专题05 全等三角形的基本解题模型
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
全等三角形模型之一线三等角模型
题型2
全等三角形模型之倍长中线模型
题型3
全等三角形模型之截长补短模型
题型4
全等三角形模型之手拉手模型
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 一线三等角模型
2. 倍长中线模型
3. 截长补短模型
4. 手拉手模型
1. 一线三等角模型：以同一直线上三个相等角为背景，结合坐标轴或几何图
形构造全等，侧重考查从复杂图形中剥离模型的抽象能力。
2. 倍长中线模型：已知三角形中线条件下，通过加倍延长构造全等，常与中
位线、线段不等关系综合，强调辅助线规范作法。
3. 截长补短模型：用于证明线段和差关系（如a+b=c），与角平分线、等腰
三角形性质深度结合，考查转化与构造思维。
4. 手拉手模型：以共顶点的两个等腰三角形旋转为背景，综合考查SAS 判定
及旋转角、对应边夹角等结论，常出现在压轴题。
考情解码：一线三等角模型侧重同一直线上三个相等角构造全等，常用于证明线段相等或角相等；
倍长中线模型通过加倍延长中线构造全等，解决中线相关问题；截长补短模型通过截取或延长线段证
和差关系；手拉手模型利用共顶点等腰三角形旋转证全等，高频考查综合运用。
知识点一全等三角形模型之一线三等角模型
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角
直角一线三等角（“K型图”）
钝角一线三等角
条件：
A
CED
B
，AE=DE；
结论：ABE
ECD
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角
直角一线三等角
钝角一线三等角
条件：
DCF
ABC
AED
，AE=DE；
结论：ABE
ECD
，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
，BE
CD
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
DCF
ABC
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
ABC
AEB
A
，∠AED=∠AEB+∠CED，
ABC
AED
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
，BE
CD
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
【易错警示】
- 找等角：利用平角180°及三角形内角和推导等角，勿直接假设第三个角相等。
- 对应顶点：等角顶点需对应，对应边找准，否则全等判定易错。
- 分类：等角可在同侧或异侧，注意锐角、钝角情况。
即时即练综合与实践
在直线m 上依次取互不重合的三个点D 、A 、E ，在直线m 上方有AB
AC
，且满足
BDA
AEC
BAC
(1)如图1，当
90
时，猜想线段DE 、BD 、CE 之间满足的数量关系，并进行证明；
(2)如图2，当0
a
180时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证
明；
(3)如图3，在△ABC 中，
BAC
是钝角，AB
AC
，BAD
CAE
，
BDA
AEC
BAC
，直线m 与
CB 的延长线交于点F ，若
3
BC
BF
，△ABC 的面积是12，请求出△FBD 与△ACE 的面积之和．
知识点二全等三角形模型之倍长中线模型
【模型解析】（1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD 为△ABC 的中线。
结论：ABD
ECD
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
（2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点（不同于端点）。
结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D 为BC 边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
【易错警示】
- 倍长：延长中线至相等，构造全等（SAS），勿只延长一半。
- 连线：倍长后需连接顶点与延长点，才能形成全等三角形。
- 结论：得对应边平行或相等，勿忘证明三点共线（如有需要）。
即时即练【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在
ABC
中，
6,
4
AB
AC
，求BC 边上的中线
AD 的取值范围．
【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD 到E ，使得DE
AD
；
②连接BE ，易证ACD
EBD
，于是我们把
,
,2
AB AC
AD 转化在ABE
中；
③利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB
BE
AE
AB
BE
，从而得到AD 的取值范围．
【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即
把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为
“倍长中线法”．
【问题解决】（1）如图1，AC 与BE 的位置关系是_____；AD 的取值范围是_____．
【问题应用】（2）如图2，AD 是
ABC
的中线，点E 在BC 的延长线上，AC 平分
DAE
，
E
BAD
，
试探究线段AE 与AD 的数量关系．
【拓展延伸】（3）如图3，在
ABC
中，AD 平分
BAC
，且AD 交BC 于点D ，BC 的中点为G ，过点G
作GF 平行于AD ，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．若
10
6
AB
AC
,
，求BE 的长．
知识点三全等三角形模型之截长补短模型
【模型解析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线
等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2 次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD 上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD 上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
【易错警示】
- 目的：证明线段和差关系（如a+b=c），勿乱用。
- 截长：在长边上截取一段等于短边；补短：延长短边使等于长边。
- 全等：构造后必须证明全等，且对应边要正确连线，勿遗漏证明步骤。
即时即练同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可
以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．
(1)（1）在
ABC
中，AD 平分
BAC
，
2
ABC
C
，求证：AC
AB
BD
；任选下面一种方法，并写
出完整的证明过程：
方法一：如图①，在AC 上截取AE ，使得AE
AB
，连接DE ，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图②，延长AB 到点F，使得BF
BD
，连接DF ，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
(2)如图③，在
ABC
中，
2
ABC
C
，AH
BC
交BC 于点H，直接写出AB
BH
BC
、
、
之间的等量关系
________．
(3)如图④，在
ABC
中，AD 平分
BAC
，
2
ABC
C
，AD
BG
、
分别为
BAC
ABC
、
的角平分线，
5
3
AB
BD
=
=
，
，
25
8
AG
，直接写出GC ________．
知识点四全等三角形模型之手拉手模型
1）双等边三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
证明：∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
【易错警示】
- 条件：两个等腰三角形顶角相等，且共顶点，拉手线为对应边。
- 全等：拉手线构成的三角形全等（SAS），勿找错对应边。
- 结论：拉手线相等，且夹角等于顶角（或互补），需证明旋转关系。
即时即练
ABC
和DBE
是两个角都是45的等腰直角三角形（BA
BC
，BE
BD
，
90
DBE
ABC
）
的三角板，
【问题初探】
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C 在同一直线上，连接AD 、CE ，请证明：
AD
CE ；
【类比探究】
（2）当三角板ABC 保持不动时，将三角板DBE 绕点B 顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD 与CE
的数量关系和位置关系，并说明理由．
题型1
全等三角形模型之一线三等角模型
例1．一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满
足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型．
(1)如图1，在
ABC
中，
90
BAC
AB
AC
，
，点A 在直线MN 上，过点B 作BD
MN
于点D ，过点C
作CE
MN
于点E ，由
90
90
，
DAB
DBA
DAB
CAE
得
DBA
___________．又知道
，
BDA
AEC
AB
AC
，可以推理得到ABD
CAE
≌
，进而得到
，
AD
CE
AE
___________．
(2)当图1 中的直线MN 绕点A 旋转到图2 的位置时，求证：DE
BD
CE
．
(3)当图1 中的直线MN 绕点A 旋转到图3 的位置时，请直接写出DE
BD
CE
，
，
．之间的数量关系：
___________．
(4)如图4，若将（1）中的条件改为：在
ABC
中，AB
AC
，D，A，E 三点都在直线MN 上，且满足
BDA
BAC
AEC
，其中为任意锐角或钝角，请问结论ABD
CAE
≌
是否成立？若成立，请给
出证明；若不成立，请说明理由．
例2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，
90
BAD
，AB
AD
，过点B 作BC
AC
于点C，过点D 作DE
AC
于点E．由
1
2
2
90
D
，得
D
1
．又
90
ACB
AED
，可以推理得到
ABC
≌______，推理依据
是______．进而得到AC ______，BC ______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，
90
BAD
CAE
，AB
AD
，AC
AE
，连接
,
BC DE ，且BC
AF
于点
,
F DE 与直线AF
交于点G．求证：点G 是DE 的中点；
(3)如图3，已知四边形ABCD 和DEFG ，
90
ADC
EDF
，AD
CD
，DE
DF
，
AFD
△
的面积为
1S ，
DCE
△
的面积为
2
S ，试猜想
1S 和
2
S 的数量关系，并说明理由．
【技巧总结】
1. 找等角：同一直线上三个相等的角，其两侧三角形必全等。
2. 用外角：利用外角性质证明另一组角相等。
3. 证全等：结合已知边等（如等腰底边），用AAS 或ASA 证全等，进而得对应边、角相等。
【变式训练1-1】已知：
ABC
中，
90
ACB
，AC
CB
．
(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，连接AD ，在直线AC 左侧作AE
AD
，且AE
AD
，过点E 作EH
AC
于H ，求证：EH
AC
；
(2)如图2，当点D 在线段AC 上时，连接BD ，在直线BC 下方作BE
BD
，且BE
BD
，过点E 作EH
BC
于H ，连接AE 交BC 于M ，求AD
CM 的值；
(3)当点D 在射线CB 上时，连接AD ，在直线AC 左侧作AE
AD
，且AE
AD
，连接BE 交直线AC 于M ，
若
3
AC
CM
，请在备用图中画出图形，再直接写出
ADB
AEM
S
S
△
△
的值．
【变式训练1-2】数学教材中有这样一道习题：“如图1，
90 ,
,
,
ACB
AC
BC AD
CE BE
CE
，垂足
分别为
,
D E ，若
2.5cm
AD
，
1.7cm
DE
，求BE 的长．”在计算时，我们通过证明
ADC
CEB
△
≌△
，得
到一些线段之间的数量关系，然后进行求解．
【类比探究】
（1）如图2，在等腰三角形ABC 中，
90
ACB
，AC
BC
，DE 为过点C 的直线，AD
DE
于D ，BE
DE
于E ，求证：DE
AD
BE
；
【拓展应用】
（2）如图3，在Rt AOB
中，
90
AOB
，分别以BA 和OB 为直角边作等腰Rt
ABD
△
和等腰Rt
OBC
△
，
连DC 交OB 延长线于点E ．猜想AO 与BE 的数量关系，并说明理由；
【知识迁移】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4 所示，以
ABC
的AB ，AC 边向外
作等腰Rt BAD
和等腰Rt
CAE
△
，其中
90
BAD
CAE
，AG 是边BC 上的高．延长GA交DE 于点H ，
若
5,
12
AH
AG
，直接写出DAE
的面积．
题型2
全等三角形模型之倍长中线模型
例3．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，AD 是
ABC
的中线，
8
5
AB
AC
，
，求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点E ，使DE
AD
，
连接BE ，根据SAS 可证
ADC
EDB
≌
△
△
，所以BE
AC
．接下来，在ABE
中利用三角形的三边关系可
求得AE 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是：________；
(2)如图2 ，
90
AB
AE
AC
AF
BAE
CAF
，
，
，点D 为BC 的中点，连接AD ．求证：
2
EF
AD
．
例4．综合与实践
【问题情境】
补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某
特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形ABCD 中，AB
DC
，E 是AD 的中点，BE 平分
ABC
，试判断BC ，CD，AB 之
间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长BE ，CD相交于点F ，构造
ABE
DFE
≌
和等腰三角形BCF 即可判断．
【问题解决】
（1）按照小颖的方法，判断BC ，CD，AB 之间的等量关系，并说明理由；
【自主探究】
（2）如图③，在
ABC
中，D 是BC 的中点，点E 在AC 上，连接BE 交AD 于点F ，AE
EF
，试说明AC
BF
．
【技巧总结】
1. 遇中线：直接延长一倍，构造全等三角形。
2. 连顶点：连接中线端点与对应顶点，得平行四边形或全等。
3. 证相等：倍长后得对边平行且相等，转移边角关系，常用于证线段不等或求取值范围。
【变式训练2-1】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，AD 是
ABC
的中线，
6,
10
AB
AC
，求AD 的取值范围．
我们可以延长AD 到点E．使DE
AD
，连接BE ，根据SAS 可证
ADC
EDB
≌
，所以BE
AC
．接下来，
在ABE
中利用三角形的三边关系可求得AE 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是：；（直接填结
果，不用写出求解过程）
(2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在ABC
中，D 是BC 边上的一点，AE 是ABD
的中线，
,
CD
AB
BDA
BAD
，试说明：
2
AC
AE
；
(3)如图3，
,
,
90
AB
AE AC
AF
BAE
CAF
．点D 为BC 的中点，判断线段EF 与AD 的关系，并说
明理由．
【变式训练2-2】【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：
如图①，在ABC
中，AD 是BC 边上的中线，
5.4
AB
，
3
AD
，若AC 边的长度为奇数，求AC 的长．小
明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 至点E 使AD
DE
，连接BE ．由已知和作图
能得到EDB
ADC
≌
，所以AC
BE
．
【思考发现】
(1)如图①，EDB
ADC
≌
的理由是；
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
(2)请根据小明的方法思考，直接写出AC 的长可能为（写一个值即可）；
【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、
证明）的结论集中到同一个三角形之中．
(3)如图②，AD 是ABC
的中线，BG 交AC 于G，AC
BF
．探究
AFG
与
GAF
的关系，并说明理由；
【深入探究】
(4)如图③，在ABC
和CDE
中，CA
CB
，CD
CE
，且
90
ACB
DCE
，连接
,
AD BE ，F 为AD 的
中点，连接FC 并延长交BE 于H，
4
CF
，
2
CH
，求BCE
的面积．
题型3
全等三角形模型之截长补短模型
例5．如图，AD
BC
∥
，点E 在线段AB 上，DE
CE
、
分别是
ADC
、
BCD
的角平分线，
(1)线段DE 与CE 有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若
3
AD
，
2
BC
，求CD 的长．
例6．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵
活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问
题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形ABCD 中，AB
AD
，
E ，F 分别是直线BC ，CD上的点．
(1)如图①，若
90
ABC
ADC
，E ，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
，试探究线段
EF ，BE ，DF 之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
，连接AG ，
请你帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若
180
ABC
ADC
，点E 在CB 的延长线上，且BE
CD
，点F 在CD的延长线上，若
EF
BE
DF
，请探究
EAF
与
BAD
之间的数量关系，并说明理由．
【技巧总结】
1. 截长：在长线段上截取一段等于短线段，构造全等。
2. 补短：延长短线段使等于长线段，再证全等。
3. 目的：将分散的线段集中到同一三角形中，利用全等证明和差关系（如\(a+b=c\)）。
【变式训练3-1】“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图
形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助
以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形ABCD 中，
AB
AD
E
F
，，
分别是直线BC
CD
，
上的点．
(1)如图1，若AB
CB
AD
CD
E
，
，
，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
，试探究线段EF ，
BE
DF
，
之间的数量关系．
数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
．连接AG ，先证ABG
与
ADF
△
的全等，
再证
AEF
△
与
AEG
△
的全等，可得到EF ，BE ，DF 之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段EF ，
BE ，FD 之间的数量关系为
___________．
(2)如图2，若
180
ABC
ADC
，点E ，点F 分别在线段CB ，DC 的延长线上，且满足
1
2
EAF
BAD
，
试探究线段EF ，BE
DF
，
之间的数量关系，并请说明理由．
(3)如图3，若
180
ABC
ADC
不变，点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的延长线上，若EF
BE
DF
，
试探究
EAF
与
BAD
的数量关系，并说明理由．
【变式训练3-2】在四边形ABCD 中，AB
AD
．
(1)若
120
BAD
，
90
B
ADC
，点E，F 分别是BC ，CD上的点，且
60
EAF
，试探究线段BE ，EF ，
FD 之间的数量关系．小亮同学认为：延长FD 到点G，使DG
BE
，连接AG ，如图1，先证明
ABE
ADG
△
≌△
，
再证明AEF
AGF
≌
，则可得到BE ，EF ，FD 之间的数量关系．请你：
①直接写出
GAF
的度数：
GAF
______ ；
②根据小亮同学的思路，直接判断BE ，EF ，FD 之间的数量关系：______．
(2)如图2，若
180
B
D
，点E，F 分别是BC ，CD上的点，
1
2
EAF
BAD
，（1）中的结论是否仍
然成立？请说明理由．
(3)如图3，若
180
ABC
ADC
，点E，F 分别是CB ，CD延长线上的点，若EF
BE
DF
，试判断
EAF
和
BAD
之间的数量关系，并说明理由．
题型4
全等三角形模型之手拉手模型
例7．综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：已知，在
ABC
中，AB
AC
，
90
BAC
，
45
B
ACB
，点D 是直线BC 上的一个动
点，连接AD ，在直线AD 的右侧作
=90
DAE
，且AE
AD
，
45
ADE
AED
，连接DE ，CE ．
实践探究：
(1)如图1 是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D 在线段BC 上，请直接写出线段BD 与CE 的数
量关系与位置关系：①________，②________；
(2)如图2 是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D 在线段BC 的延长线上，请判断（1）中的结论
是否成立，并说明理由；
(3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点D 在射线BC 上运动的过程中，如果
6
BC
，
4
CD
，请直接写出线段CE 的长．
例8．综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】
（1）如图1，在
ABC
和
AEF
△
中，AB
AC
，AE
AF
，
BAC
EAF
，连接BE ，CF ，延长BE 交CF
于点D．则BE 与CF 的数量关系为：______．
【类比探究】
（2）如图2，在
ABC
和
AEF
△
中，AB
AC
，AE
AF
，
120
BAC
EAF
，连接BE ，CF ，延长BE ，
FC 交于点D．请猜想BE 与CF 的数量关系及
BDC
的度数，并说明理由．
【技巧总结】
1. 识特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，拉手线相连。
2. 证全等：用SAS 证拉手线所在三角形全等。
3. 得结论：拉手线相等，夹角等于顶角，连线与底边夹角相等，常用于旋转全等问题。
【变式训练4-1】在ABC
中，AB
AC
，点D 是直线BC 上一点（不与B、C 重合），E 是ABC
外一点，
连接AD
AE
、
，已知AD
AE
，
DAE
BAC
，连接CE
DE
，
．
(1)如图1，点D 在线段BC 上，如果
90
BAC
，则
ACE
______度：
(2)如图2，当点D 在线段BC 上，试判断
ADE
与
ACE
之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D 在线段CB 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【变式训练4-2】已知
ABC
与
ADE
中，AB
AC
，AD
AE
，
BAC
EAD
，连接BD 与EC 相交于点
F ，BD 与AC 相交点G ．
(1)猜想：如图1 所示，当
60
BAC
时，则
BFC
______；
(2)探究：如图2 所示，当
90
BAC
时，请求出
BFC
的度数；
(3)拓展延伸：如图3 所示，当AB
CE
∥
，
5
AB
，
8
EC ，请求出DF 的长度．
1．在
ABC
中，
6
AC
，中线
7
AD
，则AB 的长度不可能是（
）
A．7
B．9
C．17
D．19
2．如图，在
ABC
中，
60
A
，
ABC
和
ACB
的平分线BD 、CE 相交于点O，BD 交AC 于点D，CE
交AB 于点E，若已知
ABC
周长为20，
7
BC
，
:
5 : 4
AE
AD
，则AE 长为（
）
A．8
3
B．10
3
C．14
3
D．4
3．如图，在
ABC
中，
90
ABC
，AB
BC
，D 是线段BC 上一点，连接AD ，过点A 作AE
AD
，且
AE
AD
，连接EC 交AB 于点F ，若
3.3
BD
，
2.5
BF
，则AB 的长度为（
）
A．8.3
B．8.5
C．8.7
D．9.1
4．在等边
ABC
中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将
BCD
△
绕点B 顺时针旋转60°得到BAE
，连接ED ，
若
6
BC
，
5
BD
，则以下五个结论：（
）
①
BDE
是等边三角形；②
/ /
AE
BC ；③
ADE
的周长是11；④
ADE
BDC
；⑤
AED
ABD
其中正确的个数是（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
5．如图，在等边
ABC
中，点E 在线段AB 的延长线上，点D 在直线BC 上，且ED
EC
．若
ABC
的边
长为1，
3
AE
，则CD _____．
6．如图已知
ABC
中，AD 为BC 边上的中线，AE 平分
CAD
交BC 边于点E ，
90
BAD
CAE
，
5
AD ，
则AC _____．
7．如图，
ABC
的边AC 与ABE
的边BE 相交于点D ，BE
AE
，过点C 作CF
BE
，交BD 于点F ，且
DE
DF
，CF
BF
，若
4
AE
，
3
DE
，则
ABC
的面积是___________．
8．已知：
ABC
中，
,
90
AB
AC
BAC
，点D 为直线BC 上一点，过点B 作BG 直线AD 于点G ，过
点C 作CF 直线AD 于点F ．
（1）如图1，若
7,
2
BG
CF
，则GF ___________；
（2）当点D 在直线BC 上运动时，
10
FG
，
6
BG
，则CF ___________．
9．【材料阅读】
小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板．
如图：在
ABC
中，
90
ABC
，AB
CB
；在DEF
中，
90
DEF
，
30
EDF
，并提出了相应的
问题．
如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM
DF
，垂足
为M，过点C 作CN
DF
，垂足为N．
(1)图1 中，
3
8
AM
CN
,
，求MN 的长，请补充小明的过程．
90
ABC
，
90
ABM
CBN
，
∵AM
DF
，CN
DF
，
90
AMB
，
90
CNB
，
90
ABM
BAM
，
BAM
CBN
，…
(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP
DE
，
垂足为P，猜想AE ，PE ，CP 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若
8,
2
AE
BE
，
连接CE ，请求出
ACE
△
的面积．
10．【问题初探】
ABC
和DBE
是两个都含有45角的大小不同的直角三角板．
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D 、B 、C 在同一直线上，AB
BC
，
90
ABD
CBE
，
DB
EB
，
ABD
CBE
△
≌△
．依据的是判定定理_________．
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【类比探究】
（2）当三角板ABC 保持不动时，将三角板DBE 绕点B 顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD 与CE
的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图（3），在四边形ABCD 中，
90
BAD
，AB
AD
，
3
4
BC
CD
，连接AC ，BD ，
45
ACD
，
A 到直线CD 的距离为7，请求出
BCD
△
的面积．
11．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题：
（1）如图1，AD 是
ABC
的中线，
6
AB
，
4
AC
，写出一个符合条件的AD 的整数值．
【探究方法】
第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD 到E，使得DE
AD
；
②连接BE ．通过三角形全等把
,2
AB AC
AD
,
转化在ABE
中；
③利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB
BE
AE
AB
BE
．从而得到AD 的取值范围是
______，所以AD 的可能取值为______；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题解决】
（2）如图2，OA
OB
，OC
OD
，
180
AOB
COD
，连接AC
BD
，
，E 是AC 的中点，连接OE ，
若
20
COE
，求
D
的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若
90
AOB
，延长EO 交BD 于点F，
2
OF
，
5
OE
，求BOD
的面
积．
12．
（1）如图1，在四边形ABCD 中，
,
90 ,
,
AB
AD
B
ADC
E F
分别是
,
BC CD 上的点，且EF
BE
FD
，
试猜想图中
BAD
与
EAF
的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG
BE
．连
接AG ，先证明
ABE
ADG
△
≌△
，再证明AEF
AGF
≌
，可得出结论，他的结论应是_____________；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，
1
. ,
80
,
F
B
D
AB
AD
E
分别是
,
BC CD 上的点，且EF
BE
FD
，
试探究
BAD
与
EAF
的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD 中，
180 ,
ABC
ADC
AB
AD
，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的
延长线上，如图3 所示，仍然满足EF
BE
FD
，请写出
BAD
与
EAF
的数量关系，并说明理由．
