文档文本内容
专题02 实数
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01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1 求一个数的平方根、立方根、算术平方根
题型2 求代数式的平方根
题型3 已知一个数的平方根、立方跟，求这个数
题型4 利用平方根解方程
题型5 利用算数平方根的非负性解题
题型6 估计算数平方根的取值范围
题型7 算数平方根、立方跟的实际应用
题型8 算数平方根和立方跟的综合应用
题型9 判断是否为无理数
题型10 无理数大小的估计
题型11 无理数整数部分的相关计算
题型12 实数的分类
题型13 实数与数轴
题型14 实数的大小比较
题型15 实数的混合运算
题型16 程序设计与实数运算
题型17 新定义下的实数运算
题型18 实数运算的实际应用
题型19 与实数运算有关的规律题
04 综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
模块一 平方根与算术平方根
1. 算术平方根、平方根的定义与表
示
2. 平方根、算术平方根的性质
3. 双重非负性应用
4. 开平方运算
模块二 立方根
1. 立方根的定义与表示
模块一 平方根与算术平方根
本单元入门基础，选择、填空必考，偶尔结合简单计算出解答
题。命题侧重概念辨析，高频设置陷阱：混淆平方根与算术平
方根、忽略被开方数非负、误用符号书写。常结合绝对值、平
方等非负数综合出题，是基础失分重灾区。
模块二 立方根
难度偏低，以基础计算、概念判断为主。常与平方根对比考
查，核心易错点：误认为负数没有方根；区分平方根（2 个/ 0
2. 立方根的性质
3. 开立方运算
模块三 实数基础
1. 无理数、实数的定义与分类
2. 实数与数轴的关系
3. 实数的相反数、绝对值、倒数
模块四 实数运算与大小比较
1. 实数四则运算、开方混合运算
2. 实数大小比较方法
3. 实数估算（估算无理数整数部
分、小数部分）
个）与立方根（唯一）的个数差异。多为送分题，侧重运算熟
练度考查。
模块三 实数基础
几何与代数结合考点，选择、填空高频考查。无理数识别是必
考基础题；实数与数轴一一对应是核心考点，常结合数轴比较
实数大小、化简绝对值。命题规避单一形式，混合有理数、无
理数综合辨析。
模块四 实数运算与大小比较
单元核心重难点，覆盖全题型。混合运算侧重运算顺序、运算
律应用；无理数估算是期末高频小题；解答题常结合化简、求
值综合考查。实数大小比较会结合作差法、平方法、估算法灵
活命题。
考情解码：
1. 基础必考：平方根、立方根基础计算、无理数识别、实数分类、简单绝对值化简，全地区必考，
零难度送分题。
2. 核心重难点：算术平方根双重非负性综合应用、无理数估算、实数混合运算、数轴结合绝对值化
简，是单元拉分点，侧重逻辑与计算能力。
3. 高频易错考情：平方根与算术平方根概念混淆、忽略被开方数取值范围、误判带根号的数为无理
数、实数运算顺序混乱、负数绝对值化简出错。
知识点一 平方根与算术平方根
1.基本定义
（1）平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x
2=a，那么这个数x叫做a的平方根（二次方根），
记作±√a（a≥0）。
（2）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√a（a≥0）；规定0的算术平方根是0。
2.核心性质
（1）正数：有两个平方根，它们互为相反数；算术平方根仅有一个，且为正数。
（2）0：平方根和算术平方根均为0。
（3）负数：没有平方根和算术平方根。
（4）双重非负性：算术平方根√a满足a≥0且√a≥0，是解题核心隐含条件。
【易错提醒】
1.负数没有算术平方根；
2.算术平方根：符号√a，结果唯一、非负，只取正数（0 的算术平方根为0）；
3.平方根：符号√a，正数有两个互为相反数的平方根，0 只有一个平方根0。
4.忽略算术平方根的双重非负性：
(1)认为
有意义，直接计算；
(2)计算
时，不考虑x 取值范围；
(3)多个非负数和为0，不会列式：如
+|y-1|=0，不会令两项分别为0。
即时即练4 的平方根是________；
的算术平方根是________．
【答案】
2
【详解】解：计算
的平方根，得
；
先化简
，得
，再计算
的算术平方根，得
．
知识点
二
立方根
1.基本定义
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x
3=a，那么这个数x叫做a的立方根（三次方根），记作
3√a，符号
3为根指数，不可省略。
2.核心性质
（1）任意实数都有且只有一个立方根。
（2）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（3）重要公式：
3√−a=−
3√a，可实现负被开方数的转化。
【易错警示】
立方根与平方根最大区别：负数有立方根，无平方根；根指数3 不能省略。
即时即练计算：
______．
【答案】
【详解】解：
．
知识点
三
平方根、算术平方根、立方根对比表
知识点
表示符号
被开方数取值范围
根的个数
记忆口诀
平方根
±√a
a≥0
正数2 个，0 为1
个，负数无
正数两根互为反，负
数开方没答案
算术平方根
√a
a≥0
非负数仅有1 个
算术根只取正，双重
（非负）
非负要记清
立方根
3√a
a为全体实数
任意实数都有 1 个
立方开方无限制，符
号跟着被开方数
即时即练已知
的平方根是
，
的立方根是
．求
的算术平方根．
【答案】5
【分析】根据平方根的定义得到
，根据立方根的定义得到
，求出
，
的值，即可
得出
的值，再根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵
的平方根是
，
∴
，解得
．
∵
的立方根是
，
∴
，即
，解得
．
∴
．
25
∵
的算术平方根为5，
∴
的算术平方根为5．
知识点
四
估算（无理数估值）
1.核心思路：找到被开方数相邻的两个完全平方数 / 完全立方数，确定无理数所在的整数区间。
2.进阶方法：利用整数部分、小数部分拆分求值（若n<√a<n+1，n为整数，则整数部分为n，小数部分
为√a−n）。
3.应用：比较实数大小、数轴定位无理数。
【易错警示】
若n<√a<n+1（n 为整数），则：整数部分=n，小数部分=原数-整数部分。
即时即练估计
的值在（ ）
A．2 到3 之间
B．3 到4 之间
C．4 到5 之间
D．5 到6 之间
【答案】B
【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定
的取值范围，再推导
的范围即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
即
，
∴
的值在3 到4 之间．
知识点五 实数的概念与分类
1.无理数定义：
无限不循环小数叫做无理数。
2. 三大常见类型：
（1）开方开不尽的数：√2、√5等；
（2）含π 的数：π、2π、
等；
（3）有规律但不循环的无限小数：1.010010001…)（相邻两个1 之间0 的个数依次加1）。
3. 实数定义
有理数和无理数统称实数。
4.实数分类
按定义分：实数{有理数（整数、分数；有限/无限循环小数）
无理数（无限不循环小数）
按正负性分：实数{
正实数（正有理数、正无理数）
0
负实数（负有理数、负无理数）
【易错警示】
1.带根号的数不一定是无理数（如
=2、
=2)是有理数；
2.无限小数不一定是无理数（无限循环小数是有理数）。
即时即练若用
表示有理数，
表示无理数，
表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据实数的分类即可求解．
【详解】解：若用A 表示有理数，B 表示无理数，C 表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是
知识点
六
实数的性质与运算
1.实数与数轴
实数与数轴上的点一一对应，数轴上任意一点都对应一个实数，任意一个实数都能在数轴上找到对应点。
2.实数的基本关联概念
（1）相反数：实数a的相反数是−a，a+(−a)=0；
（2）绝对值：|a|={ a
(a≥0)
−a
(a<0)，几何意义为数轴上点到原点的距离；
（3）倒数：非零实数a的倒数为1
a，a⋅1
a =1（a≠0）。
3.实数运算规则
（1）运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内全部适用；
（2）基础运算：可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；
（3）大小比较：正数>0>负数；两个正数，被开方数越大，算术平方根越大；两个负数，绝对值大的数
反而小。
【易错警示】
1. 有括号先算括号内→先开方、乘方→再乘除→最后加减，同级运算从左到右。
2. 有理数运算律（交换律、结合律、分配律）在实数中依旧成立，但不能随意拆分带根号的式子。
即时即练实数计算
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型1 求一个数的平方根、立方根、算术平方根
例1．16 的平方根是（ ）
A．
B．8
C．
D．2
【答案】A
【详解】解：
的平方根是
【技巧总结】
1.算术平方根：只取非负数，符号
，1 个结果；
2.平方根：一正一负互为相反数，符号
，正数2 个结果，0 只有0；
3.立方根：任意实数都有唯一立方根，负数立方根为负，根指数3 不能省。
利用对顶角相等、邻补角和为180°、垂直为90°三个基础条件列式计算。
【变式训练1-1】下列各式，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平方根和算术平方根的求解方法，逐个判断即可．
【详解】解：
是
的算术平方根，为，A 选项错误，不符合题意；
是
的平方根，为
，B 选项错误，不符合题意；
，C 选项正确，符合题意；
，D 选项错误，不符合题意．
【变式训练1-2】下列说法：①
是4 的算术平方根；②16 的平方根是4；③
的算术平方根是9；
④0.25 的算术平方根是0.5；⑤
的立方根是
．其中正确的说法有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【详解】解：①
算术平方根为非负数，
的算术平方根是
，不是
，
①错误；
②
，
的平方根是
，不是只有
，
②错误；
③
，的算术平方根是，不是，
③错误；
④
，
的算术平方根是
，
④正确；
⑤
正数的立方根是唯一正数，
的立方根是
，不是
，
⑤错误；
综上，正确的说法只有个.
题型2 求代数式的平方根
例1．若
，则
__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键．
由方程
，利用平方根的性质，得到两个关于
的方程，再根据平方和的非负性排
除无效解．
【详解】解：由
，
根据平方根的性质，得：
或
，
若
，则
；
若
，则
．
由于
是平方和，具有非负性，即
，
因此
不成立，舍去；
故
．
故答案为：
．
【技巧总结】
第一步：先化简代数式，算出最终数值；
第二步：再对结果求平方根（必带
）；
若代数式含根号，先算内层开方，再算外层。
【变式训练2-1】已知正实数x 的平方根分别是n 和
．若
则
的平方根为
__________．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题．
根据平方根的定义，先求出
，然后求出
，最后根据平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：
正实数x 的平方根分别是n 和
．
，
若
则
，
解得
，
，
，
则
的平方根为
．
故答案为：
．
【变式训练2-2】一个正数b 的平方根是
与
，
(1)求a 和b 的值．
(2)求
平方根．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】本题主要考查平方根：
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a 的值，再根据平方根求出b 的值；
（2）将（1）中结果代入
，再计算平方根即可．
【详解】（1）解：∵正数b 的平方根是
与
，
∴
，
∴
．
∴
，
，
9
∵的个平方根是
，
∴
；
（2）解：∵
，
，
∴
，
∴
，
即
平方根是
．
题型3 已知一个数的平方根、立方跟，求这个数
例1．如果一个正数
的两个不相等平方根，分别是
和
，求这个正数
的值．
【答案】
【分析】根据正数的平方根互为相反数求出
的值，再求出其中的一个平方根即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
解得
，
∴
，
∴这个正数
．
【技巧总结】
1.已知一个数的平方根是m：原数=m2；（若给出两个互为相反数的平方根，任取一个平方即可）
2.已知一个数的立方根是m：原数=m3。
【变式训练3-1】一个正数m 的两个不同的平方根分别是
和
，则a 的值是__________．
【答案】
【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数，列一元一次方程求解即可．
【详解】解：根据正数的两个不同平方根互为相反数，得
解得
．
【变式训练3-2】已知
的算术平方根是
，
的立方根是3．
(1)求a、b 的值；
(2)求关于
的方程
的解．
【答案】(1)
；
(2)
或
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义求解即可；
（2）将a、b 的值代入方程
，根据平方根求解即可．
【详解】（1）解：
的算术平方根是
的立方根是3
（2）解：将
，
代入
，得
此方程的解为
或
题型4 利用平方根解方程
例1．解方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
，
(2)
，
【详解】（1）解：
，
开平方得：
，
即
，
；
（2）解：
，
方程两边同除以2 得：
，
开平方得：
，
解得：
，
．
【技巧总结】
方程形式：(ax+b)2=c
1.判断c：c<0，无解；c≥0，两边同时开平方；
2.开方得：ax+b=
（千万别漏
）；
3.分两个一元一次方程分别求解。
【变式训练4-1】若
，则x 的值为______．
【答案】
或
【分析】如果一个数
的平方等于
，即
，那么
叫做
的平方根或二次方根，一个正数有两个平方
根，它们互为相反数，
的平方根是
，负数没有平方根．
【详解】解：变形，得
．
根据平方根的意义，可得
．
所以
或
．
【变式训练4-2】已知一个正数m 的两个不相等的平方根是
与
．
(1)求a 和正数m 的值；
(2)求关于x 的方程
的解．
【答案】(1)
，
(2)
或
．
【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求
值，即可求解
；
（2）将
代入
即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
，
解得
，
；
（2）解：当
时，
，
，
，
∴
或
．
题型5 利用算数平方根的非负性解题
例1．若
，则
的值为（ ）
A．
B．3
C．1
D．5
【答案】D
【分析】几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出x，y 的值，再代入计算
即可．
【详解】解：∵算术平方根和平方数都是非负数，且
，
∴
，
由
得
，
将
代入
，得
，
解得
，
将
代入
，得
．
【技巧总结】
初中三大非负数：
≥0、|A|≥0、A2≥0
若几个非负数相加=0，则每一项单独等于0。
【变式训练5-1】已知
，则
的值为______．
【答案】2
【详解】解：∵
，
，且
，
∴
，
，
解第一个方程得
，
将
代入第二个方程得
，
解得
，
将
，
代入
得
．
【变式训练5-2】如果
与
互为相反数，那么
的平方根是________．
【答案】
【详解】解：
与
互为相反数，
，
又
，
，且
，
，
∴
，
，
，
，
解得
，
，
，
∵的平方根为
，
∴
的平方根是
．
题型6 估计算数平方根的取值范围
例1．如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长
度与最大宽度的比值为
．与这个比值最接近的整数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】估算出
的范围，即可得出结果.
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，
故这个比值最接近的整数是4.
【技巧总结】
1.找相邻两个完全平方数夹住被开方数；
2.同时开方，得到无理数的整数区间；
3.格式：n<√a<n+1（n 为自然数）。
【变式训练6-1】估计
的值在（ ）
A．1 到2 之间
B．2 到3 之间
C．3 到4 之间
D．4 到5 之间
【答案】A
【分析】找到被开方数3 相邻的两个完全平方数，即可确定
的取值范围．
【详解】解：∵
，
，且
∴
，即
因此
的值在1 到2 之间．
【变式训练6-2】已知
是正整数，当
取最小值时，
的值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】本题考查绝对值的意义和无理数的估算，解题思路是：
表示
与
的差的绝对值，该
值最小等价于正整数
最接近
，只需估算
的大小范围，找到最接近它的正整数即可．
【详解】解：
，
，且
，
，
，
，可知
更接近
，因此
更接近
，
时，
取最小值．
题型7 算数平方根、立方跟的实际应用
例1．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了
极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为
，绣布面积为
．
(1)求绣布的长和宽；
(2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为
的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说
明理由．（
取3）
【答案】(1)长为
，宽为
(2)不能裁出来，理由见解析
【分析】（1）设绣布的长为
，宽为
，根据面积列方程求解；
（2）设完整的圆形绣布的半径为
，根据圆面积公式列式，进行计算得
，然后判断出
，
即可作答．
【详解】（1）解：∵长、宽之比为
∴设绣布的长为
，宽为
，
根据题意，得
∴
∴绣布的长为
，宽为
；
（2）解：不能裁出来，理由如下：
设完整的圆形绣布的半径为
根据题意得，
，
∴
解得
（负值已舍去）
则
，
∴
，
由（1）得绣布的长为
，宽为
，
∴不能裁出来．
【技巧总结】
1.审题建模：
已知正方形面积求边长：边长=
；
已知正方体体积求棱长：棱长=
；
2.实际问题边长、长度为正数，只取算术平方根，舍去负根；
3.按题意列式计算，最后作答。
【变式训练7-1】如图，用两个边长为
的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．
(1)求大正方形的边长；
(2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为
且面积为
的长方形纸片，
若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，长为
，宽为
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可．
【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为
，
所以大正方形的边长为
；
（2）能，理由如下：
设裁得的长方形的纸片的长为
，宽为
，
由题意可得，
，
解得：
，
，
，
，
，
，
能裁得一个长宽之比为
且面积为
的长方形纸片．
【变式训练7-2】将棱长为
的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8 个大小形状相同的长方体铁块，
且长方体铁块的长、宽、高的比为
，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少
？
【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为
，
和
．
【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为
，
，
．根据“将棱长为
的正方体铁块
在炉火中熔化，重新铸成8 个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可．
【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为
，
，
．
则
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
答：长方体铁块的长、宽、高分别为
，
和
．
题型8 算数平方根和立方跟的综合应用
例1．已知一个正数的平方根分别是
和
，
的立方根为
．求
的算术平方根．
【答案】8
【分析】根据题意得出
，确定
，再由立方根得出
，然后代入计算，求出算术
平方根即可．
【详解】解：
一个正数的平方根分别是
和
，
，
解得
，
的立方根为
，
，
解得
，
．
的算术平方根为
．
【技巧总结】
1.拆分条件：分别处理平方根、立方根条件；
2.平方根条件：利用 “两平方根互为相反数” 或平方求原数；
3.立方根条件：直接立方求原数；
4.求出未知数后，代入所求式子计算。
【变式训练8-1】已知
的平方根是
，
的立方根是．
(1)求
，
的值．
(2)求
的平方根．
【答案】(1)
；
；
(2)
．
【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题；
（2）先将由（1）得
，
代入
，再求解
的平方根即可．
【详解】（1）∵
的平方根是
，
∴
，解得：
，
∵
的立方根是，
∴
，解得：
；
（2）∵由（1）得
，
，
∴
，
∴
的平方根为
．
【变式训练8-2】已知
的平方根是
，
的立方根是
．
(1)求
的值；
(2)求
的平方根．
【答案】(1)
；
；
(2)
．
【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可；
（2）先求出
，再根据平方根的性质求解即可．
【详解】（1）∵
的平方根是
，
∴
，
解得：
，
∵
的立方根是
，
∴
，即
，
解得：
；
（2）∵
，
∴
的平方根为
．
题型9 判断是否为无理数
例1．下列各数中，是无理数的为（ ）
A．
B．
C．3.33333
D．3.14
【答案】B
【详解】解：根据定义，无限不循环小数是无理数，整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数
都属于有理数．
是整数，属于有理数；3.33333 和3.14 是有限小数，都属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数．
【技巧总结】
带根号不一定无理，开得尽就是有理； 无限循环是有理，无限不循环才无理。
【变式训练9-1】无理数作为无限不循环小数，是数学家族里的重要一员．下列各数中，属于无理数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项
逐一判断即可.
【详解】先明确概念，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数.
∵ 选项B 中，
，3 是整数，属于有理数；
选项C 中，
，2 是整数，属于有理数；
选项D 中，
是分数，属于有理数；
选项A 中，π 是无限不循环小数，
∴ 只有π 是无理数，故选A.
【变式训练9-2】在下列实数中，无理数是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：选项A：
是整数，属于有理数；
选项B：
是分数，属于有理数；
选项C：
是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
选项D：
，
是整数，属于有理数．
题型10 无理数大小的估计
例1．估计
的值在（ ）
A．1 和2 之间
B．2 和3 之间
C．3 和4 之间
D．4 和5 之间
【答案】D
【详解】解：
，
，
则估计
的值在4 和5 之间．
【技巧总结】
1.优先用夹逼法确定近似整数范围；
2.如需精确比较，结合估算法算出近似小数再对比。
【变式训练10-1】如图，在数轴上，
对应的点可能是（ ）
A．点M
B．点N
C．点Q
D．点P
【答案】D
【分析】本题考查无理数的估算，用数轴上的点表示无理数，直接利用
，进而得出
的取值
范围，进而得出答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
则
对应的点为P．
【变式训练10-2】在
，
，
，
，
这5 个数中，最大的数是（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】利用负数小于0，0 小于正数，正实数比较大小时，平方更大的数本身更大的性质即可求解；
【详解】解：因为
，
故
，
故
最大；
题型11 无理数整数部分的相关计算
例1．阅读下面的文字，解答问题：
我们知道
是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将
的小数部分全部写出来，于是小慧用
来表示
的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为
的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：
，即
，
的整数部分为2，小数部分为
．
(1)
的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果
的小数部分为
，
的整数部分为
，求
的值；
(3)已知
是
的整数部分，
是
的小数部分，求
的值．
【答案】(1)
，
(2)2
(3)
【分析】（1）仿照题干作答即可；
（2）仿照题干得到a、b 的值，进而代入
计算即可；
（3）仿照题干得到x、y 的值，进而代入
计算即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∴
的整数部分是
，小数部分是
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
的小数部分
，
∵
，
∴
，
∴
的整数部分
，
∴
；
（3）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
的整数部分
，小数部分
，
∴
．
【技巧总结】
若：n<√a<n+1（n 为整数）：整数部分=n；小数部分=
-n
【变式训练11-1】已知
的算术平方根是4，
的立方根是3，是
的整数部分，求
的平方根．
【答案】
【分析】根据算术平方根和立方根的定义，求得
的值，再根据二次根式的估算，求得c 的值，最后求
得
的值，进而求得
的平方根．
【详解】解：
的算术平方根是4，
，
解得：
，
的立方根是3，
，
解得：
，
，
，
，
，
的平方根为：
．
【变式训练11-2】已知
的平方根是
，
的立方根为2．
(1)求a 与b 的值；
(2)如果
的整数部分为，求
的平方根与
的小数部分的差．
【答案】(1)
，
(2)
或
【分析】（1）根据平方根和立方根的性质即可求解；
（2）先估算出
，可得
，然后再求出小数部分，再代入
求出平方根，最后求出差
即可求解．
【详解】（1）解：∵
的平方根是
，
的立方根为2，
∴
，
，
解得
，
，
（2）∵
∴
，
∴
的整数部分为3，即
，
∴
的小数部分为
，
由（1）得
，
，
∴
，
16
∴
的平方根为
，
∴
的平方根与
的小数部分的差为
或
．
题型12 实数的分类
例1．下列说法正确的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．同位角相等
C．立方根是本身的数有
、0、1
D．实数可分为正实数与负实数
【答案】C
【详解】解：A、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，例如两个任意位置不相对的直角相等，
不是对顶角，该选项不符合题意；
B、只有两直线平行时，同位角才相等，选项缺少前提条件，该选项不符合题意；
C、立方根是本身的数有
、0、1，说法正确，该选项符合题意；
D、实数可分为正实数，0，负实数，选项漏掉0，该选项不符合题意．
【技巧总结】
先挑无理数，剩下全是有理数；0 是有理数，非正非负。
【变式训练12-1】把下列各数填入相应的大括号内：
，
，
，0.5，
，3.14159265，
，1.3030030003…（两个3 之间依次增加一个0）．
有理数：｛ ｝；
无理数：｛ ｝；
整数：｛ ｝；
负实数：｛ ｝．
【答案】有理数：
；
无理数：
；
整数：
负实数：
．
【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实
数包括负有理数和负无理数解答．
【详解】解：有理数：
；
无理数：
；
整数：
负实数：
．
【变式训练12-2】把下列各数写入相应的括号中：
、
、
、
、
、
（两
个1 之间依次增加一个7）．
(1)正实数：{ }；
(2)负实数：{ }；
(3)有理数：{ }；
(4)无理数：{ }．
【答案】(1)
，
，
，
（两个1 之间依次增加一个7）
(2)
，
(3)
，
，
(4)
，
，
（两个1 之间依次增加一个7）
【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数；
（2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数；
（3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数；
（4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数．
【详解】（1）正实数：{
，
，
，
（两个1 之间依次增加一个7）}；
（2）负实数：{
，
}；
（3）
有理数：{
，
，
}；
（4）无理数：{
，
，
（两个1 之间依次增加一个7）}．
题型13 实数与数轴
例1．如图，正方形
的面积为
，顶点
在数轴上表示的数为，若点
在数轴上（点
在点
的右
侧），且
，则点
所表示的数为________．
【答案】
/
【分析】先求出
与
的值，再求出点
所表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∵点
表示的数为1，
又∵点
在点
的右侧，
∴点
表示的数为
．
【技巧总结】
1.一一对应：数轴上每一个点
唯一实数；
↔
2.大小规则：数轴上右边的数 > 左边的数；
3.化简绝对值（核心考法）： ①根据数轴判断字母正负、式子正负； ②正数绝对值 = 本身，负数绝对值
= 相反数； ③去括号化简。
【变式训练13-1】实数
在数轴上对应的点的位置如图所示．化简
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得
出各式的符号，进而化简得出答案．
【详解】解：由数轴可知：
，且
，
，
，
．
【变式训练13-2】如图，半径为1 的圆从表示
的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A 与表示
的点重合，滚动1 周后到达点B，点B 表示的数是________．
【答案】
/
【详解】解：∵圆的周长为
，
∴点B 表示的数为
．
题型14 实数的大小比较
例1．计算：
______；比较大小：
______4（填“
”、“
”或“
”号）．
【答案】 3
【分析】根据
，即可得出
，运用
，故
，即可作答．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
【技巧总结】
1.数轴法：数轴右侧数更大（通用）；
2.正负区分法：正数>0>负数；
3.平方法（仅两个正数使用）：平方大的原数大；
4.绝对值法（仅两个负数使用）：绝对值大的，原数反而小。
【变式训练14-1】比较大小：
______2（填“＜”，“＝”或“＞”）．
【答案】＜
【分析】将两个正数分别平方后，比较平方结果，即可得到原数的大小关系．
【详解】解：
，
，
，且
，
，
．
【变式训练14-2】比较大小：
______
（填“＞”或“＜”）
【答案】＞
【分析】两个正分数比较大小，当分母相同时，只需比较分子的大小，先确定
的范围，即可得到结果.
【详解】
，
，
又
与
的分母相同，分母相同的正分数，分子越大分数值越大，
.
题型15 实数的混合运算
例1．计算、解方程
(1)
．
(2)已知
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减即可求解；
（2）先移项，再利用平方根解方程即可求解．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：∵
，
∴
，
∴
或
，
∴
或
．
【技巧总结】
括号优先 → 先开方 / 乘方 → 再乘除 → 最后加减，同级从左到右。
【变式训练15-1】计算：
(1)
；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练15-2】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可；
（2）去括号，再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型16 程序设计与实数运算
例1．在如图所示的运算程序中，输入x 的值是64 时，输出的y 值是（ ）
A．
B．
C．2
D．8
【答案】B
【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可．
【详解】解：输入x 的值是64 时，取算术平方根可得，
，
是有理数，则取立方根，可得
，
是有理数，则取算术平方根，可得
，
为无理数，则输出
，
即
．
【技巧总结】
1.读懂流程图/运算步骤，明确 “输入→运算→输出” 规则；
2.按程序分步列式，一步一算，不跳步；
3.若有循环/多次运算，重复套用规则即可。
【变式训练16-1】有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x 的值为16 时，输出y 的值为_________
【答案】
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，
若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【详解】解：当输入是16 时，取算术平方根是4，4 是有理数；
再把4 输入，4 的算术平方根是2，2 是有理数；
再把2 输入，2 的算术平方根是
，
是无理数，
所以输出y 的值是
．
【变式训练16-2】如图是一个数值转换器，当输入的
为64 时，输出的
是（ ）
A．
B．4
C．
D．8
【答案】A
【分析】根据程序第一步计算
，再次计算得
，是无理数，直接输出即可．
【详解】解：当
时，
是有理数，
当
时，
是无理数，
故输出的y 值为
，选项C 符合题意．
题型17 新定义下的实数运算
例1．规定一种新的定义：
，若
，
，则
______．
【答案】
【分析】根据定义求出
的值即可．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
．
【技巧总结】
1.照抄规则：严格按照题目给出的新符号、新运算定义列式，不凭习惯做题；
2.把新运算转化为常规实数四则、开方运算；
3.有括号先算括号内，分步计算。
【变式训练17-1】我们规定，若任意实数
满足
，则称
与
是关于
的对称数．例如：
，则5 与3 是关于4 的对称数．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)若数
与
是关于
的对称数，求数
的值；
(2)若
，判断
与
是否是关于7 的对称数，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是关于7 的对称数
【分析】（1）根据“对称数”的定义代入计算即可．
（2）根据实数的运算得出x，y 的值，然后再根据“对称数”的定义代入计算并判断即可．
【详解】（1）解：∵数
与
是关于
的对称数，
∴
，
．
∴
．
（2）解：是关于7 的对称数，理由如下：
，
∵
；
，
∴
，
∴
与
是关于7 的对称数．
【变式训练17-2】小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，
，
．
(1)尝试给四次方根下定义：定义：如果
，那么这个数
叫做
的四次方根，记作
；
探究性质：
的四次方根________；
的四次方根________；
________（填“存在”或“不存在”）
(2)巩固应用：
比较
________
（填
、
或
）
计算：
；
解方程：
．
【答案】(1)
；
；
不存在；
(2)
；
；
或
．
【分析】（）
根据四次方根即可求解；
根据四次方根即可求解；
根据四次方根即可求解；
（
）
利用无理数的估算方法即可较大小；
根据四次方根和立方根定义即可求解；
根据四次方根即可求解．
【详解】（1）解：
∵
，
∴
的四次方根是
，
故答案为：
；
∵
，
∴
的四次方根是
，
故答案为：
；
不存在，
故答案为：不存在；
（2）解：
由
，
∴
，即
，
由
，
∴
，即
，
∴
，
故答案为：
；
；
，
∴
或
．
题型18 实数运算的实际应用
例1．阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼
在一起，得到的大正方形面积为
，其边长
就是原边长为1 的小正方形的对角线长．
材料二：按照国际标准，
系列纸为长方形，其中A0 纸的面积为1 平方米，将A0 纸沿长边对折、剪开，
便成A1 纸；将A1 纸沿长边对折、剪开，便成A2 纸；将A2 纸沿长边对折、剪开，便成A3 纸；将A3 纸沿
长边对折、剪开，便成A4 纸
，如图2，我们日常使用的A4 纸就是这样由A0 纸多次对折裁开得到的．
将A4 纸按如图3 所示的方式折叠，则A4 纸的长宽
__________．
请根据材料回答下列问题：
(1)A5 纸的面积是__________平方米．
(2)A4 纸的长宽
__________．
(3)按照图2 的
系列纸生成过程，经过探究发现，
系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都
相等．请你估算面积为1 平方米的A0 纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，
）
【答案】(1)
(2)
(3)A0 纸的长为
，宽为
【分析】（1）根据
系列纸的面积规律即可求出答案；
（2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案；
（3）设
纸的宽为
，则长为
，则
，运算求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知， A0 纸的面积为1 平方米，
A1 纸的面积为
平方米，
A2 纸的面积为
平方米，
A3 纸的面积为
平方米，
A4 纸的面积为
平方米，
A5 纸的面积是
平方米．
（2）解：如图，
由折叠的性质可知
，由材料一可知，在图3 折叠得到正方形中
，
，即A4 纸的长宽之比为
；
（3）解：设
纸的宽为
，则长为
，
依题意得
，
，
∵
，
∴
，
∵
（负值不合题意，舍去），
∴
，
∴
，
答：
纸的长为
，宽为
．
【技巧总结】
1.提取题干数据，结合面积、体积、行程、长度等公式列算式；
2.涉及开方：实际长度只取算术平方根（正数）；
3.计算后结合题意作答，注意单位。
【变式训练18-1】陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它
历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，
题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．
现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为
，宣纸面积为
．
(1)求宣纸的周长；
(2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为
的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说
明理由．（
取3）
【答案】(1)
(2)能够裁出来，理由如下：
设圆形纸胚的半径为
，
由题意得：
，
解得：
，
∵圆形纸胚的直径为
，宣纸的宽为
，且
，
∴
，
∴能够裁出来
【分析】（1）设这张宣纸的长为
，宽为
，由题意易得
，然后进行求解即可；
（2）设圆形纸胚的半径为
，由题意易得
，然后问题可求解．
【详解】（1）解：设这张宣纸的长为
，宽为
，由题意得：
，
解得：
（负根舍去），
∴这张宣纸的长为
，宽为
，
∴这张宣纸的周长为
；
答：宣纸的周长为
（2）略
【变式训练18-2】如图，按照国际标准，
系列纸的长与宽的比例均符合
；其中，
纸的面积为
；将
纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张
纸；再将
纸沿两条长边中点的连线裁切得两张
纸…依此类推，得
等等的纸张（如图所示）．若设
纸张的宽为
，则下列列式正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
纸张的宽为
，表示出
纸的宽和长，根据
纸面积为
求解．
【详解】解：由图得，当
纸张的宽为
时，
纸的宽为
，
∵纸张长与宽的比为
，
∴
纸的长为
，
∵
纸面积为
，
∴
，
∴
．
题型19 与实数运算有关的规律题
例1．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①
；②
；③
，请你根据上面三个等式提供的信息，计算
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据所给式子总结变化规律可得
，然后根据规律求解
即可．
【详解】解：∵①
，
②
，
③
，
…，
∴
，
∴
．
【变式训练19-1】已知
，
，
，
，
⋯
，其中
为正整数．设
，
则
的值是________．
【答案】
【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】
，
，
，
，
．
【变式训练19-2】先观察下列等式，再回答下列问题：
①
；
②
；
③
；
……
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6 个等式；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n 为正整数）表示的等式；
(3)请利用上述规律来计算
（仿照上式写出过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)
，过程见解析
【分析】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可；
（2）根据题目中的式子找出一般规律即可；
（3）将
变形为
，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可．
【详解】（1）解：由题目中的例子可知，
第6 个等式为：
；
（2）解：
；
；
；
……
用n（n 为正整数）表示的等式为：
．
（3）解：
．
1．如图，长方形
内的两个正方形
和正方形
的面积分别为16、4，则图中两块阴影部
分的面积之和为（ ）
A．6
B．4
C．
D．3
【答案】B
【分析】根据正方形的面积可得
，
，再根据
列式求解即可．
【详解】解：∵长方形
内的两个正方形
和正方形
的面积分别为16、4，
∴
，
，
∴
．
2．用“
”定义新运算，对于任意非负实数
，都有
，例如
，那么
（ ）
A．27
B．72
C．78
D．84
【答案】C
【详解】解：∵
，
∴
．
3．已知a，b，c 都是实数，且满足
，则
的值是（ ）．
A．4
B．0
C．6
D．-6
【答案】A
【分析】本题利用非负数的性质求解，初中阶段常见的非负数有平方、绝对值、算术平方根，若几个非负
数的和为0，则每个非负数都等于0，据此分别求出
，
，的值，再计算它们的和即可．
【详解】
，
，
，且
，
每个非负数都为0，可得：
，解得
，
，解得
，
，解得
，
．
4．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.14159
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A．
是有限小数，属于有理数，不符合要求；
B．
，2 是整数，属于有理数，不符合要求；
C．
，2 是整数，属于有理数，不符合要求；
D．
是无限不循环小数，属于无理数，符合要求．
5．如图，正方形
的面积为5，顶点
在数轴上表示的数为0，若点
在数轴上（点
在点
的左
侧），且
，则点
所表示的数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：∵正方形
的面积为5
∴
∵点
在点
的左侧
∴点
所表示的数为
．
6．利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下：
…
…
…
0.15
0.4743
1.5
4.743
…
根据以上规律，
（ ）
A．47.43
B．15
C．474.3
D．150
【答案】A
【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果.
【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2 位，算术平方根的小数点向相
同方向移动1 位，
∵
的小数点向右移动2 位得到
，且
，
∴
的结果是将
的小数点向右移动1 位，即
.
7．已知
，则整数
的值（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】先找到与
相邻的两个完全平方数，即可确定
的范围，进而得到整数
的值．
【详解】解：∵
，
∴
，
即
，
又∵
，且
为整数，
∴
．
8．一个正数的两个不同的平方根为
和
，则这个正数为______．
【答案】
【分析】根据平方根的定义，正数的两个不同平方根互为相反数，据此求出
的值，再计算得到这个正数．
【详解】解：
一个正数的两个不同平方根为
和
，
，
解得
，
将
代入得，该正数的一个平方根为
，
这个正数为
．
9．若将三个数
，
，
表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．
【答案】
【分析】确定墨迹覆盖的数值范围，并利用夹逼法估算出各无理数的取值范围，进而判断哪个数落在该范
围内．
【详解】解：由数轴可知，墨迹覆盖的范围在与之间，
，
不在墨迹覆盖范围内；
，
，
在墨迹覆盖范围内；
，
，
不在墨迹覆盖范围内，
能被墨迹覆盖的数是
．
10．在
与
之间的整数是__________．
【答案】7
【详解】解：∵
，且
，
，
因此
与
之间的整数是
．
11．设
、
为实数，且
，则
的立方根是______．
【答案】2
【分析】先根据算术平方根的定义求出x、y 的值，然后根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
，
解得
，
∴
，
∴
，
∴
的立方根是
．
12．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2 个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O 开始向右无滑动地
滚动，半圆直径的一个端点从原点O 到达点
（如图），则点
对应的数是______．（结果保留
）
【答案】
/
【分析】根据题意得，点
对应的数为该半圆的周长，即可．
【详解】解：点
对应的数是半圆周长，为直径
半圆弧长，即
．
13．若
是
的整数部分，
是
的小数部分，则
的值______．
【答案】20
【分析】夹逼法求出
的值，再进行计算即可.
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
14．将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把原数连接起来．
，
，
，
．
【答案】
，
【详解】解：由
可得数轴如下：
∴用“＜”号把原数连接起来为
．
15．计算和解方程：
(1)计算：
(2)解方程：
；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
16．随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也渐渐发展为休闲、娱乐、
运动、餐饮一体化的市民游玩休憩场所．为了提升居住环境水平，某区准备对一个面积为
的长方形
街心花园进行改造，计划开辟一个面积为
的圆形区域栽种银杏树，其余部分为活动场地．已知该街
心花园的长与宽之比为
．
(1)求该街心花园的周长是多少？
(2)请通过计算说明该改造方案是否可行．（
取3）
【答案】(1)
(2)该改造方案不可行，理由见解析
【分析】（1）设该街心花园的长为
，宽为
，根据题意列出方程，利用算术平方根求解即可；
（2）设栽种银杏树的圆形区域的半径为
，根据题意得
，确定
，再由实数的比较方
法即可判断．
【详解】（1）解：设该街心花园的长为
，宽为
．
根据边长与面积的关系，得
，
，
．
由边长的实际意义，得
．
，
．
该街心花园的周长为
；
（2）解：设栽种银杏树的圆形区域的半径为
．
根据半径与面积的关系，得
，
．
由半径的实际意义，得
．
栽种银杏树的圆形区域的直径为
．
，
．
．
该改造方案不可行．
17．如图，长方形内两个正方形的面积分别为
，
．
(1)求长方形
的周长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出两个正方形的边长，从而得到长方形
的长与宽，最后求出周长；
（2）将长方形
的面积减去正方形
的面积即可．
【详解】（1）解：由题意可知，两个正方形的边长分别为
，
由图可知：长方形的长等于两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长，
∴
，
，
∴长方形
的周长为
；
（2）解：由（1）可知，
，
，
∴
．
