专题05 一次函数
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
正比例函数与一次函数的识别
题型2
一次函数的图象和性质
题型3
根据一次函数的图象和性质求解
题型4
含参数的一次函数图象的共存问题
题型5
含参数的一次函数综合问题
题型6
一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题
题型7
一次函数的实际应用问题
题型8
一次函数中的折叠问题
题型9
一次函数与几何图形的综合问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1.
k、b 的几何意义（增
减性、过象限）。
2.
待定系数法求解析式。
3.
与坐标轴围成三角形
面积。
4.
实际应用（行程、计费、
最优方案）。
5.
与方程（组）、不等式
综合。
6.
分段函数及最值问题。
1. 概念与图象强化：一次函数定义（y=kx+b，k≠0）及图象特征是必考点，
强调k 与b 的几何意义（k 决定增减性，b 决定y 轴交点）。
2. 待定系数法核心：通过两组对应值求解析式是计算题基础，常与实际
问题结合考查。
3. 实际情境建模：结合行程（s-t 图）、计费（出租车、网约车）、利润
最优化等生活问题构建函数模型，是应用题热点。
4. 与方程不等式综合：利用图象求方程解或不等式解集，考查数形结合
思想。
5. 分段函数与决策：涉及分段计费或多方案选择的最优化问题是压轴题
方向。
考情解码：根据2026 年新教材考情，《一次函数》从概念图象转向实际应用与数形结合的综合考查。
高频考点包括通过待定系数法求解析式、分析k、b 的几何意义（象限分布与增减性）。重点考查实际
情境建模（如行程、最优计费方案）以及与方程组、不等式的图象综合，利用交点坐标解决问题。分
段函数、动态面积问题成为压轴题新趋势，突出数学建模与抽象思维。
知识点一一次函数的定义
形如y = kx + b（k，b 为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0 时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。
【易错警示】
- 形式：y=kx+b，其中k≠0。勿忽略k≠0 条件（如y=3 是常函数，不是一次函数）。
- 自变量次数：x 的次数必须为1，勿将y=kx2+b 误认为一次函数。
- 整式：表达式须为整式，y=
1
�+2 不是一次函数。
即时即练1.下列四个函数中属于一次函数的是（
）
A．
1
0
y
x
x
B．
1
2
y
x
C．
2
1
y
x
D．
1
y
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如
0
y
kx
b k
，k
b
，为
常数，则y 是x 的一次函数，由一次函数的定义可得答案．
【详解】解：A、
1
y
x
不是一次函数，故不符合题意；
B、
1
2
y
x
是一次函数，故符合题意；
C、
2
1
y
x
不是一次函数，故不符合题意；
D、
1
y 不是一次函数，故不符合题意；
故选：B．
2.下列函数关系式中，y 是x 的正比例函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
2
1
y
x
C．
1
y
x
D．
2
y
x
=
【答案】A
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如y
kx
（k 为常数且
0
k
）的
函数是正比例函数，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A．
2
y
x
，符合y
kx
的形式，其中
2
0
k
，是正比例函数，符合题意．
B．
2
1
y
x
，含常数项1，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意．
C．
1
y
x
，不符合正比例函数的形式，不符合题意．
D．
2
y
x
=
，次数为2，不符合正比例函数的定义，不符合题意．
故选：A．
知识点二一次函数的图象与性质
一次函数y = kx + b 的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(-
�
�,0)）画出。当k>0 时，y 随x 的增大而
增大；当k<0 时，y 随x 的增大而减小。b 决定直线与y 轴的交点(0,b)。
【易错警示】
- k、b 的作用：k 决定增减性（k>0 增，k<0 减）和倾斜度；b 决定与y 轴交点(0,b)。勿混淆。
- 图象位置：k、b 符号决定过哪几个象限，可画草图验证，勿死记。
- 两直线关系：k 相等b 不等则平行；k 乘积为-1 则垂直，勿记反。
即时即练1.关于一次函数
2
3
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．函数图象经过点
1,1
B．y 随x 增大而增大
C．图象不经过第二象限
D．将
2
3
y
x
的图象向上平移3 个单位长度后，所得图象的函数表达式为
2
6
y
x
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移变换、一次函数图象的性质等知识点，熟练掌握一次函数图
象的性质是解题的关键．
根据一次函数图象的性质以及平移变换逐项判断即可解答．
【详解】解：A、当
1
x 时，
5
y
，故图象不经过
1,1
，不符合题意；
B、一次函数
2
0
k
，y 随x 增大而减小，不符合题意；
C、一次函数
2
0
k
，
3
0
b
，图象经过第一、二、四象限，不符合题意；
D、将一次函数
2
3
y
x
的图象向上平移3 个单位长度后，所得图象的函数表达式为
2
6
y
x
，正确，
符合题意．
故选：D．
2.关于x 的一次函数
4
1
y
ax
a
，下列说法：
①若
2
a
，则函数图象经过第一、二、三象限；
②若函数图象经过原点，则
1
4
a
；
③无论a 为何实数，函数的图象总经过点
4, 1
．
其中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解
题的关键．根据一次函数的性质即可判断①；把(0,0) 代入即可判断②；把
4
x 代入解析式求得
1
y ，
即可判断③．
【详解】解：①
2
a
，
一次函数为
2
7
y
x
，
函数图象经过第一、二、三象限，故正确；
②函数图象经过原点，
4
1
0
a
且
0
a
，
1
4
a
，故正确；
③
4
1
4
1
y
ax
a
a x
，
4
x
时，
1
y ，
函数的图象总经过
4, 1
，故正确．
∴①②③都正确．正确个数为3，
故选D．
知识点三一次函数的实际应用
利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合
图象或性质求解。
【易错警示】
- 自变量范围：根据实际意义确定取值范围（如人数、时间≥0），勿盲目取全体实数。
- 单位统一：单位不一致（千米/米、分钟/小时）时先换算。
- 图象理解：注意横纵轴含义，交点、截距、拐点分别代表什么，勿只看形状。
即时即练1.某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印社可供选择，其中甲复印社按每
复印100 页材料收费40 元计费；乙复印社则需先按月支付200 元的承包费，再按每复印100 页材料收费a 元
计费．已知甲、乙复印社分别复印800 页材料时所收总费用相同，甲、乙两复印社（针对该校）每月收费y
（元）与复印材料页数x （页）之间的函数图象如图所示，
据此回答以下问题：
(1)乙复印社复印800 页材料时收费元；
(2)求乙复印社每月收费y （元）与复印材料页数x （页）之间的函数关系式；
(3)当甲复印社比乙复印社每月收费多50 元时，该学校复印材料的页数是页．
【答案】(1)320
(2)
0.15
200
y
x
(3)1000
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键．
（1）根据“甲、乙复印社分别复印800 页材料时所收总费用相同”求解即可；
（2）先由（1）中数据求得a 值，再根据乙复印社收费标准列函数关系式即可；
（3）求出甲复印社中y 与x 的函数关系式，根据“甲复印社比乙复印社每月收费多50 元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，乙复印社复印800 页材料时收费为800
40
320
100
（元），
故答案为：320；
（2）解：由（1）得800
200
320
100
a
，解得
15
a
，
根据题意，乙复印社每月收费y （元）与复印材料页数x （页）之间的函数关系式为
15
200
100
x
y
，即
0.15
200
y
x
；
（3）解：根据题意，甲复印社每月收费y（元）与复印材料页数x（页）之间的函数关系式为
40
100
x
y
，
即
0.4
y
x
，
由
0.4
0.15
200
50
x
x
得
1000
x
，
故该学校复印材料的页数是1000 页．
故答案为：1000．
2.某商店销售一种产品，该产品成本价为8 元/件，售价为10 元/件，销售人员对该产品一个月（30 天）销
售情况记录绘成图象．图中的折线ODE 表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE
表示的函数关系中，时间每增加1 天，日销量减少5 件．
(1)第26 天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660 元的天数共有多少天？
【答案】(1)320；640
(2)
20
0
18
5
450 18
30
x
x
y
x
x
(3)720 元；8 天
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．
（1）根据题意“线段DE 表示的函数关系中，时间每增加1 天，日销量减少5 件”，已知第22 天的销售量，
可求第26 天的销售量；再根据日利润单件利润日销售量，求出当天总利润即可；
（2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线OD 、DE 的函数关系式，进而可以判断得解；
（3）由函数的图象可得，当
18
x
时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量日销售利润
每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入OD 、DE 的函数关系式中求出x 值，将其相减加1 即可求
出日销售利润不低于660 元的天数．
【详解】（1）解：由题意，∵时间每增加1 天，日销量减少5 件，且第22 天的销售量为340 件，
∴第26 天的日销售是
340
26
22
5
320
（件），
∴这天销售利润是
10
8
320
640
（元），
故答案为：320，640；
（2）解：设直线OD 的函数关系式为y
kx
，将
17,340 代入y
kx
，
∴340
17k
，
∴
20
k
，
∴直线OD 的函数关系式为
20
y
x
；
当
22
x
，
340
y
；
当
26
x
，
320
y
，
∴DE 过
22,340 ，
26,320 ，
设直线DE 的函数关系式为y
mx
n
，
∴
22
340
26
320
m
n
m
n
，
∴
5
450
m
n
，
∴直线DE 的函数关系式为
5
450
y
x
，
令20
5
450
x
x
，
解得
18
x
，
∴直线OD 和直线DE 的交点坐标为
18,360 ，
综上，y 与x 的函数关系式
20
0
18
5
450 18
30
x
x
y
x
x
；
（3）解：由函数的图象可得，当
18
x
时，日销售为20 18
360
，
此时日销售利润最大为：
10
8
360
720
（元）；
又∵每件利润为：10
8
2
（元），
∴当销售利润为660 元时，销售量为330 件，
∴令
330
y
，则有20
330
x
或5
450
330
x
，
∴
16.5
x
或
24
x
，
∴日销售利润不低于660 元的天数在17 到24 之间，
∴24 17 1
8
（天），
∴日销售利润不低于660 元的天数共有8 天．
知识点四一次函数与方程、不等式的关系
1.二元一次方程组与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b 的形式；当y=0 时，一次函数x 的值就是一元一次方程的解。
y=0 时，x 的值，即一次函数与x 轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑
自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条
直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的
交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线
平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
2.利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0 的解集，一次函数的图象在x 轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0 的解集，一次函数的图象在x 轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2 的解集，一次函数y=k1x+b1 图象在一次函数y=k2x+b2 图象上方的点的横
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2 的解集，一次函数y=k1x+b1 图象在一次函数y=k2x+b2 图象下方的点的横
坐标所组成的集合.
【易错警示】
- 方程：求kx+b=0 的解，即图象与x 轴交点横坐标，勿与y 轴交点混淆。
- 不等式：kx+b>0 对应图象在x 轴上方的部分，注意不等号方向与上下对应。
- 联立：两函数交点坐标即对应方程组的解，勿解错。
即时即练1.如图所示，一次函数
0
y
kx
b k
与正比例函数
0
y
mx m
的图象相交于点
1 2
M
，，下列
判断错误的是(
)
A．关于x 的方程mx
kx
b
的解是
1
x
B．关于x 的不等式mx
kx
b
的解集是
1
x
C．当
0
x
时，函数y
kx
b
的值比函数y
mx
的值大
D．关于x ，y 的方程组
0
y
mx
y
kx
b
的解是
1
2
x
y
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组
的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一
次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判
断即可．
【详解】解：∵一次函数
( ,
y
kx
b k b
是常数，
0)
k
与正比例函数
(
y
mx m
是常数，
0)
m
的图象相交于
点
(1 2)
M ，，
∴关于x 的方程mx
kx
b
的解是
1
x ，选项A 判断正确，不符合题意；
关于x 的不等式mx
kx
b
的解集是
1
x ，选项B 判断错误，符合题意；
当
0
x
时，函数y
kx
b
的值比函数y
mx
的值大，选项C 判断正确，不符合题意；
关于,x y 的方程组
0
y
mx
y
kx
b
的解是
1
2
x
y
，选项D 判断正确，不符合题意；
故选：B．
2.学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数
2
2
y
x
的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
【初步感知】
x
…
4
3
2
1
0
1
2
…
2
2
y
x
…
6
m
2
n
2
4
6
…
(1)表格中m 的值为________，n 的值为________；
(2)在平面直角坐标系中画出函数
2
2
y
x
的图象．
(3)【探究性质】观察函数
2
2
y
x
的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题：
①该函数图象是轴对称图形；
②当
1
x 时，y 的值随x 值的增大而增大；
③当
1
x 时，该函数存在最小值，最小值为0；
④当
4
y
时，
1
x ．
其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号）
(4)在同一坐标系中画出一次函数
4
y
x
的图象，并根据图象直接写出方程组
2
2
4
y
x
y
x
的解_________．
【答案】(1)m 的值为4，n 的值为0
(2)作图见解析
(3)①②③
(4)作图见解析；
2
2
x
y
，
2
6
x
y
【分析】（1）分别将
3
x 和
1
x 代入
2
2
y
x
求解即可；
（2）利用描点法作图即可；
（3）根据画出的函数图象分析即可；
（4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把
3
x 代入
2
2
y
x
，
得
2
3
2
4
4
y
，
故
4
m
；
把
1
x 代入
2
2
y
x
，
得
2
1
2
0
0
y
，
故
0
n
；
（2）解：作图如图：
（3）解：由图可知函数图象关于直线
1
x 对称，是轴对称图形，故①正确；
由图可知当
1
x 时，
2
2
y
x
，y 随x 的增大而增大，故②正确；
由图可知当
1
x 时，y 取得最小值0 ，故③正确；
当
4
y
时，2
2
4
x
，解得
1
x 或
3
x ，并非只有
1
x ，故④错误；
综上，正确的是①②③；
（4）解：作图如图：
当
1
x 时，
2
2
4
y
x
y
x
，解得
2
6
x
y
，
当
1
x 时，
2
2
4
y
x
y
x
，解得
2
2
x
y
，
方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，
因此方程组的解为：
2
2
x
y
和
2
6
x
y
．
题型1
正比例函数与一次函数的识别
例1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（
）
A．
1
y
x
B．
2
3
y
x
C．
2
y
x
=
D．y
x
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的定义，关键是根据定义进行判断；根据正比例函数的定义（形如y
kx
，
其中k 为常数且
0
k
），对各选项逐一判断.
【详解】解：∵正比例函数的定义为形如y
kx
（k 是常数，
0
k
）的函数，
∴对各选项分析如下：
A 选项
1
y
x
含有常数项1，不符合正比例函数定义；
B 选项
2
3
y
x
含有常数项3
，不符合正比例函数定义；
C 选项
2
y
x
中自变量x 的次数为2 ，不符合正比例函数定义；
D 选项y
x
可表示为
1
y
x
，其中
1
0
k
，符合正比例函数定义；
故答案选：D．
例2．下列函数中，是一次函数的是（
）
A．
2
1
y
x
B．
2
1
y
x
C．y
kx
b
D．
3
y
x
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y
kx
b
，（k 为常数，
0
k
）的函数叫做一次函数．
根据一次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A：
2
1
y
x
，x 的最高次数为2，不符合一次函数定义；
B：
2
1
y
x
，
2
0
k
，
1
b ，符合一次函数定义；
C：y
kx
b
，k 未明确不等于0，故不一定是一次函数；
D：
3
y
x
，分母有未知数，不符合一次函数定义；
故选：B．
【技巧总结】
1. 看形式：y=kx+b 为一次函数；b=0 即y=kx 为正比例。
2. 注意条件：k≠0；自变量指数为1。
3. 特殊值：正比例必过原点；一次函数不过原点（b≠0）。
4. 用图像：正比例直线过原点，一次函数与y 轴交于(0,b)。
【变式训练1-1】若
2
1
1
m
y
m
x
是关于x 的一次函数，则m 的值为（
）
A．1
B．1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项
系数不为零，列方程求解即可．
【详解】解：∵
2
1
1
m
y
m
x
是关于x 的一次函数，
∴2
1
m
且
1
0
m
，
解得
1
m ，
故选：A．
【变式训练1-2】若函数
2
2
1
1
2
y
x
m
m x
（m 为常数）是正比例函数，则m 的值为（
）
A．
1
2
m
B．
1
2
m
C．
1
2
m
D．
1
2
m
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义．
根据正比例函数的定义（形如y
kx
，
0
k
且k 为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次
项系数不为0，进而求解m 的值．
【详解】解：∵函数
2
2
1
1
2
y
x
m
m x
是正比例函数，
∴
2
1
0
1 2
0
m
m
，
由2
1
0
m
，解得
1
2
m
，
∵当
1
2
m
时，
1
1
2
1
2
2
0
2
m
，满足条件，
∴
1
2
m
，
故选：D．
题型2
一次函数的图象和性质
例3．对于一次函数
2
8
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．函数图象经过点(1, 4)
B．函数图象与y 轴的交点坐标是(0,8)
C．函数的图象不经过第一象限
D．函数图象向左平移4 个单位得到函数
2
y
x
的图象
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等
知识点，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】A、当
1
x 时，
2 1 8
6
4
y
，函数图象不经过点
1, 4
，此选项错误，不符合题意；
B、当
0
x
时，
2 0
8
8
y
，函数图象与y 轴的交点坐标是
0, 8
，此选项错误，不符合题意；
C、在
2
8
y
x
中，
2
0
k
，
8
0
b
，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意；
D、函数图象向左平移4 个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为
2
4
8
2
8 8
2
y
x
x
x
，
此选项正确，符合题意；
故选：D．
例4．关于一次函数
3
2
y
x
的性质及其图象，下列说法正确的是（
）
A．y 的值随x 值的增大而减小
B．该函数的图象经过第一、二、三象限
C．点
1, 5
一定在函数图象上
D．
1
3, y
和
2
2, y
是图象上两点，则
1
2
y
y
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图像与性质，灵活运用一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的增减性、图像经过的象限、点与函数图像的关系逐项判断即可．
【详解】解：∵一次函数为
3
2
y
x
，其中
3
0
k
，
2
0
b
，
∴A．由
3
0
k
，则y 的值随x 值的增大而增大，故A 错误，不符合题意；
B．由
3
0
k
，
2
0
b
，则该函数图像经过第一、三、四象限，故B 错误，不符合题意；
C．当
1
x 时，
3
1
2
5
y
，即点
1, 5
一定在函数
3
2
y
x
图像上，故C 正确，符合题意；
D．由
3
0
k
，y 随x 的增大而增大，且3
2
，即
1
2
y
y
，故D 错误，不符合题意．
故选C．
【技巧总结】
1. k 定方向：k>0 直线上升（过一三象限），k<0 下降（过二四）。
2. b 定交点：与y 轴交于(0,b)，b>0 在上半轴，b<0 在下半轴。
3. 求交点：联立方程求与坐标轴或另一函数交点，用增减性比较函数值大小。
【变式训练2-1】对于直线
1
3
2
y
x
的描述，正确的是（
）
A．y 随x 的增大而增大
B．经过点
2, 1
C．图象不经过第二象限
D．与y 轴的交点是
0, 3
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数y
kx
b
（
0
k
）中k 、b 对函数
图象和性质的影响是解题的关键．
本题可根据一次函数y
kx
b
（
0
k
）的图象与性质，通过判断斜率k 的符号分析函数增减性，代入点
的坐标验证直线是否经过该点，结合k 、b 的符号判断直线经过的象限，代入
0
x
求出与y 轴交点，
进而逐一判断各选项的正误．
【详解】∵直线解析式为
1
3
2
y
x
，其中
1
0
2
k
，
3
0
b
∴y 随x 的增大而减小，故A 选项错误．
∵当
2
x - 时，
1
2
3
1 3
2
1
2
y
∴直线不经过点
2, 1
，故B 选项错误．
∵
0
k
，
0
b
∴直线经过第二、三、四象限，故C 选项错误．
∵当
0
x
时，=
3
y
∴直线与y 轴的交点是
0, 3
，故D 选项正确．
故选：D．
【变式训练2-2】下列有关一次函数
3
0
y
kx
k
的说法：①函数图象与y 轴的交点为
0,3 ；②当
0
k
时，
y 的值随着x 增大而增大；③当
0
k
时，函数图象经过第二、三、四象限．其中正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的系数与图象、增减性的关系逐一判断说法的正
误．
【详解】解：①∵当
0
x
时，
0
3
3
y
k
，
∴函数图象与y 轴的交点为
0,3 ，故①正确．
②∵一次函数
0
y
kx
b k
（
）中，当
0
k
时，y 的值随x 值的增大而增大
∴当
0
k
时，此函数y 随x 增大而增大，故②正确．
③∵当
0
k
，
3
0
b
时，一次函数图象经过第一、二、四象限，故③错误．
综上，正确的是①②．
故选A．
题型3
根据一次函数的图象和性质求解
例5．已知一次函数
2
2
y
a
x
m
（a 、m 为常数）的图象过
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，若
1
2
x
x
，则
1y _______
2y
（用“>”或“<”填空）．
【答案】>
【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断得出一次函数的系数
2
2
0
a
，结合一次函数的增减性，即
可求解．
【详解】解：∵a 为常数，
故
2
0
a
∴
2
2
0
a
；
∴y 随x 的增大而增大，
故函数图象上的两点
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，当
1
2
x
x
时，
1
2
y
y
．
故答案为：>．
例6．一次函数y
kx
b
满足
0
kb
，且y 随x 的增大而增大，则此函数的图像一定不经过第_______象限．
【答案】
二
【分析】根据一次函数的增减性判断k 的符号，再结合
0
kb
判断b 的符号，最后根据一次函数的图象性质
确定函数不经过的象限．
【详解】解：∵一次函数y
kx
b
中，y 随x 的增大而增大，
∴根据一次函数的性质，可得
0
k
，
∵
0
kb
，
∴
0
b
，
∴一次函数y
kx
b
的图象经过第一、三、四象限，
∴此函数的图象一定不经过第二象限．
【技巧总结】
1. 求解析式：用待定系数法，已知两点坐标或一点加斜率。
2. 比大小：k>0 时y 随x 增大而增大；k<0 则减小，可直接代入比较。
【变式训练3-1】已知直线
2
2
1
y
a x
a
经过第一、三、四象限，则a 的取值范围为________．
【答案】
1
2
a
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于a 的一元一
次不等式组，解之即可得出a 的取值范围．
【详解】解：∵直线
2
2
1
y
a x
a
经过第一、三、四象限，
∴
2
0
2
1
0
a
a
，
解得
1
2
a
．
故答案为：
1
2
a
．
【变式训练3-2】已知一次函数
1
2
3
y
k
x
k
，其中k 为常数，且
1
k ．当3
2
x
时，函数y 的最
小值为6
，则k 的值为_____．
【答案】
1
4
或6
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，
再由x 的取值范围得出
3
x 时，
6
y 或
2
x
时，
6
y ，分别代入函数解析式得出k 的值即可．
【详解】解：当
1
0
k
时，即
1
k 时，函数y 随x 的增大而增大，
当
3
x 时，
6
y ，
6
3
1
2
3
k
k
，
解得：
6
k
；
当
1
0
k
时，即
1
k 时，函数y 随x 的增大而减小，
当
2
x
时，
6
y ，
6
2
1
2
3
k
k
，
解得：
1
4
k
；
综上所述，
6
k
和
1
4
k -
故答案为：
1
4
或6．
题型4
含参数的一次函数图象的共存问题
例7．一次函数
2
y
x
b
与正比例函数
0
y
bx b
在同一平面直角坐标系中的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别根据一次函数和正比例函数的图象判断k 和b 的符号，然后进行比较求解即可．
【详解】解：一次函数
2
y
x
b
中，2
0
，则一次函数图象y 随x 的增大而增大，故A、B 选项符合，C、
D 选项不符合，
当
0
b
时，一次函数与y 轴交于正半轴，正比例函数
0
y
bx b
的图象在第一、三象限，A 选项符合题意；
当
0
b
时，一次函数与y 轴交于负半轴，正比例函数
0
y
bx b
的图象在第二、四象限，B 选项不符合题
意．
例8．对于正比例函数
0
y
kx k
，它的函数值y 随x 的减小而增大，则一次函数y
kx
k
的图象大致是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数
0
y
kx k
的增减性，分析出k 的正负情况，即可得一次函数y
kx
k
的图象
经过的象限，即可求解．
【详解】解：正比例函数
0
y
kx k
的函数值y 随x 的减小而增大，
0
k
，
0
k
，
一次函数y
kx
k
的图象经过一、二、四象限．
【技巧总结】
1. 分别分析：对各函数判断k、b 符号与图象象限的关系。
2. 假设验证：假设一条直线成立，推导出参数范围，再验证另一条是否矛盾。
3. 分类讨论：参数取值分情况画草图，找同时满足的条件。
4. 排除法：利用过象限特征排除错误选项。
【变式训练4-1】一次函数
1y
ax
b
=
+ 和
2
0
y
abx ab
，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与正比例函数图象的综合应用，由一次函数图象的分布位置得出a
b
、的符号，
进而得出正比例函数图象的分布位置即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A 、∵一次函数
1y
ax
b
=
+ 经过一、二、三象限，
∴
0
a
，
0
b
，
∴
0
ab
，
∴正比例函数
2y
abx
经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意；
B 、∵一次函数
1y
ax
b
=
+ 经过一、三、四象限，
∴
0
a
，
0
b
，
∴
0
ab
，
∴正比例函数
2y
abx
经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意；
C 、∵一次函数
1y
ax
b
=
+ 经过一、三、四象限，
∴
0
a
，
0
b
，
∴
0
ab
，
∴正比例函数
2y
abx
经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意；
D 、∵一次函数
1y
ax
b
=
+ 经过一、二、四象限，
∴
0
a
，
0
b
，
∴
0
ab
，
∴正比例函数
2y
abx
经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意；
故选：C ．
【变式训练4-2】将一次函数y
mx
n
与y
mnx
（m 、n 均不为0）的图象画在同一坐标系中，它们的图
象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数
0
y
kx
b k
，当
0,
0
k
b
时，图象经过第一、二、
三象限；当
0,
0
k
b
时，图象经过第一、三、四象限；当
0,
0
k
b
时，图象经过第一、二、四象限；当
0,
0
k
b
时，图象经过第二、三、四象限．
分情况判断是否有图象符合要求即可．
【详解】解：当
0,
0
m
n
时，
0
mn
，
∴一次函数y
mx
n
的图象经过第一、二、三象限，y
mnx
的图象经过第一、三象限，A，B，C，D 选
项均不符合；
当
0,
0
m
n
时，
0
mn
，
∴一次函数y
mx
n
的图象经过第一、三、四象限，y
mnx
的图象经过第二、四象限，A，B，C 选项均
不符合，D 选项符合；
当
0,
0
m
n
时，
0
mn
，
∴一次函数y
mx
n
的图象经过第一、二、四象限，y
mnx
的图象经过第二、四象限，A，B，C，D 选
项均不符合；
当
0,
0
m
n
时，
0
mn
，
∴一次函数y
mx
n
的图象经过第二、三、四象限，y
mnx
的图象经过第一、三象限，A，B，C，D 选
项均不符合；
综上所述，它们的图象可能是D．
故选：D．
题型5
含参数的一次函数综合问题
例9．已知一次函数
1
2
4
y
m
x
m
（m 为常数）
(1)当函数是正比例函数时，m 的值为___________．
(2)当函数图象不经过第一象限时，m 的取值范围是___________．
(3)当2
4
x
时，一次函数的最大值为4 ，求m 的值．
【答案】(1) 2
(2) 2
1
m
(3) 2 或2.5
【分析】（1）一次函数y
kx
b
中，
0
k
，
0
b
时，函数是正比例函数，据此列方程求解；
（2）一次函数y
kx
b
中，
0
k
，
0
b
时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解；
（3）①一次函数y
kx
b
中，
0
k
时，y 随x 的增大而增大，则当
4
x
时，最大值是4 ，②函数y
kx
b
中，
0
k
时，y 随x 的增大而减小，则当
2
x 时，最大值是4 ，据此列方程求解．
【详解】（1）解：
1
2
4
y
m
x
m
为正比例函数，
1
0
2
4
0
m
m
，
2
m ．
（2）解：
1
2
4
y
m
x
m
不经过第一象限，
可得
1
0
2
4
0
m
m
，
解得2
1
m
．
（3）解：分两种情况讨论，
当
1
0
m
，即
1
m ，y 随x 的增大而增大，
则当
4
x
，
4
y
，
可得
1
4
2
4
4
m
m
，
解得
2
m
；
当
1
0
m
，即
1
m ，y 随x 的增大而减小，
则当
2
x ，
4
y
，
可得
1
2
2
4
4
m
m
，
解得
2.5
m
；
综上
2
m
或2.5
．
例10．已知一次函数y
kx
b
（k，b 为常数，且
0
k
），的图像经过点
1,2
．
(1)若
2
1
k
b
，求一次函数的表达式．
(2)当3
2
x
时，该一次函数的最大值为8，求k 的值．
(3)若该一次函数的图像经过第一象限，且
2
3
S
k
b
，求S 的取值范围．
【答案】(1)
1
y
x
(2)
3
k
(3) 6
4
S
【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、待定系数法求解析式等知识点，正确求出函数解析式是
解题的关键．
（1）一次函数y
kx
b
（k，b 为常数，且
0
k
）的图像经过点
1,2
，得到2
k
b
，再结合
2
1
k
b
得到二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得一次函数y 随x 的增大而减小，可得当
3
x 时，
3
8
y
k
b
，结合一次函数y
kx
b
（k，b 为常数，且
0
k
）的图像经过点
1,2
得到2
k
b
，二元一次方程组求解即可；
（3）根据2
k
b
，即
2
k
b
，进而得到
2
3
2
2
3
4
S
k
b
b
b
b
，再根据一次函数的图像经过
第一象限再结合
0
k
可得0
2
b
，然后确定S 的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y
kx
b
（k，b 为常数，且
0
k
），的图像经过点
1,2
，
∴2
k
b
，
∵
2
1
k
b
，
∴
2
1
2
k
b
k
b
，解得：
1
1
k
b
，
∴一次函数的表达式为：
1
y
x
．
（2）解：∵
0
k
，
∴一次函数y 随x 的增大而减小，
∵当3
2
x
时，该一次函数的最大值为8，
∴当
3
x 时，
3
8
y
k
b
，
∵一次函数y
kx
b
（k，b 为常数，且
0
k
），的图像经过点
1,2
，
∴2
k
b
，
∴
2
8
3
k
b
k
b
，解得：
3
k ．
（3）解：根据题意：2
k
b
，即
2
0
k
b
，
∴
2
3
2
2
3
4
S
k
b
b
b
b
，
∵一次函数的图像经过第一象限，且
0
k
，
∴
0
b
，
∵
2
0
k
b
，
∴
2
b
，
∴0
2
b
，
∴2
0
b
，
∴6
4
4
b
，即6
4
S
．
【技巧总结】
1. 先定性：确定k 正负，判断增减性与过定点。
2. 求交点：联立方程用参数表示坐标，再代入条件列等式。
3. 分类讨论：参数影响象限或位置时，分情况画图求解。
4. 转化条件：将面积、线段比等几何关系转化为含参数的方程或不等式。
【变式训练5-1】已知函数
2
5
2
1
2
x
x
y
x
x
(1)当
3
y 时，求x 的值；
(2)点
1
,
A t y
，
2
3,
B t
y
在函数图象上，
①当
2
1
y
y
时，求t 取值范围；
②记
2
1
y
y
m
，求m 关于t 的函数解析式．
【答案】(1)
1
x 或4
(2)①
2
1
y
y
时，
1
t ；②
6
1
3
3
1
2
3
2
t
m
t
t
t
．
【分析】（1）依据题意，分①
2
x
和②
2
x
时，分别进行讨论计算即可得解；
（2）①依据题意，分
3
2
t
、
2
3
2
t
t
和
2
t
时，分别进行讨论计算即可判断得解；
②依据题意，分
3
2
t
、
2
3
2
t
t
和
2
t
时，分别进行分析讨论即可计算得解．
【详解】（1）解：当
2
x
时，令2
5
3
x
，解得
1
x ，
当
2
x
时，令
1
3
x
，解得
4
x
，
∴当
3
y 时，
1
x 或4；
（2）解：①当
3
2
t
，即
1
t 时，点
1
,
A t y
，
2
3,
B t
y
都在直线
2
5
y
x
上，
此时y 随x 的增大而减小，即
2
1
y
y
，不合题意．舍去．
当
2
3
2
t
t
，即1
2
t
时，
∵
2
1
y
y
，
3 1
2
5
t
t
，解得
1
t
故满足条件的t 的范围：1
2
t
．
当
2
t
时，点
1
,
A t y
，
2
3,
B t
y
都在直线
1
y
x
上，此时y 随x 的增大而增大，即
2
1
y
y
，符合题意．
综上所述，当
2
1
y
y
时，
1
t ；
②当
3
2
t
，即
1
t 时，
∵点
1
,
A t y
，
2
3,
B t
y
都在直线
2
5
y
x
上，
2
1
6
m
y
y
；
当
2
3
2
t
t
，即1
2
t
时，
2
1
3 1
2
5
3
3
m
y
y
t
t
t
；
当
2
t
时，点
1
,
A t y
，
2
3,
B t
y
都在
1
y
x
图象上，
2
1
3
m
y
y
．
综上所述，
6
1
3
3
1
2
3
2
t
m
t
t
t
．
【变式训练5-2】研究一次函数y
kx
b
时，发现k 和b 的取值变化，会带来函数性质的变化．
(1)若
2
k
b
，且这个一次函数的图像过点
3,7 ．
①求k 和b 的值；
②若0
8
x
，求y 的取值范围；
(2)设函数
1y
mx
n
，
2y
mx
n
（m
n
、为常数，
0
m
）．
若函数
1y 和
2y 同时满足以下三个条件：
条件1：
1y 随x 的增大而增大；
条件2 ：当1
5
x
时，
1
8
t
y
t
；
条件3：当3
1
x
时，
2y 的最大值为2t ．求t 的值．
【答案】(1)①
2
k
，
1
b ；②1
17
y
；
(2)
4
t
．
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）①根据
2
k
b
，则
2
y
bx
b
，把
3,7 代入直线
2
y
bx
b
，从而求解；
②由
2
1
y
x
得当
0
x
，
1
y ；当
8
x
，
17
y
，然后通过一次函数的性质即可求解；
（2 ）由题意得
0
m
，当
1
x ，
1y
t
；当
5
x
，
1
8
y
t
；可得：
2
m
，所以
2
2
y
x
n
，
2y 随x 的
增大而减小，所以
3
x ，
2
2
y
t
；可得
2
t
n
，2
6
t
n
，从而求出t 的值．
【详解】（1）解：①若
2
k
b
，则
2
y
bx
b
，
把
3,7 代入直线
2
y
bx
b
，
可得7
7b
，
所以
1
b ，
所以
2
k
，
②由
2
1
y
x
得，当
0
x
，
1
y ；当
8
x
，
17
y
；
因为
2
k
，y 随x 的增大而增大，
所以1
17
y
；
（2）解：由题意得：
0
m
，
当
1
x ，
1y
t
；当
5
x
，
1
8
y
t
；可得：
2
m
，
所以
2
2
y
x
n
，
2y 随x 的增大而减小，
所以
3
x ，
2
2
y
t
；
可得：
2
t
n
，2
6
t
n
，
所以
4
t
．
题型6
一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题
例11．已知一次函数
3
y
ax
与
1
y
bx
的图象如下图所示，其交点B 的坐标为
3,m
，直线
1
y
bx
与
x 轴的交点坐标为
1,0
，则下列说法正确的是（
）
A．方程
1
0
bx
的解是
3
x
B．方程组
3
0
1
0
ax
y
bx
y
的解是
3
x
y
m
C．关于x 的不等式
3
1
ax
bx
的解集是
3
x
D．
1
0
bx
的解集为
1
x
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，两条直线的交点求方程组的解，
先根据直线与x 轴的交点求出方程的解判断A，再求出两条直线的交点，并判断方程组的解，说明B；然后
根据两条直线的位置求出不等式的解集解答C；最后根据直线
1
y
bx
与x 轴的交点解答D．
【详解】解：∵直线
1
y
bx
与x 轴交于点( 1,0)
，
∴方程
1
0
bx
的解是
1
x ，
1
0
b
，
解得
1
b ，即=
1
y
x
，
则A 不正确，不符合题意；
∵一次函数
3
y
ax
与=
1
y
x
交点为( 3,
)
m
，
∴
3
1
2
m
，
即( 3,2)
，
∴方程组
3
0
1
0
ax
y
bx
y
的解是
3
2
x
y
，
则B 不正确，不符合题意；
关于x 的不等式
3
1
ax
bx
的解集是
3
x ，
则C 正确，符合题意；
∵直线
1
y
bx
与x 轴交于点( 1,0)
，
∴
1
0
bx
的解集是
1
x ，
则D 不正确，不符合题意．
故选：C．
例12．如图，在平面直角坐标系中，若直线
1y
x
a
与直线
2
4
y
bx
相交于点P ，则下列结论错误的是
（
）
A．方程
4
x
a
bx
的解是
1
x
B．不等式
3
x
a
和不等式
4
3
bx
的解集相同
C．方程组
4
y
x
a
y
bx
的解是
1
3
x
y
D．不等式组
4
0
bx
x
a
的解集是2
1
x
【答案】C
【分析】本题考查一次函数和方程，一次函数与不等式，利用数形结合的思想，进行求解，逐一进行判断
即可．
【详解】解：由图象可知，直线
1y
x
a
与直线
2
4
y
bx
的交点为
1, 3
；
∴方程
4
x
a
bx
，即方程
4
x
a
bx
的解为
1
x ；故选项A 正确；
不等式
3
x
a
的解集为
1
x ，不等式
4
3
bx
的解集为
1
x ，故不等式
3
x
a
和不等式
4
3
bx
的解集相同；故选项B 正确；
方程组
4
y
x
a
y
bx
的解集为
1
3
x
y
，故选项C 错误；
把
1, 3
代入
1y
x
a
，得3
1 a
，解得
2
a ，
∴
1
2
y
x
，
∴当
1
2
0
y
x
，解得
2
x ，
∴不等式组
4
0
bx
x
a
的解集是2
1
x
；故选项D 正确；
故选C．
【技巧总结】
1. 看交点：两函数图像交点的横坐标即方程的解。
2. 分高低：图像在上方对应函数值大，下方则小，写对应x 范围。
3. 找临界：不等式边界即方程的解，结合图像增减性确定不等号方向及区间。
【变式训练6-1】如图，一次函数
( ,
y
kx
b k b
为常数，且
0)
k
的图象与直线
1
3
y
x
都经过点
(3,1)
A
，当
1
3
kx
b
x
时，x 的取值范围是__________．
【答案】
3
x
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会根据一次函数图
象写出不等式的解集．
根据图象，确定y
kx
b
的图象在
1
3
y
x
图象下方的自变量取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数
( ,
y
kx
b k b
为常数，且
0)
k
的图象与直线
1
3
y
x
都经过点
(3,1)
A
，
∴
1
3
kx
b
x
时，
3
x
，
故答案为：
3
x
．
【变式训练6-2】如图，直线1
1
l
y
kx
：
与x 轴交于点
2,0
A
，直线2 :
l
y
x
b
与y 轴交于点
0,4
B
，
与直线1l 交于点C．
(1)求k，b 的值；
(2)关于x，y 的方程组
1
y
kx
y
x
b
的解为；
(3)若直线3l 平行于x 轴，且到x 轴的距离为1，求直线3l 被1l ，2l 所截得的线段长．
【答案】(1)
1
2
k
，
4
b
(2)
2
2
x
y
(3)3 或9
【分析】（1）依据题意，由直线1
1
l
y
kx
：
与x 轴交于点
2,0
A
，则2
1
0
k
，可得k 的值，又直线
2 :
l
y
x
b
与y 轴交于点
0,4
B
，故0
4
b
，则
4
b
，从而得解；
（2）联立方程组
1
1
2
4
y
x
y
x
，解方程组，进而可以得解；
（3）根据直线3l 平行于x 轴，且到x 轴的距离为1，分两种情况求出结果即可．
【详解】（1）解：∵直线1
1
l
y
kx
：
与x 轴交于点
2,0
A
，
∴2
1
0
k
，解得：
1
2
k
，
∵直线2 :
l
y
x
b
与y 轴交于点
0,4
B
，
∴0
4
b
，
解得：
4
b
；
（2）解：由题意，结合（1）联立方程组
1
1
2
4
y
x
y
x
，
解得：
2
2
x
y
，
∴方程组
1
y
kx
y
x
b
的解为
2
2
x
y
．
（3）解：由题意，∵直线3l 平行于x 轴，且到x 轴的距离为1，
∴令
1
1 1
2
y
x
，则
0
x
；
4
1
y
x
，则
3
x
，
故直线3l 被1l ，2l 所截得的线段长为3
0
3
；
令
1
1
1
2
y
x
，则
4
x ；
4
1
y
x
，则
5
x
，
故直线3l 被1l ，2l 所截得的线段长为
5
4
9
；
答：直线3l 被1l ，2l 所截得的线段长为3 或9．
题型7
一次函数的实际应用问题
例13．学校有1100 本作文本需要打包发放，现有A、B 两种型号的箱子可供选择．已知1 个A 型箱子和2
个B 型箱子装满后可打包500 本作文本，2 个A 型箱子和1 个B 型箱子装满后可打包400 本作文本．学校计
划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本．
(1)每个A 型箱子和B 型箱子分别能装多少本作文本？
(2)若A 型箱子每个3 元，B 型箱子每个5 元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？
【答案】(1)每个A 型箱子能装100 本作文本，每个B 型箱子能装200 本作文本
(2)共有5 种打包方案，A 型箱子1 个，B 型箱子5 个，费用最少，为28 元
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设每个A 型箱子能装x 本作文本，每个B 型箱子能装y 本作文本，根据题意列方程组求解即可；
（2）设需要A 型箱子a 个，B 型箱子b 个，费用为W 元，根据题意可得到
11
2
a
b
，进而由a、b 为正整
数求得a、b 的值，再得到
33
W
b
，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A 型箱子能装x 本作文本，每个B 型箱子能装y 本作文本，
根据题意，得
2
500
2
400
x
y
x
y
，解得
100
200
x
y
，
答：每个A 型箱子能装100 本作文本，每个B 型箱子能装200 本作文本；
（2）解：设需要A 型箱子a 个，B 型箱子b 个，费用为W 元
由题意，100
200
1100
a
b
11
2
a
b
,a b
为正整数
∴
9
1
a
b
或
7
2
a
b
或
5
3
a
b
或
3
4
a
b
或
1
5
a
b
3
5
3 11 2
5
33
W
a
b
b
b
b
1
0
k
W
随b 增大而减小
∴当
5
b
时，W 取得最小值，此时
33
5
33
28
W
b
答：共有5 种打包方案，A 型箱子1 个，B 型箱子5 个，费用最少，为28 元．
例14．某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场经济影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去
年同期每台降价1200 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为96000 元，今年销售额只有72000 元．
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500 元，乙种电脑每台
进价为3000 元，公司预计用不多于49000 元且不少于48000 元的资金购进这两种电脑共15 台，有几种进
货方案？
(3)如果乙种电脑每台售价为3800 元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现
金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？
【答案】(1)每台售价3600 元
(2)共有3 种进货方案
(3)700
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，函数关系式的使用，解题的
关键在于能够准确读懂题意．
（1）设今年三月份甲种电脑每台售价x 元，则去年每台
1200
x
元，然后由卖出相同数量的电脑，去年销
售额为96000 元，今年销售额只有72000 元列出方程求解即可；
（2）设购甲种电脑m 台，则乙种电脑
15
m
台，然后由甲种电脑每台进价为3500 元，乙种电脑每台进价
为3000 元，公司预计用不多于49000 元且不少于48000 元的资金购进这两种电脑共15 台，列出不等式求
解即可得到答案；
（3）设甲种电脑n 台，总获利为W 元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求
解即可．
【详解】（1）解：设今年三月份甲种电脑每台售价x 元，则去年每台
1200
x
元，
依题意，得：96000
72000
1200
x
x
，
解得：
3600
x
．
经检验，
3600
x
是方程的解，且符合题意．
答：今年三月份甲种电脑每台售价3600 元；
（2）解：设购甲种电脑m 台，则乙种电脑
15
m
台，
依题意，得：
3500
3000 15
48000
3500
3000 15
49000
m
m
m
m
，
解得：6
8
m
．
m 为正整数，
6
m
，7 ，8 ，
共有3 种进货方案．
答：共有3 种进货方案；
（3）解：设甲种电脑n 台，总获利为W 元．
则
3600
3500
3800
3000
15
W
n
a
n
700
12000 15
a
n
a
，
要使（2）中所有方案获利相同，
W 的结果与n 无关，
700
0
a
，
700
a
．
答：a 的值为700．
【技巧总结】
1. 建模型：设变量，根据题意列一次函数解析式，明确定义域。
2. 代临界：方案选择、最值问题，代入端点值或联立方程求交点比较。
3. 看增减：利用\(k\) 正负判断最优方案（最大或最小）。
4. 统一单位：注意时间、距离等单位的统一。
【变式训练7-1】李华步行去离家1200 米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，
便骑车追赶李华，图中1
2
l
l
，分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系．
(1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______；
(2)求出2l 的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义．
(3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？
【答案】(1)60 米/分，180 米/分．
(2)
180
1800
y
t
，爸爸骑车的速度为180 米/分．
(3)能追上
【分析】本题主要考查了函数图像、求函数解析式、一次函数的实际应用等知识点，从函数图像上获取所
需信息是解题的关键．
（1）根据速度等于路程除以时间并结合图像可得点A、点B 表示的实际意义列式计算即可；
（2）先利用待定系数法求得2l 函数表达式，由（1）爸爸的骑车速度即可确定一次项系数的实际意义；
（3）先求得1l 的函数表达式，与2l 函数表达式联立求得相遇时间，再求出李华的行走距离，然后与1200 比
较即可解答．
【详解】（1）解：李华步行的速度为600 10
60
米/分，
爸爸骑车的速度为
360
12 10
360
2
180
米/分，
故答案为：60 米/分，180 米/分．
（2）解：由题意设2l 的表达式为y
kt
b
，
∵当
10
t
时，
0
y
；当
12
t
时，
360
y
．
∴
0
0
36
12
10
b
b
k
k
，解得：
80
180
1
0
b
k
，
∴2l 的表达式为
180
1800
y
t
．
由（1）可得：爸爸骑车的速度为180 米/分．
所以该表达式中一次项系数的实际含义为爸爸骑车的速度为180 米/分．
（3）解：由题意设1l 的表达式为
1
y
k t
，
∵当
10
t
时，
600
y
，
1
600
10k
，解得：
1
60
k
，
∴1l 的表达式为
60
y
t
，
当60
180
1800
t
t
时，解得：
15
t
，
把
15
t
代入
60
y
t
，得：
60 15
900
y
，
900
1200
，
∴能追上．
【变式训练7-2】某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中
的一家进行印制．设印刷厂的收费为y （元），印制数量为x （份）．
甲印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5 元，不收制版费，若印制满4000 元，可以享受折扣，超过的部分
每份材料收0.5元．此时y 与x 的函数关系如图所示．
乙印刷厂收费标准是：每份材料收k 元印制费，另收b 元制版费，此时y 与x 的关系如下表所示．
印制数量x
（份）
0
1000
2000
3000
4000
收费y （元）
1500
2500
3500
4500
5500
(1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂y 关于x 的函数图象，并判断函数类型．
(2)求乙印刷厂y 关于x 的函数表达式．
(3)对于x 的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜．
【答案】(1)一次函数，图象见解析
(2)
1500
y
x
乙
(3)当0
1000
x
时，在甲厂印制便宜；当
1000
x
时，在甲乙两厂印制费用一样；当1000
3400
x
时，在
乙厂印制便宜；当
3400
x
时，在甲乙两厂印制费用一样；当
3400
x
时，在甲厂印制便宜
【分析】题目主要考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，理解题意，熟练掌握是解题关
键．
（1）根据题意画图判断即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据题意先得出甲厂的函数解析式，然后再分情况分析，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：根据图象得：乙印刷厂y 关于x 的函数为一次函数；
（2）根据图象观察乙印刷厂提出的费用方案，其函数图象过
1000,2500 ，
0,1500 ．
设y
kx
b
乙
，分别将
1000,2500 ，
0,1500 代入得：
2500
1000
1500
k
b
b
，解得
1
1500
k
b
，
∴
1500
y
x
乙
；
（3）根据题意，当在甲厂印刷时，4000
2.5
1600
份，
∴当0
1600
x
时，
2.5
y
x
甲
；
∴
1500
2.5
y
x
y
x
，
解得：
1000
2500
x
y
，
∴当0
1000
x
时，在甲厂印制便宜；当
1000
x
时，在甲乙两厂印制费用一样；当1000
1600
x
时，在
乙厂印制便宜；
当
1600
x
时，
4000
0.5
1600
0.5
3200
y
x
x
甲
；
∴
0.5
3200
1500
y
x
y
x
，
解得：
3400
4900
x
y
，
结合图象得：当1600
3400
x
时，在乙厂印制便宜；当
3400
x
时，在甲乙两厂印制费用一样；当
3400
x
时，在甲厂印制便宜．
综上可得：0
1000
x
时，在甲厂印制便宜；当
1000
x
时，在甲乙两厂印制费用一样；当1000
3400
x
时，在乙厂印制便宜；当
3400
x
时，在甲乙两厂印制费用一样；当
3400
x
时，在甲厂印制便宜．
题型8
一次函数中的折叠问题
例15．一次函数
0
y
kx
b k
的图像与x 轴、y 轴分别相交于点
8,0
A
和点
0,6
B
．点C 在线段AO 上，
如图，将ABO
沿BC 折叠后，点O恰好落在AB 边上点D 处．
(1)求直线AB 的表达式；
(2)求AC 的长．
【答案】(1)
3
6
4
y
x
(2)
5
AC
【分析】本题考查了折叠与勾股定理，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法进行列式计算，得出直线AB 的表达式为
3
6
4
y
x
，
（2）先得出
2
2
6
8
10
AB
，再结合折叠性质得
10
6
4
AD
，
8
AC
AO
CO
DC
，运用勾股定
理列式计算，得
3
DC
，即可得AC 的长．
【详解】（1）解：∵一次函数
0
y
kx
b k
的图像与x 轴、y 轴分别相交于点
8,0
A
和点
0,6
B
．
∴
0
8
6
0
k
b
k
b
，
解得
3
4
6
k
b
，
∴直线AB 的表达式：
3
6
4
y
x
．
（2）解：∵点
8,0
A
和点
0,6
B
．
∴
8,
6
AO
BO
，
则
2
2
6
8
10
AB
，
∵将ABO
沿BC 折叠后，点O恰好落在AB 边上点D 处．
∴
90
BDO
BOC
，
6
DB
OB
，DC
OC
，
则
10
6
4
AD
，
8
AC
AO
CO
DC
，
∴
180
90
ADC
BDO
，
故在Rt ADC
中，
2
2
2
AC
DC
AD
，
∴
2
2
2
8
4
DC
DC
，
解得
3
DC
，
则
8
3
5
AC
．
例16．如图，
6,0 ,
0,8
A
B
，点M 在线段OB 上，将ABM
沿直线AM 折叠，点B 恰好落在点
,0
B a
处．
(1)求a 的值；
(2)求直线AM 的解析式；
(3)若直线y
x
t
与直线AM 的交点在直线x
a
的左侧，请直接写出t 的取值范围．
【答案】(1)
4
a
(2)
1
3
2
y
x
(3)
9
t
【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的
性质，理解题意，结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意得出
6,
8
OA
OB
，再由勾股定理及折叠的性质求解即可；
（2）设OM
x
，根据折叠的性质，得
8
BM
B M
x
，
4
OB
，根据勾股定理确定点M 的坐标，再利
用待定系数法计算解析式即可．
（3）根据题意作出相应草图，结合图象得出
4,5
N
，代入一次函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵
6,0 ,
0,8
A
B
，
∴
6,
8
OA
OB
，
∵
90
AOB
，
∴
2
2
10
AB
OA
OB
，
∵将ABM
沿直线AM 折叠，点B 恰好落在点
,0
B a
处，
∴
10
AB
AB
，
∴
10
6
4
OB
，
∴
0
(
)
4,
B
，
∴
4
a
；
（2）设OM
x
，
根据折叠的性质，得
8
BM
B M
x
，AB
AB
，
由（1）得
4
OB
，
∵
2
2
2
B M
OM
OB
，
∴
2
2
2
8
4
x
x
，
解得
3
x
，
故
0,3
M
，
设直线AM 的解析式为
3
y
kx
，
∴6
3
0
k
，
解得
1
2
k
，
故直线AM 的解析式为
1
3
2
y
x
．
（3）由（1）得：
4
a
，
∴直线y
x
t
与直线AM 的交点在直线
4
x
的左侧，
如图所示：
当
4
x
时，
1
1
3
4 3
5
2
2
y
x
=
+
=
´
+
=
，
∴
4,5
N
，
∵直线y
x
t
与直线AM 的交点在直线x
a
的左侧，
∴直线y
x
t
经过点N 时恰好是临界点，
∴5
4
t
，
解得：
9
t
，
∴t 的取值范围为
9
t
．
【技巧总结】
1. 找对称点：折叠即轴对称，点关于折痕对称，利用中点坐标与垂直斜率关系。
2. 设未知点：设对称点坐标，根据中点在折痕上、连线与折痕垂直列方程组。
3. 求解析式：联立解出对称点，再求新直线方程。
4. 注意折痕：可为x 轴、y 轴或任意直线。
【变式训练8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点
4,0
A
，与y 轴交于点
0,3
B
．
(1)求直线AB 的函数表达式；
(2)点P 是x 轴上一点，连接BP ，若ABP
的面积为6 ，求点P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将ABP
沿AP 折叠，点B 的对应点为点B，请直接写出点B的坐标．
【答案】(1)
3
3
4
y
x
(2)
8,0 或
0,0 ；
(3)点B的坐标为
0, 3
【分析】本题考查运用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等，解题的关键是注意分情
况讨论，避免漏解．
（1）利用待定系数法求解；
（2）设点P 的坐标为
,0
x
，则
4
AP
x
，根据三角形面积公式可列式求解即可；
（3）根据折叠的性质可得结论．
【详解】（1）解：设直线AB 的表达式为y
kx
b
，
将
4,0
A
，
0,3
B
代入，
得
4
0
3
k
b
b
，
解得
3
4
3
k
b
，
所以直线AB 的函数表达式为
3
3
4
y
x
；
（2）解：设点P 的坐标为
,0
x
，
则
4
AP
x
，
因为ABP
的面积为6 ，
所以1
6
2
AP OB
，
即1
4
3
6
2
x
，
解得
8
x
或
0
x
，
所以点P 的坐标为
8,0 或
0,0 ；
（3）解：当点P 的坐标为
8,0 时，点B的坐标为
0, 3
；
当点P 的坐标为
0,0 时，点B的坐标为
0, 3
【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，直线y
kx
b
与x 轴、y 轴分别相交于点
6,0
A
、
0,8
B
，
C 是线段OB 上一点，将OAC
沿着AC 折叠，点O落在点D ，连接BD ．
(1)求直线AB 的函数解析式；
(2)若点D 正好落在线段AB 上，求点C 的坐标；
(3)若
1
4
ADC
AOB
S
S
△
△
，求点D 的坐标．
【答案】(1)
4
8
3
y
x
(2)
0,3
C
(3)
6 18
,
5
5
D
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、面积的计算等，分类求
解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由
2
2
2
BD
CD
BC
，即
2
2
2
4
8
c
c
，即可求解；
（3）若
1
4
ADC
AOB
S
S
△
△
，即
1
4
ACO
AOB
S
S
△
△
，则
1
2
4
OC
OB
，进而求解；
【详解】（1）解：将
6,0
A
、
0,8
B
代入直线y
kx
b
得：
6
0
8
k
b
b
，
解得
4
3
8
k
b
，
∴
4
8
3
y
x
；
（2）解：如图，
∵
6,0
A
、
0,8
B
，
∴
6,
8
OA
OB
，
∴
2
2
2
2
8
6
10
AB
OB
OA
，
由折叠得：
6,
,
90
AD
AO
CD
OC
ADC
AOC
．
∴
10
6
4
BD
AB
AD
，
设
0,
C
c ，则
,
OC
c CD
OC
c
，
∴
8
BC
OB
OC
c
，
在Rt BDC
中，
2
2
2
BD
CD
BC
，
∴
2
2
2
4
8
c
c
，
∴
3
c ，
∴
0,3
C
；
（3）解：连接OD 交AC 于点E ，
由翻折可得：
ADC
△
≌
AOC
△
，
,
OD
AC DE
OE
，
∴
ADC
AOC
S
S
△
△
，
∵
1
4
ADC
AOB
S
S
△
△
，
∴
1
2
4
OC
OB
，
∴
0,2
C
，
∵
6,0
A
，
∴直线AC 的表达式为：
1
2
3
y
x
，
延长OD 到F ，使OF
AC
，作FG
y
轴于点G ，
∵OD
AC
，
∴
90
AOC
OGF
，
∴
90
OAC
OCA
GOF
，
∴OAC
≌
AAS
GOF
，
∴
6,
2
OG
OA
FG
OC
，
∴
2,6
F
，
同理，直线OD 的表达式为：
3
y
x
，
联立：
1
2
3
3
y
x
y
x
解得：
3
5
9
5
x
y
，
∴
3 9
,
5 5
E
，
∵DE
OE
，
∴
6 18
,
5
5
D
．
题型9
一次函数与几何图形的综合问题
例17．如图，已知直线1 :
4
l
y
kx
与x 轴交于点A ，直线2 :
2
8
l
y
x
与x 轴，y 轴分别交于点D 和点B ，
且两直线交于点
,C
C
点坐标为
8,m
．
(1)求k 的值．
(2)在y 轴上是否存在一点P ，使得BCP
与
ABC
面积相等？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明
理由．
(3)直线AB 上是否存在点Q ，使得
45
BDQ
．若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
1
2
k
(2)
0, 16
P
或
0,32
(3)
5,3
Q
或
10,18
Q
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定．
（1）将
8,
C
m
代入
2
8
y
x
，得出
8, 8
C
，再代入
4
y
kx
，即可求解；
（2）由（1）可得1l 的解析式为
1
y
x
4
2
，进而求得
8,0
A
，设1l 交y 轴于点M ，得出
0, 4
M
，进而求
得
ABC
面积为96，根据BCP
与
ABC
面积相等得出
24
BP
，即可求解；
（3）根据
45
BDQ
，将BD 绕点B 逆时针旋转90得到BG ，得到等腰直角三角形，连接DG ，过点B 作
EF
x
轴，过点D 作DF
EF
交于F 点，过点G 作GE
EF
交于E ，则Q 为
,
AB DG 的交点，证明
AAS
BDF
GBE
≌
，求出
8,4
G
，直线DG 与直线AB 的交点为Q ；G 点关于B 点的对称点
8,12
G
，
则直线DG与直线AB 的交点为另一个Q ．
【详解】（1）解：依题意，将
8,
C
m
代入
2
8
y
x
，得
2
8
8
8
m
∴
8, 8
C
将
8, 8
C
代入
4
y
kx
得，8
8
4
k
解得：
1
2
k
；
（2）解：由（1）可得1l 的解析式为
1
y
x
4
2
，
当
0
y
时，1
4
0
2 x
，解得：
8
x
∴
8,0
A
如图，设1l 交y 轴于点M ，
当
0
x
时，
4
y ，
∴
0, 4
M
∴
4
OM
∵直线2 :
2
8
l
y
x
与y 轴交于点B ，
当
0
x
时，
8
y
，则
0,8
B
∴
8
OB
，
∴
8
4
12
BM
OB
OM
∵
8,0
A
，
8, 8
C
∴
ABC
ABM
BCM
S
S
S
△
△
△
1
1
2
2
A
C
BM
x
BM
x
1
2
A
C
BM
x
x
1 12
8
8
2
96
∵BCP
与
ABC
面积相等
∴1
96
2
C
BP
x
解得：
24
BP
∵
0,8
B
∴
0, 16
P
或
0,32
（3）存在点Q ，使得
45
BDQ
，理由如下；
将BD 绕点B 逆时针旋转90得到BG ，连接DG ，过点B 作EF
x
轴，过点D 作DF
EF
交于F 点，过点G
作GE
EF
交于E ，则DBG
是等腰直角三角形，
∴Q 为
,
AB DG 的交点
4
BF
OD
，
8
DF
OB
，
90
FBD
EBG
，
90
FBD
FDB
，
EBG
FDB
，
BD
BG
，
AAS
BDF
GBE
≌
，
4
BF
EG
，
8
DF
BE
，
8,4
G
，
直线2 :
2
8
l
y
x
与x 轴交于点D
当
0
y
时，2
8
0
x
，解得
4
x
4,0
D
设直线DG 的解析式为
1
1
1
0
y
k x
b k
，代入
4,0
D
得
1
1
1
1
4
0
8
4
k
b
k
b
解得：
1
1
1
3
4
3
k
b
直线DG 的解析式为
1
4
3
3
y
x
，
8,0
A
，
0,8
B
同理可得直线AB 的解析式为
8
y
x
，
1
4
3
3
8
y
x
y
x
解得：
5
3
x
y
5,3
Q
设G 关于2l 的对称点为G，
90
DBG
GG的中点为
0,8
B
，
8,4
G
8,2 8
4
G
即
8,12
G
同理可得直线DG的解析式为
3
12
y
x
3
12
8
y
x
y
x
解得：
10
18
x
y
∴
10,18
Q
综上所述，
5,3
Q
或
10,18
Q
例18．如图，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴正半轴上一点，且
6
OA
，过点A 的直线与直线
3
5
y
x
交
于点
5, 3
B
，动点P ，Q 都在线段OA上（P ，Q 不与O、A 重合，P 与Q 不重合），且OP
AQ
，以PQ
为边在x 轴下方作正方形PQCD ，设OP
m
，正方形PQCD 的周长为L ．
(1)求直线AB 的函数解析式；
(2)当
5
m
时，正方形PQCD 的面积为_______；
(3)求L 与m 之间的函数关系式；
【答案】(1)
3
18
y
x
；
(2)16
(3)
8
24(0
3)
8
24(3
6)
m
m
L
m
m
【分析】本题考查一次函数的综合及正方形的性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求得正方形PQCD 的边长，即可求得正方形PQCD 的面积；
（3）分当0
3
m
和3
6
m
时，两种情况讨论，用m 分别表示出PQ的长，利用正方形的周长公式即可
求解．
【详解】（1）解：∵
6
OA
，
∴点
6,0
A
，
设直线AB 的函数解析式为y
kx
b
，
∴
6
0
5
3
k
b
k
b
，
解得
3
18
k
b
，
∴直线AB 的函数解析式为
3
18
y
x
；
（2）解：∵
5
m
，
∴
5
OP
AQ
，
∴
6
5
1
AP
OQ
，
∴
6
2 1
4
PQ
，
∴正方形PQCD 的面积为
2
4
16
，
故答案为：16；
（3）解：当0
3
m
时，如图，
∵OP
AQ
m
，
∴
6
2
PQ
m
，
∴正方形PQCD 的周长为
4
4 6
2
8
24
L
PQ
m
m
；
当3
6
m
时，如图，
∵OP
AQ
m
，
∴
6
AP
OQ
m
，
∴
6
2 6
2
6
PQ
m
m
，
∴正方形PQCD 的面积为
4
4 2
6
8
24
L
PQ
m
m
；
综上，
8
24(0
3)
8
24(3
6)
m
m
L
m
m
．
【技巧总结】
1. 求关键点：联立函数与几何边界（如坐标轴、线段端点）得交点坐标。
2. 用几何性质：全等、相似、勾股定理、面积公式转化条件为方程。
3. 分类讨论：动点位置、图形形状变化时分情况画图求解。
4. 设参数：用动点坐标表示线段长，列方程。
【变式训练9-1】如图，已知直线1
2
8
:
3
3
l
y
x
与直线2 :
2
16
l
y
x
相交于点C，1
2
l
l
、分别交x 轴于A、B
两点．矩形DEFG 的顶点D、E 分别在直线1
2
l
l
、上，顶点F、G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合．
(1)方程组
2
8
3
3
2
16
x
y
x
y
的解是______；
(2)求
ABC
的面积；
(3)求点E 的坐标；
(4)若矩形DEFG 从B 点出发，沿x 轴的反方向平移2 个单位长度，写出此时矩形DEFG 与
ABC
重叠部分
的面积S 的值．
【答案】(1)
5
6
x
y
(2)36
(3)
4,8
E
(4)20
【分析】本题考查一次函数的交点问题，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积
公式，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）解方程组即可；
（2）根据（1）中方程组的解求得交点C 的坐标，分别令直线1
2
l
l
、的解析式中
0
y
，求出x 的值，从而得
出点A、B 的坐标，再结合点C 的坐标利用三角形的面积公式即可求出
ABC
的面积；
（3）把
8
x
代入直线1l 的解析式即可求得D 点的坐标为
8,8 ，然后把
8
y
代入直线2l 的解析式即可求得
点E 的坐标；
（4）利用
ABC
AFH
BRG
S
S
S
S
，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：
2
8
3
3
2
16
x
y
x
y
①
②
，
①
②得：8
40
3
3
x
，
解得：
5
x
，
把
5
x
代入②得：10
16
y
，
解得：
6
y
，
所以方程组的解是
5
6
x
y
；
故答案为：
5
6
x
y
；
（2）解：由（1）可知交点C 的坐标为
5,6 ．
令直线1
2
8
:
3
3
l
y
x
中，
0
y
，则2
8
0
3
3
x
，解得
4
x ，
∴
4,0
A
；
令直线2 :
2
16
l
y
x
中，
0
y
，则2
16
0
x
，解得
8
x
，
∴
8,0
B
．
∴
1
1
[8
4 ] 6
36
2
2
ABC
C
S
AB y
．
（3）解：∵点G 与点B 重合，
∴
8,0
G
，
∵四边形DEFG 是矩形，
把
8
x
代入直线1
2
8
:
3
3
l
y
x
得
2
8
8
8
3
3
y
，
∴
8,8
D
，
把
8
y
代入
2
16
y
x
得8
2
16
x
，解得
4
x
，
∴
4,8
E
；
（4）解：∵
8,8
4,8
D
E
，
，
∴
8
4
4
FG
，
矩形DEFG 从B 点出发，沿x 轴的反方向平移2 个单位长度，此时矩形DEFG 与
ABC
重叠部分为五边形
CHFGR ，如图，
∵
2
4
BG
FG
，
，
∴
6,0
2,0
G
F
，
，
当
2
x
时，
2
8
2
8
2
4
3
3
3
3
y
x
，
当
6
x
时，
2
16
2 6 16
4
y
x
，
∴
2,4
6,4
H
R
，
，
∴
1
1
36
6
4
2
4
20
2
2
ABC
AFH
BRG
S
S
S
S
．
【变式训练9-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点
6,8
A
，点C 在x 轴正半轴上，对角线
AC 交y 轴于点M，边AB 交y 轴于点H．动点P 从点A 出发，以2 个单位长度/秒的速度沿折线A
B
C
向
终点C 运动．
(1)求点B 的坐标．
(2)求对角线AC 所在直线的解析式．
(3)设动点P 的运动时间为t 秒，连接PM
BM
PBM
、
，
的面积为S，请用含t 的式子表示S；
(4)当
8
t
时，直线AC 上是否存在点N，使
NBM
PBM
S
S
△
△
．若存在，请求出N 点的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
4,8
B
(2)y
1
5
2 x
(3)
15
3
0
5
5
25 5
10
t
t
S
t
t
(4)存在，
6,2 或
6,8
【分析】（1）由点A 坐标可得
6
AH
，
8
OH
，由勾股定理可得
10
OA
，根据菱形的性质可得边长为
10，据此即可求解；
（2）利用待定系数法求直线解析式即可；
（3）分两种情形：如图3 1
﹣中，0
5
t
时，如图3 2
﹣中，5
10
t
时，分别求解即可；
（4）根据题意可得
15
NBM
S△
，过点N 作NP
x
轴交MB 于点Q，求出NQ ，结合面积得到t 即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCO是菱形，
∴AB
OA
，AB
OC
∥
，
∵
6,8
A
，
∴
6
AH
，
8
OH
，
∴
2
2
6
8
10
AB
OA
，
∴
10
6
4
BH
AB
AH
，
∴
4,8
B
；
（2）解：设直线AC 的解析式为y
kx
b
，
把
6,8
10,0
A
C
，
代入得：
6
8
10
0
k
b
k
b
，解得
1
2
5
k
b
，
∴直线AC 的解析式为：
1
5
2
y
x
；
（3）解：连接BM ，如图3 1
﹣中，当0
5
t
时，
∵对角线AC 交y 轴于点M，
∴
0,5
M
，
∴
5
OM
，
∴
8
5
3
MH
OH
OM
，
∴
1
1 10
2
3
15
3
2
2
S
PB MH
t
t
，
如图3 2
﹣中，当5
10
t
时，
∵
10,
6
AB
AO
AH
，
∴
4
BH
，
又
3
MH
，
∴在Rt
MHB
△
中，
2
2
2
2
3
4
5
MB
MH
HB
，
∵四边形ABCO是菱形，
∴
OCM
BCM
，
∵CO
CB
CM
CM
，
，
∴
SAS
OCM
BCM
≌
，
∴
90
MOC
MBC
，
∴MB
BC
，
∴
1
1 2
10
5
5
25
2
2
S
BP MB
t
t
，
∴综上所述，
15
3 0
5
5
25 5
10
t
t
S
t
t
＜
；
（4）存在点N，如图4 所示：
当
8
t
时，点P 在BC 上运动，
∴
5
25
5 8
25
15
PBM
S
t
，
∵
NBM
PBM
S
S
△
△
，
∴
15
NBM
S△
，
过点N 作NQ
x
轴交MB 于点Q，
设直线MB 的解析式为
1
1
y
k x
b
，把
0,5
4,8
M
B
，
代入得：
1
1
1
5
4
8
b
k
b
，解得：
1
1
3
4
5
k
b
，
∴直线MB 的解析式为：
3
5
4
y
x
，
设
1
3
,
5
,
5
2
4
N n
n
Q n
n
，
，
∴
1
3
5
5
5
2
4
4
NQ
n
n
n
，
∴
1
5
4
0
15
2
4
NBM
S
n
解得：
6
n
，
∴N 点的坐标为
6,2 或
6,8
．
1．下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的是（
）
A．
3
y
x
B．
5
y
x
C．
1
y
x
D．
2
y
x
=
【答案】B
【分析】正比例函数的形式为y
kx
（k 为不等于0 的常数）据此判断即可．
【详解】解：A、
3
y
x
不属于y
kx
的形式，不是正比例函数，
故该选项错误；
B、
5
y
x
属于y
kx
的形式，是正比例函数，
故该选项正确；
C、
1
y
x
不属于y
kx
的形式，不是正比例函数，
故该选项错误；
D、
2
y
x
=
不属于y
kx
的形式，不是正比例函数，
故该选项错误．
2．对于一次函数
3
1
y
x
=
+
，下列结论正确的是（
）
A．y 随x 的增大而减小
B．它的图象与x 轴交于点
1,0
C．当
1
3
x
时，
0
y
D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的增减性，图象与坐标轴交点求法，象限分布规律，逐个判断选项即可．
【详解】解：A. ∵一次函数
3
1
y
x
=
+
中，
3
0
k
，∴y 随x 的增大而增大，故A 错误；
B.令
0
y
，则3
1
0
x
，解得
1
3
x = -
，∴它的图象与x 轴交于点
1 ,0
3
，故B 错误；
C.当
1
3
x
时，
1
3
1
3
1
0
3
y
x
，即
0
y
，故C 错误；
D．∵
3
0
k
，
1
0
b
，∴它的图象经过第一、二、三象限，故D 正确．故选：D．
3．若一次函数
2
5
2
y
a
x
a
的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值
范围是(
)
A．
5
2
2
a
B．
5
2
a
C．
5
2
2
a
D．a 为任意实数
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，结合题目给出的两个条件，分别列出关于a 的不等式，求解后取交集即可得
到a 的取值范围．
【详解】解：对于一次函数y
kx
b
，
∵y 随x 的增大而减小，
∴
2
5
0
k
a
，
解得
5
2
a
．
又∵函数图象与y 轴交点在x 轴上方，
当
0
x
时，
2
y
b
a
，交点在x 轴上方即
0
y
，
∴
2
0
a
，
解得
2
a
．
∴
5
2
2
a
．
4．如图，一次函数y
kx
b
的图象经过点
1, 2
A
和点
2,0
B
，正比例函数
2
y
x
的图象经过点A ，则
不等式2x
kx
b
的解集为（
）
A．
1
x
B．1
0
x
C．
1
x
D．
2
x
【答案】A
【分析】根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集即可．
【详解】解：观察图象可知，当
1
x 时，直线
2
y
x
在直线y
kx
b
的下方，
不等式2x
kx
b
的解集为
1
x ．
5．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y （单位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系如图
所示（AC 是线段，直线CD平行于x 轴）．下列说法中错误的是（
）
A．从开始观察时起，50 天后该植物停止长高
B．该植物最高为15 cm
C．线段AC 的函数表达式为
1
6 0
50
5
y
x
x
D．第40 天，该植物的高度为14 cm
【答案】B
【分析】根据直线CD平行于x 轴可判断A；利用待定系数法求出当0
50
x
时，y 与x 的函数表达式可判
断C；求出
50
x
时的函数值即可判断B；求出
40
x
时的函数值即可判断D．
【详解】解：A、∵直线CD平行于x 轴，
∴50 天后该植物的高度没有发生变化，
∴从开始观察时起，50 天后该植物停止长高，原说法正确，不符合题意；
C、设当0
50
x
时，y 与x 的函数表达式为y
kx
b
，
则
30
12
6
k
b
b
，
∴
1
5
6
k
b
，
∴当0
50
x
时，y 与x 的函数表达式为
1
6
5
y
x
，原说法正确，不符合题意；
B、在
1
6
5
y
x
中，当
50
x
时，
1
50
6
16
5
y
，
∴该植物最高为16 厘米，原说法错误，符合题意；
D、在
1
6
5
y
x
中，当
40
x
时，
1
40
6
14
5
y
，
∴观察第40 天，该植物的高度为14 厘米，原说法正确，不符合题意；
6．已知函数
1
2
m
y
m
x
是关于x 的一次函数，则m 的值为_____．
【答案】1
【分析】根据一次函数的定义可得x 的指数为1，且
1
0
m
求解即可．
【详解】解：∵函数
1
2
m
y
m
x
是关于x 的一次函数，
∴
1
m 且
1
0
m
∴
1
m ．
7．如图，直线1 :
1
l
y
x
与直线2l ：y
mx
n
相交于点
1,
P
b ．则关于x，y 的方程组
1
y
x
y
mx
n
的解是
______．
【答案】
1
2
x
y
【分析】先求出两直线的交点坐标，再由两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次方程组
的解可得答案．
【详解】解：∵直线1 :
1
l
y
x
与直线2l ：y
mx
n
相交于点
1,
P
b
∴将点
1,
P
b 代入
1
y
x
得，
1 1
2
b
，
∴
1,2
P
，
而
1
y
x
与y
mx
n
可变形为
1
y
x
和y
mx
n
，
∴方程组
1
y
x
y
mx
n
的解是
1
2
x
y
．
8．新定义：
,a b 为一次函数y
ax
b
（
0，，
a
a
b 为实数）的“关联数”．若“关联数”
3
5
m
,
所对应的
一次函数是正比例函数，则m 的值是___________．
【答案】5
【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为0 ，列方程求解即可得到m 的
值．
【详解】解：根据新定义可知，“关联数”
3
5
m
,
对应的一次函数为
3
5
y
x
m
，其中
3
0
a
，符合
一次函数定义．
∵该一次函数是正比例函数，
∴
5
0
m
，
解得：
5
m
．
9．如图，已知四边形ABCO是矩形，点B 的坐标为
10,8 ，点D 为边AO 上一点，连接BD ，现将
ABD
△
沿
BD 折叠，点A 落在x 轴上的点E 处，直线BE 交y 轴于点P ，则点P 的坐标为________．
【答案】
16
0,
3
【分析】根据矩形的性质和点B 的坐标得出AB 和BC 的长，利用折叠性质得到BE 的长，在Rt BCE
中利用
勾股定理求出EC 的长，进而求出点E 的坐标，利用待定系数法求出直线BE 的解析式，令
0
x
即可求出点P
的坐标．
【详解】解：四边形ABCO是矩形，点
10,8
B
，
10
AB
OC
，
8
BC
OA
，
由折叠可得，
10
BE
AB
，
在Rt BCE
中，
2
2
2
2
10
8
6
EC
BE
BC
，
10
6
4
OE
OC
EC
，即E 点坐标为
4,0 ，
设直线BE 的解析式为
0
y
kx
b k
，
代入
10,8
B
、
4,0
E
得，
10
8
4
0
k
b
k
b
，
解得
4
3
16
3
k
b
，
∴直线BE 解析式为
4
16
3
3
y
x
，
P
是直线BE 与y 轴的交点，
∴令
0
x
，得
16
3
y
，
P
的坐标为
16
0,
3
．
10．已知一次函数
1
3
y
k
x
，其中k 为常数，且
1
k ．当3
2
x
时，函数y 的最小值为6
，则k 的
值为______．
【答案】2 或
1
2
【分析】根据一次项系数的符号分情况讨论函数的增减性，结合x 的取值范围确定最小值对应的自变量取值，
代入一次函数解析式求解k 即可．
【详解】解：当
1
0
k
，即
1
k 时，y 随x 的增大而增大，
当
3
x 时，y 取得最小值6
，
代入解析式得
6
3
1
3
k
，
解得
2
k
，符合
1
k ；
当
1
0
k
，即
1
k 时，y 随x 的增大而减小，
当
2
x
时，y 取得最小值6
，
代入解析式得
6
2
1
3
k
，
解得
1
2
k
，符合
1
k ；
综上所述，k 的值为2 或
1
2
故答案为：2 或
1
2
．
11．已知一次函数
10
y
m x
m
．
(1)若y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围；
(2)若
1
m ，当
1
2
3
x
时，直接写出y 的取值范围．
【答案】(1)
10
m
(2) y 的取值范围是4
17
y
【分析】（1）根据一次函数的图象及性质可得10
0
m
，解不等式即可；
（2）由
1
m 得：
9
1
y
x
，当
1
3
x = -
时，
4
y ，当
2
x
时，
17
y
，根据y 随x 的增大而增大，进而
可求解．
【详解】（1）解：由题意得：10
0
m
，
10
m
；
（2）解：∵
1
m ，
9
1
y
x
，
当
1
3
x = -
时，
1
9
1
4
3
y
，
当
2
x
时，
9 2 1
17
y
，
∵y 随x 的增大而增大，
∴当
1
2
3
x
时，求y 的取值范围为：4
17
y
．
12．已知：
2
y
与3x 成正比例，且当
1
x 时，y 的值为4．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若点
1,
x a 、点
2,
x b 是该函数图象上的两点，其中
1
2
x
x
，试比较a 、b 的大小，并说明理由；
(3)将所得的函数图象平移，使它经过点
1,3
P
，求平移后的函数解析式．
【答案】(1)
6
2
y
x
(2) a
b
，理由见解析
(3)
6
3
y
x
【分析】（1）设
2
3
0
y
k
x k
，再将
1
x ，
4
y
代入计算即可得出结果；
（2）由（1）可得
6
2
y
x
，由6
0
，得出y 随着x 的增大而增大，由一次函数的性质即可得出结果；
（3）设平移后的函数解析式为
6
y
x
b
，将
1,3
P
代入解析式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵
2
y
与3x 成正比例，
∴设
2
3
0
y
k
x k
，
∵当
1
x 时，y 的值为4，
∴4
2
3 1
k
，
∴
2
k
，
∴
2
2 3
6
y
x
x
，
∴
6
2
y
x
；
（2）解：a
b
，理由如下：
由（1）可得
6
2
y
x
，
∵6
0
，
∴y 随着x 的增大而增大，
∵点
1,
x a 、点
2,
x b 是该函数图象上的两点，且
1
2
x
x
，
∴a
b
；
（3）解：设平移后的函数解析式为
6
y
x
b
，
将
1,3
P
代入解析式可得6 1
3
b
，
解得
3
b ，
∴平移后的函数解析式为
6
3
y
x
．
13．为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5 月中旬举办“校园读书节”，现需采购
A ，B 两种图书．已知购买2 本A 种图书和3 本B 种图书共需170 元，购买4 本A 种图书比购买5 本B 种图
书多10 元．
(1)求A ，B 两种图书的单价；
(2)该校计划购买A ，B 两种图书共50 本，且B 种图书的数量不超过A 种图书数量的一半，通过计算设计一
种购买方案，使所需费用最少，并计算最少费用．
【答案】(1) A 种图书单价为40 元，B 种图书单价为30元
(2)购买A 种图书34本，B 种图书16本时所需费用最少，最少费用为1840元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量
关系，不等式关系以及函数关系，正确表示出来．
（1）设A ，B 两种图书的单价分别为m ，n 元，根据题意，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买A 种图书为x 本，所需费用为y 元，则B 种图书为
50
x
本，根据题意列出不等式以及函数关
系，求解即可．
【详解】（1）解：设A ，B 两种图书的单价分别为m ，n 元，由题意可得，
2
3
170
4
5
10
m
n
m
n
，解得
40
30
m
n
，
答：A 种图书单价为40 元，B 种图书单价为30元；
（2）解：设购买A 种图书为x 本，所需费用为y 元，则B 种图书为
50
x
本，
根据B 种图书的数量不超过A 种图书数量的一半可得，
1
50
2
x
x
，解得
100
3
x
，
由题意可得，
40
30 50
10
1500
y
x
x
x
，
∵10
0
，
∴y 随x 的增大而增大，
又∵
100
3
x
，且x 为整数，
∴当
34
x
时，y 最小，为1840元，此时购买B 种图书为16本，
答：购买A 种图书34本，B 种图书16本时所需费用最少，最少费用为1840元．
14．直线1l 经过
2,1
和
1, 5
与直线2l ：
5
y
x
交于点P，直线x n
，与x 轴，1l ，2l 分别交于点A，B，
C．
(1)求直线1l 解析式；
(2)将直线1l 向上平移4 个单位得直线3l ，直接写出直线3l 的解析式；
(3)①若点B，C 关于点A 对称，求n 值；
②若直线x n
与直线1l ，2l 不能围成三角形，直接写出n 值．
【答案】(1)直线1l 解析式为
2
3
y
x
；
(2)直线3l 的解析式为
2
1
y
x
；
(3)①
2
n
；②
8
3
n
．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据平移的性质即可求解；
（3）①求得
, 2
3
B n
n
，
,
5
C n n
，根据题意得2
3
5
0
n
n
，据此计算即可求解；
②由题意知直线x n
经过交点P ，联立求得点P 的坐标，据此求解即可．
【详解】（1）解：设直线1l 解析式为y
kx
b
，
将
2,1
和
1, 5
代入得
2
1
5
k
b
k
b
，
解得
2
3
k
b
，
∴直线1l 解析式为
2
3
y
x
；
（2）解：将直线1l ：
2
3
y
x
向上平移4 个单位得直线3l ，
则直线3l 的解析式为
2
3
4
2
1
y
x
x
；
（3）解：①由题意得
, 2
3
B n
n
，
,
5
C n n
，
∵点B ，C 关于点A 对称，
∴2
3
5
0
n
n
，
解得
2
n
；
②∵直线x n
与直线1l ，2l 不能围成三角形，
∴直线x n
经过交点P ，
联立得
2
3
5
y
x
y
x
，
解得
8
3
7
3
x
y
，
∴当
8
3
n
时，直线x n
与直线1l ，2l 不能围成三角形．
15．如图，已知一次函数
8
0
y
kx
k
的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ．
(1)如图1，当
4
3
k
时，以AB 为边在第一象限构造正方形ABCD ，连接AC ，BD ，求直线AC 和BD 的表
达式；
(2)如图2，当
0
k
时，以AB 为边在第二象限构造正方形ABCD ，连接OC ，求
OBC
△
的面积；
(3)若
2
k
，点P 在正比例函数y
x
的图象上，且
45
ABP
，直接写出满足条件的点P 的坐标．
【答案】(1)直线AC 的表达式为
7
42
y
x
；直线BD 的表达式为
1
8
7
y
x
(2)32
(3)
4, 4
，
6,6
【分析】（1）先求出
,
A B 的坐标，作CE
y
轴，作DF
x
轴，求出
,
C D 的坐标，待定系数法求出函数解
析式即可；
（2）求出
,
A B 的坐标，作CE
y
轴，进而求出点C 的坐标，再利用面积公式进行计算即可；
（3）分2 种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：当
4
3
k
时，
4
8
3
y
x
，
∴当
0
x
时，
8
y
，当
4
8
0
3
y
x
时，
6
x
，
∴
6,0 ,
0,8
A
B
，
∴
6,
8
OA
OB
，
作CE
y
轴，作DF
x
轴，则
90
CEB
DFA
AOB
，
∵正方形ABCD，
∴
,
90
AB
BC
AD
ABC
BAD
，
∴
90
ABO
BCE
CBE
，
∴
AAS
CBE
BAO
≌
，
∴
8,
6
CE
OB
BE
OA
，
∴
14
OE
OB
OC
，
∴
8,14
C
，
设直线AC 的解析式为y
mx
b
，则
8
14
6
0
m
b
m
b
，解得
7
42
m
b
，
∴直线AC 的解析式为
7
42
y
x
；
同理：AOB
DFA
≌
，
∴
8,
6
FA
OB
DF
OA
，
∴
14
OF
OA
AF
，
∴
14,6
D
，
同法可得直线BD 的表达式为
1
8
7
y
x
；
（2）解：∵
8
0
y
kx
k
的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，
∴当
0
x
时，
8
y
，
∴
0,8
B
，
∴
8
OB
，
作CE
y
轴，
同（1）法可得：AOB
BEC
≌
，
∴
8
CE
OB
，
∴
OBC
△
的面积
1
1
·
8 8
32
2
2
OB CE
；
（3）解：连接BD ，
当
2
k
，则
2
8
y
x
，
同（1）法：
4,0 ,
0,8
A
B
，
12,4
D
，
直线BD 的解析式为
1
8
3
y
x
，
∵正方形ABCD，
∴
45
DBA
ABP
，
90 ,
BAD
AD
AB
，
∴点P 为直线
1
8
3
y
x
与直线y
x
的交点，
联立
1
8
3
y
x
y
x
，解得
6
6
x
y
；
∴
6,6
P
；
延长AD 至点G ，使AG
AD
，连接BG ，则
,
180
90
AB
AD
AG
BAG
BAD
，
∴
45
ABG
AGB
ABP
，
∴当点P 为直线BG 与直线y
x
的交点时，也满足题意，
∵AG
AD
，
4,0
A
，
12,4
D
，
∴
4, 4
G
，
此时点G 恰好在y
x
上，即点P 与点G 重合；
∴
4, 4
P
，
综上：
6,6
P
或
4, 4
P
.
