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专项训练06 一元一次方程中含参数问题
【知识点1 一元一次方程中含参数问题】
1. 解的情况判定：系数定乾坤
对于一元一次方程ax = b（a、b 可为含参表达式）：
- 唯一解：a≠0，解为x =
𝑏
𝑎。
- 无数解：a = 0 且b = 0，方程化为0*x = 0 ，任意实数均为解。
- 无解： a = 0 且b≠ 0，方程化为0*x = b（b≠0），无解。
> 关键：含参方程先化为标准形式ax = b ，再按上述原则分情况讨论。
2. 解的特征条件：正负、整数、相等
- 解的正负：先解出x = f(m)（含参表达式），再列不等式：
- x > 0、x < 0、x≥0 等。
- 解为整数： f(m) 为整数，常结合整除性求参数（如m 为整数，f(m)需能被某数整除）。
- 解相等：若两个含参方程的解相同，先分别解出x1 = f(m) 、x2 = g(m)，再令f(m) = g(m)求参数。
3. 同解与错解问题：代入法破题
- 同解方程：
- 两个方程解相同，可用“解一方程，代入另一方程”求参数；
- 或分别用含参式子表示解，令其相等。
- 错解问题（看错系数）：
- 如“看错a 得解 x0”，则将x0 代入未看错的方程部分，反求参数；
- 关键：分清哪个系数看错，哪个没看错，代入正确的方程。
【题型1 利用一元一次方程的定义求字母参数】
1．已知方程
2
3
2026
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，则m 的值为______．
2．如果关于x 的方程
1
2
4
7
m
m
x
是一元一次方程，则m _____．
.
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【题型2 利用一元一次方程的解求字母或代数式的值】
3．若
2
x
是关于x 的一元一次方程
1
2
mx
n
的解，则3
4
2
m
n
的值是______．
4．若
3
x
是关于x 的一元一次方程
2
0
ax
b
的解，则代数式4
3a
b
的值为_________．
【题型3 利用一元一次方程的解相同求字母参数】
5．若关于x 的方程2
3
1
0
x
m
和方程
5
3
1
2
x
同解，则m 的值等于______．
6．若方程
2
1
3
8
x
x
的解与关于x 的方程
1
2
3
x
x
m
的解相同，则m 的值为_____．
【题型4 求一元一次方程含字母参数的方程的解】
7．若关于x 的方程
1
3
2
2026
x
x
a
的解为
4
x ，则关于y 的方程
1
3
2
2
2
2026
y
y
a
的解为
________．
8．关于x 的一元一次方程
2026
2026
x
x
a
的解是
10
x
，则关于y 的一元一次方程
2
2026
4052
2026
y
y
a
的解是___________．
【题型5 一元一次方程含字母参数的解为整数解问题】
9．关于x 的方程2
1
2
7
ax
x
的解是正整数，则满足条件整数a 的和是 ．
10．已知关于x 的方程
1
2
1
kx
x
的解为整数，且k 为整数，则满足条件的所有k 值的和为
．
【题型6 一元一次方程含字母参数的新定义型问题】
11．我们定义：若关于x 的一元一次方程ax
b
的解满足x
b
a
，则称该方程是“差解方程”，例如：3
4.5
x
的解为
4.5
3
1.5
x
，则该方程3
4.5
x
就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程2
4
x
_______差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于x 的一元一次方程4
3
x
m
是“差解方程”，求m 的值；
【知识应用】
（3）已知关于x 的一元一次方程4x
ab
a
是“差解方程”，求
3 ab
a
的值．
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12．中考新趋势·新定义 定义：关于x 的方程
0
ax
b
与方程
0
bx
a
（a，b 均为不等于0 的常数）称互
为“反对方程”，例如：方程2
1
0
x
与方程
2
0
x
互为“反对方程”．
(1)若关于x 的方程2
3
0
x
与方程3
0
x
c
互为“反对方程”，则c _______；
(2)若关于x 的方程2
3
x
d
与其“反对方程”的解都是整数，求整数d 的值；
(3)已知关于x 的一元一次方程2026
5
7
2027 x
x
m
的解为
1
2
x
，那么关于y 的一元一次方程
2026
5
2
7
2027
m
y
的解为_______．（请直接写出答案）
1．若关于x 的方程3
10
x
a
的解为
2
x
，则a 的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．已知方程2
5
0
a
x
是关于x 的一元一次方程，则a 的值是（ ）
A．1
B．1
C．1
D．2
3．王涵同学在解关于x 的方程1
9
3
2
2
x
a
时，误将“ 1
2 x ”看作“ 1
3 x ”，得到方程的解为
9
2
x
，那么原方程
的解为（ ）
A．
2
x
B．
3
x
C．
3
x
D．
1
x
4．已知关于x 的方程
2
2
6
3
ax
x
x
有整数解，则a 的所有可能的取值的和为( )
A．18
B．23
C．32
D．39
5．下列结论：
①若
1
x 是关于x 的方程
0
a
bx
c
的一个解，则
0
a
b
c
；
②若(
1)
(
1)
a x
b x
有唯一的解，则a
b
；
③若
2
b
a
，则关于x 的方程
0(
0)
ax
b
a
的解为
1
2
x
；
④若
1
a
b
c
，且
0
a
，则
1
x 一定是方程
1
ax
b
c
的解；
其中结论正确个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
6．若
3
x
是方程2
10
x
a
的解，则a
．
7．小玉在解方程2
1
1
3
2
x
x
a
去分母时，方程右边的“ 1
”项没有乘6．因而求得的解是
10
x
，则
a ．
8．若关于x 的方程2
2
3
6
kx
m
x
nk
，无论k 为任何数时，它的解总是
1
x ，则m
n
．
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9．若方程
1
2
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，则代数式
2024
1
m
m
的值是 ．
10．k 是一个正整数，关于x 的一元一次方程
2
9
2
kx
k
x
有正整数解，则k
．
11．已知关于x 的方程
4
3
1
6
2
1
x
a
x
a
的解与
5
3
4
10
x
x
的解互为相反数．
(1)求a 的值；
(2)求代数式
3
a
a
的值．
12．（1）已知
4
x
是方程
3
2
2
x
m
x
m
的解，求m 的值；
（2）方程
2 1
1
x
x
的解与方程
2
3
x
m
x
m
的解相同，求m 的值．
13．【定义】若关于x 的一元一次方程 ax
b
的解满足x
b
a
，则称该方程为“友好方程”．例如：方程2
4
x
的解为
2
x ，而4
2
2
，则该方程为“友好方程”．
(1)在方程①1
1
2 x ；②
16
4
3
x = -
中，为“友好方程”的是_____；（填序号）
(2)若关于x 的一元一次方程2
2
1
x
m
是“友好方程”，求m 的值．
1．若
1
x 是一元一次方程
2
1
ax
b
的解，则5
2
4
a
b
的值为（ ）
A．3
B．3
C．4
D．4
2．若关于x 的方程
2026
2024
6
2026
1
k
x
x
的解是整数，则整数k 的取值有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．3 个
D．2 个
3．已知关于x 的一元一次方程2025
3
4
3
x
x
b
-
=
+
的解为
3
x
，则关于y 的一元一次方程
(
)
(
)
2025 1
3
4 1
3
y
y
b
-
+ =
-
-
的解为（ ）
A．
4
y
B．
5
y
C．
4
y
D．
5
y
4．嘉嘉同学在解关于x 的方程
1
3
3
6
2
x
a
x
时，由于粗心大意，误将等号左边的“
1
6
x
”看作了
“
1
6
x
”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为
2
x
，则原方程的解是（ ）
A．
3
4
x
B．
4
3
x
C．
4
5
x
D．
5
4
x
5．如果关于x 的方程
2
1
2
1
m
x
x
无解，那么m 满足的条件是 ．
6．已知关于x 的方程
4
2
1
6
3
2
ax
x
x
的解是非正整数，则符合条件的所有整数a 的和是
．
7．例如“已知关于x 的方程2x
a
b
的解为
2
x
，求关于y 的方程2(
2)
y
a
b
的解．”可以这样解：可
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得
2
2
y
，所以
4
y
．若关于x 的方程2
x
m
n
的解是
3
x
，且式子(
)
2
a
b
m
n
成立，则
5
2(2
) 3
a
a b
b
的值为
．
8．已知关于x 的一元一次方程
1
3
2
2025 x
x
b
的解为
5
x
，那么关于y 的一元一次方程
1
2
1
4
1
2025
y
y
b
的解为
．
9．已知关于x 的一元一次方程
1
(
5)
3
0
n
m
x
m
，其中m 为整数
(1)求n 的值
(2)若该方程与方程2
5
3(
1)
x
x
同解，求m 的值
(3)若该方程有整数解，求m 的值
10．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立
信方程”．
(1)若“立信方程” 2
1
1
x 的解也是关于x 的方程
1
2
3
x
m
的解，则m ___；
(2)若关于x 的方程
2
3
4
0
x
x
的解也是“立信方程”
2
6
2
3
0
x
x
n
的解，则n ______；
(3)若关于x 的方程
3
2
2
3
5
4
ax
a
a
a
的解也是关于x 的方程9
3
14
x
kx
的解，且这两个方程都是“立
信方程”，求符合要求的正整数a 和正整数k 的值．
11．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程3
9
x
和
2
0
x
为“友好方程”．
(1)若关于x 的方程3
0
x
m
与方程4
3
12
x
x
是“友好方程”，则m ______；若“友好方程”的两个解的
差为5，其中一个解为x
n
，则n ______．
(2)若关于x 的方程
0
2
x
m
与方程3
2
5
2
x
x
m
是“友好方程”，求m 的值．
(3)若关于x 的一元一次方程
1
3
2
2026 x
x
k
和
1
1
0
2026 x
是“友好方程”，请直接写出关于y 的一元一次
方程
1
1
3
2
2
2026 y
y
k
的解．
12．数学课本上有这样一道题“如果代数式5
3
a
b
的值为4
﹣，那么代数式2
4 2
a
b
a
b
（
）（
）的值是多少？”
小明同学解题过程如下：
解：原式2
2
8
4
10
6
2 5
3
a
b
a
b
a
b
a
b
=
＝
＝（
）
因为5
3
4
a
b
=-
，所以原式
2
4
8
．
小明同学把5
3
a
b
作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一
种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问
题：
【尝试应用】
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（1）已知a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，则
100
2
a
b
mn
-
______．
（2）已知，当
2
x
，
3
8
ax
bx
c
的值是2023；当
2
x -
时，
3
8
ax
bx
c
的值是____．
【拓展提高】
（3）已知
1
3
2
1009 2
a
b
，
5
2
2024 6
b
c
，
1
101512
c
d
，
1
3
2
1009 2
a
b
求
(3
)
(2
)
(2
)
a
c
b
d
b
c
的值．
（4）关于x 的一元一次方程1
1
2024
2 x
x
p
的解
3
x ，解关于y 的一元一次方程
1 (
8) 1
2024(
8)
2 y
y
p
．
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未
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