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专题02 一次方程组
核心考点聚焦
【知识点1】二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所含未知项
的次数都是一次．
【知识点2】二元一次方程的解
（1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以
二元一次方程有无数解．
【知识点3】 二元一次方程组
（1）概念：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
如：
是符合概念的二元一次方程组，但
就不是二元一次方程组
【知识点4】 二元一次方程组的解
（1）概念：二元一次方程组中各个方程的公共解 ，叫做这个二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．（也有可能无解或有无数组解）
【知识点5】二元一次方程组的解法
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的
一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入
另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，
就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
【知识点6】二元一次方程组应用类型
类型一：鸡兔同笼问题
类型二：牛羊值金问题
类型三：几何问题
类型四：球赛积分问题
类型五：盈不足问题
类型六：数字问题
类型七：年龄问题
类型九：方案问题
类型十：分段计费问题
类型十一：行程问题
【知识点7】解三元一次方程组思路
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程.
消元方法仍是利用代入消元法和加减消元法.
题型归纳
题型一、已知一次方程（组）的解求参数
1．（24-25 七年级下·重庆·期中）已知
是二元一次方程
的解，则
的值是( )
A．2
B．
C．4
D．
2．（23-24 七年级下·河南周口·阶段练习）方程组
的解为
则■+▲= ．
3．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）若方程组
的解是
，则
（ ）
A．2
B．
C．0
D．4
4．（24-25 七年级下·北京·期中）若
是二元一次方程
的一个解，则
的值是
．
题型二、一次方程组的特殊解法
5．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期中）若方程组
的解是
，则方程组
的解是 ．
6．（24-25 七年级下·福建泉州·期中）若方程组
的解为
，则方程组
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：
，
，其
中a，b 是常数．例如，
，
已知
，
，则根据定义可以得到：
(1)
_______，
_______；
(2)若
，求
的值；
(3)若关于x，y 的方程组
的解也满足方程
，求m 的值；
(4)若关于x，y 的方程组
的解为
，则关于x，y 的方程组
的解为_______．
8．（23-24 七年级下·重庆沙坪坝·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用
了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为
，即
，③
把方程①代入③得
，∴
，
把
代入①得
，
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y 满足方程组
求整式
的值．
题型三、一次方程组错解复原问题
9．（2025 七年级下·全国·专题练习）小明，小琪两人一起解方程组
，由于小明看错了方
程①中的
，得到的方程组的解为
，小琪看错了方程②中的
，得到的方程组的解为
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两人共同解方程组
由于甲看错了方
程①中的a，得到方程组的解为
，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
，则
的
值 ．
11．（24-25 七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时解方程组
；甲看错了b，求得的解为
；乙看错了a，求得的解为
；你能求出原题中正确的a，b 吗？
12．（23-24 八年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组
，甲正确解得
，乙
因为抄错c 的值，解得
，则
．
题型四、代入消元法、加减消元法
13．（24-25 七年级下·湖北武汉·期中）用指定的方法解下列方程组
(1)
（代入法）
(2)
（加减法）
14．（24-25 七年级下·重庆·期中）解下列方程组．
(1)
(2)
15．（24-25 七年级下·四川南充·期中）用指定的方法解下列方程组：
(1)
（代入法）
(2)
（加减法）
16．（24-25 七年级下·重庆潼南·期中）解二元一次方程组：
(1)
；
(2)
．
题型五、解三元一次方程组
17．（24-25 七年级下·云南昆明·期中）在等式
中，当
时，
；当
时，
；
当
时，
；求a，b，c 的值为（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
18．（24-25 七年级下·北京·期中）解方程组：
(1)
；（用代入法解）
(2)
；
(3)
．
题型六、一元一次方程与实际问题
类型1 方案问题
19．（24-25 七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1 辆A
型车和2 辆
型车装满物资一次可运10 吨：用2 辆A 型车和1 辆
型车装满物资一次可运11 吨.该批物资
共有31 吨，物流公司计划同时租用A 型车
辆，
型车
辆，一次运完，且恰好每辆车都装满.
(1)1 辆A 型车和1 辆
型车都装满资物，一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；
(3)若此次运输中，1 辆A 型车的租金为120 元，1 辆
型车的租金为150 元，请选出最省钱的租车方案，并
求出租车费.
20．（24-25 七年级上·湖南娄底·期末）某中学为使学生进一步领会“社会主义是拼出来、干出来、拿命换
来的，不仅过去如此，新时代也是如此．没有老一辈人拼命地干，没有他们付出的鲜血乃至生命，就没有
今天的幸福生活，我们要永远铭记他们”的精神，组织该校七年级学生去参观红旗渠纪念馆，原计划租用
45 座客车若干辆，但会有15 人没有座位；若租用同样数量的60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好
坐满．已知45 座客车租金为每辆220 元，60 座客车租金为每辆300 元，问：
(1)这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45 座客车？
(2)若租用同一种车，要使每名学生都有座位，应该怎样租用才合算？
类型2 行程问题
21．（24-25 七年级上·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距
的两地相向而行．
(1)若小贵比小港先走
，则他们在小港出发
后相遇；若小港比小贵先走
，则他们在小贵出发
后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？
(2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么
后两人还相距多少千米？
22．（2024 八年级上·全国·专题练习）甲、乙两车分别从相距
千米的
，
两地相向而行．
(1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2 倍，若甲车比乙车提前2 小时出发，则甲车出发后3
小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
(2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30 千米？
类型3 工程问题
23．（22-23 七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段
全长1957 米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进
米，
经过6 天施工，甲、乙两组共掘进57 米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进
米，乙组平均
每天比原来多掘进
米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
24．（23-24 七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完
成，需付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付费用3480 元．
(1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？
(2)若装修完后，商店每天可盈利200 元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，
你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由．
类型4 数字问题
25．（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字
为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个
新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．
(1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y 的代数式表示）
(2)根据题意，求原来的两位数．
26．（24-25 七年级下·山东济宁·阶段练习）算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的
算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代
表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个
位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与
十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2 等于十位数字加2，请求出这个三位数．
类型5 年龄问题
27．（23-24 七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，
年后父亲的年龄是玲玲的倍，
今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？
28．（23-24 七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才
2 岁，你长到我这么大时，我就35 岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
类型6 分配问题
29．（23-24 七年级下·全国·课后作业）某工厂现有某种原料
，可以用来生产
两种产品，每生产
种产品需这种原料
，生产费用为900 元；每生产
种产品需这种原料
，生产费用为1000 元．
可用来生产这两种产品的资金为53 万元，
两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？
先列表分析数量关系再解答．
30．（23-24 七年级下·全国·课后作业）一套仪器由1 个A 部件和2 个B 部件构成．用
钢材可做40 个A
部件或240 个B 部件．现要用
钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A 部件和B 部件？恰好
配成这种仪器多少套？
类型7 销售利润问题
31．（2025 七年级下·湖北·专题练习）一天，某商贩花180 元从蔬菜批发市场批发了西红柿和土豆共
到菜市场去卖，西红柿和土豆当天的批发价和零售价如下表：
品名
西红柿
土豆
批发价（元
）
3
2
零售价（元
）
5
3.5
(1)求该商贩批发的西红柿和土豆的数量各是多少？
(2)若该商贩当天将购买的西红柿和土豆全部卖完，请问该商贩可赚多少元？
32．（24-25 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）文具店老板从厂家购进
、
两种笔记本，
种笔记本每本
进价为
元，
种笔记本每本进价为元，共购进
本，花了
元，且文具店
种笔记本售价元，
种笔记本售价
元．
(1)该文具店购进
、
两种笔记本各多少本?
(2)将购进的
本笔记本全部售完可获利多少元?
类型8 和差倍分问题
33．（23-24 七年级下·全国·课后作业）某校七年级举行百科知识竞赛，参加竞赛的人数是未参加人数的
倍，如果该年级学生减少
人且未参加竞赛的学生增加
人，那么参加竞赛的与未参加的人数的比为
．
求原来参加竞赛的人数及未参加的人数．
34．（24-25 七年级下·全国·课后作业）某景点的门票价格如下表：
购票人数
90 及以上
门票单价/元
48
45
42
(1)某校七年级（1）（2）两个班共有82 人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40
且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807 元，两个班各有多少名学生？
(2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，
但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434 元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付
门票费4032 元．问八年级、九年级各报名多少人．
类型9 几何问题
35．（24-25 八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，长方形
中放置8 个形状和大小都相同的小长方形
（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．
36．（23-24 七年级下·全国·课后作业）如图，长方形由7 个正方形组成，正方形
的边长为
，正方形
B 的边长为
．求此长方形的面积．
类型10 古代问题
37．（24-25 七年级下·河南信阳·期中）我国明代数学家程大位
所著《算法统宗》中记载了
“二果问价”问题：
九百九十九文钱，甜果苦果买一千．
甜果九个十一文，苦果七个四文钱．
试问甜苦果几个，又问各该几个钱．
意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦
果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题．
38．（2025·吉林长春·一模）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，
七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：
“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则
还差八两”．问客人数和银两分别是多少？
类型11 其他问题
39．（24-25 七年级下·重庆·期中）端午节即将来临，甲、乙两人相约一起包粽子送亲朋好友．已知甲、乙
两人一小时共包
个粽子，甲每小时包粽子的个数比乙每小时包粽子的个数多个．
(1)问甲、乙两人每小时各包多少个粽子？
(2)现在两人共计划包
个粽子，先由两人一起包一段时间，剩下的全部由甲单独包完，恰好共用了个
小时全部完成，求两人合作的时间．
40．（2024 七年级上·江苏苏州·专题练习）一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，
如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30 分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水阀及两个排水阀，
则10 分钟能把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时开三个排水阀，需要几分钟才能排完水池的水？
41．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）如图，A，B 两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公
司，它到A 地的距离
，到B 地的距离是
．这家公司从A 地购买当地特产大货桃运回公司，制
成黄桃罐头后全部销售到B 地．已知黄桃的进价为每吨2000 元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨
4000 元；公路运送水果的运价为
元
，运送罐头的运价为
元
：铁路运送水果的运价为
元
，运送罐头的运价为
元
．若这两次运输（第一次：A 地→公司；第二次：公司→B 地）共
支付公路运费720 元，铁路运费990 元．
(1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？
(2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
真题感知
一、单选题
1．（24-25 七年级下·福建泉州·期中）已知
、
、
是三个非负实数，满足
，
，
若
，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（24-25 七年级下·河北石家庄·期中）已知关于
、
的方程组
，给出下列结论：①
是方程组的解；②无论
取何值，
、
的值都不可能互为相反数；③当
时，方程组的解也是
方程
的解：④
的都为自然数的解有4 对．其中正确的为（ ）
A．①②③
B．②③
C．③④
D．②③④
3．（24-25 七年级下·河南漯河·期中）解关于
，
的方程组
可以用
，消去未知
数
，也可以用
消去未知数
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 七年级下·四川内江·期中）在
中，当
时，
；当
时，
；则当
时，
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．5
5．（24-25 七年级下·江苏南京·期中）如图，
的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、
各列及对角线上的三个数之和均相等．
的值分别是（ ）
A．
，0
B．1，
C．
，1
D．1，0
6．（24-25 七年级下·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3 个如图②的
图形和8 个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与
整个图形的面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 七年级下·福建泉州·期中）若方程组
的解是
，则方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 七年级下·山东威海·期中）对于任意有理数
，
，，
，规定
．若
，
满
足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 七年级下·云南昆明·期中）已知
是方程
的一个解，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
10．（24-25 七年级下·浙江温州·期中）一辆小汽车和一辆公交车同时从相距126 千米的
，
两地出发相
向而行，经过45 分钟相遇，相遇时小汽车比公交车多行6 千米．设小汽车和公交车的速度分别为
千米小
时，
千米/小时，则下列方程组正确的是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．（24-25 七年级下·福建泉州·期中）若
，则
．
12．（24-25 七年级下·北京·期中）初一年级组织爱心义卖，某班销售物品中的笔记本售价为3 元/个、笔桶
售价为4 元/个，经过统计，这两种物品共售卖25 元，请问这两种物品各售卖多少个？ ．（写
出一种情况即可）
13．（24-25 七年级下·福建泉州·期中）若关于
的二元一次方程组
的解是
，
则关于
的二元一次方程组
的解是 ．
14．（24-25 七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知
为正整数，且方程组
的解
，
均为整
数，则
的值是 ．
15．（2025 七年级下·天津·专题练习）若
是方程组
的解，则
的值为 ．
三、解答题
16．（24-25 七年级下·四川自贡·期中）某运输公司现有190 吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B 两种
货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B 两种货车近期的两次运输记录，如下表：
A 货车（辆）
B 货车（辆）
防疫物资（吨）
第一次
12
8
360
第二次
5
4
160
(1)请问A、B 两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
(2)请你通过计算说明现在运输190 吨物资所有可行的运输方案．
17．（24-25 七年级下·北京西城·期中）第
届冬季奥运会于
年
月
日至
年
月
日在中
华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．冬奥会吉祥物“冰墩
墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种．已知购买
个小套装比购买个大套装少用
元；购
买个小套装和
个大套装，共需
元．
(1)求这两种套装的单价分别为多少元？
(2)某校计划正好用
元的资金购买这种陶制品小套装和大套装作为奖品，则该校最多可以购买大套装多
少个？
18．（24-25 七年级下·云南昆明·期中）【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．
如：已知实数
，
满足
，求
和
的值．
方法一：解方程组，分别求出
，
的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．
解法如下：
， 得：
，
，得：
．
比较：
方法一运算量较大，是常规思路；
方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组
，则
，
．
(2)对于实数
，
，定义新运算：
，其中
，
，是常数，等式右边是通常的加减法和
乘法运算．已知
，求
的值．
19．（24-25 七年级下·河北邯郸·期中）根据以下素材，探索完成任务．
装卸新宠，
来掌舵
随着
技术的发展，越来越多的行业引入机器人来高效、精准地完成工作，装卸机器人是物流自动化的
重要设备，广泛应用于港口和仓库，市面上原有型、
型两款机器人，后来又新推出升级版型机器人．
素材1：一台型机器人工作
小时，一台
型机器人工作
小时一共可卸
件货物；一台型机器人工
作小时，一台
型机器人工作
小时一共可卸
件货物．
素材2：某大型仓库需要一小时内完成
件货物的卸货工作．
素材3：三种机器人卸货的工作效率和耗电量如表所示：
三种机器人的工作效率和耗电量
型号
工作效率（件/小时）
耗电量（度小时）
【任务1】求
和
的值．
【任务2】仓库使用若干台
两种型号机器人恰好一小时完成本次卸货任务，总共要耗电_______度．
【任务3】该仓库引进型机器人后，工作效率得到提高．若采用
三种机器人同时进行卸货（每种
型号机器人均投入使用），且型机器人的台数是型机器人台数的一半，刚好
分钟完成该任务．
①请通过计算求出所有可行的安排方案；
②直接写出最省电方案的耗电量为_______度．
20．（2025 七年级下·山东·专题练习）解下列方程组：
(1)
；
(2)
．
