文档文本内容
专题04 图形的轴对称
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
轴对称图形的识别
题型2
根据成轴对称图形的特征进行判断
题型3
画轴对称图形
题型4
轴对称中的折叠问题
题型5
利用等腰（等边）三角形性质求解
题型6
利用等腰（等边）三角形性质证明
题型7
根据线段垂直平分线的性质求解与证明
题型8
根据角平分线的性质定理求解与证明
题型9
利用轴对称求解将军饮马问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 轴对称图形识别及性质（对应点
连线被对称轴垂直平分）。
2. 垂直平分线与角平分线性质。
3. 等腰三角形：“三线合一”、等
边对等角。
4. 最短路径问题（将军饮马模型）。
5. 折叠问题中的角度或线段计算。
1.
强化轴对称识别与实际应用：从概念辨析转向生活情境（如
台球、光线反射、折叠问题）中的对称分析。
2.
聚焦“三线合一”与最值问题：重点考查等腰三角形性质及
利用垂直平分线、角平分线解决将军饮马类最短路径问题。
3.
注重尺规作图融合：常结合角平分线、垂直平分线的尺规作
图进行推理或计算。
4.
渗透分类讨论思想：针对等腰三角形顶角/底角不确定及折
叠中对应点位置进行分类讨论。
考情解码：根据2026 年新教材考情，第五章《图形的轴对称》重点考查轴对称的概念辨析与实际应
用，常见题型包括折叠问题、光线反射及台球路径等生活情境。核心考点为垂直平分线与角平分线的
性质，等腰三角形的“三线合一”仍是高频切入点。命题注重尺规作图（作对称点、垂直平分线）与
几何计算的融合，同时通过等腰三角形顶点、底边不确定情况及折叠中对应点位置渗透分类讨论思想。
知识点一轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条
直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直
线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，
而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形
关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
（4）轴对称图形的性质
性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对
应角相等
【易错警示】
- 概念区别：轴对称图形是一个图形的自身性质；轴对称是两个图形关于某条直线对称，勿混淆。
- 对称轴：是直线，不是线段或射线；作图时画成虚线。
- 对应点：对称轴垂直平分对应点连线。
即时即练1．下列图形中，是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在长方形ABCD 中，E 为DC 边上的一点，沿线段BE 对折后，若
ABF
比
EBF
大18，则
EBF
的度数是______．
3．如图，
AOB
内一点P ，
1
2
P
P
、
分别是点P 关于OA
OB
、
的对称点，
1
2
PP 交OA于M ，交OB 于N ，若
1
2
10cm
PP
，则PMN
的周长是_______．
知识点二等腰三角形的性质
（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相
重合（简称：等腰三角的三线合一）
图形：如下所示；
符号：在ABC
中，AB＝AC，
1
2
1
2,
,
;
,
,
;
,
1
2
.
BD
CD AD
BC
AD
B
BD
CD
AD
BC
C
BD
CD
若
则
若
则
若
，则
【易错警示】
- 等边对等角：前提是同一个三角形中，边相等则对角相等，勿颠倒因果。
- 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高重合，必指明“底边”，腰上一般不成立。
- 分类讨论：顶角或底角不确定时，需分情况讨论。
即时即练1．浏水月夜民宿用等腰
ABC
形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使AB
AC
，并用AD
连接和加固支架．已知D 是BC 边的中点，且
70
BAC
，则
BAD
________．
2．如图，在
ABC
中，AB
AC
，AD 是BC 边上的中线，且CD
CE
，若
20
ADE
，则
C
的度数为
________．
知识点三等边三角形的性质
（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60；
（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
【易错警示】
- 三边相等、三角相等（均为60°），具有等腰三角形所有性质。
- “三线合一”：每条边上的中线、高及对角平分线都重合，勿认为只有一条。
- 混淆：等边三角形是特殊的等腰三角形，但反之不成立；判定时勿只用“一个角60°”，缺边条件。
即时即练1．如图，直线m
n
∥
，等边
ABC
的顶点B 在直线n 上，直线m 交AB 边于点D ．若
18
，
则的度数为（
）
A．72
B．78
C．86
D．82
2．如图，在等边
ABC
中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE
AB
∥
，过点E 作EF
DE
，交BC 的延长
线于点F ．
(1)求
F
的度数；
(2)若
2
CD
，求DF 的长．
知识点四线段的垂直平分线（简称中垂线）
1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
3.作法：作已知线段的垂直平分线.
【易错警示】
- 性质：中垂线上的点到线段两端距离相等，勿反用（距离相等点在中垂线上是判定）。
- 作图：需作中点且垂直，二者缺一不可；对称轴是直线，勿画成线段。
- 三角形：三边中垂线交于外心，勿与中线、角平分线混淆。
即时即练如图，在
ABC
中，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E ，F ．若
8cm
BC
，则
AEF
△
的
周长为_____________cm．
知识点五角平分线的性质
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3.作已知角的角平分线.
【易错警示】
- 性质：角平分线上的点到角两边距离相等，勿忘“距离”是垂直的线段长度，非斜线段。
- 判定：内部到两边距离相等的点在角平分线上，注意“内部”条件。
- 交点：三角形三角平分线交于内心，勿说成中线交点。
即时即练1.如图，AD 是
ABC
的角平分线，DE
AB
，DF
AC
，垂足分别是E ，F ，若
8cm
AB
，
6cm
AC
，
2
14cm
ABC
S
，则DE 的长为_____cm．
2.如图，OP 平分
AOB
，PF
OA
于点F ，点D 在OB 上，DH
OP
于点H ，若
4
OD
，
8
OP ，
3.5
PF
，
则DH 的长为_______．
题型1
轴对称图形的识别
例1．下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
例2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧总结】
找一条直线，使图形沿直线对折后两侧完全重合，可逐点验证；常见图形如线段、角、等腰三角形、圆，
注意平行四边形不是轴对称，可通过观察或折纸判断。
【变式训练1-1】“长安回望绣成堆，山顶千门次第开．”长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承载历史的古
城．以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【变式训练1-2】戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称
的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型2
根据成轴对称图形的特征进行判断
例3．如图是一个风筝设计图，其主体部分关于BD 所在的直线对称（四边形ABCD ，AB
AD
），AC 与BD
相交于点O，BD
AC
，且AO
OC
，则下列推断不正确的是（
）
A．AD
CD
B．
ABD
CBD
≌
△
△
C．
ABD
CBD
D．
ABC
是等边三角形
例4．如图，
AOD
△
关于直线l 进行轴对称变换后得到BOC
，下列结论中不正确的是（
）
A．
1
2
B．
3=
4
C．l 垂直平分
,
AB CD
D．
,
OA
OC OB
OD
【技巧总结】
成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系，
找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。
【变式训练2-1】如图，直线MN 是四边形MANB 的对称轴，点P 在MN 上．则下列结论错误的是（
）
A．
ANM
BNM
B．
MAP
MBP
C．AM
BM
D．AP
BN
【变式训练2-2】如图，ABC
和A B C
关于直线l 对称，点P 为直线l 上一点，则下列说法中错误的是（
）
A．
A
ABC
B C
≌
△
△
B．l 垂直平分CC
C．PC
PC
D．
BAC
CAC
题型3
画轴对称图形
例5．如图，在所给网格图中每小格均为边长是1 的正方形．
ABC
的顶点均在格点上，请完成下列各题：
（用直尺画图）．
(1)画出
ABC
关于直线DE 对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)在直线DE 上画出点P ，使PB
PC
最小．
例6．如图，在3 3
的正方形网格中，ABC
和DEF
的顶点都在格点（正方形的交点）上，且
ABC
和DEF
关于某条直线成轴对称．请在图中画出4 个不同的DEF
．
【技巧总结】
成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系，
找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。
【变式训练3-1】如图，
ABC
在正方形网格中，顶点都在格点上，每个小正方形网格的边长代表1 个单位
长度．
(1)在图中画出
ABC
关于直线m 的对称图形
1
1
1
A B C
△
；
(2)如图，点P 在直线m 上，连接AP 和CP ，则AP
CP
，请你说明理由．
【变式训练3-2】如下图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中有一个
ABC
．请仅用无刻度的直尺，完
成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)作
ABC
关于直线MN 对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)求
ABC
的面积；
(3)在直线MN 上找一点P，使得PA
PB
最短．
题型4
轴对称中的折叠问题
例7．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
=60
B
，M，N 分别是边AC ，AB 上的动点，沿着直线MN 将AMN
对折，点A 的对称点是点A．若A N
BC
∥
，求
CMN
的度数．
例8．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸
ABCD AB
AD
沿折痕BD 折
叠，点C 落在了点C处，BC交AD 于点N．
(1)如果
20
CBD
，那么
ABC
°；
(2)点E 为线段AN 上一点，将三角形ABE 沿BE 折叠，点A 恰好落在BD 上的点
1A 处，如果
CBD
，请
用α的代数式表示
CBE
；
(3)将三角形ABN 沿BN 折叠，点A 落在点
2
A 处，当
2
9
DBA
时，求出
CBD
的度数．
【技巧总结】
折叠即轴对称，折痕是对称轴；对应点连线被折痕垂直平分，对应边角相等，设未知数表示折后线段，利
用勾股定理或全等列方程，注意重合点与折痕位置关系。
【变式训练4-1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕．
(1)如图1，求
CBD
的度数；
(2)如图2，若
46
A BE
，求
CBD
的度数；
(3)如图3，若
A BE
，求
CBD
的度数（用含的式子表示）．
【变式训练4-2】阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线．
(1)如图1，若
56
AOB
，则
BOC
；
(2)折叠长方形纸片，
,
BC BD 均为折痕，折叠后，点A 落在点A，点E 落在点E．
①如图2，当点E在BA上时，求
CBD
的度数；
②如图3，若
42
A BE
，求
CBD
的度数；
③如图4，若
30
A CB
，
A BE
n
，则DBE
的度数为（用含n 的式子表示）．
题型5
利用等腰（等边）三角形性质求解
例9．已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，则它的顶角的度数为_____．
例10．八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，AB
AC
，为了方便灌溉，从顶点A 修了一
条与底边BC 垂直的水渠AD ，已知
20m
BD
，则CD _______m．
【技巧总结】
等边对等角，三线合一（顶角平分线、底边中线、高线重合）；常作底边高线构造直角三角形，设未知数
表示角度或边长，结合外角或内角和列方程，注意分类讨论顶角与底角。
【变式训练5-1】如图，等腰
ABC
的底边BC 长为6．面积是24，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、AC
于点E 、F ．若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则BDM
的周长的最小值为______．
【变式训练5-2】如图，在
ABC
中，AB
AC
，
50
B
，点D 在线段BC 上运动（不与点B，C 重合），
当
ABD
△
是等腰三角形时，
ADB
的度数为________．
题型6
利用等腰（等边）三角形性质证明
例11．如图，在
ABC
中，AB
AC
BD
CD
，
，点P 为射线AD 上一点，连接PB
PC
，
．
(1)求证：
AP
BC ；
(2)求证：PB
PC
．
例12．如图，点A、D、C、F 在一条直线上，且AD
CF
，AB
DE
，
BAC
EDF
．
(1)求证：
ABC
DEF
≌△
△
；
(2)若
40
A
，AB
AC
，求
F
的度数．
【技巧总结】
先由边等推角等或由角等推边等，运用三线合一转移条件，常作辅助线（底边中线或高线）构造全等三角
形，通过等量代换与平行线性质，按逻辑顺序严密推导结论。
【变式训练6-1】如图，在
ABC
中，
,
AB
AC
AD BE
CF
，点E、F 在边BC 上．
(1)求证：
ABE
ACF
≌
；
(2)若
30
BAE
，求
D
的度数．
【变式训练6-2】如图，在
ABC
中，
90
A
，P 为边BC 上的一点，D 为BP 的中点，E 为CP 的中点，
过点D 作DF
BP
^
交AB 于点F ，过点E 作EG
CP
交AC 于点G ．
(1)求
FPG
的度数．
(2)如图，连接FG ，若FG
BC
∥
，求证：AG
PG
．
题型7
根据线段垂直平分线的性质求解与证明
例13．如图，在
ABC
中，边AB 的垂直平分线EF 分别交边BC 、AB 于点E 、F ，过点A 作AD
BC
于
点D ，且D 为线段CE 的中点，若
ABC
的周长为26 ，
5
AF
，则BD 的长为______．
例14．如图是一风筝的骨架图，AC 是BD 的垂直平分线，E 为垂足．若
2
AB
，四边形ABCD 的周长为14，
则CD 的长度为______．
【技巧总结】
垂直平分线上点，到线段两端距离相等；由此得等腰三角形或等边，常连接对称点构造全等，利用直角与
等边转化条件，设未知数表示线段长，通过勾股定理列方程求解。
【变式训练7-1】在
ABC
中，DE 垂直平分AC ，连接CE ，CE 平分
ACB
．
(1)若
46
CEB
，求
B
的度数．
(2)若
4
BC
，
ABC
的周长比EBC
的周长多8，EBC
的面积为6，则三角形AEC 的面积为多少？
【变式训练7-2】如图，在
ABC
中，AB
AC
，过点C 作CD
AB
于点D，在CA 的延长线上取点E，连
接BE ，使BE
BC
．
(1)求证：
E
ABC
；
(2)探究BD 、AD 、AE 之间的数量关系，并说明理由．
题型8
根据角平分线的性质定理求解与证明
例15．如图，Rt
ABC
△
中，
90
C
，AD 平分
BAC
，交BC 于点D ，
10
AB
，
15
ABD
S
，则CD 的
长为
．
例16．如图，在
ABC
中，
90
C
，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分
别交AB ，AC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③
作射线AG 交BC 边于点D ．若
5
CD
，
14
AB
，则
ABD
△
的面积是
．
【技巧总结】
角平分线上点到角两边距离相等；常作垂线构造等距条件，结合面积法或全等三角形，转移线段长，设未
知数表示距离，利用勾股定理或等积关系列方程求解。
【变式训练8-1】如图，OC 是
AOB
的平分线，过OA上一点D ，作DE
OB
，分别交OB ，OC 于E ，F ，
若
6
OD
，
2
EF
，则DOF
的面积为______．
【变式训练8-2】如图，C 是
MAN
的角平分线上一点，CE
AN
，CF
AM
，垂足分别为E ，F ．过点
C 作CD
AN
∥
，交AM 于点D ，在射线EN 上取一点B ，使
2
CBE
DCA
．
(1)求证：CF
CE
；
(2)求证：DF
BE
．
题型9
利用轴对称求解将军饮马问题
例17．如图，在
ABC
中，BD 平分
ABC
交AC 于点D ，点M ，N 分别是线段BD 、BC 上的动点，AB ＞
BD 且
10
ABC
S
△
，AB ＝5，则CM
MN
的最小值为______．
例18．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出
一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图1，若点A 和点B 分别在直线l 的两侧，请作出示意图，在直线l 上找到点C，使得CA
CB
有最小
值，并说明作图依据：
；
(2)如图2，若点A 和点B 在直线l 的同侧，请在直线l 上作出点P，使得PA
PB
有最小值，并说明理由．
【技巧总结】
作定点关于直线对称点，连接对称点与另一动点，与直线交点即最短路径点；利用两点间线段最短及轴对
称等距转化，求线段和最小值，注意动点在线上变化。
【变式训练9-1】如图，直线m 是
ABC
中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若
6
AB
，
4
AC
，
7
BC
．
(1)求PA
PB
的最小值，并说明理由．
(2)求
APC
△
周长的最小值．
【变式训练9-2】综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数
学模型：直线l 同侧有两个定点A，B，在直线l 上存在点C，使得CA
CB
的值最小．
小明的作法是：如图2，作点B 关于直线l 的对称点B，连接AB，则AB与直线l 的交点即为点C，且CA
CB
的最小值为AB的长．
如图3，为了证明点C 的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C，连接AC，BC，B C
，
证明AC
BC
AC
BC
即可．
(1)请完成图3 中小明的证明；
(2)如图4，在
ABC
中，直线m 是边BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上的动点．若
6
AB
，
5
AC
，
8
BC ，
则
APC
△
周长的最小值为________；
(3)如图5，已知
35
MON
，P 为
MON
内一定点，OM 上有一点A，ON 上有一点B，当PAB
的周长
取最小值时，
APB
的大小为________度．
1．2026 年11 月9 日是第35 个全国消防日．下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，
ABC
与A B C
关于直线l 对称，
35
B
，
50
C
，则
A
的大小为（
）
A．85
B．90
C．95
D．105
3．如图，已知
AOB
，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA，OB 于点C，D；以点O 为圆
心，大于OC 长为半径画弧，分别交边OA，OB 于点E，F；连接CF ，DE ，交点为G，作射线OG ．则下
列结论一定正确的是（
）
A．EC
EG
B．CF
OA
C．OG
EG
D．
AOG
BOG
4．如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠（折线EF 交AD 于E ，交BC 于F ），点C、D 的对应点分别是
1
C ，
1
D ，
1
ED 交BC 于G ，再将四边形
1
1
C DGF 沿FG 折叠，点
1
1
C
D
、
的对应点分别是
2
C 、
2
D ，
2
GD 交EF 于H ，
若
32
FEG
，则
2
EFC
（
）
A．84
B．85
C．64
D．90
5．已知等腰三角形的底角等于50，则顶角等于______．
6．如图，在
ABC
中，DE 是AC 的垂直平分线，
3cm
AE
，
ABD
△
的周长为13cm，则
ABC
的周长为
______．
7．如图，AB
CD
∥
，BE 和CE 分别平分
ABC
和
BCD
，AD 过点E ，且与AB 互相垂直，点P 为线段BC
上一动点，连接PE ．若
8
AD
，则PE 的最小值为____
8．如图，在锐角
ABC
中，
45
BAC
，
5
BC
，ABC
的面积为8 ，P 为BC 上一动点，将ABP
、
ACP
△
分别沿AB 、AC 向外翻折，得到
ABD
△
，
ACE
△
，连接DE ，则
ADE
面积的最小值为________．
9．如图，
ABC
与DEF
关于直线l 对称，其中
90
B
Ð
=
°，
4cm
AB
，
5cm
DF
，
3cm
BC
．
(1)求
E
的度数．
(2)求
ABC
的周长．
10．如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的网格中，
ABC
的三个顶点都在其格点上．
(1)
ABC
的面积为_____________；
(2)画出
ABC
关于直线l 的轴对称图形
1
1
1
A B C
△
；
(3)在直线l 上求作一点P，使PB
PA
值最小．（保留作图痕迹，不写作法）
11．如图，已知：
A
E
AB
EB
，
，点D 在AC 边上，且
ABE
CBD
．
(1)求证：EBD
ABC
≌
；
(2)如果O 为CD中点，
65
BDE
，求
OBD
的度数．
12．如图，已知四边形ABDC 的面积为16，AD 平分
,
10
BAC AB
AC
．
(1)求点D 到AC 的距离DE 的长；
(2)若
180
C
B
，求证：BD
DC
．
13．如图，点P 在
AOB
的内部，点C 和点P 关于直线OA 对称，点P 关于直线OB 的对称点是点D ，连接CD
交OA于点M ，交OB 于点N ．
(1)若
AOB
，求
COD
的度数；
(2)若
6
CD
，PMN
的周长为________．
14．如图，在
ABC
中，
90
A
，P 为边BC 上的一点，D 为BP 的中点，E 为CP 的中点，过点D 作DF
BP
^
交AB 于点F ，过点E 作EG
CP
交AC 于点G ．
(1)求
FPG
的度数．
(2)如图，连接FG ，若FG
BC
∥
，求证：AG
PG
．
