专题05 一次函数
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
正比例函数与一次函数的识别
题型2
一次函数的图象和性质
题型3
根据一次函数的图象和性质求解
题型4
含参数的一次函数图象的共存问题
题型5
含参数的一次函数综合问题
题型6
一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题
题型7
一次函数的实际应用问题
题型8
一次函数中的折叠问题
题型9
一次函数与几何图形的综合问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1.
k、b 的几何意义（增
减性、过象限）。
2.
待定系数法求解析式。
3.
与坐标轴围成三角形
面积。
4.
实际应用（行程、计费、
最优方案）。
5.
与方程（组）、不等式
综合。
6.
分段函数及最值问题。
1. 概念与图象强化：一次函数定义（y=kx+b，k≠0）及图象特征是必考点，
强调k 与b 的几何意义（k 决定增减性，b 决定y 轴交点）。
2. 待定系数法核心：通过两组对应值求解析式是计算题基础，常与实际
问题结合考查。
3. 实际情境建模：结合行程（s-t 图）、计费（出租车、网约车）、利润
最优化等生活问题构建函数模型，是应用题热点。
4. 与方程不等式综合：利用图象求方程解或不等式解集，考查数形结合
思想。
5. 分段函数与决策：涉及分段计费或多方案选择的最优化问题是压轴题
方向。
考情解码：根据2026 年新教材考情，《一次函数》从概念图象转向实际应用与数形结合的综合考查。
高频考点包括通过待定系数法求解析式、分析k、b 的几何意义（象限分布与增减性）。重点考查实际
情境建模（如行程、最优计费方案）以及与方程组、不等式的图象综合，利用交点坐标解决问题。分
段函数、动态面积问题成为压轴题新趋势，突出数学建模与抽象思维。
知识点一一次函数的定义
形如y = kx + b（k，b 为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0 时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。
【易错警示】
- 形式：y=kx+b，其中k≠0。勿忽略k≠0 条件（如y=3 是常函数，不是一次函数）。
- 自变量次数：x 的次数必须为1，勿将y=kx2+b 误认为一次函数。
- 整式：表达式须为整式，y=
1
�+2 不是一次函数。
即时即练1.下列四个函数中属于一次函数的是（
）
A．
1
0
y
x
x
B．
1
2
y
x
C．
2
1
y
x
D．
1
y
2.下列函数关系式中，y 是x 的正比例函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
2
1
y
x
C．
1
y
x
D．
2
y
x
=
知识点二一次函数的图象与性质
一次函数y = kx + b 的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(-
�
�,0)）画出。当k>0 时，y 随x 的增大而
增大；当k<0 时，y 随x 的增大而减小。b 决定直线与y 轴的交点(0,b)。
【易错警示】
- k、b 的作用：k 决定增减性（k>0 增，k<0 减）和倾斜度；b 决定与y 轴交点(0,b)。勿混淆。
- 图象位置：k、b 符号决定过哪几个象限，可画草图验证，勿死记。
- 两直线关系：k 相等b 不等则平行；k 乘积为-1 则垂直，勿记反。
即时即练1.关于一次函数
2
3
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．函数图象经过点
1,1
B．y 随x 增大而增大
C．图象不经过第二象限
D．将
2
3
y
x
的图象向上平移3 个单位长度后，所得图象的函数表达式为
2
6
y
x
2.关于x 的一次函数
4
1
y
ax
a
，下列说法：
①若
2
a
，则函数图象经过第一、二、三象限；
②若函数图象经过原点，则
1
4
a
；
③无论a 为何实数，函数的图象总经过点
4, 1
．
其中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
知识点三一次函数的实际应用
利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合
图象或性质求解。
【易错警示】
- 自变量范围：根据实际意义确定取值范围（如人数、时间≥0），勿盲目取全体实数。
- 单位统一：单位不一致（千米/米、分钟/小时）时先换算。
- 图象理解：注意横纵轴含义，交点、截距、拐点分别代表什么，勿只看形状。
即时即练1.某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印社可供选择，其中甲复印社按每
复印100 页材料收费40 元计费；乙复印社则需先按月支付200 元的承包费，再按每复印100 页材料收费a 元
计费．已知甲、乙复印社分别复印800 页材料时所收总费用相同，甲、乙两复印社（针对该校）每月收费y
（元）与复印材料页数x （页）之间的函数图象如图所示，
据此回答以下问题：
(1)乙复印社复印800 页材料时收费元；
(2)求乙复印社每月收费y （元）与复印材料页数x （页）之间的函数关系式；
(3)当甲复印社比乙复印社每月收费多50 元时，该学校复印材料的页数是页．
2.某商店销售一种产品，该产品成本价为8 元/件，售价为10 元/件，销售人员对该产品一个月（30 天）销
售情况记录绘成图象．图中的折线ODE 表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE
表示的函数关系中，时间每增加1 天，日销量减少5 件．
(1)第26 天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660 元的天数共有多少天？
知识点四一次函数与方程、不等式的关系
1.二元一次方程组与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b 的形式；当y=0 时，一次函数x 的值就是一元一次方程的解。
y=0 时，x 的值，即一次函数与x 轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑
自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条
直线交点的坐标.
4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的
交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线
平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
2.利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集
(1)一元一次不等式kx+b>0 的解集，一次函数的图象在x 轴上方的点的横坐标所组成的集合.
(2)一元一次不等式kx+b<0 的解集，一次函数的图象在x 轴下方的点的横坐标所组成的集合.
(3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2 的解集，一次函数y=k1x+b1 图象在一次函数y=k2x+b2 图象上方的点的横
坐标所组成的集合.
(4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2 的解集，一次函数y=k1x+b1 图象在一次函数y=k2x+b2 图象下方的点的横
坐标所组成的集合.
【易错警示】
- 方程：求kx+b=0 的解，即图象与x 轴交点横坐标，勿与y 轴交点混淆。
- 不等式：kx+b>0 对应图象在x 轴上方的部分，注意不等号方向与上下对应。
- 联立：两函数交点坐标即对应方程组的解，勿解错。
即时即练1.如图所示，一次函数
0
y
kx
b k
与正比例函数
0
y
mx m
的图象相交于点
1 2
M
，，下列
判断错误的是(
)
A．关于x 的方程mx
kx
b
的解是
1
x
B．关于x 的不等式mx
kx
b
的解集是
1
x
C．当
0
x
时，函数y
kx
b
的值比函数y
mx
的值大
D．关于x ，y 的方程组
0
y
mx
y
kx
b
的解是
1
2
x
y
2.学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数
2
2
y
x
的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
【初步感知】
x
…
4
3
2
1
0
1
2
…
2
2
y
x
…
6
m
2
n
2
4
6
…
(1)表格中m 的值为________，n 的值为________；
(2)在平面直角坐标系中画出函数
2
2
y
x
的图象．
(3)【探究性质】观察函数
2
2
y
x
的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题：
①该函数图象是轴对称图形；
②当
1
x 时，y 的值随x 值的增大而增大；
③当
1
x 时，该函数存在最小值，最小值为0；
④当
4
y
时，
1
x ．
其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号）
(4)在同一坐标系中画出一次函数
4
y
x
的图象，并根据图象直接写出方程组
2
2
4
y
x
y
x
的解_________．
题型1
正比例函数与一次函数的识别
例1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（
）
A．
1
y
x
B．
2
3
y
x
C．
2
y
x
=
D．y
x
例2．下列函数中，是一次函数的是（
）
A．
2
1
y
x
B．
2
1
y
x
C．y
kx
b
D．
3
y
x
【技巧总结】
1. 看形式：y=kx+b 为一次函数；b=0 即y=kx 为正比例。
2. 注意条件：k≠0；自变量指数为1。
3. 特殊值：正比例必过原点；一次函数不过原点（b≠0）。
4. 用图像：正比例直线过原点，一次函数与y 轴交于(0,b)。
【变式训练1-1】若
2
1
1
m
y
m
x
是关于x 的一次函数，则m 的值为（
）
A．1
B．1
C．1
D．2
【变式训练1-2】若函数
2
2
1
1
2
y
x
m
m x
（m 为常数）是正比例函数，则m 的值为（
）
A．
1
2
m
B．
1
2
m
C．
1
2
m
D．
1
2
m
题型2
一次函数的图象和性质
例3．对于一次函数
2
8
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．函数图象经过点(1, 4)
B．函数图象与y 轴的交点坐标是(0,8)
C．函数的图象不经过第一象限
D．函数图象向左平移4 个单位得到函数
2
y
x
的图象
例4．关于一次函数
3
2
y
x
的性质及其图象，下列说法正确的是（
）
A．y 的值随x 值的增大而减小
B．该函数的图象经过第一、二、三象限
C．点
1, 5
一定在函数图象上
D．
1
3, y
和
2
2, y
是图象上两点，则
1
2
y
y
【技巧总结】
1. k 定方向：k>0 直线上升（过一三象限），k<0 下降（过二四）。
2. b 定交点：与y 轴交于(0,b)，b>0 在上半轴，b<0 在下半轴。
3. 求交点：联立方程求与坐标轴或另一函数交点，用增减性比较函数值大小。
【变式训练2-1】对于直线
1
3
2
y
x
的描述，正确的是（
）
A．y 随x 的增大而增大
B．经过点
2, 1
C．图象不经过第二象限
D．与y 轴的交点是
0, 3
【变式训练2-2】下列有关一次函数
3
0
y
kx
k
的说法：①函数图象与y 轴的交点为
0,3 ；②当
0
k
时，
y 的值随着x 增大而增大；③当
0
k
时，函数图象经过第二、三、四象限．其中正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
题型3
根据一次函数的图象和性质求解
例5．已知一次函数
2
2
y
a
x
m
（a 、m 为常数）的图象过
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，若
1
2
x
x
，则
1y _______
2y
（用“>”或“<”填空）．
例6．一次函数y
kx
b
满足
0
kb
，且y 随x 的增大而增大，则此函数的图像一定不经过第_______象限．
【技巧总结】
1. 求解析式：用待定系数法，已知两点坐标或一点加斜率。
2. 比大小：k>0 时y 随x 增大而增大；k<0 则减小，可直接代入比较。
【变式训练3-1】已知直线
2
2
1
y
a x
a
经过第一、三、四象限，则a 的取值范围为________．
【变式训练3-2】已知一次函数
1
2
3
y
k
x
k
，其中k 为常数，且
1
k ．当3
2
x
时，函数y 的最
小值为6
，则k 的值为_____．
题型4
含参数的一次函数图象的共存问题
例7．一次函数
2
y
x
b
与正比例函数
0
y
bx b
在同一平面直角坐标系中的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
例8．对于正比例函数
0
y
kx k
，它的函数值y 随x 的减小而增大，则一次函数y
kx
k
的图象大致是
（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧总结】
1. 分别分析：对各函数判断k、b 符号与图象象限的关系。
2. 假设验证：假设一条直线成立，推导出参数范围，再验证另一条是否矛盾。
3. 分类讨论：参数取值分情况画草图，找同时满足的条件。
4. 排除法：利用过象限特征排除错误选项。
【变式训练4-1】一次函数
1y
ax
b
=
+ 和
2
0
y
abx ab
，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】将一次函数y
mx
n
与y
mnx
（m 、n 均不为0）的图象画在同一坐标系中，它们的图
象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
题型5
含参数的一次函数综合问题
例9．已知一次函数
1
2
4
y
m
x
m
（m 为常数）
(1)当函数是正比例函数时，m 的值为___________．
(2)当函数图象不经过第一象限时，m 的取值范围是___________．
(3)当2
4
x
时，一次函数的最大值为4 ，求m 的值．
例10．已知一次函数y
kx
b
（k，b 为常数，且
0
k
），的图像经过点
1,2
．
(1)若
2
1
k
b
，求一次函数的表达式．
(2)当3
2
x
时，该一次函数的最大值为8，求k 的值．
(3)若该一次函数的图像经过第一象限，且
2
3
S
k
b
，求S 的取值范围．
【技巧总结】
1. 先定性：确定k 正负，判断增减性与过定点。
2. 求交点：联立方程用参数表示坐标，再代入条件列等式。
3. 分类讨论：参数影响象限或位置时，分情况画图求解。
4. 转化条件：将面积、线段比等几何关系转化为含参数的方程或不等式。
【变式训练5-1】已知函数
2
5
2
1
2
x
x
y
x
x
(1)当
3
y 时，求x 的值；
(2)点
1
,
A t y
，
2
3,
B t
y
在函数图象上，
①当
2
1
y
y
时，求t 取值范围；
②记
2
1
y
y
m
，求m 关于t 的函数解析式．
【变式训练5-2】研究一次函数y
kx
b
时，发现k 和b 的取值变化，会带来函数性质的变化．
(1)若
2
k
b
，且这个一次函数的图像过点
3,7 ．
①求k 和b 的值；
②若0
8
x
，求y 的取值范围；
(2)设函数
1y
mx
n
，
2y
mx
n
（m
n
、为常数，
0
m
）．
若函数
1y 和
2y 同时满足以下三个条件：
条件1：
1y 随x 的增大而增大；
条件2 ：当1
5
x
时，
1
8
t
y
t
；
条件3：当3
1
x
时，
2y 的最大值为2t ．求t 的值．
题型6
一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题
例11．已知一次函数
3
y
ax
与
1
y
bx
的图象如下图所示，其交点B 的坐标为
3,m
，直线
1
y
bx
与
x 轴的交点坐标为
1,0
，则下列说法正确的是（
）
A．方程
1
0
bx
的解是
3
x
B．方程组
3
0
1
0
ax
y
bx
y
的解是
3
x
y
m
C．关于x 的不等式
3
1
ax
bx
的解集是
3
x
D．
1
0
bx
的解集为
1
x
例12．如图，在平面直角坐标系中，若直线
1y
x
a
与直线
2
4
y
bx
相交于点P ，则下列结论错误的是
（
）
A．方程
4
x
a
bx
的解是
1
x
B．不等式
3
x
a
和不等式
4
3
bx
的解集相同
C．方程组
4
y
x
a
y
bx
的解是
1
3
x
y
D．不等式组
4
0
bx
x
a
的解集是2
1
x
【技巧总结】
1. 看交点：两函数图像交点的横坐标即方程的解。
2. 分高低：图像在上方对应函数值大，下方则小，写对应x 范围。
3. 找临界：不等式边界即方程的解，结合图像增减性确定不等号方向及区间。
【变式训练6-1】如图，一次函数
( ,
y
kx
b k b
为常数，且
0)
k
的图象与直线
1
3
y
x
都经过点
(3,1)
A
，当
1
3
kx
b
x
时，x 的取值范围是__________．
【变式训练6-2】如图，直线1
1
l
y
kx
：
与x 轴交于点
2,0
A
，直线2 :
l
y
x
b
与y 轴交于点
0,4
B
，
与直线1l 交于点C．
(1)求k，b 的值；
(2)关于x，y 的方程组
1
y
kx
y
x
b
的解为；
(3)若直线3l 平行于x 轴，且到x 轴的距离为1，求直线3l 被1l ，2l 所截得的线段长．
题型7
一次函数的实际应用问题
例13．学校有1100 本作文本需要打包发放，现有A、B 两种型号的箱子可供选择．已知1 个A 型箱子和2
个B 型箱子装满后可打包500 本作文本，2 个A 型箱子和1 个B 型箱子装满后可打包400 本作文本．学校计
划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本．
(1)每个A 型箱子和B 型箱子分别能装多少本作文本？
(2)若A 型箱子每个3 元，B 型箱子每个5 元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？
例14．某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场经济影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去
年同期每台降价1200 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为96000 元，今年销售额只有72000 元．
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
(2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500 元，乙种电脑每台
进价为3000 元，公司预计用不多于49000 元且不少于48000 元的资金购进这两种电脑共15 台，有几种进
货方案？
(3)如果乙种电脑每台售价为3800 元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现
金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？
【技巧总结】
1. 建模型：设变量，根据题意列一次函数解析式，明确定义域。
2. 代临界：方案选择、最值问题，代入端点值或联立方程求交点比较。
3. 看增减：利用\(k\) 正负判断最优方案（最大或最小）。
4. 统一单位：注意时间、距离等单位的统一。
【变式训练7-1】李华步行去离家1200 米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，
便骑车追赶李华，图中1
2
l
l
，分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系．
(1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______；
(2)求出2l 的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义．
(3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？
【变式训练7-2】某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中
的一家进行印制．设印刷厂的收费为y （元），印制数量为x （份）．
甲印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5 元，不收制版费，若印制满4000 元，可以享受折扣，超过的部分
每份材料收0.5元．此时y 与x 的函数关系如图所示．
乙印刷厂收费标准是：每份材料收k 元印制费，另收b 元制版费，此时y 与x 的关系如下表所示．
印制数量x
（份）
0
1000
2000
3000
4000
收费y （元）
1500
2500
3500
4500
5500
(1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂y 关于x 的函数图象，并判断函数类型．
(2)求乙印刷厂y 关于x 的函数表达式．
(3)对于x 的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜．
题型8
一次函数中的折叠问题
例15．一次函数
0
y
kx
b k
的图像与x 轴、y 轴分别相交于点
8,0
A
和点
0,6
B
．点C 在线段AO 上，
如图，将ABO
沿BC 折叠后，点O恰好落在AB 边上点D 处．
(1)求直线AB 的表达式；
(2)求AC 的长．
例16．如图，
6,0 ,
0,8
A
B
，点M 在线段OB 上，将ABM
沿直线AM 折叠，点B 恰好落在点
,0
B a
处．
(1)求a 的值；
(2)求直线AM 的解析式；
(3)若直线y
x
t
与直线AM 的交点在直线x
a
的左侧，请直接写出t 的取值范围．
【技巧总结】
1. 找对称点：折叠即轴对称，点关于折痕对称，利用中点坐标与垂直斜率关系。
2. 设未知点：设对称点坐标，根据中点在折痕上、连线与折痕垂直列方程组。
3. 求解析式：联立解出对称点，再求新直线方程。
4. 注意折痕：可为x 轴、y 轴或任意直线。
【变式训练8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点
4,0
A
，与y 轴交于点
0,3
B
．
(1)求直线AB 的函数表达式；
(2)点P 是x 轴上一点，连接BP ，若ABP
的面积为6 ，求点P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将ABP
沿AP 折叠，点B 的对应点为点B，请直接写出点B的坐标．
【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，直线y
kx
b
与x 轴、y 轴分别相交于点
6,0
A
、
0,8
B
，
C 是线段OB 上一点，将OAC
沿着AC 折叠，点O落在点D ，连接BD ．
(1)求直线AB 的函数解析式；
(2)若点D 正好落在线段AB 上，求点C 的坐标；
(3)若
1
4
ADC
AOB
S
S
△
△
，求点D 的坐标．
题型9
一次函数与几何图形的综合问题
例17．如图，已知直线1 :
4
l
y
kx
与x 轴交于点A ，直线2 :
2
8
l
y
x
与x 轴，y 轴分别交于点D 和点B ，
且两直线交于点
,C
C
点坐标为
8,m
．
(1)求k 的值．
(2)在y 轴上是否存在一点P ，使得BCP
与
ABC
面积相等？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明
理由．
(3)直线AB 上是否存在点Q ，使得
45
BDQ
．若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
例18．如图，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴正半轴上一点，且
6
OA
，过点A 的直线与直线
3
5
y
x
交
于点
5, 3
B
，动点P ，Q 都在线段OA上（P ，Q 不与O、A 重合，P 与Q 不重合），且OP
AQ
，以PQ
为边在x 轴下方作正方形PQCD ，设OP
m
，正方形PQCD 的周长为L ．
(1)求直线AB 的函数解析式；
(2)当
5
m
时，正方形PQCD 的面积为_______；
(3)求L 与m 之间的函数关系式；
【技巧总结】
1. 求关键点：联立函数与几何边界（如坐标轴、线段端点）得交点坐标。
2. 用几何性质：全等、相似、勾股定理、面积公式转化条件为方程。
3. 分类讨论：动点位置、图形形状变化时分情况画图求解。
4. 设参数：用动点坐标表示线段长，列方程。
【变式训练9-1】如图，已知直线1
2
8
:
3
3
l
y
x
与直线2 :
2
16
l
y
x
相交于点C，1
2
l
l
、分别交x 轴于A、B
两点．矩形DEFG 的顶点D、E 分别在直线1
2
l
l
、上，顶点F、G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合．
(1)方程组
2
8
3
3
2
16
x
y
x
y
的解是______；
(2)求
ABC
的面积；
(3)求点E 的坐标；
(4)若矩形DEFG 从B 点出发，沿x 轴的反方向平移2 个单位长度，写出此时矩形DEFG 与
ABC
重叠部分
的面积S 的值．
【变式训练9-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点
6,8
A
，点C 在x 轴正半轴上，对角线
AC 交y 轴于点M，边AB 交y 轴于点H．动点P 从点A 出发，以2 个单位长度/秒的速度沿折线A
B
C
向
终点C 运动．
(1)求点B 的坐标．
(2)求对角线AC 所在直线的解析式．
(3)设动点P 的运动时间为t 秒，连接PM
BM
PBM
、
，
的面积为S，请用含t 的式子表示S；
(4)当
8
t
时，直线AC 上是否存在点N，使
NBM
PBM
S
S
△
△
．若存在，请求出N 点的坐标；若不存在，请说
明理由．
1．下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的是（
）
A．
3
y
x
B．
5
y
x
C．
1
y
x
D．
2
y
x
=
2．对于一次函数
3
1
y
x
=
+
，下列结论正确的是（
）
A．y 随x 的增大而减小
B．它的图象与x 轴交于点
1,0
C．当
1
3
x
时，
0
y
D．它的图象经过第一、二、三象限
3．若一次函数
2
5
2
y
a
x
a
的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值
范围是(
)
A．
5
2
2
a
B．
5
2
a
C．
5
2
2
a
D．a 为任意实数
4．如图，一次函数y
kx
b
的图象经过点
1, 2
A
和点
2,0
B
，正比例函数
2
y
x
的图象经过点A ，则
不等式2x
kx
b
的解集为（
）
A．
1
x
B．1
0
x
C．
1
x
D．
2
x
5．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y （单位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系如图
所示（AC 是线段，直线CD平行于x 轴）．下列说法中错误的是（
）
A．从开始观察时起，50 天后该植物停止长高
B．该植物最高为15 cm
C．线段AC 的函数表达式为
1
6 0
50
5
y
x
x
D．第40 天，该植物的高度为14 cm
6．已知函数
1
2
m
y
m
x
是关于x 的一次函数，则m 的值为_____．
7．如图，直线1 :
1
l
y
x
与直线2l ：y
mx
n
相交于点
1,
P
b ．则关于x，y 的方程组
1
y
x
y
mx
n
的解是
______．
8．新定义：
,a b 为一次函数y
ax
b
（
0，，
a
a
b 为实数）的“关联数”．若“关联数”
3
5
m
,
所对应的
一次函数是正比例函数，则m 的值是___________．
9．如图，已知四边形ABCO是矩形，点B 的坐标为
10,8 ，点D 为边AO 上一点，连接BD ，现将
ABD
△
沿
BD 折叠，点A 落在x 轴上的点E 处，直线BE 交y 轴于点P ，则点P 的坐标为________．
10．已知一次函数
1
3
y
k
x
，其中k 为常数，且
1
k ．当3
2
x
时，函数y 的最小值为6
，则k 的
值为______．
11．已知一次函数
10
y
m x
m
．
(1)若y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围；
(2)若
1
m ，当
1
2
3
x
时，直接写出y 的取值范围．
12．已知：
2
y
与3x 成正比例，且当
1
x 时，y 的值为4．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若点
1,
x a 、点
2,
x b 是该函数图象上的两点，其中
1
2
x
x
，试比较a 、b 的大小，并说明理由；
(3)将所得的函数图象平移，使它经过点
1,3
P
，求平移后的函数解析式．
13．为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5 月中旬举办“校园读书节”，现需采购
A ，B 两种图书．已知购买2 本A 种图书和3 本B 种图书共需170 元，购买4 本A 种图书比购买5 本B 种图
书多10 元．
(1)求A ，B 两种图书的单价；
(2)该校计划购买A ，B 两种图书共50 本，且B 种图书的数量不超过A 种图书数量的一半，通过计算设计一
种购买方案，使所需费用最少，并计算最少费用．
14．直线1l 经过
2,1
和
1, 5
与直线2l ：
5
y
x
交于点P，直线x n
，与x 轴，1l ，2l 分别交于点A，B，
C．
(1)求直线1l 解析式；
(2)将直线1l 向上平移4 个单位得直线3l ，直接写出直线3l 的解析式；
(3)①若点B，C 关于点A 对称，求n 值；
②若直线x n
与直线1l ，2l 不能围成三角形，直接写出n 值．
15．如图，已知一次函数
8
0
y
kx
k
的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ．
(1)如图1，当
4
3
k
时，以AB 为边在第一象限构造正方形ABCD ，连接AC ，BD ，求直线AC 和BD 的表
达式；
(2)如图2，当
0
k
时，以AB 为边在第二象限构造正方形ABCD ，连接OC ，求
OBC
△
的面积；
(3)若
2
k
，点P 在正比例函数y
x
的图象上，且
45
ABP
，直接写出满足条件的点P 的坐标．
