专题03 平面直角坐标系（学生版）
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➢思维导图串知识
➢重点速记
【知识点1 平面直角坐标系有关概念】
1.平面直角坐标系的概念：
平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。
①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x 轴）；竖直的数轴称为纵轴（y 轴）。
②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。
③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。
2.象限：
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如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到
第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。
【典例1】在平面直角坐标系中，点
1
,9
2
P
m
m
-
-
（m 为实数）不可能在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】
1.点的坐标：
横坐标：过平面内一点做x 轴的垂线，垂足在x 轴上对应的数为这个点的横坐标；
纵坐标：过平面内一点做y 轴的垂线，垂足在y 轴上对应的数为这个点的纵坐标；
2.象限内的点的坐标特点：
第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。
第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。
第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。
第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。
3.坐标轴上的点的坐标特点：
①x 轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。
②y 轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。
4.象限角平分线上的点的坐标特点：
①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。
②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。
5.平行与x 轴（垂直于y 轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与x 轴（垂直于y 轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。
6.平行与y 轴（垂直于x 轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与y 轴（垂直于x 轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。
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7.点到坐标轴的距离：
点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。
点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。
【典例2】已知直线MN
x
P
轴，M 点的坐标为
1,2 ，并且线段
5
MN =
，则点N 的坐标为（ ）
A．
4,2
-
B．
6,2
C．
4,2
-
或
6,2
D．
1,7 或
1, 3
-
【典例3】已知点
1,2
4
a
b
-
-
在y 轴上，点
3
6,
4
B
a
b
-
+
在x 轴上，则点
,
C a b 的坐标为
．
【典例4】在平面直角坐标系中，将点P 向左平移了5 个单位后得到点P¢ ，点P¢ 到x 轴的距离为6 ，到y 轴
的距离为8 ，请你写出符合条件的所有点P 的坐标
．
【知识点3 利用坐标表示位置】
1.建立平面直角坐标系表示地理位置：
第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x 轴与y 轴的正方形。
第二步：根据具体问题确定 单位长度 。
第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。
2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置：
以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。
【典例5】在如图的中国象棋盘中若建立直角坐标系后，棋子“士”所在位置的坐标为
1, 1
- -
，棋子“帅”所在
的位的坐标为
0, 1
-
，那么棋子“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．
3,2
-
B．
3, 2
-
C．
3,2
D．
2,3
-
【知识点4 点在坐标系中的平移】
左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，
向左平移时 减 。
巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。
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上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，
向下平移时 减 。
巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。
【典例6】平面直角坐标系中，线段AB 经过平移得到线段A B
¢ ¢，若点
( 1,2)
A -
的对应点A¢ 的坐标为(1, 1)
-
，
则点
( , )
B m n 的对应点B¢ 的坐标为（ ）
A．(
2,
3)
m
n
+
-
B．(
2,
3)
m
n
-
-
C．(
2,
3)
m
n
+
+
D．(
2,
3)
m
n
-
+
【知识点5 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把
原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形
就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度．
【易错点剖析】
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标
发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，
横不变”．
【典例7】如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，
ABC
V
的顶点均在格点上．
(1)请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B 的坐标分别为
0,3 和
4,2
-
，并写出点C 的坐标为_______．
(2)在（1）的条件下，
ABC
V
中任意一点
0
0
,
P x
y
经平移后对应点
1
0
0
2,
4
P x
y
+
-
，将
ABC
V
作同样的平移
得到
1
1
1
A B C
△
，请画出
1
1
1
A B C
△
，并直接写出点
1
C 的坐标______．
➢核心考点举一反三
考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征
例1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为
2
1,
5
m
m
+
-
+
．
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(1)若点A 在第一象限内，且到x 轴、y 轴的距离之和为7，求点A 的坐标；
(2)若将点A 向右平移2 个单位长度后，恰好落在y 轴上，求点A 的坐标．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标为
3
2,
6
a
a
-
+
．
(1)若点P 在第二象限，且到两个坐标轴的距离相等，请求出点P 的坐标；
(2)若点M 的坐标为
2,3 ，且PM
x
∥轴，试求点P 的坐标．
【变式1-2】已知点
2
2,
5
P
a
a
-
+
，解答下列各题：
(1)若点P 在x 轴上，求出点P 的坐标；
(2)若点Q 的坐标为
4,5 ，直线PQ
x
∥
轴，求出点P 的坐标；
(3)若点P 在第二象限，且它到x 轴，y 轴的距离相等，求a 的值．
【变式1-3】已知点
2 ,3
1
P
x
x -
是平面直角坐标系中的点．
(1)若
3
9
8
x =
+
- ，求点P 的坐标；
(2)若点P 在第一象限的角平分线上，求x 的值；
(3)若点P 到两坐标轴的距离之和为14，求x 的值．
考点二：坐标系中的平移变换
例2.已知三角形ABC 的边AB 上任意一点
0
0
,
P x
y
经过一次平移后的对应点为
1
0
0
4,
3
P x
y
+
+
．
(1)将三角形ABC 作同样的平移得到三角形
1
1
1
A B C ，在图中画出三角形
1
1
1
A B C ，并直接写出
1
1
1
A
B
C
、、
的坐标；
(2)三角形
1
1
1
A B C 的面积为___________；
(3)连接
1
AC ，D 为
1
AC 上的动点，直接写出CD 长的最小值．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中三角形ABC ，其中
( 2,3), ( 4, 1)
A
B
-
-
-
．
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(1)按照题目条件，在图中建立平面直角坐标系，写出点C 的坐标；
(2)点
0
0
,
P x
y
是三角形ABC 上任意一点，将三角形ABC 平移，得到三角形
1
1
1,
A B C
0
0
,
P x
y
平移后的对应
点为
1
0
0
5,
3
P x
y
+
+
．画出平移后的三角形
1
1
1
A B C ，并写出点
1
1
1
,
,
A B C 的坐标．
【变式2-2】在平面直角坐标系中，三角形ABC 各顶点的坐标分别为
1,4
A -
，
4, 1
B -
-
，
1,0
C
，若将
三角形ABC 平移后得到三角形
1
1
1
A B C ，点A 的对应点
1A 的坐标是
3,a ，点C 的对应点
1
C 的坐标是
, 2
b -
．
(1)直接写出a ，b 的值及点
1
B 的坐标；
(2)画出平移后的三角形
1
1
1
A B C ；
(3)若点P 在x 轴上，且三角形ACP 的面积等于三角形
1
1
1
A B C 面积，请直接写出点P 的坐标．
【变式2-3】如图，三角形ABC 中任意一点
,
P m n 经平移后的对应点为
4,
2
Q m
n
+
+
，将三角形ABC 作同
样的平移得到三角形DEF ，点A，B，C 的对应点分别为点D，E，F．
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(1)画出三角形DEF ，并直接写出点D、E、F 的坐标；
(2)请说明三角形DEF 是由三角形ABC 经过怎样的平移得到的；
(3)若点
,
M a
b b
-
是三角形ABC 内部一点，则平移后对应点N 的坐标为
2 ,2
b b
a
-
，求点M 的坐标．
考点三：坐标系中的新定义问题
例3.在平面直角坐标系中，对于点𝐴(𝑥,𝑦)，若点𝐵的坐标为(𝑚𝑥+ 𝑦,𝑥+ 𝑚𝑦)，其中𝑚为常数，则称点
𝐵是点𝐴的“𝑚级关联点”．例如，点𝐴(−1,3)的“4 级关联点”点𝐵的坐标为(−1 × 4 + 3,−1 + 4 × 3)，即𝐵(−1,11)．
(1)若点𝐶(2,𝑎)的“2 级关联点”点𝐷在𝑥轴上，求点𝐷的坐标；
(2)在（1）的条件下，若存在点𝐸，使得𝐸𝐶∥𝑦轴，且𝐸𝐶= 5，求点𝐸的坐标．（提示：先由（1）求出点𝐶的
坐标）
【变式3-1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点𝑃到𝑥轴、𝑦轴的距离的较大值称为点𝑃的“长距”，点𝑄
到𝑥轴、𝑦轴的距离相等时，称点𝑄为“完美点”．
(1)点𝐴(−3,5)的“长距”为_____；
(2)若点𝐵(4−2𝑎,−2)是“完美点”，求𝑎的值；
(3)若点𝐶(−2,3𝑏−2)的长距为4，且点𝐶在第二象限内，点𝐷的坐标为(9−2𝑏,−5)，试说明：点𝐷是“完美点”．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，点𝑂是坐标原点，定义点𝑀和点𝑁的相关系数[𝑀,𝑁]如下：若点𝑂，𝑀，𝑁
在一条直线上，则[𝑀,𝑁] = 0；若点𝑂，𝑀，𝑁不在一条直线上，则[𝑀,𝑁] = 𝑆△𝑀𝑂𝑁．如图，已知点𝐴的坐标为
(3,0)，点𝐵的坐标为(0,4)，点𝑃(𝑥,𝑦)为平面直角坐标系内一动点，请回答下列问题：
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(1)[𝐴,𝐵] = _____．
(2)若[𝑃,𝐴] = 3，[𝑃,𝐵] = 0，求点𝑃的坐标．
(3)点𝑃在第二象限，若[𝑃,𝐵] = 2[𝑃,𝐴]，且点𝑃的纵坐标为2，求点𝑃的坐标．
(4)当[𝑃,𝐵] = 1
2[𝐴,𝐵]时，直接写出点𝑃的横坐标．
【变式3-3】若点𝑃(𝑥,𝑦)的坐标满足𝑥−2𝑦= −2，我们称点𝑃(𝑥,𝑦)为“横和点”．
(1)已知点𝑄(𝑞,3)为“横和点”，求𝑞的值；
(2)在平面直角坐标系中，将三角形𝐴𝐵𝐶平移得到三角形𝐷𝐸𝐹，点𝐴,𝐵,𝐶的对应点分别是点𝐷,𝐸,𝐹，已知点𝐴
(𝑚,𝑛)，点𝐵(0,𝑏)，点𝐷(𝑡,𝑏)，点𝐴为“横和点”，点𝐸的横坐标为𝑚．
①若点𝐵为“横和点”，且三角形𝐴𝐵𝐷的面积为8，求点𝐸的坐标；
②若点𝐶的坐标是𝑎−𝑚−3, 1
2 𝑎+ 1
4 𝑚，点𝐸在𝑥轴上，判断点𝐹是否为“横和点”，并说明理由．
考点四：坐标系中点的坐标规律探索
例4.如图，动点𝑀按图中箭头所示方向运动，第1 次从原点运动到点(2,2)，第2 次运动到点(4,0)，
第3 次运动到点(6,4)，…，按这样的规律运动，则第2025 次运动到点（ ）
A．(2025,2)
B．(4050,0)
C．(2024,4)
D．(4050,2)
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1 个单位，再向右平移1 个单位，
得到点𝐴1(1,1)；把点𝐴1向上平移2 个单位，再向左平移2 个单位，得到点𝐴2(−1,3)；把点𝐴2向下平移3 个
单位，再向左平移3 个单位，得到点𝐴3(−4,0)；把点𝐴3向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，得到点
𝐴4(0,−4)，…；按此做法进行下去，则点𝐴2025的坐标为（ ）
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A．(−2024,1)
B．(2024,1)
C．(−2025,1)
D．(2025,1)
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点𝐴(1,0)跳动至点𝐴1(−1,1)，第二
次从点𝐴1跳动至点𝐴2(2,1)，第三次从点𝐴2跳动至点𝐴3(−2,2)，第四次从点𝐴3跳动至点𝐴4(3,2)，……依此规
律跳动下去，则点𝐴2025与点𝐴2026之间的距离是
．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1,0)，(2,0)，
(2,1)，(1,1)，(1,2)，(2,2)，…，根据这个规律，第121 个点的坐标为
．
考点五：坐标与图形综合（已知面积求点的坐标）
例5.如图，在平面直角坐标系中，已知𝐴(0,𝑎),𝐵(𝑏,0),𝐶(3,𝑐)三点，且a、b 满足关系式|𝑎−2| + (𝑏−3)2
= 0，𝐵𝐶= 2𝑂𝐴．
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(1)求a，b 的值．
(2)求四边形𝐴𝑂𝐵𝐶的面积．
(3)是否存在点𝑃𝑚,−1
3 𝑚使得△𝐴𝑂𝑃的面积为四边形𝐴𝑂𝐵𝐶面积的2 倍？若存在，求出点P 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【变式5-1】在平面直角坐标系中，𝐴(0,𝑎)，𝐵(𝑏,0)，𝑏=
3−𝑎+
𝑎−3−4．
(1)求𝐴点，𝐵点坐标；
(2)如图1，将线段𝐴𝐵平移，使点𝐴平移到𝐶，点𝐵平移到𝐷(1,−5)，𝐸在线段𝐶𝐷上，
过𝐸作𝐸𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，延长𝐸𝐹至𝐻使𝐸𝐹= 𝐹𝐻，若三角形𝐻𝐶𝐷的面积等于10，求𝐻点坐标；
(3)如图2，将线段𝐴𝐵平移使点𝐴平移到𝐷(4,1)，点𝐵平移到𝐶(0,−2)，𝐸(−2,4)，点𝑃在直线𝑂𝐸上，且𝑆△𝑃𝐶𝐷=
5
2𝑆△𝑂𝑃𝐶+6，直接写出𝑃点坐标．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，𝐴(𝑎,−1)、𝐵(1,𝑏)，其中𝑎，𝑏满足𝑎−5 + |𝑏+ 3| = 0．
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(1)求𝐴、𝐵的点坐标；
(2)如图1，点𝐸(𝑡,2𝑡+ 2)为第二象限内一点，若△𝐴𝐵𝐸的面积为9，求𝑡的值；
(3)如图2，过点𝐴，𝐵分别向𝑥轴作垂线，垂足分别为𝐷、𝐶，在坐标平面内是否存在点𝑃(𝑚,𝑛)，使得△𝑃𝐴𝐷
与△𝑃𝐵𝐶的面积相等，且△𝑃𝐶𝐷与△𝑃𝐴𝐵的面积相等？若存在，求出𝑃点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】在平面直角坐标系中𝐴(−𝑎,𝑏)、𝐵(𝑎,𝑎)，a、b 满足(2𝑎−4) + |3𝑎+ 𝑏−12| = 0．
(1)如图1，求点A、B 的坐标；
(2)如图2，y 轴上有一点E，△𝐴𝐵𝐸的面积是6，求点E 的坐标；
(3)如图3，将线段𝐴𝐵沿x 轴的正方向平移4 个单位长度，过A、B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D、
C，在坐标平面内是否存在点𝑃(𝑥,𝑦)(0 < 𝑥< 6)，使得△𝑃𝐴𝐷与△𝑃𝐵𝐶的面积相等，且△𝑃𝐶𝐷与△𝑃𝐴𝐵的
面积相等？若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点六：坐标与图形综合（探究角的数量关系）
例6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为𝐴(𝑎,0)，𝐵(𝑏,0)，且a，b 满足|𝑎+ 3| +
𝑎−2𝑏+ 7
= 0，现同时将点A，B 分别向左平移2 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，分别得到点A，B 的对应
点C，D，连接𝐴𝐶，𝐵𝐷．
(1)请写出A，B，C，D 四点坐标；
(2)在y 轴上是否存在点M，使三角形𝑀𝐴𝐷的面积与三角形𝐴𝐶𝐷的面积相等？若存在，请求出点M 的坐标；
若不存在，试说明理由．
(3)如图2，点𝑃是线段𝐴𝐶上的一个动点，点𝑄是线段𝐶𝐷的中点，连接𝑃𝑄，𝑃𝑂，当点𝑃在线段𝐴𝐶上移动时（不
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与𝐴，𝐶重合），请直接写出∠𝑃𝑄𝐷，∠𝑂𝑃𝑄，∠𝐵𝑂𝑃的数量关系．
【变式6-1】如图1，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点为𝐴𝑎，0 ，𝐵𝑏，3 ，𝐶𝑐，0 ，且满足
（𝑎+ 𝑏）
2 +
𝑏−2 + |4−𝑐| = 0，线段𝐴𝐵交𝑦轴于点𝐷．点𝐸从𝑂点出发以每秒2 个单位长度的速度沿𝑦轴负
半轴方向运动（点𝐸不与点𝑂重合）．
(1)求点𝐴、𝐵、𝐶的坐标．
(2)在𝑦轴上是否存在这样的𝐸点，使△𝐴𝐶𝐸的面积等于△𝐴𝐵𝐶的面积的
2
3？若存在，请求出点𝐸坐标，若不存
在，请说明理由．
(3)如图2，若点𝐸为𝑦轴负半轴上一动点，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，分别作∠𝐶𝐴𝐵，∠𝑂𝐸𝐹的平分线交于点𝑀，试问
在点𝐸的运动过程中，∠𝐴𝑀𝐸的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出∠𝐴𝑀𝐸的值．
【变式6-2】如图1，点𝑀(0,𝑎−3),𝑁(𝑏,0)，且满足(𝑏−𝑎+ 8)2 +
5−𝑎= 0．
(1)直接写出M、N 的坐标：M________，N________；
(2)点P 以每秒2 个单位长度从点M 向y 轴负半轴运动，同时，点Q 以每秒3 个单位长度从N 点向x 轴正半
轴运动，直线𝑁𝑃,𝑀𝑄交于点D，设点P，Q 运动的时间为t 秒．
①当𝑡=
4
3时，求△𝑀𝑂𝑄的面积；
②当1 < 𝑡< 2时．
（Ⅰ）用代数式表示△𝑀𝑂𝑄的面积和△𝑁𝑂𝑃；
（Ⅱ）求证：𝑆三角形𝑀𝑃𝐷= 𝑆三角形𝑁𝑄𝐷；
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③如图2，当∠𝑄𝑀𝑁+ ∠𝑃𝑁𝑀= 180°时，在线段𝑀𝑄上任取一点𝐸，连接𝐸𝑂．点G 为∠𝑂𝐸𝑄的角平分线上一
点，且满足∠𝐺𝑁𝑃= 1
2∠𝑂𝑁𝐺，请将图2 补全，并直接写出∠𝑁𝑂𝐸、∠𝑂𝐸𝐺、∠𝐺之间的数量关系．
【变式6-3】已知，在平面直角坐标系中，𝐴𝐵⊥𝑥轴于点𝐵，点𝐴(𝑎,𝑏)满足𝑎−6 + |𝑏−3| = 0．平移线段𝐴𝐵
使点𝐴与原点重合，点𝐵的对应点为点𝐶．
(1)直接写出点𝐴的坐标为______，点𝐵坐标为______，点𝐶坐标为______；
(2)如图（1），点𝐷(𝑚,𝑛)是线段𝐶𝐵上的一个动点．
①连接𝑂𝐷，利用△𝑂𝐵𝐶，△𝑂𝐵𝐷，△𝑂𝐶𝐷的面积关系，可以得到𝑚、𝑛满足一个固定的关系式，请求出这
个关系式；
②过点𝐴作直线𝑙∥𝑥轴，在𝑙上取点𝑀，使得𝑀𝐴= 4，若△𝐶𝐷𝑀的面积为5，请求出点𝐷的坐标．
(3)如图（2），以𝑂𝐵为边作∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝐴𝑂𝐵，交线段𝐵𝐶于点𝐺，𝐸是线段𝑂𝐵上一动点，连接𝐶𝐸交𝑂𝐺于点𝐹，
当点𝐸在线段𝑂𝐵上运动过程中，试说明
∠𝑂𝐹𝐶+∠𝐹𝐶𝐺
∠𝑂𝐸𝐶
的值是定值，并求出该定值．
➢复习提升
1．大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只
大雁F，G 的坐标为𝐹(−1,4),𝐺(−1,−2)，那么头雁A 的坐标是（ ）
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A．(3,1)
B．(4,1)
C．(4,2)
D．(5,1)
2．下列结论正确的是（ ）
A．点𝑃(−2024,2025)在第四象限
B．点𝑀在第二象限，它到𝑥轴，𝑦轴的距离分别为4，3，则点𝑀的坐标为(−4,3)
C．平面直角坐标系中，点𝑃(𝑥,𝑦)位于坐标轴上，那么𝑥𝑦= 0
D．已知点𝑃(−4,6)，𝑄(−3,6)，则直线𝑃𝑄∥𝑦轴
3．如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶内部有一点𝑀(𝑚,𝑛)，若将△𝐴𝐵𝐶先向右平移，再向下平移，平移
后点M 对应点𝑀′的坐标是(𝑚+ 2,𝑛−3)，已知点A 的坐标是(−3,2)，则平移后点𝐴′的坐标是（ ）
A．(−3,2)
B．(−2,−3)
C．(−1,−1)
D．(−5,−2)
4．如图，已知𝐴, 𝐵两点的坐标分别为𝐴(−4,2),𝐵(2,−1)，将线段𝐴𝐵平移得到线段𝐷𝐶，若点𝐴的对应点是𝐷
(−1,4)，则点𝐵的对应点𝐶的坐标是（ ）
A．（5，2）
B．（5，1）
C．（4，1）
D．（4，2）
5．如图，在平面直角坐标系中，将△𝐴𝐵𝑂绕点A 顺时针旋转到△𝐴𝐵1𝐶1的位置，点B、O 分别落在点𝐵1、
𝐶1处，点𝐵1在x 轴上，再将△𝐴𝐵1𝐶1绕点𝐵1顺时针旋转到△𝐴1𝐵1𝐶2的位置，点𝐶2在x 轴上，将△𝐴1𝐵1𝐶2
绕点𝐶2顺时针旋转到△𝐴2𝐵2𝐶2的位置，点𝐴2在x 轴上，依次进行下去…，若点𝑂𝐴= 1.5，𝑂𝐵= 2，
𝐴𝐵= 2.5，则点𝐵2025的坐标为（ ）
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专题03 平面直角坐标系（学生版）
第 15 页 共 72 页
A．(6070,0)
B．(6072,2)
C．(6076,0)
D．(6078,2)
6．对于平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中的任意一点𝑀(𝑥,𝑦)，给出如下定义：记𝑎= 𝑥+ 𝑦，𝑏= −𝑥+ 𝑦，将点𝑃(𝑎,𝑏)
与点𝑄(𝑏,𝑎)称为点M 的一对卫星点．例如，点𝑃(1,−5)与点𝑄(−5,1)为点𝑀(3,−2)的一对卫星点．将点𝐶
(2𝑚−1,−𝑚+ 1)(𝑚> 0)向右平移m 个单位长度，向下移动m 个单位，得到点𝐶′，若点𝐶′的一对卫星点重
合，则𝑚=
．
7．如图，在平面直角坐标系中，三角形𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(−3,2),𝐵(1,1)，𝐶(−1,−2)，将三角形𝐴𝐵𝐶
平移，使点𝐴平移到点𝐴1(1,−1)处，得到三角形𝐴1𝐵1𝐶1，其中点𝐵,𝐶的对应点分别为𝐵1,𝐶1．
(1)画出三角形𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐵1,𝐶1的坐标；
(2)若线段𝐴𝐵上一点𝑀的坐标为(𝑎,𝑏)，写出平移后点𝑀的对应点𝑀1的坐标；
(3)若点𝑃在坐标轴上，三角形𝐴𝑂𝑃的面积为4，求点𝑃的坐标．
8．已知点𝑃(2𝑎−2,𝑎+ 5)，解答下列各题：
(1)点𝑃在𝑥轴上，直接写出点𝑃的坐标为_______；
(2)点𝑄的坐标为(4,5)，直线𝑃𝑄∥𝑦轴，直接写出点𝑃的坐标为_______；
(3)若点𝑃在第二象限，且它到𝑥轴的距离与𝑦轴的距离相等，求𝑎2025 +2025𝑎的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，点𝐴在𝑦轴上，坐标为(0,5)，将线段𝑂𝐴沿𝑥轴正方向平移3 个单位长度得到
线段𝐶𝐵，点𝐷是线段𝐵𝐶上的一个动点（不与点𝐵、𝐶重合），𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，𝑂𝐸平分∠𝐶𝑂𝐷，𝐴𝐸与𝑂𝐸交于点
𝐸．
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(1)线段𝐴𝐵与𝑂𝐶之间的位置关系和数量关系分别是______；点𝐵的坐标为______；
(2)若三角形𝐴𝐵𝐷的面积为6，求点𝐷的坐标；
(3)若∠𝐴𝐷𝑂= 70°，则∠𝐴𝐸𝑂= _____度；
(4)当点𝐷（不与点𝐵、𝐶重合）在线段𝐵𝐶上运动时，猜想∠𝐴𝐸𝑂与∠𝐴𝐷𝑂有怎样的数量关系，并说明理由．
10．在平面直角坐标系中，已知点点𝐴(𝑎,0)，𝐵(𝑏,6)，𝐶(5,0)，且满足|𝑎+ 3| + (𝑎−𝑏+ 6)2 = 0，线段𝐴𝐵交
𝑦轴于点𝐹(0,2)，点𝐷是𝑦轴正半轴上的一点．
(1)如图1，求出点𝐴,𝐵的坐标；
(2)如图2，若𝐷𝐵∥𝐴𝐶，且𝐴𝑀,𝐷𝑀分别平分∠𝐶𝐴𝐵,∠𝑂𝐷𝐵，求
2∠𝐷𝑀𝐴
∠𝐵𝐷𝑀+∠𝐶𝐴𝑀的值；
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点𝑃，使得△𝐴𝐵𝑃的面积和△𝐴𝐵𝐶的面积相等？若存在，求出点𝑃坐标；若
不存在，请说明理由．
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➢重点速记
【知识点1 平面直角坐标系有关概念】
1.平面直角坐标系的概念：
平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。
①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x 轴）；竖直的数轴称为纵轴（y 轴）。
②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。
③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。
2.象限：
如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到
第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。
【典例1】在平面直角坐标系中，点
1
,9
2
P
m
m
-
-
（m 为实数）不可能在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【详解】解：当1
0
m
-
<
时，则
1
m > ，
∴9
2m
-
可能是正数，也可能是负数，
∴点
1
,9
2
P
m
m
-
-
可能在第二或第三象限；
当1
0
m
-
>
时，则
1
m < ，
∴9
2m
-
不可能是负数，
∴点
1
,9
2
P
m
m
-
-
不可能在第四象限；
∴在平面直角坐标系中，点
1
,9
2
P
m
m
-
-
不可能在的象限是第四象限．
故选：D．
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【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】
1.点的坐标：
横坐标：过平面内一点做x 轴的垂线，垂足在x 轴上对应的数为这个点的横坐标；
纵坐标：过平面内一点做y 轴的垂线，垂足在y 轴上对应的数为这个点的纵坐标；
2.象限内的点的坐标特点：
第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。
第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。
第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。
第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。
3.坐标轴上的点的坐标特点：
①x 轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。
②y 轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。
4.象限角平分线上的点的坐标特点：
①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。
②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。
5.平行与x 轴（垂直于y 轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与x 轴（垂直于y 轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。
6.平行与y 轴（垂直于x 轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与y 轴（垂直于x 轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。
7.点到坐标轴的距离：
点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。
点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。
【典例2】已知直线MN
x
P
轴，M 点的坐标为
1,2 ，并且线段
5
MN =
，则点N 的坐标为（ ）
A．
4,2
-
B．
6,2
C．
4,2
-
或
6,2
D．
1,7 或
1, 3
-
【详解】解：∵直线MN
x
P
轴，M 点的坐标为
1,2 ，
∴点N 的纵坐标为2 ，
∵线段
5
MN =
，
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∴1 5
4
-
= - ，或1 5
6
+
=
，
∴点N 的坐标为
4,2
-
或
6,2 ，
故选：C ．
【典例3】已知点
1,2
4
a
b
-
-
在y 轴上，点
3
6,
4
B
a
b
-
+
在x 轴上，则点
,
C a b 的坐标为
．
【详解】解：∵点
1,2
4
a
b
-
-
在y 轴上，点
3
6,
4
B
a
b
-
+
在x 轴上，
∴
1
0
a - =
，
4
0
b +
=
，
解得
1
a = ，
4
b = - ，
∴
1, 4
C
-
，
故答案为：
1, 4
C
-
．
【典例4】在平面直角坐标系中，将点P 向左平移了5 个单位后得到点P¢ ，点P¢ 到x 轴的距离为6 ，到y 轴
的距离为8 ，请你写出符合条件的所有点P 的坐标
．
【详解】解：∵点P¢ 到x 轴的距离为6 ，到y 轴的距离为8 ，
∴点P¢ 的坐标为
8,6 或
8, 6
-
或
8,6
-
或
8, 6
-
-
，
∵将点P 向左平移了5 个单位后得到点P¢ ，
∴点P 的坐标为
13,6 或
13, 6
-
或
3,6
-
或
3, 6
-
-
，
故答案为：
13,6 或
13, 6
-
或
3,6
-
或
3, 6
-
-
．
【知识点3 利用坐标表示位置】
1.建立平面直角坐标系表示地理位置：
第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x 轴与y 轴的正方形。
第二步：根据具体问题确定 单位长度 。
第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。
2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置：
以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。
【典例5】在如图的中国象棋盘中若建立直角坐标系后，棋子“士”所在位置的坐标为
1, 1
- -
，棋子“帅”所在
的位的坐标为
0, 1
-
，那么棋子“炮”所在位置的坐标为（ ）
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A．
3,2
-
B．
3, 2
-
C．
3,2
D．
2,3
-
【详解】解：∵棋子“士”所在位置的坐标为
1, 1
- -
，棋子“帅”所在的位的坐标为
0, 1
-
，
确定直角坐标系如图，
∴棋子“炮”所在位置的坐标是
3,2
-
．
故选：A．
【知识点4 点在坐标系中的平移】
左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，
向左平移时 减 。
巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。
上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，
向下平移时 减 。
巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。
【典例6】平面直角坐标系中，线段AB 经过平移得到线段A B
¢ ¢，若点
( 1,2)
A -
的对应点A¢ 的坐标为(1, 1)
-
，
则点
( , )
B m n 的对应点B¢ 的坐标为（ ）
A．(
2,
3)
m
n
+
-
B．(
2,
3)
m
n
-
-
C．(
2,
3)
m
n
+
+
D．(
2,
3)
m
n
-
+
【详解】解：∵点
( 1,2)
A -
的对应点A¢的坐标为(1, 1)
-
，
∴点B 的对应点B¢的坐标是(
2,
3)
m
n
+
-
．
故选：A．
【知识点5 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 21 页 共 72 页
原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形
就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度．
【易错点剖析】
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标
发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，
横不变”．
【典例7】如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，
ABC
V
的顶点均在格点上．
(1)请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B 的坐标分别为
0,3 和
4,2
-
，并写出点C 的坐标为_______．
(2)在（1）的条件下，
ABC
V
中任意一点
0
0
,
P x
y
经平移后对应点
1
0
0
2,
4
P x
y
+
-
，将
ABC
V
作同样的平移
得到
1
1
1
A B C
△
，请画出
1
1
1
A B C
△
，并直接写出点
1
C 的坐标______．
【详解】（1）解：因为点A 的坐标为
0,3 ，
所以点A 在y 轴的正半轴上，且距离原点O 为3，
可确定原点O 的位置，可画出平面直角坐标系，如图所示：
则
5,5
C -
；
（2）解：
0
0
,
P x
y
经平移后对应点为
1
0
0
2,
4
P x
y
+
-
，则顶点A ，B ，C 均向x 轴正方向移动2 ，向y 轴
负方向移动4 ，可得到顶点A ，B ，C 平移后的对应点
1
1
1
,
,
A B C ，顺次连接
1
1
A B ，
1
1
B C ，
1
1
C A ，即为
1
1
1
A B C
V
，如图所示：
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则
1
C 的坐标为
3,1
-
．
➢核心考点举一反三
考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征
例1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为
2
1,
5
m
m
+
-
+
．
(1)若点A 在第一象限内，且到x 轴、y 轴的距离之和为7，求点A 的坐标；
(2)若将点A 向右平移2 个单位长度后，恰好落在y 轴上，求点A 的坐标．
【答案】(1)
3,4
(2)
13
2, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移，正确理解平面直角坐标系中点的坐标
特征及坐标的平移是解题的关键．
（1）根据题意得到
2
1
5
7
m
m
+ + -
+
=
，然后求解即可；
（2）根据题意得到2
1
2
0
m + +
=
，求出
3
2
m = -
，然后代入
2
1,
5
m
m
+
-
+
求解即可．
【详解】（1）解：Q点A 在第一象限内，且到x 轴、y 轴的距离之和为7，
2
1
5
7
m
m
\
+ + -
+
=
，
解得
1
m = ，
2
1
2 1 1
3
m
\
+ =
´ + = ，
5
1 5
4
m
-
+
= - +
=
，
\点A 的坐标为
3,4 ．
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（2）解：Q将点A 向右平移2 个单位长度后，恰好落在y 轴上，
2
1
2
0
m
\
+ +
=
，
解得
3
2
m = -
，
3
2
1
2
1
3 1
2
2
m
æ
ö
\
+ =
´ -
+ = - + = -
ç
÷
è
ø
，
3
13
5
5
2
2
m
æ
ö
-
+
= - -
+
=
ç
÷
è
ø
，
\点A 的坐标为
13
2, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标为
3
2,
6
a
a
-
+
．
(1)若点P 在第二象限，且到两个坐标轴的距离相等，请求出点P 的坐标；
(2)若点M 的坐标为
2,3 ，且PM
x
∥轴，试求点P 的坐标．
【分析】本题主要考查了点的坐标与象限的关系，点的坐标的几何意义，解题的关键是准确掌握点的坐标
的几何意义．
（1）利用点的坐标和象限的关系以及点的几何意义可得，(
)
3
2
a
a
-
-
=
+6 ，解方程即可求出点的坐标；
（2）根据PM
x
∥轴，两个点的纵坐标相等，列出
6
3
a +
=
求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，点P 到两个坐标轴的距离相等，且点P 在第二象限，
∴(
)
3
2
a
a
-
-
=
+6 ，
解得
1
a = - ，
∴3
2
5,
6
5
a
a
-
= -
+ =
∴点P 的坐标为
5,5
-
；
（2）解：∵PM
x
∥轴，
∴
6
3
a +
=
，
解得
3
a = - ，
∴3
2
11,
6
3
a
a
-
= -
+ = ，
点P 的坐标为
11,3
-
；
【变式1-2】已知点
2
2,
5
P
a
a
-
+
，解答下列各题：
(1)若点P 在x 轴上，求出点P 的坐标；
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(2)若点Q 的坐标为
4,5 ，直线PQ
x
∥
轴，求出点P 的坐标；
(3)若点P 在第二象限，且它到x 轴，y 轴的距离相等，求a 的值．
【分析】（1）根据题意得：点P 在x 轴上，得到
5
0
a +
=
，解出a 的值，由此得到答案．
（2）根据直线PQ
x
∥
轴，得到
5
5
a +
=
，解出a 的值，由此得到答案．
（3）根据点P 在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等，得到2
2
0
a -
<
，
5
0
a +
>
，故2
2
5
a
a
-
=
+ ，解
出a 的值，由此得到答案．
本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：
∵点P 在x 轴上，
5
0
a
\ +
=
，
解得：
5
a = - ，
则2
2
10
2
12
a -
= -
-
= -
，
\点P 的坐标为：( 12,0)
-
；
（2）解：Q直线PQ
x
∥
轴，
\直线PQ上所有点的纵坐标都相等，
5
5
a
\
+
= ，
解得：
0
a =
，
则2
2
0
2
2
a -
=
-
= - ，
即点P 的坐标为(
2,5)
-
；
（3）解：Q点P 在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等，
2
2
0
a
\
-
<
，
5
0
a +
>
，
| 2
2 | |
5 |
a
a
-
=
+
，
即2
2
5
a
a
-
=
+ ，
解得：
1
a = -
【变式1-3】已知点
2 ,3
1
P
x
x -
是平面直角坐标系中的点．
(1)若
3
9
8
x =
+
- ，求点P 的坐标；
(2)若点P 在第一象限的角平分线上，求x 的值；
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(3)若点P 到两坐标轴的距离之和为14，求x 的值．
【分析】本题考查了点的坐标的特点，实数的混合运算，求不等式组的解集，利用到两坐标轴的距离相等
列出方程是解题关键．
（1）把
3
9
8
x =
+
- 化简后代入
2 ,3
1
P
x
x -
求解即可；
（2）根据第一象限的角平分线上点的横纵坐标相等列方程求解即可；
（3）分别利用P 点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．．
【详解】（1）∵
3
9
8
3
2
1
x =
+
-
=
-
=
，
∴
2 1,3 1 1
P
´
´ -
，即
2,2
P
．
（2）解：根据题意得：2
3
1
x
x
=
- ，
解得：
1
x = ；
（3）解：当点P 在第一象限时，
由题意，得2
3
1
14
x
x
+
- =
，
解得：
3
x =
，
3
1
8
x - =
，符合题意；
当点P 在第二象限时，
由题意，得2
3
1
14
x
x
-
+
- =
，
解得
15
x =
，不合题意；
当点P 在第三象限时，
由题意，得
2
3
1
14
x
x
-
-
-
=
，
解得
13
5
x = -
，
44
3
1
5
x - = -
，符合题意；
当点P 在第四象限时，
由题意，得
2
3
1
14
x
x
-
-
=
，
解得：
13
x = -
，不合题意；
当点P 在x 轴上，则3
1
0
x - =
，
解得：x= 1
3 ，此时
1
2
14
3
x =
¹
，不合题意；
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当点P 在y 轴上，则2
0
x =
，
解得：
0
x =
，此时3
1
1
14
x -
= ¹
，不合题意；
综上可知，x 的值为8 或
13
5
-
．
考点二：坐标系中的平移变换
例2.已知三角形ABC 的边AB 上任意一点
0
0
,
P x
y
经过一次平移后的对应点为
1
0
0
4,
3
P x
y
+
+
．
(1)将三角形ABC 作同样的平移得到三角形
1
1
1
A B C ，在图中画出三角形
1
1
1
A B C ，并直接写出
1
1
1
A
B
C
、、
的坐标；
(2)三角形
1
1
1
A B C 的面积为___________；
(3)连接
1
AC ，D 为
1
AC 上的动点，直接写出CD 长的最小值．
【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、垂线段最短等知识，根据题意确定三角形的平移方式是
解题关键．
（1）根据题意确定该三角形的平移方式，再确定点
1
1
1
A
B
C
、、
的位置并顺次连接即可得到三角形
1
1
1
A B C ，
然后确定
1
1
1
A
B
C
、、
的坐标即可；
（2）根据割补法求出三角形
1
1
1
A B C 的面积即可；
（3）由点A ，
1
C 的坐标可知
1
AC
x
∥轴，故当
1
CD
AC
^
，即点C
D
、
的横坐标相同时，CD 的长取最小值，
即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意可知，三角形ABC 的边AB 上任意一点
0
0
,
P x
y
经过一次平移后的对应点为
1
0
0
4,
3
P x
y
+
+
，
则该三角形的平移方式为向右平移4 个单位长度，向上平移3 个单位长度，
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 27 页 共 72 页
故平移后三角形
1
1
1
A B C 的位置如下图所示，
此时
1
1
1
2,6
0,2
6,3
A
B
C
、
、
；
（2）三角形
1
1
1
A B C 的面积
1
1
1
6 4
6 1
2 4
4 3
11
2
2
2
S =
´ -
´ ´ -
´ ´ -
´ ´ =
．
故答案为：11；
（3）连接
1
AC ，
∵
2,3
A -
，
1 6,3
C
，
∴
1
AC
x
∥轴，
当
1
CD
AC
^
，即点C
D
、
的横坐标相同时，CD 的长取最小值，如下图，
，
此时
3
0
3
CD =
-
=
．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中三角形ABC ，其中
( 2,3), ( 4, 1)
A
B
-
-
-
．
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 28 页 共 72 页
(1)按照题目条件，在图中建立平面直角坐标系，写出点C 的坐标；
(2)点
0
0
,
P x
y
是三角形ABC 上任意一点，将三角形ABC 平移，得到三角形
1
1
1,
A B C
0
0
,
P x
y
平移后的对应
点为
1
0
0
5,
3
P x
y
+
+
．画出平移后的三角形
1
1
1
A B C ，并写出点
1
1
1
,
,
A B C 的坐标．
【分析】本题考查平移作图，点的坐标，正确建立平面直角坐标系和根据平移的性质进行平移作图是解题
的关键．
（1）根据
( 2,3), ( 4, 1)
A
B
-
-
-
，建立平面直角坐标系，再根据点C 的位置写出点C 坐标即可；
（2）根据
0
0
,
P x
y
平移后的对应点为
1
0
0
5,
3
P x
y
+
+
得到平移方式为：向右平移5 个单位长度，向上平移3
个单位长度，所此作出平移后三角形，再根据点
1
1
1
,
,
A B C 的位置写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，
2,0
C
．
（2）解：∵点
0
0
,
P x
y
平移后的对应点为
1
0
0
5,
3
P x
y
+
+
．
∴
ABC
V
向右平移5 个单位长度，向上平移3 个单位长度，
如图所示，
1
1
1
A B C
△
即为所求；
1 3,6
A
，
1 1,2
B
，
1 7,3
C
．
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 29 页 共 72 页
【变式2-2】在平面直角坐标系中，三角形ABC 各顶点的坐标分别为
1,4
A -
，
4, 1
B -
-
，
1,0
C
，若将
三角形ABC 平移后得到三角形
1
1
1
A B C ，点A 的对应点
1A 的坐标是
3,a ，点C 的对应点
1
C 的坐标是
, 2
b -
．
(1)直接写出a ，b 的值及点
1
B 的坐标；
(2)画出平移后的三角形
1
1
1
A B C ；
(3)若点P 在x 轴上，且三角形ACP 的面积等于三角形
1
1
1
A B C 面积，请直接写出点P 的坐标．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标得到平移方式是解题的
关键．
（1）由点A，
1A 可得左右平移方式，由点C，
1
C 可得上下平移方式，据此求解即可；
（2）根据（1）所求先描出
1
1
1
A
B
C
、、
，再顺次连接
1
1
1
A
B
C
、、
即可；
（3）计算出三角形
1
1
1
A B C 的面积，进而得到三角形ACP 的面积，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：由三角形ABC 得到三角形
1
1
1
A B C 的平移方式为向右平移：
3
1
4
- -
=
个单位
长度；向下平移：
0
2
2
- -
=
个单位长度
∴
1
4
2
2
1
4
5
4
4, 1 2
a
b
B
=
-
=
= +
=
- +
- -
，
，
，即
1 0, 3
B
-
；
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第 30 页 共 72 页
（2）解：如图所示，三角形
1
1
1
A B C 即为所求；
（3）解：
1 1 1
1
1
1
5 5
3 5
1 5
2 4
11
2
2
2
A B C
S
= ´ -
´ ´ -
´ ´ -
´ ´
=
V
，
1
4
1
2
1
2
ACP
P
P
S
x
x
=
´
-
=
-
V
，
∵三角形ACP 的面积等于三角形
1
1
1
A B C 面积，
∴2
1
11
P
x -
=
解得：
13
2
P
x =
或
9
2
P
x = -
故点P 的坐标为：
11,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 或13,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø．
【变式2-3】如图，三角形ABC 中任意一点
,
P m n 经平移后的对应点为
4,
2
Q m
n
+
+
，将三角形ABC 作同
样的平移得到三角形DEF ，点A，B，C 的对应点分别为点D，E，F．
(1)画出三角形DEF ，并直接写出点D、E、F 的坐标；
(2)请说明三角形DEF 是由三角形ABC 经过怎样的平移得到的；
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 31 页 共 72 页
(3)若点
,
M a
b b
-
是三角形ABC 内部一点，则平移后对应点N 的坐标为
2 ,2
b b
a
-
，求点M 的坐标．
【分析】本题考查平移作图、坐标的平移变化，平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，
下移减，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
（1）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，进而画图、求解坐标．
（2）根据平移的性质得到坐标变化规律，再解答即可．
（3）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，列方程组求解即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：DEF
V
即为所求；
1,4
D
，
5,2
E
，
1,0
F -
；
（2）解：根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，三角形DEF 是由三角形ABC 向右平移4 个
单位再向上平移2 个单位得到的．
（3）解：由题意得，平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，
得
4
2
2
2
a
b
b
b
b
a
-
+
=
ì
í +
=
-
î
，
解得
1
1
a
b
= -
ì
í
=
î
，
2
a
b
\ -
= - ，
2,1
M
\
-
．
考点三：坐标系中的新定义问题
例3.在平面直角坐标系中，对于点𝐴(𝑥,𝑦)，若点𝐵的坐标为(𝑚𝑥+ 𝑦,𝑥+ 𝑚𝑦)，其中𝑚为常数，则称点
𝐵是点𝐴的“𝑚级关联点”．例如，点𝐴(−1,3)的“4 级关联点”点𝐵的坐标为(−1 × 4 + 3,−1 + 4 × 3)，即𝐵(−1,11)．
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 32 页 共 72 页
(1)若点𝐶(2,𝑎)的“2 级关联点”点𝐷在𝑥轴上，求点𝐷的坐标；
(2)在（1）的条件下，若存在点𝐸，使得𝐸𝐶∥𝑦轴，且𝐸𝐶= 5，求点𝐸的坐标．（提示：先由（1）求出点𝐶的
坐标）
【分析】本题考查了新定义，点的坐标，在𝑥轴上的点的纵坐标为0，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由“2 级关联点”的定义得𝐷(4 + 𝑎,2 + 2𝑎)，再结合点𝐷在𝑥轴上，故2 + 2𝑎= 0，得𝑎= −1，即可作
答．
（2）由（1）得点𝐶(2,−1),因为𝐸𝐶∥𝑦轴，且𝐸𝐶= 5，故点𝐸的横坐标为2，纵坐标为4或−6，即可作答．
【详解】（1）解： ∵点𝐶(2,𝑎)的“2 级关联点”是点𝐷，
∴点𝐷(4 + 𝑎,2 + 2𝑎)，
又∵点𝐷在𝑥轴上，
∴2 + 2𝑎= 0，
解得𝑎= −1，
∴4 + 𝑎= 3，
∴点𝐷的坐标为(3,0)；
（2）解：由（1）得点𝐶(2,−1)．
∵𝐸𝐶∥𝑦轴，且𝐸𝐶= 5，
∴点𝐸的横坐标为2，纵坐标为：5−1 = 4或−1−5 = −6，
∴点𝐸的坐标为(2,4)或(2,−6)．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点𝑃到𝑥轴、𝑦轴的距离的较大值称为点𝑃的“长距”，点𝑄
到𝑥轴、𝑦轴的距离相等时，称点𝑄为“完美点”．
(1)点𝐴(−3,5)的“长距”为_____；
(2)若点𝐵(4−2𝑎,−2)是“完美点”，求𝑎的值；
(3)若点𝐶(−2,3𝑏−2)的长距为4，且点𝐶在第二象限内，点𝐷的坐标为(9−2𝑏,−5)，试说明：点𝐷是“完美点”．
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长
距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b 的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 33 页 共 72 页
【详解】（1）解：根据题意，得点𝐴(−3,5)到x 轴的距离为5，到y 轴的距离为3，
∴点A 的“长距”为5．
故答案为：5；
（2）解：点𝐵(4−2𝑎,−2)是“完美点”，
∴|4−2𝑎| = |−2|，
∴4−2𝑎= 2或4−2𝑎= −2，
解得：𝑎= 1或𝑎= 3；
（3）解：点𝐶(−2,3𝑏−2)的长距为4，且点𝐶在第二象限内，
∴ 3𝑏−2 = 4，解得𝑏= 2，
∴9−2𝑏= 5，
∴点𝐷的坐标为(5,−5)，
点𝐷到𝑥轴、𝑦轴的距离都是5，
∴𝐷是“完美点”．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，点𝑂是坐标原点，定义点𝑀和点𝑁的相关系数[𝑀,𝑁]如下：若点𝑂，𝑀，𝑁
在一条直线上，则[𝑀,𝑁] = 0；若点𝑂，𝑀，𝑁不在一条直线上，则[𝑀,𝑁] = 𝑆△𝑀𝑂𝑁．如图，已知点𝐴的坐标为
(3,0)，点𝐵的坐标为(0,4)，点𝑃(𝑥,𝑦)为平面直角坐标系内一动点，请回答下列问题：
(1)[𝐴,𝐵] = _____．
(2)若[𝑃,𝐴] = 3，[𝑃,𝐵] = 0，求点𝑃的坐标．
(3)点𝑃在第二象限，若[𝑃,𝐵] = 2[𝑃,𝐴]，且点𝑃的纵坐标为2，求点𝑃的坐标．
(4)当[𝑃,𝐵] = 1
2[𝐴,𝐵]时，直接写出点𝑃的横坐标．
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，三角形面积，新定义，掌握知识点的应用是解题的
关键．
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 34 页 共 72 页
（1）由点𝐴的坐标为(3,0)，点𝐵的坐标为(0,4)，则𝑂𝐴= 3，𝑂𝐵= 4，然后通过[𝐴,𝐵] = 𝑆△𝐴𝑂𝐵= 1
2𝑂𝐴× 𝑂𝐵
即可求解；
（2）由[𝑃,𝐵] = 0，点𝐵的坐标为(0,4)，所以点𝑃、𝑂、𝐵在一条直线上，即点𝑃在𝑦轴上，设𝑃(0,𝑎)，然后通
过[𝑃,𝐴] = 𝑆△𝑃𝑂𝐴= 1
2|𝑎| × 3即可求解；
（3）设𝑃(𝑚,2)，由[𝑃,𝐵] = 2[𝑃,𝐴]，得𝑆△𝑃𝑂𝐵= 2𝑆△𝑃𝑂𝐴，然后代入求解即可；
（4）设点𝑃的横坐标为𝑛，由[𝑃,𝐵] = 1
2[𝐴,𝐵]，则𝑆△𝑃𝑂𝐵= 1
2𝑆△𝐴𝑂𝐵，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵点𝐴的坐标为(3,0)，点𝐵的坐标为(0,4)，
∴𝑂𝐴= 3，𝑂𝐵= 4，
∴[𝐴,𝐵] = 𝑆△𝐴𝑂𝐵= 1
2𝑂𝐴× 𝑂𝐵= 1
2 × 3 × 4 = 6，
故答案为：6；
（2）解：∵[𝑃,𝐵] = 0，点𝐵的坐标为(0,4)，
∴点𝑃、𝑂、𝐵在一条直线上，即点𝑃在𝑦轴上，
设𝑃(0,𝑎)，
∵[𝑃,𝐴] = 3，
∴𝑆△𝑃𝑂𝐴= 1
2|𝑎| × 3 = 3，
∴𝑎=± 2，
∴点𝑃的坐标为(0,2)或(0,−2)；
（3）解：∵点𝑃的纵坐标为2，
∴设𝑃(𝑚,2)，
∵[𝑃,𝐵] = 2[𝑃,𝐴]，
∴𝑆△𝑃𝑂𝐵= 2𝑆△𝑃𝑂𝐴，
∴1
2 × 4 × |𝑚| = 2 × 1
2 × 3 × 2，
∴|𝑚| = 3，
∵点𝑃在第二象限，
∴𝑚= −3，
∴点𝑃的坐标为(−3,2)；
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 35 页 共 72 页
（4）解：设点𝑃的横坐标为𝑛，
∵[𝑃,𝐵] = 1
2[𝐴,𝐵]，
∴𝑆△𝑃𝑂𝐵= 1
2𝑆△𝐴𝑂𝐵，
∴1
2 × 4 × |𝑛| = 1
2 × 6，
∴𝑛=±
3
2，
∴点𝑃的横坐标±
3
2．
【变式3-3】若点𝑃(𝑥,𝑦)的坐标满足𝑥−2𝑦= −2，我们称点𝑃(𝑥,𝑦)为“横和点”．
(1)已知点𝑄(𝑞,3)为“横和点”，求𝑞的值；
(2)在平面直角坐标系中，将三角形𝐴𝐵𝐶平移得到三角形𝐷𝐸𝐹，点𝐴,𝐵,𝐶的对应点分别是点𝐷,𝐸,𝐹，已知点𝐴
(𝑚,𝑛)，点𝐵(0,𝑏)，点𝐷(𝑡,𝑏)，点𝐴为“横和点”，点𝐸的横坐标为𝑚．
①若点𝐵为“横和点”，且三角形𝐴𝐵𝐷的面积为8，求点𝐸的坐标；
②若点𝐶的坐标是𝑎−𝑚−3, 1
2 𝑎+ 1
4 𝑚，点𝐸在𝑥轴上，判断点𝐹是否为“横和点”，并说明理由．
【答案】(1)q 的值为4
(2)①𝐸(4,−1)或𝐸(−4,3)；②点𝐹是“横和点”，理由见解析
【分析】本题主要考查坐标系中点的平移变换、三角形面积计算以及方程的应用．解题的关键在于理解“横
和点”的定义，并结合平移的性质进行坐标变换．
（1）直接代入“横和点”的定义方程求解．
（2）①利用平移向量确定点𝐸的坐标，结合三角形面积公式建立方程求解．
②通过平移确定点𝐹的坐标，验证是否满足“横和点”的条件．
【详解】（1）∵点𝑄(𝑞,3)是“横和点”，
∴𝑞−2 × 3 = −2，
∴𝑞= 4．
∴q 的值为4．
（2）①∵点𝐴(𝑚,𝑛)和点𝐵(0,𝑏)是“横和点”，
∴𝑚−2𝑛= −2,0−2𝑏= −2，
∴𝑛=
𝑚+2
2 ，𝑏= 1，
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 36 页 共 72 页
∴𝐴𝑚, 𝑚+2
2
,𝐵(0,1)，
∴𝐷(𝑡,1)，
∵点𝐵和点𝐷的纵坐标相同，
∴𝐵𝐷∥𝑥轴
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
2|𝑡| ⋅|1−𝑚+2
2 | = 1
4|𝑡𝑚| = 8，
∵点𝐸的横坐标为𝑚
∵点𝐴(𝑚,𝑛)，点𝐵(0,𝑏)分别对应点𝐷(𝑡,𝑏)和点𝐸(𝑚,0)，
∴𝑡= 2𝑚，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1
4|2𝑚2| = 8，解得：𝑚=± 4，
当𝑚= 4时，𝐴(4,3),𝐷(8,1)
当𝑚= −4时，𝐴(−4,−1),𝐷(−8,1)
∴𝐸(4,−1)或𝐸(−4,3)．
②点𝐹是“横和点”，
理由：∵点𝐴(𝑚,𝑛)，点𝐵(0,𝑏)分别对应点𝐷(𝑡,𝑏)和点𝐸(𝑚,0)，
∴𝑛−𝑏= 𝑏−0，
∴𝑛= 2𝑏=
𝑚+2
2 ，
∴𝑏=
𝑚+2
4 ，
∵点𝐶𝑎−𝑚−3, 1
2 𝑎+ 1
4 𝑚的对应点𝐹，
∴𝐹𝑎−𝑚−3 + 𝑚, 1
2 𝑎+ 1
4 𝑚−𝑚+2
4
，
∴𝐹𝑎−3, 1
2 𝑎−1
2 ，
∵(𝑎−3)−2 1
2 𝑎−1
2 = −2，
∴点𝐹是“横和点”．
考点四：坐标系中点的坐标规律探索
例4.如图，动点𝑀按图中箭头所示方向运动，第1 次从原点运动到点(2,2)，第2 次运动到点(4,0)，
第3 次运动到点(6,4)，…，按这样的规律运动，则第2025 次运动到点（ ）
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 37 页 共 72 页
A．(2025,2)
B．(4050,0)
C．(2024,4)
D．(4050,2)
【答案】D
【分析】本题考查的是点的坐标规律，正确找出题目中点的坐标之间的变化规律是解题的关键．根据题意
可得：运动点𝑀的横坐标为：2𝑛，纵坐标按照2、0、4、0 四个为一组进行循环，2025 ÷ 4 = 506⋯1，因此
第2025 次运动到点(2 × 2025,2)．
【详解】解：根据题意可知，动点𝑀的运动规律是：
第1 次从原点运动到点(2,2)，
第2 次运动到点(4,0)，
第3 次运动到点(6,4)，
第4 次运动到点(8,0)，
⋯，
由此可得：运动点𝑀的横坐标为：2𝑛，纵坐标按照2、0、4、0 四个为一组进行循环，
∵2025 ÷ 4 = 506⋯1，
∴第2025 次运动到点(2 × 2025,2)，即(4050,2)，
故选：D．
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1 个单位，再向右平移1 个单位，
得到点𝐴1(1,1)；把点𝐴1向上平移2 个单位，再向左平移2 个单位，得到点𝐴2(−1,3)；把点𝐴2向下平移3 个
单位，再向左平移3 个单位，得到点𝐴3(−4,0)；把点𝐴3向下平移4 个单位，再向右平移4 个单位，得到点
𝐴4(0,−4)，…；按此做法进行下去，则点𝐴2025的坐标为（ ）
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 38 页 共 72 页
A．(−2024,1)
B．(2024,1)
C．(−2025,1)
D．(2025,1)
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变换−平移，掌握平移的性质是解题的关键．本题考查了点的坐标变化规律，
仔细观察图形，根据题目所给点的坐标，总结出一般变化规律为每四个点为一个循环，每组第一个点坐标
为(𝑛,1)，第二个点坐标为(−1,𝑛+ 1)，第三个点坐标为(−𝑛−1,0)，第四个点坐标为(0,−𝑛)，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：𝐴1(1,1)，𝐴2(−1,3)，𝐴3(−4,0)，𝐴4(0,−4)，
∴𝐴5(5,1)，𝐴6(−1,7)，𝐴7(−8,0)，𝐴8(0,−8)，……，
每四个点为一个循环，每组第一个点坐标为(𝑛,1)，第二个点坐标为(−1,𝑛+ 1)，第三个点坐标为(−𝑛−1,0)，
第四个点坐标为(0,−𝑛)，
2025 ÷ 4 = 506...1，
∴𝐴2025为第507 组第1 个数，则𝐴2025(2025,1)，
故选：D．
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点𝐴(1,0)跳动至点𝐴1(−1,1)，第二
次从点𝐴1跳动至点𝐴2(2,1)，第三次从点𝐴2跳动至点𝐴3(−2,2)，第四次从点𝐴3跳动至点𝐴4(3,2)，……依此规
律跳动下去，则点𝐴2025与点𝐴2026之间的距离是
．
【答案】2027
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化规律，根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的
坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加
上1，纵坐标相同，可分别求出点𝐴2025与点𝐴2026的坐标，进而可求出点𝐴2025与点𝐴2026之间的距离．
【详解】解：观察发现，第2 次跳动至点的坐标是(2,1)，
第4 次跳动至点的坐标是(3,2)，
第6 次跳动至点的坐标是(4,3)，
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 39 页 共 72 页
第8 次跳动至点的坐标是(5,4)，
……
第2𝑛次跳动至点的坐标是(𝑛+ 1,𝑛)，
则第2026 次跳动至点的坐标是(1014,1013)，
第2025 次跳动至点𝐴2025的坐标是(−1013,1013)．
∵点𝐴2025与点𝐴2026的纵坐标相等，
∴点𝐴2025与点𝐴2026之间的距离= 1014−(−1013) = 2027．
故答案为：2027．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1,0)，(2,0)，
(2,1)，(1,1)，(1,2)，(2,2)，…，根据这个规律，第121 个点的坐标为
．
【答案】(11,0)
【分析】本题考查点的坐标规律问题，根据图形推导出当n 为奇数时，第n 个正方形每条边上有(𝑛+ 1)个
点，连同前边所有正方形共有(𝑛+ 1)2个点，且终点为(1,𝑛)；当n 为偶数时，第n 个正方形每条边上有(𝑛+ 1)
个点，连同前边所以正方形共有(𝑛+ 1)2点，且终点为(𝑛+ 1,0)．由规律可知，第10 个正方形的终点为
(11,0)，前10 个正方形一共有(10 + 1)2 = 121个点，据此可得答案．
【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2 个点，共有4 = 22个点，且终点为(1,1)；
第二个正方形每条边上有3 个点，连同第一个正方形共有9 = 32个点，且终点为(3,0)；
第三个正方形每条边上有4 个点，连同前两个正方形共有16 = 42个点，且终点为(1,3)；
第四个正方形每条边上有5 个点，连同前三个正方形共有25 = 52个点，且终点为(5,0)；
故当n 为奇数时，第n 个正方形每条边上有(𝑛+ 1)个点，连同前边所有正方形共有(𝑛+ 1)2个点，且终点为
(1,𝑛)；
当n 为偶数时，第n 个正方形每条边上有(𝑛+ 1)个点，连同前边所以正方形共有(𝑛+ 1)2点，且终点为
(𝑛+ 1,0)．
由规律可知，第10 个正方形的终点为(11,0)，前10 个正方形一共有(10 + 1)2 = 121个点，则第121 个点是
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 40 页 共 72 页
第10 个正方形的终点为(11,0)．
故答案为：(11,0)．
考点五：坐标与图形综合（已知面积求点的坐标）
例5.如图，在平面直角坐标系中，已知𝐴(0,𝑎),𝐵(𝑏,0),𝐶(3,𝑐)三点，且a、b 满足关系式|𝑎−2| + (𝑏−3)2
= 0，𝐵𝐶= 2𝑂𝐴．
(1)求a，b 的值．
(2)求四边形𝐴𝑂𝐵𝐶的面积．
(3)是否存在点𝑃𝑚,−1
3 𝑚使得△𝐴𝑂𝑃的面积为四边形𝐴𝑂𝐵𝐶面积的2 倍？若存在，求出点P 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【分析】本题考查了坐标与图形的性质、非负数的性质、梯形的面积、三角形的面积等知识点，掌握直角
坐标系中三角形面积的求法是解题的关键．
（1）根据“几个非负数相加和为零，则每一个非负数的值均为零”，求出a，b 的值；
（2）由点𝐴(0,2)，𝐵(3,0)，点𝐶(3,𝑐)，可得四边形𝐴𝑂𝐵𝐶为直角梯形，根据直角梯形的面积公式计算即可；
（3）根据点𝑃𝑚,−1
3 𝑚，列出𝑆△𝐴𝑂𝑃= 1
2 × 𝑂𝐴× |𝑚| = 2𝑆四边形𝐴𝑂𝐵𝐶，即可求解．
【详解】（1）解：∵|𝑎−2| ≥0，(𝑏−3)2 ≥0，|𝑎−2| + (𝑏−3)2 = 0，
∴𝑎−2 = 0，𝑏−3 = 0，
∴𝑎= 2，𝑏= 3；
（2）由（1）得，𝐴(0,2)，𝐵(3,0)，
∴𝑂𝐴= 2，
∵𝐵𝐶= 2𝑂𝐴，
∴𝐵𝐶= 4，
∵点𝐵(3,0)、点𝐶(3,𝑐)，
∴𝐵𝐶⊥𝑥轴，𝐵𝐶∥𝑦轴，
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∴𝐶(3,4)，
∴四边形𝐴𝑂𝐵𝐶为直角梯形，且𝑂𝐴= 2，𝐵𝐶= 4，𝑂𝐵= 3，
∴四边形𝐴𝑂𝐵𝐶的面积= 1
2(𝑂𝐴+ 𝐵𝐶) × 𝑂𝐵= 1
2 × (2 + 4) × 3 = 9；
（3）存在，理由如下：
∵△𝐴𝑂𝑃的面积= 1
2 × 𝑂𝐴× |𝑚| = 1
2 × 2 × |𝑚| = |𝑚|，𝑆△𝐴𝑂𝑃= 2𝑆四边形𝐴𝑂𝐵𝐶，
∴|𝑚| = 2 × 9，
∴𝑚=± 18，
∴点P 的坐标为(18,−6)或(−18,6)．
【变式5-1】在平面直角坐标系中，𝐴(0,𝑎)，𝐵(𝑏,0)，𝑏=
3−𝑎+
𝑎−3−4．
(1)求𝐴点，𝐵点坐标；
(2)如图1，将线段𝐴𝐵平移，使点𝐴平移到𝐶，点𝐵平移到𝐷(1,−5)，𝐸在线段𝐶𝐷上，
过𝐸作𝐸𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，延长𝐸𝐹至𝐻使𝐸𝐹= 𝐹𝐻，若三角形𝐻𝐶𝐷的面积等于10，求𝐻点坐标；
(3)如图2，将线段𝐴𝐵平移使点𝐴平移到𝐷(4,1)，点𝐵平移到𝐶(0,−2)，𝐸(−2,4)，点𝑃在直线𝑂𝐸上，且𝑆△𝑃𝐶𝐷=
5
2𝑆△𝑂𝑃𝐶+6，直接写出𝑃点坐标．
【答案】(1)𝐴(0,3)，𝐵(−4,0)
(2)𝐻13
2 , 5
2
(3)𝑃−2
3 ，
4
3 或
10
3 ,−20
3
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，坐标与图形，平移的性质，数形结合是解题的关键；
（1）根据算术平方根的非负性得出3−𝑎≥0,𝑎−3 ≥0，进而得出𝑎= 3,𝑏= −4，即可求解；
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（2）根据平移可得𝐶(5,−2)，设𝐸(𝑥,𝑦)，根据𝑆△𝐻𝐶𝐷= 𝑆△𝐻𝐸𝐷+ 𝑆△𝐻𝐸𝐶得出𝑦= −
5
2，过点𝐶，𝐷分别作𝑥,𝑦的平
行线，交于点𝐺，则𝐺(5,−5)，连接𝐸𝐺，根据𝑆△𝐷𝐸𝐶= 𝑆△𝐷𝐸𝐺+ 𝑆△𝐸𝐶𝐺得出𝑥=
13
3 ，即可求解；
（3）设𝑃(𝑥,𝑦)，当𝑃在𝑦轴的右侧时，过点𝑃,𝐷分别作𝑦轴的垂线，根据𝑆△𝑃𝐶𝐷= 𝑆梯形𝑀𝐷𝑃𝐶−𝑆△𝑀𝐷𝐶−𝑆△𝑃𝐶𝑁，
得出𝑥= −2𝑦−10，根据𝑆△𝐸𝐹𝑃= 𝑆△𝐸𝐹𝐶+ 𝑆△𝐸𝐶𝑃+ 𝑆△𝐹𝐶𝑃得出𝑦= −2𝑥，进而求得𝑃
10
3 ,−20
3 ,当𝑃在𝑦轴的左
侧时，同理可得𝑃的坐标．
【详解】（1）解：∵𝑏=
3−𝑎+
𝑎−3−4
∴3−𝑎≥0,𝑎−3 ≥0
∴𝑎= 3,𝑏= −4
∴𝐴(0,3)，𝐵(−4,0)
（2）∵使点𝐴(0,3)平移到𝐶，𝐵(−4,0)平移到𝐷(1,−5)，1−(−4) = 5,−5−0 = −5，
∴平移方式为向右平移5 个单位，向下平移5 个单位，
∴𝐶(5,−2)，
设𝐸(𝑥,𝑦)，
∵𝐸𝐹= 𝐹𝐻，
∴𝐻(𝑥,−𝑦)
∴𝐻𝐸= −2𝑦
∵𝑆△𝐻𝐶𝐷= 𝑆△𝐻𝐸𝐷+ 𝑆△𝐻𝐸𝐶
∴1
2 × (5−1) × (−2𝑦) = 1
2 × (−2𝑦) × (𝑥−1) + 1
2 × (−2𝑦) × (5−𝑥)
∴−4𝑦= 10
解得：𝑦= −5
2
如图所示，过点𝐶，𝐷分别作𝑥,𝑦的平行线，交于点𝐺，则𝐺(5,−5)，连接𝐸𝐺
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∵𝑆△𝐷𝐸𝐶= 𝑆△𝐷𝐸𝐺+ 𝑆△𝐸𝐶𝐺
∴1
2 × 4 × 3 = 1
2 × 4 × 2.5 + 1
2 × 3 × (5−𝑥)
解得：𝑥= 13
3
∴𝐻13
3 , 5
2
（3）将线段𝐴𝐵平移使点𝐴平移到𝐷(4,1)，点𝐵平移到𝐶(0,−2)，𝐸(−2,4)，
设𝑃(𝑥,𝑦)
当𝑃在𝑦轴的右侧时，过点𝑃,𝐷分别作𝑦轴的垂线，
∴𝑆△𝑃𝐶𝐷= 𝑆梯形𝑀𝐷𝑃𝐶−𝑆△𝑀𝐷𝐶−𝑆△𝑃𝐶𝑁
= 1
2 (4 + 𝑥) (1−𝑦)−1
2 × 4 × (1 + 2)−1
2 × (−2−𝑦)𝑥
= 3𝑥
2 −2𝑦−4
∵𝑆△𝑃𝑂𝐶= 1
2𝑂𝐶⋅𝑥𝑃= 1
2 × 2 × 𝑥= 𝑥，𝑆△𝑃𝐶𝐷= 5
2𝑆△𝑂𝑃𝐶+6
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∴3𝑥
2 −2𝑦−4 = 5𝑥
2 +6即𝑥= −2𝑦−10
如图， 过点𝐸,𝑃分别作𝑥,𝑦的垂线交于点𝐹，连接𝐹𝐶,𝐸𝐶,𝑃𝐶，
∵𝑆△𝐸𝐹𝑃= 𝑆△𝐸𝐹𝐶+ 𝑆△𝐸𝐶𝑃+ 𝑆△𝐹𝐶𝑃
∴1
2 × (4−𝑦)(𝑥+ 2) = 1
2(4−𝑦) × 2 + 1
2 × (−2−𝑦) × (𝑥+ 2) + 1
2 × 2 × (𝑥+ 2)，
∴𝑥= −
𝑦
2 即𝑦= −2𝑥
将𝑦= −2𝑥代入𝑥= −2𝑦−10得
解得：𝑥= 10
3
∴𝑦= −20
3
∴10
3 ,−20
3
当𝑃在𝑦轴的左侧时，如图
∵𝑆△𝐸𝐹𝑃= 𝑆△𝐸𝐹𝐶+ 𝑆△𝐸𝐶𝑃−𝑆△𝐹𝐶𝑃
∴1
2 × (4−𝑦)(𝑥+ 2) = 1
2(4−𝑦) × 2 + 1
2(2 × 2)−1
2 ×(−𝑥)× 2 −1
2 × (𝑦+ 2) × (𝑥+ 2)，
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∴𝑥= −
𝑦
2 即𝑦= −2𝑥，
如图，过点𝑃,𝐷分别作𝑥的垂线与过点𝐶平行于𝑥的直线交于点𝐺𝐻，则𝑃(𝑥,𝑦),𝐺(𝑥,−2),𝐷(4,1),𝐻(4,𝑦)
∴𝑆△𝑃𝐶𝐷= 𝑆梯形𝐺𝐻𝐷𝑃−𝑆△𝑃𝐶𝐺−𝑆△𝐷𝐶𝐻
= 1
2 (𝑦+ 2) + (1 + 2) (4−𝑥)−1
2 × (𝑦+ 2) × (−𝑥)−1
2 (1 + 2) × 4
= −3𝑥
2 + 2𝑦+ 4
∵𝑆△𝑃𝐶𝐷= 5
2𝑆△𝑂𝑃𝐶+6，𝑆△𝑃𝑂𝐶= −𝑥
∴−3𝑥
2 +2𝑦+ 4 = 5
2 ⋅(−𝑥) +6即𝑥= 2−2𝑦
代入𝑦= −2𝑥，得𝑥= 2 + 4𝑥
解得：𝑥= −2
3
∴𝑦= 4
3
∴𝑃−2
3 ，
4
3
综上所述，𝑃−2
3 ，
4
3 或
10
3 ,−20
3 ．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，𝐴(𝑎,−1)、𝐵(1,𝑏)，其中𝑎，𝑏满足𝑎−5 + |𝑏+ 3| = 0．
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(1)求𝐴、𝐵的点坐标；
(2)如图1，点𝐸(𝑡,2𝑡+ 2)为第二象限内一点，若△𝐴𝐵𝐸的面积为9，求𝑡的值；
(3)如图2，过点𝐴，𝐵分别向𝑥轴作垂线，垂足分别为𝐷、𝐶，在坐标平面内是否存在点𝑃(𝑚,𝑛)，使得△𝑃𝐴𝐷
与△𝑃𝐵𝐶的面积相等，且△𝑃𝐶𝐷与△𝑃𝐴𝐵的面积相等？若存在，求出𝑃点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝐴(5,−1)，𝐵(1,−3)
(2)𝑡= −2
3
(3)存在，𝑃点坐标为2,−5
4 或(−1,−2)
【分析】（1）根据非负数的性质解答即可；
（2）如图1，过𝐴作𝑦轴的平行线𝐶𝐹，过𝐵作𝑥轴的平行线𝐶𝐷，过𝐸作x 轴和𝑦轴的平行线𝐸𝐹和𝐷𝐸，可得四边
形𝐶𝐷𝐸𝐹是矩形，进而根据△𝐴𝐵𝐸的面积= 矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积−△𝐵𝐷𝐸的面积−△𝐴𝐸𝐹的面积−△𝐴𝐵𝐶的面
积列出方程解答即可求解；
（3）由𝐴(5,−1)，𝐵(1,−3)得𝐴𝐷= 1，𝐵𝐶= 3，𝐶𝐷= 4，进而根据△𝑃𝐴𝐷与△𝑃𝐵𝐶的面积相等，可得
1
2 × 3 ×
|𝑚−1| = 1
2 × 1 × |𝑚−5|，即得𝑚= −1或𝑚= 2，再分情况解答即可；
本题考查了非负数的性质，坐标图图形，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵𝑎−5 + |𝑏+ 3| = 0，
∴𝑎−5 = 0，𝑏+ 3 = 0，
∴𝑎= 5，𝑏= −3，
∴𝐴(5,−1)，𝐵(1,−3)；
（2）解：如图1，过𝐴作𝑦轴的平行线𝐶𝐹，过𝐵作𝑥轴的平行线𝐶𝐷，过𝐸作x 轴和𝑦轴的平行线𝐸𝐹和𝐷𝐸，
则四边形𝐶𝐷𝐸𝐹是矩形，
∵𝐴(5,−1)，𝐵(1,−3)，𝐸(𝑡,2𝑡+ 2)，
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∴△𝐴𝐵𝐸的面积= 矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积−△𝐵𝐷𝐸的面积−△𝐴𝐸𝐹的面积−△𝐴𝐵𝐶的面积
= 𝐷𝐸·𝐸𝐹−1
2 𝐵𝐷·𝐷𝐸−1
2 𝐸𝐹·𝐴𝐹−1
2 𝐴𝐶·𝐵𝐶
= (5−𝑡) × (2𝑡+ 2 + 3)−1
2 (2𝑡+ 2 + 3) × (1−𝑡)−1
2 (5−𝑡) × (2𝑡+ 2 + 1)−1
2 (−1 + 3) (5−1)
= 9，
解得𝑡= −
2
3；
（3）解：存在，理由如下：
如图，
∵𝐴(5,−1)，𝐵(1,−3)，
∴𝐴𝐷= 1，𝐵𝐶= 3，𝐶𝐷= 4，
∵△𝑃𝐴𝐷与△𝑃𝐵𝐶的面积相等，
∴1
2 × 3 × |𝑚−1| = 1
2 × 1 × |𝑚−5|，
∴𝑚= −1或𝑚= 2，
当𝑚= 2时，𝑆△𝑃𝐴𝐷= 𝑆△𝐵𝐶𝑃= 1
2 × 3 × |2−1| =
3
2，
∵𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 × (1 + 3) × 4 = 8，△𝑃𝐶𝐷与△𝑃𝐴𝐵的面积相等，
∴𝑆△𝑃𝐶𝐷= 𝑆△𝑃𝐴𝐵=
5
2，
∴1
2 × 4 × (−𝑛) =
5
2，
∴𝑛= −
5
4，
∴𝑃2,−5
4 ；
当𝑚= −1时，如图3，
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则𝑆△𝑃𝐴𝐷= 𝑆△𝐵𝐶𝑃= 1
2 × 3 × |−1−1| = 3，
∵𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷= 1
2 × (1 + 3) × 4 = 8，△𝑃𝐶𝐷与△𝑃𝐴𝐵的面积相等，
∴2 × 1
2 × 4 × (−𝑛) = 8，
∴𝑛= −2，
∴𝑃(−1,−2)；
综上所述，点𝑃的坐标为2,−5
4 或(−1,−2)．
【变式5-3】在平面直角坐标系中𝐴(−𝑎,𝑏)、𝐵(𝑎,𝑎)，a、b 满足(2𝑎−4) + |3𝑎+ 𝑏−12| = 0．
(1)如图1，求点A、B 的坐标；
(2)如图2，y 轴上有一点E，△𝐴𝐵𝐸的面积是6，求点E 的坐标；
(3)如图3，将线段𝐴𝐵沿x 轴的正方向平移4 个单位长度，过A、B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D、
C，在坐标平面内是否存在点𝑃(𝑥,𝑦)(0 < 𝑥< 6)，使得△𝑃𝐴𝐷与△𝑃𝐵𝐶的面积相等，且△𝑃𝐶𝐷与△𝑃𝐴𝐵的
面积相等？若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)𝐴(−2,6)，𝐵(2,2)
(2)(0,7)或(0,1)
(3)(2.5,3)或(4,0)
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【分析】（1）利用非负性可求a、b 的值，即可求解；
（2）分两种情况讨论：①当E 在直线𝐴𝐵上方时；②当E 在直线𝐴𝐵下方时；分别根据△𝐴𝐵𝐸的面积是6，
列方程求解；
（3）由△𝑃𝐶𝐷与△𝑃𝐴𝐵的面积相等，列出方程可求m 的值，再分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵2𝑎−4 ≥0，且|3𝑎+ 𝑏−12| ≥0，
又∵2𝑎−4 + |3𝑎+ 𝑏−12| = 0，
∴2𝑎−4 = 0，|3𝑎+ 𝑏−12| = 0，
∴2𝑎−4 = 0，3𝑎+ 𝑏−12 = 0，
∴𝑎= 2，6 + 𝑏−12 = 0，
∴𝑎= 2，𝑏= 6，
∴𝐴(−2,6)，𝐵(2,2)；
（2）解：设E 为(0,𝑦)，
分以下两咱情况讨论：
①如图，当E 在直线𝐴𝐵上方时，作𝐴𝐻⊥𝑦轴，作𝐻𝐵𝐻⊥𝐴𝐻连接𝐸𝐻，
则𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐴𝐵𝐻+ 𝑆△𝐴𝐵𝐻+ 𝑆△𝐵𝐴𝐻−𝑆△𝐵𝐸𝐻
= 1
2 × 4 × 4 + 1
2 × 4 × (𝑦−6)−1
2 × 4 × 2 = 2𝑦−8 = 6，
∴𝑦= 7，𝐸(0,7)，
②当E 在直线𝐴𝐵下方时，同样可得𝑆△𝐴𝐵𝐸= 8−2𝑦= 6，
∴𝑦= 1，𝐸(0,1)，
∴点E 的坐标为(0,7)或(0,1)；
（3）解：存在，设点P 的坐标为(𝑥,𝑦)，由平移得𝐴(2,6)、𝐵(6,2)，则𝐷(0,6)、𝐶(0,2)，
依题意知点P 不可能在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的上方或线段𝐴𝐵的右上方或线段𝐶𝐷左方，故分以下两种情形：
①如图，当点P 在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的内部时，
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∵𝑆△𝑃𝐴𝐷= 𝑆△𝑃𝐵𝐶，
∴1
2 × 2 × (6−𝑦) = 1
2 × 6 × (𝑦−2)，
∴𝑦= 3，𝑃(𝑥,3)，
∵𝑆△𝑃𝐶𝐷= 1
2 × 4 × 𝑥= 2𝑥，
𝑆△𝑃𝐴𝐵= 𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐷−2𝑆△𝑃𝐵𝐶−𝑆△𝑃𝐶𝐷= 1
2 × (2 + 6) × 4−2 × 1
2 × 6 × 1−2𝑥= 10−2𝑥，
∴10−2𝑥= 2𝑥，
解得𝑥= 2.5，
∴𝑃(2.5,3)；
②如图，当点P 在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的下方时，
∵𝑆△𝑃𝐴𝐷= 𝑆△𝑃𝐵𝐶，
∴1
2 × 2 × (6−𝑦) = 1
2 × 6 × (2−𝑦)，
∴6−𝑦= 3(2−𝑦)，
∴𝑦= 0，𝑃(𝑥,0)，
∴点𝑃(𝑥,0)在x 轴上，
如图，作𝐵𝐺⊥𝑥轴于G，连接𝐴𝐺，
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S△𝑃𝐶𝐷= 1
2 × 4 × 𝑥= 2𝑥，
𝑆△𝑃𝐴𝐵= 𝑆△𝑃𝐴𝐺+ 𝑆△𝐴𝐵𝐺−𝑆△𝑃𝐵𝐺= 1
2 (6−𝑥) × 6 + 1
2 × 2 × 4−1
2 × 2 × (6−𝑥)
= 3(6−𝑥) +4−(6−𝑥) = 16−2𝑥，
∴2𝑥= 16−2𝑥，
解得𝑥= 4，
∴𝑃(4,0)，
综上所述，P 点的坐标为(2.5,3)或(4,0)．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的
关键．
考点六：坐标与图形综合（探究角的数量关系）
例6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为𝐴(𝑎,0)，𝐵(𝑏,0)，且a，b满足|𝑎+ 3| +
𝑎−2𝑏+ 7
= 0，现同时将点A，B 分别向左平移2 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，分别得到点A，B 的对应
点C，D，连接𝐴𝐶，𝐵𝐷．
(1)请写出A，B，C，D 四点坐标；
(2)在y 轴上是否存在点M，使三角形𝑀𝐴𝐷的面积与三角形𝐴𝐶𝐷的面积相等？若存在，请求出点M 的坐标；
若不存在，试说明理由．
(3)如图2，点𝑃是线段𝐴𝐶上的一个动点，点𝑄是线段𝐶𝐷的中点，连接𝑃𝑄，𝑃𝑂，当点𝑃在线段𝐴𝐶上移动时（不
与𝐴，𝐶重合），请直接写出∠𝑃𝑄𝐷，∠𝑂𝑃𝑄，∠𝐵𝑂𝑃的数量关系．
【答案】(1)𝐴(−3,0)，𝐵(2,0)，𝐶(−5,2)，𝐷(0,2)；
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(2)存在，点𝑀的坐标为0,−4
3 或0, 16
3
(3)∠𝑃𝑄𝐷+ ∠𝑂𝑃𝑄+ ∠𝐵𝑂𝑃= 360°
【分析】（1）利用非负数的性质求出𝑎、𝑏的值，得出点𝐴、𝐵的坐标，再根据点的坐标的平移规律即可
（2）先求出△𝐴𝐶𝐷的面积为5，设点𝑀的坐标为(0,𝑦)，则𝐷𝑀= |2−𝑦|，再根据三角形的面积公式可得
3
2|2−𝑦|
= 5，解方程即可求解；
（3）如图2，过𝑃作𝑃𝐻∥𝐴𝐵 ，可得𝑃𝐻∥𝐶𝐷∥𝐶𝐷，再根据平行线的性质即可得出结论；
【详解】（1）解：∵|𝑎+ 3| +
𝑎−2𝑏+ 7 = 0，
∴𝑎+ 3 = 0，𝑎−2𝑏+ 7 = 0，
∴𝑎= −3，𝑏= 2，
∴𝐴(−3,0)，𝐵(2,0)，
∵将点𝐴，𝐵分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，分别得到点𝐴，𝐵的对应点𝐶，𝐷，
∴𝐶(−5,2)，𝐷(0,2)；
（2）解：∵𝐶(−5,2)，𝐷(0,2)，
∴𝐶𝐷= 0−(−5) = 5，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 1
2 × 5 × 2 = 5，
∵点𝑀在𝑦轴上，设点𝑀的坐标为(0,𝑦)，则𝐷𝑀= |2−𝑦|，
∴𝑆△𝐴𝑀𝐷= 1
2 × |2−𝑦| × 3 = 3
2|2−𝑦|，
当三角形𝑀𝐴𝐷的面积与三角形𝐴𝐶𝐷的面积相等时，
3
2|2−𝑦| = 5，
解得𝑦= −
4
3或𝑦=
16
3 ，
∴点𝑀的坐标为0,−4
3 或0, 16
3 ；
（3）解：∠𝑃𝑄𝐷+ ∠𝑂𝑃𝑄+ ∠𝐵𝑂𝑃= 360°，理由如下：
如图2，过𝑃作𝑃𝐻∥𝐴𝐵 ，
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由题意可知，𝐶𝐷∥𝐴𝐵
∴𝑃𝐻∥𝐶𝐷∥𝐶𝐷，
∴∠𝑃𝑄𝐷+ ∠𝑄𝑃𝐻= 180°，∠𝑂𝑃𝐻+ ∠𝐵𝑂𝑃= 180°，
∴∠𝑃𝑄𝐷+ ∠𝑄𝑃𝐻+ ∠𝑂𝑃𝐻+ ∠𝐵𝑂𝑃= 360°，
∵∠𝑂𝑃𝑄= ∠𝑄𝑃𝐻+ ∠𝑂𝑃𝐻，
∴∠𝑃𝑄𝐷+ ∠𝑂𝑃𝑄+ ∠𝐵𝑂𝑃= 360°．
【点睛】本题考查了图形与坐标，非负数的性质，点平移的规律，一元一次方程的几何应用，平行线的性
质及平行公理的推论，掌握以上知识点是解题的关键．
【变式6-1】如图1，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点为𝐴𝑎，0 ，𝐵𝑏，3 ，𝐶𝑐，0 ，且满足
（𝑎+ 𝑏）
2 +
𝑏−2 + |4−𝑐| = 0，线段𝐴𝐵交𝑦轴于点𝐷．点𝐸从𝑂点出发以每秒2 个单位长度的速度沿𝑦轴负
半轴方向运动（点𝐸不与点𝑂重合）．
(1)求点𝐴、𝐵、𝐶的坐标．
(2)在𝑦轴上是否存在这样的𝐸点，使△𝐴𝐶𝐸的面积等于△𝐴𝐵𝐶的面积的
2
3？若存在，请求出点𝐸坐标，若不存
在，请说明理由．
(3)如图2，若点𝐸为𝑦轴负半轴上一动点，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，分别作∠𝐶𝐴𝐵，∠𝑂𝐸𝐹的平分线交于点𝑀，试问
在点𝐸的运动过程中，∠𝐴𝑀𝐸的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出∠𝐴𝑀𝐸的值．
【答案】(1)点A 的坐标为(−2,0)，点𝐵的坐标为(2,3)，点𝐶的坐标为(4,0)
(2)𝐸(0,2)或𝐸(0,−2)
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 54 页 共 72 页
(3)∠𝐴𝑀𝐸的度数不变，∠𝐴𝑀𝐸= 45°
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出𝑎、𝑏、𝑐，得到点𝐴、𝐵、𝐶的坐标．
（2）根据（1）的结论求得△𝐴𝐵𝐶的面积，设点𝐸的坐标为(0,𝑏)，用含𝑏的代数式表示出△𝐴𝐶𝐸的面积，根
据题意列出方程，解方程即可；
（3）作𝑀𝑁∥𝐴𝐵，根据平行线的性质得到∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐵𝐴𝑀，∠𝐸𝑀𝑁= ∠𝑀𝐸𝐹，∠𝐴𝐷𝑂= ∠𝑂𝐸𝐹，根据直角三
角形的性质得到∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝑂𝐸𝐹= 90°，根据角平分线的定义计算，得到答案．
【详解】（1）解： ∵(𝑎+ 𝑏)2 +
𝑏−2 +|4−𝑐| = 0，(𝑎+ 𝑏)2 ≥0，𝑏−2 ≥0，|4−𝑐| ≥0，
∴𝑎+ 𝑏= 0，𝑏−2 = 0，4−𝑐= 0，
解得，𝑎= −2，𝑏= 2，𝑐= 4，
∴点𝐴的坐标为(−2,0)，点𝐵的坐标为(2,3)，点𝐶的坐标为(4,0)；
（2）解：存在，
理由如下：∵点A 的坐标为(−2,0)，点𝐵的坐标为(2,3)，点𝐶的坐标为(4,0)
∴𝐴𝐶= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1
2𝐴𝐶× |𝑦𝐵| = 1
2 × 6 × 3 = 9
设点𝐸的坐标为(0,𝑏)，
由题意得，𝐴𝐶= 4−(−2) = 6，𝑂𝐸= |𝑏|，
△𝐴𝐸𝐶的面积= 1
2 × 𝐴𝐶× 𝑂𝐸= |3𝑏|，
依题意，|3𝑏| = 9 × 2
3
解得：𝑏=± 2
∴𝐸(0,2)或𝐸(0,−2)
点𝐸坐标的坐标为(0,2)或𝐸(0,−2)．
（3）解：∠𝐴𝑀𝐸的度数不发生变化，∠𝐴𝑀𝐸= 45°
理由如下：过点𝑀作𝑀𝑁∥𝐴𝐵，如图2，
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∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴𝐸𝐹∥𝐴𝐵∥𝑀𝑁，
∴∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐵𝐴𝑀，∠𝐸𝑀𝑁= ∠𝑀𝐸𝐹，∠𝐴𝐷𝑂= ∠𝑂𝐸𝐹，
∵∠𝐴𝐷𝑂+ ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝑂𝐸𝐹= 90°，
∵𝐴𝑀、𝐸𝑀分别为∠𝐶𝐴𝐵，∠𝑂𝐸𝐹的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝑀= 1
2∠𝐷𝐴𝐶，∠𝑀𝐸𝐹= 1
2∠𝑂𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝑀𝐸= ∠𝐴𝑀𝑁+ ∠𝐸𝑀𝑁= ∠𝐵𝐴𝑀+ ∠𝑀𝐸𝐹= 1
2(∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝑂𝐸𝐹) = 45°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线，坐标与图形，三角形的面积计算、非负数的性质，掌握
平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．
【变式6-2】如图1，点𝑀(0,𝑎−3),𝑁(𝑏,0)，且满足(𝑏−𝑎+ 8)2 +
5−𝑎= 0．
(1)直接写出M、N 的坐标：M________，N________；
(2)点P 以每秒2 个单位长度从点M 向y 轴负半轴运动，同时，点Q 以每秒3 个单位长度从N 点向x 轴正半
轴运动，直线𝑁𝑃,𝑀𝑄交于点D，设点P，Q 运动的时间为t 秒．
①当𝑡=
4
3时，求△𝑀𝑂𝑄的面积；
②当1 < 𝑡< 2时．
（Ⅰ）用代数式表示△𝑀𝑂𝑄的面积和△𝑁𝑂𝑃；
（Ⅱ）求证：𝑆三角形𝑀𝑃𝐷= 𝑆三角形𝑁𝑄𝐷；
③如图2，当∠𝑄𝑀𝑁+ ∠𝑃𝑁𝑀= 180°时，在线段𝑀𝑄上任取一点𝐸，连接𝐸𝑂．点G 为∠𝑂𝐸𝑄的角平分线上一
点，且满足∠𝐺𝑁𝑃= 1
2∠𝑂𝑁𝐺，请将图2 补全，并直接写出∠𝑁𝑂𝐸、∠𝑂𝐸𝐺、∠𝐺之间的数量关系．
【答案】(1)(0,2),(−3,0)
(2)①1；②𝑆△𝑀𝑂𝑄= 3𝑡−3，𝑆△𝑁𝑂𝑃= 3𝑡−3；（Ⅱ）证明见解析；③∠𝑁𝑂𝐸+ ∠𝑂𝐸𝐺= 3∠𝑁𝐺𝐸或
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∠𝑁𝑂𝐸+ ∠𝑁𝐺𝐸= 3∠𝑂𝐸𝐺
【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应
用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）由非负数的性质可得：𝑎= 5，𝑏= −3，从而可得答案；
（2）①求出此时𝑁𝑄的长，进而得到𝑂𝑄的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；
②（Ⅰ）求出此时𝑂𝑄，𝑂𝑃的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）所求可得𝑆△𝑁𝑂𝑃=
𝑆△𝑀𝑂𝑄，再根据图形面积之间的关系可证明结论；
③先根据题意补全图形，设∠𝑂𝐸𝐺= ∠𝑄𝐸𝐺= 𝑥°，设∠𝐺𝑁𝑃= 𝑦°，则∠𝑂𝑁𝐺= 2𝑦°，再求出∠𝑁𝑂𝐸，
∠𝑂𝐸𝐺+ ∠𝑁𝐺𝐸的度数，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵(𝑏−𝑎+ 8)2 +
5−𝑎= 0，(𝑏−𝑎+ 8)2 ≥0，5−𝑎≥0，
∴(𝑏−𝑎+ 8)2 =
5−𝑎= 0，
∴𝑏−𝑎+ 8 = 0，5−𝑎= 0，
解得：𝑎= 5，𝑏= −3，
∴点𝑀(0,2),𝑁(−3,0)，
故答案为：(0,2),(−3,0)；
（2）解：①当𝑡=
4
3时，点Q 的运动路程为3 × 4
3 = 4，
∴𝑄𝑁= 4，
∵𝑁(−3,0)，
∴𝑂𝑁= 3，
∴𝑂𝑄= 𝑄𝑁−𝑂𝑁= 1，
∴𝑆△𝑀𝑂𝑄= 1
2𝑂𝑄⋅𝑂𝑀= 1
2 × 1 × 2 = 1；
②（Ⅰ）由题意得，𝑄𝑁= 3𝑡，𝑀𝑃= 2𝑡，
∵1 < 𝑡< 2，
∴𝑄𝑁> 3，𝑀𝑃> 2，
∵𝑀(0,2),𝑁(−3,0)，
∴𝑂𝑁= 3，𝑂𝑀= 2，
∴𝑂𝑃= 𝑀𝑃−𝑂𝑀= 2𝑡−2，𝑂𝑄= 𝑄𝑁−𝑂𝑁= 3𝑡−3，
∴𝑆△𝑀𝑂𝑄= 1
2𝑂𝑄⋅𝑂𝑀= 1
2 × 2(3𝑡−3) = 3𝑡−3，
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𝑆△𝑁𝑂𝑃= 1
2𝑂𝑁⋅𝑂𝑃= 1
2 × 3(2𝑡−2) = 3𝑡−3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得𝑆△𝑁𝑂𝑃= 𝑆△𝑀𝑂𝑄，
∴𝑆△𝑂𝑁𝑃+ 𝑆四边形𝑃𝑂𝑄𝐷= 𝑆△𝑀𝑂𝑄+ 𝑆四边形𝑃𝑂𝑄𝐷，
∴𝑆△𝑀𝑃𝐷= 𝑆△𝑁𝑄𝐷；
③如图，补全图形如下：
当点𝐺在𝑁𝑃上方时，
∵点𝐺为∠𝑂𝐸𝑄的角平分线上一点，
∴设∠𝑂𝐸𝐺= ∠𝑄𝐸𝐺= 𝑥°，
∵∠𝐺𝑁𝑃= 1
2∠𝑂𝑁𝐺，
设∠𝐺𝑁𝑃= 𝑦°，则∠𝑂𝑁𝐺= 2𝑦°，
如图，∵∠𝑄𝑀𝑁+ ∠𝑃𝑁𝑀= 180°，
∴𝑀𝑄∥𝑃𝑁，
过𝐺作𝐺𝑇∥𝑀𝑄，
∴𝑀𝑄∥𝐺𝑇∥𝑃𝑁，
∴∠𝑇𝐺𝑁= ∠𝑃𝑁𝐺= 𝑦°，∠𝑇𝐺𝐸= ∠𝑄𝐸𝐺= 𝑥°，
∴∠𝑁𝐺𝐸= 𝑥° + 𝑦°，
过𝑂作𝑂𝐾∥𝑀𝑄，而𝑀𝑄∥𝑃𝑁，
∴𝑀𝑄∥𝑂𝐾∥𝑃𝑁，
∴∠𝐾𝑂𝑁= ∠𝑂𝑁𝑃= 3𝑦°，∠𝐾𝑂𝐸= ∠𝑂𝐸𝑄= 2𝑥°，
∴∠𝑁𝑂𝐸= 3𝑦° + 2𝑥°，
而∠𝑂𝐸𝐺+ ∠𝑁𝐺𝐸= 2𝑥° + 𝑦°，
∴3∠𝑂𝐸𝐺+ 3∠𝑁𝐺𝐸= 6𝑥° + 3𝑦°，
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∴3∠𝑂𝐸𝐺+ 3∠𝑁𝐺𝐸= 2𝑥° + 3𝑦° + 4𝑥° = ∠𝑁𝑂𝐸+ 4∠𝑂𝐸𝐺，
∴∠𝑁𝑂𝐸+ ∠𝑂𝐸𝐺= 3∠𝑁𝐺𝐸；
当点𝐺在𝑁𝑃下方时，
∵点𝐺为∠𝑂𝐸𝑄的角平分线上一点，
∴设∠𝑂𝐸𝐺= ∠𝑄𝐸𝐺= 𝑥°，
∵∠𝐺𝑁𝑃= 1
2∠𝑂𝑁𝐺，
∴设∠𝐺𝑁𝑃= 𝑦°，则∠𝑂𝑁𝐺= 2𝑦°，
∵∠𝑄𝑀𝑁+ ∠𝑃𝑁𝑀= 180°，
∴𝑀𝑄∥𝑃𝑁，
过𝐺作𝐺𝑇∥𝑀𝑄，
∴𝑀𝑄∥𝐺𝑇∥𝑃𝑁，
∴∠𝑇𝐺𝑁= ∠𝑃𝑁𝐺= 𝑦°，∠𝑇𝐺𝐸= ∠𝑄𝐸𝐺= 𝑥°，
∴∠𝑁𝐺𝐸= ∠𝑇𝐺𝐸−∠𝑇𝐺𝑁= 𝑥°−𝑦°，
过𝑂作𝑂𝐾∥𝑀𝑄，而𝑀𝑄∥𝑃𝑁，
∴𝑀𝑄∥𝑂𝐾∥𝑃𝑁，
∴∠𝐾𝑂𝑁= ∠𝑂𝑁𝑃= 𝑦°，∠𝐾𝑂𝐸= ∠𝑂𝐸𝑄= 2𝑥°，
∴∠𝑁𝑂𝐸= 𝑦° + 2𝑥°，
∵∠𝑂𝐸𝐺+ ∠𝑁𝐺𝐸= 2𝑥°−𝑦°，
∴3∠𝑂𝐸𝐺+ 3∠𝑁𝐺𝐸= 6𝑥°−3𝑦°，
∴3∠𝑂𝐸𝐺+ 3∠𝑁𝐺𝐸= ∠𝑁𝑂𝐸+ 4∠𝑁𝐺𝐸，
∴∠𝑁𝑂𝐸+ ∠𝑁𝐺𝐸= 3∠𝑂𝐸𝐺．
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综上所述，∠𝑁𝑂𝐸+ ∠𝑂𝐸𝐺= 3∠𝑁𝐺𝐸或∠𝑁𝑂𝐸+ ∠𝑁𝐺𝐸= 3∠𝑂𝐸𝐺．
【变式6-3】已知，在平面直角坐标系中，𝐴𝐵⊥𝑥轴于点𝐵，点𝐴(𝑎,𝑏)满足𝑎−6 + |𝑏−3| = 0．平移线段𝐴𝐵
使点𝐴与原点重合，点𝐵的对应点为点𝐶．
(1)直接写出点𝐴的坐标为______，点𝐵坐标为______，点𝐶坐标为______；
(2)如图（1），点𝐷(𝑚,𝑛)是线段𝐶𝐵上的一个动点．
①连接𝑂𝐷，利用△𝑂𝐵𝐶，△𝑂𝐵𝐷，△𝑂𝐶𝐷的面积关系，可以得到𝑚、𝑛满足一个固定的关系式，请求出这
个关系式；
②过点𝐴作直线𝑙∥𝑥轴，在𝑙上取点𝑀，使得𝑀𝐴= 4，若△𝐶𝐷𝑀的面积为5，请求出点𝐷的坐标．
(3)如图（2），以𝑂𝐵为边作∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝐴𝑂𝐵，交线段𝐵𝐶于点𝐺，𝐸是线段𝑂𝐵上一动点，连接𝐶𝐸交𝑂𝐺于点𝐹，
当点𝐸在线段𝑂𝐵上运动过程中，试说明
∠𝑂𝐹𝐶+∠𝐹𝐶𝐺
∠𝑂𝐸𝐶
的值是定值，并求出该定值．
【答案】(1)(6,3)，(6,0)，(0,−3)
(2)①𝑚−2𝑛= 6；②(2,−2)
(3)
∠𝑂𝐹𝐶+∠𝐹𝐶𝐺
∠𝑂𝐸𝐶
的值是定值，定值为2
【分析】（1）利用非负数的性质可得𝑎= 6，𝑏= 3，进而可得点𝐴、𝐵的坐标，再根据平移可求出点𝐶坐标；
（2）①如图（1），过点𝐷分别作𝐷𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，𝐷𝑁⊥𝑦轴于点𝑁，根据𝑆△𝐵𝑂𝐶= 𝑆△𝐵𝑂𝐷+ 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 9列
出关系式即可；②分点𝑀在点𝐴的左侧和右侧两种情况，分别画出图形解答即可；
（3）过𝐸、𝐹分别作𝐸𝐻∥𝑂𝐴，𝐹𝐼∥𝑂𝐴，可得𝑂𝐴∥𝐸𝐻∥𝐹𝐼∥𝐵𝐶，再根据平行线的性质解答即可；
【详解】（1）解：∵𝑎−6 + |𝑏−3| = 0，
∴𝑎−6 = 0，𝑏−3 = 0，
∴𝑎= 6，𝑏= 3，
∴𝐴(6,3)，
∵𝐴𝐵⊥𝑥轴于点𝐵，
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∴𝐵(6,0)，
∵平移线段𝐴𝐵使点𝐴与原点重合，点𝐵的对应点为点𝐶，
∴点𝐶坐标为𝐵(6−6,0−3)，即𝐶(0,−3)，
故答案为：(6,3)，(6,0)，(0,−3)；
（2）解：①如图（1），过点𝐷分别作𝐷𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，𝐷𝑁⊥𝑦轴于点𝑁，
连接𝑂𝐷，由题可知0 ≤𝑚≤6，−3 ≤𝑛≤0，
∵𝐴𝐵⊥𝑥轴于点𝐵，且点𝐴，𝐷，𝐶三点的坐标分别为(6,3)，(𝑚,𝑛)，(0,−3)，
∴𝑂𝐵= 6，𝑂𝐶= 3，𝑀𝐷= −𝑛，𝑁𝐷= 𝑚，
∴𝑆△𝐵𝑂𝐶= 1
2𝑂𝐵× 𝑂𝐶= 9，
又∵𝑆△𝐵𝑂𝐶= 𝑆△𝐵𝑂𝐷+ 𝑆△𝐶𝑂𝐷= 1
2𝑂𝐵× 𝑀𝐷+ 1
2𝑂𝐶× 𝑁𝐷= 1
2 × 6 × (−𝑛) + 1
2 × 𝑚× 3 = 3
2𝑚−3𝑛，
∴3
2𝑚−3𝑛= 9，
∴𝑚−2𝑛= 6，
∴𝑚、𝑛满足的关系式为𝑚−2𝑛= 6；
②当点𝑀在点𝐴的左侧时，如图𝑎，设直线𝑙交𝑦轴于𝐸，连接𝐷𝐸，𝐶𝑀，设𝐷𝑚, 𝑚
2 −3 ，
∵𝐴𝑀= 4，
∴𝑀(2,3)，
∵𝑆△𝐶𝐷𝑀= 𝑆△𝐶𝐸𝐷+ 𝑆△𝑀𝐸𝐷−𝑆△𝐶𝐸𝑀= 5，
∴1
2 × 3−(−3) × 𝑚+ 1
2 × 2 × 3−𝑚
2 + 3 −1
2 × 3−(−3) × 2 = 5，
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
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解得𝑚= 2，
∴𝐷(2,−2)；
当点𝑀在点𝐴的右侧时，如图𝑏，𝑀(10,3)，连接𝐵𝐸、𝐵𝑀，
∵𝑆△𝐵𝐶𝑀= 𝑆△𝐵𝐶𝐸+ 𝑆△𝐵𝐸𝑀−𝑆△𝐸𝐶𝑀= 1
2 × 3−(−3) × 6 + 1
2 × 10 × 3−1
2 × 3−(−3) × 10 = 3 < 5，
∴此时不存在符合题意的点𝐷；
综上所述，满足条件的点𝐷的坐标为(2,−2)；
（3）解：∵线段𝑂𝐶是由线段𝐴𝐵平移得到，
∴𝐵𝐶∥𝑂𝐴
过𝐸、𝐹分别作𝐸𝐻∥𝑂𝐴，𝐹𝐼∥𝑂𝐴，
则𝑂𝐴∥𝐸𝐻∥𝐹𝐼∥𝐵𝐶，
设∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝐴𝑂𝐵= 𝑥，则∠𝐴𝑂𝐺= 2𝑥，
∵𝑂𝐴∥𝐹𝐼，
∴∠𝑂𝐹𝐼= ∠𝐴𝑂𝐺= 2𝑥，
同理可证∠𝑂𝐸𝐻= ∠𝐴𝑂𝐵= 𝑥，∠𝐻𝐸𝐶= ∠𝐼𝐹𝐶= ∠𝐹𝐶𝐺= 𝑦，
∴∠𝑂𝐹𝐶= ∠𝑂𝐹𝐼+ ∠𝐼𝐹𝐶= 2𝑥+ 𝑦，∠𝑂𝐸𝐶= ∠𝑂𝐸𝐻+ ∠𝐻𝐸𝐶= 𝑥+ 𝑦，
∴∠𝑂𝐹𝐶+∠𝐹𝐶𝐺
∠𝑂𝐸𝐶
= 2𝑥+𝑦+𝑦
𝑥+𝑦
= 2(𝑥+𝑦)
𝑥+𝑦
= 2，
∴
∠𝑂𝐹𝐶+∠𝐹𝐶𝐺
∠𝑂𝐸𝐶
的值是定值，定值为2．
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【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，图形的平移，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是
解题的关键．
➢复习提升
1．大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只
大雁F，G 的坐标为𝐹(−1,4),𝐺(−1,−2)，那么头雁A 的坐标是（ ）
A．(3,1)
B．(4,1)
C．(4,2)
D．(5,1)
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，由根据F，G 的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案，
掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：F，G 的坐标为𝐹(−1,4),𝐺(−1,−2)，根据F，G 的坐标建立平面直角坐标系，如图：
由图可得：点A 的坐标为(5,1)，
故选：D．
2．下列结论正确的是（ ）
A．点𝑃(−2024,2025)在第四象限
B．点𝑀在第二象限，它到𝑥轴，𝑦轴的距离分别为4，3，则点𝑀的坐标为(−4,3)
C．平面直角坐标系中，点𝑃(𝑥,𝑦)位于坐标轴上，那么𝑥𝑦= 0
D．已知点𝑃(−4,6)，𝑄(−3,6)，则直线𝑃𝑄∥𝑦轴
【答案】C
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
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【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知平面直角坐标系中点的坐标代表的意义是
解题的关键．根据平面直角坐标系中点的坐标特征分别判断即可．
【详解】解：A、点𝑃(−2024,2025)在第二象限，故此选项错误，不符合题意；
B、点𝑀在第二象限，它到𝑥轴，𝑦轴的距离分别为4，3， 则点𝑀的坐标为(−3,4)，故此选项错误，不符合
题意；
C、平面直角坐标系中，点𝑃(𝑥,𝑦)位于坐标轴上，那么𝑥𝑦= 0，故此选项正确，符合题意；
D、已知点𝑃(−4,6)，𝑄(−3,6)，则直线𝑃𝑄∥𝑥轴，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶内部有一点𝑀(𝑚,𝑛)，若将△𝐴𝐵𝐶先向右平移，再向下平移，平移
后点M 对应点𝑀′的坐标是(𝑚+ 2,𝑛−3)，已知点A 的坐标是(−3,2)，则平移后点𝐴′的坐标是（ ）
A．(−3,2)
B．(−2,−3)
C．(−1,−1)
D．(−5,−2)
【答案】C
【分析】本题考查图形的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键，根据点𝑀(𝑚,𝑛)，先向右平移，再向下平
移，得到点𝑀′的坐标是(𝑚+ 2,𝑛−3)，可得平移规律，再由平移规律即可求得点𝐴′的坐标．
【详解】解：∵点𝑀(𝑚,𝑛)，先向右平移，再向下平移，得到点𝑀′的坐标是(𝑚+ 2,𝑛−3)，
∴平移规律为：先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位，
∵点A 的坐标(−3,2)，
∴点𝐴′的坐标(−1,−1)，
故选：C．
4．如图，已知𝐴, 𝐵两点的坐标分别为𝐴(−4,2),𝐵(2,−1)，将线段𝐴𝐵平移得到线段𝐷𝐶，若点𝐴的对应点是𝐷
(−1,4)，则点𝐵的对应点𝐶的坐标是（ ）
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 64 页 共 72 页
A．（5，2）
B．（5，1）
C．（4，1）
D．（4，2）
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下
减.
根据点𝐴到点𝐷的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案.
【详解】解：点𝐴(−4,2)平移后对应点𝐷(−1,4)，
∴点𝐴的平移规律是先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，
点𝐵(2,−1)的对应点𝐶的坐标为(2 + 3,−1 + 2)，
即𝐶(5,1)，
故选：B.
5．如图，在平面直角坐标系中，将△𝐴𝐵𝑂绕点A 顺时针旋转到△𝐴𝐵1𝐶1的位置，点B、O 分别落在点𝐵1、
𝐶1处，点𝐵1在x 轴上，再将△𝐴𝐵1𝐶1绕点𝐵1顺时针旋转到△𝐴1𝐵1𝐶2的位置，点𝐶2在x 轴上，将△𝐴1𝐵1𝐶2
绕点𝐶2顺时针旋转到△𝐴2𝐵2𝐶2的位置，点𝐴2在x 轴上，依次进行下去…，若点𝑂𝐴= 1.5，𝑂𝐵= 2，
𝐴𝐵= 2.5，则点𝐵2025的坐标为（ ）
A．(6070,0)
B．(6072,2)
C．(6076,0)
D．(6078,2)
【答案】C
【分析】此题考查了点的坐标规律变换，结合图形求出𝐵1，𝐵2，𝐵3，𝐵4，…，发现当下标为偶数时，其横
坐标是下标的3 倍，根据这个规律可以求得𝐵2025的坐标．
【详解】解：∵𝑂𝐴= 1.5，𝑂𝐵= 2，𝐴𝐵= 2.5，
∴𝑂𝐵1 = 𝑂𝐴+ 𝐴𝐵1 = 𝑂𝐴+ 𝐴𝐵= 1.5 + 2.5 = 4，
∴𝐵1(4,0)，
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第 65 页 共 72 页
同理可求：𝐵2(6,2)，𝐵3(10,0)，𝐵4(12,2)，𝐵5(16,0)，…，
∴当下标为偶数时，其横坐标是下标的3 倍，纵坐标为2，当下标为奇数时，横坐标比前一个下标为偶数的
横坐标大4，纵坐标为0，
∴𝐵2024的横坐标为：2024 × 3 = 6072，
∴𝐵2025的坐标为(6076,0)．
故选C．
6．对于平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中的任意一点𝑀(𝑥,𝑦)，给出如下定义：记𝑎= 𝑥+ 𝑦，𝑏= −𝑥+ 𝑦，将点𝑃(𝑎,𝑏)
与点𝑄(𝑏,𝑎)称为点M 的一对卫星点．例如，点𝑃(1,−5)与点𝑄(−5,1)为点𝑀(3,−2)的一对卫星点．将点𝐶
(2𝑚−1,−𝑚+ 1)(𝑚> 0)向右平移m 个单位长度，向下移动m 个单位，得到点𝐶′，若点𝐶′的一对卫星点重
合，则𝑚=
．
【答案】
1
3
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，𝐶′(3𝑚−1,−2𝑚+ 1)，
此时，𝑎= 3𝑚−1 + (−2𝑚+ 1) = 𝑚，𝑏= −(3𝑚−1) + (−2𝑚+ 1) = −5𝑚+ 2，
则𝐶′点的卫星点为(𝑚,−5𝑚+ 2)和(−5𝑚+ 2,𝑚)，
∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等），
∴𝑚= −5𝑚+ 2，
解得，𝑚=
1
3，
故答案为：
1
3．
7．如图，在平面直角坐标系中，三角形𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(−3,2),𝐵(1,1)，𝐶(−1,−2)，将三角形𝐴𝐵𝐶
平移，使点𝐴平移到点𝐴1(1,−1)处，得到三角形𝐴1𝐵1𝐶1，其中点𝐵,𝐶的对应点分别为𝐵1,𝐶1．
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
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(1)画出三角形𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐵1,𝐶1的坐标；
(2)若线段𝐴𝐵上一点𝑀的坐标为(𝑎,𝑏)，写出平移后点𝑀的对应点𝑀1的坐标；
(3)若点𝑃在坐标轴上，三角形𝐴𝑂𝑃的面积为4，求点𝑃的坐标．
【答案】(1)见解析，𝐵1(5,−2),𝐶1(3,−5)
(2)𝑀1(𝑎+ 4,𝑏−3)
(3)点𝑃的坐标为𝑃(−4,0)或𝑃(4,0)或𝑃0,−8
3 或𝑃0, 8
3
【分析】本题考查了坐标与图形变换——平移，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是概念．
（1）根据点𝐴的平移方式，确定点𝐵,𝐶的对应点，再依次连接，并写出坐标即可；
（2）根据线段𝐴𝐵的平移方式写出𝑀1的坐标即可；
（3）分两种情况求解：当点𝑃在𝑥轴上时，当点𝑃在𝑦轴上时，根据三角形面积公式分别求出𝑂𝑃的长，即可
求解．
【详解】（1）解：如图，△𝐴1𝐵1𝐶1为所求作的图形，𝐵1(5,−2),𝐶1(3,−5)；
（2）解：由题意可知，线段𝐴𝐵的平移方式为先向右平移4 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 67 页 共 72 页
若线段𝐴𝐵上一点𝑀的坐标为(𝑎,𝑏)，则平移后点𝑀的对应点𝑀1的坐标为𝑀1(𝑎+ 4,𝑏−3)；
（3）解：𝐴(−3,2)到𝑥轴的距离为2，到𝑦轴的距离为3，且𝑆△𝐴𝑂𝑃= 4，
当点𝑃在𝑥轴上时，𝑆△𝐴𝑂𝑃= 1
2|𝑂𝑃| × 2 = 4，
解得：|𝑂𝑃| = 4，
则𝑃(−4,0)或𝑃(4,0)，
当点𝑃在𝑦轴上时，𝑆△𝐴𝑂𝑃= 1
2|𝑂𝑃| × 3 = 4
解得：|𝑂𝑃| =
8
3，
则𝑃0,−8
3 或𝑃0, 8
3 ．
综上可知，点𝑃的坐标为𝑃(−4,0)或𝑃(4,0)或𝑃0,−8
3 或𝑃0, 8
3 ．
8．已知点𝑃(2𝑎−2,𝑎+ 5)，解答下列各题：
(1)点𝑃在𝑥轴上，直接写出点𝑃的坐标为_______；
(2)点𝑄的坐标为(4,5)，直线𝑃𝑄∥𝑦轴，直接写出点𝑃的坐标为_______；
(3)若点𝑃在第二象限，且它到𝑥轴的距离与𝑦轴的距离相等，求𝑎2025 +2025𝑎的值．
【分析】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形．
（1）根据在𝑥轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答；
（2）根据直线𝑃𝑄∥𝑦轴，得出点𝑃和点𝑄的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答；
（3）根据点𝑃在第二象限，且它到𝑥轴、𝑦轴的距离相等，得出点𝑃的纵坐标和横坐标互为相反数，即
2𝑎−2 + 𝑎+ 5 = 0，解出𝑎= −1，再把𝑎= −1代入求解即可作答．
【详解】（1）解：∵点P 在x 轴上，
∴𝑎+ 5 = 0，
∴𝑎= −5，
∴2𝑎−2 = −12，
∴点P 的坐标为(−12,0)；
（2）解：点Q 的坐标为(4,5)，直线𝑃𝑄∥𝑦轴，
∴2𝑎−2 = 4，
∴𝑎= 3，
∴𝑎+ 5 = 8；
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专题03 平面直角坐标系（解析版）
第 68 页 共 72 页
∴𝑃(4,8)；
（3）解：∵点P 在第二象限，且它到x 轴的距离与y 轴的距离相等，
∴点𝑃的纵坐标和横坐标互为相反数，
∴2𝑎−2 + 𝑎+ 5 = 0，
∴𝑎= −1，
∴𝑎2025 +2025𝑎= (−1)2025 +2025 × (−1) = −2026．
9．如图，在平面直角坐标系中，点𝐴在𝑦轴上，坐标为(0,5)，将线段𝑂𝐴沿𝑥轴正方向平移3 个单位长度得到
线段𝐶𝐵，点𝐷是线段𝐵𝐶上的一个动点（不与点𝐵、𝐶重合），𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，𝑂𝐸平分∠𝐶𝑂𝐷，𝐴𝐸与𝑂𝐸交于点
𝐸．
(1)线段𝐴𝐵与𝑂𝐶之间的位置关系和数量关系分别是______；点𝐵的坐标为______；
(2)若三角形𝐴𝐵𝐷的面积为6，求点𝐷的坐标；
(3)若∠𝐴𝐷𝑂= 70°，则∠𝐴𝐸𝑂= _____度；
(4)当点𝐷（不与点𝐵、𝐶重合）在线段𝐵𝐶上运动时，猜想∠𝐴𝐸𝑂与∠𝐴𝐷𝑂有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、平行线的性质与判定，结合图形添加平行线求出角度
之间的关系是解题的关键．
（1）根据平移的性质得到𝐴𝐵= 𝑂𝐶= 3，𝐴𝐵∥𝑂𝐶，结合点𝐴的坐标即可得出点𝐵的坐标；
（2）根据平移的性质得到∠𝐴𝐵𝐷= 90°，再利用三角形的面积公式求出𝐵𝐷的长，结合点𝐵的坐标即可得出
点𝐷的坐标；
（3）过点𝐷作𝐷𝐹∥𝑂𝐶，过点𝐸作𝐸𝐺∥𝑂𝐶，利用平行线的性质与判定得到∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐴𝐷𝑂，
∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐸= ∠𝐴𝐸𝑂，根据角平分线的定义得到∠𝐵𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐶𝑂𝐸= 1
2∠𝐶𝑂𝐷，结合∠𝐴𝐷𝑂= 70°，
即可求出∠𝐴𝐸𝑂的度数；
（4）由（3）中的结论得∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐴𝐷𝑂，∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐸= ∠𝐴𝐸𝑂，∠𝐵𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐶𝑂𝐸= 1
2
∠𝐶𝑂𝐷，再根据角度之间的等量代换即可得出答案．
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【详解】（1）解：∵线段𝑂𝐴沿𝑥轴正方向平移3 个单位长度得到线段𝐶𝐵，
∴𝐴𝐵= 𝑂𝐶= 3，𝐴𝐵∥𝑂𝐶，
又∵𝐴(0,5)，
∴𝐵(3,5)，
∴线段𝐴𝐵与𝑂𝐶之间的位置关系和数量关系分别是𝐴𝐵= 𝑂𝐶、𝐴𝐵∥𝑂𝐶，点𝐵的坐标为(3,5)．
故答案为：𝐴𝐵= 𝑂𝐶、𝐴𝐵∥𝑂𝐶；(3,5)．
（2）解：由平移的性质得，𝐴𝑂∥𝐵𝐶，
∴∠𝑂𝐶𝐵= 180°−∠𝐴𝑂𝐶= 180°−90° = 90°，
∵𝐴𝐵∥𝑂𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 180°−∠𝑂𝐶𝐵= 180°−90° = 90°，
∵三角形𝐴𝐵𝐷的面积为6，
∴1
2𝐴𝐵⋅𝐵𝐷= 1
2 × 3 × 𝐵𝐷= 6，
解得：𝐵𝐷= 4，
又∵𝐵(3,5)，点𝐷在线段𝐵𝐶上，
∴点𝐷的坐标为(3,1)．
（3）解：如图，过点𝐷作𝐷𝐹∥𝑂𝐶，过点𝐸作𝐸𝐺∥𝑂𝐶，
∵𝐷𝐹∥𝑂𝐶，
∴∠𝐹𝐷𝑂= ∠𝐶𝑂𝐷，
∵𝐷𝐹∥𝑂𝐶，𝐴𝐵∥𝑂𝐶，
∴𝐷𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐹𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐹𝐷𝐴+ ∠𝐹𝐷𝑂= ∠𝐴𝐷𝑂，
同理可得，∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐸= ∠𝐴𝐸𝑂，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，𝑂𝐸平分∠𝐶𝑂𝐷，
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∴∠𝐵𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐶𝑂𝐸= 1
2∠𝐶𝑂𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐸
= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐷+ 1
2 ∠𝐶𝑂𝐷
= 1
2 (∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐷)
= 1
2 ∠𝐴𝐷𝑂
= 1
2 × 70°
= 35°，
∴∠𝐴𝐸𝑂= 35度．
故答案为：35．
（4）解：∠𝐴𝐸𝑂= 1
2∠𝐴𝐷𝑂，理由如下：
由（3）得，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐷= ∠𝐴𝐷𝑂，∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐸= ∠𝐴𝐸𝑂，∠𝐵𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐶𝑂𝐸= 1
2∠𝐶𝑂𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐸
= 1
2 ∠𝐵𝐴𝐷+ 1
2 ∠𝐶𝑂𝐷
= 1
2 (∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝑂𝐷)
= 1
2∠𝐴𝐷𝑂，
∴∠𝐴𝐸𝑂= 1
2∠𝐴𝐷𝑂．
10．在平面直角坐标系中，已知点点𝐴(𝑎,0)，𝐵(𝑏,6)，𝐶(5,0)，且满足|𝑎+ 3| + (𝑎−𝑏+ 6)2 = 0，线段𝐴𝐵交
𝑦轴于点𝐹(0,2)，点𝐷是𝑦轴正半轴上的一点．
(1)如图1，求出点𝐴,𝐵的坐标；
(2)如图2，若𝐷𝐵∥𝐴𝐶，且𝐴𝑀,𝐷𝑀分别平分∠𝐶𝐴𝐵,∠𝑂𝐷𝐵，求
2∠𝐷𝑀𝐴
∠𝐵𝐷𝑀+∠𝐶𝐴𝑀的值；
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(3)如图3，坐标轴上是否存在一点𝑃，使得△𝐴𝐵𝑃的面积和△𝐴𝐵𝐶的面积相等？若存在，求出点𝑃坐标；若
不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质可求出𝑎和𝑏，即可得到点𝐴和𝐵的坐标；
（2）作𝑀𝑁∥𝐷𝐵，由𝐷𝐵∥𝐴𝐶知𝑀𝑁∥𝐴𝐶，从而得出∠𝐷𝑀𝑁= ∠𝐵𝐷𝑀、∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝑀𝐴𝐶，进而得
∠𝐷𝑀𝐴= ∠𝐷𝑀𝑁+ ∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐵𝐷𝑀+ ∠𝐶𝐴𝑀，代入可得答案；
（3）先计算△𝐴𝐵𝐶的面积，再分点𝑃在𝑦轴上和在𝑥轴上讨论．当𝑃点在𝑦轴上时，设𝑃(0,𝑦)，利用𝑆△𝐴𝐵𝑃= 𝑆△𝐴𝑃𝐹
+ 𝑆△𝐵𝑃𝐹，可解得𝑦的值，可求得𝑃点坐标；当𝑃点在𝑥轴上时，设𝑃(𝑥,0)，根据三角形面积公式得，同理可得
到关于𝑥的方程，可求得𝑥的值，可求得𝑃点坐标．
【详解】（1）解：∵ |𝑎+ 3| + (𝑎−𝑏+ 6)2 = 0，|𝑎+ 3| ≥0，(𝑎−𝑏+ 6)2 ≥0，
∴𝑎+ 3 = 0，𝑎−𝑏+ 6 = 0，
∴𝑎= −3，𝑏= 3，
∴𝐴(−3,0)，𝐵(3,6)；
（2）解：如图2，过点𝑀作𝑀𝑁∥𝐷𝐵，交𝑦轴于点𝑁，
∴∠𝐷𝑀𝑁= ∠𝐵𝐷𝑀，
又∵𝐷𝐵∥𝐴𝐶，
∴𝑀𝑁∥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝑀𝐴𝐶，
∴ ∠𝐷𝑀𝐴= ∠𝐷𝑀𝑁+ ∠𝐴𝑀𝑁= ∠𝐵𝐷𝑀+ ∠𝐶𝐴𝑀，
∴
2∠𝐷𝑀𝐴
∠𝐵𝐷𝑀+∠𝐶𝐴𝑀= 2∠𝐷𝑀𝐴
∠𝐷𝑀𝐴= 2；
（3）解：存在．
∵𝐴(−3,0)，𝐵(3,6)，𝐶(5,0)，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积= 1
2 × 8 × 6 = 24，
当𝑃点在𝑦轴上时，设𝑃(0,𝑦)，
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∵𝑆△𝐴𝐵𝑃= 𝑆△𝐴𝑃𝐹+ 𝑆△𝐵𝑃𝐹，𝐹(0,2)，
∴
1
2 × |𝑦−2| × 3 + 1
2 × |𝑦−2| × 3 = 24，
解得𝑦= 10或𝑦= −6，
∴此时𝑃点坐标为(0,10)或(0,−6)；
当𝑃点在𝑥轴上时，设𝑃(𝑥,0)，
则
1
2 × |𝑥+ 3| × 6 = 24，
解得𝑥= 5或𝑥= −11，
∴此时𝑃点坐标为(5,0)或(−11,0)，
综上所述，存在满足条件的点𝑃，其坐标为(0,10)或(0,−6)或(5,0)或(−11,0)．
【点睛】本题为三角形的综合应用，考查了非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的面
积、方程思想及分类讨论思想等知识．熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
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