B．2b
C．0
D．2
2
a
c
例6．已知
ABC
的三边分别为a、b、c，化简：a
b
c
a
b
c
c
b
a
．
【技巧总结】
1. 判正负：根据三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负。
2. 去绝对：正数直接去，负数变相反数。
3. 凑两边：将式子重组为(a+b-c)、(a-b-c)等形式，利用三边关系确定符号，再合并化简。
【变式训练3-1】若a ，b ，c 分别为
ABC
三边，化简：a
b
c
a
b
c
c
a
b
．
【变式训练3-2】a，b，c 为
ABC
的三边，化简：a
b
c
a
b
c
a
b
c
．
题型4
根据三角形的中线求解
例7．在
ABC
中，AB
AC
，ABC
的中线BD 将
ABC
的周长分为12 和15，则
ABC
的边BC 的长为_____．
例8．如图，
1
AP 为
ABC
的中线，
2
AP 为
1
APC
的中线，
3
AP 为
2
APC 的中线，，按此规律，
n
AP 为
1
n
AP C
的中线．
（1）若
12cm
AB
，
16cm
AC
，则
1
ACP
△
的周长与
1
△ABP 的周长相差_____cm．
（2）若
ABC
的面积为64，则
5
APC
的面积为_____．
【技巧总结】
中线平分对边，也平分面积；常构造全等或利用中点关系，倍长中线法可将分散条件集中，结合三角形三
边关系或勾股定理，设未知数列方程求边长或角度。
【变式训练4-1】如图，ABC
的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则AFG
的面积是________．
【变式训练4-2】如图，
ABC
的面积为7 ，分别倍长（延长一倍）AB
BC
CA
、
、
得到
1
1
1
A B C
△
，再分别倍
长
1
1
A B ，
1
1
B C ，
1
1
C A 得到
2
2
2
A B C
△
，，按此规律，倍长2026 次后得到的
2026
2026
2026
A
B
C
△
的面积为______．
题型5
利用三角形的中线、高线、角平分线求解
例9．如图，AD 为
ABC
的中线，BE 为
ABD
△
的角平分线．
(1)若
16
ABE
，求
ABD
的度数．
(2)若
ABC
的面积为60，
5
BD
，则点A 到BC 边的距离为多少？
例10．如图，在
ABC
中，AD 是BC 上的中线，点E 是AD 的中点，连接CE ，EF
BC
．
(1)若
20
DEF
，
37
BAD
，求
B
的度数；
(2)若
ABC
的面积为24 ，
4
CD
，求线段EF 的长度．
【技巧总结】
中线得中点与等面积，高线得垂直与直角三角形，角平分线得等角与到边等距；综合运用时，常作辅助线
构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理或等面积法列方程求解。
【变式训练5-1】如图，在
ABC
中，BE 是角平分线，点D 在边AB 上（不与点A，B 重合），CD 与BE 交
于点O．
(1)若CD 是中线，
7,
5
BC
AC
，则
BCD
△
与ACD
的周长差为______．
(2)若
64
ABC
，CD 是
ABC
的高，求
BOC
的度数．
【变式训练5-2】数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有
三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知
ABC
的高
cm
AD
ab
，面积为
2
2
2
2
cm
a b
ab
，求BC 的长度．
(2)小涵：如图2，已知D 是BC 中点，
2cm
AB
AC
，
16cm
ABD
C
△
，求
ACD
C
．
(3)小宇：如图3，已知AD 平分
BAC
，
40
B
，
60
C
，求
DAC
．
题型6
利用全等三角形的性质求解
例11．如图，已知
ABC
EBD
△
≌△
，若
5
AB ，
8
BD
，则CE 的长为
．
例12．如图，CA
AB
，垂足为A，
12
AB
厘米，
6
AC
厘米，射线BM
AB
，垂足为B，一动点P 从
点A 出发以3 厘米/秒的速度沿射线AN 运动，同时动点D 从点B 出发沿射线BM 运动．设点D 运动的速度
为v 厘米/秒，当
v
厘米/秒时，能够在某一时刻使
BPD
△
与
ABC
全等．
【技巧总结】
全等对应边等、角等、周长面积等；先证全等再转移条件，将未知边角转化为已知，常结合等腰或平行线，
通过等量代换建立关系，设未知数列方程求解，注意判定方法选择。
【变式训练6-1】如图，
≌
ABC
DCE ，
40
B
，
65
E
，点B
C
E
、、
在同一条直线上，则
ACD
的
度数为
．
【变式训练6-2】如图，
ABC
中，
90
ACB
，
3cm
AC
，
4cm
BC
，
5cm
AB
，直线l 经过点C 且
与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A
C
B
路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B
C
A
路径
向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm / s 和2cm / s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B
时计时结束．设运动时间为t 秒．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE
l
于点E，QF
l
于点F，当t
为何值时，PEC
与QFC
全等．
题型7
与全等三角形有关的多结论问题
例13．如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，CD 是AB 边的中线，AE 平分
CAB
，CF
AB
，AE 与CF 相
交于点G ．下列结论一定成立的是（
）
①ACD
与
BCD
△
的面积相等；②
ACF
B
；③
ACE
CFD
△
≌△
；④
CEG
CGE
A．①②
B．②③
C．①③④
D．①②④
例14．如图，在
ABC
中，AD 是BC 边上的高，
90 ,
,
BAF
CAG
AB
AF AC
AG
．连接FG ，交DA
的延长线于点E，连接
,
BG CF ．则下列结论：①BG
CF
；②BG
CF
⊥
；③EF
EG
；④
2
BC
AE
，其中
正确的有（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【技巧总结】
先证一组全等，再由全等推出边角关系，进而证其他全等；每个结论单独验证，注意顺序，从易到难，利
用已得结论，避免循环论证，常需多次全等转换条件。
【变式训练7-1】如图，AD 是
ABC
的中线，E，F 分别是AD ，AD 延长线上的点，连接BF ，CE ，且CE
BF
∥
，
有下列说法：①DE
DF
；②
ABD
△
和ACD
面积相等；③CE
BF
；④BDF
CDE
≌
；⑤
CEF
F
.
其中正确的有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式训练7-2】如图1，已知AB
AC
，D 为
BAC
的角平分线上一点，连接BD
CD
、
；如图2，已知AB
AC
，
D、E 为
BAC
的角平分线上两点，连接BD
CD
BE
CE
、
、
、
；如图3，已知AB
AC
，D、E、F 为
BAC
的角平分线上三点，连接BD
CD
BE
CE
BF
CF
、
、
、
、
、
；…，依此类推，第n 个图形中全等三角形的对数
是（
）
A．2
1
n
B．(
)
3
1
n +
C．
1
2
n n
D．
1
2
n n
题型8
全等三角形的判定与性质综合
例15．如图，BE ，CF 分别是
ABC
的边AC ，AB 上的高，且BP
CA
，AB
QC
．求证：
(1)
ABP
QCA
△
≌△
；
(2) AP
AQ
．
例16．如图，在四边形ABCD 中，AD
BC
∥
，E 为对角线BD 上一点，
180
A
CED
，且AD
BE
．
(1)求证：ABD
ECB
≌
．
(2)若
15
BC
，
9
DE
，求AD 的长．
【技巧总结】
先由边角条件判定全等，再应用性质得对应边角相等，从而转移条件证新关系；多次全等与等量代换是关
键，常作辅助线构造全等三角形，注意隐含公共边或对顶角。
【变式训练8-1】如图，在
ABC
中，D 是BC 的中点，连接AD ，E 是AB 边上一点，过点C 作CF
AB
∥
交
ED 的延长线于点F ．
(1)若AB
AC
，求证：AD
BC
．
(2)若
12
EF
，求DF 的长．
【变式训练8-2】【问题初探】
（1）如图①，
90
BAC
，AB
AC
，直线l 经过点A ，分别从点B ，C 向直线l 作垂线，垂足分别为D ，
E ，则DE ，BD ，CE 的数量关系是_____________；
【变式探究】
（2）如图②，
在
ABC
中，
90
BAC
，AB
AC
，直线l 经过点A ，分别从点B ，C 向直线l 作垂线，垂足分别为D ，
E ．已知
10
BD
，
5
CE
，求DE 的长；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以
ABC
的边AB ，AC 为一
边向外作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
，AB
AD
，AC
AE
，AF 是边BC 上的高．延长FA
交DE 于点G ，设
ADG
△
的面积为
1S ，
AEG
△
的面积为
2S ，猜想
1S ，
2S 的大小关系，并说明理由．
1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（
）
A．3，6，8
B．2，3，5
C．1，2，1
D．8，4，3
2．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（）
A．
4cm
AB
，
60
A
，
30
B
B．
4cm
AB
，
3cm
BC
，
30
A
C．
4cm
AB
，
6cm
BC =
，
30
B
D．
4cm
AB
，
5cm
BC
，
6cm
AC
3．如图，把等腰Rt
ACB
△
和等腰Rt
DCE
△
放在一起，A
C
D
、、
三点在一条直线上，其中
90
ACB
DCE
，点E 在CB 上，连接AE 交BD 于点F ．若
18,
21.1
AE
AF
，则
BDE
的面积为（
）
A．27.9
B．28.7
C．26.9
D．27.4
4．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰
ABC
的周长为10，其中
一条边长是3，则它的“优美比”是（
）
A．3
4
B．6
7
C．4
3 或6
7
D．3
4 或7
6
5．已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x 为整数，请写出一个满足条件的x 的值：______．
6．图1 是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2 所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段AB ，其像
可视为线段CD，光线AC 与光线BD 交于小孔点O．已知点O到像CD的距离OE 与点O到蜡烛火焰AB 的
距离OF 相等，且点E ，O，F 三点共线．像的高度CD为2cm ，则蜡烛火焰AB 的高度为_________cm．
7．如图，ABC
中，
4
AB
AC
，P 是BC 上任意一点，PE
AB
于点E，PF
AC
于点F，若
3
ABC
S
△
，
则PE
PF
________．
8．如图，
10
AB
cm
，
16
BC
cm
，
B
C
，如果点P 在线段BC 上以3
/ s
cm
的速度由B 点向C 点运动，
同时，点Q 从C 点出发以cm / s
x
的速度沿射线CD运动，经过t 秒后，若以A 、B 、P 为顶点的三角形与以P 、
C 、Q 为顶点的三角形全等，则x 的值是__________．
9．已知：如图，
ABD
CBE
，AB
BD
，BC
BE
，若
2
AD
，
3
DC
，
4
BC
．
(1)证明：ABC
DBE
≌
(2)求
DFC
△
与
BFE
△
的周长的和．
10．如图，CD是
ABC
的角平分线，E 是CD的中点，过点E 作EF
AB
于点F ，连接BE ．
(1)若
36
A
，
66
ABC
，求
DEF
的度数；
(2)若
8
BD
，
6
EF
，求BCE
的面积．
11．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明，
人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，风筝的一角(
)
E
缺失，为修补该风筝，现测得：
BAF
DAC
，
B
D
，AB
AD
，
50cm
AC
．
(1)求修补完风筝后AE 的长度．
(2)若
CHG
△
用纸面积为
2
75cm ，求EHF
的用纸面积．
12．ABC
和DBE
是两个角都是45的等腰直角三角形（BA
BC
，BE
BD
，
90
DBE
ABC
）的
三角板，
【问题初探】
(1)当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C 在同一直线上，连接AD 、CE ，请证明：
AD
CE ；
【类比探究】
(2)当三角板ABC 保持不动时，将三角板DBE 绕点B 顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD 与CE 的
数量关系，并说明理由．
13．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，AD 是
ABC
的中线，
8
5
AB
AC
，
，求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点E ，使DE
AD
，
连接BE ，根据SAS 可证
ADC
EDB
≌
△
△
，所以BE
AC
．接下来，在ABE
中利用三角形的三边关系可
求得AE 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是：________；
(2)如图2 ，
90
AB
AE
AC
AF
BAE
CAF
，
，
，点D 为BC 的中点，连接AD ．求证：
2
EF
AD
．
14．在Rt
ABC
△
中，
90
CAB
，AB
AC
，点D 为直线AB 上方一点，且
90
ADB
．
(1)如图1，过点C 作CE
AD
，
①求证：ACE
ABD
≌
；
②若
9
BD
，
20
CE
，求DE 的长．
(2)如图2，延长AD 交BC 于点F ，若BD 恰好平分
ABC
，且
8
DF
，请求出
ADC
△
的面积．
