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专题04 二元一次方程组（学生版）
第 1 页 共 61 页
➢思维导图串知识
➢重点速记
【知识点1 二元一次方程的概念】
概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
【易错点剖析】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
【典例1】下列方程中，属于二元一次方程的是
（填序号）．
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①
3
0
4
x
y
+
=
；②
2
5
6
3
x
y
-
=
；③3
2
3
x
y
z
-
=
；④
3
4 1
x
y
x
-
=
-
．
【典例2】已知
3
(
4)
3
6
0
m
m
x
y
-
-
+
+
=
是关于x ，y 的二元一次方程，则m = ．
【知识点2 二元一次方程的解】
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【易错点剖析】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程
的解通常表示为
b
a
＝
＝
y
x
的形式.
【典例3】已知
2
x
a
y
b
=
=
是二元一次方程2
5
7
0
x
y
-
+
=
的一个解，则代数式9
8
10
a
b
-
+
的值为
．
【知识点3 二元一次方程组的概念】
概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组
的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3
4
5
2
x
y
x
+
=
=
.
【易错点剖析】
（1）它的一般形式为
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
（其中
1a ，
2a ，
1b ，
2b 不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
【典例4】观察所给的4 个方程组：①
2
3
x
y
=
=
；②
4
15
3
4
3
x
y
x
=
-
= -
；③
2
16
4
x
y
x
y
+
=
-
=
；④
35
2
4
94
x
y
x
y
+
=
+
=
，其中，
符合二元一次方程组定义的是
（写出所有正确的序号）．
【知识点4 二元一次方程组的解】
概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错点剖析】
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，
若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
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（2）方程组的解要用大括号联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组
=
+
=
+
6
2
5
2
y
x
y
x
无解，而方程组
-
=
+
-
=
+
2
2
2
1
y
x
y
x
的解有无数个.
【典例5】已知
1
3
x
y
=
=
是关于x，y 的二元一次方程组
2
7
1
5
ax
y
x
b
y
+
=
-
-
= -
的解，则1
1
2
3
a
b
-
的值为 ．
【知识点5 三元一次方程组的概念与解】
定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未
知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
【典例6】若
5
10
15
x
y
z
=
ï
=
ï = -
是三元一次方程组
0
2
2
40
x
y
z
x
y
z
k
x
y
z
+
+
=
ï
-
+
=
ï +
-
=
的解，则k 的值是
．
【知识点6 解二元（三元）一次方程组】
1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变
成
b
ax
y
+
=
（或
b
ay
x
+
=
）的形式；
②将
b
ax
y
+
=
（或
b
ay
x
+
=
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一
个关于x （或y ）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；
④把x （或y ）的值代入
b
ax
y
+
=
（或
b
ay
x
+
=
）中，求y （或x ）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0 的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一
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个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个
方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
3.解三元一次方程组的一般过程：
①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，
得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
【典例7】用指定的方法解下列方程组
(1)
1
2
4
5
x
y
x
y
= -
+
=
（代入法）
(2)
3
2
6
2
3
17
x
y
x
y
-
=
+
=
（加减法）
➢核心考点举一反三
考点一：由二元一次方程组的解的情况求参
例1.若关于x，y 的方程组
2
5
6
4
7
x
y
k
x
y
k
-
=
+
+
=
的解满足
2024
x
y
+
=
，则k 的值为（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
【变式1-1】m 为何值时，关于x、y 的二元一次方程组
3
2
5
4
3
2
13
x
y
x
m
y
-
=
-
-
=
的解x、y 是互为相反数（ ）
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A．1
B．5
-
C．5
D．14
【变式1-2】关于x、y 的二元一次方程组
2
5
2
7
x
y
k
x
y
k
+
=
-
=
的解满足方程1
2
5
3 x
y
-
=
，则k =
．
【变式1-3】关于x，y 的方程（m﹣1）x+4y＝2 和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有 ．（写出所有
正确的序号）
①当m＝1，n＝﹣3 时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；
②当m＝1 且n≠﹣3 时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；
③当m＝7，n＝﹣1 时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；
④当m＝7 且n≠﹣1 时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．
考点二：二元一次方程组中的错解与同解问题
例2.在解方程组
3
2
2
7
ax
y
x
by
+
= -
-
=
①
②时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为
1
1
x
y
=
= -
，乙看错
了方程组中的b ，而得解为
5
1
x
y
=
=
，根据上面的信息解答：
(1)求出正确的a ，b 的值；
(2)求出原方程组的正确解，并代入代数式
3
5
19
x
y
x
y
-
×
-
求值．
【变式2-1】在解方程组
5
15
4
2
ax
y
x
by
+
=
-
= -
时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为
3
1
x
y
= -
= -
，乙看错了
方程组中的b ，而得解为
5
4
x
y
=
=
(1)甲把a 看成了什么，乙把b 看成了什么；
(2)求出原方程组的正确解．
【变式2-2】已知关于x，y 的方程组
2
4
3
ax
by
x
y
+
=
-
=
与
1
1
3
x
y
bx
a
y
+
=
+
-
=
有相同的解．
(1)请求出这个相同的解；
(2)求a，b 的值；
(3)请判断“无论m 取何值，（1）中的解都是关于x、y 的方程
3
2
1
5
m x
m
y
+
+
+
=
的解”，这句话是否正
确？并说明理由．
【变式2-3】已知关于x，y 的方程组
3
2
1
1 2
2
1
x
y
m x
y
n
+
= -
-
+
= -
与方程组
2
4
1
x
y
nx
y
m
-
=
+
=
+
有相同的解．
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(1)求这个相同的解；
(2)求m，n 的值．
考点三：二元一次方程组的特殊解法
例3.若关于x，y 的二元一次方程组
ax
y
b
cx
y
d
+
=
-
=
的解是
3
2
x
y
=
= -
，则关于x，y 的方程组
2
2
2
2
ax
y
a
b
cx
y
c
d
+
=
+
-
=
+
的解是（ ）
A．
3
2
x
y
=
= -
B．
6
4
x
y
=
= -
C．
2
1
x
y
=
= -
D．
5
1
x
y
=
= -
【变式3-1】若关于m
n
，的二元一次方程组
2023
2024
2024
2025
m
an
m
bn
-
=
-
=
的解是
7
3
m
n
=
=
，则关于x
y
，的二元一次方程
组
2023
2024
2024
2025
x
y
a x
y
x
y
b x
y
+
-
-
=
ï
+
-
-
=
ï
的解是
．
【变式3-2】已知关于x ，y 的方程组
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
的解为
3
4
x
y
=
=
，请直接写出关于m 、n 的方程组
1
1
1
2
2
2
2
3
2
3
a
m
b n
c
a
m
b n
c
+
-
=
ï
+
-
=
ï
的解是
．
【变式3-3】解方程组
3 2
2
2
26
2 2
3
2
13
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
-
=
ï
+
+
-
=
ï
，若设2
2
x
y
m x
y
n
+
=
-
=
,
，则原方程组化为
3
2
26
2
3
13
m
n
m
n
-
=
+
=
，解得
8
1
m
n
=
= -
，所以
2
8
2
1
x
y
x
y
+
=
-
= -
，解得
3
2
x
y
=
=
，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母
去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)关于x
y
，的二元一次方程组
6
3
ax
by
bx
ay
+
=
+
=
的解为
2
4
x
y
= -
=
，则关于
,
m n 的二元一次方程组
6
3
a m
n
b m
n
b m
n
a m
n
+
+
-
=
ï
+
+
-
=
ï
，其中m
n
+
= _________，m
n
-
= _________，解得m = ________，n = _________；
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组
4
2
3
2
16
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
-
=
ï
ï
+
+
-
=
；
(3)拓展应用：已知关于x
y
，的二元一次方程组
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
的解为
4
3
x
y
=
= -
，求关于x
y
，的方程组
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1
1
1
2
2
2
2
3
5
2
3
5
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
的解．
考点四：二元一次方程组的整数解
例4．已知关于x ，y 的二元一次方程组
7
3
0
kx
y
x
y
+
=
-
=
有正整数解，其中k 为整数，则
2
1
k - 的值为
（ ）
A．2
-
B．3
C．2
- 或4
D．3 或15
【变式4-1】已知m 为正整数，且方程组
2
10
3
2
0
mx
y
x
y
+
=
-
=
的解x ，y 均为整数，则
2
m 的值是
．
【变式4-2】已知关于x、y 的方程组
2
5
2
9
0
x
y
x
y
mx
+
=
-
+
+
=
(1)请写出
2
5
x
y
+
=
的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足
0
x
y
+
=
，求m 的值；
(3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
【变式4-3】已知关于,x y 的方程组
3
9
0
3
6
0
x
y
x
y
my
+
-
=
-
+
-
=
(1)请直接写出方程3
9
0
x
y
+
-
=
的所有正整数解；
(2)无论数m 取何值，方程3
6
0
x
y
my
-
+
-
= 总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中y 恰为整数，m 也为整数，求m 的值．
考点五：二元一次方程组中多结论问题
例5.已知关于x ，y 的二元一次方程组
2
2
2
2
3
x
y
m
x
y
m
- +
= -
-
=
+
，下列结论正确的是（ ）
①当
1
m = 时，方程组的解也是
2
1
x
y
m
+
=
+ 的解；
②x ，y 均为正整数的解只有1 对；
③无论m 取何值，x 、y 的值不可能互为相反数；
④若方程组的解满足
1
x
y
-
= ，则
0
m =
．
A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③
【变式5-1】已知关于x ，y 的二元一次方程组
3
8
3
x
y
a
x
y
a
+
=
-
-
=
，给出下列结论中，正确的是（ ）
①当这个方程组的解x ，y 的值互为相反数时，
4
a = - ；
②当
1
a = 时，方程组的解也是方程
4
2
x
y
a
+
=
+
的解；
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③无论a 取什么实数，
2
x
y
+
的值始终不变；
④若用x 表示y ，则
3
2
x
y = -
+ ．
A．①②
B．②③
C．②③④
D．①③④
【变式5-2】已知关于x ，y 的方程组
3
4
3
x
y
a
x
y
a
+
=
-
-
=
，下列结论：①当
2
a = - 时，x ，y 的值互为相反数：
②若
5
1
x
y
=
= -
是方程组的解，则
2
a =
；③当
1
a = - 时，方程组的解也是方程
1
x
y
+
= 的解；④若1
4
y
£
£
，
则3
0
a
- £
£
．其中正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
考点六：二元一次方程组中新定义问题
例6.定义：关于x，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
与bx
ay c
+
= 互为“对称二元一次方程”，其中a
b
¹
如
二元一次方程2
3
x
y
+
=
与二元一次方程
2
3
x
y
+
=
互为“对称二元一次方程”．
(1)直接写出二元一次方程4
5
x y
- = 的“对称二元一次方程” ；
(2)二元一次方程3
2
2025
x
y
+
=
与它的“对称二元一次方程”的公共解为
x
m
y
n
=
=
，求出m，n 的值．
【变式6-1】定义：关于x，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
（其中a
b
c
¹
¹
）中的常数项c 与未知数x 系数a
互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax
by
c
+
=
“变更方程”为cx
by
a
+
=
．
(1)方程3
2
4
x
y
+
=
的“变更方程”为________；
(2)方程2
3
4
x
y
+
=
与它的“变更方程”组成的方程组的解为________；
(3)已知关于x，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
的系数满足
0
a
b
c
+
+
=
，且ax
by
c
+
=
与它的“变更方程”组成的
方程组的解恰好是关于x，y 的二元一次方程mx
ny
p
+
=
的一个解，求代数式
2025
m
n m
p n
p
+
-
+
+
的值．
【变式6-2】对于关于x ，y 的二元一次方程组
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
（其中
1a ，
1b ，
1c ，
2a ，
2b ，
2c 是常数），给
出如下定义：若该方程组的解满足
1
x
y
+
= ，则称这个方程组为“开心”方程组．
(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
0
2
0
x
y
x
y
+
=
-
=
①
；
1
2
2
x
y
x
y
+
=
-
=
②
；
1
3
5
7
x
y
x
y
-
= -
+
=
③
(2)若关于x ，y 的方程组
2
5
4
3
5
2
5
x
y
k
x
y
k
+
=
+
+
=
-
是“开心”方程组，求k 的值；
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(3)若对于任意的有理数m ，关于x ，y 的方程组
2
1
2
4
amx
b
y
m
x
y
+
-
=
+
=
都是“开心”方程组，求ab 的值．
【变式6-3】定义：关于x
y
，的二元一次方程ax
by
c
+
=
（其中a
b
c
¹
¹
）中的常数项c 与未知数x 系数a 互
换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax
by
c
+
=
的”变更方程”为cx
by
a
+
=
．
(1)方程3
2
4
x
y
+
=
与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
(2)已知关于x
y
，的二元一次方程ax
by
c
+
=
的系数满足
0
a
b
c
+
+
=
，且ax
by
c
+
=
与它的“变更方程”组成的
方程组的解恰好是关于x
y
，的二元一次方程mx
ny
p
+
=
的一个解，求代数式
2024
m
n m
p n
p
+
-
+
+
的
值；
(3)已知整数，，
m
n
t 满足条件
8
t
n
m
<
<
，并且
10
2024
m
t x
y
m
t
-
+
=
+ 是关于x
y
，的二元一次方程
1
2024
2
2
n x
y
m
+
+
=
+
的“变更方程”，求m 的值．
考点七：二元一次方程组的实际应用
例7.已知用2 辆A 型车和3 辆B 型车装满货物一次可运货23 吨；用3 辆A 型车和2 辆B 型车装满
货物一次可运货22 吨，某物流公司现有64 吨货物，计划同时租用A 型车m 辆，B 型车n 辆，一次运完，
且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)一辆A 型车和一辆B 型车装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案；
(3)若A 型车每辆租金1500 元/次，B 型车每辆租金2000 元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金
费．
【变式7-1】已知：用2 辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2 辆B 型车载满货
物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰
好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A 型车每辆需租金100元/ 次，B 型车每辆需租金120元/ 次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租
车费．
【变式7-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车
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专题04 二元一次方程组（学生版）
第 10 页 共 61 页
销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6 辆A 型汽车、5 辆B 型汽车的进价共计980 万
元；3 辆A 型汽车、7 辆B 型汽车的进价共计940 万元．
(1)求A ，B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若“五一”搞活动，该公司了解到A 、B 两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960
万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1 辆A 型汽车可获利6000 元，销售1 辆B 型汽车可获利4000 元，在（2）中的购
买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【变式7-3】某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm 的KT 板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺
寸为40cm 15cm
´
，乙广告牌尺寸为40cm 35cm
´
．
(1)若该广告公司用1 块KT 板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3 倍，在不造成板材浪费的前提
下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
(2)求1 块KT 板的所有无浪费裁切方案；
(3)现需要甲、乙两种广告牌各500 块，该公司仓库已有488 块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰
好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．
➢复习提升
1．《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重
十一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1 立方寸，重7 两；石1 立方寸，重6 两．今有石为棱长3
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专题04 二元一次方程组（学生版）
第 11 页 共 61 页
寸的正方体（体积为27 立方寸），其中含有玉，总重11 斤（注：1 斤=16 两）．问玉、石各重多少？若设
玉重x 两，石重y 两，则可列方程为（ ）
A．
11
27
7
6
x
y
x
y
+
=
ï
+
=
ï
B．
176
27
7
6
x
y
x
y
+
=
ï
+
=
ï
C．
11
7
6
27
x
y
x
y
+
=
ï
+
=
ï
D．
176
7
6
27
x
y
x
y
+
=
ï
+
=
ï
2．已知关于x，y 方程组
2
1
2
2
6
x
y
a
x
y
+
= +
+
=
的解满足
3
x
y
+
= - ，则a 的值
．
3．已知方程组
2
5
26
4
x
y
ax
by
+
= -
-
= -
和方程组
3
5
36
8
x
y
bx
ay
-
=
+
= -
的解相同，则a
b
+
=
．
4．甲、乙两人共同解方程组
2
3
4
ax
by
cx
y
+
=
-
=
①
②，甲将①中的b 看成了它的相反数解得
1
1
x
y
=
= -
，乙抄错②中的c
解得
2
4
x
y
=
=
，则a
b
c
-
+
=
．
5．若关于x ，y 的方程组
3
6
2
1
ax
y
x
y
b
-
=
+
= -
有无数个解，则a
b
- 的值为
．
6．已知关于x ，y 的方程组
2
5
2
3
x
y
mx
y
+
=
-
=
．
(1)方程2
5
x
y
+
=
有一个正整数解
1
3
x
y
=
=
，还有一个正整数解为________．
(2)若方程组的解满足
1
x
y
+
= ，求m 的值；
(3)无论实数m 取何值，关于x ，y 的方程
2
3
mx
y
-
=
总有一个固定的解，请求出这个解为________．
7．已知关于x ，y 的二元一次方程组
3
5
2
3
7
x
y
x
y
-
=
+
=
，求7
5
x
y
+
的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ，y 的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算
量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例
如由
2
+
´
①
②
可得7
5
19
x
y
+
=
，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：
(1)已知方程组
2
4
2
5
x
y
x
y
+
=
+
=
①
②，由
2
+
´
①
②
可得__________；
(2)用“整体思想”解答：已知方程组
3
2
5
3
x
y
x
y
+
=
+
=
，求5
3
x
y
+
的值；
(3)请说明在关于x ，y 的方程组
2
2
4
1
2
2
x
y
a
x
y
a
-
=
-
+
=
-
中，无论a 取何值，x
y
+
的值始终不变．
8．对于有理数x，y，定义新运算：*
x
y
ax
by
=
+
，x
y
ax
by
Ä
=
-
，其中a，b 是常数．例如，
3*2
3
2
a
b
=
+
，2
1
2a
b
Ä =
- ，
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专题04 二元一次方程组（学生版）
第 12 页 共 61 页
已知3*2
1
= - ，2
1
4
Ä =
，则根据定义可以得到：
3
2
1
2
4
a
b
a
b
+
= -
-
=
(1) a =_______，b = _______；
(2)若
*2
10
x
y
x
y
+
Ä
=
，求x
y
-
的值；
(3)若关于x，y 的方程组
*
8
5
x
y
m
x
y
m
=
+
Ä
=
的解也满足方程
9
x
y
-
=
，求m 的值；
(4)若关于x，y 的方程组
1
1
1
2
2
2
*
a x b y
c
a x
b y
c
=
Ä
=
的解为
12
5
x
y
=
=
，则关于x，y 的方程组
1
1
1
2
2
2
4
*5
4
5
a
x
y
b
x
y
c
a
x
y
b
x
y
c
+
-
=
ï
+
Ä
-
=
ï
的
解为_______．
9．某铁件加工厂用如图1 所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2
所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1 个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张；
(2)现有长方形铁片100 张，正方形铁片50 张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖
式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33 张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工
成铁盒，每张铁板有两种裁法：
方法1：可以裁出3 个长方形铁片；
方法2：可以裁出4 个正方形铁片．
若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？
10．已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额：
牛奶（箱）
咖啡（箱）
金额（元）
甲
2
1
110
乙
5
4
350
(1)求牛奶与咖啡每箱的原价；
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专题04 二元一次方程组（学生版）
第 13 页 共 61 页
(2)五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选．
方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表：
单次购买数量（箱）
不超过20 箱
20 箱以上但不超过40 箱
40 箱以上
价格（元/箱）
不打折
打9.6 折
打9 折
方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受．
①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50 箱，共付款2430 元，且第二次购买量大于第一次购
买量，求第二次购买的数量；
②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300 元，其中购买
打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的1
4 ，则此次 按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案）
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 14 页 共 61 页
➢重点速记
【知识点1 二元一次方程的概念】
概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
【易错点剖析】
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
【典例1】下列方程中，属于二元一次方程的是
（填序号）．
①
3
0
4
x
y
+
=
；②
2
5
6
3
x
y
-
=
；③3
2
3
x
y
z
-
=
；④
3
4 1
x
y
x
-
=
-
．
【详解】解：①符合二元一次方程的定义；
②最高次项的次数是2，故不符合二元一次方程的定义；
③还有3 个未知数，故不符合二元一次方程的定义；
④符合二元一次方程的定义；
故属于二元一次方程的是①④．
故答案为：①④．
【典例2】已知
3
(
4)
3
6
0
m
m
x
y
-
-
+
+
=
是关于x ，y 的二元一次方程，则m = ．
【详解】解：∵
3
(
4)
3
6
0
m
m
x
y
-
-
+
+
=
是关于x ，y 的二元一次方程，
∴
3
1
m -
= 且
4
0
m -
¹
，
∴
3
1
m -
= ± ，
4
m ¹
，
解得
2
m =
，
故答案为：2．
【知识点2 二元一次方程的解】
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
【易错点剖析】
二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 15 页 共 61 页
的解通常表示为
b
a
＝
＝
y
x
的形式.
【典例3】已知
2
x
a
y
b
=
=
是二元一次方程2
5
7
0
x
y
-
+
=
的一个解，则代数式9
8
10
a
b
-
+
的值为
．
【详解】解：∵
2
x
a
y
b
=
=
是二元一次方程2
5
7
0
x
y
-
+
=
的一个解，
把
2
x
a
y
b
=
=
代入得，4
5
7 = 0
a
b
-
-
，即4
5 = 7
a
b
-
- ，
∴
9
8
10 = 9
2 4
5
= 9
2
7 = 23
a
b
a
b
-
+
-
-
- ´ -
，
故答案为：23．
【知识点3 二元一次方程组的概念】
概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组
的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3
4
5
2
x
y
x
+
=
=
.
【易错点剖析】
（1）它的一般形式为
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
（其中
1a ，
2a ，
1b ，
2b 不同时为零）．
（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．
（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．
【典例4】观察所给的4 个方程组：①
2
3
x
y
=
=
；②
4
15
3
4
3
x
y
x
=
-
= -
；③
2
16
4
x
y
x
y
+
=
-
=
；④
35
2
4
94
x
y
x
y
+
=
+
=
，其中，
符合二元一次方程组定义的是
（写出所有正确的序号）．
【详解】解：①
2
3
x
y
=
=
，符合二元一次方程组定义；
②
4
15
3
4
3
x
y
x
=
-
= -
，符合二元一次方程组定义；
③
2
16
4
x
y
x
y
+
=
-
=
，未知数x 的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；
④
35
2
4
94
x
y
x
y
+
=
+
=
，符合二元一次方程组定义；
所以符合二元一次方程组定义的是①②④．
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第 16 页 共 61 页
故答案为：①②④．
【知识点4 二元一次方程组的解】
概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错点剖析】
（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，
若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
（2）方程组的解要用大括号联立；
（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组
=
+
=
+
6
2
5
2
y
x
y
x
无解，而方程组
-
=
+
-
=
+
2
2
2
1
y
x
y
x
的解有无数个.
【典例5】已知
1
3
x
y
=
=
是关于x，y 的二元一次方程组
2
7
1
5
ax
y
x
b
y
+
=
-
-
= -
的解，则1
1
2
3
a
b
-
的值为 ．
【详解】∵
1
3
x
y
=
=
是关于x，y 的二元一次方程组
2
7
1
5
ax
y
x
b
y
+
=
-
-
= -
的解
∴将
1
3
x
y
=
=
代入到
2
7
1
5
ax
y
x
b
y
+
=
-
-
= -
，得
2
3
7
1 3
1
5
a
b
+
=
-
-
= -
∴
2
3
a
b
=
=
∴1
1
1 1
0
2
3
a
b
-
= - =
故答案为：0．
【知识点5 三元一次方程组的概念与解】
定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未
知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：
（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；
（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.
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【典例6】若
5
10
15
x
y
z
=
ï
=
ï = -
是三元一次方程组
0
2
2
40
x
y
z
x
y
z
k
x
y
z
+
+
=
ï
-
+
=
ï +
-
=
的解，则k 的值是
．
【详解】解：∵
5
10
15
x
y
z
=
ï
=
ï = -
是三元一次方程组
0
2
2
40
x
y
z
x
y
z
k
x
y
z
+
+
=
ï
-
+
=
ï +
-
=
的解，
∴将
5
10
15
x
y
z
=
ï
=
ï = -
代入2x
y
z
k
-
+
=
中得：
2 5 10
15
k
´ -
+ -
=
，
解得：
15
k = -
，
故答案为：15
-
．
【知识点6 解二元（三元）一次方程组】
1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变
成
b
ax
y
+
=
（或
b
ay
x
+
=
）的形式；
②将
b
ax
y
+
=
（或
b
ay
x
+
=
）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一
个关于x （或y ）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；
④把x （或y ）的值代入
b
ax
y
+
=
（或
b
ay
x
+
=
）中，求y （或x ）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0 的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一
个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个
方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
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④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
3.解三元一次方程组的一般过程：
①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，
得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
【典例7】用指定的方法解下列方程组
(1)
1
2
4
5
x
y
x
y
= -
+
=
（代入法）
(2)
3
2
6
2
3
17
x
y
x
y
-
=
+
=
（加减法）
【详解】（1）解：
1
2
4
5
x
y
x
y
= -
+
=
①
②
将①代入②得，
2 1
4
5
y
y
-
+
=
解得：
3
2
y =
将
3
2
y =
代入①得
1
2
x = -
∴原方程组的解为：
1
2
3
2
x
y
= -
ïï
ï
=
ï
（2）解：
3
2
6
2
3
17
x
y
x
y
-
=
+
=
①
②
①3
´ + ②2
´ 得，9
4
18
34
x
x
+
=
+
解得：
4
x =
将
4
x =
代入①得，12
2
6
y
-
=
解得：
3
y =
∴原方程组的解为：
4
3
x
y
=
=
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 19 页 共 61 页
➢核心考点举一反三
考点一：由二元一次方程组的解的情况求参
例1.若关于x，y 的方程组
2
5
6
4
7
x
y
k
x
y
k
-
=
+
+
=
的解满足
2024
x
y
+
=
，则k 的值为（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组两方程左右两边相加表示出x
y
+
，代入
2024
x
y
+
=
计算
即可求出k 的值．
【详解】解：
2
5
6
4
7
x
y
k
x
y
k
-
=
+
+
=
①
②
，
①+ ②得：6
6
6
6
x
y
k
+
=
+ ，
整理得：
1
x
y
k
+
=
+ ，
代入
2024
x
y
+
=
得：
1
2024
k + =
，
解得：
2023
k =
．
故选：B．
【变式1-1】m 为何值时，关于x、y 的二元一次方程组
3
2
5
4
3
2
13
x
y
x
m
y
-
=
-
-
=
的解x、y 是互为相反数（ ）
A．1
B．5
-
C．5
D．14
【答案】C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到y
x
= - ，得到
3
2
5
x
x
-
-
=
，求得
1
x = ，再得到
4 1 3
2
1
13
m
´ -
-
-
=
，进一步计算即可得解．
【详解】解：∵关于x、y 的二元一次方程组
3
2
5
4
3
2
13
x
y
x
m
y
-
=
-
-
=
的解x、y 是互为相反数，
∴
3
2
5
x
x
-
-
=
，
∴
1
x = ，
∴
4 1 3
2
1
13
m
´ -
-
-
=
，
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 20 页 共 61 页
解得
5
m =
，
故选：C．
【变式1-2】关于x、y 的二元一次方程组
2
5
2
7
x
y
k
x
y
k
+
=
-
=
的解满足方程1
2
5
3 x
y
-
=
，则k =
．
【答案】75
【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程的解，一元一次方程的解法，熟练掌握二元一
次方程组的解法是解题的关键．先解二元一次方程组，求出
19
5
k
x =
，
3
5
k
y =
，再代入1
2
5
3 x
y
-
=
即可求得
k 的值．
【详解】解：
2
5
2
7
x
y
k
x
y
k
+
=
-
=
①
②
2
+
´
①
②
，得
5
19
x
k
=
，
∴
19
5
k
x =
，
把
19
5
k
x =
代入①，得
19
2
5
5
k
y
k
+
=
，
∴
3
5
k
y =
，
把
19
5
k
x =
，
3
5
k
y =
代入1
2
5
3 x
y
-
=
，得
1
2
5
5
3
19
3
5
k
k
´
- ´
=
，
∴
75
k =
．
故答案为：75．
【变式1-3】关于x，y 的方程（m﹣1）x+4y＝2 和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有 ．（写出所有
正确的序号）
①当m＝1，n＝﹣3 时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；
②当m＝1 且n≠﹣3 时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；
③当m＝7，n＝﹣1 时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；
④当m＝7 且n≠﹣1 时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．
【答案】②③④
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第 21 页 共 61 页
【分析】把m，n 的值代入原方程，解方程组即可．
【详解】解：①当m＝1，n＝﹣3 时，
原方程为4y＝2，3x＝1，
此时组成方程组的解为
1
3
1
2
x
y
=
ïï
ï
=
ï
，不符合题意；
②当m＝1 且n≠﹣3 时，
原方程为4y＝2，3x+（n+3）y＝1，
组成方程组，解得：
1
6
1
2
n
x
y
- -
=
ïï
ï
=
ï
，符合题意；
③当m＝7，n＝﹣1 时，
方程组为
6
4
2
3
2
1
x
y
x
y
+
=
+
=
，
第一个方程化简得3x+2y＝1，与第二个方程相同，
所以有无数个解，符合题意；
④当m＝7 且n≠﹣1 时，
方程组为
6
4
2
3
(
3)
1
x
y
x
n
y
+
=
+
+
=
①
②，
消去x，解得：y＝0 或n＝﹣1，
∵n≠﹣1，
∴y＝0，此时x＝1
3 ，
∴有且只有一个解，符合题意；
故答案为：②③④．
考点二：二元一次方程组中的错解与同解问题
例2.在解方程组
3
2
2
7
ax
y
x
by
+
= -
-
=
①
②时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为
1
1
x
y
=
= -
，乙看错
了方程组中的b ，而得解为
5
1
x
y
=
=
，根据上面的信息解答：
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第 22 页 共 61 页
(1)求出正确的a ，b 的值；
(2)求出原方程组的正确解，并代入代数式
3
5
19
x
y
x
y
-
×
-
求值．
【答案】(1)
1
a = ，
5
b =
；
(2)
11
3
x
y
=
=
，64
-
．
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组、求代数式的值．
1 根据甲、乙二人求出的方程组的解，把甲求出的解代入方程②中求出a ，把乙求出的方程组的解代入方
程①中，求出b 的值即可；
2 由（1）可得原方程组为
3
2
2
5
7
x
y
x
y
- +
= -
-
=
①
②，解方程组求出正确的x 、y 的值，再把求出的正确的解代入代
数式中求值即可．
【详解】（1）解：把
5
1
x
y
=
=
代入①，
可得：5
3
2
a +
= - ，
解得：
1
a = - ；
把
1
1
x
y
=
= -
代入②，
可得：2
7
b
+
=
，
解得：
5
b =
；
（2）解：由（1）可得原方程组为
3
2
2
5
7
x
y
x
y
- +
= -
-
=
①
②，
2
´
①
得：2
6
4
x
y
-
+
= - ③，
+
③
②得：
3
y =
，
把
3
y =
代入①得：
3 3
2
x
- + ´ = - ，
解得：
11
x =
，
解得原方程组的正确解为
11
3
x
y
=
=
，
\
3
5
19
x
y
x
y
-
×
-
3
11 3
5 11 19 3
=
-
´
´
-
´
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3
8
2
= ´ -
8
8
= ´ -
64
= -
．
【变式2-1】在解方程组
5
15
4
2
ax
y
x
by
+
=
-
= -
时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为
3
1
x
y
= -
= -
，乙看错了
方程组中的b ，而得解为
5
4
x
y
=
=
(1)甲把a 看成了什么，乙把b 看成了什么；
(2)求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a 看成了
20
3
-
，乙把b 看成了11
2 ；
(2)
14
29
5
x
y
=
ï
=
ï
【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解
题关键．
（1）甲看错了方程组中的a ，把
3
1
x
y
= -
= -
代入①，②，乙看错了方程组中的b ，把
5
4
x
y
=
=
代入①，②，从
而求出a 、b 正确的值和错误的值；
（2）把
1
a = - ，
10
b =
代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解．
【详解】（1）解：
5
15
4
2
ax
y
x
by
+
=
-
= -
①
②，
把
3
1
x
y
= -
= -
代入①，②得，
3 4
1
2
b
- ´ - ´ -
= - ，
10
b
\
=
，
3
5
1
15
a
-
+ ´ -
=
．
20
3
a
\
= -
；
把
5
4
x
y
=
=
代入①、②得，
5
5
4
15
a + ´
=
，
1
a
\
= - ，
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第 24 页 共 61 页
4 5
4
2
b
´ -
= - ，
11
2
b
\ =
；
\甲把a 看成了
20
3
-
，乙把b 看成了11
2 ；
（2）把
1
a = - ，
10
b =
代入原方程组，
原方程组为
5
15
4
10
2
x
y
x
y
- +
=
-
= -
①
②，
由②，得2
5
1
x
y
-
= - ③，
①+③，得
14
x =
，
把
14
x =
代入①，得
29
5
y =
，
\原方程组的解：
14
29
5
x
y
=
ï
=
ï
．
【变式2-2】已知关于x，y 的方程组
2
4
3
ax
by
x
y
+
=
-
=
与
1
1
3
x
y
bx
a
y
+
=
+
-
=
有相同的解．
(1)请求出这个相同的解；
(2)求a，b 的值；
(3)请判断“无论m 取何值，（1）中的解都是关于x、y 的方程
3
2
1
5
m x
m
y
+
+
+
=
的解”，这句话是否正
确？并说明理由．
【答案】(1)
2
1
x
y
=
= -
(2)
6
a =
，
4
b =
(3)正确，理由见解析
【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组．
（1）联立
3
1
x
y
x
y
-
=
+
=
，利用加减消元法解方程组即可；
（2）将
2
1
x
y
=
= -
代入含有a，b 的方程得到方程组再求解即可；
（3）将
2
1
x
y
=
= -
代入原方程，可得恒等式，进而与m 无关，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵关于x，y 的方程组
2
4
3
ax
by
x
y
+
=
-
=
与
1
1
3
x
y
bx
a
y
+
=
+
-
=
有相同的解，
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第 25 页 共 61 页
∴
3
1
x
y
x
y
-
=
+
=
，
解得
2
1
x
y
=
= -
，
这个相同的解是
2
1
x
y
=
= -
；
（2）解：将
2
1
x
y
=
= -
代入含有a，b 的方程得：
2
2
4
2
1
3
a
b
b
a
-
=
-
-
=
，
解得：
6
4
a
b
=
=
，
∴a，b 的值分别为6，4；
（3）解：正确，理由如下：
将
2
1
x
y
=
= -
代入
3
2
1
m x
m
y
+
+
+
中，得：
3
2
2
1
1
6
2
2
1
5
m
m
m
m
+
´ +
+
´ -
=
+
-
- =
，
∴无论m 取何值，
2
1
x
y
=
= -
都是方程
3
2
1
5
m x
m
y
+
+
+
=
的解．
【变式2-3】已知关于x，y 的方程组
3
2
1
1 2
2
1
x
y
m x
y
n
+
= -
-
+
= -
与方程组
2
4
1
x
y
nx
y
m
-
=
+
=
+
有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m，n 的值．
【答案】(1)
1
2
x
y
=
= -
；
(2)
1
2
m
n
= -
=
．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，理解
二元一次方程组解的含义是解题的关键，也是本题的难点所在．
（1）根据二元一次方程组的解的定义进行解答即可；
（2）根据方程解的定义得到二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：因为关于x，y 的方程组
3
2
1,
1 2
2
1
x
y
m x
y
n
+
= -
-
+
= -
与方程组
2
4,
1
x
y
nx
y
m
-
=
+
=
+
有相同的解，
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所以这两个方程组的解也是方程组
3
2
1,
2
4
x
y
x
y
+
= -
-
=
的解，
解得
1
2
x
y
=
= -
；
（2）把
1
2
x
y
=
= -
分别代入方程
1 2
2
1
m x
y
n
-
+
= -
与方程
1
nx
y
m
+
=
+ ，得
1 2
2
2
1
,
2
1,
m
n
n
m
-
+ ´ -
= -
-
=
+
解得
1
2
m
n
= -
=
考点三：二元一次方程组的特殊解法
例3.若关于x，y 的二元一次方程组
ax
y
b
cx
y
d
+
=
-
=
的解是
3
2
x
y
=
= -
，则关于x，y 的方程组
2
2
2
2
ax
y
a
b
cx
y
c
d
+
=
+
-
=
+
的解是（ ）
A．
3
2
x
y
=
= -
B．
6
4
x
y
=
= -
C．
2
1
x
y
=
= -
D．
5
1
x
y
=
= -
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的解，原方程可化为
2
2
2
2
a x
y
b
c x
y
d
-
+
=
ï
-
-
=
ï
，根据题意得出
2
3
x -
=
，
2
2
y = - ，即可求解．
【详解】解：
2
2
2
2
ax
y
a
b
cx
y
c
d
+
=
+
-
=
+
，即
2
2
2
2
a x
y
b
c x
y
d
-
+
=
ï
-
-
=
ï
，
∵关于x、y 的二元一次方程组
ax
y
b
cx
y
d
+
=
-
=
的解为
3
2
x
y
=
= -
，
∴
2
3
2
2
x
y
-
=
= -
，
解得：
5
1
x
y
=
= -
，
故选：D．
【变式3-1】若关于m
n
，的二元一次方程组
2023
2024
2024
2025
m
an
m
bn
-
=
-
=
的解是
7
3
m
n
=
=
，则关于x
y
，的二元一次方程
组
2023
2024
2024
2025
x
y
a x
y
x
y
b x
y
+
-
-
=
ï
+
-
-
=
ï
的解是
．
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【答案】
5
2
x
y
=
=
【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次
方程组的解，也考查了解二元一次方程组．二元一次方程组的解
7
3
m
n
=
=
看成
7
3
x
y
x
y
+
=
-
=
，解出x，y 即可．
【详解】解：∵二元一次方程组
2023
2024
2024
2025
m
an
m
bn
-
=
-
=
的解是
7
3
m
n
=
=
，
∴把关于二元一次方程组
2023
2024
2024
2025
x
y
a x
y
x
y
b x
y
+
-
-
=
ï
+
-
-
=
ï
看作关于x
y
+
和 x
y
-
的二元一次方程组，
∴
7
3
x
y
x
y
+
=
-
=
，
解得：
5
2
x
y
=
=
，
则二元一次方程组
2023
2024
2024
2025
x
y
a x
y
x
y
b x
y
+
-
-
=
ï
+
-
-
=
ï
的解是
5
2
x
y
=
=
，
故答案为：
5
2
x
y
=
=
【变式3-2】已知关于x ，y 的方程组
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
的解为
3
4
x
y
=
=
，请直接写出关于m 、n 的方程组
1
1
1
2
2
2
2
3
2
3
a
m
b n
c
a
m
b n
c
+
-
=
ï
+
-
=
ï
的解是
．
【答案】
1
4
3
m
n
=
ï= -
ï
【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握整体思想的应用是解题关键．
把
2
m +
，3n
-
，看作一个整体，则第二个方程组与第一个方程组形式和结构一样，是同解方程组，得出
2
3
3
4
m
n
+
=
-
=
，由此即可求解．
【详解】解：
1
1
1
2
2
2
2
3
2
3
a m
b
n
c
a
m
b
n
c
+
+
-
=
ï
+
+
-
=
ï
根据题意可知：
2
3
3
4
m
n
+
=
-
=
，
芒果老师资料库
专题04 二元一次方程组（解析版）
第 28 页 共 61 页
解得
1
4
3
m
n
=
ï= -
ï
，
故答案为：
1
4
3
m
n
=
ï= -
ï
．
【变式3-3】解方程组
3 2
2
2
26
2 2
3
2
13
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
-
=
ï
+
+
-
=
ï
，若设2
2
x
y
m x
y
n
+
=
-
=
,
，则原方程组化为
3
2
26
2
3
13
m
n
m
n
-
=
+
=
，解得
8
1
m
n
=
= -
，所以
2
8
2
1
x
y
x
y
+
=
-
= -
，解得
3
2
x
y
=
=
，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母
去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)关于x
y
，的二元一次方程组
6
3
ax
by
bx
ay
+
=
+
=
的解为
2
4
x
y
= -
=
，则关于
,
m n 的二元一次方程组
6
3
a m
n
b m
n
b m
n
a m
n
+
+
-
=
ï
+
+
-
=
ï
，其中m
n
+
= _________，m
n
-
= _________，解得m = ________，n = _________；
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组
4
2
3
2
16
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
-
=
ï
ï
+
+
-
=
；
(3)拓展应用：已知关于x
y
，的二元一次方程组
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
的解为
4
3
x
y
=
= -
，求关于x
y
，的方程组
1
1
1
2
2
2
2
3
5
2
3
5
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
的解．
【答案】(1) 2
- ，4，1，3
-
(2)
4
4
x
y
=
=
；
(3)
10
5
x
y
=
= -
．
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题
的关键．
（1）设m
n
x
+
=
，m
n
y
-
=
，即可得
2
4
m
n
m
n
+
= -
-
=
，解方程组即可求解；
（2）设
2
x
y
m
+
=
，
3
x
y
n
-
=
，则原方程组可化为
4
4
3
16
m
n
m
n
-
=
+
=
，解方程组即可求解；
（3）设2
5
x
m
=
，3
5
y
n
=
，则原方程组可化为，
1
1
1
2
2
2
a m
b n
c
a m
b n
c
+
=
+
=
，根据
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
的解为
4
3
x
y
=
= -
，可得
芒果老师资料库
专题04 二元一次方程组（解析版）
第 29 页 共 61 页
4
3
m
n
=
= -
，即有
2
4
5
3
3
5
x
y
=
ïï
ï
= -
ï
，则问题得解．
【详解】（1）解：设m
n
x
+
=
，m
n
y
-
=
，则原方程组可化为
6
3
ax
by
bx
ay
+
=
+
=
，
∵
6
3
ax
by
bx
ay
+
=
+
=
的解为
2
4
x
y
= -
=
，
∴
2
4
m
n
m
n
+
= -
-
=
，
解得
1
3
m
n
=
= -
，
故答案为：2
- ，4，1，3
- ；
（2）解：设
2
x
y
m
+
=
，
3
x
y
n
-
=
，则原方程组可化为
4
4
3
16
m
n
m
n
-
=
+
=
，
解得
4
0
m
n
=
=
，
即有
4
2
0
3
x
y
x
y
+
=
ïï-
ï
=
ï
，
解得
4
4
x
y
=
=
，
即：方程组的解为
4
4
x
y
=
=
；
（3）解：设2
5
x
m
=
，3
5
y
n
=
，则原方程组可化为
1
1
1
2
2
2
5
5
5
5
5
5
ma
nb
c
ma
nb
c
+
=
+
=
，
化简，得
1
1
1
2
2
2
a m
b n
c
a m
b n
c
+
=
+
=
，
∵关于x，y 的二元一次方程组
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
的解为
4
3
x
y
=
= -
，
∴
4
3
m
n
=
= -
，即有
2
4
5
3
3
5
x
y
=
ïï
ï
= -
ï
，
解得：
10
5
x
y
=
= -
，
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 30 页 共 61 页
故方程组的解为：
10
5
x
y
=
= -
．
考点四：二元一次方程组的整数解
例4．已知关于x ，y 的二元一次方程组
7
3
0
kx
y
x
y
+
=
-
=
有正整数解，其中k 为整数，则
2
1
k - 的值为
（ ）
A．2
-
B．3
C．2
- 或4
D．3 或15
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得
7
3
x
k
=
+
，
21
3
y
k
=
+
，再根据方程组有正整数解，其中k
为整数，求得k 值，再代入
2
1
k - 进行计算即可．
【详解】解：
7
3
0
kx
y
x
y
+
=
-
=
①
②，
+
①
②得：
7
3
x
k
=
+
，
把
7
3
x
k
=
+
代入②得：
21
3
y
k
=
+
，
Q关于x ，y 的二元一次方程组
7
3
0
kx
y
x
y
+
=
-
=
有正整数解，其中k 为整数，
3
k
\ + 既能被7 整除也能被21 整除，即
3
k + 的值可以为1 或者7，
2
k
\
= - 或4，
当
2
k = - 时，
2
2
1
2
1
4 1
3
k - = -
- =
- =
；
当
4
k =
时，
2
2
1
4
1
16 1
15
k
=
- =
- =
-
，
2
1
k
\
- 的值为3 或15．
故选：D．
【变式4-1】已知m 为正整数，且方程组
2
10
3
2
0
mx
y
x
y
+
=
-
=
的解x ，y 均为整数，则
2
m 的值是
．
【答案】4
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
解出x 、y ，再根据解的情况求出m 的值即可．
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第 31 页 共 61 页
【详解】解：解方程组
2
10
3
2
0
mx
y
x
y
+
=
-
=
，得
10
3
15
3
x
m
y
m
=
ïï
+
ï
=
ï
+
，
m
Q
为正整数，
3
m
\
+
必为正整数，
又
x
Q 、y 均为整数，
3
m
\
+
为10和15的公约数，
3
1
m
\
+
= 或
3
5
+
=
m
，
解得：
2
m = - （舍去）或
2
m =
，
2
2
2
4
m
\
=
=
，
故答案为：4 ．
【变式4-2】已知关于x、y 的方程组
2
5
2
9
0
x
y
x
y
mx
+
=
-
+
+
=
(1)请写出
2
5
x
y
+
=
的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足
0
x
y
+
=
，求m 的值；
(3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
【答案】(1)
3
1
x
y
=
=
，
1
2
x
y
=
=
(2)
6
5
m = -
(3)整数m 的值为6
-
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）把y 看作已知数表示出x ，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x 与y 的值，进而求出m 的值；
（3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程
2
9
0
x
y
mx
-
+
+
=
，确定出整数m 的值即可．
【详解】（1）解：方程
2
5
x
y
+
=
，
解得：
2
5
x
y
= -
+
，
当
1
y = 时，
3
x =
；
当
2
y =
，
1
x = ；
即方程
2
5
x
y
+
=
的正整数的解为
3
1
x
y
=
=
，
1
2
x
y
=
=
；
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第 32 页 共 61 页
（2）解：联立得
2
5
0
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
5
5
x
y
= -
=
，
代入
2
9
0
x
y
mx
-
+
+
=
得：5
10
5
9
0
m
- -
-
+
=
，
解得
6
5
m = -
；
（3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得
3
1
x
y
=
=
，
1
2
x
y
=
=
；
代入
2
9
0
x
y
mx
-
+
+
=
得，
3
2
3
9
0
m
-
+
+
=
或1
4
9
0
m
-
+
+
=
解得：
10
3
m = -
（舍去）或
6
m = -
综上所述，整数m 的值为6
- ．
【变式4-3】已知关于,x y 的方程组
3
9
0
3
6
0
x
y
x
y
my
+
-
=
-
+
-
=
(1)请直接写出方程3
9
0
x
y
+
-
=
的所有正整数解；
(2)无论数m 取何值，方程3
6
0
x
y
my
-
+
-
= 总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中y 恰为整数，m 也为整数，求m 的值．
【答案】(1)
1
6
x
y
=
=
，
2
3
x
y
=
=
；
(2)
2
0
x
y
=
=
(3)
1
m = 或3 或1
- 或5
【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方
程组的解是本题的关键．
（1）用含x 的代数式表示y ，即可确定出方程的正整数解；
（2）由固定的解与m 无关，可得
0
y =
，代入可得固定的解；
（3）求出方程组中y 的值，根据y 恰为整数，m 也为整数，可确定m 的值．
【详解】（1）解：方程3
9
0
x
y
+
-
=
，
9
3
y
x
\
=
-
，
当
1
x = 时，
6
y =
；
当
2
x =
时，
3
y = ，
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第 33 页 共 61 页
方程3
9
0
x
y
+
-
=
的所有正整数解为：
1
2
,
6
3
x
x
y
y
=
=
=
=
．
（2）解：3
6
0
x
y
my
-
+
-
= ，
3
1
6
x
m
y
\
+
-
=
，
\当
0
y =
时，
2
x =
，
即固定的解为：
2
0
x
y
=
=
．
（3）解：
3
9
0
3
6
0
x
y
x
y
my
+
-
=
-
+
-
=
①
②，
-
①
②得：2
3
0
y
my
-
-
=
，
2
3
m y
\
-
= ，
3
2
y
m
\
=
-
，
y
Q 恰为整数，m 也为整数，
2
m
\ -
是3 的约数，
2
1
m
\ -
= 或1
- ，或3，或3
- ．
故
1
m = 或3 或1
- ，或5.
考点五：二元一次方程组中多结论问题
例5.已知关于x ，y 的二元一次方程组
2
2
2
2
3
x
y
m
x
y
m
- +
= -
-
=
+
，下列结论正确的是（ ）
①当
1
m = 时，方程组的解也是
2
1
x
y
m
+
=
+ 的解；
②x ，y 均为正整数的解只有1 对；
③无论m 取何值，x 、y 的值不可能互为相反数；
④若方程组的解满足
1
x
y
-
= ，则
0
m =
．
A．①③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法
和解是解题的关键．
根据方程组得
3
x
y
+
=
，然后再依据题目信息即可依次判断．
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 34 页 共 61 页
【详解】解：①当
1
m = 时，方程组
2
2
2
2
3
x
y
m
x
y
m
- +
= -
-
=
+
整理得，
2
2
2
5
x
y
x
y
- +
= -
-
=
①
②
，
由①+ ②可得，
3
x
y
+
=
，
当
1
m = 时，方程
2
1
x
y
m
+
=
+ 得
3
x
y
+
=
，
∴当
1
m = 时，方程组的解也是
2
1
x
y
m
+
=
+ 的解，故①正确；
②解方程组
2
2
2
2
3
x
y
m
x
y
m
- +
= -
-
=
+
①
②，①+ ②得
3
x
y
+
=
，
当x ，y 均为正整数时，则有
1
2
x
y
=
=
或
2
1
x
y
=
=
，
∴共有2 对，故②错误；
③解方程组
2
2
2
2
3
x
y
m
x
y
m
- +
= -
-
=
+
①
②，①+ ②得
3
x
y
+
=
，
∴无论m 取何值，x ，y 的值不可能是互为相反数，故③正确；
④解方程组
2
2
2
2
3
x
y
m
x
y
m
- +
= -
-
=
+
①
②，①+ ②得
3
x
y
+
=
，
当方程组的解满足
1
x
y
-
= 时，
解得
2
1
x
y
=
=
，
代入原方程组可得
2
2 1
2
2 2 1
2
3
m
m
- + ´ = -
´ - =
+
解得，
0
m =
，故④正确；
综上，正确的结论是①③④，
故选：A．
【变式5-1】已知关于x ，y 的二元一次方程组
3
8
3
x
y
a
x
y
a
+
=
-
-
=
，给出下列结论中，正确的是（ ）
①当这个方程组的解x ，y 的值互为相反数时，
4
a = - ；
②当
1
a = 时，方程组的解也是方程
4
2
x
y
a
+
=
+
的解；
③无论a 取什么实数，
2
x
y
+
的值始终不变；
④若用x 表示y ，则
3
2
x
y = -
+ ．
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 35 页 共 61 页
A．①②
B．②③
C．②③④
D．①③④
【答案】D
【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
根据相反数的定义，得到x
y
= -
，得出
2
8
2
3
y
a
y
a
=
-
-
=
①
②，将方程组加减消元，得到8
3
0
a
a
-
+
=
，求解得到a
的值，即可判断①结论；将
1
a = 代入方程组，求得
4
1
x
y
=
=
，再将,x y 代入
4
2
x
y
a
+
=
+
，求出
1
2
a =
，即可判
断②结论；利用加减消得到
2
6
x
y
+
=
，即可判断③结论；将
2
6
x
y
+
=
变形，即可判断④结论．
【详解】解：
3
8
3
x
y
a
x
y
a
+
=
-
-
=
，
当这个方程组的解,x y 的值互为相反数时，则x
y
= -
，
则
2
8
2
3
y
a
y
a
=
-
-
=
①
②，
+
①
②得：8
3
0
a
a
-
+
=
，
∴
4
a = - ，
∴结论①正确；
当
1
a = 时，
3
7
3
x
y
x
y
+
=
-
=
，
解得：
4
1
x
y
=
=
，
将
4
1
x
y
=
=
代入
4
2
x
y
a
+
=
+
中，得：4 1
4
2a
+ =
+
，
解得：
1
2
a =
，
∴方程组的解不是方程
4
2
x
y
a
+
=
+
的解，②结论错误；
3
´ +
①
②得，3
9
24
3
3
x
y
x
y
a
a
+
+
-
=
-
+
，
4
8
24
x
y
\
+
=
，
解得：
2
6
x
y
+
=
，
∴无论a 取什么实数，
2
x
y
+
的值始终不变，③结论正确；
2
6
x
y
+
=
Q
，
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 36 页 共 61 页
∴
6
3
2
2
x
x
y
-
=
= -
+
，④结论正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故选：D．
【变式5-2】已知关于x ，y 的方程组
3
4
3
x
y
a
x
y
a
+
=
-
-
=
，下列结论：①当
2
a = - 时，x ，y 的值互为相反数：
②若
5
1
x
y
=
= -
是方程组的解，则
2
a =
；③当
1
a = - 时，方程组的解也是方程
1
x
y
+
= 的解；④若1
4
y
£
£
，
则3
0
a
- £
£
．其中正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组，不等式的运用，掌握解二元一次方程组的方法，根据不等式的性质
进行求解是解题的关键，把
2
a = - 代入方程组求解可判定①；把
5
1
x
y
=
= -
代入方程组求解，可判定②；把
1
a = - 代入计算即可判定③；用含a 的式子表示出y ，再根据不等式的性质可判定④．
【详解】解：当
2
a = - 时，方程组为
3
6
6
x
y
x
y
+
=
-
= -
⑴
⑵，
⑴- ⑵得，4
12
y =
，
解得，
3
y =
，
把
3
y =
代入⑵得，
3
6
x -
= - ，
解得，
3
x = - ；
∴x
y
，的值互为相反数，故①正确；
当
5
1
x
y
=
= -
是方程组的解，则
5
3
1
4
5 1
3
a
a
+ ´ -
=
-
+ =
⑴
⑵
，
∴解⑴得，
2
a =
；
解⑵得，
2
a =
；故②正确；
当
1
a = - 时，方程组得
3
5
3
x
y
x
y
+
=
-
= -
⑴
⑵，
⑴- ⑵得，4
8
y =
，
解得，
2
y =
，
把
2
y =
代入⑵得，
2
3
x -
= - ，
解得，
1
x = - ，
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 37 页 共 61 页
∴
1
2
1
x
y
+
= - +
= ，故③正确；
方程组
3
4
3
x
y
a
x
y
a
+
=
-
-
=
⑴
⑵
，
⑴- ⑵得，
1
y
a
= -
，
∵1
4
y
£
£
，
∴1 1
4
a
£ -
£
，
解得，3
0
a
- £
£
，故④正确；
综上所述，正确的有：①②③④，共4 个，
故选：D ．
考点六：二元一次方程组中新定义问题
例6.定义：关于x，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
与bx
ay c
+
= 互为“对称二元一次方程”，其中a
b
¹
如
二元一次方程2
3
x
y
+
=
与二元一次方程
2
3
x
y
+
=
互为“对称二元一次方程”．
(1)直接写出二元一次方程4
5
x y
- = 的“对称二元一次方程” ；
(2)二元一次方程3
2
2025
x
y
+
=
与它的“对称二元一次方程”的公共解为
x
m
y
n
=
=
，求出m，n 的值．
【答案】(1)
4
5
x
y
+
-
=
(2)m 的值为405，n 的值为405
【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程4
5
x y
- = 的“对称二元一次方程”是
4
5
x
y
+
-
= ；
（2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程3
2
2025
x
y
+
=
的“对称二元一次方程”是
2
3
2025
x
y
+
=
，结合二元一次方程3
2
2025
x
y
+
=
与它的“对称二元一次方程”的公共解为
x
m
y
n
=
=
，可得出关于
m，n 的二元一次方程组，解之即可得出m，n 的值．
本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次
方程的“对称二元一次方程”是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程4
5
x y
- = 的“对称二元一次方程”是
4
5
x
y
+
-
= ．
故答案为：
4
5
x
y
+
-
= ；
（2）解：二元一次方程3
2
2025
x
y
+
=
的“对称二元一次方程”是2
3
2025
x
y
+
=
，
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 38 页 共 61 页
∵二元一次方程3
2
2025
x
y
+
=
与它的“对称二元一次方程”的公共解为
x
m
y
n
=
=
，
∴
3
2
2025
2
3
2025
m
n
m
n
+
=
+
=
，
解得：
405
405
m
n
=
=
．
答：m 的值为405，n 的值为405．
【变式6-1】定义：关于x，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
（其中a
b
c
¹
¹
）中的常数项c 与未知数x 系数a
互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax
by
c
+
=
“变更方程”为cx
by
a
+
=
．
(1)方程3
2
4
x
y
+
=
的“变更方程”为________；
(2)方程2
3
4
x
y
+
=
与它的“变更方程”组成的方程组的解为________；
(3)已知关于x，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
的系数满足
0
a
b
c
+
+
=
，且ax
by
c
+
=
与它的“变更方程”组成的
方程组的解恰好是关于x，y 的二元一次方程mx
ny
p
+
=
的一个解，求代数式
2025
m
n m
p n
p
+
-
+
+
的值．
【答案】(1)4
2
3
x
y
+
=
(2)
1
7
2
x
y
= -
ï
=
ï
(3)2025
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，
理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“变更方程”的定义可得方程即可；
（2）联立方程组求解即可；
（3）根据题意，先联立方程组，求出x，y 的值，代入方程得到m
n
p
+
= -
，代入代数式化简求值即可．
【详解】（1）解：方程3
2
4
x
y
+
=
的“变更方程”为4
2
3
x
y
+
=
，
故答案为：4
2
3
x
y
+
=
；
（2）解：
4
2
3
3
2
4
x
y
x
y
+
=
+
=
①
②，
①- ②的：
1
x = - ，
把
1
x = - 代入①得：4
2
3
y
- +
=
，
解得：
7
2
y =
，
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 39 页 共 61 页
∴方程组的解为：
1
7
2
x
y
= -
ï
=
ï
，
故答案为：
1
7
2
x
y
= -
ï
=
ï
；
（3）解：∵
0
a
b
c
+
+
=
，
∴a
c
b
+
= - ，
方程ax
by
c
+
=
与它的“变更方程”组成的方
程组为
ax
by
c
cx
by
a
+
=
+
=
，解得
1
1
x
y
= -
= -
，
∴把
1
1
x
y
= -
= -
代入mx
ny
p
+
=
可得m
n
p
-
-
=
，即m
n
p
+
= -
，
∴
2
2
2
2
2025
2025
(
)
2025
2025
2025
m
n m
p n
p
pm
pn
p
p m
n
p
p
p
+
-
+
+
= -
-
-
+
= -
+
-
+
=
-
+
=
，
【变式6-2】对于关于x ，y 的二元一次方程组
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
a x
b y
c
+
=
+
=
（其中
1a ，
1b ，
1c ，
2a ，
2b ，
2c 是常数），给
出如下定义：若该方程组的解满足
1
x
y
+
= ，则称这个方程组为“开心”方程组．
(1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）；
0
2
0
x
y
x
y
+
=
-
=
①
；
1
2
2
x
y
x
y
+
=
-
=
②
；
1
3
5
7
x
y
x
y
-
= -
+
=
③
(2)若关于x ，y 的方程组
2
5
4
3
5
2
5
x
y
k
x
y
k
+
=
+
+
=
-
是“开心”方程组，求k 的值；
(3)若对于任意的有理数m ，关于x ，y 的方程组
2
1
2
4
amx
b
y
m
x
y
+
-
=
+
=
都是“开心”方程组，求ab 的值．
【答案】(1)②
(2)
1
3
-
或5
-
(3)
1
4
-
或
1
12
-
【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据“开心”方程组的定义进行逐项分析，即可作答．
（2）先整理原方程为
3
8
7
k
x
y
+
+
=
，再结合“开心”方程组的定义，得出
1
x
y
+
= ，再代入
3
8
7
k
x
y
+
+
=
，进
行计算，即可作答．
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第 40 页 共 61 页
（3）先结合结合“开心”方程组的定义，得出
1
2
4
x
y
x
y
+
=
+
=
，然后解出
3
y = ，
2
x = - 或
5
y =
，
6
x = - ，再分别
代入
2
1
amx
b
y
m
+
-
=
，结合题意列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
1
x
y
+
= ，
∴
1
x
y
+
= ± ，
∵
0
2
0
x
y
x
y
+
=
-
=
①
中的
0
x
y
+
=
，
故①不是“开心”方程组；
∵
1
2
2
x
y
x
y
+
=
-
=
②
中的
1
x
y
+
=
∴②是“开心”方程组；
∵
1
3
5
7
x
y
x
y
-
= -
+
=
③
，
∴
1
y
x
=
+ ，
把
1
y
x
=
+ 代入3
5
7
x
y
+
=
，
得
3
5
1
7
x
x
+
+
=
，
解得
1
4
x =
，
把
1
4
x =
代入
1
y
x
=
+ ，
∴
1
5
1
4
4
y =
+ =
，
∵
1
5
3
1
4
4
2
x
y
+
=
+
=
¹ ，
故③不是“开心”方程组；
故答案为：②．
（2）解：∵
2
5
4
3
5
2
5
x
y
k
x
y
k
+
=
+
+
=
-
，
∴两式子相加得7
7
3
8
x
y
k
+
=
+
，
整理得
3
8
7
k
x
y
+
+
=
，
∵关于x ，y 的方程组
2
5
4
3
5
2
5
x
y
k
x
y
k
+
=
+
+
=
-
是“开心”方程组，
∴
1
x
y
+
= ，
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第 41 页 共 61 页
即3
8
1
7
k +
= ± ，
解得
1
3
k = -
或
5
k = - ；
（3）解：关于x ，y 的方程组
2
1
2
4
amx
b
y
m
x
y
+
-
=
+
=
都是“开心”方程组，
∴
1
2
4
x
y
x
y
+
=
+
=
即把
4
2
x
y
=
-
代入
1
x
y
+
= ，
得4
2
1
y
y
-
+
=
整理得4
1
y
-
= ，
∴4
1
y
-
= ± ，
故
3
y = 或
5
y =
，
当
3
y = 时，
4
2 3
2
x =
- ´ = - ；
∵
2
1
amx
b
y
m
+
-
=
，
∴
4
3
1
am
b
m
-
+
-
=
，
则4
3
3
0
am
b
m
-
+
- -
=
，
整理得
4
1
3
3
0
a
m
b
-
-
+
-
=
，
∵对于任意的有理数m ，关于x ，y 的方程组
2
1
2
4
amx
b
y
m
x
y
+
-
=
+
=
都是“开心”方程组，
∴4
1
0
a
-
- =
，
即
1
4
a = -
，
则3
3
0
b -
=
∴
1
b = ，
此时
1
1
1
4
4
ab = -
´ = -
；
当
5
y =
时，
4
2 5
6
x =
- ´
= - ；
∵
2
1
amx
b
y
m
+
-
=
，
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∴
12
5
1
am
b
m
-
+
-
=
，
则12
5
5
0
am
b
m
-
+
- -
=
，
整理得
12
1
5
5
0
a
m
b
-
-
+
-
=
，
∵对于任意的有理数m ，关于x ，y 的方程组
2
1
2
4
amx
b
y
m
x
y
+
-
=
+
=
都是“开心”方程组，
∴12
1
0
a
-
- =
，
即
1
12
a = -
，
则5
5
0
b -
=
∴
1
b = ，
此时
1
1
1
12
12
ab = -
´ = -
；
综上：ab 的值为
1
4
-
或
1
12
-
．
【变式6-3】定义：关于x
y
，的二元一次方程ax
by
c
+
=
（其中a
b
c
¹
¹
）中的常数项c 与未知数x 系数a 互
换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax
by
c
+
=
的”变更方程”为cx
by
a
+
=
．
(1)方程3
2
4
x
y
+
=
与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
(2)已知关于x
y
，的二元一次方程ax
by
c
+
=
的系数满足
0
a
b
c
+
+
=
，且ax
by
c
+
=
与它的“变更方程”组成的
方程组的解恰好是关于x
y
，的二元一次方程mx
ny
p
+
=
的一个解，求代数式
2024
m
n m
p n
p
+
-
+
+
的
值；
(3)已知整数，，
m
n
t 满足条件
8
t
n
m
<
<
，并且
10
2024
m
t x
y
m
t
-
+
=
+ 是关于x
y
，的二元一次方程
1
2024
2
2
n x
y
m
+
+
=
+
的“变更方程”，求m 的值．
【答案】(1)
1
7
2
x
y
= -
ï
=
ï
(2)2024
(3)
2
m =
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，
理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“变更方程”的定义可得4
2
3
x
y
+
=
，联立方程组求解即可；
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第 43 页 共 61 页
（2）根据题意，先联立方程组，结合
0
a
b
c
+
+
=
求出
1
1
x
y
= -
= -
，代入二元一次方程mx
ny
p
+
=
得m
n
p
-
-
=
，
m
n
p
+
= -
，代入代数式化简求值即可；
（3）根据题意可得
1
10
2
2
m
t
n
m
t
m
+ = +
- =
+
，分别求出
3
6
8
9
9
n
n
m
t
+
+
=
=
，
，根据
8
t
n
m
<
<
可得6
24
n
<
<
，由此
可求出1
3
m
<
<
，结合整数，，
m
n
t 即可求解．
【详解】（1）解：3
2
4
x
y
+
=
与它的“变更方程”为4
2
3
x
y
+
=
，
∴联立方程组为
3
2
4
4
2
3
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得，
1
7
2
x
y
= -
ï
=
ï
，
故答案为：
1
7
2
x
y
= -
ï
=
ï
；
（2）解：根据题意，ax
by
c
+
=
的”变更方程”为cx
by
a
+
=
，
∴联立方程组得，
ax
by
c
cx
by
a
+
=
+
=
，
解得，
1
x
a
c
y
b
= -
ï
+
=
ï
，
∵
0
a
b
c
+
+
=
，则a
c
b
+
= - ，
∴
1
b
y
b
-
=
= - ，即
1
1
x
y
= -
= -
，
∵
1
1
x
y
= -
= -
是二元一次方程mx
ny
p
+
=
的一个解，
∴m
n
p
-
-
=
，则m
n
p
+
= -
，
∴
2024
m
n m
p n
p
+
-
+
+
2024
pm
p n
m
n
= -
-
-
-
+
2024
pm
pm
= -
+
+
2024
=
；
（3）解：
10
2024
m
t x
y
m
t
-
+
=
+ 是关于x
y
，的二元一次方程
1
2024
2
2
n x
y
m
+
+
=
+
的“变更方程”，
∴
1
10
2
2
m
t
n
m
t
m
+ = +
- =
+
①
②，
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 44 页 共 61 页
①+ ②得，11
2
3
m
m
n
=
+
+ ，整理得，
3
9
n
m
+
=
，
把
3
9
n
m
+
=
代入①得，
3
1
9
n
t
n
+
+ = +
，整理得，
6
8
9
n
t
+
=
，
∵
8
t
n
m
<
<
，
∴6
8
3
8
9
9
n
n
n
+
+
<
< ´
，
解得，6
24
n
<
<
，
∵
9
3
n
m
=
- ，
∴6
9
3
24
m
<
-
<
，则1
3
m
<
<
，
∵m
n
t
，，是整数，
∴
2
m =
．
考点七：二元一次方程组的实际应用
例7.已知用2 辆A 型车和3 辆B 型车装满货物一次可运货23 吨；用3 辆A 型车和2 辆B 型车装满
货物一次可运货22 吨，某物流公司现有64 吨货物，计划同时租用A 型车m 辆，B 型车n 辆，一次运完，
且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)一辆A 型车和一辆B 型车装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案；
(3)若A 型车每辆租金1500 元/次，B 型车每辆租金2000 元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金
费．
【答案】(1)1 辆A 型车和1 辆B 型车装满货物一次可分别运货4 吨和5 吨；
(2)有3 种租车方案：方案一：A 型车11 辆，B 型车4 辆；方案二：A 型车6 辆，，B 型车8 辆；方案三：A
型车1 辆，B 型车12 辆；
(3)最省钱的租车方案是方案一：A 型车11 辆，B 型车4 辆，最少租车费为24500 元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合用2 辆A 型车和3 辆B 型车装满货物一次可运货23 吨；用3 辆A 型车和2 辆B 型车装满货物
一次可运货22 吨，进行列出二元一次方程组，再解得
4
5
x
y
=
=
，即可作答．
（2）结合某物流公司现有64 吨货物，计划同时租用A 型车m 辆，B 型车n 辆，一次运完，得
4
5
64
m
n
+
=
，结合m，n 均为正整数，进行作答即可；
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 45 页 共 61 页
（3）由（2）得出有3 种租车方案，再分别算出每种方案的费用，然后进行比较大小，即可作答．
【详解】（1）解：设1 辆A 型车和1 辆B 型车装满货物一次可分别运货x 吨和y 吨，
依题意，列方程组
2
3
23
3
2
22
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
4
5
x
y
=
=
，
答：1 辆A 型车和1 辆B 型车装满货物一次可分别运货4 吨和5 吨；
（2）解：∵计划同时租用A 型车m 辆，B 型车n 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，且由（1）得1
辆A 型车和1 辆B 型车装满货物一次可分别运货4 吨和5 吨，
∴4
5
64
m
n
+
=
，
∴
5
16
4
m
n
=
-
∵m，n 均为正整数，
∴
4
n =
时，
11
m =
；
8
n = 时，
6
m =
；
12
n =
时，
1
m = ；
∴有3 种租车方案：
方案一：A 型车11 辆，B 型车4 辆；
方案二：A 型车6 辆，，B 型车8 辆；
方案三：A 型车1 辆，B 型车12 辆；
（3）解：由（2）得出有3 种租车方案，
∵A 型车每辆需租金1500 元/次，B 型车每辆需租金2000 元/次，
∴方案一需租金：11 1500
4 2000
24500
´
+ ´
=
（元），
方案二需租金：6 1500
8 2000
25000
´
+ ´
=
（元），
方案三需租金：1 1500 12 2000
25500
´
+
´
=
（元），
∵25500
25000
24500
>
>
，
∴最省钱的租车方案是方案一：A 型车11 辆，B 型车4 辆，最少租车费为24500 元．
【变式7-1】已知：用2 辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2 辆B 型车载满货
物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰
好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 46 页 共 61 页
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A 型车每辆需租金100元/ 次，B 型车每辆需租金120元/ 次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租
车费．
【答案】(1)1 辆A 型车满载为3 吨，1 辆B 型车满载为4 吨
(2)方案一：租2 辆A 型车，7 辆B 型车；方案二：租6 辆A 型车，4 辆B 型车；方案三：租10 辆A 型车，
1 辆B 型车
(3)方案一：租2 辆A 型车，7 辆B 型车最省钱，最少租车费为1040 元
【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元
一次方程是解题的关键．
（1）设每辆A 型车、B 型车都载满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，根据题意，列出二元一次方程组即
可求解；
（2）根据题意，列出二元一次方程，再根据a
b
，都是正整数解答即可求解；
（3）分别求出每一种方案的费用即可求解；
【详解】（1）解：设每辆A 型车、B 型车都载满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，
依题意得，
2
10
2
11
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
3
4
x
y
=
=
，
答：1 辆A 型车载满货物一次可运3 吨，1 辆B 型车载满货物一次可运4 吨；
（2）解：由（1）得，3
4
34
a
b
+
=
，
∴
34
4
3
b
a
-
=
，
∵a
b
，都是正整数，
∴
10
1
a
b
=
=
或
6
4
a
b
=
=
或
2
7
a
b
=
=
，
∴有3种租车方案：
方案一：A 型车10 辆，B 型车1 辆；
方案二：A 型车6 辆，B 型车4 辆；
方案三：A 型车2 辆，B 型车7 辆；
（3）解：∵A 型车每辆需租金100 元/次，B 型车每辆需租金120 元/次，
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 47 页 共 61 页
∴方案一需租金：10 100 1 120
1120
´
+ ´
=
元；
方案二需租金：6 100
4 120
1080
´
+ ´
=
元；
方案三需租金：2 100
7 120
1040
´
+ ´
=
元；
∵1120
1080
1040
>
>
，
∴最省钱的租车方案是方案三，
答：租A 型车2 辆，B 型车7 辆，最少租车费为1040 元．
【变式7-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车
销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6 辆A 型汽车、5 辆B 型汽车的进价共计980 万
元；3 辆A 型汽车、7 辆B 型汽车的进价共计940 万元．
(1)求A ，B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若“五一”搞活动，该公司了解到A 、B 两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960
万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1 辆A 型汽车可获利6000 元，销售1 辆B 型汽车可获利4000 元，在（2）中的购
买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) A 型汽车每辆的进价为80万元，B 型汽车每辆的进价为100万元；
(2)共3 种购买方案，方案一：购进A 型车5 辆，B 型车12 辆；方案二：购进A 型车10 辆，B 型车8 辆；
方案三：购进A 型车15 辆，B 型车4 辆；
(3)购进A 型车15 辆，B 型车4 辆获利最大，最大利润是106000元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价= 单价´数量求出
三种购车方案获得的利润．
（1）设A 型汽车每辆的进价为x 万元，B 型汽车每辆的进价为y 万元，根据“6 辆A 型汽车、5 辆B 型汽车
的进价共计980 万元；3 辆A 型汽车、7 辆B 型汽车的进价共计940 万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A 型汽车m 辆，购进B 型汽车n 辆，根据总价= 单价´数量，即可得出关于m ，n 的二元一次方
程，结合m ，n 均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价= 单价´数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设A 型汽车每辆的进价为x 万元，B 型汽车每辆的进价为y 万元，
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第 48 页 共 61 页
依题意，得：
6
5
980
3
7
940
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
80
100
x
y
=
=
．
答：A 型汽车每辆的进价为80万元，B 型汽车每辆的进价为100万元；
（2）解：设购进A 型汽车m 辆，购进B 型汽车n 辆，
依题意，得：80 0.6
100 0.6
960
m
n
´
+
´
=
，
解得：
4
16
5
n
m
=
-
．
m
Q
，n 均为正整数，
\
1
1
5
12
m
n
=
=
，
2
2
10
8
m
n
=
=
，
3
3
15
4
m
n
=
=
\共3 种购买方案，方案一：购进A 型车5 辆，B 型车12 辆；方案二：购进A 型车10 辆，B 型车8 辆；方
案三：购进A 型车15 辆，B 型车4 辆；
（3）解：方案一获得利润：6000 5
4000 12
78000
´ +
´
=
（元) ；
方案二获得利润：6000 10
4000 8
92000
´
+
´ =
（元) ；
方案三获得利润：6000 15
4000 4
106000
´
+
´
=
（元) ．
78000
92000
106000
<
<
Q
，
\购进A 型车15 辆，B 型车4 辆获利最大，最大利润是106000元．
【变式7-3】某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm 的KT 板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺
寸为40cm 15cm
´
，乙广告牌尺寸为40cm 35cm
´
．
(1)若该广告公司用1 块KT 板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3 倍，在不造成板材浪费的前提
下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
(2)求1 块KT 板的所有无浪费裁切方案；
(3)现需要甲、乙两种广告牌各500 块，该公司仓库已有488 块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰
好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切．
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 49 页 共 61 页
【答案】(1)裁切甲广告牌9 块，乙广告牌3 块
(2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16 块，乙广告牌0 块；方案2：甲广告牌9 块，乙广告牌3 块；方
案3：甲广告牌2 块，乙广告牌6 块
(3)需要购买该型号板材33 张；裁切办法：用其中29 张板材裁切甲广告牌464 张，用4 张板材裁切甲广告
牌36 张和乙广告牌12 块；或者用其中31 张板材裁切甲广告牌496 块，用2 张板材裁切甲广告牌4 块和乙
广告牌12 块
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和
二元一次方程组．
（1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1 块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3 倍”，建立等量
关系，列出二元一次方程求解即可；
（2）设一张该板裁切甲广告牌m 块，乙广告牌n 块，可得15
35
240
m
n
+
=
，求出非负整数解即可；
（3）根据题意，需裁切甲广告牌500 块，乙广告牌500
488
12
-
=
块，且板材恰好全部用完，可分三种情况
讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1 和2 相结合，设用x 张板材
裁切，每张裁切甲广告牌16 块，用y 张板材裁切，每张裁切甲广告牌9 块和乙广告牌3 块，可得二元一次
方程组，解方程组可得答案；③采用方案1 和3 相结合，设用x 张板材裁切，每张甲广告牌16 块，用y 张
板材裁切，每张裁切甲广告牌2 块和乙广告牌6 块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论．
【详解】（1）解：设裁切甲广告牌x 块，乙广告牌y 块，
依题意得：
15
35
240
3
x
y
x
y
+
=
=
解得
9
3
x
y
=
=
答：裁切甲广告牌9 块，乙广告牌3 块．
（2）解：设该板材裁切甲广告牌m 块，乙广告牌n 块，
根据题意得：15
35
240
m
n
+
=
可得，
7
16
3
m
n
=
-
∵m ，n 为非负整数，
∴
16
0
m
n
=
=
或
9
3
m
n
=
=
或
2
6
m
n
=
=
答：有以下三种裁切方案：
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 50 页 共 61 页
方案1：甲广告牌16 块，乙广告牌0 块；
方案2：甲广告牌9 块，乙广告牌3 块；
方案3：甲广告牌2 块，乙广告牌6 块．
（3）解：①采用方案3，根据题意，得：
500
2
250
¸
=
（张）
500
488
6
2
-
¸
=
（张）
250
2
252
+
=
（张）
需要购买该型号板材252 张，用其中250 张板材裁切甲广告牌500 块，用2 张板材裁切乙广告牌12 块．
②采用方案1 和2 相结合，设用x 张板材裁切，每张裁切甲广告牌16 块，用y 张板材裁切，每张裁切甲广
告牌9 块和乙广告牌3 块，
根据题意，得：
16
9
500
3
500
488
x
y
y
+
=
=
-
解得：
29
4
x
y
=
=
29
4
33
+
=
（张）
16 29
464
´
=
（张）
9 4
36
´
=
（张）
3 4
12
´
= （张）
需要购买该型号板材33 张，用其中29 张板材裁切甲广告牌464 张，用4 张板材裁切甲广告牌36 张，乙广
告牌12 块．
③采用方案1 和3 相结合，设用x 张板材裁切，每张甲广告牌16 块，用y 张板材裁切，每张裁切甲广告牌
2 块和乙广告牌6 块
根据题意,得：
16
2
500
6
500
488
x
y
y
+
=
=
-
解得：
31
2
x
y
=
=
31
2
33
+
=
（张）
16 31
496
´
=
（张）
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2 2
4
´ =
（张）
6 2
12
´
=
（张）
需要购买该型号板材33 张，用其中31 张板材裁切甲广告牌496 块，用2 张板材裁切甲广告牌4 块和乙广
告牌12 块．
综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33 张；裁切办法：用其中29 张板材裁切甲广告牌464
张，用4 张板材裁切甲广告牌36 张和乙广告牌12 块；或者用其中31 张板材裁切甲广告牌496 块，用2 张
板材裁切甲广告牌4 块和乙广告牌12 块．
➢复习提升
1．《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两，今有石立方三寸，中有玉，并重十
一斤、问玉、石重各几何？大意是：若有玉1 立方寸，重7 两；石1 立方寸，重6 两．今有石为棱长3 寸
的正方体（体积为27 立方寸），其中含有玉，总重11 斤（注：1 斤=16 两）．问玉、石各重多少？若设玉
重x 两，石重y 两，则可列方程为（ ）
A．
11
27
7
6
x
y
x
y
+
=
ï
+
=
ï
B．
176
27
7
6
x
y
x
y
+
=
ï
+
=
ï
C．
11
7
6
27
x
y
x
y
+
=
ï
+
=
ï
D．
176
7
6
27
x
y
x
y
+
=
ï
+
=
ï
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识．根据石头的总重及体积，即可得出
关于x，y 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵石头总重11 斤，
∴
11 16
x
y
+
=
´
，即
176
x
y
+
=
；
∵石头的体积为27 立方寸，
∴
27
7
6
x
y
+
=
．
∴根据题意可列出方程组
176
27
7
6
x
y
x
y
+
=
ï
+
=
ï
．
故选：B．
2．已知关于x，y 方程组
2
1
2
2
6
x
y
a
x
y
+
= +
+
=
的解满足
3
x
y
+
= - ，则a 的值
．
【答案】8
-
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 52 页 共 61 页
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，将方程组中两个方程左右两边分别相加，得
3
2
7
x
y
a
+
=
+
，
再根据题意可得方程9
2
7
a
- =
+
，解方程即可得到答案．
【详解】解：将方程组中两个方程左右两边分别相加，得
3
2
7
x
y
a
+
=
+
，
∵
3
x
y
+
= - ，
∴9
2
7
a
- =
+
，
∴
8
a = - ．
故答案为：8
- ．
3．已知方程组
2
5
26
4
x
y
ax
by
+
= -
-
= -
和方程组
3
5
36
8
x
y
bx
ay
-
=
+
= -
的解相同，则a
b
+
=
．
【答案】0
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
联立不含a 与b 的方程组成方程组求出x 与y 的值，代入剩下的方程求出a 与b 的值，代入原式计算即可得
到结果．
【详解】解：联立得：
2
5
26
3
5
36
x
y
x
y
+
= -
-
=
①
②
，
+
①
②得：5
10
x =
，即
2
x =
，
把
2
x =
代入①得：4
5
26
y
+
= -
，
解得：y = -6 ，
代入
4
8
ax
by
bx
ay
-
= -
+
= -
得：
2
6
4
6
2
8
a
b
a
b
+
= -
-
+
= -
，
解得：
1,
1
a
b
=
= - ，
则
1 1
0
a
b
+
= - + =
，
故答案为：0．
4．甲、乙两人共同解方程组
2
3
4
ax
by
cx
y
+
=
-
=
①
②，甲将①中的b 看成了它的相反数解得
1
1
x
y
=
= -
，乙抄错②中的c
解得
2
4
x
y
=
=
，则a
b
c
-
+
=
．
【答案】5
【分析】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键，根据甲
将①中的b 看成了它的相反数解得的值，代入可得到a
b
+
，c 的值，再根据乙抄错②中的c 得到的值，代
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 53 页 共 61 页
入可得到
2
+
a
b 的值，结合两个式子的值即可得到答案．
【详解】解：∵甲将①中的b 看成了它的相反数解得
1
1
x
y
=
= -
，代入原式得到：
2
3
4
a
b
c
+
=
+
=
，
∴
2
a
b
+
=
③，
1
c = ，
∵乙抄错②中的c 解得
2
4
x
y
=
=
，代入原式的①得到：2
4
2
a
b
+
=
，
∴
2
1
a
b
+
= ④，
∴
2
2
1
a
b
a
b
+
=
+
=
③
④，
解得：
3
1
a
b
=
= -
∴
3
1
1
3 1 1
5
a
b
c
-
+
=
- -
+ =
+ + =
，
故答案为：5．
5．若关于x ，y 的方程组
3
6
2
1
ax
y
x
y
b
-
=
+
= -
有无数个解，则a
b
- 的值为
．
【答案】3
-
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知二元一次方程组有无数组解时，方
程组的两个方程是同一个方程是解题的关键．
根据题意可知方程
3
6
ax
y
-
=
和方程2
1
x
y
b
+
= -
是同一个方程，据此求解a、b 的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于x ，y 的方程组
3
6
2
1
ax
y
x
y
b
-
=
+
= -
有无数组解，
∴方程
3
6
ax
y
-
=
和方程2
1
x
y
b
+
= -
是同一个方程，
∴
3
6
2
1
1
a
b
-
=
= -
，
∴
6,
3
a
b
= -
=
，则
3
a
b
+
= -
故答案为：3
- ．
6．已知关于x ，y 的方程组
2
5
2
3
x
y
mx
y
+
=
-
=
．
(1)方程2
5
x
y
+
=
有一个正整数解
1
3
x
y
=
=
，还有一个正整数解为________．
(2)若方程组的解满足
1
x
y
+
= ，求m 的值；
(3)无论实数m 取何值，关于x ，y 的方程
2
3
mx
y
-
=
总有一个固定的解，请求出这个解为________．
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第 54 页 共 61 页
【答案】(1)
2
1
x
y
=
=
(2)
3
4
m = -
(3)
0
3
2
x
y
=
ï
= -
ï
【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是
关键．
（1）求出二元一次方程的正整数解即可；
（2）解
1
2
5
x
y
x
y
+
=
+
=
得到
4
3
x
y
=
= -
，再代入
4
3
x
y
=
= -
即可求出答案；
（3）无论实数m 取何值，关于x ，y 的方程
2
3
mx
y
-
=
总有一个固定的解，与m 的取值无关，则
0
x =
，即
可求出这个解．
【详解】（1）解：2
5
x
y
+
=
一个正整数解为
2
1
x
y
=
=
，
故答案为：
2
1
x
y
=
=
（2）由题知
1
2
5
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
4
3
x
y
=
= -
，
将
4
3
x
y
=
= -
代入
2
3
mx
y
-
=
，
解得
3
4
m = -
（3）∵无论实数m 取何值，关于x ，y 的方程
2
3
mx
y
-
=
总有一个固定的解，
∴与m 的取值无关，则
0
x =
，
则2
3
y
-
=
∴
3
2
y = -
故答案为
0
3
2
x
y
=
ï
= -
ï
．
7．已知关于x ，y 的二元一次方程组
3
5
2
3
7
x
y
x
y
-
=
+
=
，求7
5
x
y
+
的值．
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本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ，y 的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算
量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例
如由
2
+
´
①
②
可得7
5
19
x
y
+
=
，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：
(1)已知方程组
2
4
2
5
x
y
x
y
+
=
+
=
①
②，由
2
+
´
①
②
可得__________；
(2)用“整体思想”解答：已知方程组
3
2
5
3
x
y
x
y
+
=
+
=
，求5
3
x
y
+
的值；
(3)请说明在关于x ，y 的方程组
2
2
4
1
2
2
x
y
a
x
y
a
-
=
-
+
=
-
中，无论a 取何值，x
y
+
的值始终不变．
【答案】(1) 4
5
14
x
y
+
=
(2)7
(3)见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法：
（1）由
2
+
´
①
②
，即可求解；
（2）由
2
´
-
①
②，即可求解；
（3）由
4
+
´
①
②
，得6
6
7
x
y
+
=
，即可求解．
【详解】（1）解：由
2
+
´
①
②
可得：4
5
14
x
y
+
=
；
故答案为：4
5
14
x
y
+
=
，
（2）解：
3
2
5
3
x
y
x
y
+
=
+
=
①
②
由
2
´
-
①
②得：
2 3
2
5 2
3
x
y
x
y
+
-
+
= ´ - ，
解得：5
3
7
x
y
+
=
．
（3）解：
2
2
4
1
2
2
x
y
a
x
y
a
-
=
-
+
=
-
①
②
由
4
+
´
①
②
得：
2
2
2
4
4
1
2
4
x
y
x
y
a
a
-
+
+
´
=
- +
-
´
，
整理得：6
6
7
x
y
+
=
，
7
6
x
y
\ +
=
，
\无论a 取何值，x
y
+
的值始终不变．
8．对于有理数x，y，定义新运算：*
x
y
ax
by
=
+
，x
y
ax
by
Ä
=
-
，其中a，b 是常数．例如，
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3*2
3
2
a
b
=
+
，2
1
2a
b
Ä =
- ，
已知3*2
1
= - ，2
1
4
Ä =
，则根据定义可以得到：
3
2
1
2
4
a
b
a
b
+
= -
-
=
(1) a =_______，b = _______；
(2)若
*2
10
x
y
x
y
+
Ä
=
，求x
y
-
的值；
(3)若关于x，y 的方程组
*
8
5
x
y
m
x
y
m
=
+
Ä
=
的解也满足方程
9
x
y
-
=
，求m 的值；
(4)若关于x，y 的方程组
1
1
1
2
2
2
*
a x b y
c
a x
b y
c
=
Ä
=
的解为
12
5
x
y
=
=
，则关于x，y 的方程组
1
1
1
2
2
2
4
*5
4
5
a
x
y
b
x
y
c
a
x
y
b
x
y
c
+
-
=
ï
+
Ä
-
=
ï
的
解为_______．
【答案】(1)1，2
-
(2)5
(3)
1.5
m =
(4)
2
1
x
y
=
=
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方
程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）用加减消元法解方程组即可；
（2）由
1
2
a
b
=
= -
，得到*
2
x y
x
y
=
-
，
2
x
y
x
y
Ä
=
+
，代入
*2
10
x
y
x
y
+
Ä
=
，求解即可；
（3）根据题意得出关于x、y 的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程
9
x
y
-
=
求解即可；
（4）把所求方程组写成
1
1
1
2
2
2
4
4
*
5
5
4
4
5
5
a
x
y
b
x
y
c
a
x
y
b
x
y
c
+
-
=
ï
+
Ä
-
=
ï
，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答
即可．
【详解】（1）解：
3
2
1
2
4
a
b
a
b
+
= -
-
=
①
②
，
2
+
´
①
②
，得
7
7
a =
，
∴
1
a = ，
把
1
a = 代入②，得
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2
4
b
-
=
，
∴
2
b = - ，
解得：
1
2
a
b
=
= -
；
故答案为：1，2
- ；
（2）解：∵
1
2
a
b
=
= -
，
∴*
2
x y
x
y
=
-
，
2
x
y
x
y
Ä
=
+
，
∵
*2
10
x
y
x
y
+
Ä
=
，
∴
4
2
10
x
y
x
y
-
+
+
=
，
解得
5
x
y
-
=
；
（3）解：依题意得
2
8
2
5
x
y
m
x
y
m
-
=
+
+
=
，
解得：
3
4
2
x
m
y
m
=
+
=
-
，
∵
9
x
y
-
=
，
∴3
4
2
9
m
m
+
-
+
=
，
解得：
1.5
m =
；
（4）解：由方程组
1
1
1
2
2
2
4
*5
4
5
a
x
y
b
x
y
c
a
x
y
b
x
y
c
+
-
=
ï
+
Ä
-
=
ï
得：
1
1
1
2
2
2
4
4
*
5
5
4
4
5
5
a
x
y
b
x
y
c
a
x
y
b
x
y
c
+
-
=
ï
+
Ä
-
=
ï
，
∵
1
1
1
2
2
2
*
a x b y
c
a x
b y
c
=
Ä
=
的解为
12
5
x
y
=
=
，
∴
4
4
12
5
5
5
x
y
x
y
+
=
-
=
，
解得：
2
1
x
y
=
=
．
9．某铁件加工厂用如图1 所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2
所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 58 页 共 61 页
(1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1 个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张；
(2)现有长方形铁片100 张，正方形铁片50 张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖
式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33 张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工
成铁盒，每张铁板有两种裁法：
方法1：可以裁出3 个长方形铁片；
方法2：可以裁出4 个正方形铁片．
若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？
【答案】(1)7，3
(2)加工的竖式铁容器有10 个，横式铁容器各有20 个
(3)18 个
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
（1）如图得加工1 个竖式铁容器需要长方形铁片4 张，正方形铁片1 张；加工1 个横式铁容器需要长方形
铁片3 张，正方形铁片2 张，即可求解．
（2）设加工的竖式铁容器有x 个，横式铁容器各有y 个，根据题意列出方程组求解即可．
（3）设做长方形铁片的铁板m 张，做正方形铁片的铁板n 张，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：如图，加工1 个竖式铁容器需要长方形铁片4 张，正方形铁片1 张；加工1 个横式铁容
器需要长方形铁片3 张，正方形铁片2 张．
故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7 张，正方形铁片3 张，
故答案为：7，3；
（2）设加工的竖式铁容器有x 个，横式铁容器各有y 个，由题意得
4
3
100
2
50
x
y
x
y
+
=
+
=
解得
10
20
x
y
=
=
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故加工的竖式铁容器有10 个，横式铁容器各有20 个；
（3）解：设做长方形铁片的铁板m 张，做正方形铁片的铁板n 张，由题意得
33
3
2 4
m
n
m
n
+
=
=
´
解得
24
9
m
n
=
=
∴在这33 张铁板中，24 张做长方形铁片可做24 3
72
´ =
（片），9 张做正方形铁片可做9 4
36
´
=
（片），
∴可做铁盒72
4
18
¸
=
（个）．
10．已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额：
牛奶（箱）
咖啡（箱）
金额（元）
甲
2
1
110
乙
5
4
350
(1)求牛奶与咖啡每箱的原价；
(2)五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选．
方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表：
单次购买数量（箱）
不超过20 箱
20 箱以上但不超过40 箱
40 箱以上
价格（元/箱）
不打折
打9.6 折
打9 折
方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受．
①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50 箱，共付款2430 元，且第二次购买量大于第一次购
买量，求第二次购买的数量；
②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300 元，其中购买
打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的1
4 ，则此次 按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案）
【答案】(1)牛奶每箱为30 元，咖啡每箱为50 元
(2)①第二次购买咖啡35 箱；②11
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设牛奶一箱x 元，咖啡一箱y 元，再列出正确的方程组，然后解得
30
50
x
y
=
=
，即可作答．
（2）①先理解某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50 箱，共付款2430 元，且第二次购买量大
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专题04 二元一次方程组（解析版）
第 60 页 共 61 页
于第一次购买量，再设第一次购买咖啡a 箱，第二次购买咖啡b 箱，b
a
>
，进行分类讨论，并列出相应的
方程组，即可作答．
②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为1
4 m ，再算出打折牛奶价格以及打折咖啡价格，即打折
咖啡价格与牛奶原价相同，设原价咖啡为n 箱，则打折咖啡与原价牛奶共有3
4 m
n
æ
ö
-
ç
÷
è
ø箱，再列式进行计算，
即可作答．
【详解】（1）解：设牛奶一箱x 元，咖啡一箱y 元，
由题意得
2
110
5
4
350
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
30
50
x
y
=
=
，
答：牛奶每箱为30 元，咖啡每箱为50 元；
（2）解：①∵某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50 箱，共付款2430 元，且第二次购买量大
于第一次购买量，
∴设第一次购买咖啡a 箱，第二次购买咖啡b 箱，b
a
>
，
∴当1
10
a
<
<
时，则40
50
b
<
<
，
∴50 0.9
45
´
=
（元）
有
50
50
45
2430
a
b
a
b
+
=
+
=
解得：
36
14
a
b
=
=
（不合题意，舍去），
当10
20
a
£
£
时，则30
40
b
<
<
，
∴50
0. 96
48
´
=
（元）
有
50
50
48
2430
a
b
a
b
+
=
+
=
解得：
15
35
a
b
=
=
，
当20
25
a
<
<
时，则25
30
b
<
<
，
有
50
48
48
2430
a
b
a
b
+
=
+
=
，
方程组无解．
∴第二次购买咖啡35 箱．
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专题04 二元一次方程组（解析版）
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②设牛奶与咖啡总箱数为m，则打折的牛奶箱数为1
4 m
打折牛奶价格为：30 0.6
18
´
=
（元），打折咖啡价格为：50
0.6
30
´
=
（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为n 箱，则打折咖啡与原价牛奶共有3
4 m
n
æ
ö
-
ç
÷
è
ø箱，
由题意得：
1
3
18
30
50
1300
4
4
m
m
n
n
æ
ö
´
+
´
-
+
=
ç
÷
è
ø
整理得：27
20
1300
m
n
+
=
，
∵a、b 均为正整数，得
20
30
m
n
=
=
或
40
11
m
n
=
=
∵m
n
>
，
∴
40
m =
，
11
n =
，
即此次按原价采购的咖啡有11 箱
故答案为：11．
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