专题01 整式的乘除
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
判断整式运算是否正确
题型2
用科学记数法表示绝对值小于1 的数
题型3
完全平方式中的字母参数问题
题型4
已知多项式乘积不含某项求字母的值
题型5
幂的混合运算及逆运算
题型6
零指数幂、负整数指数幂综合计算
题型7
整式混合运算——化简求值
题型8
利用乘法公式简便运算
题型9
通过对完全平方公式变形求值
题型10
整式乘法与图形面积
题型11
乘法公式中几何图形的应用
题型12
多项式乘法中的规律性问题
题型13
整式的运算中的新定义型问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 幂的运算：法则及
逆用。
2. 整式乘除：含新增
整式除法。
3. 乘法公式：平方差、
完全平方公式。
1.
注重算理与双基：强化同底数幂运算、整式乘除的法则理解，特别关注指
数为“1”时漏项及符号处理等易错点。
2.
新增内容必考：2026 版新教材新增的整式除法（单项式/多项式除以单项
式）是考查重点。
3.
情境化与应用：题型趋向跨学科（如几何面积、物理[速度/光年]计算）及
新定义运算。
4. 实际应用：结合几
何面积。
5. 化简求值：注意符
号与整体代入。
4.
逆向思维与整体代入：不再只考计算，更重视公式的逆用及整体思想求值。
考情解码：根据2026 年新教材北师大版七年级下册第一章《整式的乘除》的考情分析，本单元重在
考查学生的运算能力和代数推理意识。命题聚焦三大核心：一是幂的运算性质及整式乘除法则的准确
应用，特别关注“指数为0 或1”及“符号处理”等易错点；二是乘法公式（平方差、完全平方）的
几何背景理解和逆用能力；三是设置跨学科情境（如面积、速度计算）考查代数式的实际应用，整体
代换思想是本册新增的难点。
知识点一幂的运算
1.同底数幂的乘法性质：
m
n
m n
a
a
a
(其中
,
m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即
m
n
p
m n
p
a
a
a
a
（
,
,
m n
p
都是正整数）.
2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数
相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即
m n
m
n
a
a
a
（
,
m n 都是正整数）.
3.幂的乘方法则：(
)
m
n
mn
a
a
(其中
,
m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：公式的推广：((
) )
m
n
p
mnp
a
a
(
0
a
，
, ,
m n p 均为正整数)
4.幂的乘方法则逆用公式：
n
m
mn
m
n
a
a
a
，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变
形，从而解决问题.
5.积的乘方法则：(
)
n
n
n
ab
a
b
(其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘.
要点诠释：公式的推广：(
)
n
n
n
n
abc
a
b
c
( n 为正整数).
6.积的乘方法则逆用公式：
n
n
n
a b
ab
逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数
时，计算更简便.如：
10
10
10
1
1
2
2
1.
2
2
7.同底数幂的除法：
m
n
m n
a
a
a
(其中
,
m n 都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）逆用公式：即
=
m n
m
n
a
a
a
（
,
m n 都是正整数）.
【易错警示】
同底数幂相乘指数相加，乘方指数相乘，积的乘方每个因式分别乘方。勿混淆加减与乘除，勿忽略负号及
底数为0 情况。
即时即练1．计算：
3
2
4
4
6
3
2
x
x
x
x
【答案】
6
5x
【详解】解：
3
2
4
4
6
3
2
x
x
x
x
2 4
3
4 3
6
3
( 2)
(
)
x
x
x
6
12
6
3
8
x
x
x
6
12 6
3
8
x
x
6
6
3
8
x
x
6
5x
．
2．【中档】若
0
m
n
a
a
a
且
1
a ，m、n 是正整数，则m
n
．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果
5
2
8 ·16
2
x
x
，求x 的值；
(2)若
1
3
3
162
x
x
，求x 的值；
(3)若
5
4
25
m
m
x
y
，＝
，用含x 的代数式表示y，则y
．
【答案】(1)
4
x
(2)
4
x
(3)
2
4
x
【分析】（1）根据幂的乘方逆运算可得：
3
4
3
4
2
8 ·16
2
2
· 2
2
2 ·2
x
x
x
x
x
x
，即可得出
1 3
4
1
2
2
x
x
x
，
再根据已知
5
2
8 ·16
2
x
x
，由此可得：
1
5
2
2
x
，得出1
5
x
，解方程即可得出x 的值；
（2）将
1
3
3
162
x
x
变形为：3
3
3
162
x
x
，即3
2
162
x
，即可得出
4
3
81
3
x
，即可得出答案；
（3）由
4
25m
y
，可得
2
2
4
5
4
5
m
m
y
，把
5m
x
代入y 即可得出答案．
【详解】（1）解：2
8 ·16
x
x
3
4
2
2
· 2
x
x
3
4
2
2 ·2
x
x
1 3
4
2
x
x
12
x
，
∵
5
2
8 ·16
2
x
x
，
∴
1
5
2
2
x
，
∴1
5
x
，
解得：
4
x
；
（2）解：∵
1
3
3
162
x
x
，
∴3
3
3
162
x
x
，
∴
3
3 1
162
x
，即3
2
162
x
，
∴
4
3
81
3
x
，
∴
4
x
；
（3）解：已知
5m
x
，
∵
4
25m
y
2
4
5
m
2
4
5m
，
∴
2
4
y
x
，
故答案为：
2
4
x
．
知识点二零指数幂、负指数幂、科学记数法
1.零指数幂：
0
1
a
（a≠0）
2.负指数幂：
1
p
p
a
a
（a≠0，p 是正整数）
3.科学记数法：我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示
成a×10-n 的形式，其中n 是正整数，
10
a
1
＜
.
【易错警示】
零指数幂：底数不为0 时结果为1，勿忘底数≠0。
负指数幂
1
p
p
a
a
（a≠0），指数为负只表示倒数，符号勿乱用。
科学记数法：a×10-n，1≤|a|<10，n 为整数，注意负指数时小数位数。
即时即练1．一种新型芯片内部线路宽度为0.0000000108 分米，用科学记数法表示为______米．
【答案】
9
1.08 10
【分析】先进行单位换算，再根据科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】解：0.0000000108 分米
0.00000000108
米
9
1.08 10
米．
2．计算：
2
0
2
1
3
1
2026
2
【答案】13
【分析】根据乘方，绝对值，零指数幂以及负整数指数幂化简每个式子，然后计算即可．
【详解】解：
2
0
2
1
3
1
2026
2
，
9
1 1
4
，
13
．
知识点三整式的乘法
1.单项式与单项式相乘：
单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指
数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.
2.单项式与多项式相乘：
单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就
是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即（a+b+c)m=am+bm+cm
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序.
3.多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多
项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1 的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两
个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab
对于一次项系数不为1 的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.
【易错警示】
单项式乘多项式勿漏乘每一项，注意符号；多项式乘多项式要防漏项、忘变号。合并同类项前先检查项数，
结果按某字母降幂排列。
即时即练1．已知
2
1
2
2
x
m
x
x
n
的乘积中不含x 项和
2x 项．
(1)求m 、n 的值．
(2)求代数式
2026
2027
m
n
的值．
【答案】(1)
1
2
m
，
2
n
(2)2
【分析】
（1）先化简
2
1
2
2
x
m
x
x
n
，得到
3
2
1
2
1
2
2
x
m
x
n
m x
mn
，根据
2
1
2
2
x
m
x
x
n
的乘积中不含x 项和
2x 项，得到
2
1
0
1
2
0
2
m
n
m
，求出
1
2
2
m
n
ì
=
ïíï =
î
，即可解答；
（2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可．
【详解】（1）解：
2
1
2
2
x
m
x
x
n
3
2
2
1
2
2
2
x
x
nx
mx
mx
mn
3
2
1
2
1
2
2
x
m
x
n
m x
mn
，
∵
2
1
2
2
x
m
x
x
n
的乘积中不含x 项和
2x 项，
∴
2
1
0
1
2
0
2
m
n
m
，
解得
1
2
2
m
n
ì
=
ïíï =
î
，
∴m 的值为1
2 ，n 的值为2．
（2）解：∵
1
2
2
m
n
ì
=
ïíï =
î
，
∴
2026
2026
2026
2027
2026
2026
1
2
2
2
2
m
n
m
n
n
mn
n
．
2．如图，有一块长
3
5
m
a
b
、宽
m
a
b
的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长m
a
、宽
2
m
a
b
的
长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（
2
a
b
）
(1)用含,a b 的代数式表示草坪的面积．（结果需化简）
(2)已知草坪的单价为每平方米20 元，当
25,
5
a
b
时，求购买草坪所需要的总费用．
【答案】(1)
2
2
2
2
6
5
m
a
ab
b
(2)12500 元
【分析】（1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积，
（2）将a、b 的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
3
5
2
3
3
5
5
2
2
6
5
a
b
a
b
a a
b
a
ab
ab
b
a
ab
a
ab
b
，
答：草坪面积为
2
2
2
2
6
5
a
ab
b
m
；
（2）解：当
25m
a
，
5m
b
时，
2
2
2
2
2
6
5
2 25
6 25 5
5 5
a
ab
b
1250
750
125
2
625 m
，
625 20
12500
（元）
答：购买草坪所需要的总费用为12500 元．
知识点四乘法公式
1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²
公式的几种变化：
①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²
②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²
③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=
4
4
a
b
④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²
⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=
4
4
a
b
⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b)
2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2 倍.
即完全平方和(a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差(a-b)²=a²-2ab+b²
（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2 倍
（2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab；③(a+b)²=(a-b)²+4ab；
④(a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab.
【易错警示】
平方差公式中要注意“相同项平方减相反项平方”；完全平方公式勿漏中间项“±2ab”，且符号看准。公
式勿乱用，只有符合形式才能直接用。
即时即练1．先化简，再求值：
2
3
3
3
2
2
x
x
x
x
x
，其中
1
2
x
【答案】2x
；1
【分析】先利用整式乘法公式和单项式乘多项式法则展开各项，再合并同类项得到化简结果，最后代入x
的值进行计算即可．
【详解】解：
2
3
3
3
2
2
x
x
x
x
x
2
2
2
4
6
2
9
9
x
x
x
x
x
2x
；
当
1
2
x
时，
1
2
2
1
2
x
．
2．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：
2
2
a
b
a
d
bc
c
d
．
(1)填空：对于有理数x，y，k，若
2
2
x
kx
y
y
是一个完全平方式，则k ______．
(2)对于有理数x，y，已知2
18
x
y
，
2
2
3
2
3
204
3
3
x
y
x
y
x
y
，求xy 的值．
【答案】(1) 2
(2)
30
xy
【分析】（1）由新定义可得
2
2
2
2
2
2
x
kx
x
kxy
y
y
y
，再根据完全平方公式确定k 的值即可；
（2）由新定义可得
2
2
2
2
3
2
3
4
204
3
3
x
y
x
y
x
y
x
y
，再运用完全平方公式可得
2
2
2
2
4
4
324
x
y
x
y
xy
，然后将
2
2
4
204
x
y
整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
kx
x
y
kx
y
x
kxy
y
y
y
2
2
x
kx
y
y
是一个完全平方式，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
x
kxy
y
x
y
x
xy
y
，
∴2
4
k ，解得：
2
k ．
（2）解：
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3
3 2
3
4
3
3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
∵2
18
x
y
∴
2
2
2
2
4
4
324
x
y
x
y
xy
∴204
4
324
xy
，即4
120
xy
，解得：
30
xy
．
知识点五整式的除法
（1）单项式÷单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬
（2）多项式÷单项式：各项分别除单项式再求和
（3）易错：漏符号、漏单独字母、指数算错
【易错警示】
同底数幂相除指数相减，底数不为0；单项式除单项式系数、同底数幂分别相除；多项式除单项式要逐项相
除，注意符号，不能漏项。结果要约分。
即时即练1．先化简，再求值：
2
3
2
3
4
3
5
3
x
y
x
y
y
x
x
y
xy
y
，其中
1
1
,
1
3
x
y
．
【答案】2
2
y
x
；4
【详解】解：原式
2
2
2
2
4
9
3
4
12
5
3
x
y
xy
y
x
xy
xy
y
2
6
6
3
2
2
y
xy
y
y
x
；
∵
1
1
3,
1
3
x
y
，
∴原式
2 1 2
3
4
．
2．已知：整式
2
3
A
t
，
2
3
B
t
，t 为任意有理数．
(1)
10
A B
的值可能为负数吗？请说明理由；
(2)请通过计算说明：当t 是整数时，
2
2
A
B
的值一定能被12 整除．
【答案】(1)不可能为负数
(2)见解析
【分析】（1）计算出
10
A B
的值，结合平方的非负性进行判断即可；
（2）计算得
2
2
24
A
B
t
，结合题干可知，24t 能被12 整除，因此结论成立．
【详解】（1）解：
2
2
10
2
3
2
3
10
4
9 10
4
1
A B
t
t
t
t
，
∵
2
4
0
t
，
∴
2
4
1
0
t
，
∴
10
A B
的值不可能为负数；
（2）解：
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
4
12
9
4
12
9
24
A
B
t
t
t
t
t
t
t
，
∵t 是整数，
∴24t 能被12 整除，
∴
2
2
A
B
的值一定能被12 整除．
题型1
判断整式运算是否正确
例1．下列运算正确的是（
）
A．
3
2
6
a
a
B．
2
3
6
a
a
a
C．
3
3
2
2
a
a
D．
10
2
5
a
a
a
【答案】A
【分析】本题考查幂的运算法则，包括幂的乘方
n
m
mn
a
a
、同底数幂的乘除
·
m
n
m n
a a
a
0
m
n
m n
a
a
a
a
、积的乘方
n
n
n
ab
a b
，需依据各法则逐一判断选项的正误．
【详解】解：幂的乘方法则为
n
m
mn
a
a
对于选项A，
3
2
2 3
6
a
a
a
，运算正确．
同底数幂相乘法则为
·
m
n
m n
a a
a
选项B 中
2
3
2
3
5
6
·
a a
a
a
a
，运算错误．
积的乘方法则为
n
n
n
ab
a b
选项C 中
3
3
3
3
3
2
2
8
2
a
a
a
a
，运算错误．
同底数幂相除法则为
0
m
n
m n
a
a
a
a
选项D 中
10
2
10
2
8
5
a
a
a
a
a
，运算错误．
故选：A．
例2．下列运算正确的是（
）
A．
3
3
6
a
a
a
B．
3
2
6
a
a
C．
4
4
16
a
a
a
D．
4
8
4
a
a
a
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘除运算法则逐一判
断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A 、
3
3
3
2
a
a
a
，该选项运算错误，不符合题意；
B 、
3
2
6
a
a
，该选项运算错误，不符合题意；
C 、
4
4
4 4
8
·
a a
a
a
，该选项运算错误，不符合题意；
D 、
4
8
4 8
4
a
a
a
a
，该选项运算正确，符合题意；
故选：D ．
【技巧总结】
先看运算顺序，再检查法则：幂运算注意指数乘除，合并同类项看系数字母指数，整式乘除注意符号与分
配律，可代特殊值快速验证，避免跳步出错。
【变式训练1-1】下列各式中正确的是（
）
A．
2
2
4
2
a
a
a
B．
3
2
6
2
6
a
a
C．
6
3
2
a
a
a
D．
2
3
5
a
a
a
【答案】D
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法则，对各选项
逐一分析判断．
【详解】
2
2
2
2
1 1
2
a
a
a
a
，故A 错误；
3
3
3
2
2
2 3
6
2
2
8
8
a
a
a
a
，故B 错误；
6
3
6 3
3
a
a
a
a
，故C 错误；
2
3
2 3
5
a
a
a
a
，故D 正确．
故选：D．
【变式训练1-2】下列式子运算正确的是（
）
A．
2
4
8
a
a
a
B．
2
3
6
2
2
a
a
C．
6
2
3
a
a
a
D．
2
6
3
6
2
a
a
a
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法与积的乘方，解决本题的关键是牢记
相关运算法则．
直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方运算法则依次判断即可．
【详解】解：A．
2
4
6
a
a
a
，故不正确；
B．
2
6
3
2
4
a
a
，故不正确；
C．
6
2
4
a
a
a
，故不正确；
D．
2
6
3
6
6
6
2
a
a
a
a
a
，正确．
故选D．
题型2
用科学记数法表示绝对值小于1 的数
例3．《哪吒之魔童闹海》是中国影史首部百亿票房影片，为在影片中呈现细腻的法术光芒，在特效制作中
对单个粒子的渲染精度要求极高，其中某关键特效粒子的半径为0.0000025 米，其中数据0.0000025 用科学
记数法可表示为
．
【答案】
6
2.5 10
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1 的非0 小数，用科学记数法写成
10 n
a
的形式，其中1
10
a
，n 是整数，n 的绝对值等于小数点移动的位数．
【详解】解：
6
0.0000025
2.5 10
．
故答案为：
6
2.5 10
．
例4．气凝胶属于纳米级多孔固态材料，是目前已知密度最低的固体，质量为1g 的某种二氧化硅气凝胶的
体积约为
3
0.0000223m ．将数据0.0000223用科学记数法表示为
．
【答案】
5
2.23 10
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．
科学记数法的表示形式为
10n
a
的形式，其中1
<10
a
，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．
【详解】解：
5
0.0000223
2.23 10
．
故答案为：
5
2.23 10
．
【技巧总结】
将小数点右移至第一个非零数字后，指数为负，指数绝对值等于左移位数；注意保持有效数字位数，结果
写成a×10⁻ ⁿ 形式，其中1≤|a|＜10，n 为正整数，前面补零不计。
【变式训练2-1】2025 年，我国大科学装置取得重大进展，在其捕捉到的一种极端微弱信号中，某个关键参
数的强度值为0.0000015个单位，数值0.0000015用科学记数法可表示为
．
【答案】
6
1.5 10
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为
10 n
a
，其中
1
10
a
，n 为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．根据绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般
形式为
10 n
a
，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零
的数字前面的0 的个数所决定，进行求解即可．
【详解】解：0.0000015用科学记数法表示为
6
1.5 10
．
故答案为：
6
1.5 10
．
【变式训练2-2】制造高性能LED 显示屏时，需要使用一种掺杂了稀土元素铕（Eu ）的超薄有机膜．经测
量，该薄膜的厚度非常薄，仅为0.0000405毫米，数值0.0000405用科学记数法表示为
．
【答案】
5
4.05 10
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表现形式为
10n
a
的形式，其中1
10
a
，n 为整数，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．将0.0000405用科学记数法表示，需确定系数和指数即可解答．
【详解】解：由题意，将0.0000405的小数点向右移动5 位得到4.05 ，
5
n
，即
5
0.0000405
4.05 10
，
故答案为：
5
4.05 10
．
题型3
完全平方式中的字母参数问题
例5．若
2
2
36
x
mx
是一个完全平方式，则m _____．
【答案】6
【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
是解题的关键．
根据
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，
2
2
2
2
36
6
12
36
x
mx
x
x
x
，
∴
6
m ，
故答案为：6
．
例6．若
2
2
36
x
mx
可以用完全平方式来分解因式，则m 的值为________．
【答案】6
【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式：
2
2
2
a
ab
b
的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍
在中央．
根据完全平方式的特点作答即可．
【详解】解：∵
2
2
36
x
mx
即
2
2
2
6
x
mx
可以用完全平方式来分解因式，
∴2
2
6
mx
x
，
解得
6
m ．
故答案为：6
．
【技巧总结】
先写成(a±b)²形式展开对比，常数项为一次项系数一半的平方；含参数时，设完全平方后展开对应系数相
等，注意符号，两解勿漏，有时需考虑二次项系数为完全平方数。
【变式训练3-1】已知多项式
2
3
16
x
m
x
是完全平方式，则m 的值是______．
【答案】5
或11
【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特点列出关于m 的方程解答即可求解，熟练掌握
知识点是解题的关键．
【详解】解：∵多项式
2
3
16
x
m
x
是完全平方式，
∴
3
2
4
m
，
解得
5
m 或
11
m
，
故答案为：5
或11．
【变式训练3-2】多项式
2
225
x
添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________
（任写一个符合条件的即可）．
【答案】30x （或30x
或
4
1
900 x ）
【分析】本题考查完全平方式．
根据完全平方式的结构特征，即可求解．
【详解】解：
2
225
15
，
若添加一次项，则需添加2
15
30
x
x
，得到
2
2
30
225
(
15)
x
x
x
，
若添加四次项，设
2
2
2
4
2
15
30
225
ax
a x
ax
，则需添加
2
4
a x ，
∵原多项式为
2
225
x
，
∴30
1
a ，
∴
1
30
a
，
∴
2
2
4
4
4
1
1
30
900
a x
x
x
，
∴添加的单项式可以是30x 或30x
或
4
1
900 x ．
故答案为：30x （或30x
或
4
1
900 x ）．
题型4
已知多项式乘积不含某项求字母的值
例7．已知
4
2
x
x
m
展开式中不含x 的一次项，则m 的取值为___．
【答案】8
【分析】本题考查了整式的混合运算无关项问题，掌握整式的混合运算，无关项的系数为0 是解题的关键．
运用多项式乘以多项式，再合并同类项，由无关项的系数为0 列式求解即可．
【详解】解：展开
4
2
x
x
m
，
得
2
2
8
4
m x
m
x
，
∵展开式中不含x 的一次项，
∴8
0
m
，
解得，
8
m
，
故答案为：8 ．
例8．若
2
3
2
5
x
x
mx
的计算结果中
2x 项的系数为3
，则m 的值为________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键，展开多项式，
合并同类项，得到
2x 项的系数表达式，令其等于3
，解方程求m ．
【详解】解：展开
2
3
2
5
x
x
mx
3
2
2
6
5
3
15
x
m
x
m x
．
∵
2x 项的系数为
6
m
，
∴
6
3
m
，
解得
3
m
．
故答案为3．
【技巧总结】
先按法则展开合并同类项，令该项系数为零列方程求解；注意“不含”指该项系数为零，有时需考虑二次
项、一次项或常数项，展开时细心防止漏项，结果代入验证。
【变式训练4-1】若关于x 的多项式
2
2
x
x
与x
b
的乘积中不含x 项，则b ______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式中的无关型问题，计算两个多项式的乘积，合并同类项后，
令x 项的系数为零，解方程求b 即可．
【详解】解：
2
2
x
x
x
b
3
2
2
2
2
x
bx
x
bx
x
b
3
2
1
2
2
x
b
x
b
x
b
其中x 项系数为
2
b
，
令
2
0
b
，
解得
2
b
．
故答案为∶2．
【变式训练4-2】已知
2
3
2
2
,
1,
2
3
5
A
x
ax
b B
x
C
x
x
．若A B
C
的值与x 的取值无关，则当
2
x 时，A 的值为________．
【答案】3
【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘
以多项式法则和整式加减运算法则计算A B
C
，再根据值与x 的取值无关，求出a 、b 的值，进而得到代
数式A ，再代入计算求值即可．
【详解】解：
2
2
,
1
A
x
ax
b B
x
，
2
2
1
A B
x
ax
b
x
3
2
2
2
2
x
ax
bx
x
ax
b
3
2
2
2
x
a x
a
b x
b
，
3
2
2
3
5
C
x
x
，
3
2
3
2
2
2
2
3
5
A B
C
x
a x
a
b x
b
x
x
，
3
2
3
2
2
2
2
3
5
x
a x
a
b x
b
x
x
2
5
5
a x
a
b x
b
，
A B
C
的值与x 的取值无关，
5
0
a
，
0
a
b
，
5
a
，
5
b ，
2
2
2
5
5
2
5
5
A
x
x
x
x
，
当
2
x 时，A 的值为
2
2
2
5
2
5
2
4 10
5
8 10
5
3
，
故答案为：3．
题型5
幂的混合运算及逆运算
例9．计算：
3
2
3
2
3
4
2
3
x
x
x
x
x
．
【答案】
6
1
x
【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算
同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答．
【详解】解：
3
2
3
2
3
4
2
3
x
x
x
x
x
6
6
3
4
8
9
x
x
x
x
x
6
6
4
4
8
9
x
x
x
x
6
6
8
9
1
x
x
6
1
x
．
例10．计算：
(1)
4
3
2
5
3
2
4
2
2
a
a
a
a
a
(2)
3
2
4
2
10
7
2
2
2
a
a
a
a
a
【答案】(1)
8
18a
(2)
12
5a
【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种
运算法则并准确运算．
（1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项；
（2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项．
【详解】（1）解：
4
3
2
5
3
2
4
2
2
a
a
a
a
a
8
8
12
4
16
a
a
a
a
，
8
8
8
16
(
)
a
a
a
，
8
18a
．
（2）解：
3
2
4
2
10
7
2
2
2
a
a
a
a
a
12
12
14
2
2
4
a
a
a
a
，
12
12
12
2
4
a
a
a
，
12
5a
．
【技巧总结】
同底数幂乘除指数加减，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式乘方；逆运算常化同底数或同指数，利用
指数相等列方程，注意底数为负时指数奇偶性，底数非零为前提。
【变式训练5-1】计算：
(1)已知
64
8
m
n
x
x
，
，求
m n
x
的值；
(2)已知2
2
m
n
a
b
，
，求
3
10
2 m
n
的值
【答案】(1)8
(2)
3
10
a b
【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用．
（1）逆用同底数幂的除法法则计算即可；
（2）先逆用同底数幂乘法得到
3
10
2
2
m
n
，再逆用幂的乘方计算即可．
【详解】（1）解：∵
64
8
m
n
x
x
，
，
∴
m n
x
m
n
x
x
64 8
8
；
（2）解：∵2
2
m
n
a
b
，
，
∴
3
10
2 m
n
3
10
2
2
m
n
3
10
2
2
m
n
3
10
a
b
3
10
a b
．
【变式训练5-2】（1）已知
6
m
x
，
2
nx
，求①
m n
x
；②
2
3
m
n
x
的值．
（2）已知
2
1
0
x
y
，求2
4
8
x
y
的值．
【答案】（1）①12；②9
2 ；（2）16
【分析】本题主要考查了同底数幂除法及其逆运算，幂的乘方及其逆运算，熟知相关计算法则是解题的关
键．
（1）分别根据同底数幂乘法和同底数幂除法的逆运算求解即可；
（2）先根据幂的乘方得到原式
2
3
2
2
2
x
y
，再根据同底数幂除法的法则求解即可．
【详解】解：（1）∵
6
m
x
，
2
nx
，
①
6
2
12
n
n
m
m
x
x
x
；
②
2
3
2
3
2
3
9
6
2
36
8
2
m
n
m
n
x
x
x
；
（2）∵
2
1
0
x
y
，
∴
2
1
x
y
，
∴2
4
8
x
y
2
3
2
2
2
y
x
2
3
2
2
2
x
y
2
3
2x
y
1 3
2
16
．
题型6
零指数幂、负整数指数幂综合计算
例11．计算：
2026
1
0
1
2 3
1
【答案】1
13
【详解】解：
2026
1
0
1
2 3
1
1
1 2
1
3
2
1
1
3
1
13
．
例12．计算：
3
2026
0
1
3
1
π
3
2
【答案】4
【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算即可．
【详解】解：
3
2026
0
1
3
1
π
3
2
3 1 1 8
3 1 8
4
．
【技巧总结】
零指数幂底数非零结果为1，负指数化为倒数正指数；运算时先化负指数为正，再按幂运算法则计算，注意
底数为分数时取倒数，结果化为正整数指数形式，避免符号错误。
【变式训练6-1】计算：
1
0
4
2
1
2
3
2
π
3
2
【答案】27
2
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及正整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂的运算规则．关键是掌
握相关运算法则，先分别计算各项的乘方、负指数幂、零指数幂，再进行乘法运算，最后按照从左到右的
顺序进行加减运算．
【详解】解：
1
0
4
2
1
2
3
2
π
3
2
3
16
3
2 1
2
9
16
2
2
9
18
2
36
9
2
2
27
2
．
【变式训练6-2】计算：
(1)
2025
2
2026
1
0.125
8
3
3
；
(2)
2
0
2025
3
1
1
3.14
π
4
3
．
【答案】(1) 5
(2) 29
4
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知
相关运算法则是解题的关键．
（1）把原式变形为
2025
2
2025
1
0.125
8
3
8
3
，进一步变形为
2025
2
1
0.12
8
3
3
8
5
，据
此计算求解即可；
（2）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
2025
2
2026
1
0.125
8
3
3
2025
2
2025
1
0.125
8
3
3
8
2025
2
8
1
0.125 8
3
3
2025
2
1
3
3
8
1
1
3
1 8
9
8
3
=
5
；
（2）解：
2
0
2025
3
1
1
3.14
π
4
3
3
1
9 1
4
3
9 1
4
29
4
．
题型7
整式混合运算——化简求值
例13．先化简，再求值：
2
2
x
y
x
y
x
y
x
x ，其中
3
x
，
1
2
y
．
【答案】
2
x
y
，2
【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，准确运用公式和合并同类项法则是解题
关键．
先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，最后用括号内的每一项分别除以x ，化简后代入数
值计算．
【详解】解：
2
2
x
y
x
y
x
y
x
x
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
y
x
x
2
2
x
xy
x
2
2
x
x
xy
x
2
x
y
，
当
3
x
，
1
2
y
，
1
2
3
2
2
2
x
y
．
例14．先化简，再求值：
2
2
x
y
x
y
x
y
y
，其中
2025,
1
x
y
．
【答案】x
y
，2026
【分析】此题考查了整式的混合运算和代数式的求值．利用平方差公式和完全平方公式展开括号内部分，
再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
2
2
x
y
x
y
x
y
y
2
2
2
2
2
2
x
y
x
xy
y
y
2
2
2
2
2
2
x
y
x
xy
y
y
2
2
2
2
xy
y
y
x
y
当
2025,
1
x
y
时，
原式
2025
1
2026
【技巧总结】
先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号内，合并同类项化简；代入数值时负数添括号，注意整体代入或
利用条件变形简化计算，避免直接代入增加运算量，结果要最简。
【变式训练7-1】先化简，再求值：
2
[
2 )
2
2
2
2
2
a
b
a
b
b
a
a
a
b
a
，其中a，b 满足
2
1
(
3)
0
a
b
【答案】
3
a
b
；10
【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负
性即可求出答案．
【详解】解：
2
[
2 )
2
2
2
2
2
a
b
a
b
b
a
a
a
b
a
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
2
a
ab
b
a
b
a
ab
a
2
2
6
2
a
ab
a
3
a
b
，
2
1
(
3)
0
a
b
，
1
0
a
，
3
0
b
，
解得：
1
a ，
3
b ，
当
1
a ，
3
b 时，原式
1 3
3
1 9
10
【变式训练7-2】（1）计算：
2
2
1
x
y
；
（2）先化简，再求值：
2
2
x
y
x
y
x
y
x
．其中
3
x
，
2
y ．
【答案】（1）
2
2
4
2
1
4
4
y
x
xy
x
y
；（2）x
y
，5
【分析】对于本题，重点掌握完全平方公式
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，平方差公式
2
2
a
b
a
b
a
b
．
（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）先由完全平方公式和平方差公式计算中括号，再计算多项式除以单项式，最后代入求值即可．
【详解】解：（1）
2
2
1
x
y
2
2
2 2
1
x
y
x
y
2
2
4
4
4
2
1
x
xy
y
x
y
；
（2）
2
2
x
y
x
y
x
y
x
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
x
y
x
2
2
2
2
x
xy
x
x
y
，
当
3
x
，
2
y 时，
原式
3
2
5
．
题型8
利用乘法公式简便运算
例15．利用平方差公式简便运算：
(1)1.03 0.97
；
(2)
2
60
58 62
．
【答案】(1)0.9991
(2) 4
【分析】本题考查了平方差公式的应用．
（1）先将原式变形为
1 0.03
1 0.03
，再利用平方差公式计算即可；
（2）先将58 62
变形为
60
2
60
2
，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式
2
1 0.03
1 0.03
1 0.03
0.9991
；
（2）解：原式
2
2
2
2
60
60
2
60
2
60
60
2
4
．
例16．简便运算：
(1)1007 993
；
(2)
2
2
1
1
665
335
11
11
．
【答案】(1)999951
(2)30000
【分析】本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键．
（1）先将1007 993
恒等变形为
1000
7
1000
7
，再由平方差公式计算即可得到答案；
（2）先由乘法分配律的逆运算得到
2
2
1
665
335
11
，再由平方差公式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：1007 993
1000
7
1000
7
2
2
1000
7
1000000
49
999951
；
（2）解：
2
2
1
1
665
335
11
11
2
2
1
665
335
11
1
665
335
665
335
11
1
1000 330
11
30000
．
【技巧总结】
观察式子结构，凑成平方差、完全平方或立方公式形式；将数字拆解成和或差，逆向运用公式简化计算，
注意符号与系数，避免直接硬算。
【变式训练8-1】运用乘法公式进行简便运算：
(1)
2
201 ；
(2)49 51 2500
．
【答案】(1) 40401
(2) 1
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理原式
2
200 1
，再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答．
（2）先整理原式
50
1
50
1
2500
，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答．
【详解】（1）解：
2
201
2
200 1
40000
400
1
40401
；
（2）解：49 51 2500
50
1
50
1
2500
2500 1 2500
1
．
【变式训练8-2】乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目．
(1)
2
100
99 101
；
(2)
2
9
910
．
【答案】(1)1
(2)98 1
100
【分析】点评：主要考查利用平方差公式简便运算，构造成平方差公式结构形式是解题的关键．
本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．（1）
将99 化为
100 1
，将101 化为
100
1
，正好构造成平方差公式，再利用公式计算即可．
（2）将原式变形为
2
10
1
10
，利用完全平方公式展开计算．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
100
99 101 100
100 1
100 1
100
100
1
1
．
（2）解：
2
2
2
2
1
1
1
1
10
2 10
98
10
10
100
9
9
10
10
10
．
题型9
通过对完全平方公式变形求值
例17．若
4
x
y
，且
1
1
8
x
y
．
(1)求xy 的值；
(2)求
2
2
x
y
的值；
【答案】(1)3
(2)10
【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式的运算法则得
1
8
xy
x
y
，又因为
4
x
y
，故
7
4
3
xy
，即可作答．
（2）把
3
xy
，
4
x
y
代入
2
2
2
2
x
y
x
y
xy
，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
1
1
8
x
y
，
∴
1
8
xy
x
y
，
则
7
xy
x
y
，
∵
4
x
y
，
∴
7
4
3
xy
；
（2）解：由（1）得
3
xy
，
∵
4
x
y
∴
2
2
x
y
2
2
x
y
xy
2
4
2 3
10
．
例18．已知
5
3
x
y
xy
，
，求下列代数式的值：
(1)
2
2
x
y
；
(2)
2
x
y
；
(3)
4
4
x
y
．
【答案】(1)19
(2)13
(3)343
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）根据
2
2
2=
2
x
y
x
y
xy
计算求解即可；
（2）根据
2
2
4
x
y
x
y
xy
计算求解即可；
（3）根据
2
4
4
2
2
2
2
2
x
y
x
y
x y
计算求解即可．
【详解】（1）解：∵
5
3
x
y
xy
，
，
∴
2
2
2
2
2
5
2 3
25
6
19
x
y
x
y
xy
；
（2）解：∵
5
3
x
y
xy
，
，
∴
2
2
2
4
5
4 3
25 12
13
x
y
x
y
xy
；
（3）解：由（1）得
2
2
19
x
y
∴
4
4
x
y
2
2
2
2
2
2
x
y
x y
2
2
2
2
2
x
y
xy
2
2
19
2
3
361 18
343
．
【技巧总结】
1. 知和求积：由(a+b)2 = a2+b2+2ab 得ab =
（�+�）
2−( �2+�2)
2
。
2. 知差求积：由(a-b)2= a2+b2-2ab 得ab =
( �2+�2)−（�−�）
2
2
。
核心：将平方和、和（差）与积灵活互化。
【变式训练9-1】已知a ，b 是实数，定义关于“”的一种运算如下：
2
2
a b
a
b
a
b
．
(1)化简：a b
；
(2)若
20
a b
，
4
a
b
，求下列式子的值：
①
2
2
a
b
；
②a
b
；
(3)若
2025
2026
24
m
m
，求
2
2
2025
2026
m
m
的值．
【答案】(1) 4ab
(2)①26 ②6
(3)13
【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据新定义
2
2
a b
a
b
a
b
，化简计算即可；
（2）因为
20
a b
，由（1）知
4
20
a b
ab
，则
5
ab ，又已知
4
a
b
，则变形计算即可：
①
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
②
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
；
（3）令2025
,
2026
m
a m
b
，则
1
a
b
，由4
24
ab
得
6
ab ，求
2
2
2025
2026
m
m
即求
2
2
a
b
即可．
【详解】（1）解：由新定义运算可知：
2
2
a b
a
b
a
b
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ab
b
4ab
；
故答案为：4ab ；
（2）解：∵
20
a b
由（1）知
4
a b
ab
，
即4
20
ab
，
5
ab ，
又∵
4
a
b
，
①
2
2
2
2
2
4
2
5
26
a
b
a
b
ab
；
②
2
2
2
2
26
2
5
36
a
b
a
b
ab
，
∴
6
a
b
；
（3）解：令2025
,
2026
m
a m
b
则
1
a
b
，
由4
24
ab
得
6
ab ，
∴
2
2
2
2
2
1
2
6
13
a
b
a
b
ab
，
即
2
2
2025
2026
13
m
m
．
【变式训练9-2】拓展探究：
材料：我们知道
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，两式相减可得：
2
2
4
a
b
a
b
ab
，
由此可得公式：
2
2
4
a
b
a
b
ab
．
(1)已知
7
a
b
，
3
a
b
，求ab 的值：
(2)探究：已知a
b
m
，
2
2
a
b
n
，求ab （用m 、n 表示）；
(3)已知
2025
2024
1
a
a
，求
2
2
2025
2024
a
a
的值．
【答案】(1)10
(2)
2
2
m
n
(3)3
【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值．
(1)利用完全平方公式可得：
2
2
2
49
a
ab
b
，
2
2
2
9
a
ab
b
，把等式两边分别相减即可求出ab 的值；
(2)利用完全平方公式可得：
2
2
2
2
a
ab
b
m
，根据
2
2
a
b
n
，即可求出ab ；
(3)利用完全平方公式可得：
2
2
2025
2024
1
2 2025
2024
a
a
a
a
，把
2025
2024
1
a
a
代入即可求代数式的值．
【详解】（1）解：
7
a
b
，
2
2
7
a
b
，
整理得：
2
2
2
49
a
ab
b
①，
3
a
b
，
2
23
a
b
，
整理得：
2
2
2
9
a
ab
b
②，
①
②得：4
40
ab
，
解得：
10
ab
；
（2）解：
a
b
m
，
2
2
a
b
m
，
整理得：
2
2
2
2
a
ab
b
m
，
又
2
2
a
b
n
，
2
2ab
n
m
，
2
2
m
n
ab
，
故答案为：
2
2
m
n
；
（3）解：
2
2
2025
2024
a
a
2
2
2025
2024
2 2025
2024
2 2025
2024
a
a
a
a
a
a
2
2025
2024
2 2025
2024
a
a
a
a
2
2025
2024
2 2025
2024
a
a
a
a
21
2 2025
2024
a
a
1 2 2025
2024
a
a
，
2025
2024
1
a
a
，
原式
1 2 2025
2024
1 2
1
3
a
a
.
题型10
整式乘法与图形面积
例19．对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为3b ，对联上方留
白称为天头，长为6a ，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为3: 2 ，左、右两边的边宽均为天
头与地头长度之和的1
10 ．
(1)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b 的代数式
表示，并将结果化为最简）
(2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b 的代数式表示，并将结果化为最简）
【答案】(1)3
10
b
a
；
2
b
a
(2)
2
2
3
16
20
b
ab
a
【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解题意表示出这副对联画心
（即图中阴影部分）的纵向长度和横向宽度是解题的关键．
（1）根据题意求出地头的长，进而可求出左、右两边的边宽，再结合图形可得答案；
（2）根据长方形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵天头和地头的长度之比为3: 2 ，且天头长为6a ，
∴地头长为4a ，
∴这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为3
6
4
3
10
b
a
a
b
a
；
∵左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的1
10 ，
∴这副对联画心（即图中阴影部分）的横向宽度为
1
2
6
4
2
10
b
a
a
b
a
；
（2）解：
3
10
2
b
a
b
a
2
2
3
10
6
20
b
ab
ab
a
2
2
3
16
20
b
ab
a
，
∴这副对联画心（即图中阴影部分）的面积为
2
2
3
16
20
b
ab
a
．
例20．如图，有一块长
3
5
m
a
b
、宽
m
a
b
的长方形地块，现计划在中间修筑一个长m
a
、宽
2
m
a
b
的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．
2
a
b
(1)用含a
b
，的代数式表示草坪的面积；（结果需化简）
(2)当
25
5
a
b
，
时，求草坪的面积．
【答案】(1)
2
2
2
2
6
5
m
a
ab
b
(2)
2
625m
【分析】本题考查了长方形面积公式，多项式乘法法则及整式的加减运算．
（1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积，
（2）将a、b 的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可．
【详解】（1）解：由图可知，草坪的面积是：
2
2
2
2
2
3
5
2
3
3
5
5
2
2
6
5
a
b
a
b
a a
b
a
ab
ab
b
a
ab
a
ab
b
，
答：草坪面积为
2
2
2
2
6
5
m
a
ab
b
；
（2）解：当
25m,
5m
a
b
时，
2
2
2
6
5
a
ab
b
2
2
2
25
6
25 5
5 5
2
625
6
25 5
5
25
1250
750
125
2
625 m
，
答：草坪的面积是
2
625m ．
【技巧总结】
根据图形分割或补全，用不同方法表示总面积，列出整式乘法恒等式；常利用矩形、正方形面积模型解释
乘法公式，通过等面积法建立方程，数形结合验证运算结果。
【变式训练10-1】书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如
图1），其长为28cm、宽为20.5cm、厚为1cm．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中
虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（cm
x
）即为折叠进去的
宽度．请解答下列问题：（用含x 的代数式表示，并化为最简）
(1)图2 中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______cm，宽为______cm；
(2)求图2 中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积．
【答案】(1)
42
2x
，
28
2x
(2)
2
2
4
140
1176 cm
x
x
【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的
关键．
（1）根据题意，列出代数式，即可求解；
（2）利用长方形的面积公式得到
42
2
28
2
x
x
，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，长为
1 2 20.5
2
42
2
cm
x
x
，宽为
28
2
cm
x
，
故答案为：
42
2x
，
28
2x
；
（2）解：由题意得，
42
2
28
2
x
x
42
28
42 2
2
28
2
2
x
x
x
x
2
1176
84
56
4
x
x
x
2
2
4
140
1176 cm
x
x
【变式训练10-2】如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地
而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2 是某吊
脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3 所示的几何图形（单位：m）．
(1)请用含字母a，b 的代数式表示图3 的面积．
(2)若
2
a ，
4
b
，此时图3 的面积是多少平方米？
【答案】(1)
2
2
2
2
5
12
m
a
ab
b
(2)
2
144m
【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．
（1）根据梯形的面积公式计算即可；
（2）将
2
a ，
4
b
代入（1）中结果计算即可．
【详解】（1）解：面积为：
1
1
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
2
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
1
1
3
4
2
3
2
5
2
3
2
2
b
a
a
b
a
b
a
b
1 3
4
2
5
2
3
2
b
a
a
b
a
b
1 8
2
2
3
2
b
a
a
b
2
2
2
2
5
12
m
a
ab
b
；
（2）解：当
2
a ，
4
b
时，原式=
2
2
2
2
2
5
2
4
12
4
144 m
，
故此时图3 的面积是
2
144m ．
题型11
乘法公式中几何图形的应用
例21．推理能力如图①所示，在边长为a 的正方形中作一个边长为
b a
b
的正方形，则余下的阴影部分面
积等于一个以
a
b
为长、
a
b
为宽的长方形面积，如图②所示．
【探究】
（1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两
图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________．
【应用】
（2）根据（1）中的公式解决如下问题：
①若
4
a
b
，
2
a
b
，求
2
2
a
b
的值．
②计算：
2
4
8
1024
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
．
【答案】（1）
2
2
a
b
，
a
b
a
b
，
2
2
a
b
a
b
a
b
；（2）①8，②
2048
2
1
【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构
造使用条件是解题的关键．
（1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式
表示；根据面积相等推导出平方差公式；
（2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续
应用平方差公式逐步化简计算．
【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为
2
2
a
b
，图②中阴影部分的面积为
a
b
a
b
，根
据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式
2
2
a
b
a
b
a
b
．
故答案为：
2
2
a
b
，
a
b
a
b
，
2
2
a
b
a
b
a
b
．
（2）①因为
4
a
b
，
2
a
b
，且
2
2
a
b
a
b
a
b
，
所以
4 2
8
a
b
a
b
，即
2
2
8
a
b
．
②
2
4
8
1024
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
8
1024
2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
8
1024
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
8
1024
2
1
2
1
2
1
2
1
8
8
1024
2
1
2
1
2
1
16
1024
2
1
2
1
2048
2
1
．
例22．边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A．
2
2
2
2
(
)
a
ab
b
a
b
B．
2
2
a
b
a
b
a
b
C．
2
a
ab
a a
b
D．
2
a
ab
a a
b
(2)若
2
2
12
x
y
，
4
x
y
，求x
y
的值；
(3)计算：
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
2024
2025
．
【答案】(1)B
(2)
3
x
y
(3) 1013
2025
【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可．
（2）利用平方差公式计算即可．
（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
【详解】（1）解：边长为a 的正方形面积是
2
a ，边长为b 的正方形面积是
2
b ，
∴图①阴影部分面积为
2
2
a
b
；图②长方形面积为
a
b
a
b
；
则验证的等式是
2
2
a
b
a
b
a
b
，
故答案为：B；
（2）解：∵
2
2
12
x
y
，
∴
12
x
y
x
y
，
∵
4
x
y
，
∴
4
12
x
y
，
∴
3
x
y
；
（3）解：
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
2024
2025
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
2025
2025
1
3
2
4
3
5
2024
2026
2
2
3
3
4
4
2025
2025
1
2026
2
2025
1013
2025
．
【技巧总结】
用图形面积验证或推导公式，如平方差用长方形与正方形拼补，完全平方用大正方形分割；根据图形边长
关系列面积等式，转化为代数恒等式，直观理解公式结构。
【变式训练11-1】观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
．
【探究】
（1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：
2
2
a
b
___________；
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若
7
4
，
a
b
ab
，求
2
2
a
b
的值；
（3）若x 满足
2
2
2026
2022
10
x
x
，求
2026
2022
x
x
的值；
【拓展】
（4）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD ，AC
BD
于点E ，AE
DE
，BE
CE
，该校计划在
AED
△
和
BEC
区域内种花，在CDE
和ABE
的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102 平方米，
18
AC
米，
求种草区域的面积和．
【答案】
（1）
2
2
a
b
ab
；
（2）
2
2
41
a
b
；
（3）3；
（4）种草区域的面积和为60 平方米．
【分析】本题考查几何背景下的完全平方公式，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式
的值．
（1）根据图2 中阴影部分的面积即可求解；
（2）将已知条件整体
7,
4
a
b
ab
代入（1）的结论，计算即可；
（3）设
2026
2022
，
a
x
b
x
，则
4
a
b
，
2
2
10
a
b
，由（1）可得
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
，整体代
入，计算即可；
（4）设AE
DE
a
，BE
CE
b
，则种花区域的面积
2
2
1
1
2
2
AED
BEC
S
S
a
b
，由此得
2
2
a
b
，由（1）
的结论得ab ，进而得种草区域的面积和．
【详解】（1）解：图2 中大正方形的边长为
a
b
，阴影部分两个正方形的边长分别为a
b
，，两个长方
形的宽和长分别为a
b
，，
大正方形的面积为
2
a
b
，阴影部分两个正方形的面积分别为
2
a ，
2
b ，长方形的面积为ab ，
又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积-两个长方形的面积，
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
，
故答案为：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
；
（2）解：由（1）的结论得：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
，
又
7
4
，
a
b
ab
，
2
2
2
7
2 4
41
a
b
；
（3）解：设
2026
2022
，
a
x
b
x
，则
4
a
b
，
2
2
2
2
2026
2022
10
a
b
x
x
，
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，即16
10
2ab
，
16 10
2026
2022
3
2
x
x
ab
；
（4）解：设AE
DE
a
BE
CE
b
，
，
AC
BD
于点
18
，
E
AC
米，
2
1
2
AED
S
a
（平方米），
2
1
2
BEC
S
b
（平方米），
1
2
AEB
S
ab
△
（平方米），
1
2
CED
S
ab
（平方米），
18
a
b
（米），
种花区域的面积和为102 平方米，
2
2
1
1
102
2
2
AED
BEC
S
S
a
b
，
2
2
204
a
b
，
由（1）的结论得：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
，
2
204
18
2ab
，
60
ab
，
种草区域的面积和为：
1
1
60
2
2
AEB
CED
S
S
ab
ab
ab
（平方米）．
种草区域的面积和为60 平方米．
【变式训练11-2】阅读以下解法：
“若y 满足
40
20
50
y
y
，求
2
2
(40
)
(
20)
y
y
的值”．解：设40
,
20
y
a y
b
，则
40
20
20,
40
20
50
a
b
y
y
ab
y
y
，则
2
2
2
2
(
)
2
20
2 50
300
a
b
a
b
ab
，即
2
2
(40
)
(
20)
300
y
y
．
解决以下问题：
(1)若x 满足
30
22
2
x
x
，则
2
2
(30
)
(
22)
x
x
_______；
(2)若x 满足
2
2
(2
3)
(2
1)
76
x
x
，求
2 2
3
2
1
x
x
的值；
(3)如图，在长方形ABCD 中，
8,
4, ,
AB
BC
E F
分别是
,
BC CD 上的点，且BE
DF
x
，分别以
,
FC CE 为
边在长方形ABCD 外侧作正方形CFGH 和正方形CEMN ，若长方形CEPF 的面积为22 ，求图中阴影部分的
面积．
【答案】(1)60
(2)60
(3)60
【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
(1)设
30
,
22
a
x b
x
，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可；
( 2 )设
2
3,
2
1
m
x
n
x
，利用完全平方公式变形求解即可；
(3)利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可．
【详解】（1）解：设
30
,
22
a
x b
x
，则
2,
30
22
8
ab
a
b
x
x
，
∴根据完全平方公式：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
代入数值：
2
2
2
8
2
2
64
4
60
a
b
，
所以
2
2
30
22
60
x
x
，
故答案为：60 ；
（2）解：设
2
3,
2
1
m
x
n
x
，则
2
2
76,
2
3
2
1
4
m
n
m
n
x
x
，
∴根据完全平方公式：
2
2
2
2
m
n
m
mn
n
代入数值：
2
4
76
2mn
，
解得：
30
mn
，
∴
2 2
3
2
1
2
2 30
60
x
x
mn
；
（3）解：如图可得：
2
2
8
4
S
x
x
阴影
，
设
8
,
4
a
x b
x
，则
8
4
4
a
b
x
x
，且
8
4
22
ab
x
x
，
根据完全平方公式：
2
2
2
2
2
4
2
22
60
a
b
a
b
ab
，
∴
2
2
2
2
8
4
60
S
x
x
a
b
阴影
．
题型12
多项式乘法中的规律性问题
例23．（1）观察、归纳：请填上正确答案
1
1
x
x
__________；
2
1
1
x
x
x
__________；
3
2
1
1
x
x
x
x
__________；
4
3
2
1
1
x
x
x
x
x
__________；
……
（2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明；
（3）运用：利用你发现的规律计算：
2025
2024
2023
2
2
2
2
2
2 1
L
【答案】（1）
2
1
x ；
3
1
x ；
4
1
x ；
5
1
x ；（2）发现的规律为
1
1
(
1)(
1)
1
n
n
n
x
x
x
x
x
（n 为
正整数），证明见解析；（3）
2026
2
1
【分析】（1）通过多项式乘法法则，计算前几个具体的多项式乘积，得到对应结果，为规律探究提供基础。
（2）根据前几步的计算结果，归纳出一般规律，再通过多项式展开的方法对规律进行证明，验证其正确性。
（3）将所求的等比数列求和式进行变形，构造出符合所发现规律的形式，代入规律公式进行简便计算。
【详解】（1）解：
2
1
1
1
x
x
x
；
2
3
1
1
1
x
x
x
x
；
3
2
4
1
1
1
x
x
x
x
x
；
4
3
2
5
1
1
1
x
x
x
x
x
x
；
……
故答案为：
2
1
x ；
3
1
x ；
4
1
x ；
5
1
x
（2）解：根据以上等式发现：
1
2
3
2
1
1
1
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
，理由如下：
∵左边
1
2
3
2
1
1
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
1
1
2
3
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
nx
右边，
∴
1
2
3
2
1
1
1
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
；
（3）解：
2025
2024
2023
2022
2
2
2
2
2
2
2 1
2025
2024
2023
2022
2
2 1
2
2
2
2
2
2
1
2026
2
1
例24．在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026 年1 月份的月历，我们任意选择
其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4 个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），
例如：2 8 1 9
7
，5 11
4 12
7
．不难发现，结果都是7．
(1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？
(2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为a ，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？
【答案】(1)7 13
6 14
7
（答案不唯一），符合规律
(2)有，见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握新定义运算规则．
（1）根据规则列出算式进行计算即可；
（2）根据规则列出代数式，然后利用整式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：7 13
6 14
7
（答案不唯一），符合规律；
（2）解：方框中的左上角的数为a ，则其他3 个数为
1,
7,
8
a
a
a
，
方框中4 个位置上的数交叉相乘，再相减，
列式得，(
1)(
7)
(
8)
a
a
a a
，
2
2
7
7
8
a
a
a
a
a
，
7
，
结果为7，所以有同样的规律．
【技巧总结】
先计算前几项或特殊值，观察系数、指数变化规律，猜想一般式；常用公式如平方差、完全平方推广，或
利用杨辉三角找系数，注意项数与次数关系，通过验证确保正确。
【变式训练12-1】观察下列各式：
12 18
216
1 2 100
8 2
；
23 27
621
2 3 100
3 7
；
34 36
1224
3 4 100
4 6
…
(1)请根据上述规律直接写出计算结果：73 77
______；92
98
______．
(2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且
10
b
c
．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性．
【答案】(1)5621；9016
(2)
10
10
100
1
a
b
a
c
a a
bc
；理由见解析
【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键．
（1）利用所给规律可直接得出答案；
（2）两个乘数可以表示为
10a
b
和
10a
c
，积可以表示为
100
1
a a
bc
，根据多项式乘多项式，结
合
10
b
c
可证．
【详解】（1）73 77
7 8 100
3 7
5600
21
5621
，
92 98
9 10 100
2 8
9000
16
9016
；
故答案是：5621；9016．
（2）用代数式表示规律：
10
10
100
1
a
b
a
c
a a
bc
；
理由如下：
2
2
10
10
100
10
10
100
10
a
b
a
c
a
ab
ac
bc
a
a b
c
bc
，
10
b
c
，
2
10
10
100
100
100
1
a
b
a
c
a
a
bc
a a
bc
．
【变式训练12-2】“杨辉三角”揭示了
n
a
b
（n 为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫
做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654 年发现这一规律的，比杨辉要迟393 年，比贾宪迟600 年，请仔细观察
“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
根据上述规律，完成下列各题：
（1）将
2
a
b
展开后，各项的系数和为_______．
（2）将
n
a
b
展开后，各项的系数和为_______．
（3）写出
6
a
b
的展开式．
下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
第一行
1
1
第二行
1
1
2
2
第三行
1
1
1
3
6
3
第四行
1
1
1
1
4
12
12
4
第五行
1
1
1
1
1
5
20
30
20
5
．．．．．．
（4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律．
（5）若
,
m n 表示第m 行，从左到右数第n 个数，如
4,2 表示第四行第二个数是1
12 ，则
8,6 表示的数是
多少？
【答案】（1）4；（2）2n ；（3）
6
5
4
2
3
3
2
4
5
6
6
15
20
15
6
a
a b
a b
a b
a b
ab
b
；（4）见解析；（5）1
168
【分析】（1）根据规律可知：将
2
a
b
展开后，各项的系数和为4；
（2）根据规律可得结论；
（3）把
n
a
b
展开，即可得出答案；
（4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1 和第2 个数相加就等于上一行的第1 个数，下一
行的第2 和第3 个数相加就等于上一行的第2 个数，以此类推，②每一行的第一个数都是1
n ；
（5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论．
【详解】解：（1）
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，
1
2
1
4
，
故答案为：4；
（2）第二行：
1
a
b
a
b
，各项系数和为
1
2
2
，
第三行：
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，各项系数和为
2
4
2
，
第四行：
3
3
2
2
3
3
3
a
b
a
a b
ab
b
，各项系数和为
3
8
2
，
第五行：
4
4
3
2
2
3
4
4
6
4
a
b
a
a b
a b
ab
b
，各项系数和为
4
16
2
，
…
第
1
n 行：
n
a
b
展开后各项系数和为2n ；
故答案为：2n ；
（3）由（2）得：
6
6
5
4
2
3
3
2
4
5
6
6
15
20
15
6
a
b
a
a b
a b
a b
a b
ab
b
，
故答案为：
6
5
4
2
3
3
2
4
5
6
6
15
20
15
6
a
a b
a b
a b
a b
ab
b
；
（4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1 和第2 个数相加就等于上一行的第1 个数，下一行的第
2 和第3 个数相加就等于上一行的第2 个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是1
n ；
（5）由规律可知，分子总是1，
第n 行的第一个数的分母就是n，
第二个数的分母是第一个数的
1
n
倍，
第三个数的分母是第二个数的分母的
1
2
n
倍，
第四个数的分母是第三个数的分母的n
1
3
倍，
....，
根据图表的规律，可得第8 行第6 列为1
168 ，
故答案为：1
168 ．
题型13
整式的运算中的新定义型问题
例25．对于任意有理数a 、b 、c 、d ，定义一种新运算：
a
b
ad
bc
c
d
．
(1)
2
1
4
4
___________．
(2)求
2
3
2
2
a
b
a b
a
a b
ab
的值．
(3)当
1 ,
2
2
a
b
时，请求出（2）的值．
【答案】(1) 4
(2)
2
2
2a b
(3) 2
【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值．
（1）根据新定义运算进行计算即可求解；
（2）根据新定义可得
2
2
2
3
a a b
ab
b a b
a
，再根据整式的乘法进行计算即可求解；
（3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
2
1
4
4
2 4
1
4
8
4
4
，
故答案为：4 ．
（2）解：
2
2
2
3
2
3
2
2
a
b
a a b
ab
b a b
a
a b
a
a b
ab
3
2
2
2
2
3
a b
a b
a b
a b
2
2
2a b
（3）解：当
1 ,
2
2
a
b
时，
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
a b
例26．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：
2
2
2
2
2
2
8
3
1 ,16
5
3 ,24
7
5
，则8，16，24 都是“和谐数”．
(1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”）
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2
1
k 和2
1
k ，其中k 是正整数，那么“和谐数”
都能被8 整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
(3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1 开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形ABCD ，其边长为
99，求阴影部分的面积．
【答案】(1)是，不是
(2)“和谐数”能被8 整除．理由见解析
(3)5000
【分析】本题考查了平方差公式的应用．
（1）根据“和谐数”的定义判断即可；
（2）根据“和谐数”的定义计算得到
2
2
2
1
2
1
8
k
k
k
，即可作答；
（3）结合（2）的
2
2
2
1
2
1
8
k
k
k
计算即可．
【详解】（1）解：设
2
2
40
2
1
2
1
n
n
，
解得
5
n
，是整数，
∴40 是“和谐数”；
设
2
2
2026
2
1
2
1
m
m
，
解得
1013
4
m
，不是整数，
∴2026 不是“和谐数”；
故答案为：是，不是；
（2）解：“和谐数”能被8 整除．理由如下：
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
2
1 2
1 2
1 2
1
k
k
k
k
4
2
k
8k
，
k
是正整数，
8k
能被8 整除，
2
2
2
1
2
1
k
k
能被8 整除；
（3）解：
2
2
2
2
2
2
2
2
99
97
95
93
7
5
3
1
8 49
8 47
8 3 8 1
8
49
47
3 1
8 625
5000
，
阴影面积为5000．
【技巧总结】
仔细阅读新定义，明确运算法则与符号意义，将新运算转化为常规整式运算；按定义代入计算，注意运算
顺序与括号，可先举例理解规则，再按步骤化简求值，避免直接套用旧习惯。
【变式训练13-1】对于任意有理数a 、b 、c 、d ，定义一种新运算：
2
2
a
c
a
b
cd
b
d
．
(1)
1
2
1
3
；
(2)对于有理数x 、y ，若
x
k
y
xy
是一个完全平方式，则k ；
(3)对于有理数x 、y ，若
10
x
y
，
22
xy
．求
2
3
x
y
x
y
y
x
y
的值．
【答案】(1) 4
(2)2 或2
(3)56
【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关
键．
（1）根据新运算的规则计算即可；
（2）根据新运算的规则可得
2
2
x
y
kxy
，再根据是一个完全平方式可得结论；
（3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题．
【详解】（1）解：原式
2
2
1
( 1)
2 3
4
．
故答案为：4
；
（2）解：原式
2
2
x
y
kxy
，
是完全平方公式，
2
k
或2
．
故答案为：2 或2
；
（3）解：原式
2
2
(2
)
(3
)(
)
x
y
y
x
y x
y
2
2
2
2
2
4
4
(3
3
)
x
xy
y
y
x
xy
xy
y
2
2
x
y
，
10
x
y
，
22
xy
，
2
(
)
100
x
y
，2
44
xy
，
2
2
2
(
)
2
100
44
56
x
y
x
y
xy
．
【变式训练13-2】小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式
2
2
3
x
x
，
由于
2
2
2
2
3
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
，所以当
1
x 取任意一对互为相反数的数时，多项式
2
2
3
x
x
的
值是相等的．例如，当
1
1
x ，即
2
x
或0 时，
2
2
3
x
x
的值均为3；当
1
2
x ，即
3
x
或1
时，
2
2
3
x
x
的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，当x
t
取任意一对互为相反数的数
时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x
t
对称．例如
2
2
3
x
x
关于
1
x 对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式
2
4
5
x
x
关于x ______对称；
(2)若关于x 的多项式
2
2
3
x
bx
关于
5
x
对称，求b 的值；
(3)若整式
2
2
10
25
6
9
x
x
x
x
关于x
m
对称，求m 的值．
【答案】(1) 2
(2) 5
(3)1
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
（1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
（2）求出
2
2
3
x
bx
的对称轴，令对称轴
5
x
即可；
（3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可．
【详解】（1）解：
2
2
4
5
2
1
x
x
x
，
则多项式关于
2
x
对称；
（2）解：∵
2
2
2
2
3
(
)
3
x
bx
x
b
b
，
∴关于x 的多项式
2
2
3
x
bx
关于x
b
对称，
∴
5
b
，
∴
5
b ；
（3）解：
2
2
10
25
6
9
x
x
x
x
2
2
5
3
x
x
2
5
3
x
x
2
2
2
15
x
x
2
2
1
16
x
，
∴关于
1
x 对称，
∴
1
m ．
1．下列运算正确的是（
）
A．
6
2
3
x
x
x
B．
2
3
6
2
2
x
x
x
C．
3
2
6
x
x
D．2
3
6
x
y
xy
【答案】C
【详解】对于A 选项，∵同底数幂相除，底数不变指数相减，
6
2
6 2
4
3
x
x
x
x
x
，∴A 不符合题意；
对于B 选项，∵同底数幂相乘，底数不变指数相加，
2
3
2 3
5
6
2
2
2
2
x
x
x
x
x
，∴B 不符合题意；
对于C 选项，∵积的乘方等于各因式乘方的积，幂的乘方底数不变指数相乘，
3
2
3
2
3
2 3
6
( 1)
(
)
x
x
x
x
，∴C 符合题意；
对于D 选项，∵2x 与3y 不是同类项，不能合并，2
3
6
x
y
xy
，∴D 不符合题意．
2．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径是0.000026m ，这个数用科学记数法表
示是（
）
A．
5
0.26 10
B．
5
2.6 10
C．
6
2.6 10
D．
5
2.6 10
【答案】B
【详解】解：0.000026m ，这个数用科学记数法表示是
5
2.6 10
．
3．将
2
1
5
，
0
3
，
2
4
这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（
）
A．
2
0
2
1
3
4
5
B．
2
0
2
1
3
4
5
C．
2
2
0
1
4
3
5
D．
2
0
2
1
3
4
5
【答案】D
【分析】先根据初中幂运算的法则化简三个数，再比较大小得到排序结果．
【详解】解：∵
2
1
25
5
，
0
3
1
，
2
1
4
6
，
∴1 16
25
，
∴
2
0
2
1
3
4
5
．
4．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”，该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数
字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现有如图所示的“幻方”，则
c d
a
b
的值是（
）
A．256
B．1
256
C．256
D．
1
256
【答案】B
【分析】根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，列代数式
1
3
a
m
b
m
，
3
1
c
n
d
n
，整理后代入
c d
a
b
，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
1
3
a
m
b
m
，
3
1
c
n
d
n
，
整理得：
4
a
b
，
4
c
d
，
∴
4
4
1
1
4
4
256
c d
a
b
．
5．若
2,
4
m
n
a
a
，则
m n
a
的值是_____．
【答案】1
2 /0.5
【详解】解：∵
2,
4
m
n
a
a
，
∴
1
2
4
2
m n
m
n
a
a
a
- =
¸
=
¸
=
．
6．若
2
2
3
2
5
2
x
x
ax
x
的展开式中不含
3x 项，则a ______．
【答案】5
2
【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含
3x 项得到
3x 项的系数为0，
即可求出a 的值．
【详解】解：
2
2
3
2
5
2
x
x
ax
x
4
3
3
2
2
5
2
x
ax
x
4
3
2
5
2
2
x
a x
∵展开式中不含
3x 项，
∴5
2
0
a
解得
5
2
a
．
7．若一个关于x 的多项式的完全平方是
2
9
1
16
x
m
x
，则m 的值为____．
【答案】25 或23
【分析】根据完全平方式的结构特征作答，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如
2
2
2
a
ab
b
这样的
式子是完全平方式．
【详解】解：由于多项式
2
9
1
16
x
m
x
是完全平方式，且常数项
2
16
4
，
因此该多项式可以写成
2
(3
4)
x
的形式，
因为
2
2
(3
4)
9
24
16
x
x
x
，
通过比较
2
9
1
16
x
m
x
与
2
9
24
16
x
x
的一次项系数，
可得
1
24
m
，
解得
25
m
或
23
m
．
8．使
3
2
3
1
x
x
的x 的值为__________．
【答案】3 或2 或1
【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1 的任何次幂都等于1，1
的偶次幂等于1 进行计算即可．
【详解】解：当
3
0
x
即
3
x
，此时
3
0
0
1
2
3
6
3
3
x
x
；
当2
3
1
x
即
2
x
时，
3
1
1
1
2
3
4
3
1
x
x
；
当2
3
1
x
即
1
x 时，
3
2
2
1
2
3
2
3
1
x
x
；
综上，x 的值为3 或2 或1．
9．计算或化简：
(1)
0
2022
1
π
3.14
2
1
；
(2)
2
2
3
2
4
4
2
a
a
a
a
a
；
(3)
4
6
x
x
；
(4)
1
1
x
y
y
x
．
【答案】(1) 3
2
(2)
6
a
(3)
2
2
24
x
x
(4)
2
2
2
1
y
y
x
【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算加减即可得出结果；
（2）根据幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除的运算法则计算即可得出结果；
（3）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果；
（4）利用完全平方公式和平方差公式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：
0
2022
1
π
3.14
2
1
1
1
1
2
3
2
；
（2）解：
2
2
3
2
4
4
2
a
a
a
a
a
6
6
8
2
a
a
a
a
6
6
6
a
a
a
6
a
；
（3）解：
4
6
x
x
2
6
4
24
x
x
x
2
2
24
x
x
；
（4）解：
1
1
x
y
y
x
1
1
y
x
y
x
2
2
1
y
x
2
2
2
1
y
y
x
．
10．先化简，再求值：
2
2
2
6
m
n
m m
n
m
n
m
n
n
，其中
6
m
，
2
n
．
【答案】
1
2
m
n
，5
【分析】本题考查整式的化简求值．先利用整式乘法公式和运算法则展开，合并同类项化简原式，再代入
m 和n 的值计算即可．
【详解】解：原式
2
2
2
2
2
4
4
2
2
6
m
mn
n
m
mn
m
n
n
2
6
3
6
mn
n
n
1
2
m
n
将
6
m
，
2
n
代入得，原式
1
6
2
6
1
5
2
．
11．在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式
除法的化简：
1
5
8 1
2
0
8
4
0
4
0
0
3
2
3
2
2
2
2
2
2
8
4
4
2
8
2
8
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
即
3
2
2
2
8
4
2
x
x
x
x
x
x
．
(1)请你完成下面的竖式计算．
2
3
2
3
12
x
x x
x
x
即
3
2
2
12
3
x
x
x
x
x
(2)已知多项式
3
2
3
x
x
ax
，能被多项式
1
x 整除，求a 的值．
【答案】(1)
4
x
(2)
4
a
【分析】（1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解；
（2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解；
【详解】（1）解：
2
3
2
3
2
2
2
4
3
12
3
4
12
4
12
0
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
12
3
4
x
x
x
x
x
x
（2）
∵多项式能被
1
x 整除，余数为0，
∴
4
0
a
，
解得
4
a ．
12．根据题目条件，解答下列各题
(1)
16
3 9
27
3
m
m
，则m 的值为___________；
(2)已知
4
m
a
，
8
n
a ，求
3
2
m
n
a
的值．
(3)若
6
2
2
4b
a
，求a
b
值．
【答案】(1)3
(2)1
(3)11 或5
【分析】（1）先将9m 和27m 转化为以3为底的幂，再根据同底数的乘法法则进行计算，最后根据指数相等
求出m 的值；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法法则，将
3
2
m
n
a
转化为含有
m
a 和
n
a 的形式，再代入求值；
（3）先根据幂的乘方求出a 和b 的值，再计算a
b
的值．
【详解】（1）解：∵
16
3 9
27
3
m
m
，
∴
2
3
16
3
3
3
3
m
m
，
∴
2
3
16
3 3
3
3
m
m
，
∴
1 2
3
16
3
3
m
m
，
∴1 2
3
16
m
m
，
∴
3
m
；
（2）解：∵
4
m
a
，
8
n
a ，
∴
3
2
3
2
3
2
3
2
4
8
64
64
1
m
n
m
n
m
n
a
a
a
a
a
；
（3）解：∵
2
6
3
2
2
2
a
，
∴
3
2
8
a
，
∵
3
6
2
3
2
2
4
4b
，
∴
3
b
，
∴当
8
a
，
3
b
时，
8
3
11
a
b
，
当
8
a ，
3
b
时，
8
3
5
a
b
．
13．我们给出以下两个定义：
①三角形
b
c
a
a
；
②3×3 的方格图
m
n
z
x
y
．
请你根据上面两个定义，解答下列问题：
(1)填空：
，
；
(2)若
3
，求
的值．
【答案】(1)16；48
(2)18
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）根据新定义得到
2
3
3
3
x
y
，根据同底数幂的乘法得到
2
1
3
3
x
y
，进而可知
2
1
x
y
，再根据新定义
计算
的值即可．
【详解】（1）
解：
3
1
2
2
2
8
16
，
5
4
3
1
2
3
1 16
3 16
48
；
（2）解：依题意
2
3
3
3
x
y
，
∴
2
1
3
3
x
y
，
∴
2
1
x
y
，
∴
2 9
81
x
y
2
2 9
9
y
x
2
2 9
9
x
y
2
2 9x
y
1
2 9
2 9
18
．
14．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形能直观推导和解释许多数学问题．
如图1，将边长为a
b
的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可
以得到代数恒等式：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
．
如图2，是用长为a 、宽为
b a
b
的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分
（小正方形）的面积，可以得到另一个代数恒等式：
2
2
4
a
b
a
b
ab
基于上述内容，解决以下问题：
(1)若
5
3
a
b
ab
，
，则
2
a
b
___________；
(2)若x 满足
5
3
3
13
9
x
x
，求
2
2
5
3
3
13
x
x
的值：
(3)图3 是某市首届航空航天国防科普展中的平面图，面积为192 平方米的长方形展厅
ABCD AB
AD
中设
置两个长方形展区
AEFG
PQCH
和
，中间重合部分搭建长方形互动体验台
3
PMFN
PM
，
米，
2
PN
米．阴影部分为参观区域，参观区域总周长为46 米，求展厅的长AB 比宽AD 多多少米？
【答案】(1)13
(2)46
(3) AB 比宽AD 多4 米
【分析】（1）直接把
5
3
a
b
ab
，
代入
2
2
4
a
b
a
b
ab
计算，即可作答．
（2）因为5
3
3
13
x
m x
n
，
代入
8
m
n
，整理得
9
mn
，再代入
2
2
2
2
m
n
m
n
mn
计算，即可作
答．
（3）设AB
x
米，AD
y
米，结合面积为192 平方米的长方形展厅
ABCD AB
AD
中设置两个长方形展
区
AEFG
PQCH
和
，参观区域总周长为46 米，得出
2
3
2
46
192
x
y
xy
，
，整理得出
28
x
y
，
最后把数值代入
2
2
4
x
y
x
y
xy
计算，即可作答．
【详解】（1）解：
5
3
a
b
ab
，
，
2
2
2
4
5
4 3
25 12
13
a
b
a
b
ab
；
（2）解：依题意，设5
3
3
13
x
m x
n
，
，
则
5
3
3
13
8
m
n
x
x
，
5
3
3
13
9
x
x
∴
9
mn
2
2
5
3
3
13
x
x
2
2
m
n
2
2
m
n
mn
2
8
18
64 18
46
，
2
2
5
3
3
13
x
x
的值为46：
（3）解：设AB
x
米，AD
y
米，
由题意得，
2
3
2
46
192
x
y
xy
，
，
∴
28
x
y
，
2
2
2
4
28
4 192
16
x
y
x
y
xy
，
0
x
y
，
4
x
y
，
即AB 比宽AD 多4 米．
