专题02 实数（学生版）
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➢思维导图串知识
➢重点速记
【知识点1 平方根的概念及性质】
1.定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a，即𝑥2=a，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根.
2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0 的平方根是0，负数没有平方根.
3.开平方的定义
(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
4.被开方数
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正数a 的正的平方根记为“ 𝑎”，读作“根号a”，a 叫作被开方数.
【知识点2 算术平方根的概念及性质】
1.定义：正数a 有两个平方根，其中正的平方根𝑎叫作a 的算术平方根.正数a 的算术平方根用𝑎来表示.
2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0 的算术平方根是0
(2)算术平方根𝑎的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a 的算术平方根为非负数，
即𝑎≥0.
【典例1】下列正确的是（ ）
A．6 是36 的算术平方根，即36
6
= ±
B．6 是
2
6
-
的算术平方根，即
2
6
6
-
=
C．7
± 是49 的平方根，即
49
7
±
=
D．2
± 是4 的平方根，即
4
2
= ±
【典例2】16 的算术平方根是（ ）
A．4
-
B．4
C．8
D．2
【典例3】若
3
5
5
3
15
y
x
x
=
-
+
-
+
，则y
x 的算术平方根为
．
【知识点3 立方根的概念及性质】
1.概念及表示：一般地，如果一个数x 的立方等于a，即x3=a，那么这个数x 叫作a 的立方根或三次方根.类
似于平方根，一个数a 的立方根记为“
3 𝑎”，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3 是根指数.
2.性质：①每个数a 有且只有一个立方根，其中a 可正、可负、可为0.
②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0.
【典例4】已知3 1 2x
-
与3 3
7
x -
互为相反数，求2
4
x +
的平方根．
【典例5】已知
3
2
3
64
1
3
8
x
y
=
-
+
= -
,
，且x
y
<
，则x
y 的平方根为
．
【知识点4 实数的概念及分类】
1.有理数和无理数统称为实数.
2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.
常见的无理数形式：
①开方开不尽的数，如5 ，3 2 等；
②化简后含有π 的数，如π，2
；
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③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…
3.实数的分类：
按定义分：实数
按符号分：实数0
ì
ì
í
ï
î
ïïí
ï
ì
ï
í
ï
î
î
正有理数
正数
正无理数
负有理数
负数
负无理数
【典例6】在下列各数：，22
7 ，
3
-
，3 81，3.1415，1
3 ，2.10101010
-
LL ，5.1717717771LL（每个
1之间依次多一个7 ）中，无理数的个数（ ）
A．3个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【知识点5 实数与数轴的关系】
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴
上的点是一一对应的.
【典例7】如图，正方形ABCD 的面积为7，顶点A 在数轴上表示的数为1 的点处，若以点A 为圆心，AB
的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E 所表示的数为（ ）
A．
7
B．1
7
-
C．
7
-
D．
7
1
+
【知识点6 实数的运算】
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意
一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加
减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结
果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.
【典例8】计算：
ì
í
î
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
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(1)
2
3
3
3
8
9
2
3
-
+ -
+
-
；
(2)
2
3
27
2 3
4
3
3
-
+
-
-
-
．
【知识点7 实数大小比较】
1.利用数轴比较实数大小
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
（2）两个正数，绝对值大的数较大；
（3）两个负数，绝对值大的数反而小。
2.无理数大小的比较
估算法：
（1）若
1
2
0
a
a
a
£
<
<
，则
1
2
a
a
a
<
<
；
（2）若
1
2
a
a
a
<
<
，则
3
3
3
1
2
a
a
a
<
<
；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a 最近的两个平方数和立方数，来估算
a 和3 a 的大小．例
如：9
16
a
<
<
，则3
4
a
<
<
；8
27
a
<
<
，则
3
2
3
a
<
<
．
常见实数的估算值：
2
1.414
≈
，
3
1.732
≈
，
5
2.236
≈
．
【典例9】如果正整数n 满足：
89
1
n
n
<
<
+ ，那么n 的算术平方根是 ．
➢核心考点举一反三
考点一：由算术平方根的非负性求值
例1．若
2
2
1
3
0
x
y
z
+
+
+ +
-
=
，则x
y
z
+
+
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式1-1】若
2026
2026
2
a
b
-
+
+
=
，其中a
b
，均为整数，则a
b
+
=
．
【变式1-2】已知：
1
1 8
8
1
2
y
x
x
=
-
+
- +
，求代数式
2
2
x
y
x
y
y
x
y
x
+
+
-
+
-
的平方根．
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【变式1-3】已知a，b，c 都是实数，且满足
2
2
2
8
0
a
a
b
c
c
-
+
+
+
+
+
=
，
2
0
ax
bx
c
+
+
=
．求：
(1)a，b，c 的值；
(2)
2
2
x
x
+
的值．
考点二：算术平方根的有关规律探究
例2.按一定规律排列的单项式：x，
3
3x ，
5
5x ，
7
7x ，…，第n 个单项式为（ ）
A．
2
1
n
n
x
-
B．
2
1
2
1
n
n
x
-
-
C．
1
n
nx +
D．
n
nx
【变式2-1】将1，2 ，3 ，6 按如图方式排列，若规定
,
m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则
3,1 与
21,2 表示的两数之和是（ ）
A．2
B．2 2
C．
2
3
+
D．2 6
【变式2-2】有这样一列数他们分别是
5 ，20 ，45 ，80 ，125 ，……，按照此规律，第11 个数是 ．
【变式2-3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
第1 个等式：
2
2
1
2 1 1 1
0
0
- ´ ´ +
=
=
；第2 个等式：
2
2
2
2 2 1 1
1
1
- ´ ´ +
=
= ；第3 个等式：
2
2
3
2 3 1 1
4
2
- ´ ´ +
=
=
；第4 个等式：
2
2
4
2 4 1 1
9
3
- ´ ´ +
=
=
；……
规律发现：
(1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：
①
2
2
5
2 5 1 1
- ´ ´ +
= ______；
②
2
2
101
2 101 1 1
- ´
´ +
=______．
(2)用含n （n 为正整数）的代数式表示出第n 个等式：______．
(3)根据上述规律计算：
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2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 1 1 1
2
2 2 1 1
3
2 3 1 1
4
2 4 1 1
- ´ ´ +
-
- ´ ´ +
+
- ´ ´ +
-
- ´ ´ +
2
2
2
2
2025
2 2025 1 1
2026
2 2026 1 1
+
+
- ´
´ +
-
- ´
´ +
LL
考点三：被开方数小数点移动规律探究
例3.根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（ ）
x
15
15.1
15.2
15.3
2x
225
228.01
231.04
234.09
x
15.4
15.5
15.6
15.7
2x
237.16
240.25
243.36
246.49
①
228.01
15.1
=
；②235 的算术平方根比15.3小；③
231040
1520
=
；④根据表中数据的变化趋势，可以
推断出
2
15.8 比
2
15.7 增大3.25．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3-1】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
2x
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
下面有四个推断：
①2.4649 的平方根是1.57
±
②240 的算术平方根位于15和16这两个连续的整数之间；
③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差大于3.19
④一定有3个整数的算术平方根在15.1~15.2之间
其中正确的序号是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【变式3-2】小南用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表：
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289
根据表中的信息判断下列结论中，正确的有
．（填序号）
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①275.56 的平方根是16.6
±
； ②265 的算术平方根比16.3 大；
③
2.7889
1.67
=
； ④只有4 个正整数n 满足16.4
16.5
n
<
<
．
【变式3-3】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x
…
0.064
0.64
64
6400
64000
…
x
…
0.25298
0.8
8
m
252.98
…
3 x
…
0.4
0.8618
n
18.566
40
…
(1)表格中的m = ______，n = ______；
(2)已知15
3.873 1.5
1.22474
»
»
，
，估计150 和
0.15 的值；(结果保留四位小数)
(3)若
3
14.1421, 700
a
b
»
»
，估计a
b
+
的值．（参考数据：
3
3
2
1.41421,
20
4.4721, 7
1.9129, 0.7
0.88790
»
»
»
»
)．（结果保留四位小数）
考点四：由立方根的性质求值
例4.已知x 为实数，且3
3
4
2
1
0
x
x
-
+
+
=
，则
2
2
x
x
+
+
的算术平方根为（ ）
A．2
B．
22
C．2
D．4
【变式4-1】已知
2
1
(
2)
0
x
y
+ +
-
=
，且3 1
2z
-
与3 3
5
z -
互为相反数，求yz
x
-
的平方根．
【变式4-2】我们知道
0
a
b
+
=
时，
3
3
0
a
b
+
=
也成立，若将a 看成
3
a 的立方根，b 看成
3
b 的立方根，我们能
否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
(1)上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请举出一个反例；
(2)若3 1 2x
-
与3 3
5
x -
互为相反数，求1
x
-
的值．
【变式4-3】先阅读材料，再解答问题．
3 1
1
-
= -
Q
，3
1
1
- = - ，
3
3
1
1
\-
=
- ．
3 8
2
-
= -
Q
，3
8
2
- = - ，
3
3
8
8
\-
=
- ．
3 27
3
-
= -
Q
，3
27
3
-
= - ，
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3
3
27
27
\-
=
-
．
...，
3
3
n
-
=
Q
，3
3
n
-
= ，
\ = ．
(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ．
(2)计算
3
3
3
3
3
1
8
27
100
- +
- +
-
+
+
-
L
的值．
考点五：求大数的立方根
例5.据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一
道智力题：某正整数n 的立方是59319，求这个正整数n ．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚迅速求出立方根的过程如下：
①由
3
3
10
1000100
1000000
=
=
，
，可以确定n 是两位数；
②由
3
3
30
27000 40
64000 27000
59319
64000
=
=
<
<
，
，
可知，n 的十位上的数字是3；
③考虑到1 至9 的立方中，只有9 的立方的个位上的数字是9，所以确定n 的个位上的数字是9，所以
39
n =
．
请你根据上述步骤求出74088 的立方根是 ．
【变式5-1】我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力
题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道
华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，
可以确定3 59319 是两位数．由59319 的个位上的数是9，可以确定3 59319 的个位上的数字是9，如果划去
59319 后面的三位319 得到数59，而
33
27
=
，
3
4
64
=
，由此可以确定59319 的十位上的数字是3．据以上
方法可得3 32768 =
．
【变式5-2】（1）填空
①由
3
3
10
1000100
1000000
=
=
，
，可以确定3 19683 是___________位数；
②由19683 的个位上的数是3，可以确定3 19683 的个位上的数是___________；
③如果划去19683 后面的三位数683 得到19，而
3
3
2
8 3
27
= ，=
，由此可以确定3 19683 的十位上的数是
___________；最后就可以求出3 19683 的值了．
（2）已知59319 是一个数的立方数，按照上述方法，求59319 的立方根．
【变式5-3】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老
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师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，能确定3 74088 是两位数；
②由74088 的个位上的数是8，因为
3
2
8
=
，能确定3 74088 的个位上的数是2；
③如果划去74088 后面的三位088 得到数74，而
3
4
64
=
，
35
125
=
，由此能确定3 74088 的十位上的数是
4．（提示：
3
3
3
3
6
216 7
343 8
512 9
729
=
=
=
=
，
，
，
）
已知3 493039 为整数，请利用以上方法，则3 493039 的每位数上的数字之和为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．19
考点六：平方根与立方根综合求值
例6.已知一个正数的平方根分别为2
1
b - 和
2
b-
，1
3c
-
的立方根为2
- ，a 为大于
3 的最小整数．
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求2c
ab
-
的算术平方根．
【变式6-1】已知
2
10
2
0
x
y
+
+
-
=
∣
∣
，且3 1
2z
-
与3 3
5
z -
互为相反数，
(1)求x
y
z
、、的值；
(2)求3
2
z
y
+
的算术平方根；
(3)求5x
y
-
的立方根．
【变式6-2】已知：a 的平方根是它本身，5
17
b +
的立方根是3，
10
3
3
b
m
+
的算术平方根是4．
(1)直接写出a，b，m 的值；
(2)求
3
a
b
m
+
+
的平方根；
(3)若bm 的整数部分是x，小数部分是y，计算xy 的值．
【变式6-3】已知一个正数的平方根为2
1
n + 和4 3n
-
．
(1)求n 的值；
(2)若
2
7
5
0
a
b
c
n
+
+
-
+
-
=
，则
2
2
a
b
c
+
+
的立方根是多少？
考点七：无理数的估算
例7.若整数x 满足6
19
79
3
x
+
£
£
+
，则x 等于（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
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【变式7-1】若正整数a、b 分别满足3
3
5
9
7
15
a
b
<
<
<
<
、
，则
a
b = （ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
【变式7-2】阅读材料：大家知道2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2 的小数部分我们不可
能全部地写出来，于是小明用
2
1
- 来表示2 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表
示方法是有道理的，因为2 的整数部分是1，用2 减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，
解答下列问题：
(1)如果13
a
b
=
+
，其中a 是整数，且0
1
b
<
< ，那么a =_____，b = ______；
(2)已知
5
6
A
x
y
=
+
，
3
8
B
x
y
=
+
，且x 为19
3
- 的整数部分，y 为19
3
- 的小数部分，比较A 与B 的大小．
【变式7-3】【阅读理解】
信息1：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如2
5
3
<
<
，是因为
4
5
9
<
<
；
信息2 ：因为
5 介于2 和3之间，所以
5 的整数部分是2 ，小数部分可以表示为5
2
-
．
【问题解决】
(1) 13 的整数部分是______，小数部分是______；
(2)判断70 1
+ 介于哪两个相邻的整数之间；
(3)若30
3
x
y
-
=
+
，其中x 是整数，且0
1
y
<
< ，则y 的相反数为______；
(4)已知9
13
-
的小数部分是m ，9
13
+
的小数部分是n ，且
2
1
x
m
n
-
=
+
，求x 的值．
考点八：探究无理数的近似值
例8.阅读材料1．
2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2 的小数部分不能全部写出来，但由于1
2
2
<
<
，所以
2 的整数部分为1，将2 减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为
2
1
- ．
（1）已知9
5
x
y
+
=
+
，其中x 是整数，且0
1
y
<
< ，求7
y
-
的值；
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专题02 实数（学生版）
第 11 页 共 53 页
阅读材料2．
小李同学探索167 的近似值的过程如下：
∵面积为167 的正方形的边长是167 且12
167
13
<
<
，
∴可设167
12
x
=
+
，其中0
1
x
<
< ，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积
2
2
12
2 12
S
x
x
=
+ ´
+
正方形
；又∵
167
S
=
正方形
，∴
2
2
12
2 12
167
x
x
+ ´
+
=
．由
2
0
1
x
<
< ，可忽略
2x ，得
144
24
167
x
+
»
，得到
0.96
x »
，即167
12.96
»
．
（2）仿照材料2 中的方法，探究解答
230 的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数）
【变式8-1】综合与实践：小李同学探索86 的近似值的过程如下
∵面积为86 的正方形的边长是86 ，且9
86
10
<
<
，
∴设86
9
x
=
+
，其中0
1
x
<
< ．
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
2
81
2
9
S
x
x
正方形=
+
´
+
．
∵S正方形
86
=
，
∴
2
81
2 9
86
x
x
+
=
+ ´
．
当
2
1
x < 时，可忽略
2x ，得81 18
86
x
+
»
，解得
0.28
x »
，即86
9.28
»
．
(1)填空：52 的整数部分的值为_______；
(2)仿照上述方法，探究52 的近似值（结果精确到0.01）；（解题要求：画出示意图，标明数据，并写出
求解过程．）
(3)卫星太阳能板的优化设计：某科技公司设计正方形卫星太阳能板时，需计算展开后的边长．已知太阳能
板的面积为137 平方米，工程师采用类似137 的近似方法优化材料用量．若忽略
2x 后近似计算
137
11.73
»
，实际需保留
2x 项修正．设
0.73
x =
，通过计算，验证近似值的误差（保留两位小数）．
【变式8-2】阅读材料，完成下列任务：
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因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，2 等，而常用
的“…”或者“ »”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：
4
7
9
<
<
Q
，即2
7
3
<
<
，
1
7
1
2
\ <
- <
．
7
1
\
- 的整数部分为1，小数部分为
7
2
- ．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2 的正方形的边长是2 ，易知
2
1
> ，因此可设
2
1
x
= +
可画出如图示意图．
1
x
x
1 x
×
2x
1
1
1 x
×
解：由图中面积计算，
2
2 1
1
S
x
x
=
+ ´ × +
正方形
，
2
S
=
Q
正方形
，
2
2 1
1
2
x
x
\
+
´ ×
+ =
．
x
Q 是2 的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略
2x ，
\得方程2
1
2
x + =
，解得
0.5
x =
，即
2
1.5
»
．
解决问题：
(1)利用材料一中的方法，若x 是13
2
+ 的小数部分，y 是13
1
- 的整数部分，求x
y
+
的值．
(2)利用材料二中的方法，借助面积为5 的正方形探究
5 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解
过程）
➢复习提升
1．下列说法：①2
- 是4 的平方根；②16 的平方根是4；③125
-
的平方根是15
±
；④0.25 的算术平方根是
0.5；⑤27
125 的立方根是
3
5
±
；⑥
81 的算术平方根是9．其中正确的说法有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．如图，在数轴上，点A 表示2 ，点B 表示3 60 ，则A ，B 之间表示整数的点共有（ ）
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A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
3．如图，通过画边长为1 的正方形，就能准确的把2 表示在数轴上点
1A 处，记
1A 右侧最近的整数点为
1
B ，以点
1
B 为圆心，1
1
A B 为半径画半圆，交数轴于点
2
A ，记
2
A 右侧最近的整数点为
2
B ，以点
2
B 为圆心，2
2
A B
为半径画半圆，交数轴于点
3
A ，则点
3
A 表示的实数为（ ）
A．
2
1
-
B．2
C．4
2
-
D．2
2
+
4．数学解密：若第一个式子是9
4
1
=
+
，第二个式子是
25
9
4
=
+
，第三个式子是
81
25
16
=
+
，第四个式子是
289
81
64
=
+
…，观察以上规律并猜想第六个式子是
．
5．观察表中的数据信息：则下列结论：①
2.2801
1.51
=
；②
23409
23104
1
-
= ；③只有3 个正数a 满
足15.2
15.3
a
<
<
；④
2.3104
1.51
0
-
<
．其中正确的个数有
个．
a
225
228.01
231.04
234.09
237.16
…
a
15
15.1
15.2
15.3
15.4
…
6．已知一个正数m 的两个平方根分别是2
1
n + 和4 3n
-
．
(1)求m 和n 的值；
(2)若
2
4
0
a
b
c
n
-
+
+
-
=
，求a
b
c
+
+
的算术平方根．
7．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下，化简
2
3
3
a
b
a
b
c
a
c
+ -
+
+
-
-
-
-
．
8．大家知道2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2 的小数部分我们不可能全部写出来，而
1
2
2
<
<
，于是可用
2
1
- 来表示2 的小数部分．
例如：
9
10
16
<
<
Q
，即3
10
4
<
<
，
10
\
的整数部分为3，小数部分为
10
3
-
．
请解答：
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(1) 19 的整数部分为m 是 ，小数部分n 为 ，
19
m
n
-
+
的值为 ．
(2)已知
2
a -
的立方根为2
- ，2
1
b - 的算术平方根是5 ，c 是37 的整数部分，求a
b
c
+
-
的平方根．
9．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出50653
-
的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，所以3 50653 是两位数；
②其次观察了立方数：
31
1
= ，
3
2
8
=
，
33
27
=
，
3
4
64
=
，
35
125
=
，
3
6
216
=
，
3
7
343
=
，
38
512
=
，
39
729
=
；猜想3 50653 的个位数字是7；
③接着将50653 往前移动3 位小数点后约为50，因为
33
27
=
，
3
4
64
=
，所以3 50653 的十位数字应为3，
于是猜想3 50653
37
=
，验证得：50653 的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
50653
37
-
= -
，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个
数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) 3
117649
-
= ______；
(2)若3
3
1 2
5
0
x
-
+
=
，则x =______；
(3)已知
2
2
x
x
-
+
=
，且3 3
1
y - 与3 1 2x
-
互为相反数，求x，y 的值．
10．对于实数a ，我们规定：用符号é
ù
ë
û
a 表示不大于
a 的最大整数，称é
ù
ë
û
a 为a 的根整数，例如：
9
3
é
ù =
ë
û
，
10
3
é
ù =
ë
û
；还可以对a 连续求根整数，直到结果为1 为止，例如：对10 连续求根整数2 次：
10
3
é
ù =
ë
û
，
3
1
é
ù =
ë
û
，得到结果为1．
(1)仿照以上方法计算：[ 26] = ______；
(2)对123 连续求根整数，______次之后结果为1；
(3)只需进行3 次连续求根整数运算后结果为1 的所有正整数中，最大的正整数是多少？请通过计算说明．
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➢重点速记
【知识点1 平方根的概念及性质】
1.定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a，即𝑥2=a，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根.
2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0 的平方根是0，负数没有平方根.
3.开平方的定义
(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
4.被开方数
正数a 的正的平方根记为“ 𝑎”，读作“根号a”，a 叫作被开方数.
【知识点2 算术平方根的概念及性质】
1.定义：正数a 有两个平方根，其中正的平方根𝑎叫作a 的算术平方根.正数a 的算术平方根用𝑎来表示.
2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0 的算术平方根是0
(2)算术平方根𝑎的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a 的算术平方根为非负数，
即𝑎≥0.
【典例1】下列正确的是（ ）
A．6 是36 的算术平方根，即36
6
= ±
B．6 是
2
6
-
的算术平方根，即
2
6
6
-
=
C．7
± 是49 的平方根，即
49
7
±
=
D．2
± 是4 的平方根，即
4
2
= ±
【详解】解：A．6 是36 的算术平方根，即36
6
=
，因此选项A 不符合题意；
B．6 是
2
6
-
的算术平方根，即
2
6
6
-
=
，因此选项B 符合题意；
C．7
± 是49 的平方根，即
49
7
±
= ± ，因此选项C 不符合题意；
D．2
± 是4 的平方根，即
4
2
±
= ± ，因此选项D 不符合题意．
故选：B．
【典例2】16 的算术平方根是（ ）
A．4
-
B．4
C．8
D．2
【详解】解：
16
4
=
Q
,
16
\
的算术平方根是
4
2
=
，
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故选：D．
【典例3】若
3
5
5
3
15
y
x
x
=
-
+
-
+
，则y
x 的算术平方根为
．
【详解】解：由题意可得
3
5
0
5
3
0
x
x
-
³
ì
í
-
³
î
，
解得：
3
5
x =
，∴
3
5
5
3
15
15
x
x
y
-
+
-
+
=
=
，
∴
25
y
x =
，∴y
x 的算术平方根是5．
故答案为：5．
【知识点3 立方根的概念及性质】
1.概念及表示：一般地，如果一个数x 的立方等于a，即x3=a，那么这个数x 叫作a 的立方根或三次方根.类
似于平方根，一个数a 的立方根记为“
3 𝑎”，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3 是根指数.
2.性质：①每个数a 有且只有一个立方根，其中a 可正、可负、可为0.
②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0.
【典例4】已知3 1 2x
-
与3 3
7
x -
互为相反数，求2
4
x +
的平方根．
【详解】解：由题可得1 2
3
7
0
x
x
-
+
-
=
．
解得
6
x =
．
2
4
2 6
4
16
x
\
+
=
´ +
=
．
16
Q
的平方根是4
± ，
2
4
x
\
+
的平方根是4
± ．
【典例5】已知
3
2
3
64
1
3
8
x
y
=
-
+
= -
,
，且x
y
<
，则x
y 的平方根为
．
【详解】解：∵
2
64
x =
，∴
8
x = ± ，
∵
3
3
1
3
8
y -
+
= -
，∴
3
27
1
8
y -
= -
，
∴
3
1
2
y - = -
，∴
1
2
y = -
，
∵x
y
<
，∴
8
x = - ，
∴
8
16
1
2
x
y
-
=
=
-
，
∵16 的平方根是4
± ，
故答案为：4
± ．
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【知识点4 实数的概念及分类】
1.有理数和无理数统称为实数.
2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.
常见的无理数形式：
①开方开不尽的数，如5 ，3 2 等；
②化简后含有π 的数，如π，2
；
③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…
3.实数的分类：
按定义分：实数
按符号分：实数0
ì
ì
í
ï
î
ïïí
ï
ì
ï
í
ï
î
î
正有理数
正数
正无理数
负有理数
负数
负无理数
【典例6】在下列各数：，22
7 ，
3
-
，3 81，3.1415，1
3 ，2.10101010
-
LL ，5.1717717771LL（每个
1之间依次多一个7 ）中，无理数的个数（ ）
A．3个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【详解】解：在，22
7 ，
3
-
，3 81，3.1415，1
3 ，2.10101010
-
LL ，5.1717717771LL中，无理数有
、
3
-
、3 81、5.1717717771LL，共有4 个，
故选：B．
【知识点5 实数与数轴的关系】
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴
上的点是一一对应的.
【典例7】如图，正方形ABCD 的面积为7，顶点A 在数轴上表示的数为1 的点处，若以点A 为圆心，AB
的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E 所表示的数为（ ）
ì
í
î
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
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A．
7
B．1
7
-
C．
7
-
D．
7
1
+
【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为7
∴正方形的边长为
7 ，即
7
AB =
根据题意，
∴
7
AE
AB
=
=
∵点A 是数轴上表示1 的点
∴点E 所表示的数为
7
1
+
故选：D．
【知识点6 实数的运算】
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意
一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加
减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结
果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.
【典例8】计算：
(1)
2
3
3
3
8
9
2
3
-
+ -
+
-
；
(2)
2
3
27
2 3
4
3
3
-
+
-
-
-
．
【详解】（1）解：
2
3
3
3
8
9
2
3
-
+ -
+
-
2
3
2
3
=
- +
-
2
= - ；
（2）解：
2
3
27
2 3
4
3
3
-
+
-
-
-
3
4
2 3
3
3
= - +
-
+
-
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2
3
= - -
．
【知识点7 实数大小比较】
1.利用数轴比较实数大小
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
（2）两个正数，绝对值大的数较大；
（3）两个负数，绝对值大的数反而小。
2.无理数大小的比较
估算法：
（1）若
1
2
0
a
a
a
£
<
<
，则
1
2
a
a
a
<
<
；
（2）若
1
2
a
a
a
<
<
，则
3
3
3
1
2
a
a
a
<
<
；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a 最近的两个平方数和立方数，来估算
a 和3 a 的大小．例
如：9
16
a
<
<
，则3
4
a
<
<
；8
27
a
<
<
，则
3
2
3
a
<
<
．
常见实数的估算值：
2
1.414
≈
，
3
1.732
≈
，
5
2.236
≈
．
【典例9】如果正整数n 满足：
89
1
n
n
<
<
+ ，那么n 的算术平方根是 ．
【详解】解：∵正整数n 满足：
89
1
n
n
<
<
+ ，
又∵81
89
100
<
<
，
∴9
89
10
<
<
，
∴
9
n =
，
∴n 的算术平方根是3．
故答案为：3．
➢核心考点举一反三
考点一：由算术平方根的非负性求值
例1．若
2
2
1
3
0
x
y
z
+
+
+ +
-
=
，则x
y
z
+
+
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出x ，y ，z 的值，进而得出答案，掌握
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第 20 页 共 53 页
非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
2
2
1
3
0
x
y
z
+
+
+ +
-
=
，
∴
2
0
x +
= ，
1
0
y + =
，
3
0
z -
=
，
∴
2
x = - ，
1
y = - ，
3
z =
，
∴
2 1 3
0
x
y
z
+
+
= - - +
=
，
故选：A ．
【变式1-1】若
2026
2026
2
a
b
-
+
+
=
，其中a
b
，均为整数，则a
b
+
=
．
【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，先推导
2026
a -
与
2026
b +
都是非负整数，继而分①当
2026
0
2026
2
a
b
-
=
+
=
，
时，②当
2026
1
2026
1
a
b
-
=
+
=
，
时，③当
2026
2
2026
0
a
b
-
=
+
=
，
时，分钟
情况讨论即可得解．
【详解】解：因为
2026
2026
2
a
b
-
+
+
=
，其中a
b
，均为整数，
2026
0
2026
0
a
b
-
³
+
³
，
．
所以
2026
a -
与
2026
b +
都是非负整数，
①当
2026
0
2026
2
a
b
-
=
+
=
，
时，
2026
2022
a
b
=
= -
，
，
所以
2026
2022
4
a
b
+
=
-
=
；
②当
2026
1
2026
1
a
b
-
=
+
=
，
时，
2027
a =
或
2025
2025
a
b
=
= -
，
，
所以
2027
2025
2
a
b
+
=
-
=
或
2025
2025
0
a
b
+
=
-
=
；
③当
2026
2
2026
0
a
b
-
=
+
=
，
时，
2028
a =
或
2024
2026
a
b
=
= -
，
，
所以
2028
2026
2
a
b
+
=
-
=
或
2024
2026
2
a
b
+
=
-
=
．
综上所述，a
b
+
的值为0 或2 或4．
【变式1-2】已知：
1
1 8
8
1
2
y
x
x
=
-
+
- +
，求代数式
2
2
x
y
x
y
y
x
y
x
+
+
-
+
-
的平方根．
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【答案】1
±
【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出x 、y 的值，把
x 、y 代入代数式进行进行求解即可．
【详解】解：由题意可知1
8
0
x
-
³
，8
1
0
x - ³
，
则
1
8
x £
，
1
8
x ³
，
∴
1
8
x =
，
1
2
y =
，则
1
25
2
4
2
4
4
x
y
y
x
+
+
=
+
+
=
，
1
9
2
4
2
4
4
x
y
y
x
+
-
=
+
-
=
，
∴
25
9
5
3
2
2
1
4
4
2
2
x
y
x
y
y
x
y
x
+
+
-
+
-
=
-
=
-
= ，
∵1 的平方根为1
± ，
∴代数式
2
2
x
y
x
y
y
x
y
x
+
+
-
+
-
的平方根为1
± ．
【变式1-3】已知a，b，c 都是实数，且满足
2
2
2
8
0
a
a
b
c
c
-
+
+
+
+
+
=
，
2
0
ax
bx
c
+
+
=
．求：
(1)a，b，c 的值；
(2)
2
2
x
x
+
的值．
【答案】(1)2，4，8
- ；
(2)2．
【分析】本题考查绝对值和算术平方根非负性，代数式求值，求算术平方根．熟练掌握非负数的和为0，每
个非负数均为0，是解题的关键．
（1）利用非负性求出a，b，c 的值；
（2）将a，b，c 的值代入
2
2
x
x
+
求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
8
0
a
a
b
c
c
-
+
+
+
+
+
=
Q
，
2
2
0,
0,
8
0
a
a
b
c
c
\ -
=
+
+
=
+
=
，
2
a
\
=
，
8
c = - ，
2
2
8
0
b
\
+
-
=
，
解得：
4
b =
；
（2）解：由（1）知，
2
a =
，
8
c = - ，
4
b =
，
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2
2
2
4
8
0
ax
bx
c
x
x
\
+
+
=
+
-
=
，
2
2
4
0
x
x
\
+
-
=
，
2
2
4
x
x
\
+
=
，
2
2
2
x
x
\
+
=
．
考点二：算术平方根的有关规律探究
例2.按一定规律排列的单项式：x，
3
3x ，
5
5x ，
7
7x ，…，第n 个单项式为（ ）
A．
2
1
n
n
x
-
B．
2
1
2
1
n
n
x
-
-
C．
1
n
nx +
D．
n
nx
【答案】B
【分析】本题考查与算术平方根有关的探究规律探究．通过观察单项式的系数发现第n 个单项式的系数为
2
1
n - ；由
1
3
5
7
x
x
x
x
，，，
，…，发现第n 个单项式的字母次数是2
1
n - ，即可求解．
【详解】解：通过观察单项式的系数发现：第n 个单项式的系数为
2
1
n - ，
∵
1
3
5
7
x
x
x
x
，，，
，…，
∴第n 个单项式的字母次数是2
1
n - ，
∴第n 个单项式为
2
1
2
1
n
n
x
-
-
，
故选：B．
【变式2-1】将1，2 ，3 ，6 按如图方式排列，若规定
,
m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则
3,1 与
21,2 表示的两数之和是（ ）
A．2
B．2 2
C．
2
3
+
D．2 6
【答案】D
【分析】本题考查实数运算中的规律探究．由图可知，第m 排有m 个数，以1、2 、
3 、
6 四个数字为
一组进行循环，前m 排共有
(
1)
2
m m +
个数字，进而确定
3,1 与
21 2
,
的数字，求和即可．
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【详解】解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，L 第m 排
有m 个数，从第一排到第m 排共有：
1
1
2
3
4
(
1)
2
m
m m
+
+ +
+¼+
=
+
个数，且每四个数一个轮回，
3,1 表示
第3 排第1 个数，为
6 ，
∵前20 排共有
1
1
2
3
4
20
20 (20 1)
210
2
+
+ +
+¼+
=
´
´
+
=
个数，
∴(21,2)表示第21 排第2 个数即第212 个数，
212
4
53
¸
=
Q
，
∴(21,2)表示的数为
6 ，
∴
3,1 与(21,2)表示的两数之和是
6
6
2 6
+
=
；
故选：D．
【变式2-2】有这样一列数他们分别是
5 ，20 ，45 ，80 ，125 ，……，按照此规律，第11 个数是 ．
【答案】
605
【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键．
根据
2
5
5 1
=
´
，
2
20
5 2
=
´
，
2
45
5 3
=
´
，
2
80
5 4
=
´
，
2
125
5 5
=
´
，L ，则第11个数是
2
5 11
´
，从而求解．
【详解】解：∵
2
5
5 1
=
´
，
2
20
5 2
=
´
，
2
45
5 3
=
´
，
2
80
5 4
=
´
，
2
125
5 5
=
´
，L ，
∴第11个数是
2
5 11
605
´
=
，
故答案为：
605 ．
【变式2-3】观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
第1 个等式：
2
2
1
2 1 1 1
0
0
- ´ ´ +
=
=
；第2 个等式：
2
2
2
2 2 1 1
1
1
- ´ ´ +
=
= ；第3 个等式：
2
2
3
2 3 1 1
4
2
- ´ ´ +
=
=
；第4 个等式：
2
2
4
2 4 1 1
9
3
- ´ ´ +
=
=
；……
规律发现：
(1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：
①
2
2
5
2 5 1 1
- ´ ´ +
= ______；
②
2
2
101
2 101 1 1
- ´
´ +
=______．
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第 24 页 共 53 页
(2)用含n （n 为正整数）的代数式表示出第n 个等式：______．
(3)根据上述规律计算：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 1 1 1
2
2 2 1 1
3
2 3 1 1
4
2 4 1 1
- ´ ´ +
-
- ´ ´ +
+
- ´ ´ +
-
- ´ ´ +
2
2
2
2
2025
2 2025 1 1
2026
2 2026 1 1
+
+
- ´
´ +
-
- ´
´ +
LL
【答案】(1)①4；②100
(2)
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
- ´ ´ +
=
-
=
-
(3) 1013
-
【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
- ´ ´ +
=
-
=
- 是解此
题的关键．
（1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案；
（2）根据已知算式得出规律，即可得出答案；
（3）根据
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
- ´ ´ +
=
-
=
- ，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：①由题意得：
2
2
2
5
2 5 1 1
5 1
4
- ´ ´ +
=
-
=
；
②
2
2
2
101
2 101 1 1
100
100
- ´
´ +
=
=
；
（2）解：第1 个等式：
2
2
2
1
2 1 1 1
1 1
0
0
- ´ ´ +
=
-
=
=
；
第2 个等式：
2
2
2
2
2 2 1 1
2 1
1
1
- ´ ´ +
=
-
=
= ；
第3 个等式：
2
2
2
3
2 3 1 1
3 1
4
2
- ´ ´ +
=
-
=
=
；
第4 个等式：
2
2
2
4
2 4 1 1
4 1
9
3
- ´ ´ +
=
-
=
=
；
第5 个等式：
2
2
2
5
2 5 1 1
5 1
16
4
- ´ ´ +
=
-
=
=
；
……
\第n 个等式：
2
2
2
2
1 1
1
1
n
n
n
n
- ´ ´ +
=
-
=
- ；
（3）解：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 1 1 1
2
2 2 1 1
3
2 3 1 1
4
2 4 1 1
2025
2 2025 1 1
2026
2 2026 1 1
- ´ ´ +
-
- ´ ´ +
+
- ´ ´ +
-
- ´ ´ +
+×××+
- ´
´ +
-
- ´
´ +
0 1
2
3
4
5
2024
2025
=
- +
- +
- +×××+
-
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第 25 页 共 53 页
0 1
2
3
4
5
2024
2025
=
-
+
-
+
-
+×××+
-
1
1
1
1
= - + -
+ -
+×××+ -
1013
= -
．
考点三：被开方数小数点移动规律探究
例3.根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（ ）
x
15
15.1
15.2
15.3
2x
225
228.01
231.04
234.09
x
15.4
15.5
15.6
15.7
2x
237.16
240.25
243.36
246.49
①
228.01
15.1
=
；②235 的算术平方根比15.3小；③
231040
1520
=
；④根据表中数据的变化趋势，可以
推断出
2
15.8 比
2
15.7 增大3.25．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根，根据表格中的信息可知
2x 和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各
选项即可．熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
【详解】解：①
228.01
15.1
=
，故本选项正确，不符合题意；
②235 的算术平方根比15.3大，故本选项错误，符合题意；
③
2310400
1520
=
，故本选项错误，符合题意；
④根据表中数据的变化趋势，可以推断出
2
15.8 比
2
15.7 增大246.49
243.36
3.15
-
=
，故本选项错误，符合题
意；
综上分析可知：错误的有3 个．
故选：C．
【变式3-1】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
2x
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
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专题02 实数（解析版）
第 26 页 共 53 页
下面有四个推断：
①2.4649 的平方根是1.57
±
②240 的算术平方根位于15和16这两个连续的整数之间；
③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差大于3.19
④一定有3个整数的算术平方根在15.1~15.2之间
其中正确的序号是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键；
根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解；
【详解】解：2.4649 的平方根是1.57
±
，故①正确；
240 的算术平方根位于15和16这两个连续的整数之间；故②正确；
对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差大于3.19，故③正确；
2
15.1
228.01
=
，
2
15.2
231.04
=
，
之间有229 ，230 ，231
一定有3个整数的算术平方根在15.1~15.2之间；故④正确；
综上所述：正确的序号是①②③④；
故选：D
【变式3-2】小南用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表：
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289
根据表中的信息判断下列结论中，正确的有
．（填序号）
①275.56 的平方根是16.6
±
； ②265 的算术平方根比16.3 大；
③
2.7889
1.67
=
； ④只有4 个正整数n 满足16.4
16.5
n
<
<
．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，无理数的估算，求一个数的平方根等等，根据一个正数的两
个平方根互为相反数，结合
2
16.6
275.56
=
即可判断①；根据
2
16.3
265.69
265
=
>
，据此可判断②；根据被
开方数小数点向右（向左）每移到两位，则开方的结果的小数点向右（向左）移动一位，即可判断③；根
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第 27 页 共 53 页
据
2
16.4
268.96
=
，
2
16.5
272.25
=
即可判断④．
【详解】解：∵
2
16.6
275.56
=
，
∴275.56 的平方根是16.6
±
，故①正确；
∵
2
16.3
265.69
265
=
>
，
∴265 的算术平方根比16.3小，故②错误；
∵
278.89
16.7
=
，
∴
2.7889
1.67
=
，故③正确；
∵
2
2
16.4
268.9616.5
272.25
=
=
，
，
∴满足16.4
16.5
n
<
<
的正整数有269 270 271 272
、
、、
共4 个，故④正确；
故答案为：①③④．
【变式3-3】完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
x
…
0.064
0.64
64
6400
64000
…
x
…
0.25298
0.8
8
m
252.98
…
3 x
…
0.4
0.8618
n
18.566
40
…
(1)表格中的m = ______，n = ______；
(2)已知15
3.873 1.5
1.22474
»
»
，
，估计150 和
0.15 的值；(结果保留四位小数)
(3)若
3
14.1421, 700
a
b
»
»
，估计a
b
+
的值．（参考数据：
3
3
2
1.41421,
20
4.4721, 7
1.9129, 0.7
0.88790
»
»
»
»
)．（结果保留四位小数）
【答案】(1)80，4
(2)12.2474，0.3873
(3) 208.8790
【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关
键．
（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解．
（2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解．
（3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解．
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第 28 页 共 53 页
【详解】（1）解：∵
2
80
6400
=
，
∴
6400
80
=
，
∴
80
m =
，
∵
3
4
64
=
，
∴3 64
4
=
，
∴
4
n =
，
故答案为：80，4；
（2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的
算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
∵15
3.873 1.5
1.22474
»
»
，
，
∴150
12.2474
»
，
0.15
0.3873
»
；
（3）解：根据平方根的变化规律得：
∵
2
1.41421
»
，
∴
200
14.1421
»
又
14.1421
a »
，
∴
200
a =
，
从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或
向右）移动一位．
∵3 0.7
0.88790
»
∴
3 700
8.8790
b =
»
，
∴
200
8.8790
208.8790
a
b
+
=
+
=
．
考点四：由立方根的性质求值
例4.已知x 为实数，且3
3
4
2
1
0
x
x
-
+
+
=
，则
2
2
x
x
+
+
的算术平方根为（ ）
A．2
B．
22
C．2
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，根据
3
3
a
a
-
=
-
结合已知条件可得
3
3
4
2
1
x
x
-
=
-
+
，则
4
2
1
x
x
-
= -
+
，解方程求出x 的值，再根据算术平方根的定义可得答案．
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【详解】解：∵3
3
4
2
1
0
x
x
-
+
+
=
，
∴3
3
4
2
1
x
x
-
= -
+
，
∴
3
3
4
2
1
x
x
-
=
-
+
，
∴
4
2
1
x
x
-
= -
+
，
解得
1
x = ，
∴
2
2
2
1
1
2
4
x
x
+
+
=
+ +
=
，
∴
2
2
x
x
+
+
的算术平方根为2，
故选：C．
【变式4-1】已知
2
1
(
2)
0
x
y
+ +
-
=
，且3 1
2z
-
与3 3
5
z -
互为相反数，求yz
x
-
的平方根．
【答案】3
±
【分析】根据算术平方根的非负性和非负数的性质得
2
1
0,(
2)
0
x
y
+ =
-
=
，求得
1,
2
x
y
= -
=
，再根据立方根
与相反数的性质求得
4
z =
，代入求得
9
yz
x
-
=
，再求出9 的平方根即可．
【详解】解：因为
2
1
0,(
2)
0
x
y
+ ³
-
³
，且
2
1
(
2)
0
x
y
+ +
-
=
，
所以
2
1
0,(
2)
0
x
y
+ =
-
=
，所以
1,
2
x
y
= -
=
．
因为3 1
2z
-
与3 3
5
z -
互为相反数，
所以1 2
3
5
0
z
z
-
+
-
=
，解得
4
z =
．
当
1,
2,
4
x
y
z
= -
=
=
时，
2 4
( 1)
9
yz
x
-
=
´
- -
=
，
所以yz
x
-
的平方根为3
± ．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性，非负数的性质，立方根，相反相成数，平方根，正确求出x、y、z
的值是解题的关键．
【变式4-2】我们知道
0
a
b
+
=
时，
3
3
0
a
b
+
=
也成立，若将a 看成
3
a 的立方根，b 看成
3
b 的立方根，我们能
否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
(1)上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请举出一个反例；
(2)若3 1 2x
-
与3 3
5
x -
互为相反数，求1
x
-
的值．
【答案】(1)成立，见解析
(2) 1
-
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【分析】本题考查了立方根，解题的关键是注意互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．
（1）根据立方根互为相反数可得被开放数互为相反数，根据互为相反数的两数的和为零可得答案．
（2）根据被开方数互为相反数，可得关于x 的方程，解方程可得x 的值，根据开平方运算可得答案．
【详解】（1）解：上述结论成立．
证明：
0
a
b
+
=
Q
，
b
a
\ = - ，
3
3
3
(
)
b
a
a
\
= -
= -
，
3
3
3
3
0
a
b
a
a
\
+
=
-
=
．
即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的；
（2）解：由（1）可知1 2
3
5
0
x
x
-
+
-
=
，
解得
4
x =
，
1
1
2
1
x
\ -
= -
= - ．
【变式4-3】先阅读材料，再解答问题．
3 1
1
-
= -
Q
，3
1
1
- = - ，
3
3
1
1
\-
=
- ．
3 8
2
-
= -
Q
，3
8
2
- = - ，
3
3
8
8
\-
=
- ．
3 27
3
-
= -
Q
，3
27
3
-
= - ，
3
3
27
27
\-
=
-
．
...，
3
3
n
-
=
Q
，3
3
n
-
= ，
\ = ．
(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ．
(2)计算
3
3
3
3
3
1
8
27
100
- +
- +
-
+
+
-
L
的值．
【答案】(1) n
- ；n
- ；
3
3n
-
；
3
3
n
-
，相反数
(2) 5050
-
【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数；
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（2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果．
此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【详解】（1）解：Q
3
3
n
n
-
= - ，3
3n
n
-
= - ，
\
3
3
3
3
n
n
-
=
-
；
∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数；
故答案为：n
- ；n
- ；
3
3n
-
；
3
3
n
-
，相反数
（2）解：
3
3
3
3
3
1
8
27
100
- +
- +
-
+
+
-
L
1 2
3
100
= - -
- -¼-
1
2
3
100
= -
+
+ +¼+
100
100 1
2
´
+
= -
5050
= -
．
考点五：求大数的立方根
例5.据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一
道智力题：某正整数n 的立方是59319，求这个正整数n ．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚迅速求出立方根的过程如下：
①由
3
3
10
1000100
1000000
=
=
，
，可以确定n 是两位数；
②由
3
3
30
27000 40
64000 27000
59319
64000
=
=
<
<
，
，
可知，n 的十位上的数字是3；
③考虑到1 至9 的立方中，只有9 的立方的个位上的数字是9，所以确定n 的个位上的数字是9，所以
39
n =
．
请你根据上述步骤求出74088 的立方根是 ．
【答案】42
【分析】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键．根据题干中求立方根的方法和步骤，推
理出相应的结果即可．
【详解】解：设74088 的立方根是n ，
3
3
10
1000,100
1000000
=
=
Q
，
∴可以确定n 是两位数，
3
3
50
125000,40
64000,64000
74088
125000
=
=
<
<
Q
，
∴n 的十位数字是4，
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∵1至9 的立方中，个位数字为8 的只有2 的立方，
∴确定n 的个位数字是2，即
42
n =
．
故答案为：42 ．
【变式5-1】我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力
题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道
华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，
可以确定3 59319 是两位数．由59319 的个位上的数是9，可以确定3 59319 的个位上的数字是9，如果划去
59319 后面的三位319 得到数59，而
33
27
=
，
3
4
64
=
，由此可以确定59319 的十位上的数字是3．据以上
方法可得3 32768 =
．
【答案】32
【分析】本题考查了立方根，理解题目所提供的方法是解决问题的关键．
根据题目提供的方法，类推确定3 32768 ．
【详解】解：由
3
3
10
1000,100
1000000
=
=
，确定3 32768 是两位数．
由32768 的个位上的数是8，能确定3 32768 的个位上的数是2．
如果划去32768 后面的三位768 得到数32，而
3
3
4
64,3
27
=
=
，由此确定3 32768 的十位上的数是3．
因此，32768 的立方根是32．
故答案为：32．
【变式5-2】（1）填空
①由
3
3
10
1000100
1000000
=
=
，
，可以确定3 19683 是___________位数；
②由19683 的个位上的数是3，可以确定3 19683 的个位上的数是___________；
③如果划去19683 后面的三位数683 得到19，而
3
3
2
8 3
27
= ，=
，由此可以确定3 19683 的十位上的数是
___________；最后就可以求出3 19683 的值了．
（2）已知59319 是一个数的立方数，按照上述方法，求59319 的立方根．
【答案】（1）两，7，2；（2）39
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个
位数是解答本题的关键．
（1）①由19683 大于1000 而小于1000000，即可确定59319 的立方根是2 位数；
②根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案；
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③运用数立方的计算方法计算即可；
（2）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即
可解答．
【详解】解：（1）①∵1000
19683
1000000
<
<
，
∴
3 1968
1
0
3
0
1 0
<
<
，
∴3 19683 是两位数；
故答案为：两；
②∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数
∴3 19683 的个位数为7；
故答案为7；
③∵8
19
27
<
<
，
∴
3
2
19
3
<
<
，
∴3 19683 的十位上的数是2，
故答案为2；
（2）由
3
3
10
1000100
1000000
=
=
，
，可以确定3 59319 是两位数；
由59319 的个位上的数是9，可以确定3 59319 的个位上的数是9；
如果划去59319 后面的三位数319 得到59，而
3
3
3
27 4
64
=
=
，
，
由此可以确定3 59319 的十位上的数是3；
所以3 59319
39
=
．
【变式5-3】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老
师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，能确定3 74088 是两位数；
②由74088 的个位上的数是8，因为
3
2
8
=
，能确定3 74088 的个位上的数是2；
③如果划去74088 后面的三位088 得到数74，而
3
4
64
=
，
35
125
=
，由此能确定3 74088 的十位上的数是
4．（提示：
3
3
3
3
6
216 7
343 8
512 9
729
=
=
=
=
，
，
，
）
已知3 493039 为整数，请利用以上方法，则3 493039 的每位数上的数字之和为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．19
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【答案】B
【分析】本题主要考查了立方根、数字规律等知识点，读懂题意、发现规律是解题的关键．
根据题意给出的规律，并结合数的立方根的定义确定3 493039 每位数，然后再确定即可．
【详解】解：∵根据题意可知3 493039 为两位数，
∴3 493039 的个位上的数是9，
∵
3
7
343
=
，
38
512
=
，
∴3 493039 的十位上的数是7，
∴可以断定3 493039
79
=
，
∴3 493039 的每位数上的数字之和为16．
故选：B．
考点六：平方根与立方根综合求值
例6.已知一个正数的平方根分别为2
1
b - 和
2
b-
，1
3c
-
的立方根为2
- ，a 为大于
3 的最小整数．
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求2c
ab
-
的算术平方根．
【答案】(1) a ，b ，c 的值分别为2，1，3
(2)2
【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用平方根，立方根的意义可求出b，c 的值，然后再估算出
3 的值的范围，从而求出a 的值；
（2）把a，b，c 的值代入式子中，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：Q一个正数的平方根分别为2
1
b - 和
2
b-
，
2
1
2
0
b
b
\
- +
-
=
，解得
1
b = ，
1 3c
-
Q
的立方根为2
- ，
3
1 3
2
8
c
\ -
= -
= - ，
解得
3
c = ，
a
Q 为大于
3 的最小整数，且1
3
2
<
<
，
2
a
\
=
，
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a
\ ，b ，c 的值分别为2，1，3．
（2）解：由（1）知：
2
a =
，
1
b = ，
3
c = ，
2
2 3
2 1
4
c
ab
\
-
=
´ - ´ =
，
2c
ab
\
-
的算术平方根为
4
2
=
．
【变式6-1】已知
2
10
2
0
x
y
+
+
-
=
∣
∣
，且3 1
2z
-
与3 3
5
z -
互为相反数，
(1)求x
y
z
、、的值；
(2)求3
2
z
y
+
的算术平方根；
(3)求5x
y
-
的立方根．
【答案】(1)
5
x = - ，
2
y =
，
4
z =
(2) 4
(3) 3
-
【分析】（1）根据非负数的性质可求出x
y
、的值，再根据立方根的性质和相反数的定义可得z 的值；
（2 ）把y
z
、的值代入求出3
2
z
y
+
的值，进而根据算术平方根的定义即可求解；
（3）把x
y
、的值代入求出5x
y
-
的值，进而根据立方根的定义即可求解；
本题考查了非负数的性质，算术平方根和立方根的定义，相反数的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
2
10
2
0
x
y
+
+
-
=
∣
∣
，
∴2
10
0
x +
=
，
2
0
y -
=
，
∴
5
x = - ，
2
y =
，
∵3 1
2z
-
与3 3
5
z -
互为相反数，
∴1 2
3
5
0
z
z
-
+
-
=
，
∴
4
z =
；
（2）解：∵
2
y =
，
4
z =
，
∴3
2
3 4
2 2
16
z
y
+
= ´ + ´
=
，
∴3
2
z
y
+
的算术平方根为4 ；
（3）解：∵
5
x = - ，
2
y =
，
∴
5
5
5
2
27
x
y
-
= ´ -
-
= -
，
∴5x
y
-
的立方根为3
- ．
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第 36 页 共 53 页
【变式6-2】已知：a 的平方根是它本身，5
17
b +
的立方根是3，
10
3
3
b
m
+
的算术平方根是4．
(1)直接写出a，b，m 的值；
(2)求
3
a
b
m
+
+
的平方根；
(3)若bm 的整数部分是x，小数部分是y，计算xy 的值．
【答案】(1)
0
a =
，
2
b =
，
3
m =
；
(2) 3
± ；
(3)
2 6
4
xy =
-
．
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相
关知识是解题的关键．
（1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可求解；
（2）根据平方根的定义即可求解；
（3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵a 的平方根是它本身，
∴
0
a =
，
∵5
17
b +
的立方根是3，
∴
3
5
17
3
27
b +
=
=
，
解得：
2
b =
，
∵
10
3
3
b
m
+
的算术平方根是4，
∴
2
10
3 2
4
16
3 m
´ +
=
=
，
解得：
3
m =
；
（2）解：∵
0
a =
，
2
b =
，
3
m =
，
∴
3
0
3 2
3
9
a
b
m
+
+
=
+ ´
+
=
，
∵9的平方根是3
± ，
∴
3
a
b
m
+
+
的平方根是3
± ；
（3）解：∵
2
b =
，
3
m =
，
∴
2 3
6
bm =
´
=
，
∵
4
6
9
<
<
，即2
6
3
<
< ，
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第 37 页 共 53 页
∴
6 的整数部分为
2
x =
，小数部分为
6
2
-
，
∴
2
6
2
2 6
4
xy =
´
-
=
-
．
【变式6-3】已知一个正数的平方根为2
1
n + 和4 3n
-
．
(1)求n 的值；
(2)若
2
7
5
0
a
b
c
n
+
+
-
+
-
=
，则
2
2
a
b
c
+
+
的立方根是多少？
【答案】(1)
5
n =
(2)2
【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根，熟练掌握平方根、算术平方根的非负性及
立方根是解题的关键．
（1）根据平方根的意义可直接列方程求解；
（2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出, ,
a b c 的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵正数m 的平方根互为相反数，
∴2
1
4
3
0
n
n
+ +
-
=
，
解得：
5
n =
；
（2）解：由（1）得：
5
n =
，
∵
2
7
5
0
a
b
c
n
+
+
-
+
-
=
，
∴
7
0
a +
=
，
5
0
b -
=
，
0
c
n
-
=
，
∴
7
a = - ，
5
b =
，
5
c
n
=
=
，
∴
2
2
2
7
2 5
5
64
8
a
b
c
+
+
=
-
+ ´ +
=
=
，8 的立方根为2
∴
2
2
a
b
c
+
+
的立方根是2．
考点七：无理数的估算
例7.若整数x 满足6
19
79
3
x
+
£
£
+
，则x 等于（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的取值范围，解题的关键是熟练掌握确定二次根式取值范围的方法．
分别判断出19 和79 的取值范围，然后确定x 的取值范围即可．
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【详解】解：∵19
16
>
，即19
4
>
，
6
19
10
\
+
>
，即
10
x >
，
64
79
81
<
<
Q
，即8
79
9
<
<
，
∴11
79
3 12
<
+ <
，即
12
x <
∴
11
x=
，
故选：B．
【变式7-1】若正整数a、b 分别满足3
3
5
9
7
15
a
b
<
<
<
<
、
，则
a
b = （ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的估算、代数式求值、有理数乘方等知识点，掌握无理数的估算方法成为
解题的关键．
先估算无理数可得
2,
3
a
b
=
=
，然后代入
a
b 运用乘方运算即可．
【详解】解：∵正整数a、b 分别满足
3
3
3
3
1
1
5
8
2
9
=
<
<
=
<
，2
4
7
15
16
4
b
=
<
<
<
<
=
，
∴
2,
3
a
b
=
=
，
∴
23
9
a
b =
=
．
故选D．
【变式7-2】阅读材料：大家知道2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2 的小数部分我们不可
能全部地写出来，于是小明用
2
1
- 来表示2 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表
示方法是有道理的，因为2 的整数部分是1，用2 减去其整数部分，差就是小数部分．根据以上材料，
解答下列问题：
(1)如果13
a
b
=
+
，其中a 是整数，且0
1
b
<
< ，那么a =_____，b = ______；
(2)已知
5
6
A
x
y
=
+
，
3
8
B
x
y
=
+
，且x 为19
3
- 的整数部分，y 为19
3
- 的小数部分，比较A 与B 的大小．
【答案】(1)3，13
3
-
(2) A
B
>
，理由见解析
【分析】本题主要考查的是无理数的估算，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
（1）根据无理数的估算方法即可得到答案；
（2）根据无理数的估算方法求出
1
x = ，
19
4
y =
-
计算即可．
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【详解】（1）解：
9
13
16
<
<
∵
，
3
13
4
\ <
<
，
13
a
b
=
+
Q
，a 是整数，且0
1
b
<
< ，
3
a
\
= ，
13
3
b =
-
，
故答案为：3，13
3
- ；
（2）解：
4
19
5
<
<
Q
，
1
19
3
2
\ <
-
<
，
x
Q 为19
3
- 的整数部分，y 为19
3
- 的小数部分，
1
x
\
= ，
19
4
y =
-
，
(5
6 )
(3
8 )
5
6
3
8
2
2
2 1
19
4
10
2 19
0
A
B
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
é
ù
\
-
=
+
-
+
=
+
-
-
=
-
=
-
-
=
-
>
ë
û
，
A
B
\
>
．
【变式7-3】【阅读理解】
信息1：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如2
5
3
<
<
，是因为
4
5
9
<
<
；
信息2 ：因为
5 介于2 和3之间，所以
5 的整数部分是2 ，小数部分可以表示为5
2
-
．
【问题解决】
(1) 13 的整数部分是______，小数部分是______；
(2)判断70 1
+ 介于哪两个相邻的整数之间；
(3)若30
3
x
y
-
=
+
，其中x 是整数，且0
1
y
<
< ，则y 的相反数为______；
(4)已知9
13
-
的小数部分是m ，9
13
+
的小数部分是n ，且
2
1
x
m
n
-
=
+
，求x 的值．
【答案】(1)3，13
3
-
(2)9和10
(3)5
30
-
(4)
2
x =
或0
【分析】本题考查了无理数的整数部分，无理数的估算，实数的性质，利用平方根解方程．
（1）利用9
13
16
<
<
，得3
13
4
<
<
，即可求解；
（2）因为
64
70
81
<
<
得9
70
1 10
<
+ <
，即可求解；
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（3）利用25
30
36
<
<
，得出2
30
3
3
<
-
<
，利用30
3
x
y
-
=
+
，其中x 是整数，且0
1
y
<
< ，得出
2
x =
，
30
3
2
30
5
y =
- -
=
- ，即可求解；
（4）先求出3
13
4
<
<
，得4
13
3
- < -
< - ，5
9
13
6
<
-
<
，可得
4
13
m =
-
，同理得
13
3
n =
- ，代入
2
1
x
m
n
-
=
+
计算即可
【详解】（1）解：∵9
13
16
<
<
，
∴3
13
4
<
<
，
∴13 的整数部分是3，小数部分是13
3
- ，
故答案为：3，13
3
- ；
（2）解：∵64
70
81
<
<
，
∴8
70
9
<
< ，
∴8 1
70
1
9 1
+ <
+ <
+ ，即9
70
1 10
<
+ <
，
即70 1
+ 在9和10之间；
（3）解：∵25
30
36
<
<
，
∴5
30
6
<
<
，
∴2
30
3
3
<
-
<
，
∵30
3
x
y
-
=
+
，其中x 是整数，且0
1
y
<
< ，
∴
2
x =
，
30
3
2
30
5
y =
- -
=
- ，
∴y 的相反数为5
30
-
，
故答案为：5
30
-
；
（4）解：∵9
13
16
<
<
，
∴3
13
4
<
<
，
∴4
13
3
- < -
< - ，
∴5
9
13
6
<
-
<
，12
9
13
13
<
+
<
，
∵9
13
-
的小数部分是m ，9
13
+
的小数部分是n ，
∴
9
13
5
4
13
m =
-
-
=
-
，
9
13
12
13
3
n =
+
-
=
- ，
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∵
2
1
x
m
n
-
=
+
，
∴
2
1
4
13
13
3
1,
x
m
n
-
=
+
=
-
+
-
=
∴
1
1
x - = 或1
- ，
则
2
x =
或0 ．
考点八：探究无理数的近似值
例8.阅读材料1．
2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2 的小数部分不能全部写出来，但由于1
2
2
<
<
，所以
2 的整数部分为1，将2 减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为
2
1
- ．
（1）已知9
5
x
y
+
=
+
，其中x 是整数，且0
1
y
<
< ，求7
y
-
的值；
阅读材料2．
小李同学探索167 的近似值的过程如下：
∵面积为167 的正方形的边长是167 且12
167
13
<
<
，
∴可设167
12
x
=
+
，其中0
1
x
<
< ，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积
2
2
12
2 12
S
x
x
=
+ ´
+
正方形
；又∵
167
S
=
正方形
，∴
2
2
12
2 12
167
x
x
+ ´
+
=
．由
2
0
1
x
<
< ，可忽略
2x ，得
144
24
167
x
+
»
，得到
0.96
x »
，即167
12.96
»
．
（2）仿照材料2 中的方法，探究解答
230 的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数）
【答案】（1）9
5
-
；（2）画图见解析，
230
15.17
»
【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算方法是解题的关键．
（1）首先估算出11 9
5 12
< +
<
，然后求出
11
x=
，
9
5 11
5 2
y = +
-
=
- ，然后代入7
y
-
求解即可．
（2）仿照题意画出示意图进行求解即可．
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【详解】解：（1）∵4
5
9
<
<
∴2
5
3
<
<
∴11 9
5 12
< +
<
∵9
5
x
y
+
=
+
，其中x 是整数，且0
1
y
<
< ，
∴
11
x=
，
9
5 11
5 2
y = +
-
=
-
∴
7
7
5
2
9
5
y
-
=
-
-
=
-
；
（2）∵15
230
16
<
<
，
∴可设
230
15
x
=
+
，其中0
1
x
<
< ，画出示意图，如图所示，
根据示意图，可得图中正方形的面积
2
2
2 15
15
S
x
x
+
=
´
+
正方形
，
又∵
230
S
=
正方形
，
∴
2
2
15
2 15
230
x
x
+ ´
+
=
，
由
2
1
x < ，可忽略
2x ，
∴225
30
230
x
+
»
，得到
0.17
x »
，即
230
15.17
»
．
【变式8-1】综合与实践：小李同学探索86 的近似值的过程如下
∵面积为86 的正方形的边长是86 ，且9
86
10
<
<
，
∴设86
9
x
=
+
，其中0
1
x
<
< ．
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
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第 43 页 共 53 页
2
81
2
9
S
x
x
正方形=
+
´
+
．
∵S正方形
86
=
，
∴
2
81
2 9
86
x
x
+
=
+ ´
．
当
2
1
x < 时，可忽略
2x ，得81 18
86
x
+
»
，解得
0.28
x »
，即86
9.28
»
．
(1)填空：52 的整数部分的值为_______；
(2)仿照上述方法，探究52 的近似值（结果精确到0.01）；（解题要求：画出示意图，标明数据，并写出
求解过程．）
(3)卫星太阳能板的优化设计：某科技公司设计正方形卫星太阳能板时，需计算展开后的边长．已知太阳能
板的面积为137 平方米，工程师采用类似137 的近似方法优化材料用量．若忽略
2x 后近似计算
137
11.73
»
，实际需保留
2x 项修正．设
0.73
x =
，通过计算，验证近似值的误差（保留两位小数）．
【答案】(1)7
(2) 52
7.21
»
(3)0．59
【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
（1）根据无理数的估算方法估算出7
52
8
<
<
，据此可得答案；
（2）根据题目所提供的方法进行解答即可；
（3）先估算出11
137
12
<
<
，设137
11
x
=
+
，其中0
1
x
<
< ，把
0.73
x =
代入
2
11
x
+
中求出
2
11
x
+
的
值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵49
52
64
<
<
，
∴
49
52
64
<
<
，即7
52
8
<
<
，
∴52 的整数部分的值为7；
（2）解：∵面积为52 的正方形的边长是52 ，且7
52
8
<
<
，
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∴设
52
7
x
=
+
，其中0
1
x
<
< ，
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
2
49
2 7
S
x
x
=
+ ´
+
正方形
．
∵
52
S
=
正方形
，
∴
2
49
2 7
52
x
x
+ ´
+
=
．
当
2
1
x < 时，可忽略
2x ，得49 14
52
x
+
»
，解得
0.21
x »
．
∴52
7.21
»
．
（3）解：∵121 137
144
<
<
，
∴11
137
12
<
<
，
设137
11
x
=
+
，其中0
1
x
<
< ，
把
0.73
x =
代入
2
11
x
+
中得：
2
2
11
11.73
137.5929
x
+
=
=
，
∴实际面积误差：137.5929 137
0.5929
0.59
-
=
»
（平方米）．
【变式8-2】阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，2 等，而常用
的“…”或者“ »”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：
4
7
9
<
<
Q
，即2
7
3
<
<
，
1
7
1
2
\ <
- <
．
7
1
\
- 的整数部分为1，小数部分为
7
2
- ．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2 的正方形的边长是2 ，易知
2
1
> ，因此可设
2
1
x
= +
可画出如图示意图．
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1
x
x
1 x
×
2x
1
1
1 x
×
解：由图中面积计算，
2
2 1
1
S
x
x
=
+ ´ × +
正方形
，
2
S
=
Q
正方形
，
2
2 1
1
2
x
x
\
+
´ ×
+ =
．
x
Q 是2 的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略
2x ，
\得方程2
1
2
x + =
，解得
0.5
x =
，即
2
1.5
»
．
解决问题：
(1)利用材料一中的方法，若x 是13
2
+ 的小数部分，y 是13
1
- 的整数部分，求x
y
+
的值．
(2)利用材料二中的方法，借助面积为5 的正方形探究
5 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解
过程）
【答案】(1)
13
1
x
y
+
=
-
(2)图见解析，5
2.25
»
【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．
（1）根据材料一中的方法求解即可；
（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．
【详解】（1）解：∵9
13
16
<
<
，即3
13
4
<
<
，
∴5
13
2
6
<
+
<
，2
13
1
3
<
- <
，
∴13
2
+ 的整数部分为5，13
1
- 的整数部分为2，即
2
y =
，
∴13
2
+ 的小数部分为13
2
5
13
3
+
-
=
- ，即
13
3
x =
- ．
∴
13
3
2
13
1
x
y =
- +
=
+
- ；
（2）解：∵面积是5 的正方形的边长是
5 ，5
2
>
，
∴可设5
2
x
=
+
画出示意图如图所示
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专题02 实数（解析版）
第 46 页 共 53 页
由图中面积计算，
2
S
x
=
正方形
∵
5
S
=
正方形
，
∴
2
2 2
4
5
x
x
+ ´ × +
=
，
∵x 是
5 的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略
2x ，
∴得方程4
4
5
x +
= ，解得
0.25
x =
，即5
2.25
»
．
➢复习提升
1．下列说法：①2
- 是4 的平方根；②16 的平方根是4；③125
-
的平方根是15
±
；④0.25 的算术平方根是
0.5；⑤27
125 的立方根是
3
5
±
；⑥
81 的算术平方根是9．其中正确的说法有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】此题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根的意义分别进行判
断即可．
【详解】解：①2
- 是4 的平方根，故原说法正确；
②16 的平方根是4
± ，故原说法错误；
③125
-
没有平方根，故原说法错误；
④0.25 的算术平方根是0.5，故原说法正确；
⑤27
125 的立方根是3
5 ，故原说法错误；
⑥
81 的算术平方根是3，故原说法错误．
综上可知，正确的说法是①④，共2 个，
故选：B
2．如图，在数轴上，点A 表示2 ，点B 表示3 60 ，则A ，B 之间表示整数的点共有（ ）
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A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根与立方根，无理数的估算，弄清数轴上的点表示的数是解本
题的关键．根据A 与B 表示的数表示出范围，确定整数解个数即可．
【详解】解：
1
2
2
<
<
Q
，3
3
3
27
60
64
<
<
，即
3
3
60
4
<
<
A
\
，B 之间表示整数的点有2 和3两个，
故选：D．
3．如图，通过画边长为1 的正方形，就能准确的把2 表示在数轴上点
1A 处，记
1A 右侧最近的整数点为
1
B ，以点
1
B 为圆心，1
1
A B 为半径画半圆，交数轴于点
2
A ，记
2
A 右侧最近的整数点为
2
B ，以点
2
B 为圆心，2
2
A B
为半径画半圆，交数轴于点
3
A ，则点
3
A 表示的实数为（ ）
A．
2
1
-
B．2
C．4
2
-
D．2
2
+
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴，实数的运算，根据题意，得到
1
B 表示的数为2，进而得到
1
2
2
2
B A =
-
，得
到
2
A 表示的数为4
2
-
，进而得到
2
B 表示的数为3，得到
2
3
3
4
2
2
1
B A =
-
+
=
- ，进行求出
3
A 表示的数
即可．
【详解】解：由题意，得：
1
2
OA =
，
∵1
2
2
<
<
，
∴
1
B 表示的数为2，
∴
1
2
2
2
B A =
-
，
∴
2
A 表示的数为：2
2
2
4
2
+
-
=
-
，
∵2
4
2
3
<
-
<
，
∴
2
B 表示的数为：3，
∴
2
3
3
4
2
2
1
B A =
-
+
=
- ，
∴
3
A 表示的数为：3
2
1
2
2
+
- =
+
；
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第 48 页 共 53 页
故选：D．
4．数学解密：若第一个式子是9
4
1
=
+
，第二个式子是
25
9
4
=
+
，第三个式子是
81
25
16
=
+
，第四个式子是
289
81
64
=
+
…，观察以上规律并猜想第六个式子是
．
【答案】
4225
1089
1024
=
+
【分析】本题主要考查了算术平方根，分析题意，找出规律是解题关键．
先找出前面四个式子的规律，得出第n 个式子是
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
n
n
n
-
-
+
=
+
+
，进而求出第六个式子即
可．
【详解】解：
9
4
1
=
+
Q
，即
2
2
2
1
1 1
1 1
2
1
2
1
2
-
-
+
=
+
+
，
25
9
4
=
+
，即
2
2
2
2
2 1
2 1
2
1
2
1
2
-
-
+
=
+
+
，
81
25
16
=
+
，即
2
2
2
3
3 1
3 1
2
1
2
1
2
-
-
+
=
+
+
，
289
81
64
=
+
，即
2
2
2
4
4 1
4 1
2
1
2
1
2
-
-
+
=
+
+
，
\第六个式子为
2
2
2
6
6 1
6 1
2
1
2
1
2
-
-
+
=
+
+
，即
4225
1089
1024
=
+
．
故答案为：
4225
1089
1024
=
+
．
5．观察表中的数据信息：则下列结论：①
2.2801
1.51
=
；②
23409
23104
1
-
= ；③只有3 个正数a 满
足15.2
15.3
a
<
<
；④
2.3104
1.51
0
-
<
．其中正确的个数有
个．
a
225
228.01
231.04
234.09
237.16
…
a
15
15.1
15.2
15.3
15.4
…
【答案】2
【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左或者向右移动2
位，算术平方根的小数点向左或向右移动1 位，逐一进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：
228.01
15.1
=
∴
2.2801
1.51
=
；故①正确；
∵
234 09
15.3,
231.04
15.2
×
=
=
，
∴
23409
153,
23104
152
=
=
，
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∴
23409
23104
1
-
= ；故②正确；
∵15.2
15.3
a
<
<
，
∴231.04
231.09
a
<
<
，
∴有无数个正数a 满足15.2
15.3
a
<
<
；故③错误；
∵
2.3104
1.52
=
，
∴
2.3104
1.51
0.01
0
-
=
>
；故④错误；
故正确的个数有2 个；
故答案为：2．
6．已知一个正数m 的两个平方根分别是2
1
n + 和4 3n
-
．
(1)求m 和n 的值；
(2)若
2
4
0
a
b
c
n
-
+
+
-
=
，求a
b
c
+
+
的算术平方根．
【答案】(1)
121
m =
，
5
n =
(2)3
【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根．
（1）根据平方根的意义可直接列方程求解；
（2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出, ,
a b c 的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）依题意得：2
1
4
3
0
n
n
+ +
-
=
，
解得：
5
n =
，
2
2
1
121
m
n
\
=
+
=
；
（2）∵
2
4
0
a
b
c
n
-
+
+
-
=
∴
4
0,
0,
0
a
b
c
n
-
=
=
-
=
，
∴
4
0
5
a
b
c
n
=
=
=
=
，
，
，
9
a
b
c
\ +
+
=
，
9
\ 的算术平方根为3．
7．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下，化简
2
3
3
a
b
a
b
c
a
c
+ -
+
+
-
-
-
-
．
【答案】
2
a
b
- -
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【分析】本题考查实数的运算，以及数轴的特征和应用，根据图示，可得
1
b
a
<
< - ，0
1
c
<
< ，则
0
b
- >
，
0
a b
+ <
，
0
c
a
-
>
，据此化简代数式
2
3
3
a
b
a
b
c
a
c
+ -
+
+
-
-
-
-
后再进行合并即可．解题的关键是
要掌握：绝对值的代数意义，算术平方根及立方根的意义．
【详解】解：根据图示，可得：
1
b
a
<
< - ，0
1
c
<
< ，
∴
0
b
- >
，
0
a b
+ <
，
0
c
a
-
>
，
∴
2
3
3
a
b
a
b
c
a
c
+ -
+
+
-
-
-
-
a
b
a
b
c
a
c
= - + -
+ -
+
-
-
- -
é
ù
ë
û
a
b
a
b
c
a
c
= - -
-
+
-
-
+
a
b
a
b
c
a
c
= - -
-
-
- +
+
2
a
b
= - -
．
8．大家知道2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2 的小数部分我们不可能全部写出来，而
1
2
2
<
<
，于是可用
2
1
- 来表示2 的小数部分．
例如：
9
10
16
<
<
Q
，即3
10
4
<
<
，
10
\
的整数部分为3，小数部分为
10
3
-
．
请解答：
(1) 19 的整数部分为m 是 ，小数部分n 为 ，
19
m
n
-
+
的值为 ．
(2)已知
2
a -
的立方根为2
- ，2
1
b - 的算术平方根是5 ，c 是37 的整数部分，求a
b
c
+
-
的平方根．
【答案】(1)4；19
4
-
；8
(2) 1
±
【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，算术平方根、平方根和立方根的定义．掌握无理数的估算
方法是解题关键．
（1）结合阅读材料可求出m 和n 的值，再代入
19
m
n
-
+
求值即可；
（2）根据算术平方根和立方根的定义可求出a 和b 的值，再结合阅读材料可求出c 的值，从而可求出a
b
c
+
-
的值，最后计算其平方根即可．
【详解】（1）解：∵16
19
25
<
<
，即4
19
5
<
<
，
∴19 的整数部分为m 是4，小数部分n 为19
4
-
，
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∴
19
4
19
4
19
8
m
n
-
+
=
-
+
+
=
．
（2）解：∵
2
a -
的立方根为2
- ，
∴
3
2
2
a -
= -
，
∴
6
a = - ．
∵2
1
b - 的算术平方根是5，
∴
2
2
1
5
b - =
，
∴
13
b =
，
∵
36
37
49
<
<
，即6
37
7
<
<
，
又∵c 是37 的整数部分，
∴
6
c = ，
∴
6 13
6
1
a
b
c
+
-
= - +
-
= ，
∴a
b
c
+
-
的平方根为1
± ．
9．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出50653
-
的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，所以3 50653 是两位数；
②其次观察了立方数：
31
1
= ，
3
2
8
=
，
33
27
=
，
3
4
64
=
，
35
125
=
，
3
6
216
=
，
3
7
343
=
，
38
512
=
，
39
729
=
；猜想3 50653 的个位数字是7；
③接着将50653 往前移动3 位小数点后约为50，因为
33
27
=
，
3
4
64
=
，所以3 50653 的十位数字应为3，
于是猜想3 50653
37
=
，验证得：50653 的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
50653
37
-
= -
，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个
数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) 3
117649
-
= ______；
(2)若3
3
1 2
5
0
x
-
+
=
，则x =______；
(3)已知
2
2
x
x
-
+
=
，且3 3
1
y - 与3 1 2x
-
互为相反数，求x，y 的值．
【答案】(1) 49
-
(2)3
(3)
2
x =
，
4
3
y =
或
3
x =
，
2
y =
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【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟
练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为0,1，进行分类讨论，再根据两个
数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，所以3 117649 是两位数，
因为
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1,2
8,3
27,4
64,5
125,6
216,7
343,8
512,9
729
=
=
=
=
=
=
=
=
=
；猜想3 117649 的个位数字是9，
接着将117649往前移动3 位小数点后约为117，因为
3
3
4
64,5
125
=
=
，所以3 117649 的十位数字应为4，于
是猜想3 117649
49
=
，验证得：117649的立方根是49 ；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
117649
49
-
= -
；
（2）解：∵3
3
1 2
5
0
x
-
+
=
，
∴3 1 2x
-
和3 5 互为相反数，
∴1 2
5
x
-
= - ，
∴
3
x =
；
故答案为：3．
（3）解：∵
2
2
x
x
-
+
=
，即
2
2
x
x
-
=
-
，
∴
2
0
x -
=
或1
解得：
2
x =
或
3
x =
∵3 3
1
y - 与3 1 2x
-
互为相反数，即
3
3 3
1
1
2
0
y
x
- +
-
=
，
∴3
1 1 2
0
y
x
- + -
=
，即3
2
0
y
x
-
=
，
∴当
2
x =
时，
4
3
y =
；
当
3
x =
，
2
y =
．
10．对于实数a ，我们规定：用符号é
ù
ë
û
a 表示不大于
a 的最大整数，称é
ù
ë
û
a 为a 的根整数，例如：
9
3
é
ù =
ë
û
，
10
3
é
ù =
ë
û
；还可以对a 连续求根整数，直到结果为1 为止，例如：对10 连续求根整数2 次：
10
3
é
ù =
ë
û
，
3
1
é
ù =
ë
û
，得到结果为1．
(1)仿照以上方法计算：[ 26] = ______；
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第 53 页 共 53 页
(2)对123 连续求根整数，______次之后结果为1；
(3)只需进行3 次连续求根整数运算后结果为1 的所有正整数中，最大的正整数是多少？请通过计算说明．
【答案】(1)5
(2)3
(3)255，见解析
【分析】本题考查新定义，无理数的估算，理解题意，读懂题目中给出的规定，熟练掌握无理数的估算方
法是解答此题的关键．
（1）先估算[ 26]的取值范围，再根据é
ù
ë
û
a 的含义可得出答案；
（2）根据题目中的规定对123 连续求根整数，直到结果为1 即可得出答案；
（3）根据题目中的规定分别对256 和255 连续求根整数，比较操作次数即可得出答案．
【详解】（1）∵25
26
36
<
<
，
∴5
26
6
<
<
，
∴
26
5
é
ù =
ë
û
，
故答案为：5；
（2）对123 连续求根整数3 次之后结果为1．
故答案为：3；
（3）∵
256
16
16
4
4
2
2
1
é
ù
é
ù
é
ù
é
ù
=
=
=
=
ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
，
，
，
，
∴对256 进行4 次连续求根整数运算需要4 次结果为1，
∴只需进行3 次连续求根整数运算后结果为1 的所有正整数中，最大的是255．
理由如下：
∵
255
15
15
3
3
1
é
ù
é
ù
é
ù
=
=
=
ë
û
ë
û
ë
û
，
，
，
∴对255 进行3 次连续求根整数运算结果为1．
故最大的正整数是255．
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