专题01 相交线与平行线（学生版）
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➢思维导图串知识
➢重点速记
【知识点1 两条直线相交】
【邻补角的概念与性质】
1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线.
2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.
3.性质：邻补角互补.
【对顶角的概念与性质】
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1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
2.性质：对顶角相等.
【典例1】如图直线𝐴𝐵,𝐶𝐷,𝐸𝐹相交于点𝑂，是∠𝐴𝑂𝐶的邻补角是
，∠𝐷𝑂𝐴的对顶角是
，若
∠𝐴𝑂𝐶= 50°，则∠𝐵𝑂𝐷=
度，∠𝐶𝑂𝐵=
度．
【知识点2 两条直线垂直】
【垂直的定义】
1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线
叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1 所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
【垂线的画法及性质】
1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线.
一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合
二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点
三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.
2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【典例2】已知三角形𝐴𝐵𝐶，用直角三角板过点A 作直线𝐵𝐶的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【垂线段最短】
1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段.
2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短.
【典例3】如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，𝑃为直线𝐴𝐵上一动点，连接𝑃𝐶，则线段𝑃𝐶的
最小值是（ ）
A．4.5
B．4.8
C．5
D．6
【点到直线的距离】
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【典例4】在下列图形中，线段𝑃𝑄的长表示点𝑃到直线𝑂𝐵的距离的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识点3 两条直线被第三条直线所截】
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）
的同旁，则这样一对角叫做同位角．
2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角．
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【典例5】如图所示的八个角中，同位角有
对，内错角有
对，同旁内角有
对．
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【知识点4 平行线的概念】
【平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
【平行线的基本事实及其推论】
（1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【典例6】已知三条不同的直线a，b，c 在同一平面内，下列四个判断：①如果𝑎∥𝑏，𝑎⊥𝑐，那么𝑏⊥𝑐；②
如果𝑏∥𝑐，𝑐∥𝑎，那么𝑏∥𝑐；③如果𝑏⊥𝑎，𝑐⊥𝑎，那么𝑏⊥𝑐；④如果𝑏⊥𝑎，𝑐⊥𝑎，那么𝑏∥𝑐．其中正确的
是
．（填写所有正确的序号）
【知识点5 平行线的判定】
定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，
两直线平行．
定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两
直线平行．
定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互
补，两直线平行．
注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【典例7】如图，下列条件：①∠1 = ∠2；②∠3 = ∠4；③∠𝐵= ∠5；④∠1 + ∠𝐴𝐶𝐸= 180°；
⑤∠5 = ∠𝐷．其中，能判定𝐴𝐷∥𝐵𝐸的条件有（ ）
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A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【知识点6 平行线的性质】
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
【典例8】如图，𝑂𝑃∥𝑄𝑅∥𝑆𝑇，若∠2 = 100°，∠3 = 120°，则∠1 =
．
【知识点7 定义、命题、定理】
命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．
命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．
命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写
成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 .
举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.
像这样的例子叫作反例.
【命题与证明综合应用】
（1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行
于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理.
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如本
章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明.
（3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经
过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然
后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方
法.
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【典例9】命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角．
(1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式；
(2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．
【知识点8 平移】
【平移定义】
1.定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移．
2.平移的条件：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离.
【平移的性质】
（1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同.
（2）平移后，新图形和原图形对应线段平行(或共线)且相等；对应角相等；对应点所连线段平行(或共线)且
相等.
【平移作图】
（1）定：确定平移的方向和距离；
（2）找：找出原图形中的关键点；
（3）移：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段得到关键点平移后的对应点；
（4）连：按原图形顺序依次连接各个对应点得到的图形即为平移后的图形.
【典例10】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到点C 的方向平
移到△𝐷𝐸𝐹的位置，𝐴𝐵= 10，𝐷𝑂= 4，若平移距离为7，则阴影部分面积为
．
➢核心考点举一反三
考点一：相交线中的角度计算
例1．如图所示，直线𝐴𝐵,𝐶𝐷相交于点𝑂，𝐸𝑂⊥𝐴𝐵，垂足为𝑂，已知∠𝐴𝑂𝐶:∠𝐸𝑂𝐶= 1:4．
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(1)若𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐸，求∠𝐶𝑂𝐹的度数；
(2)若∠𝐴𝑂𝐹的度数比∠𝐸𝑂𝐹的度数的3倍多54°，试判断𝑂𝐶与𝑂𝐹垂直吗，并说明理由．
【变式1-1】如图，直线𝐴𝐵、𝐷𝐹相交于点O，𝑂𝐶⊥𝐷𝐹，𝑂𝐸平分∠𝐵𝑂𝐶．
(1)若∠𝐴𝑂𝐶= 40°，求∠𝐷𝑂𝐸的度数；
(2)若∠𝐴𝑂𝐶= 𝛼．
①用含𝛼的代数式分别表示∠𝐴𝑂𝐹和∠𝐷𝑂𝐸；
②求∠𝐷𝑂𝐸+ 1
2∠𝐴𝑂𝐹的度数．
【变式1-2】如图，直线𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐶的平分线，𝑂𝐸⊥𝐴𝐵，𝑂𝐹⊥𝐶𝐷．
(1)如果∠𝐵𝑂𝐶= 42∘，求∠𝐴𝑂𝐹的度数；
(2)设∠𝐵𝑂𝐶= 𝛼，求证：∠𝐸𝑂𝑃= 1
2𝛼．
【变式1-3】若直线𝐴𝐵和直线𝐸𝐷相交于点𝑂，𝑂𝐶为∠𝐵𝑂𝐸内部的射线，𝑂𝐸平分∠𝐴𝑂𝐶，𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐶．
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(1)若∠𝐵𝑂𝐷= 58°，求∠𝐴𝑂𝐹和∠𝐸𝑂𝐹的度数？
(2)若∠𝐵𝑂𝐷是任意角𝛼(0° < 𝛼< 90°)，求∠𝐸𝑂𝐹的度数？
(3)请猜想，∠𝐸𝑂𝐹度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠𝐸𝑂𝐹度数是多少？
考点二：填写推理依据，完善证明过程
例2.完成下面的推理填空：
如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷,∠1 = ∠2，∠3=∠4，求证：∠𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸．
证明：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠2 = ∠𝐵𝐴𝐸（_________）．
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠3 + _________，
∴∠2 = ∠3 + _________，
∵∠3 = ∠4，
∴∠2 = ∠4 + ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵∠1 = ∠2，
∴∠𝐶𝐴𝐷= _________，
∴𝐴𝐷 ∥_________（_________）．
∴∠𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸．（_________）．
【变式1-1】如图，∠1 + ∠2 = 180°,∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴,∠𝐵𝐸𝐷= 60°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数．
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解：∵∠1 + ∠2 = 180°（已知）
∠2 + ∠𝐵𝐷𝐶= 180°（
）
∴∠1 = ∠𝐵𝐷𝐶（
）
∴𝐴𝐵∥
（
）
∴∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°（
）
又∵∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴（已知）
∴∠𝐴+ _____ = 180°（等量代换）
∴𝐴𝐶∥𝐷𝐸（
）
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐸𝐷= 60°（
）
【变式1-2】将下面的说理过程补充完整．
已知：如图，∠1 = ∠𝐶,𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为𝐹,∠2 + ∠3 = 180°．
（1）试说明∠2 = ∠4；
（2）试求出∠𝐴𝐷𝐶的度数．
解：（1）∵∠1 = ∠𝐶（已知），
∴𝐷𝑃∥______________（______________）．
∴∠2 = ∠4（______________）．
（2）∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶（已知），
∴∠𝐸𝐹𝐶= 90°（垂直的定义）．
∵∠2 = ∠4（已证），∠2 + ∠3 = 180°（已知），
∴∠3 + ∠4 = 180°（______________）．
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∴𝐴𝐷∥______________（______________）．
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠______________．
∴∠𝐴𝐷𝐶的度数为______________．
【变式1-3】把下列推理过程补充完整：
如图，已知𝑀𝑁⊥𝐵𝐶交BC 于点M，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶交BC 于点E，∠1 = ∠𝐶，∠2 = ∠3，求证：𝐴𝐵∥𝐸𝐹．
证明：∵𝑀𝑁⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝑀𝑁= 90°，∠𝐶𝐸𝐷= 90°（ ① ）．
∴∠𝐶𝑀𝑁= ∠𝐶𝐸𝐷（等量代换）．
∴𝑀𝑁∥𝐸𝐷（ ② ）．
∴∠3 = ③ （两直线平行，同位角相等）．
∵∠2 = ∠3，
∴∠2 = ∠𝐶𝐷𝐸（等量代换）．
∴𝐸𝐹∥④（内错角相等，两直线平行）．
∵∠1 = ∠𝐶，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷（内错角相等，两直线平行）．
∴𝐴𝐵∥𝐸𝐹（ ⑤ ）．
考点三：平行线的判定与性质证明
例3.如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶边上的点，点𝐹，𝐺在𝐴𝐶边上，连接𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐺𝐸，
已知∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐷𝐸𝐵，∠𝐷𝐹𝐶+ ∠𝐶= 180°．
(1)求证：𝐷𝐸∥𝐴𝐶；
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(2)若∠𝐶= 38°，𝐸𝐺平分∠𝐷𝐸𝐶，求∠𝐸𝐺𝐶的度数．
【变式1-1】如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，点𝐷,𝐹在边𝐵𝐶上，点𝐸在边𝐴𝐵上，点𝐺在边𝐴𝐶上，𝐸𝐹与𝐺𝐷的延长线交
于点𝐻，∠1 = ∠𝐵，∠2 + ∠3 = 180°．
(1)判断𝐸𝐻与𝐴𝐷的位置关系，并说明理由；
(2)若∠𝐷𝐺𝐶= 58°，且∠𝐻= ∠4 + 10°，求∠𝐻的度数．
【变式1-2】已知：如图，点E 在𝐵𝐶上，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，垂足分别为D、F，点M、G 在𝐴𝐵上，
∠𝐴𝑀𝐷= ∠𝐴𝐺𝐹，∠1 = ∠2．求证：∠𝐷𝑀𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°．
【变式1-3】如图，已知∠1 + ∠𝐵𝐷𝐸= 180°，∠2 + ∠4 = 180°．
(1)证明：𝐴𝐷∥𝐸𝐹；
(2)若∠3 = 90°，
①∠4 = 140°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数；
②求证：∠𝐹𝐸𝐷−∠𝐵𝐴𝐶= 90°
考点四：平行线中的拐点问题
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例4. 如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐶𝐷𝑃= 120°，∠𝑃= 3∠𝐴，则∠𝑃= ．
【变式1-1】如图，已知：𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= 𝑥°，∠𝐶= 𝑦°，∠𝐸= 𝑧°．则x，y，z 之间的数量关系是（ ）
A．𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 180
B．𝑥+ 𝑦−𝑧= 180
C．𝑥+ 𝑧= 𝑦
D．𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 360
【变式1-2】如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，
G，C，D，E，F 顺次首尾连接．若B，G，C 三点共线，𝐴𝐹恰好经过点G，且𝐴𝐹∥𝐷𝐸，
∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷+ 10°，∠𝐷= 105°，则∠𝐵−∠𝐶𝐺𝐹为（ ）
A．115°
B．95°
C．90°
D．85°
【变式1-3】【问题初探】
（1）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐸在𝐴𝐵，𝐶𝐷之间且点𝐸在点𝐴右侧，求证：
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸；
【类比探究】
（2）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图2，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐸在𝐴𝐵，𝐶𝐷之间且点𝐸在点𝐴左侧，直接写
出∠𝐴𝐸𝐶，∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐷𝐶𝐸之间的数量关系；
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【学以致用】
（3）如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐹𝐷⊥𝐶𝐷，测量得知∠𝐴𝐵𝐸= 75°，
∠𝐷𝐹𝐸= 115°，求∠𝐵𝐸𝐹的度数．
考点五：平行线中多结论问题
例5. 如图，在四边形𝐴𝐵𝐷𝐶中，𝐴𝐵 ∥𝐶𝐷，点𝐸在𝐶𝐴的延长线上，连接𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝐹,∠𝐸𝐹𝐴= 55°，
点𝑃,𝑄在𝐶𝐷上，连接𝐹𝑃，𝐹𝑄，已知∠𝑃𝐹𝐷= 10°，∠𝐹𝑄𝑃= ∠𝑄𝐹𝑃,∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹；下列结论：①∠𝐹𝐸𝐴与∠𝐸𝐶𝐷
互为同位角；②𝐶𝐸 ∥𝐵𝐷；③𝐹𝑄平分∠𝐴𝐹𝑃；④∠𝐹𝑄𝐷= 50°．其中所有正确结论的序号为
．
【变式1-1】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐸，𝐹在直线𝐴𝐵上（𝐹在𝐸的右侧），点𝑄在直线𝐶𝐷上，𝐸𝐻⊥𝐻𝑄，𝐼为线段𝐸𝐻
上的一点，连接𝐹𝑄，𝐼𝑄，∠𝐴𝐹𝑄与∠𝐻𝑄𝐹的角平分线交于点𝐺，且点𝐺在直线𝐴𝐵，𝐶𝐷之间，下列结论：①
∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐶𝑄𝐻= 90°；②∠𝐴𝐸𝐻+ 2∠𝐹𝐺𝑄= 270°；③若∠𝐼𝑄𝐻= 2∠𝐶𝑄𝐻，则3∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐼𝑄𝐶= 270°；④
若∠𝐼𝑄𝐻= 𝑛∠𝐶𝑄𝐻，则∠𝐴𝐸𝐻+ 1
𝑛∠𝐼𝑄𝐶= 90°．其中正确的结论是
．
【变式1-2】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，F 为𝐴𝐵上一点，𝐹𝐷∥𝐸𝐻，且𝐹𝐸平分∠𝐴𝐹𝐺，过点F 作𝐹𝐺⊥𝐸𝐻于点G，且
∠𝐴𝐹𝐺= 2∠𝐷，则下列结论：①∠𝐷= 30°；②𝐹𝐻平分∠𝐺𝐹𝐷；③∠𝐻𝐹𝐷= ∠𝐷𝐹𝐵；
④∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐶𝐻𝐸= ∠𝐹𝐸𝐻；⑤2∠𝐷+ ∠𝐸𝐻𝐶= 90°，其中正确的是
填序号）．
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【变式1-3】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐸为𝐴𝐵上一点，且𝐸𝐹⊥𝐶𝐷垂足为𝐹，∠𝐶𝐸𝐷= 90°，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐸𝐺，且
∠𝐶𝐺𝐸= 50°，则下列结论：①∠𝐴𝐸𝐶= 75°；②𝐷𝐸平分∠𝐺𝐸𝐵；③∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐺𝐸𝐷；
④∠𝐹𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°；其中正确的有 ．（请填写序号）
考点六：平行线中的判定与性质综合探究题
例6. 综合与探究
如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝑃，𝑄分别在直线𝐴𝐵，𝐶𝐷上．
(1)如图1，𝐸是直线𝐴𝐵，𝐶𝐷之间一点，连接𝑃𝐸，𝑄𝐸．试说明∠𝑃𝐸𝑄= ∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐶𝑄𝐸．
(2)如图2，𝐹是直线𝐴𝐵，𝐶𝐷之间一点，连接𝑃𝐹，𝑄𝐹．若∠𝐴𝑃𝐹= 11°，∠𝐷𝑄𝐹= 72°，求∠𝑃𝐹𝑄的度数．
(3)如图3，𝑃𝐹平分∠𝐴𝑃𝐸，𝑄𝐹平分∠𝐷𝑄𝐸，试探究∠𝑃𝐸𝑄与∠𝑃𝐹𝑄之间的数量关系，并说明理由．
【变式1-1】【探究结论】如图1，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐺为平行线内一点，连接𝐵𝐺、𝐷𝐺得到∠𝐵𝐺𝐷，经推理证明可得
∠𝐵𝐺𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐷．（不要求证明）
【探究应用】利用以上结论解决下面问题：
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(1)如图2，∠𝐵𝐸𝐹和∠𝐸𝐹𝐷的平分线交于点𝐺，∠𝐺的度数是________；
(2)如图3，𝐸𝐼和𝐸𝐾为∠𝐵𝐸𝐹内满足∠1 = ∠2的两条线，分别与∠𝐸𝐹𝐷的平分线交于点𝐼和𝐾，试说明
∠𝐹𝐼𝐸+ ∠𝐾= 180°；
(3)如图4，点𝑄为线段𝐸𝐹（端点除外）上的一个动点，过点𝑄作𝐸𝐹的垂线交𝐴𝐵于𝑅，交𝐶𝐷于𝐽，∠𝐴𝐸𝐹、∠𝐶𝐽𝑅
的平分线相交于𝑃，则∠𝐸𝑃𝐽= ________∘．
【变式1-2】已知直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，将一个含60°角的直角三板𝑃𝑀𝑁(∠𝑃= 90°,∠𝑃𝑀𝑁= 60°)按如图1 所示位置
摆放，使𝑁,𝑀分别在𝐴𝐵,𝐶𝐷上，P 在𝐴𝐵,𝐶𝐷之间，设∠𝑃𝑀𝐷= 𝛼(0° < 𝛼< 90°)．
(1)比较：∠𝑃𝑁𝐵+ ∠𝑃𝑀𝐷_______∠𝑃（填“>”“<”或“=”）；
(2)如图2，分别画∠𝐵𝑁𝑀,∠𝑃𝑀𝐷的平分线，交于点Q，求∠𝑁𝑄𝑀的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，若𝑁𝐸平分∠𝐴𝑁𝑃，交𝐶𝐷于点E，过点N 作𝑁𝐹∥𝑀𝑄，交𝐶𝐷于点F．请在图3
中补全图形，并判断∠𝐸𝑁𝐹的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．
【变式1-3】已知直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝑀、𝑁分别是直线𝐴𝐵和𝐶𝐷上的两点，点𝐺为直线𝐴𝐵和𝐶𝐷之间的一点，连
接𝑀𝐺、𝑁𝐺．
(1)如图1，若∠𝐵𝑀𝐺= 𝛼，∠𝐷𝑁𝐺= 𝛽，试说明∠𝐺= 𝛼+ 𝛽；
(2)如图2，在（1）的结论下，点𝑃是直线𝐶𝐷下方一点，满足𝑀𝐺平分∠𝐵𝑀𝑃，𝑁𝐷平分∠𝐺𝑁𝑃．若
∠𝐵𝑀𝐺= 35°，求∠𝐺+ ∠𝑃的度数；
(3)如图3，点𝑃是直线𝐴𝐵上方一点，连结𝑃𝑀、𝑃𝑁，若点𝐺为线段𝑁𝑄上一点，𝐺𝑀的延长线为∠𝐴𝑀𝑃的三等
分线，𝑁𝑃平分∠𝐶𝑁𝐺，∠𝑀𝐺𝑁= 100°−2∠𝑃，则∠𝐴𝑀𝑃= _________．
考点七：：平行线中的动态旋转问题
例7. 如图1，点𝑂为直线𝐴𝐵上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点𝑂处，直角边
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𝑂𝐷，𝑂𝐸分别在射线𝑂𝐴，𝑂𝐵上，且∠𝐶𝑂𝐷= 60°，∠𝐸𝑂𝐹= 45°．
(1)将图1 中的三角板𝑂𝐸𝐹绕点𝑂按逆时针方向旋转至图2 的位置，使得𝑂𝐹落在射线𝑂𝐵上，此时三角板𝑂𝐸𝐹
旋转的角度为___________度．
(2)继续将图2 中的三角板𝑂𝐸𝐹绕点𝑂按逆时针方向旋转至图3 的位置，使得𝑂𝐹在∠𝐴𝑂𝐶的内部，试探究∠𝐴𝑂𝐸
与∠𝐶𝑂𝐹之间满足什么等量关系，并说明理由．
(3)在上述直角三角板𝑂𝐸𝐹从图1 旋转到图3 的位置的过程中，若三角板绕点𝑂按每秒6°的速度旋转，当直角
三角板𝑂𝐸𝐹的边所在的直线恰好平行于直角三角板𝐷𝑂𝐶的一边时，直接写出此时三角板𝑂𝐸𝐹绕点𝑂的运动时
间𝑡(𝑡> 0)的值．
【变式1-1】如图，直线𝑃𝑄∥𝑀𝑁，一副三角尺（∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 90°，∠𝐴𝐶𝐵= 30°，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶= 45°）按如图①放置，其中点E 在直线𝑃𝑄上，点B，C 均在直线𝑀𝑁上，且𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑁．
AI
(1)求∠𝐷𝐸𝑄的度数．
(2)如图②，若将三角形𝐴𝐵𝐶绕点B 以每秒4 度的速度按逆时针方向旋转（A，C 的对应点分别为F，G），
当𝐵𝐺落在射线𝐵𝑀上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当𝐵𝐺落在射线𝐵𝑁上时，运动停止．设旋转时间为
t（s）．
①在旋转过程中，若边𝐵𝐺∥𝐶𝐷，求t 的值．
②若在三角形𝐴𝐵𝐶绕点B 旋转的同时，三角形𝐶𝐷𝐸绕点E 以每秒1 度的速度按顺时针方向旋转（C，D 的对
应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当∠𝐺𝐵𝑁的角平分线与∠𝐻𝐸𝐾的角平分线平行时t 的
值．
【变式1-2】如图，直线𝑃𝑄∥𝑀𝑁，一副三角板（∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 90°，∠𝐴𝐶𝐵= 30°，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
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∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶= 45°）按如图1 放置，其中点E 在直线𝑃𝑄上，点B，C 均在直线𝑀𝑁上，且𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑁；
(1)求∠𝐷𝐸𝑄的度数；
(2)如图2，若将△𝐴𝐵𝐶绕B 点以每秒6°的速度按逆时针方向旋转（A、C 的对应点分别为F、G）．设旋转
时间为t 秒(0 ≤𝑡≤60)；
①在旋转过程中，若边𝐵𝐺∥𝐶𝐷，求t 的值；
②若在△𝐴𝐵𝐶绕B 点旋转的同时，△𝐶𝐷𝐸绕E 点以每秒3°的速度按顺时针方向旋转（C、D 的对应点分别
为K、T），请直接写出𝐸𝐾与𝐵𝐺平行时𝑡的值．
【变式1-3】如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷,𝑃是直线𝐴𝐵，𝐶𝐷间的一点，𝑃𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，𝑃𝐸交𝐴𝐵于点𝐸，∠𝐹𝑃𝐸= 120°．
(1)∠𝐴𝐸𝑃= ．
(2)如图2，射线𝑃𝑁从𝑃𝐹出发，以每秒45°的速度绕𝑃点按逆时针方向旋转，当𝑃𝑁垂直𝐴𝐵时，立刻按原速返
回至𝑃𝐹后停止运动；射线𝐸𝑀从𝐸𝐴出发，以每秒20°的速度绕𝐸点按逆时针方向旋转至𝐸𝐵后停止运动，若射
线𝑃𝑁，射线𝐸𝑀同时开始运动，设运动时间为𝑡秒．
①当∠𝑀𝐸𝑃= 10°时，请求出∠𝐸𝑃𝑁的度数；
②当𝐸𝑀∥𝑃𝑁时，请求出𝑡的值．
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专题01 相交线与平行线（学生版）
第 18 页 共 86 页
➢复习提升
1．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边𝑎∥𝑏的有（ ）
①∠1 = ∠2；②∠3 = ∠4；③∠2 + ∠4 = 90°；④∠4 + ∠5 = 180°；⑤∠1 + ∠4 = 90°．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
2．下列命题中，①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线
与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种；④不相交的两条
直线是平行线；⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为补角是假命题的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，𝐶𝐹，𝐵𝐺交于点𝐴，𝐹𝐺∥𝐷𝐸∥𝐵𝐶，∠𝐹𝐴𝐺= 40°，𝐴𝐶平分
∠𝐵𝐴𝐷，若设∠𝐴𝐷𝐸= 𝑥°，∠𝐺= 𝑦°，则𝑥和𝑦之间的关系是( )
A．𝑥+ 2𝑦= 180
B．𝑥−2𝑦= 60
C．𝑥−𝑦= 80
D．𝑥+ 𝑦= 150
4．如图，𝐴𝐵与𝐻𝑁交于点𝐸，点𝐺在直线𝐶𝐷上，∠𝐹𝑀𝐴= ∠𝐹𝐺𝐶，∠𝐹𝐸𝑁= 2∠𝑁𝐸𝐵，∠𝐹𝐺𝐻= 2∠𝐻𝐺𝐶，下列
四个结论：①𝐴𝐵∥𝐶𝐷；②∠𝐹𝐸𝑁+ ∠𝐹𝐺𝐻= 2∠𝐸𝐻𝐺；③∠𝐸𝐻𝐺+ ∠𝐸𝐹𝑀= 90°；
④3∠𝐸𝐻𝐺−∠𝐸𝐹𝑀= 180°．其中正确的结论是（ ）
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专题01 相交线与平行线（学生版）
第 19 页 共 86 页
A．①②④
B．①③
C．①②
D．①②③
5．如图，图①是长方形纸带，∠𝐷𝐸𝐹= 26°，将纸带沿𝐸𝐹折叠成图②，再沿𝐵𝐹折叠成图③，则图③中的∠𝐶𝐹𝐸
的度数是
．
6．直线𝐴𝐵,𝐶𝐷,𝐸𝐹相交于点O，且𝐶𝐷⊥𝐸𝐹，𝑂𝐺平分∠𝐵𝑂𝐹．
(1)如图1，①∠𝐴𝑂𝐷的余角有_______．（填写所有符合情况的角）
②若∠𝐴𝑂𝐷:∠𝐶𝑂𝐺= 2:3，求∠𝐴𝑂𝐷的度数．
(2)如图2，请直接写出∠𝐴𝑂𝐷与∠𝐶𝑂𝐺的数量关系为________．
7．完成下面推理过程：
如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= 50°，∠𝐶𝑃𝑁= 150°，∠𝑃𝑁𝐵= 60°，∠𝑁𝐷𝐶= 60°．求∠𝐵𝐶𝑃的度数．
解：∵∠𝑃𝑁𝐵= 60°，∠𝑁𝐷𝐶= 60°，（已知）
∴∠𝑃𝑁𝐵= ∠𝑁𝐷𝐶，（等量代换）
∴𝑃𝑁∥𝐶𝐷，（ ）
∴∠𝐶𝑃𝑁+ ∠_________ = 180°，（ ）
∵∠𝐶𝑃𝑁= 150°，（已知）
∴∠𝑃𝐶𝐷= 180°−∠𝐶𝑃𝑁= 180°−150° = 30°
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专题01 相交线与平行线（学生版）
第 20 页 共 86 页
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，（已知）
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠____________，（ ）
∵∠𝐴𝐵𝐶= 50°，（已知）
∴∠𝐵𝐶𝐷= __________，（等量代换）
∴∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝐷−∠𝑃𝐶𝐷= ____________°−30° = _________°．
8．如图，点𝐷，𝐻分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上，点𝐸，𝐹都在𝐵𝐶上，𝐷𝐸交𝐹𝐻于点𝐺，𝐴𝐺平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶，
∠1 + ∠2 = 90°．
(1)求证：𝐹𝐻⊥𝐷𝐸；
(2)若∠3=∠4，∠𝐵𝐴𝐶= 72°，求∠𝐷𝐹𝐻的度数．
9．如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点E 在𝐶𝐷下方，连接𝐵𝐸，𝐷𝐸，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸．
(1)如图1，若∠𝐴𝐵𝐹= 35°，∠𝐵𝐸𝐷= 38°，求∠𝐶𝐷𝐸的度数；
(2)如图2，在射线𝐵𝐹上取点G，连接𝐷𝐺，使得∠𝐸𝐷𝐺= 2∠𝐶𝐷𝐺，若2∠𝐵𝐺𝐷−∠𝐵𝐸𝐷= 10°，求∠𝐶𝐷𝐸的度数；
(3)如图3，若∠𝐶𝐷𝐸= 30°，作𝐸𝐻平分∠𝐵𝐸𝐷，过点B 作𝐵𝑀∥𝐸𝐻，在射线𝐸𝐻上取一点N，连接𝐵𝑁，使得
∠𝐴𝐵𝑁= 2∠𝐴𝐵𝑀，请直接写出∠𝐸𝐵𝑁的度数：__________．
10．如图①所示的是一副三角尺，∠𝐶= ∠𝐹= 90°，∠𝐴= ∠𝐵= 45°，∠𝐷= 30°，∠𝐸= 60°．
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专题01 相交线与平行线（学生版）
第 21 页 共 86 页
(1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点𝐴与点𝐹重合，点𝐸在直角边𝐴𝐶上，斜边𝐴𝐵与斜边𝐷𝐸相交
于点𝐺，求∠𝐵𝐺𝐷的度数；
(2)如图③，将三角尺𝐴𝐵𝐶的直角顶点放在直线𝑀𝑁上，使𝐴𝐵∥𝑀𝑁，三角尺𝐷𝐸𝐹的顶点𝐸在直线𝑀𝑁上，直角
边𝐷𝐹与斜边𝐴𝐵相交于点𝑃，则∠𝐷𝐸𝑀与∠𝐷𝑃𝐵有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)直线𝑀𝑁∥𝑃𝑄，三角板𝐴𝐵𝐶和三角板𝐷𝐸𝐹按照图④所示放置，直角顶点𝐶与点𝐷重合，并且在直线𝑃𝑄上，
直角顶点𝐹在直线𝑀𝑁上，∠𝑃𝐷𝐹= 30°，直角边𝐵𝐶与𝐷𝐹重合．若将三角板𝐴𝐵𝐶绕点𝐷以每秒6°的速度顺时针
旋转，同时将三角板𝐷𝐸𝐹绕点𝐷以每秒18°的速度逆时针旋转，设旋转时间为𝑡秒(0 < 𝑡< 15)．在旋转过程
中，当边𝐴𝐵与三角板𝐷𝐸𝐹的一条边平行时，求出所有满足条件的𝑡的值．
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 22 页 共 86 页
➢重点速记
【知识点1 两条直线相交】
【邻补角的概念与性质】
1.相交线：有一个公共点的两直线是相交线.
2.定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.
3.性质：邻补角互补.
【对顶角的概念与性质】
1.定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
2.性质：对顶角相等.
【典例1】如图直线𝐴𝐵,𝐶𝐷,𝐸𝐹相交于点𝑂，是∠𝐴𝑂𝐶的邻补角是
，∠𝐷𝑂𝐴的对顶角是
，若
∠𝐴𝑂𝐶= 50°，则∠𝐵𝑂𝐷=
度，∠𝐶𝑂𝐵=
度．
【分析】由题意得，∠𝐴𝑂𝐶的邻补角是∠𝐴𝑂𝐷或∠𝐵𝑂𝐶；∠𝐷𝑂𝐴的对顶角是∠𝐵𝑂𝐶，
∵∠𝐴𝑂𝐶= 50°，
∴∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐶= 50°，∠𝐶𝑂𝐵= 180°−∠𝐴𝑂𝐶= 130°；
故答案为：∠𝐴𝑂𝐷、∠𝐵𝑂𝐶；∠𝐵𝑂𝐶；50；130．
【知识点2 两条直线垂直】
【垂直的定义】
1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线
叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1 所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
【垂线的画法及性质】
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 23 页 共 86 页
1.垂线的画法：有一个公共点的两直线是相交线.
一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合
二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点
三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线.
2.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【典例2】已知三角形𝐴𝐵𝐶，用直角三角板过点A 作直线𝐵𝐶的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】选项A 中三角板过点A，但不垂直𝐵𝐶，故不符合题意；
选项B 中三角板过点A，且垂直𝐵𝐶，故符合题意；
选项C 中三角板不过点A，故不符合题意；
选项D 中三角板过点A，但不垂直𝐵𝐶，故不符合题意，
故选：B．
【垂线段最短】
1.垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫作垂线段.
2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成垂线段最短.
【典例3】如图，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，𝑃为直线𝐴𝐵上一动点，连接𝑃𝐶，则线段𝑃𝐶的
最小值是（ ）
A．4.5
B．4.8
C．5
D．6
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 24 页 共 86 页
【分析】∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴当𝑃𝐶⊥𝐴𝐵时，𝑃𝐶的值最小，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 10，
∴1
2𝐴𝐵⋅𝑃𝐶= 1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐶，即：10𝑃𝐶= 6 × 8，
∴𝑃𝐶= 4.8，
故选：B．
【点到直线的距离】
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【典例4】在下列图形中，线段𝑃𝑄的长表示点𝑃到直线𝑂𝐵的距离的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】因为A 选项中𝑃𝑄垂直于𝑂𝐵，所以线段𝑃𝑄的长表示点P 到直线𝑂𝐵的距离的是A 选项．
故选：A．
【知识点3 两条直线被第三条直线所截】
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）
的同旁，则这样一对角叫做同位角．
2.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角．
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【典例5】如图所示的八个角中，同位角有
对，内错角有
对，同旁内角有
对．
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 25 页 共 86 页
【分析】同位角有∠1与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6，共3 对，
内错角：∠3与∠4，∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8，共4 对；
同旁内角：∠1与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5，共4 对；
故答案为：3；4；4．
【知识点4 平行线的概念】
【平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
【平行线的基本事实及其推论】
（1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【典例6】已知三条不同的直线a，b，c 在同一平面内，下列四个判断：①如果𝑎∥𝑏，𝑎⊥𝑐，那么𝑏⊥𝑐；②
如果𝑏∥𝑐，𝑐∥𝑎，那么𝑏∥𝑐；③如果𝑏⊥𝑎，𝑐⊥𝑎，那么𝑏⊥𝑐；④如果𝑏⊥𝑎，𝑐⊥𝑎，那么𝑏∥𝑐．其中正确的
是
．（填写所有正确的序号）
【分析】①如果𝑎∥𝑏，𝑎⊥𝑐，那么𝑏⊥𝑐，正确；
②如果𝑏∥𝑐，𝑐∥𝑎，那么𝑏∥𝑐，正确；
③如果𝑏⊥𝑎，𝑐⊥𝑎，那么𝑏⊥𝑐，错误，应该是𝑏∥𝑐；
④如果𝑏⊥𝑎，𝑐⊥𝑎，那么𝑏∥𝑐，正确．
故答案为：①②④．
【知识点5 平行线的判定】
定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，
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第 26 页 共 86 页
两直线平行．
定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两
直线平行．
定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互
补，两直线平行．
注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【典例7】如图，下列条件：①∠1 = ∠2；②∠3 = ∠4；③∠𝐵= ∠5；④∠1 + ∠𝐴𝐶𝐸= 180°；
⑤∠5 = ∠𝐷．其中，能判定𝐴𝐷∥𝐵𝐸的条件有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【分析】①∵∠1 = ∠2，∴𝐴𝐷∥𝐵𝐸，故①符合题意；
②∵∠3 = ∠4，∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，故②不符合题意；
③∵∠𝐵= ∠5，∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，故③不符合题意；
④∵∠1 + ∠𝐴𝐶𝐸= 180°，∴𝐴𝐷∥𝐵𝐸，故④符合题意；
⑤∵∠5 = ∠𝐷，∴𝐴𝐷∥𝐵𝐸，故⑤符合题意；
综上所述，正确的有①④⑤，共3个，
故选：C．
【知识点6 平行线的性质】
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
【典例8】如图，𝑂𝑃∥𝑄𝑅∥𝑆𝑇，若∠2 = 100°，∠3 = 120°，则∠1 =
．
【分析】∵𝑂𝑃∥𝑄𝑅∥𝑆𝑇，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
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∴∠𝑆𝑅𝑄= ∠3 = 120°，
∠𝑃𝑅𝑄= 180°−∠2 = 180°−100° = 80°，
∴∠1 = ∠𝑆𝑅𝑄−∠𝑃𝑅𝑄= 120°−80° = 40°．
故答案为：40°
【知识点7 定义、命题、定理】
命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．
命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．
命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写
成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 .
举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.
像这样的例子叫作反例.
【命题与证明综合应用】
（1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行
于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理.
（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如本
章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明.
（3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经
过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然
后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方
法.
【典例9】命题：互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角．
(1)将该命题改写成“如果……，那么……”的形式；
(2)该命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．
【分析】（1）解：由题意得：如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；
（2）解：该命题是假命题，反例为两个直角相加也为180 度．
【知识点8 平移】
【平移定义】
1.定义：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移．
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 28 页 共 86 页
2.平移的条件：决定平移的条件是平移的方向和平移的距离.
【平移的性质】
（1）平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同.
（2）平移后，新图形和原图形对应线段平行(或共线)且相等；对应角相等；对应点所连线段平行(或共线)且
相等.
【平移作图】
（1）定：确定平移的方向和距离；
（2）找：找出原图形中的关键点；
（3）移：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段得到关键点平移后的对应点；
（4）连：按原图形顺序依次连接各个对应点得到的图形即为平移后的图形.
【典例10】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到点C 的方向平
移到△𝐷𝐸𝐹的位置，𝐴𝐵= 10，𝐷𝑂= 4，若平移距离为7，则阴影部分面积为
．
【分析】由平移的性质知，𝐵𝐸= 7，𝐷𝐸= 𝐴𝐵= 10，
∴𝑂𝐸= 𝐷𝐸−𝐷𝑂= 10−4 = 6，
∵平移，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐷𝐸𝐹，
∴𝑆四边形𝑂𝐷𝐹𝐶= 𝑆梯形𝐴𝐵𝐸𝑂= 1
2(𝐴𝐵+ 𝑂𝐸) ⋅𝐵𝐸= 1
2 × (10 + 6) × 7 = 56，
故答案为：56．
➢核心考点举一反三
考点一：相交线中的角度计算
例1．如图所示，直线𝐴𝐵,𝐶𝐷相交于点𝑂，𝐸𝑂⊥𝐴𝐵，垂足为𝑂，已知∠𝐴𝑂𝐶:∠𝐸𝑂𝐶= 1:4．
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专题01 相交线与平行线（解析版）
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(1)若𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐸，求∠𝐶𝑂𝐹的度数；
(2)若∠𝐴𝑂𝐹的度数比∠𝐸𝑂𝐹的度数的3倍多54°，试判断𝑂𝐶与𝑂𝐹垂直吗，并说明理由．
【分析】本题主要考查垂直判定和性质，角平分线的定义，几何中角度的计算，一元一次方程解角度问题，
理解图示，掌握角度的和差计算是关键．
（1）根据垂直及角的比例关系得到∠𝐴𝑂𝐶= 90° ×
1
1+4 = 18°,∠𝐸𝑂𝐶=
4
1+4 × 90° = 72°，，由角平分线的定
义得到∠𝐸𝑂𝐹= ∠𝐵𝑂𝐹= 1
2∠𝐵𝑂𝐸= 45°，由∠𝐶𝑂𝐹= ∠𝐶𝑂𝐸+ ∠𝐸𝑂𝐹= 78° + 45° = 123°即可求解；
（2）设∠𝐸𝑂𝐹= 𝑥，则∠𝐴𝑂𝐹= 3𝑥+ 54°，则3𝑥+ 54° = 90° + 𝑥，由此得到𝑥= 18°，则∠𝐶𝑂𝐸+ ∠𝐸𝑂𝐹= 90°
由此即可求解．
【详解】（1）解：∵𝐸𝑂⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝑂𝐶+ ∠𝐸𝑂𝐶= ∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝑂𝐶:∠𝐸𝑂𝐶= 1:4，
∴∠𝐴𝑂𝐶= 90° ×
1
1+4 = 18°,∠𝐸𝑂𝐶=
4
1+4 × 90° = 72°，
若𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐸，则∠𝐸𝑂𝐹= ∠𝐵𝑂𝐹= 1
2∠𝐵𝑂𝐸= 45°，
∴∠𝐶𝑂𝐹= ∠𝐶𝑂𝐸+ ∠𝐸𝑂𝐹= 78° + 45° = 123°；
（2）解：𝑂𝐶⊥𝑂𝐹，理由如下，
设∠𝐸𝑂𝐹= 𝑥，则∠𝐴𝑂𝐹= 3𝑥+ 54°，
∵∠𝐴𝑂𝐹= ∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐸𝑂𝐹= 90° + 𝑥，
∴3𝑥+ 54° = 90° + 𝑥，
解得，𝑥= 18°，
∴∠𝐸𝑂𝐹= 18°，
∵∠𝐶𝑂𝐸+ ∠𝐸𝑂𝐹= 72° + 18° = 90°，
∴𝑂𝐶⊥𝑂𝐹．
【变式1-1】如图，直线𝐴𝐵、𝐷𝐹相交于点O，𝑂𝐶⊥𝐷𝐹，𝑂𝐸平分∠𝐵𝑂𝐶．
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(1)若∠𝐴𝑂𝐶= 40°，求∠𝐷𝑂𝐸的度数；
(2)若∠𝐴𝑂𝐶= 𝛼．
①用含𝛼的代数式分别表示∠𝐴𝑂𝐹和∠𝐷𝑂𝐸；
②求∠𝐷𝑂𝐸+ 1
2∠𝐴𝑂𝐹的度数．
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义，熟知垂线的定义和角平
分线的定义是条件的关键．
（1）先由平角的定义求出∠𝐵𝑂𝐶的度数，再由角平分线的定义求出∠𝐶𝑂𝐸的度数，最后根据垂线的定义得到
∠𝐶𝑂𝐷的度数即可得到答案；
（2）①由垂线的定义得到∠𝐶𝑂𝐹的度数，则可求出∠𝐴𝑂𝐹的度数，则由对顶角相等得到∠𝐵𝑂𝐷的度数，同理
求出∠𝐵𝑂𝐸的度数即可得到答案；②根据①所求即可得到答案．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝑂𝐶= 40°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−∠𝐴𝑂𝐶= 140°，
∵𝑂𝐸平分∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐶𝑂𝐸= 1
2∠𝐵𝑂𝐶= 70°，
∵𝑂𝐶⊥𝐷𝐹，
∴∠𝐶𝑂𝐷= 90°，
∴∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐷−∠𝐶𝑂𝐸= 20°；
（2）解：①∵𝑂𝐶⊥𝐷𝐹，
∴∠𝐶𝑂𝐹= 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐹= 90°−∠𝐴𝑂𝐶= 90°−𝛼，
∴∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐹= 90°−𝛼，
∵∠𝐴𝑂𝐶= 𝛼，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−∠𝐴𝑂𝐶= 180°−𝛼，
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第 31 页 共 86 页
∵𝑂𝐸平分∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐵𝑂𝐸= 1
2∠𝐵𝑂𝐶= 90°−1
2𝛼，
∴∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐸−∠𝐵𝑂𝐷= 90°−1
2𝛼−(90°−𝛼) = 1
2𝛼；
②由①得：∠𝐷𝑂𝐸+ 1
2∠𝐴𝑂𝐹= 1
2𝛼+ 1
2(90°−𝛼) = 45°．
【变式1-2】如图，直线𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐶的平分线，𝑂𝐸⊥𝐴𝐵，𝑂𝐹⊥𝐶𝐷．
(1)如果∠𝐵𝑂𝐶= 42∘，求∠𝐴𝑂𝐹的度数；
(2)设∠𝐵𝑂𝐶= 𝛼，求证：∠𝐸𝑂𝑃= 1
2𝛼．
【分析】本题考查了对顶角的性质，互余的性质，角平分线的定义等知识，熟练利用这两个性质是解题的
关键．
（1）由对顶角相等得∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶，再利用互余关系即可求解；
（2）由对顶角的性质及互余的性质得∠𝐸𝑂𝐶= ∠𝐹𝑂𝐴，再由𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐶的平分线，得∠𝑃𝑂𝐶= ∠𝑃𝑂𝐴，从而
得∠𝑃𝑂𝐸= ∠𝑃𝑂𝐹，利用互余的性质得∠𝐸𝑂𝐹= ∠𝐵𝑂𝐶= 𝛼，从而得证．
【详解】（1）解：∵∠𝐵𝑂𝐶= 42∘，
∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶= 42°；
∵𝑂𝐹⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝑂𝐹+ ∠𝐴𝑂𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐹= 90°−∠𝐴𝑂𝐷= 48°；
（2）解：∵𝑂𝐹⊥𝐶𝐷，𝑂𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝑂𝐹+ ∠𝐴𝑂𝐷= 90°，∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝐶𝑂𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐸𝑂𝐶= ∠𝐹𝑂𝐴，
∵𝑂𝑃是∠𝐴𝑂𝐶的平分线，
∴∠𝑃𝑂𝐶= ∠𝑃𝑂𝐴，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 32 页 共 86 页
即∠𝑃𝑂𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐸= ∠𝑃𝑂𝐹+ ∠𝐴𝑂𝐹，
∴∠𝑃𝑂𝐸= ∠𝑃𝑂𝐹= 1
2∠𝐸𝑂𝐹；
∵∠𝐹𝑂𝐶= ∠𝐸𝑂𝐵= 90°，
∴∠𝐹𝑂𝐸+ ∠𝐸𝑂𝐶= ∠𝐸𝑂𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐶= 90°，
∴∠𝐸𝑂𝐹= ∠𝐵𝑂𝐶= 𝛼，
∴∠𝐸𝑂𝑃= 1
2𝛼．
【变式1-3】若直线𝐴𝐵和直线𝐸𝐷相交于点𝑂，𝑂𝐶为∠𝐵𝑂𝐸内部的射线，𝑂𝐸平分∠𝐴𝑂𝐶，𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐶．
(1)若∠𝐵𝑂𝐷= 58°，求∠𝐴𝑂𝐹和∠𝐸𝑂𝐹的度数？
(2)若∠𝐵𝑂𝐷是任意角𝛼(0° < 𝛼< 90°)，求∠𝐸𝑂𝐹的度数？
(3)请猜想，∠𝐸𝑂𝐹度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠𝐸𝑂𝐹度数是多少？
【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，对顶角，熟练计算角度是解题的关键．
（1）由对顶角的性质，得到∠𝐴𝑂𝐸= 58°，再由角平分线的定义即可求解；
（2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，∠𝐶𝑂𝐸= 𝛼，∠𝐶𝑂𝐹= 90°−𝛼，从而求出∠𝐸𝑂𝐹的度数；
（3）由角平分线的定义推出∠𝐸𝑂𝐹= 1
2∠𝐴𝑂𝐵，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵𝑂𝐸平分∠𝐴𝑂𝐶，𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐶𝑂𝐸= 1
2∠𝐴𝑂𝐶，∠𝐶𝑂𝐹= 1
2∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐶𝑂𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐹= 1
2(∠𝐴𝑂𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐶)，
∴∠𝐸𝑂𝐹= 1
2∠𝐴𝑂𝐵= 1
2 × 180° = 90°，
∵∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐷= 58°，
∴∠𝐴𝑂𝐹= ∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐸𝑂𝐹= 58° + 90° = 148°，
（2）解：∵𝑂𝐸平分∠𝐴𝑂𝐶，
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∴∠𝐴𝑂𝐶= 2∠𝐴𝑂𝐸，
∵∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐷= 𝛼，
∴∠𝐴𝑂𝐶= 2𝛼，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−2𝛼，
∵𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐶𝑂𝐹= 1
2∠𝐵𝑂𝐶= 90°−𝛼，
∴∠𝐸𝑂𝐹= ∠𝐸𝑂𝐶+ ∠𝐶𝑂𝐹= 𝛼+ 90°−𝛼= 90°；
（3）解：∠𝐸𝑂𝐹的度数不变，
∵𝑂𝐸平分∠𝐴𝑂𝐶，𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐶𝑂𝐸= 1
2∠𝐴𝑂𝐶，∠𝐶𝑂𝐹= 1
2∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐶𝑂𝐸+ ∠𝐶𝑂𝐹= 1
2(∠𝐴𝑂𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐶)，
∴∠𝐸𝑂𝐹= 1
2∠𝐴𝑂𝐵= 1
2 × 180° = 90°．
考点二：填写推理依据，完善证明过程
例2.完成下面的推理填空：
如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷,∠1 = ∠2，∠3=∠4，求证：∠𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸．
证明：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠2 = ∠𝐵𝐴𝐸（_________）．
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠3 + _________，
∴∠2 = ∠3 + _________，
∵∠3 = ∠4，
∴∠2 = ∠4 + ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵∠1 = ∠2，
∴∠𝐶𝐴𝐷= _________，
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∴𝐴𝐷 ∥_________（_________）．
∴∠𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸．（_________）．
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定方法并灵活运用是解本题的关键．先根
据平行线的性质证明∠2 = ∠3 + ∠𝐶𝐴𝐸，得出∠2 = ∠𝐶𝐴𝐷，即可证明𝐴𝐷∥𝐵𝐶，根据平行线的性质即可得答
案．
【详解】证明：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠2 = ∠𝐵𝐴𝐸（两直线平行，同位角相等），
∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠3 + ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠2 = ∠3 + ∠𝐶𝐴𝐸，
∵∠3 = ∠4，
∴∠2 = ∠4 + ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐷，
又∵∠1 = ∠2，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠1，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶（内错角相等，两直线平行）．
∴∠𝐷= ∠𝐷𝐶𝐸．（两直线平行，内错角相等）．
【变式1-1】如图，∠1 + ∠2 = 180°,∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴,∠𝐵𝐸𝐷= 60°，求∠𝐴𝐶𝐵的度数．
解：∵∠1 + ∠2 = 180°（已知）
∠2 + ∠𝐵𝐷𝐶= 180°（
）
∴∠1 = ∠𝐵𝐷𝐶（
）
∴𝐴𝐵∥
（
）
∴∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°（
）
又∵∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴（已知）
∴∠𝐴+ _____ = 180°（等量代换）
∴𝐴𝐶∥𝐷𝐸（
）
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∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐸𝐷= 60°（
）
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键．
根据平行线的性质和判定补充证明过程即可得答案．
【详解】解：∵∠1 + ∠2 = 180°（已知）
∠2 + ∠𝐵𝐷𝐶= 180°（邻补角互补）
∴∠1 = ∠𝐵𝐷𝐶（同角的补角相等）
∴𝐴𝐵∥𝐸𝐹（同位角相等，两直线平行）
∴∠𝐷𝐸𝐹+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐴（已知）
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°（等量代换 ）
∴𝐴𝐶∥𝐷𝐸（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐸𝐷= 60°（两直线平行，同位角相等）
【变式1-2】将下面的说理过程补充完整．
已知：如图，∠1 = ∠𝐶,𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为𝐹,∠2 + ∠3 = 180°．
（1）试说明∠2 = ∠4；
（2）试求出∠𝐴𝐷𝐶的度数．
解：（1）∵∠1 = ∠𝐶（已知），
∴𝐷𝑃∥______________（______________）．
∴∠2 = ∠4（______________）．
（2）∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶（已知），
∴∠𝐸𝐹𝐶= 90°（垂直的定义）．
∵∠2 = ∠4（已证），∠2 + ∠3 = 180°（已知），
∴∠3 + ∠4 = 180°（______________）．
∴𝐴𝐷∥______________（______________）．
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∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠______________．
∴∠𝐴𝐷𝐶的度数为______________．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）证明𝐷𝑃∥𝐴𝐶可得∠2 = ∠4；
（2）由垂直的定义得∠𝐸𝐹𝐶= 90°，由等量代换得∠3 + ∠4 = 180°，从而𝐴𝐷∥𝐸𝐹，然后根据平行线的性质即
可求解．
【详解】解：（1）∵∠1 = ∠𝐶（已知），
∴𝐷𝑃∥𝐴𝐶（同位角相等，两直线平行），
∴∠2 = ∠4（两直线平行，内错角相等），
故答案为：𝐴𝐶；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
（2）∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶（已知），
∴∠𝐸𝐹𝐶= 90°（垂直的定义），
∵∠2 = ∠4（已证），∠2 + ∠3 = 180°（已知），
∴∠3 + ∠4 = 180°（等量代换），
∴𝐴𝐷∥𝐸𝐹（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶的度数为90°，
故答案为：等量代换；𝐸𝐹；同旁内角互补，两直线平行；𝐸𝐹𝐶；90°．
【变式1-3】把下列推理过程补充完整：
如图，已知𝑀𝑁⊥𝐵𝐶交BC 于点M，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶交BC 于点E，∠1 = ∠𝐶，∠2 = ∠3，求证：𝐴𝐵∥𝐸𝐹．
证明：∵𝑀𝑁⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝑀𝑁= 90°，∠𝐶𝐸𝐷= 90°（ ① ）．
∴∠𝐶𝑀𝑁= ∠𝐶𝐸𝐷（等量代换）．
∴𝑀𝑁∥𝐸𝐷（ ② ）．
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∴∠3 = ③ （两直线平行，同位角相等）．
∵∠2 = ∠3，
∴∠2 = ∠𝐶𝐷𝐸（等量代换）．
∴𝐸𝐹∥④（内错角相等，两直线平行）．
∵∠1 = ∠𝐶，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷（内错角相等，两直线平行）．
∴𝐴𝐵∥𝐸𝐹（ ⑤ ）．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义，平行线的判定方法，平行线的性质进行作答即
可，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【详解】证明：∵𝑀𝑁⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝑀𝑁= 90°，∠𝐶𝐸𝐷= 90°（垂直的定义）．
∴∠𝐶𝑀𝑁= ∠𝐶𝐸𝐷（等量代换）．
∴𝑀𝑁∥𝐸𝐷（同位角相等，两直线平行）．
∴∠3 = ∠𝐶𝐷𝐸（两直线平行，同位角相等）．
∵∠2 = ∠3，
∴∠2 = ∠𝐶𝐷𝐸（等量代换）．
∴𝐸𝐹 ∥ 𝐶𝐷（内错角相等，两直线平行）．
∵∠1 = ∠𝐶，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷（内错角相等，两直线平行）．
∴𝐴𝐵∥𝐸𝐹（平行于同一条直线的两直线平行）．
考点三：平行线的判定与性质证明
例3.如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐷、𝐸分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶边上的点，点𝐹，𝐺在𝐴𝐶边上，连接𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐺𝐸，
已知∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐷𝐸𝐵，∠𝐷𝐹𝐶+ ∠𝐶= 180°．
(1)求证：𝐷𝐸∥𝐴𝐶；
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(2)若∠𝐶= 38°，𝐸𝐺平分∠𝐷𝐸𝐶，求∠𝐸𝐺𝐶的度数．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）利用平行线的判定及性质即可求证结论；
（2）利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠𝐷𝐹𝐶+ ∠𝐶= 180°，
∴𝐷𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐸𝐷𝐹，
∵∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐷𝐸𝐵，
∴∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐴𝐹𝐷，
∴𝐷𝐸∥𝐴𝐶；
（2）解：∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐶+ ∠𝐷𝐸𝐶= 180°，
∵∠𝐶= 38°，
∴∠𝐷𝐸𝐶= 180°−38° = 142°，
∵𝐸𝐺平分∠𝐷𝐸𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐺= 1
2∠𝐷𝐸𝐶= 71°，
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐺𝐶= ∠𝐷𝐸𝐺= 71°．
【变式1-1】如图，在三角形𝐴𝐵𝐶中，点𝐷,𝐹在边𝐵𝐶上，点𝐸在边𝐴𝐵上，点𝐺在边𝐴𝐶上，𝐸𝐹与𝐺𝐷的延长线交
于点𝐻，∠1 = ∠𝐵，∠2 + ∠3 = 180°．
(1)判断𝐸𝐻与𝐴𝐷的位置关系，并说明理由；
(2)若∠𝐷𝐺𝐶= 58°，且∠𝐻= ∠4 + 10°，求∠𝐻的度数．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
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（1）先由∠1 = ∠𝐵，得到𝐴𝐵∥𝐺𝐻，则∠3 + ∠𝐻= 180°，进而得到∠2 = ∠𝐻，由此即可证明；
（2）先由平行线的性质得到∠2 = ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐺𝐶= 58°，再证明
∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠4 = 2∠4 + 10°，结合∠𝐻= ∠4 + 10°进行求解即可．
【详解】（1）解：𝐸𝐻∥𝐴𝐷，理由如下：
∵∠1 = ∠𝐵，∴𝐷𝐺∥𝐵𝐴，∴∠2 = ∠𝐵𝐴𝐷
∵∠2 + ∠3 = 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠3 = 180°
∴𝐸𝐻∥𝐴𝐷；
（2）解：∵𝐸𝐻∥𝐴𝐷，∴∠𝐻= ∠2，
∵𝐷𝐺∥𝐵𝐴，∴∠2 = ∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐷𝐺𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐻，
∴∠𝐷𝐺𝐶= ∠𝐵𝐴𝐺= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠4 = ∠𝐻+ ∠4 = 58°
∵∠𝐻= ∠4 + 10°，
∴∠4 + 10° + ∠4 = 58°，
∴∠4 = 24°，
∴∠𝐻= 24° + 10° = 34°．
【变式1-2】已知：如图，点E 在𝐵𝐶上，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，垂足分别为D、F，点M、G 在𝐴𝐵上，
∠𝐴𝑀𝐷= ∠𝐴𝐺𝐹，∠1 = ∠2．求证：∠𝐷𝑀𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°．
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，垂直的定义，先证明𝐵𝐷∥𝐸𝐹，再证明∠𝐶𝐵𝐷= ∠1，再证明
𝐺𝐹∥𝐵𝐶，𝐵𝐶∥𝑀𝐷，再进一步可得结论.
【详解】证明：∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，垂足分别为D、F（已知）．
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，∠𝐸𝐹𝐶= 90°（垂直的定义）．
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶（等量代换）．
∴𝐵𝐷∥𝐸𝐹（同位角相等，两直线平行）．
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∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠2（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1 = ∠2（已知）．
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠1（等量代换）．
∴𝐺𝐹∥𝐵𝐶（内错角相等，两直线平行）．
∵∠𝐴𝑀𝐷= ∠𝐴𝐺𝐹（已知）．
∴𝐺𝐹∥𝑀𝐷（同位角相等，两直线平行）．
∴𝐵𝐶∥𝑀𝐷（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠𝐷𝑀𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°（两直线平行，同旁内角互补）．
【变式1-3】如图，已知∠1 + ∠𝐵𝐷𝐸= 180°，∠2 + ∠4 = 180°．
(1)证明：𝐴𝐷∥𝐸𝐹；
(2)若∠3 = 90°，
①∠4 = 140°，求∠𝐵𝐴𝐶的度数；
②求证：∠𝐹𝐸𝐷−∠𝐵𝐴𝐶= 90°
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，证明𝐴𝐷∥𝐸𝐹是关键．
（1）先根据平行线的判定可得𝐴𝐶∥𝐷𝐸，再根据平行线的性质可得∠2 = ∠𝐴𝐷𝐸，从而可得
∠𝐴𝐷𝐸+ ∠4 = 180°，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）①先根据角的和差可得∠2 = 40°，再根据平行线的性质可得∠𝐵𝐴𝐷= ∠3 = 90°，然后根据角的和差即
可得．②证明∠2 = ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐶= 90°−∠𝐵𝐴𝐶，由∠2 + ∠4 = 180°，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵∠1 + ∠𝐵𝐷𝐸= 180°，
∴𝐴𝐶∥𝐷𝐸，
∴∠2 = ∠𝐴𝐷𝐸，
∵∠2 + ∠4 = 180°，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠4 = 180°，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 41 页 共 86 页
∴𝐴𝐷∥𝐸𝐹．
（2）①解：∵∠2 + ∠4 = 180°，∠4 = 140°，
∴∠2 = 180°−140° = 40°，
由（1）已证：𝐴𝐷∥𝐸𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠3 = 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷−∠2 = 90°−40° = 50°．
②∵𝐴𝐷∥𝐸𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠3 = 90°，
∴∠2 = ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐶= 90°−∠𝐵𝐴𝐶，
∵∠2 + ∠4 = 180°．
∵90°−∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐹𝐸𝐷= 180°．
∴∠𝐹𝐸𝐷−∠𝐵𝐴𝐶= 90°
考点四：平行线中的拐点问题
例4. 如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐶𝐷𝑃= 120°，∠𝑃= 3∠𝐴，则∠𝑃= ．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同旁内角互补、内错角相等成为解题的关键．
如图：过P 作𝑃𝑀∥𝐴𝐵，然后利用平行线的性质可得∠𝑀𝑃𝐷= 60°，再根据条件∠𝐴𝑃𝐷= 3∠𝐴，设出未知数列
出方程求解即可．
【详解】解：如图：过P 作𝑃𝑀∥𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝑃𝑀
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第 42 页 共 86 页
∴∠𝐷+ ∠𝑀𝑃𝐷= 180°，∠𝐴= ∠𝐴𝑃𝑀，
∵∠𝐶𝐷𝑃= 120°，
∴∠𝑀𝑃𝐷= 180°−120° = 60°，
设∠𝐴= 𝑥°，则∠𝐴𝑃𝐷= 3𝑥°，
∴3𝑥−𝑥= 60，解得：𝑥= 30，
∴∠𝐴𝑃𝐷= 90°．
故答案为：90°．
【变式1-1】如图，已知：𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= 𝑥°，∠𝐶= 𝑦°，∠𝐸= 𝑧°．则x，y，z 之间的数量关系是（ ）
A．𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 180
B．𝑥+ 𝑦−𝑧= 180
C．𝑥+ 𝑧= 𝑦
D．𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 360
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E 作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，则𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹，由平行线的性质可得
∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴= 𝑥°，∠𝐶𝐸𝐹= 180°−∠𝐶= 180°−𝑦°，据此根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E 作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴= 𝑥°，∠𝐶𝐸𝐹= 180°−∠𝐶= 180°−𝑦°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐹−∠𝐶𝐸𝐹= 𝑥°−(180°−𝑦°) = 𝑥° + 𝑦°−180°，
∴𝑧° = 𝑥° + 𝑦°−180°，
∴𝑥+ 𝑦−𝑧= 180，
故选：B．
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【变式1-2】如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，
G，C，D，E，F 顺次首尾连接．若B，G，C 三点共线，𝐴𝐹恰好经过点G，且𝐴𝐹∥𝐷𝐸，
∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷+ 10°，∠𝐷= 105°，则∠𝐵−∠𝐶𝐺𝐹为（ ）
A．115°
B．95°
C．90°
D．85°
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的
关键．
过点𝐶作𝐶𝐻∥𝐴𝐹，则𝐴𝐹∥𝐷𝐸∥𝐶𝐻，得到∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐺𝐶𝐻，∠𝐷= ∠𝐷𝐶𝐻，进而得出∠𝐵𝐶𝐷= 105° + ∠𝐶𝐺𝐹，
计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点𝐶作𝐶𝐻∥𝐴𝐹，
∵𝐴𝐹∥𝐷𝐸，
∴𝐴𝐹∥𝐷𝐸∥𝐶𝐻，
∴∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐺𝐶𝐻，∠𝐷= ∠𝐷𝐶𝐻，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐻+ ∠𝐺𝐶𝐻= ∠𝐷+ ∠𝐶𝐺𝐹= 105° + ∠𝐶𝐺𝐹，
∵∠𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷+ 10°，
∴∠𝐵−∠𝐶𝐺𝐹= ∠𝐵𝐶𝐷+ 10°−∠𝐶𝐺𝐹= 105∘+∠𝐶𝐺𝐹+ 10°−∠𝐶𝐺𝐹= 115°．
故选：A．
【变式1-3】【问题初探】
（1）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐸在𝐴𝐵，𝐶𝐷之间且点𝐸在点𝐴右侧，求证：
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸；
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【类比探究】
（2）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图2，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐸在𝐴𝐵，𝐶𝐷之间且点𝐸在点𝐴左侧，直接写
出∠𝐴𝐸𝐶，∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐷𝐶𝐸之间的数量关系；
【学以致用】
（3）如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐹𝐷⊥𝐶𝐷，测量得知∠𝐴𝐵𝐸= 75°，
∠𝐷𝐹𝐸= 115°，求∠𝐵𝐸𝐹的度数．
【分析】（1）如图1，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，可得∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹，𝐸𝐹∥𝐶𝐷，即得∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，进而即可求证；
（2）如图2，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，可得∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180°，𝐸𝐹∥𝐶𝐷，即得∠𝐶𝐸𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐸= 180°，进而即
可求证；
（3）如图4，过点𝐸作𝐸𝑀∥𝐴𝐵，过点𝐹作𝐹𝑁∥𝐶𝐷，可得∠𝐵𝐸𝑀= ∠𝐴𝐵𝐸= 75°，∠𝑁𝐹𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐶= 180°，即
得∠𝑁𝐹𝐷= 90°，即得到∠𝐸𝐹𝑁= ∠𝐷𝐹𝐸−∠𝑁𝐹𝐷= 25°，又由平行公理的推论得𝐸𝑀∥𝐹𝑁，即可得
∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐸𝐹𝑁= 25°，进而即可求解；
本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图1，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，则∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐶𝐸𝐹，
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸；
（2）如图2，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，则∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 180°，
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∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐸𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐸= 180°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐸𝐹+ ∠𝐷𝐶𝐸= 180° + 180°，
即∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐸= 360°；
（3）如图4，过点𝐸作𝐸𝑀∥𝐴𝐵，过点𝐹作𝐹𝑁∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝑀= ∠𝐴𝐵𝐸= 75°，∠𝑁𝐹𝐷+ ∠𝐹𝐷𝐶= 180°，
∵𝐹𝐷⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐹𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝑁𝐹𝐷= 180°−∠𝐹𝐷𝐶= 90°，
∵∠𝐷𝐹𝐸= 115°，
∴∠𝐸𝐹𝑁= ∠𝐷𝐹𝐸−∠𝑁𝐹𝐷= 115−90° = 25°，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐸𝑀∥𝐹𝑁，
∴∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐸𝐹𝑁= 25°，
∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐸𝑀+ ∠𝐹𝐸𝑀= 75° + 25° = 100°．
考点五：平行线中多结论问题
例5. 如图，在四边形𝐴𝐵𝐷𝐶中，𝐴𝐵 ∥𝐶𝐷，点𝐸在𝐶𝐴的延长线上，连接𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝐹,∠𝐸𝐹𝐴= 55°，
点𝑃,𝑄在𝐶𝐷上，连接𝐹𝑃，𝐹𝑄，已知∠𝑃𝐹𝐷= 10°，∠𝐹𝑄𝑃= ∠𝑄𝐹𝑃,∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹；下列结论：①∠𝐹𝐸𝐴与∠𝐸𝐶𝐷
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互为同位角；②𝐶𝐸 ∥𝐵𝐷；③𝐹𝑄平分∠𝐴𝐹𝑃；④∠𝐹𝑄𝐷= 50°．其中所有正确结论的序号为
．
【分析】本题考查同旁内角，对顶角相等，角平分的定义，平行线的判定和性质，根据同旁内角的定义判
断①，根据内错角相等两直线平行判断②，进而根据平行线的性质以及已知条件判断③，根据已知条件结
合角平分线的定义得出∠𝐹𝑄𝐷= ∠𝐴𝐹𝑄= 57.5°，即可判断④，即可求解．
【详解】解：∠𝐹𝐸𝐴与∠𝐸𝐶𝐷位于𝐸𝐷,𝐶𝐷之间，𝐶𝐸的右侧，∠𝐹𝐸𝐴与∠𝐸𝐶𝐷互为同旁内角，故①错误；
∵∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐹，
∴𝐶𝐸∥𝐵𝐷，故②正确；
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐹𝑄= ∠𝐹𝑄𝑃，
∵∠𝐹𝑄𝑃= ∠𝑄𝐹𝑃，
∴∠𝐴𝐹𝑄= ∠𝑄𝐹𝑃，
∴𝐹𝑄平分∠𝐴𝐹𝑃；故③正确；
∵∠𝐸𝐹𝐴= 55°
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐸𝐹𝐴= 55°
∵∠𝑃𝐹𝐷= 10°，
∴∠𝐵𝐹𝑃= ∠𝐵𝐹𝐷+ ∠𝑃𝐹𝐷= 55° + 10° = 65°，
∴𝐴𝐹𝑃= 180°−65° = 115°
∵𝐹𝑄平分∠𝐴𝐹𝑃
∴∠𝐴𝐹𝑄= 1
2∠𝐴𝐹𝑃= 57.5°
∵𝐴𝐵 ∥𝐶𝐷，
∴∠𝐹𝑄𝐷= ∠𝐴𝐹𝑄= 57.5°，故④错误
故答案为：②③．
【变式1-1】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝐸，𝐹在直线𝐴𝐵上（𝐹在𝐸的右侧），点𝑄在直线𝐶𝐷上，𝐸𝐻⊥𝐻𝑄，𝐼为线段𝐸𝐻
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 47 页 共 86 页
上的一点，连接𝐹𝑄，𝐼𝑄，∠𝐴𝐹𝑄与∠𝐻𝑄𝐹的角平分线交于点𝐺，且点𝐺在直线𝐴𝐵，𝐶𝐷之间，下列结论：①
∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐶𝑄𝐻= 90°；②∠𝐴𝐸𝐻+ 2∠𝐹𝐺𝑄= 270°；③若∠𝐼𝑄𝐻= 2∠𝐶𝑄𝐻，则3∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐼𝑄𝐶= 270°；④
若∠𝐼𝑄𝐻= 𝑛∠𝐶𝑄𝐻，则∠𝐴𝐸𝐻+ 1
𝑛∠𝐼𝑄𝐶= 90°．其中正确的结论是
．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐶𝑄𝐻= 90°，
是解此题的关键．①过点𝐻作𝐻𝑇∥𝐴𝐵，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及
平行线的性质得到∠3 = 2∠2，∠𝐶𝑄𝐻+ 2∠1 + ∠3 = 180°，结合①的结论即可证明；③由已知得到
∠𝐼𝑄𝐶= 3∠𝐶𝑄𝐻，结合①的结论即可证明；④由已知得到∠𝐼𝑄𝐶= (𝑛+ 1)∠𝐶𝑄𝐻，结合①的结论即可证明．
【详解】解：①过点𝐻作𝐻𝑇∥𝐴𝐵，如图：
∵ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∴ 𝐴𝐵∥𝐻𝑇∥𝐶𝐷，
∴ ∠𝐴𝐸𝐻= ∠𝐸𝐻𝑇，∠𝐶𝑄𝐻= ∠𝑄𝐻𝑇，
∵ 𝐸𝐻⊥𝐻𝑄，即∠𝐸𝐻𝑄= ∠𝐸𝐻𝑇+ ∠𝑄𝐻𝑇= 90°，
∴ ∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐶𝑄𝐻= 90°，故①正确；
②∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐹𝐺平分∠𝐴𝐹𝑄，𝑄𝐺平分∠𝐻𝑄𝐹，
∴∠𝐴𝐹𝐺= ∠2，∠𝐻𝑄𝐺= ∠1，
∴∠3 = ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠2 = 2∠2，
∠𝐶𝑄𝐻+ ∠𝐻𝑄𝐺+ ∠1 + ∠3 = ∠𝐶𝑄𝐻+ 2∠1 + ∠3 = 180°，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 48 页 共 86 页
即2∠1 = 180°−2∠2−∠𝐶𝑄𝐻，
∴2∠2 + 2∠1 = 180°−∠𝐶𝑄𝐻，
∵∠𝐹𝐺𝑄= 180°−(∠2 + ∠1)，
∴2∠𝐹𝐺𝑄= 360°−2(∠2 + ∠1) = 360°−(180°−∠𝐶𝑄𝐻) = 180° + ∠𝐶𝑄𝐻，
∴∠𝐴𝐸𝐻+ 2∠𝐹𝐺𝑄= ∠𝐴𝐸𝐻+ 180° + ∠𝐶𝑄𝐻= 180° + 90° = 270°，故②正确；
③∵∠𝐼𝑄𝐻= 2∠𝐶𝑄𝐻，
∴∠𝐼𝑄𝐶= 3∠𝐶𝑄𝐻，
∴3∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐼𝑄𝐶= 3∠𝐴𝐸𝐻+ 3∠𝐶𝑄𝐻= 3(∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐶𝑄𝐻) = 3 × 90° = 270°；
3∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐼𝑄𝐶= 270°，故③正确；
④∵∠𝐼𝑄𝐻= 𝑛∠𝐶𝑄𝐻，
∴∠𝐼𝑄𝐶= (𝑛+ 1)∠𝐶𝑄𝐻，即∠𝐶𝑄𝐻=
1
𝑛+1∠𝐼𝑄𝐶，
∵∠𝐴𝐸𝐻+ ∠𝐶𝑄𝐻= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝐻+
1
𝑛+1∠𝐼𝑄𝐶= 90°，故④不正确．
综上，①②③正确，，
故答案为：①②③．
【变式1-2】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，F 为𝐴𝐵上一点，𝐹𝐷∥𝐸𝐻，且𝐹𝐸平分∠𝐴𝐹𝐺，过点F 作𝐹𝐺⊥𝐸𝐻于点G，且
∠𝐴𝐹𝐺= 2∠𝐷，则下列结论：①∠𝐷= 30°；②𝐹𝐻平分∠𝐺𝐹𝐷；③∠𝐻𝐹𝐷= ∠𝐷𝐹𝐵；
④∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐶𝐻𝐸= ∠𝐹𝐸𝐻；⑤2∠𝐷+ ∠𝐸𝐻𝐶= 90°，其中正确的是
填序号）．
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
先根据平行线的性质可得𝐹𝐺⊥𝐹𝐷，从而可得∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐵𝐹𝐷= 90°，再根据平行线的性质可得∠𝐷= ∠𝐵𝐹𝐷，
代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得∠𝐸𝐻𝐶= ∠𝐷= 30°，由此即可判断⑤；过点E 作𝐸𝑀∥𝐴𝐵，根
据平行线的性质证明∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐶𝐻𝐸= ∠𝐹𝐸𝐻即可判断④；根据平行线的性质可得∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐷= 30°，
∠𝐺𝐹𝐷= 90°，但题干未知∠𝐻𝐹𝐷的大小，由此即可判断③和②．
【详解】解：∵ 𝐹𝐷∥𝐸𝐻，𝐹𝐺⊥𝐸𝐻，
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∴ 𝐹𝐺⊥𝐹𝐷，
∴ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐵𝐹𝐷= 180°−90° = 90°，
∵ ∠𝐴𝐹𝐺= 2∠𝐷，
∴2∠𝐷+ ∠𝐵𝐹𝐷= 90°，
∵ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐷= ∠𝐵𝐹𝐷，
∴2∠𝐷+ ∠𝐷= 90°，
解得：∠𝐷= 30°，故结论①正确；
∵ 𝐹𝐷∥𝐸𝐻，
∴∠𝐸𝐻𝐶= ∠𝐷= 30°，
∴2∠𝐷+ ∠𝐸𝐻𝐶= 2 × 30° + 30° = 90°，故结论⑤正确；
过点E 作𝐸𝑀∥𝐴𝐵，如图所示：
则∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐹𝐸𝑀，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐸𝑀∥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐻𝐸= ∠𝐻𝐸𝑀，
∴∠𝐹𝐸𝐻= ∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐻𝐸𝑀= ∠𝐴𝐹𝐸+ ∠𝐶𝐻𝐸，故结论④正确；
∵ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∠𝐷= 30°，
∴∠𝐵𝐹𝐷= ∠𝐷= 30°，
但∠𝐻𝐹𝐷不一定等于30°，
∴∠𝐻𝐹𝐷= ∠𝐷𝐹𝐵不一定成立，故结论③错误；
∵∠𝐺𝐹𝐻不一定等于45°，
∴𝐹𝐻平分∠𝐺𝐹𝐷不一定正确，则结论②错误；
综上，正确的是①④⑤，
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故答案为：①④⑤．
【变式1-3】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐸为𝐴𝐵上一点，且𝐸𝐹⊥𝐶𝐷垂足为𝐹，∠𝐶𝐸𝐷= 90°，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐸𝐺，且
∠𝐶𝐺𝐸= 50°，则下列结论：①∠𝐴𝐸𝐶= 75°；②𝐷𝐸平分∠𝐺𝐸𝐵；③∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐺𝐸𝐷；
④∠𝐹𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°；其中正确的有 ．（请填写序号）
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的定义，解决本题的关键是根据图形的性质找
到角之间的关系，根据角之间的关系判断结论是否正确．
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐺= ∠𝐶𝐺𝐸= 50°，
∴∠𝐴𝐶𝐺= 180°−∠𝐵𝐸𝐺= 130°，
∵ 𝐶𝐸平分∠𝐴𝐸𝐺，
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐸𝐺= 1
2∠𝐴𝐸𝐺= 65°，
故①错误；
∵𝐸𝐹⊥𝐶𝐷，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
∴∠𝐶𝐸𝐹= 90°−∠𝐴𝐸𝐶= 25°，
∵∠𝐶𝐸𝐷= 90°
∴∠𝐺𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐶𝐸𝐺= 90°−65° = 25°，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐺𝐸𝐵−∠𝐺𝐸𝐷= 50°−25° = 25°，
∴∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐺𝐸𝐷，
∴𝐷𝐸平分∠𝐺𝐸𝐵，
故②正确；
已知∠𝐶𝐸𝐹= 25°，∠𝐺𝐸𝐷= 25°，
∴∠𝐶𝐸𝐹= ∠𝐺𝐸𝐷，
故③正确；
∵∠𝐶𝐸𝐹= 25°，∠𝐶𝐸𝐷= 90°，
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∴∠𝐹𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐶𝐸𝐹= 90°−25° = 65° = ∠𝐴𝐸𝐶，
∵∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°，
∴∠𝐹𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐸𝐶= 180°，
故④正确．
∴正确的有②③④．
故答案为：②③④ ．
考点六：平行线中的判定与性质综合探究题
例6. 综合与探究
如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝑃，𝑄分别在直线𝐴𝐵，𝐶𝐷上．
(1)如图1，𝐸是直线𝐴𝐵，𝐶𝐷之间一点，连接𝑃𝐸，𝑄𝐸．试说明∠𝑃𝐸𝑄= ∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐶𝑄𝐸．
(2)如图2，𝐹是直线𝐴𝐵，𝐶𝐷之间一点，连接𝑃𝐹，𝑄𝐹．若∠𝐴𝑃𝐹= 11°，∠𝐷𝑄𝐹= 72°，求∠𝑃𝐹𝑄的度数．
(3)如图3，𝑃𝐹平分∠𝐴𝑃𝐸，𝑄𝐹平分∠𝐷𝑄𝐸，试探究∠𝑃𝐸𝑄与∠𝑃𝐹𝑄之间的数量关系，并说明理由．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵，根据平行线的性质可得∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝑃𝐸𝐹，∠𝐹𝐸𝑄= ∠𝐶𝑄𝐸，即可得出结论；
（2）由（1）可得∠𝑃𝐹𝑄= ∠𝐴𝑃𝐹+ ∠𝐶𝑄𝐹，代入数据，即可求解．
（3）根据角平分线以及平角的定义可得∠𝐴𝑃𝐹= 1
2∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐸𝑄𝐹= ∠𝐹𝑄𝐷= 1
2∠𝐸𝑄𝐷= 1
2(180°−∠𝐶𝑄𝐸)，由
（1）可得∠𝑃𝐸𝑄= ∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐶𝑄𝐸，∠𝑃𝐹𝑄= ∠𝐴𝑃𝐹+ ∠𝐶𝑄𝐹，进而得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐴𝐵
∴∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝑃𝐸𝐹，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐸𝐹∥𝐴𝐵
∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷，
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∴∠𝐹𝐸𝑄= ∠𝐶𝑄𝐸，
∴∠𝑃𝐸𝑄= ∠𝑃𝐸𝐹+ ∠𝑄𝐸𝐹= ∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐶𝑄𝐸，
即∠𝑃𝐸𝑄= ∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐶𝑄𝐸；
（2）解：∵∠𝐷𝑄𝐹= 72°
∴∠𝐶𝑄𝐹= 180°−∠𝐷𝑄𝐹= 108°
∵∠𝐴𝑃𝐹= 11°，
由（1）可得∠𝑃𝐹𝑄= ∠𝐴𝑃𝐹+ ∠𝐶𝑄𝐹= 11° + 108° = 119°
（3）解：∠𝑃𝐹𝑄= 1
2∠𝑃𝐸𝑄+ 90°，理由如下：
∵𝑃𝐹平分∠𝐴𝑃𝐸，𝑄𝐹平分∠𝐷𝑄𝐸，
∴∠𝐴𝑃𝐹= 1
2∠𝐴𝑃𝐸，∠𝐸𝑄𝐹= ∠𝐹𝑄𝐷= 1
2∠𝐸𝑄𝐷= 1
2(180°−∠𝐶𝑄𝐸)
由（1）可得∠𝑃𝐸𝑄= ∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐶𝑄𝐸，∠𝑃𝐹𝑄= ∠𝐴𝑃𝐹+ ∠𝐶𝑄𝐹
∴∠𝑃𝐹𝑄= ∠𝐴𝑃𝐹+ ∠𝐶𝑄𝐸+ ∠𝐸𝑄𝐹
= 1
2∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐶𝑄𝐸+ 1
2(180°−∠𝐶𝑄𝐸)
= 1
2 (∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐶𝑄𝐸) + 90°
= 1
2 ∠𝑃𝐸𝑄+ 90°
即∠𝑃𝐹𝑄= 1
2∠𝑃𝐸𝑄+ 90°．
【变式1-1】【探究结论】如图1，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐺为平行线内一点，连接𝐵𝐺、𝐷𝐺得到∠𝐵𝐺𝐷，经推理证明可得
∠𝐵𝐺𝐷= ∠𝐵+ ∠𝐷．（不要求证明）
【探究应用】利用以上结论解决下面问题：
(1)如图2，∠𝐵𝐸𝐹和∠𝐸𝐹𝐷的平分线交于点𝐺，∠𝐺的度数是________；
(2)如图3，𝐸𝐼和𝐸𝐾为∠𝐵𝐸𝐹内满足∠1 = ∠2的两条线，分别与∠𝐸𝐹𝐷的平分线交于点𝐼和𝐾，试说明
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专题01 相交线与平行线（解析版）
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∠𝐹𝐼𝐸+ ∠𝐾= 180°；
(3)如图4，点𝑄为线段𝐸𝐹（端点除外）上的一个动点，过点𝑄作𝐸𝐹的垂线交𝐴𝐵于𝑅，交𝐶𝐷于𝐽，∠𝐴𝐸𝐹、∠𝐶𝐽𝑅
的平分线相交于𝑃，则∠𝐸𝑃𝐽= ________∘．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
（1）根据𝐸𝐺、𝐹𝐺分别平分∠𝐵𝐸𝐹和∠𝐸𝐹𝐷，得到∠𝐵𝐸𝐹= 2∠𝐹𝐸𝐺，∠𝐸𝐹𝐷= 2∠𝐺𝐹𝐸，由于𝐵𝐸∥𝐶𝐹到
∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°，于是得到2∠𝐹𝐸𝐺+ 2∠𝐺𝐹𝐷= 180°，即可得到结论；
（2）过点𝐼作𝐼𝐻∥𝐴𝐵，由已知可得∠𝐾= ∠1 + ∠3，∠𝐸𝐼𝐹= ∠𝐵𝐸𝐼+ ∠𝐼𝐹𝐷，得到∠3 = ∠𝐾𝐹𝐷，由于𝐹𝐾平分
∠𝐸𝐹𝐷，求得∠4 = ∠𝐾𝐹𝐷，由于∠1 = ∠2，于是得到∠𝐾= ∠2 + ∠4，由于∠𝐸𝐼𝐹= ∠𝐵𝐸𝐼+ ∠𝐼𝐹𝐷，得到
∠𝐸𝐼𝐹+ ∠𝐾= ∠2 + ∠4 + ∠𝐵𝐸𝐼+ ∠𝐼𝐹𝐷= ∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐷，然后根据平行线的性质即可得到结论；
（3）根据∠𝐴𝐸𝐹、∠𝐶𝐽𝑅的平分线相交于𝑃，得到∠𝐴𝐸𝐹= 2∠𝐴𝐸𝑃，∠𝐶𝐽𝑅= 2∠𝑃𝐽𝐶，由于𝐴𝐵∥𝐶𝐷，得到
∠𝐸𝑃𝐽= ∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝑃𝐼𝐶，且∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐽𝐹𝐸；根据𝑅𝐽⊥𝐸𝐹，得∠𝐸𝐹𝐽+ ∠𝐶𝐽𝑅= 90°，再利用等量代换即可得到
结论．
【详解】（1）解：∵𝐸𝐺、𝐹𝐺分别平分∠𝐵𝐸𝐹和∠𝐸𝐹𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐹= 2∠𝐵𝐸𝐺，∠𝐸𝐹𝐷= 2∠𝐺𝐹𝐷，
∵𝐵𝐸∥𝐶𝐹，
∴∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°，
∴2∠𝐹𝐸𝐺+ 2∠𝐺𝐹𝐸= 180°，
∴∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐺𝐹𝐸= 90°，
∵∠𝐸𝐺𝐹+ ∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐺𝐹𝐸= 180°，
∴∠𝐺= 90°,
故答案为：90°；
（2）证明：如图，过点I 作𝐼𝐻∥𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐼𝐻∥𝐶𝐷，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
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由已知可得∠𝐾= ∠1 + ∠3，∠𝐸𝐼𝐹= ∠𝐵𝐸𝐼+ ∠𝐼𝐹𝐷，
∴∠3 = ∠𝐾𝐹𝐷，
∵𝐹𝐾平分∠𝐸𝐹𝐷，
∴∠4 = ∠𝐾𝐹𝐷，
∵∠1 = ∠2，
∴∠𝐾= ∠2 + ∠4，
∵∠𝐸𝐼𝐹= ∠𝐵𝐸𝐼+ ∠𝐼𝐹𝐷，
∴∠𝐸𝐼𝐹+ ∠𝐾= ∠2 + ∠4 + ∠𝐵𝐸𝐼+ ∠𝐼𝐹𝐷= ∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐷，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐹+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°，
∴∠𝐸𝐼𝐹+ ∠𝐾= 180°；
（3）解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
同理∠𝐸𝑃𝐽= ∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝑃𝐼𝐶，且∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐽𝐹𝐸，
∵∠𝐴𝐸𝐹、∠𝐶𝐽𝑅的平分线相交于P，
∴∠𝐴𝐸𝐹= 2∠𝐴𝐸𝑃，∠𝐶𝐽𝑅= 2∠𝑃𝐽𝐶，
∵𝑅𝐽⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐹𝑄𝐽= 90°，
∴∠𝐸𝐹𝐽+ ∠𝐶𝐽𝑅= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐶𝐽𝑅= 90°，
∴2∠𝐴𝐸𝑃+ 2∠𝑃𝐽𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝑃+ ∠𝑃𝐽𝐶= 45°，
∴∠𝐸𝑃𝐽= 45°，
故答案为：45．
【变式1-2】已知直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，将一个含60°角的直角三板𝑃𝑀𝑁(∠𝑃= 90°,∠𝑃𝑀𝑁= 60°)按如图1 所示位置
摆放，使𝑁,𝑀分别在𝐴𝐵,𝐶𝐷上，P 在𝐴𝐵,𝐶𝐷之间，设∠𝑃𝑀𝐷= 𝛼(0° < 𝛼< 90°)．
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专题01 相交线与平行线（解析版）
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(1)比较：∠𝑃𝑁𝐵+ ∠𝑃𝑀𝐷_______∠𝑃（填“>”“<”或“=”）；
(2)如图2，分别画∠𝐵𝑁𝑀,∠𝑃𝑀𝐷的平分线，交于点Q，求∠𝑁𝑄𝑀的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，若𝑁𝐸平分∠𝐴𝑁𝑃，交𝐶𝐷于点E，过点N 作𝑁𝐹∥𝑀𝑄，交𝐶𝐷于点F．请在图3
中补全图形，并判断∠𝐸𝑁𝐹的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关
键．
（1）通过辅助线𝑃𝑄构造等角得出∠𝑃𝑁𝐵= ∠𝑁𝑃𝑄和∠𝑃𝑁𝐷= ∠𝑀𝑃𝑄，进而得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠𝐵𝑁𝑀= ∠𝑁𝑀𝐶，在平角中求出∠𝑁𝑀𝐶+ ∠𝑃𝑀𝐷，进而求出
1
2(∠𝑁𝑀𝐶+ ∠𝑃𝑀𝐷)，
再同（1）可求出∠𝑁𝑄𝑀的大小；
（3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出∠𝐴𝑁𝐹= ∠𝐷𝑀𝑄= 1
2∠𝑃𝑀𝐷,然后角平分线的性质求出
∠𝐴𝑁𝐸= 1
2(180°−∠𝐵𝑁𝑃)，最后通过角的和差关系求得∠𝐹𝑁𝐸= ∠𝐴𝑁𝐸−∠𝐴𝑁𝐹= 90°−1
2(∠𝐵𝑁𝑃 +∠𝑃𝑀𝐷)，
结合（1）即可求出结果．
【详解】（1）解： 如图， 过点𝑃作𝑃𝑄平行于𝐴𝐵， 则𝑃𝑄∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝑃𝑁𝐵= ∠𝑁𝑃𝑄,∠𝑃𝑀𝐷= ∠𝑀𝑃𝑄，
∵∠𝑁𝑃𝑄+ ∠𝑀𝑃𝑄= ∠𝑀𝑃𝑁= 90°，
∴∠𝑃𝑁𝐵+ ∠𝑃𝑀𝐷= ∠𝑀𝑃𝑁，
故答案为：= ；
（2）解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝑁𝑀= ∠𝑁𝑀𝐶，
∵∠𝐵𝑁𝑄= 1
2∠𝐵𝑁𝑀,∠𝐷𝑀𝑄= 1
2∠𝑃𝑀𝐷，
∴由（1）结论同理可得：∠𝑁𝑄𝑀= ∠𝐵𝑁𝑄+ ∠𝐷𝑀𝑄= 1
2(∠𝐵𝑁𝑀+ ∠𝑃𝑀𝐷) = 1
2(∠𝑁𝑀𝐶+ ∠𝑃𝑀𝐷)，
∵∠𝑁𝑀𝐶+ ∠𝑃𝑀𝐷= 180°−∠𝑃𝑀𝑁= 120°，
∴∠𝑁𝑄𝑀= 60°；
（3）解：根据题意补全图形如下：
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∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝑁𝐹= ∠𝑁𝐹𝐷，
∵𝑁𝐹∥𝑀𝑄，
∴∠𝑁𝐹𝐷= ∠𝐷𝑀𝑄，
∴∠𝐴𝑁𝐹= ∠𝐷𝑀𝑄，
∵𝑀𝑄平分∠𝑃𝑀𝐷，
∴∠𝐴𝑁𝐹= ∠𝐷𝑀𝑄= 1
2∠𝑃𝑀𝐷，
∵𝑁𝐸平分 ∠𝐴𝑁𝑃，
∴∠𝐴𝑁𝐸= 1
2∠𝐴𝑁𝑃= 1
2(180°−∠𝐵𝑁𝑃) = 90°−1
2∠𝐵𝑁𝑃，
∴∠𝐹𝑁𝐸= ∠𝐴𝑁𝐸−∠𝐴𝑁𝐹= 90°−1
2∠𝐵𝑁𝑃 −∠𝐷𝑀𝑄= 90°−1
2(∠𝐵𝑁𝑃+ ∠𝑃𝑀𝐷)，
由（1）知， ∠𝐵𝑁𝑃+ ∠𝑃𝑀𝐷= 90°,
∴∠𝐹𝑁𝐸= 90°−45° = 45°，
故∠𝐹𝑁𝐸的大小为定值，度数是 45°．
【变式1-3】已知直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点𝑀、𝑁分别是直线𝐴𝐵和𝐶𝐷上的两点，点𝐺为直线𝐴𝐵和𝐶𝐷之间的一点，连
接𝑀𝐺、𝑁𝐺．
(1)如图1，若∠𝐵𝑀𝐺= 𝛼，∠𝐷𝑁𝐺= 𝛽，试说明∠𝐺= 𝛼+ 𝛽；
(2)如图2，在（1）的结论下，点𝑃是直线𝐶𝐷下方一点，满足𝑀𝐺平分∠𝐵𝑀𝑃，𝑁𝐷平分∠𝐺𝑁𝑃．若
∠𝐵𝑀𝐺= 35°，求∠𝐺+ ∠𝑃的度数；
(3)如图3，点𝑃是直线𝐴𝐵上方一点，连结𝑃𝑀、𝑃𝑁，若点𝐺为线段𝑁𝑄上一点，𝐺𝑀的延长线为∠𝐴𝑀𝑃的三等
分线，𝑁𝑃平分∠𝐶𝑁𝐺，∠𝑀𝐺𝑁= 100°−2∠𝑃，则∠𝐴𝑀𝑃= _________．
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【分析】本题考查了平行线的性质，准确识图、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点𝐺作𝐺𝐻∥𝐴𝐵，证明𝐴𝐵∥𝐺𝐻∥𝐶𝐷，得∠𝑀𝐺𝐻= ∠𝐵𝑀𝐺，∠𝑁𝐺𝐻= ∠𝐷𝑁𝐺，则
∠𝑀𝐺𝐻+ ∠𝑁𝐺𝐻= ∠𝐵𝑀𝐺+ ∠𝐷𝑁𝐺，即可得出结论；
（2）过点𝑃作𝑃𝐸∥𝐶𝐷，先求出∠𝐵𝑀𝑃= 70°，根据𝑁𝐷平分∠𝐺𝑁𝑃，设∠𝐷𝑁𝐺= ∠𝑃𝑁𝐺= 𝜃，得
∠𝑀𝑃𝐸= ∠𝐵𝑀𝑃= 70°，则∠𝑀𝑃𝑁= 70°−𝜃，由（1）的结论得∠𝐺= ∠𝐵𝑀𝐺+ ∠𝐷𝑁𝐺= 35° + 𝜃，即可求解；
（3）设点𝐾在𝐺𝑀的延长线上，过点𝑃作𝑃𝐹∥𝐴𝐵，再分以下两种情况：①当∠𝑃𝑀𝐾= 1
3∠𝐴𝑀𝑃时，设
∠𝑃𝑀𝐾= 𝛼，根据𝑁𝑃平分∠𝐶𝑁𝐺，设∠𝐶𝑁𝑃= ∠𝐺𝑁𝑃= 𝛽，则∠𝐷𝑁𝐺= 180°−2𝛽，由（1）的结论得∠𝑀𝐺𝑁，
得∠𝐹𝑃𝑁= ∠𝐶𝑁𝑃，∠𝐹𝑃𝑁= ∠𝐴𝑀𝑃，则∠𝑀𝑃𝑁= 𝛽−3𝛼，再根据∠𝑀𝐺𝑁= 100°−2∠𝑀𝑃𝑁即可求解；②当
∠𝐴𝑀𝐾= 1
3∠𝐴𝑀𝑃时，设∠𝐴𝑀𝐾= 𝛼，则∠𝐴𝑀𝑃= 3𝛼,∠𝑄𝑀𝐺= ∠𝐴𝑀𝐾= 𝛼，设∠𝐶𝑁𝑃= ∠𝐺𝑁𝑃= 𝛽，则
∠𝐷𝑁𝐺= 180°−2𝛽，由（1）的结论得∠𝑀𝐺𝑁，同①得∠𝑀𝑃𝑁= 𝛽−3𝛼，根据∠𝑀𝐺𝑁= 100°−2∠𝑀𝑃𝑁，即可
得出∠𝐴𝑀𝑃，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点𝐺作𝐺𝐻∥𝐴𝐵（点𝐻在点𝐺的左侧），如图所示：
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵∥𝐺𝐻∥𝐶𝐷，
∴∠𝑀𝐺𝐻= ∠𝐵𝑀𝐺，∠𝑁𝐺𝐻= ∠𝐷𝑁𝐺，
∴∠𝑀𝐺𝐻+ ∠𝑁𝐺𝐻= ∠𝐵𝑀𝐺+ ∠𝐷𝑁𝐺，
∴∠𝑀𝐺𝑁= ∠𝑀𝐺𝐻+ ∠𝑁𝐺𝐻，∠𝐵𝑀𝐺= 𝛼，∠𝐷𝑁𝐺= 𝛽，
∴∠𝑀𝐺𝑁= 𝛼+ 𝛽；
（2）解：过点𝑃作𝑃𝐸∥𝐶𝐷（点𝐸在点𝑃的左侧），如图所示：
∵𝑀𝐺平分∠𝐵𝑀𝑃，∠𝐵𝑀𝐺= 35°，
∴∠𝐵𝑀𝑃= 2∠𝐵𝑀𝐺= 70°，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
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∵𝑁𝐷平分∠𝐺𝑁𝑃，
设∠𝐷𝑁𝐺= ∠𝑃𝑁𝐺= 𝜃，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝑃𝐸∥𝐶𝐷
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝑃𝐸，
∴∠𝑀𝑃𝐸= ∠𝐵𝑀𝑃= 70°，∠𝑁𝑃𝐸= ∠𝑃𝑁𝐺= 𝜃，
∴∠𝑀𝑃𝑁= ∠𝑀𝑃𝐸−∠𝑁𝑃𝐸= 70°−𝜃，
由（1）的结论得：∠𝐺= ∠𝐵𝑀𝐺+ ∠𝐷𝑁𝐺= 35° + 𝜃，
∴∠𝐺+ ∠𝑀𝑃𝑁= 35° + 𝜃+ 70°−𝜃= 105°；
（3）解：设点𝐾在𝐺𝑀的延长线上，过点𝑃作𝑃𝐹∥𝐴𝐵（点𝐹在点𝑃的右侧），
∵𝐺𝑀的延长线为∠𝐴𝑀𝑃的三等分线，
有以下两种情况：
①当∠𝑃𝑀𝐾= 1
3∠𝐴𝑀𝑃时，如图所示：
设∠𝑃𝑀𝐾= 𝛼，则∠𝐴𝑀𝑃= 3𝛼，
∴∠𝐴𝑀𝐾= ∠𝐴𝑀𝑃−∠𝑃𝑀𝐾= 2𝛼，
∴∠𝑄𝑀𝐺= ∠𝐴𝑀𝐾= 2𝛼，
∵𝑁𝑃平分∠𝐶𝑁𝐺，
设∠𝐶𝑁𝑃= ∠𝐺𝑁𝑃= 𝛽，
∴∠𝐶𝑁𝐺= 2𝛽，
∴∠𝐷𝑁𝐺= 180°−∠𝐶𝑁𝐺= 180°−2𝛽，
由（1）的结论得：∠𝑀𝐺𝑁= ∠𝐷𝑁𝐺+ ∠𝑄𝑀𝐺= 180°−2𝛽+ 2𝛼，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷,𝑃𝐹∥𝐴𝐵，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝑃𝐹，
∴∠𝐹𝑃𝑁= ∠𝐶𝑁𝑃= 𝛽,∠𝐹𝑃𝑁= ∠𝐴𝑀𝑃= 3𝛼，
∴∠𝑀𝑃𝑁= ∠𝐹𝑃𝑁−∠𝐹𝑃𝑁= 𝛽−3𝛼，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 59 页 共 86 页
∵∠𝑀𝐺𝑁= 100°−2∠𝑀𝑃𝑁，
∴180°−2𝛽+ 2𝛼= 100°−2(𝛽−3𝛼)，
解得：𝛼= 20°，
∴∠𝐴𝑀𝑃= 3𝛼= 60°；
②当∠𝐴𝑀𝐾= 1
3∠𝐴𝑀𝑃时，如图所示：
设∠𝐴𝑀𝐾= 𝛼，则∠𝐴𝑀𝑃= 3𝛼，
∴∠𝑄𝑀𝐺= ∠𝐴𝑀𝐾= 𝛼，
∵𝑁𝑃平分∠𝐶𝑁𝐺，
设∠𝐶𝑁𝑃= ∠𝐺𝑁𝑃= 𝛽，
∴∠𝐶𝑁𝐺= 2𝛽，
∴∠𝐷𝑁𝐺= 180°−∠𝐶𝑁𝐺= 180°−2𝛽，
由（1）的结论得：∠𝑀𝐺𝑁= ∠𝐷𝑁𝐺+ ∠𝑄𝑀𝐺= 180°−2𝛽+ 𝛼，
同①得：∠𝑀𝑃𝑁= 𝛽−3𝛼，
∵∠𝑀𝐺𝑁= 100°−2∠𝑀𝑃𝑁，
∴180°−2𝛽+ 𝛼= 100°−2(𝛽−3𝛼)，
解得：𝛼= 16°，
∴∠𝐴𝑀𝑃= 3𝛼= 48°．
综上所述：∠𝐴𝑀𝑃= 60°或48°．
故答案为：60°或48°．
考点七：：平行线中的动态旋转问题
例7. 如图1，点𝑂为直线𝐴𝐵上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点𝑂处，直角边
𝑂𝐷，𝑂𝐸分别在射线𝑂𝐴，𝑂𝐵上，且∠𝐶𝑂𝐷= 60°，∠𝐸𝑂𝐹= 45°．
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 60 页 共 86 页
(1)将图1 中的三角板𝑂𝐸𝐹绕点𝑂按逆时针方向旋转至图2 的位置，使得𝑂𝐹落在射线𝑂𝐵上，此时三角板𝑂𝐸𝐹
旋转的角度为___________度．
(2)继续将图2 中的三角板𝑂𝐸𝐹绕点𝑂按逆时针方向旋转至图3 的位置，使得𝑂𝐹在∠𝐴𝑂𝐶的内部，试探究∠𝐴𝑂𝐸
与∠𝐶𝑂𝐹之间满足什么等量关系，并说明理由．
(3)在上述直角三角板𝑂𝐸𝐹从图1 旋转到图3 的位置的过程中，若三角板绕点𝑂按每秒6°的速度旋转，当直角
三角板𝑂𝐸𝐹的边所在的直线恰好平行于直角三角板𝐷𝑂𝐶的一边时，直接写出此时三角板𝑂𝐸𝐹绕点𝑂的运动时
间𝑡(𝑡> 0)的值．
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论．
（1）根据∠𝐵𝑂𝐸的度数就是旋转的角度求解即可；
（2）由图3 可知，∠𝐶𝑂𝐹+ ∠𝐷𝑂𝐹= 60°，∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐷𝑂𝐹= 45°，则可求解；
（3）分情况讨论：①当𝐸𝐹∥𝑂𝐶时；②当𝑂𝐸∥𝐶𝐷时；③当𝑂𝐹∥𝐶𝐷时；④当𝐸𝐹∥𝐶𝐷时；分别求出旋转的
度数，再除以旋转速度便可得时间．
【详解】（1）解：∵ ∠𝐸𝑂𝐹= 45°，
∴ 𝑂𝐹落在射线𝑂𝐵上时，𝑂𝐹旋转的角度是45°，
∴三角板𝑂𝐸𝐹旋转的角度为45°，
故答案为：45；
（2）∠𝐶𝑂𝐹−∠𝐴𝑂𝐸= 15°，理由如下：
由图3 可知，∠𝐶𝑂𝐹+ ∠𝐷𝑂𝐹= 60°，∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐷𝑂𝐹= 45°，
∴ ∠𝐶𝑂𝐹+ ∠𝐷𝑂𝐹−(∠𝐴𝑂𝐸+ ∠𝐷𝑂𝐹) = 60°−45° = 15°，
即∠𝐶𝑂𝐹−∠𝐴𝑂𝐸= 15°；
（3）①当𝐸𝐹∥𝑂𝐶时，∠𝐵𝑂𝐸= 30°或210°，
∴ 𝑡= 30° ÷ 6° = 5或𝑡= 210° ÷ 6° = 35；
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第 61 页 共 86 页
②当𝑂𝐸∥𝐶𝐷时，∠𝐵𝑂𝐸= 90°，
∴ 𝑡= 90° ÷ 6° = 15；
③当𝑂𝐹∥𝐶𝐷时，∠𝐵𝑂𝐹= 90°，
∠𝐵𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐹+ ∠𝐸𝑂𝐹= 90° + 45° = 135°，
∴ 𝑡= 135° ÷ 6° = 22.5；
④当𝐸𝐹∥𝐶𝐷时，∠𝐵𝑂𝐸= 180°，
∴ 𝑡= 180° ÷ 6° = 30；
综上所述，𝑡的值为5或15或22.5或30或35．
【变式1-1】如图，直线𝑃𝑄∥𝑀𝑁，一副三角尺（∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 90°，∠𝐴𝐶𝐵= 30°，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶= 45°）按如图①放置，其中点E 在直线𝑃𝑄上，点B，C 均在直线𝑀𝑁上，且𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑁．
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AI
(1)求∠𝐷𝐸𝑄的度数．
(2)如图②，若将三角形𝐴𝐵𝐶绕点B 以每秒4 度的速度按逆时针方向旋转（A，C 的对应点分别为F，G），
当𝐵𝐺落在射线𝐵𝑀上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当𝐵𝐺落在射线𝐵𝑁上时，运动停止．设旋转时间为
t（s）．
①在旋转过程中，若边𝐵𝐺∥𝐶𝐷，求t 的值．
②若在三角形𝐴𝐵𝐶绕点B 旋转的同时，三角形𝐶𝐷𝐸绕点E 以每秒1 度的速度按顺时针方向旋转（C，D 的对
应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当∠𝐺𝐵𝑁的角平分线与∠𝐻𝐸𝐾的角平分线平行时t 的
值．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思
想解决问题．
（1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题．
（2）①首先证明∠𝐺𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝑁= 30°，由此构建方程求解，即可解题．
②分两种情形：当当𝐵𝐺转到𝐵𝑀之前时，构建方程即可解决问题．当𝐵𝐺落在射线𝐵𝑀上时返回𝐵𝑁，构建方
程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
∴∠𝐶𝐴𝑁= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 150°，
∵ 𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑁，
∴∠𝐸𝐶𝑁= 1
2∠𝐶𝐴𝑁= 75°，
∵𝑃𝑄∥𝑀𝑁，
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第 63 页 共 86 页
∴∠𝑄𝐸𝐶＋∠𝐸𝐶𝑁= 180°，
∴∠𝑄𝐸𝐶= 180°−75° = 105°，
∴∠𝐷𝐸𝑄= ∠𝑄𝐸𝐶−∠𝐶𝐸𝐷= 105°−45° = 60°；
（2）解：①如图，
当𝐵𝐺转到𝐵𝑀之前时
∵𝐵𝐺∥𝐶𝐷，
∴∠𝐺𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝑁，
∵∠𝐷𝐶𝑁= ∠𝐸𝐶𝑁−∠𝐸𝐶𝐷= 75°−45° = 30°，
∴∠𝐺𝐵𝐶= 30°，
∴4𝑡= 30°，
∴𝑡= 7.5s，
当𝐵𝐺落在射线𝐵𝑀上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当𝐵𝐺未落在射线𝐵𝑁上时
∴4𝑡= 180° × 2−30°
∴𝑡= 82.5s
∴在旋转过程中，若边𝐵𝐺∥𝐶𝐷，t 的值为7.5s或82.5s；
②当𝐵𝐺转到𝐵𝑀之前时
△𝐴𝐵𝐶绕点B 旋转，𝐵𝐹平分∠𝐺𝐵𝑁的角平分线，
∠𝐺𝐵𝑁= 4𝑡，∠𝐹𝐵𝑁= 2𝑡 ；
△𝐶𝐷𝐸绕点E 旋转，𝐸𝐼平分∠𝐻𝐸𝐾
∠𝑄𝐸𝐼= 60° + 𝑡+ 1
2𝐻𝐸𝐾= 82.5° + 𝑡，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 64 页 共 86 页
当𝐵𝐹∥𝐸𝐼时
∠𝐹𝐵𝑁= ∠𝐹𝐼𝑁
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄
∴∠𝑄𝐸𝐼+ ∠𝐸𝐼𝑁= 180°
即2𝑡+ 82.5° + 𝑡= 180°
解得：𝑡= 32.5；
当𝐵𝐺落在射线𝐵𝑀上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当𝐵𝐺未落在射线𝐵𝑁上时
如图
∠𝐺𝐵𝑁= 360°−4𝑡，
∠𝐹𝐵𝑁= 180°−2𝑡，∠𝑄𝐸𝐼= 60° + 𝑡+ 1
2𝐻𝐸𝐾= 82.5° + 𝑡
∠1 = 180°−∠𝑄𝐸𝐼= 180°−(82.5° + 𝑡) = 97.5°−𝑡
当𝐵𝐹∥𝐸𝐼时
∠1 = 2，
∵𝑀𝑁∥𝑃𝑄
∴∠2 = ∠𝐹𝐵𝑁，
∵∠1 = ∠𝐹𝐵𝑁
即97.5°−𝑡= 180°−2𝑡
解得：𝑡= 82.5；
【变式1-2】如图，直线𝑃𝑄∥𝑀𝑁，一副三角板（∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 90°，∠𝐴𝐶𝐵= 30°，∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶= 45°）按如图1 放置，其中点E 在直线𝑃𝑄上，点B，C 均在直线𝑀𝑁上，且𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑁；
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(1)求∠𝐷𝐸𝑄的度数；
(2)如图2，若将△𝐴𝐵𝐶绕B 点以每秒6°的速度按逆时针方向旋转（A、C 的对应点分别为F、G）．设旋转
时间为t 秒(0 ≤𝑡≤60)；
①在旋转过程中，若边𝐵𝐺∥𝐶𝐷，求t 的值；
②若在△𝐴𝐵𝐶绕B 点旋转的同时，△𝐶𝐷𝐸绕E 点以每秒3°的速度按顺时针方向旋转（C、D 的对应点分别
为K、T），请直接写出𝐸𝐾与𝐵𝐺平行时𝑡的值．
【分析】（1）首先求出∠𝐴𝐶𝑁，根据角平分线的定义求出∠𝐸𝐶𝑁，再根据平行线的性质求出∠𝑄𝐸𝐶，继而可
得结果；
（2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t 的方程，解之即可；②表示出
∠𝐶𝐸𝐾= 3𝑡°，∠𝐶𝐵𝐺= 6𝑡°，分三种情况（如解析所示），画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解
即可．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝑁= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 150°，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝑁，
∴∠𝐸𝐶𝑁= 1
2∠𝐴𝐶𝑁= 75°，
∵𝑃𝑄∥𝑀𝑁，
∴∠𝑄𝐸𝐶+ ∠𝐸𝐶𝑁= 180°，
∴∠𝑄𝐸𝐶= 180°−75° = 105°，
∴∠𝐷𝐸𝑄= ∠𝑄𝐸𝐶−∠𝐶𝐸𝐷= 105°−45° = 60°．
（2）解：①如图，当𝐵𝐺在𝑀𝑁上方时，∵𝐵𝐺∥𝐶𝐷，
∴∠𝐺𝐵𝐶= ∠𝐷𝐶𝑁，
∵∠𝐷𝐶𝑁= ∠𝐸𝐶𝑁−∠𝐸𝐶𝐷= 75°−45° = 30°，
∴∠𝐺𝐵𝐶= 30°，
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第 66 页 共 86 页
∴6𝑡= 30，
∴𝑡= 5．
如图，当𝐵𝐺在𝑀𝑁下方时，∵𝐵𝐺∥𝐶𝐷，
∴∠𝐺𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷，
∵∠𝐷𝐶𝑁= 30°，
∴∠𝐺𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷= 150°，
此时△𝐴𝐵𝐶旋转了360°−150° = 210°，
∴6𝑡= 210，
∴𝑡= 35．
∴在旋转过程中，若边𝐵𝐺∥𝐶𝐷，𝑡的值为5 或35．
②如图，延长𝐵𝐺，与𝑃𝑄交于H，由题意得，∠𝐶𝐸𝐾= 3𝑡°，∠𝐶𝐵𝐺= 6𝑡°，
∵𝐵𝐺∥𝐸𝐾，
∴∠𝐺𝐻𝐸= ∠𝐾𝐸𝑄，
∵𝑃𝑄∥𝑀𝑁，
∴∠𝐶𝐵𝐺+ ∠𝐺𝐻𝐸= 180°，
∴∠𝐶𝐵𝐺+ ∠𝐾𝐸𝑄= 180°，
即3𝑡+ 6𝑡+ 105 = 180，
解得：𝑡=
25
3 ；
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如图，过点C 作𝐶𝐻∥𝐸𝐾，
∵𝐵𝐺∥𝐸𝐾，
∴𝐶𝐻∥𝐵𝐺，
∴∠𝐺𝐵𝑀= ∠𝐻𝐶𝑀= 180°−6𝑡°，∠𝐾𝐸𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐻= 180°，
∴∠𝐸𝐶𝐻= ∠𝐸𝐶𝑀−∠𝐻𝐶𝑀= 105°−(180°−6𝑡°) = 6𝑡°−75°，∠𝐶𝐸𝐾= 3𝑡°，
∴3𝑡+ 6𝑡−75 = 180，
解得：𝑡=
85
3 ；
如图，延长𝐺𝐵，与𝑃𝑄交于H，
∵𝑃𝑄∥𝑀𝑁，
∴∠𝐶𝐵𝐺= ∠𝐵𝐻𝑄= 360°−6𝑡°，
∵𝐵𝐺∥𝐸𝐾，
∴∠𝐵𝐻𝑄= ∠𝐻𝐸𝐾= 360°−6𝑡°，
∴∠𝐻𝐸𝐶= ∠𝐶𝐸𝐾−∠𝐻𝐸𝐾= 75°，
即3𝑡−(360−6𝑡) = 75，
解得：𝑡=
145
3 ；
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综上：t 的值为
25
3 或
85
3 或
145
3 ．
【变式1-3】如图，已知𝐴𝐵∥𝐶𝐷,𝑃是直线𝐴𝐵，𝐶𝐷间的一点，𝑃𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，𝑃𝐸交𝐴𝐵于点𝐸，∠𝐹𝑃𝐸= 120°．
(1)∠𝐴𝐸𝑃= ．
(2)如图2，射线𝑃𝑁从𝑃𝐹出发，以每秒45°的速度绕𝑃点按逆时针方向旋转，当𝑃𝑁垂直𝐴𝐵时，立刻按原速返
回至𝑃𝐹后停止运动；射线𝐸𝑀从𝐸𝐴出发，以每秒20°的速度绕𝐸点按逆时针方向旋转至𝐸𝐵后停止运动，若射
线𝑃𝑁，射线𝐸𝑀同时开始运动，设运动时间为𝑡秒．
①当∠𝑀𝐸𝑃= 10°时，请求出∠𝐸𝑃𝑁的度数；
②当𝐸𝑀∥𝑃𝑁时，请求出𝑡的值．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判
定和性质是解题的关键．
（1）过点P 作𝑃𝐺∥𝐴𝐵，则∠𝐴𝐸𝑃= ∠𝐸𝑃𝐺，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得
∠𝐺𝑃𝐹= ∠𝑃𝐹𝐶= 90°，再利用角的和差即可求解；
（2）①当∠𝑀𝐸𝑃= 10°时，分两种情况，当𝑀𝐸在𝐴𝐸和𝐸𝑃之间，当𝑀𝐸在𝐸𝑃和𝐸𝐵之间，计算出𝑀𝐸的运动时
间t，根据运动时间可计算出∠𝐹𝑃𝑁，由已知∠𝐹𝑃𝐸= 120°可计算出∠𝐸𝑃𝑁的度数；
②分四种情况：当0 ≤𝑡≤
3
2、
3
2 < 𝑡≤4、4 < 𝑡≤8与8 < 𝑡≤9，根据平行线的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：过点P 作𝑃𝐺∥𝐴𝐵，则∠𝐴𝐸𝑃= ∠𝐸𝑃𝐺，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
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∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝑃𝐹⊥𝐶𝐷，
∴𝑃𝐺∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝑃𝐹𝐶= 90°，
∴∠𝐺𝑃𝐹= ∠𝑃𝐹𝐶= 90°，
∵∠𝐹𝑃𝐸= 120°，
∴∠𝐴𝐸𝑃= ∠𝐸𝑃𝐺= 30°；
（2）解：①当𝑀𝐸在𝐴𝐸和𝐸𝑃之间时，如图2，
∵∠𝐴𝐸𝑃= 30°，∠𝑀𝐸𝑃= 10°，
∴∠𝐴𝐸𝑀= 20°，
∴射线𝑀𝐸运动的时间𝑡= 20
20 = 1秒，
∴射线𝑃𝑁旋转的角度∠𝐹𝑃𝑁= 1 × 45° = 45°，
又∵∠𝐸𝑃𝐹= 120°，
∴∠𝐸𝑃𝑁= ∠𝐸𝑃𝐹−∠𝐸𝑃𝑁= 120°−45° = 75°；
当𝑀𝐸在𝐸𝑃和𝐸𝐵之间时，如图3 所示，
∵∠𝐴𝐸𝑃= 30°，∠𝑀𝐸𝑃= 10°，
∴∠𝐴𝐸𝑀= 40°，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 70 页 共 86 页
∴射线ME 运动的时间𝑡= 40
20 = 2秒，
∴射线𝑃𝑁旋转的角度∠𝐹𝑃𝑁= 2 × 45° = 90°，
又∵∠𝐸𝑃𝐹= 120°，
∴∠𝐸𝑃𝑁= ∠𝐸𝑃𝐹−∠𝐹𝑃𝑁= 120°−90° = 30°；
∴∠𝐸𝑃𝑁的度数为75°或30°；
②当0 ≤𝑡≤
30
20，即0 ≤𝑡≤
3
2时，若𝐸𝑀∥𝑃𝑁，如图，
则∠𝑀𝐸𝑃= ∠𝐸𝑃𝑁，即30−20𝑡= 120−45𝑡，
解得：𝑡=
18
5 ，不合题意，舍去；
当
3
2 < 𝑡≤4时，若𝐸𝑀∥𝑃𝑁，如图，
则∠𝑀𝐸𝑃= ∠𝐸𝑃𝑁，即20𝑡−30 = 45𝑡−120，
解得：𝑡= 3.6；
当4 < 𝑡≤8时，若𝐸𝑀∥𝑃𝑁，如图，
则∠𝑀𝐸𝑃+ ∠𝐸𝑃𝑁= 180°，即20𝑡−30 + 45(𝑡−4)−60 = 180，
解得：𝑡=
90
13；
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第 71 页 共 86 页
当8 < 𝑡≤9时，不存在𝐸𝑀,𝑃𝑁互相平行的情况；
综上，当𝐸𝑀∥𝑃𝑁时，t 的值是3.6或
90
13．
➢复习提升
1．将一定宽度的纸带与一直角三角尺按如图所示的方式放置，下列结论中能判定纸带边𝑎∥𝑏的有（ ）
①∠1 = ∠2；②∠3 = ∠4；③∠2 + ∠4 = 90°；④∠4 + ∠5 = 180°；⑤∠1 + ∠4 = 90°．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行可判定①⑤，根据内错角相等，两
直线平行可判定②，根据同旁内角互补可判断④．
【详解】解：①∵∠1 = ∠2，
∴𝑎∥𝑏，故①可以；
②∵∠3=∠4，
∴𝑎∥𝑏，故②可以；
③∠2+∠4=90°，无法得出𝑎∥𝑏，故③不可以；
④∵∠4 + ∠5 = 180°，
∴𝑎∥𝑏，故④可以；
⑤∵∠2 + ∠4 = 90°，∠1 + ∠4 = 90°，
∴∠1 = ∠2，
∴𝑎∥𝑏，故⑤可以．
综上所述，能判定纸带边𝑎∥𝑏的有4 个．
故选：C．
2．下列命题中，①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线
与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种；④不相交的两条
直线是平行线；⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为补角是假命题的有（ ）
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 72 页 共 86 页
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、
平行线的定义、邻补角的定义．
根据解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义、邻补角的定义进行分析，即可得
到答案．
【详解】①过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调过直线外一点，故错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；
③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交，平行两种，故正确；
④不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否在同一个平面内，故错误；
⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，互为补角需两角之和为180° 故错误；
综上所述正确的有∶②、③ 共2 个；错误的有∶①、④、⑤共3 个
故选：C．
3．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，𝐶𝐹，𝐵𝐺交于点𝐴，𝐹𝐺∥𝐷𝐸∥𝐵𝐶，∠𝐹𝐴𝐺= 40°，𝐴𝐶平分
∠𝐵𝐴𝐷，若设∠𝐴𝐷𝐸= 𝑥°，∠𝐺= 𝑦°，则𝑥和𝑦之间的关系是( )
A．𝑥+ 2𝑦= 180
B．𝑥−2𝑦= 60
C．𝑥−𝑦= 80
D．𝑥+ 𝑦= 150
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应
用平行线的性质是解题的关键．过点𝐴作𝐴𝑀∥𝐷𝐸，由平行公理得𝐴𝑀∥𝐹𝐺∥𝐷𝐸，根据平行线的性质得
∠𝑀𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，∠𝐺𝐴𝑀= ∠𝐺，由角平分线的定义得∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐵𝐴𝐶，由∠𝐺𝐴𝐷= ∠𝐺𝐴𝑀+ ∠𝑀𝐴𝐷，
得到含有𝑥和𝑦的等式，化简即可得到𝑥和𝑦之间的关系．
【详解】解：如图，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 73 页 共 86 页
过点𝐴作𝐴𝑀∥𝐷𝐸，
∵ 𝐹𝐺∥𝐷𝐸，
∴ 𝐴𝑀∥𝐹𝐺∥𝐷𝐸，
∵ 𝐴𝑀∥𝐷𝐸，
∴∠𝑀𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
∵∠𝐴𝐷𝐸= 𝑥°，
∴∠𝑀𝐴𝐷= 180°−∠𝐴𝐷𝐸= 180°−𝑥°，
∵ 𝐴𝑀∥𝐹𝐺，∠𝐺= 𝑦°，
∴∠𝐺𝐴𝑀= ∠𝐺= 𝑦°，
∵∠𝐹𝐴𝐺= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐺= 40°，
∵𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐵𝐴𝐶= 80°，
∴∠𝐺𝐴𝐷= 180°−∠𝐵𝐴𝐷= 180°−80° = 100°，
∵∠𝐺𝐴𝐷= ∠𝐺𝐴𝑀+ ∠𝑀𝐴𝐷，
∴𝑦+ (180−𝑥) = 100，
即𝑥−𝑦= 80．
故选：C．
4．如图，𝐴𝐵与𝐻𝑁交于点𝐸，点𝐺在直线𝐶𝐷上，∠𝐹𝑀𝐴= ∠𝐹𝐺𝐶，∠𝐹𝐸𝑁= 2∠𝑁𝐸𝐵，∠𝐹𝐺𝐻= 2∠𝐻𝐺𝐶，下列
四个结论：①𝐴𝐵∥𝐶𝐷；②∠𝐹𝐸𝑁+ ∠𝐹𝐺𝐻= 2∠𝐸𝐻𝐺；③∠𝐸𝐻𝐺+ ∠𝐸𝐹𝑀= 90°；
④3∠𝐸𝐻𝐺−∠𝐸𝐹𝑀= 180°．其中正确的结论是（ ）
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 74 页 共 86 页
A．①②④
B．①③
C．①②
D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出𝐴𝐵∥𝐶𝐷，过点H
作𝐻𝑄∥𝐴𝐵，由平行线的性质可得出②，设∠𝑁𝐸𝐵= 𝑥,∠𝐻𝐺𝐶= 𝑦，则∠𝐹𝐸𝑁= 2𝑥，∠𝐹𝐺𝐻= 2𝑦， 可判断③④．
【详解】解：∵∠𝐹𝑀𝐴= ∠𝐹𝐺𝐶，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴①正确；
过点H 作𝐻𝑄∥𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵∥𝐻𝑄∥𝐶𝐷，
∴∠𝑁𝐸𝐵= ∠𝐸𝐻𝑄，∠𝑄𝐻𝐺= ∠𝐻𝐺𝐶，
∴∠𝐸𝐻𝑄+ ∠𝑄𝐻𝐸= ∠𝑁𝐸𝐵+ ∠𝐻𝐺𝐶，
即∠𝐸𝐻𝐺= ∠𝑁𝐸𝐵+ ∠𝐻𝐺𝐶，
∵∠𝐹𝐸𝑁= 2∠𝑁𝐸𝐵,∠𝐹𝐺𝐻= 2∠𝐻𝐺𝐶，
∴∠𝐸𝐻𝐺= 1
2∠𝐹𝐸𝑁+ 1
2∠𝐹𝐺𝐻，
即∠𝐹𝐸𝑁+ ∠𝐹𝐺𝐻= 2∠𝐸𝐻𝐺，
∴②正确．
设∠𝑁𝐸𝐵= 𝑥,∠𝐻𝐺𝐶= 𝑦，则∠𝐹𝐸𝑁= 2𝑥，∠𝐹𝐺𝐻= 2𝑦，
由②知∠𝐸𝐻𝐺= ∠𝑁𝐸𝐵+ ∠𝐻𝐺𝐶= 𝑥+ 𝑦，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 75 页 共 86 页
作𝐹𝑃∥𝐴𝐵，
∴∠𝑃𝐹𝐸= ∠𝐹𝐸𝑀,∠𝑃𝐹𝑀= 180°−∠𝐹𝑀𝐸，
∠𝐸𝐹𝑀= ∠𝑃𝐹𝑀−∠𝑃𝐹𝐸
= 180°−∠𝐵𝑀𝐹−∠𝐹𝐸𝑀
= ∠𝐵𝐸𝐹−∠𝐹𝑀𝐸
= ∠𝐵𝐸𝐹−∠𝐴𝑀𝐺
= ∠𝐵𝐸𝐹−(180°−∠𝐹𝐺𝐶)
= 𝑥+ 2𝑥−(180°−2𝑦−𝑦) = 3𝑥+ 3𝑦−180°，
∴∠𝐸𝐻𝐺+ ∠𝐸𝐹𝑀= 𝑥+ 𝑦+ 3𝑥+ 3𝑦−180° = 4𝑥+ 4𝑦−180°，无法判断是否为90°，
∴③错误；
∴3∠𝐸𝐻𝐺−∠𝐸𝐹𝑀= 3(𝑥+ 𝑦)−(3𝑥+ 3𝑦−180°) = 180°，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故选：A．
5．如图，图①是长方形纸带，∠𝐷𝐸𝐹= 26°，将纸带沿𝐸𝐹折叠成图②，再沿𝐵𝐹折叠成图③，则图③中的∠𝐶𝐹𝐸
的度数是
．
【答案】102°/102 度
【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题
的关键．
由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为长方形，利用平行线的性质可得出∠𝐵𝐹𝐸和∠𝐶𝐹𝐸，再结合∠𝐶𝐹𝐺= ∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐵𝐹𝐸及
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 76 页 共 86 页
∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐺−∠𝐵𝐹𝐸，即可求出∠𝐶𝐹𝐸．
【详解】解：图①中∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为长方形，∠𝐷𝐸𝐹= 26°，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹= 26°，
∴∠𝐶𝐹𝐸= 180°−26° = 154°，
∴图②中∠𝐶𝐹𝐺= ∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐵𝐹𝐸= 180°−26°−26° = 128°，
∴图③中∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶𝐹𝐺−∠𝐵𝐹𝐸= 128°−26° = 102°，
故答案为：102°．
6．直线𝐴𝐵,𝐶𝐷,𝐸𝐹相交于点O，且𝐶𝐷⊥𝐸𝐹，𝑂𝐺平分∠𝐵𝑂𝐹．
(1)如图1，①∠𝐴𝑂𝐷的余角有_______．（填写所有符合情况的角）
②若∠𝐴𝑂𝐷:∠𝐶𝑂𝐺= 2:3，求∠𝐴𝑂𝐷的度数．
(2)如图2，请直接写出∠𝐴𝑂𝐷与∠𝐶𝑂𝐺的数量关系为________．
【答案】(1)①∠𝐴𝑂𝐸,∠𝐵𝑂𝐹；②45°
(2)∠𝐴𝑂𝐷+ 2∠𝐶𝑂𝐺= 90°
【分析】本题考查的是角平分线的定义，垂直的性质，余角的定义，角的和差，掌握以上知识是解题的关
键．
（1）①根据余角的定义解答即可；②根据∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶，𝐶𝐷⊥𝐸𝐹，得到∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐹= 90°，根据
∠𝐴𝑂𝐷:∠𝐶𝑂𝐺= 2:3，推出∠𝐵𝑂𝐶:∠𝐶𝑂𝐺= 2:3，由𝑂𝐺平分∠𝐵𝑂𝐹，得到∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝐹𝑂𝐺，设
∠𝐵𝑂𝐶= 2𝑥,∠𝐶𝑂𝐺= 3𝑥，则∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝐹𝑂𝐺= 𝑥，利用∠𝐹𝑂𝐺+ ∠𝐶𝑂𝐺= 4𝑥= 90°，求出x 的值，即可求解；
（2）根据题意得到∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶，推出∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝐴𝑂𝐹= 90°，由𝑂𝐺平分∠𝐵𝑂𝐹，得到∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝐹𝑂𝐺，根
据∠𝐴𝑂𝐹+ ∠𝐹𝑂𝐺+ ∠𝐵𝑂𝐺= 180°，即(90°−∠𝐵𝑂𝐶) + (∠𝐶𝑂𝐺+ ∠𝐵𝑂𝐶) + (∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝐶𝑂𝐺) = 180°，即可得
出结论．
【详解】（1）解：①∵ 𝐶𝐷⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐶𝑂𝐸= ∠𝐶𝑂𝐹= ∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐷𝑂𝐹= 90°，
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∴∠𝐴𝑂𝐷+ ∠𝐴𝑂𝐸= 90°，
∵∠𝐴𝑂𝐹= ∠𝐵𝑂𝐹，
∴∠𝐴𝑂𝐷+ ∠𝐵𝑂𝐹= 90°，
∴ ∠𝐴𝑂𝐷的余角有∠𝐴𝑂𝐸,∠𝐵𝑂𝐹，
故答案为：∠𝐴𝑂𝐸,∠𝐵𝑂𝐹；
②∵ ∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶，𝐶𝐷⊥𝐸𝐹，
∴ ∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐹= 90°，
∵ ∠𝐴𝑂𝐷:∠𝐶𝑂𝐺= 2:3，
∴ ∠𝐵𝑂𝐶:∠𝐶𝑂𝐺= 2:3，
∵ 𝑂𝐺平分∠𝐵𝑂𝐹，
∴ ∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝐹𝑂𝐺，
设∠𝐵𝑂𝐶= 2𝑥,∠𝐶𝑂𝐺= 3𝑥，则∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝐹𝑂𝐺= 𝑥，
∴ ∠𝐹𝑂𝐺+ ∠𝐶𝑂𝐺= 4𝑥= 90°，
∴𝑥= 22.5°，
∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶= 2 × 22.5° = 45°；
（2）解：∠𝐴𝑂𝐷+ 2∠𝐶𝑂𝐺= 90°，理由如下：
∵ ∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶，𝐶𝐷⊥𝐸𝐹，
∴ ∠𝐴𝑂𝐷+ ∠𝐴𝑂𝐹= 90°，即∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝐴𝑂𝐹= 90°，
∵ 𝑂𝐺平分∠𝐵𝑂𝐹，
∴∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝐹𝑂𝐺，
∵∠𝐴𝑂𝐹+ ∠𝐹𝑂𝐺+ ∠𝐵𝑂𝐺= 180°，即(90°−∠𝐵𝑂𝐶) + (∠𝐶𝑂𝐺+ ∠𝐵𝑂𝐶) + (∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝐶𝑂𝐺) = 180°，
∴∠𝐵𝑂𝐶+ 2∠𝐶𝑂𝐺= 90°，
∴∠𝐴𝑂𝐷+ 2∠𝐶𝑂𝐺= 90°．
7．完成下面推理过程：
如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= 50°，∠𝐶𝑃𝑁= 150°，∠𝑃𝑁𝐵= 60°，∠𝑁𝐷𝐶= 60°．求∠𝐵𝐶𝑃的度数．
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解：∵∠𝑃𝑁𝐵= 60°，∠𝑁𝐷𝐶= 60°，（已知）
∴∠𝑃𝑁𝐵= ∠𝑁𝐷𝐶，（等量代换）
∴𝑃𝑁∥𝐶𝐷，（ ）
∴∠𝐶𝑃𝑁+ ∠_________ = 180°，（ ）
∵∠𝐶𝑃𝑁= 150°，（已知）
∴∠𝑃𝐶𝐷= 180°−∠𝐶𝑃𝑁= 180°−150° = 30°
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，（已知）
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠____________，（ ）
∵∠𝐴𝐵𝐶= 50°，（已知）
∴∠𝐵𝐶𝐷= __________，（等量代换）
∴∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝐷−∠𝑃𝐶𝐷= ____________°−30° = _________°．
【答案】同位角相等，两直线平行；𝑃𝐶𝐷；两直线平行，同旁内角互补；𝐵𝐶𝐷；两直线平行，内错角相等；
50°；50；20
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，先证明𝑃𝑁∥𝐶𝐷，得到∠𝐶𝑃𝑁+ ∠𝑃𝐶𝐷= 180°，得到∠𝑃𝐶𝐷= 30°，
由𝐴𝐵∥𝐶𝐷得到∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷，进一步求出∠𝐵𝐶𝑃的度数．
【详解】解：∵∠𝑃𝑁𝐵= 60°，∠𝑁𝐷𝐶= 60°，（已知）
∴∠𝑃𝑁𝐵= ∠𝑁𝐷𝐶，（等量代换）
∴𝑃𝑁∥𝐶𝐷（同位角相等，两直线平行）
∴∠𝐶𝑃𝑁+ ∠𝑃𝐶𝐷= 180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠𝐶𝑃𝑁= 150°，（已知）
∴∠𝑃𝐶𝐷= 180°−∠𝐶𝑃𝑁= 180°−150° = 30°
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，（已知）
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝐷（两直线平行，内错角相等）
∵∠𝐴𝐵𝐶= 50°，（已知）
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∴∠𝐵𝐶𝐷= 50°，（等量代换）
∴∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝐷−∠𝑃𝐶𝐷= 50°−30° = 20°．
故答案为：同位角相等，两直线平行；𝑃𝐶𝐷；两直线平行，同旁内角互补；𝐵𝐶𝐷；两直线平行，内错角相等；
50°；50；20．
8．如图，点𝐷，𝐻分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上，点𝐸，𝐹都在𝐵𝐶上，𝐷𝐸交𝐹𝐻于点𝐺，𝐴𝐺平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶，
∠1 + ∠2 = 90°．
(1)求证：𝐹𝐻⊥𝐷𝐸；
(2)若∠3=∠4，∠𝐵𝐴𝐶= 72°，求∠𝐷𝐹𝐻的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)54°
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定
是解题的关键．
（1）根据同位角相等得出𝐷𝐸∥𝐴𝐶，进而根据平行线的性质得出∠𝐶𝐴𝐺= ∠3，根据角平分线的定义得出
∠𝐶𝐴𝐺= ∠1．等量代换得出∠1 = ∠3，可得∠3 + ∠2 = 90°，即可得证；
（2）根据已知得出∠2 = 90°−∠1 = 54°，证明𝐴𝐺∥𝐷𝐹，进而根据平行线的性质得出∠𝐷𝐹𝐻= ∠2 = 54°．
【详解】（1）证明：∵∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐶，
∴ 𝐷𝐸∥𝐴𝐶．
∴∠𝐶𝐴𝐺= ∠3．
∵𝐴𝐺平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐺= ∠1．
∴∠1 = ∠3．
∵∠1 + ∠2 = 90°，
∴∠3 + ∠2 = 90°，即∠𝐷𝐺𝐻= 90°．
∴𝐹𝐻⊥𝐷𝐸．
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 80 页 共 86 页
（2）解：∵∠𝐶𝐴𝐺= ∠1，∠𝐵𝐴𝐶= 72°，
∴∠1 = ∠𝐶𝐴𝐺= 36°，
∴∠3 = ∠1 = 36°，
∵∠1 + ∠2 = 90°，
∴∠2 = 90°−∠1 = 54°，
∵∠3 = ∠4，∠1 = ∠3，
∴∠1 = ∠4，
∴ 𝐴𝐺∥𝐷𝐹，
∴∠𝐷𝐹𝐻= ∠2 = 54°．
9．如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，点E 在𝐶𝐷下方，连接𝐵𝐸，𝐷𝐸，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸．
(1)如图1，若∠𝐴𝐵𝐹= 35°，∠𝐵𝐸𝐷= 38°，求∠𝐶𝐷𝐸的度数；
(2)如图2，在射线𝐵𝐹上取点G，连接𝐷𝐺，使得∠𝐸𝐷𝐺= 2∠𝐶𝐷𝐺，若2∠𝐵𝐺𝐷−∠𝐵𝐸𝐷= 10°，求∠𝐶𝐷𝐸的度数；
(3)如图3，若∠𝐶𝐷𝐸= 30°，作𝐸𝐻平分∠𝐵𝐸𝐷，过点B 作𝐵𝑀∥𝐸𝐻，在射线𝐸𝐻上取一点N，连接𝐵𝑁，使得
∠𝐴𝐵𝑁= 2∠𝐴𝐵𝑀，请直接写出∠𝐸𝐵𝑁的度数：__________．
【答案】(1)∠𝐶𝐷𝐸= 32°；
(2)∠𝐶𝐷𝐸= 30°；
(3)30°
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．
（1）作𝐸𝐺∥𝐴𝐵，求得∠𝐵𝐸𝐺= ∠𝐴𝐵𝐸= 70°，求得∠𝐷𝐸𝐺= 32°，推出𝐸𝐺∥𝐶𝐷，即可求得∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐺= 32°；
（2）作𝐸𝑀∥𝐴𝐵，𝐺𝑁∥𝐴𝐵，设∠𝐹𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐹= 𝛽，∠𝐶𝐷𝐺= 𝛼，则∠𝐸𝐷𝐺= 2𝛼，求得∠𝐵𝐸𝐷= 2𝛽−3𝛼，
∠𝐵𝐺𝐷= 𝛽−𝛼，根据2∠𝐵𝐺𝐷−∠𝐵𝐸𝐷= 10°，列式计算即可求解；
（3）作𝐸𝐺∥𝐴𝐵，设∠𝐵𝐸𝐻= ∠𝐷𝐸𝐻= 𝛼，∠𝐸𝐵𝑁= 𝑥，求得∠𝐴𝐵𝐸= 2𝛼+ 30°，∠𝐴𝐵𝑀= 𝛼+ 30°，根据
∠𝐴𝐵𝑁= 2∠𝐴𝐵𝑀，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：作𝐸𝐺∥𝐴𝐵，如图，
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∵∠𝐴𝐵𝐹= 35°，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 2∠𝐴𝐵𝐹= 70°，
∵𝐸𝐺∥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐸𝐺= ∠𝐴𝐵𝐸= 70°，
∵∠𝐵𝐸𝐷= 38°，
∴∠𝐷𝐸𝐺= ∠𝐵𝐸𝐺−∠𝐵𝐸𝐷= 32°，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐸𝐺∥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐺= 32°；
（2）解：作𝐸𝑀∥𝐴𝐵，𝐺𝑁∥𝐴𝐵，如图，
∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，
∴设∠𝐹𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐹= 𝛽，∠𝐶𝐷𝐺= 𝛼，
则∠𝐸𝐷𝐺= 2∠𝐶𝐷𝐺= 2𝛼，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐺𝑁∥𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐺𝑁= ∠𝐶𝐷𝐺= 𝛼，∠𝐷𝐸𝑀= ∠𝐶𝐷𝐸= 𝛼+ 2𝛼= 3𝛼，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐸𝑀∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝑀= ∠𝐴𝐵𝐸= 2𝛽，
∴∠𝐵𝐸𝐷= 2𝛽−3𝛼，
∵𝐺𝑁∥𝐴𝐵，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
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∴∠𝐵𝐺𝑁= ∠𝐴𝐵𝐹= 𝛽，
∴∠𝐵𝐺𝐷= ∠𝐵𝐺𝑁−∠𝐷𝐺𝑁= 𝛽−𝛼，
∵2∠𝐵𝐺𝐷−∠𝐵𝐸𝐷= 10°，
∴2(𝛽−𝛼)−(2𝛽−3𝛼) = 10°，
解得𝛼= 10°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= 3 × 10° = 30°；
（3）解：作𝐸𝐺∥𝐴𝐵，如图，
∵𝐸𝐻平分∠𝐵𝐸𝐷，
∴设∠𝐵𝐸𝐻= ∠𝐷𝐸𝐻= 𝛼，∠𝐸𝐵𝑁= 𝑥，
∵𝐵𝑀∥𝐸𝐻，
∴∠𝑀𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐻= 𝛼，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐸𝐺∥𝐶𝐷，
∵∠𝐶𝐷𝐸= 30°，
∴∠𝐷𝐸𝐺= ∠𝐶𝐷𝐸= 30°，
∵𝐸𝐺∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐺= 2𝛼+ 30°，
∴∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐴𝐵𝐸−∠𝑀𝐵𝐸= 2𝛼+ 30°−𝛼= 𝛼+ 30°，
∵∠𝐴𝐵𝑁= 2∠𝐴𝐵𝑀，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝑁= 2∠𝐴𝐵𝑀，
即2𝛼+ 30° + 𝑥= 2(𝛼+ 30°)，
解得𝑥= 30°，
∴∠𝐸𝐵𝑁= 30°．
故答案为：30°
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专题01 相交线与平行线（解析版）
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10．如图①所示的是一副三角尺，∠𝐶= ∠𝐹= 90°，∠𝐴= ∠𝐵= 45°，∠𝐷= 30°，∠𝐸= 60°．
(1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点𝐴与点𝐹重合，点𝐸在直角边𝐴𝐶上，斜边𝐴𝐵与斜边𝐷𝐸相交
于点𝐺，求∠𝐵𝐺𝐷的度数；
(2)如图③，将三角尺𝐴𝐵𝐶的直角顶点放在直线𝑀𝑁上，使𝐴𝐵∥𝑀𝑁，三角尺𝐷𝐸𝐹的顶点𝐸在直线𝑀𝑁上，直角
边𝐷𝐹与斜边𝐴𝐵相交于点𝑃，则∠𝐷𝐸𝑀与∠𝐷𝑃𝐵有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)直线𝑀𝑁∥𝑃𝑄，三角板𝐴𝐵𝐶和三角板𝐷𝐸𝐹按照图④所示放置，直角顶点𝐶与点𝐷重合，并且在直线𝑃𝑄上，
直角顶点𝐹在直线𝑀𝑁上，∠𝑃𝐷𝐹= 30°，直角边𝐵𝐶与𝐷𝐹重合．若将三角板𝐴𝐵𝐶绕点𝐷以每秒6°的速度顺时针
旋转，同时将三角板𝐷𝐸𝐹绕点𝐷以每秒18°的速度逆时针旋转，设旋转时间为𝑡秒(0 < 𝑡< 15)．在旋转过程
中，当边𝐴𝐵与三角板𝐷𝐸𝐹的一条边平行时，求出所有满足条件的𝑡的值．
【答案】(1)75°
(2)∠𝐷𝐸𝑀−∠𝐷𝑃𝐵= 30°，理由见解析
(3)所有满足条件的𝑡的值为
5
8或
15
8 或
45
8 或
65
8 或
75
8 或
105
8 ．
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键，分类讨
论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）过点𝐷作𝐺𝐻∥𝐷𝐹，则𝐺𝐻∥𝐷𝐹∥𝐵𝐶，进而得∠𝐻𝐺𝐷= ∠𝐷= 30°，∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐵= 45°，由此可得∠𝐵𝐺𝐷
的度数；
（2）过点𝐷作𝐷𝐻∥𝑀𝑁，则𝐷𝐻∥𝐴𝐵∥𝑀𝑁，进而得∠𝐻𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝑀，∠𝐻𝐷𝑃= ∠𝐷𝑃𝐵，再根据
∠𝐻𝐷𝐸−∠𝐻𝐷𝑃= ∠𝐸𝐷𝐹= 30°可得出答案；
（3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式计算即可得出所有满足条件的𝑡的值．
【详解】（1）解：过点𝐷作𝐺𝐻∥𝐷𝐹，如图2 所示，
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专题01 相交线与平行线（解析版）
第 84 页 共 86 页
依题意得：∠𝐶= 90°，∠𝐷𝐹𝐸= 90°，∠𝐵= 45°，∠𝐷= 30°，
∴∠𝐶+ ∠𝐷𝐹𝐸= 90° + 90° = 180°，
∴𝐵𝐶∥𝐷𝐹，
又∵ 𝐺𝐻∥𝐷𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐻𝐺𝐷= ∠𝐷= 30°，∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐵= 45°，
∴∠𝐵𝐺𝐷= ∠𝐻𝐺𝐷+ ∠𝐵𝐺𝐻= 30° + 45° = 75°；
（2）解：∠𝐷𝐸𝑀−∠𝐷𝑃𝐵= 30°，理由如下：
过点𝐷作𝐷𝐻∥𝑀𝑁，如图3 所示，
∵ 𝐴𝐵∥𝑀𝑁，
∴𝐷𝐻∥𝐴𝐵∥𝑀𝑁，
∴∠𝐻𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝑀，∠𝐻𝐷𝑃= ∠𝐷𝑃𝐵，
∵∠𝐻𝐷𝐸−∠𝐻𝐷𝑃= ∠𝐸𝐷𝐹，且∠𝐸𝐷𝐹= 30°，
∴∠𝐷𝐸𝑀−∠𝐷𝑃𝐵= 30°；
（3）解：设边𝐶𝐵旋转的角度为6𝑡°，则边𝐶𝐵旋转的角度为18𝑡°，下面分类讨论：
如图⑤，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，则∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐸= 180°，
所以45 + 90 + 24𝑡+ 30 = 180，解得𝑡=
5
8；
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如图⑥，𝐴𝐵∥𝐷𝐹，则∠𝐵= ∠𝐵𝐷𝐹，
所以45 = 24𝑡，解得𝑡=
15
8 ；
如图⑦，𝐴𝐵∥𝐸𝐹，则∠𝐵+ ∠𝐹= ∠𝐵𝐷𝐹，
所以45 + 90 = 24𝑡，解得𝑡=
45
8 ；
如图⑧，𝐴𝐵∥𝐷𝐸，则∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐸，
因为∠𝐴𝐷𝐸= 240°−24𝑡°，所以45 = 240−24𝑡，
解得𝑡=
65
8 ；
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如图⑨，𝐴𝐵∥𝐷𝐹，则∠𝐴= ∠𝐴𝐷𝐹，
因为∠𝐴𝐷𝐸= 240°−24𝑡°，所以45 = 240−24𝑡+ 30，
解得𝑡=
75
8 ；
如图⑩，𝐴𝐵∥𝐸𝐹，则∠𝐵𝐷𝐹= 45°，
所以24𝑡= 315，解得𝑡=
105
8 ，
综上，所有满足条件的𝑡的值为
5
8或
15
8 或
45
8 或
65
8 或
75
8 或
105
8 ．
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