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专项训练05 角的动态旋转问题
【知识点1 角的动态旋转问题】
1. 动态角的表示（含时间参数）
- 基本公式：角∠AOB 从OA 边开始，以速度w（度/秒）旋转，时间为t ：
- 顺时针旋转：∠AOB = ∠AOB0 - w t（角度减小）；
- 逆时针旋转：∠AOB = ∠ AOB0 + w t（角度增大）。
- 多射线旋转：分别用含 t 的式子表示各条射线与起始边的夹角，角的度数 = 大角 - 小角（必要时加绝
对值）。
- 关键：确定旋转方向（顺/逆时针）和起始角度（通常以某边为基准）。
2. 核心等量关系：角度相等、和差、倍数
- 角度相等：如∠AOP = ∠POB，列方程 w1 t =∠AOB0 - w2 t 。
- 角度和/差为定值：如∠AOP + ∠POB =∠AOB（恒成立）；∠AOP -∠POB = 𝜶（需讨论射线位置）。
- 倍数关系：如∠AOP = 2∠POB，列比例方程w1t = 2(∠AOB0 - w2 t)。
- 平分线/垂直：平分线条件（角度相等）；垂直条件（夹角为 90°）。
3. 分类讨论与多解验证
- 射线位置不确定：射线可能在角内部或外部，需分情况讨论（如OP 在∠AOB 内部，或旋转到外部）。
- 相遇/追及：两射线重合（角度相等）或夹角为定值时，列方程解 t ，注意周期性（旋转超过360°会重
复）。
- 多解验证：
- 角度为正（∠> 0°）；
- 旋转时间 t≥0；
- 是否在限定范围内（如某射线只旋转一定角度后停止）。
- 注意：绝对值方程或三角方程可能产生多解，需结合运动实际筛选。
.
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【题型1 旋转中求多解问题】
1．已知点A
O
B
、、
在一直线上，且点A
B
、在点O 的两侧，
100
AOC
，现将射线OA绕点O 顺时针匀
速旋转，射线OB
OC
，
保持不动，直到射线OA与射线OB 重合时停止旋转．在旋转过程中，当三条射线构
成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋转的角度为________．
【答案】20，100或140
【分析】本题考查了角的动态变化与相等关系，解题的关键是分情况讨论三条射线构成的角相等的情况，
易错点是漏解通过分类讨论情况，再利用角的和差关系求解旋转角度．
【详解】解：如下图：
当
BOC
COA
时，旋转角度
180
2 80
20
AOA
当
A OB
A OC
时，旋转角度
1
180
80
140
2
AOA
当
A OB
BOC
时，旋转角度
180
80
100
AOA
；
故答案为20，100或140．
2．如图1，直线ED 上有一点O，过点O 在直线ED 上方作射线OC ，将一直角三角板
30
AOB
OAB
的
直角顶点放在点O 处，一条直角边OA在射线OD 上，另一边OB 在直线ED 上方，将直角三角板绕着点O
按每秒10的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t 秒．若射线OC 的位置保持不变，且
140
COE
．则在
旋转过程中，如图2，当t _____________秒时，射线OA
OC
，
与OD 中的某一条射线恰好是另两条射线所
夹角的平分线．
【答案】2 或8 或32
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【分析】分三种情况进行解答，即①射线OA是
COD
的平分线，②射线OC 是
AOD
的平分线，③射线OD
是
COA
的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可．
【详解】解：当射线OA是
COD
的平分线时，
∵
180
40
COD
COE
，
∴
1
20
2
AOD
COD
，
∴
20
2
10
t
；
当射线OC 是
AOD
的平分线时，
2
80
AOD
COD
，
∴
80
8
10
t
；
当射线OD 是
COA
的平分线时，
360 10
40
t
，
∴
32
t
，
故答案为：2 或8 或32．
【题型2 旋转中求的角定值问题】
3．已知：如图，直线AB 和CD 相交于点O（
AOC
为锐角），点M 在直线AB 上方，
90
BOM
，ON
平分
AOD
．
(1)若
52
COM
，求
DON
的度数；
(2)试说明：
1
2
DON
COM
的度数是一个定值，并求出这个定值的度数；
(3)若
14
5
BOC
COM
，试求
DON
的度数．
【答案】(1) 71
(2)
1
45
2
DON
COM
(3)
70
DON
【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义；
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（1）先求解
38
BOD
，可得
142
AOD
，再结合角平分线的含义可得答案；
（2）先求解
180
90
90
BOD
COM
COM
，证明
1
2
DON
AOD
，结合
180
AOD
BOD
，
进一步可得结论；
（3）先求解
90
180
BOC
COM
，结合
14
5
BOC
COM
，可得14
90
180
5
COM
COM
，
求解
50
COM
，结合（2）的结论可得答案.
【详解】（1）解：
52
COM
，
90
BOM
，
180
COM
BOM
BOD
，
38
BOD
，
又
180
AOD
BOD
，
142
AOD
，
又
ON
平分
AOD
，
1
71
2
DON
AOD
；
（2）解：
180
COM
BOM
BOD
，
180
90
90
BOD
COM
COM
，
又
ON
平分
AOD
，
1
2
DON
AOD
．
又
180
AOD
BOD
，
2
90
180
DON
COM
，
1
45
2
DON
COM
．
（3）解：
180
BOC
AOC
，
90
180
BOC
COM
，
∵
14
5
BOC
COM
，
14
90
180
5
COM
COM
，
50
COM
．
由（2）知：
1
45
2
DON
COM
，
70
DON
；
4．如图1，先画出直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（
AOB
）的顶点与60角
（
COD
）的顶点重合，且边OA，OC 都在直线EF 上．
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(1)
BOD
度；
(2)如图2，固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度，当边OB 第一次落
在射线OF 上时停止．
①当OB 平分
EOD
时，求旋转角α 的度数；
②如图3，当OB 运动到
COD
内部时，
BOD
AOC
是定值，求这个定值；
③当
2
BOC
AOD
时， 直接写出旋转角α 的度数为 ．
【答案】(1)75
(2)①
15
；②105；③105或125
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）①根据图形中角的和差关系进行计算即可；
②根据图形中角的和差关系进行计算即可；
③分两种情况，当OA在
DOE
内部时，当OA在
DOF
∠
内部时，利用角的和差表示出
AOD
和
BOC
，
然后根据
2
BOC
AOD
列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：（1）如图1，
180
180
45
60
75
BOD
AOB
COD
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
° ，
故答案为：75；
（2）解：①当OB 平分
DOE
时，
∴
1
1
1
180
180
60
60
2
2
2
BOE
BOD
DOE
COD
，
∴∠
60
45
15
AOE
BOE
AOB
，
即旋转角
15
；
②如图3，
105
BOD
AOC
，理由如下：
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BOD
AOC
AOD
AOB
AOB
BOC
COD
AOB
60
45
105
；
③如图2，当OA在
DOE
内部或与OD 重合时，即0
120
，
由题意得，
120
AOD
DOE
AOE
，
180
180
45
135
BOC
AOE
AOB
，
当
2
BOC
AOD
时，即
135
2
120
，解得
105
．
如图3，当OA在
DOF
∠
内部与OF 重合时，即120
180
，
120
AOD
AOE
DOE
180
180
45
135
BOC
AOE
AOB
当
2
BOC
AOD
时，即
135
2
120
，解得
125
，
故答案为：105或125．
【题型3 旋转中探究角的数量关系问题】
5．按要求完成下列各题：
(1)如图，正方形ABCD 的四个内角
DAB
，
ABC
，
BCD
，
ADC
均为直角，边AB 在直线EF 上，
DAF
的平分线AQ 交正方形的边于点P．
PAB
的度数为 ；
PAB
与
DAE
的度数之间的关系为 ．
(2)将正方形ABCD 绕点A 旋转至如图②所示的位置，此时
DAE
，
DAF
的平分线AQ 交正方形的边
BC 于点P，请探究：
PAB
与
DAE
的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
(3)将正方形ABCD 绕点A 旋转至如图③的位置，AQ 平分
DAF
，请探究
QAB
与
DAE
的度数之间的关
系．
【答案】(1) 45，
1
2
PAB
DAE
；
(2)
PAB
与
DAE
的度数之间的关系没有发生改变，理由如下：
如图②，由条件可知
180
DAF
，
∵
DAF
的平分线AQ 交正方形的边BC 于点P，
∴
1
1
1
180
90
2
2
2
DAQ
DAF
，
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∴
1
1
90
90
2
2
PAB
DAB
DAQ
，
∴
1
2
PAB
DAE
；
(3)
1
180
2
QAB
DAE
．
【分析】（1）如图①，由四边形ABCD 为正方形，得
90 ,
45
DAB
PAB
，所以
90
DAE
，从而
得到
1
2
PAB
DAE
；
（2）如图②，先根据平角的定义得到
180
DAF
，再根据角平分线的定义得到
1
90
2
DAQ
，
由
PAB
DAB
DAQ
，即可得到
1
2
PAB
DAE
；
（3）如图③，先根据角平分线的定义得到
1
2
DAQ
DAF
，则
1
90
2
QAB
DAF
，根据平角的定义
得到
180
DAE
DAF
，变化后
1
1
90
2
2
DAE
DAF
，消去
DAF
，可得到
1
180
2
QAB
DAE
．
【详解】（1）如图①，
四边形ABCD 为正方形，
90 ,
45
DAB
PAB
，
90
DAE
，
∴
1
2
PAB
DAE
，
（2）略
（3）如图③，
AQ
平分
DAF
，
1
2
DAQ
DAF
，
∴
1
90
90
2
QAB
DAQ
DAF
，
∵
180
DAE
DAF
，
∴1
1
90
2
2
DAE
DAF
，
∴
1
1
1
90
90
90
180
2
2
2
QAB
DAF
DAE
DAE
．
6．已知点O 是直线AB 上的一点，OC ，OE ，OF 是三条射线，
90
COE
，OF 是
AOE
的平分线．
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(1)当
90
AOC
时，
①若射线OC ，OE ，OF 在直线AB 的同侧（图1），
25
COF
，求
BOE
的度数；
②根据①中的结果，猜想
BOE
和
COF
的数量关系是______；
③当OC 与OE ，OF 在直线AB 两旁时（如图2），设
COF
x
，请通过计算，用含x 的代数式表示
BOE
，说明②中的关系是否仍然成立；
(2)当
90
AOC
，OC 与OE ，OF 在直线AB 两旁时（如图3），上述
BOE
和
COF
的数量关系是否仍
然成立？若成立，请仿照③中的方法说明理由；若不成立，请直接写出
COF
和
BOE
此时具备的数量关
系．
【答案】(1)①50；②
2
BOE
COF
；③成立，理由见解析
(2)不成立，
360
2
BOE
COF
【分析】（1）①根据已知角的度数求出
EOF
，
AOE
，再根据平角定义求出
BOE
的度数即可；
②由①中求出的结果即可求解；
③根据已知角的度数表示出
EOF
，
AOE
，再根据平角定义表示出
BOE
的度数，可得
BOE
和
COF
的数量关系；
（2）依据前面③的方法表示出
EOF
，
AOE
，表示出
BOE
，可得
BOE
和
COF
的数量关系．
【详解】（1）解：①∵
90
COE
，
25
COF
，
∴
90
25
65
EOF
，
∵OF 是
AOE
的平分线，
∴
2
130
AOE
EOF
，
∴
180
180
130
50
BOE
AOE
；
②由①中的结果可得
2
BOE
COF
，
故答案为：
2
BOE
COF
；
③②中的关系仍然成立，理由如下：
∵
90
COE
，
COF
x
，
∴
90
EOF
x
，
∵OF 是
AOE
的平分线，
∴
2
180
2
AOE
EOF
x
，
∴
180
180
180
2
2
BOE
AOE
x
x
，
即
2
BOE
COF
；
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（2）解：不成立，
BOE
和
COF
的数量关系为
360
2
BOE
COF
．
证明：设
COF
x
，
∵
90
COE
，
COF
x
，
∴
90
EOF
x
，
∵OF 是
AOE
的平分线，
∴
2
2
180
AOE
EOF
x
，
∴
180
180
2
180
360
2
BOE
AOE
x
x
，
即
360
2
BOE
COF
．
【题型4 旋转中求角的运动时间问题】
7．综合与探究
问题情境：探究三角尺中的学问．一把含45角的直角三角板AOB 的直角顶点O 在直线DE 上，过点O 作射
线OC ，使得
60
COE
，直角三角板AOB 的直角边OB 从射线OE 开始，绕点O 以15/秒的速度顺时针旋
转一圈，设旋转的时间为t 秒．
问题解决：
(1)如图1，当直角边OB 在射线OE 上，另一边OA在直线DE 的上方，则
AOC
的度数为 ，
COD
的度数
为 ；
初步感知：
(2)当直角三角板旋转到如图2 所示的位置时，射线OB 恰好平分
COE
，试猜想此时
AOC
与
AOD
之间
的数量关系，并说明理由；
操作探究：
(3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB ，OC ，OE 中的某一条射线是另外两条射线所夹角的
平分线？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)30，120
(2)
AOC
AOD
，理由见解析
(3)存在，t 的值为2 或8 或20
【分析】（1）由角的和差得
90
AOC
COE
，
COD
AOC
AOD
，即可求解；
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（2）由角的和差及角平分线的定义得
180
90
BOE
AOD
AOB
，
90
BOC
AOC
，由余角
的性质，即可求解；
（3）分类讨论：①当OB 是OC 、OE 构成夹角的平分线，②当OC 是OB 、OE 构成夹角的平分线，③当OE
是OB 、OC 构成夹角的平分线，结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解．
【详解】（1）解：
60
COE
，
90
90
60
30
AOC
COE
，
90
AOB
，
90
AOD
，
30
90
120
COD
AOC
AOD
．
（2）解：
AOC
AOD
，理由如下：
90
AOB
，
180
90
BOE
AOD
AOB
，
90
BOC
AOC
，
OB
恰好平分
COE
，
BOC
BOE
，
90
BOC
AOD
，
AOC
AOD
．
（3）解：存在；
①如图，当OB 是OC 、OE 构成夹角的平分线，
1
30
2
BOE
COE
，
30
2
15
t
；
②如图，当OC 是OB 、OE 构成夹角的平分线，
2
120
BOE
COE
，
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120
8
15
t
；
③如图，当OE 是OB 、OC 构成夹角的平分线，
60
BOE
COE
，
OB
绕O 旋转了360
60
300
，
300
20
15
t
．
综上所述，t 的值为2 或8 或20 ．
8．已知
50
AOC
，
30
BOD
，
AOC
和
BOD
均可绕点O 进行旋转，点M ，O ，N 在同一条直线
上，OP 是
COD
的角平分线．
(1)如图1，当点A 与M 点重合，点B 与N 点重合，且射线OC 和射线OD 在直线MN 的同侧时，求
DOP
的度数．
(2)在（1）的基础上，若
AOC
从OM 处开始绕点O 顺时针方向旋转，转速为每秒6，
BOD
从ON 处开
始绕点O 逆时针方向旋转，同时转速为每秒4
①当旋转多少秒时，OC 与OD 第一次重合；
②直接写出
AOC
与
BOD
第一次从相遇到分开所经历的时间．
(3)在（1）的基础上，若
AOC
从OM 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为每秒3，同时
BOD
从ON
处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为每秒5，如图2 所示，当旋转5s 时，则
DOP
的度数为多少？
【答案】(1)50
(2)①10s ；②8s
(3) 45
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的特点，根据角平分线的定义进行计算，是解题的关键．
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（1）根据平角的定义得到
180
50
30
100
COD
，根据角平分线的定义得到
5
1
2
0
DOP
COD
即可；
（2）①根据旋转的特点和
BOD
、
AOC
旋转的速度，结合
COD
的度数，即可求得结果；
②根据
BOD
、
AOC
旋转的速度，结合
BOD
、
AOC
的度数，即可求出结果；
（3）根据题意得到
5 3
15
MOA
，
5 5
25
NOB
，根据平角的定义得到
180
90
DOC
COM
DON
，根据角平分线的定义，即可求解．
【详解】（1）解：
50
AOC
，
30
BOD
，
180
50
30
100
COD
，
OP
是
COD
的平分线，
5
1
2
0
DOP
COD
；
（2）解：①∵
AOC
从OM 处开始绕点O 顺时针方向旋转，转速为每秒6，
BOD
从ON 处开始绕点O
逆时针方向旋转，同时转速为每秒4，
∵
100
COD
OC
与OD 第一次重合的时间为：
100
10 s
6
4
；
②
50
AOC
，
30
BOD
，
AOC
与
BOD
第一次从相遇到分开所经历的时间为：
50
30
8 s
6
4
；
（3）解：旋转5s 时，
5 3
15
MOA
，
5 5
25
NOB
，
50
15
35
COM
AOC
MOA
，
30
25
55
DON
BOD
BON
，
180
90
DOC
COM
DON
．
1
45
2
DOP
COD
．
【题型5 旋转中探究角的新定义型问题】
9．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们
给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1: 2的两个角的射线，叫做这个角的三分线；
从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:3 的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分
线、四分线都有两条．例如：如图1，若
2
BOC
AOB
，则OB 是
AOC
的一条三分线；若
2
AOD
COD
，则OD 是
AOC
的另一条三分线．
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(1)如图2，OB 是
AOC
的三分线，
BOC
AOB
，若
60
AOC
，则
AOB
；
(2)如图3，
120
DOF
，OE 是
DOF
的四分线，
DOE
EOF
，过点O 作射线OG ，当OG 刚好为
DOE
的三分线时，求
GOF
的度数；
(3)如图4，
120
AOD
，射线OB
OC
、
是
AOD
的两条三分线，将射线OB
OC
、
同时绕点O 沿顺时针方
向旋转
0
180
，在旋转的过程中，若射线OB
OC
OD
、
、
中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹
角的四分线，请直接写出的值．
【答案】(1)20
(2)60或90
(3) 80
3
或50或70或280
3
【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类
讨论思想是解题的关键．
（1）根据三分线的定义求解即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可；
（3）根据四分线的定义分四种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵OB 是
AOC
的三分线，
BOC
AOB
，若
60
AOC
，
∴
1
1
60
20
3
3
AOB
AOC
．
故答案为：20．
（2）解：∵
120
DOF
，OE 是
DOF
的四分线，
DOE
EOF
，
3
90
4
DOE
DOF
，
∵OG 是
DOE
三分线，
∴①如图：当
DOG
GOE
时，
2
60
3
DOG
DOE
，
120
60
60
GOF
DOF
DOG
；
②如图：当
DOG
GOE
时，
1
30
3
DOG
DOE
，
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120
30
90
GOF
DOF
DOG
．
综上，
GOF
的度数为60或90．
（3）解：∵
120
AOD
，射线OB 、OC 是
AOD
的两条三分线
∴
1
40 ,
40
3
AOB
COD
AOD
BOC
AOD
AOB
COD
，
①如图，当OC 是
BOD
的四分线时，
3
4
BOC
BOD
，
∴
3
40
4
BOD
，解得：
160
3
BOD
，
∴
40
3
COD
BOD
BOC
，
∴
40
80
3
3
40
；
②如图，当OD 是
BOC
的四分线且
BOD
COD
时，
∴
1
10
4
COD
BOC
，
∴
40
10
50
；
③如图，当OD 是
BOC
的四分线且
BOD
COD
时，
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∴
3
30
4
COD
BOC
，
∴
40
30
70
；
④如图，当OB 是
COD
的四分线时，
3
4
BOC
COD
，
∴
3
40
4
COD
，解得：
160
3
COD
，
∴
160
280
40
3
3
．
∴的值为80
3
或50或70或280
3
．
10．新定义：若两个角的和为105，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如
45
AOB
，
60
COD
，则
AOB
与
COD
互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于0而小于180的角．）
【阅读理解】
（1）如图1，如果
70
AOB
，
AOD
与
COB
互为“相伴角”，则
COD
________；
【初步应用】
（2）射线OM 平分角
AOB
，OC 为
AOB
内部的一条射线，且满足
15
COM
，若
BOC
与
AOB
互
为“相伴角”，求
AOB
的值；
【解决问题】
（3）如图2 ，已知
90
AOB
，射线OM 从OA出发，以每秒10的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON
从OB 出发，以每秒5的速度绕O 点逆时针旋转，设运动的时间为
3
t
秒由OM ，ON ，OA三条射线形成
的角中是否有两个角互为“相伴角”？
【答案】（1）35；（2）60或80；（3）有．
【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键．
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（1）根据新定义，找到角度关系，求解即可；
（2）分情况讨论OC 与OM 的位置关系，画出图象，求解即可；
（3）分情况讨论ON 与OM 的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间t 的一元一次方程求
解即可．
【详解】解：（1）
70
AOB
，
AOD
与
COB
互为“相伴角”，
105
AOD
COB
°
\ Ð
+Ð
=
，
105
AOC
COD
COD
DOB
°
\ Ð
+Ð
+Ð
+Ð
=
，
105
AOB
COD
°
\ Ð
+Ð
=
，
105
105
70
35
COD
AOB
；
（2）如图，当OC 在OM 上方时，
OM 平分角
AOB
，
1
2
AOM
BOM
AOB
∴
，
根据题意得
105
AOB
BOC
，
1
105
2
AOB
AOB
COM
，
1
15
105
2
AOB
AOB
，
60
AOB
，
当OC 在OM 下方时，
OM
平分角
AOB
，
1
2
AOM
BOM
AOB
∴
，
根据题意得
105
AOB
BOC
，
1
105
2
AOB
AOB
COM
，
1
15
105
2
AOB
AOB
80
AOB
，
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综上所述，
AOB
为60或80；
（3）已知
90
AOB
，射线OM 以每秒10顺时针旋转，射线ON 以每秒5逆时针旋转，
当
3
t
秒时：
30
AOM
，
15
BON
，
则
75
AON
AOB
BON
，
75
30
45
MON
AON
AOM
，
三条射线形成的角为
30
AOM
，
75
AON
，
45
MON
，验证两角和是否为105，如下：
30
75
105
，30
45
75
105
，75
45
120
105
因此当
3
t
时，由OM ，ON ，OA三条射线形成的角中
AOM
与
AON
互为“相伴角”．
1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，
且被等分成了8 份，三角形OAB 是水车的支架，
60
AOB
．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆
心O 旋转．在图②中，若OC 平分
AOB
，则
BOD
的度数为（ ）
A．5
B．15
C．20
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．根据周角的定义求出
45
COD
，再
根据角平分线的定义求出
30
BOC
，由
BOD
COD
BOC
；
【详解】解：由题意得，
360
45
8
COD
，
∵
60
AOB
，OC 平分
AOB
，
∴
1
30
2
BOC
AOB
，
∴
15
BOD
COD
BOC
∠
∠
，
故选：B．
2．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，
30
A
，
45
C
．
COD
△
固定不动，
AOB
V
绕着O
点顺时针旋转
0
180
，若
AOB
V
绕着O 点旋转图2 的位置，若
60
BOD
，则
AOC
的度数为
（ ）
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A．150
B．120
C．60
D．30
【答案】B
【分析】根据题意可得
90
AOB
COD
，再由
60
BOD
，可得
90
30
AOD
BOD
，即可求
解．
【详解】解：根据题意得：
90
AOB
COD
，
∵
60
BOD
，
∴
90
30
AOD
BOD
，
∴
120
AOC
AOD
COD
．
故选：B
3．一副三角板ABC、DBE，如图1 放置，（
30
D
、
45
BAC
），将三角板DBE 绕点B 逆时针旋转
一定角度，如图2 所示，且0
90
CBE
，有下列四个结论：
①在图1 的情况下，在
DBC
内作
DBF
EBF
，则BA 平分
DBF
；
②在旋转过程中，若BM 平分
DBA
，BN 平分
EBC
，
MBN
的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90的次数为3 次；
④
DBC
ABE
的角度恒为105．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得
15
DBA
ABF
，所以BA 平分
DBF
，①正确；
②当0
45
CBE
时，设
DBM
x
，
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∵BM 平分
DBA
，
∴
x
ABM
DBM
，
∴
60
2
ABE
x
，
45
60
2
2
15
EBC
x
x
，
∴
7.5
EBN
x
，
60
2
7.5
52.5
MBN
x
x
x
当45
90
CBE
时，设
DBM
x
，
∵BM 平分
DBA
，
∴
x
ABM
DBM
，
∴
60
2
ABE
x
，
∴
2
15
EBC
x
，
60
MBE
x
∴
7.5
EBN
CBN
x
，
∴
60
7.5
52.5
MBN
x
x
，故②正确；
③
30
CBE
时BD
BC
，
45
CBE
时AB
DE
，
75
CBE
时DB
AB
故③正确；
④当0
45
CBE
时
105
DBC
ABE
，当45
90
CBE
时
105
DBC
ABE
，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；
故选：C．
4．如图，已知
180 ,
110
AOB
AOC
，现将射线OA绕点O 顺时针匀速旋转，射线
,
OB OC 保持不动，
当射线OA与射线OB 重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋转
的角度为
．
【答案】40或145
【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差关
系解决此题．
【详解】解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形：
①当射线OA旋转到
BOC
的外部时，
70
AOC
BOC
∠
∠
．
∴射线OA旋转的角度为110
70
40
．
②当射线OA旋转到
BOC
内部时，
AOC
AOB
．
∴
1
35
2
AOB
BOC
，
∴射线OA旋转的角度为
35
145
180
，
综上：射线OA旋转的角度为40或145．
故答案为：40或145．
5．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线
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叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如
120
AOB
，OC ，OD 是
AOB
的两条三分线，
以点O 为中心，将
COD
按顺时针方向旋转n（
90
n
）得到
C OD
，当OA恰好是
C OD
的三分线时，
n 的值为
．
【答案】160
3 或200
3
【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①
2
3
AOC
AOD
，②
1
3
AOC
AOD
，根据两种情况分
别讨论并计算即可．
【详解】解：∵
120
AOB
，OC ，OD 是
AOB
的两条三分线，
∴
1
120
'
'
40
3
3
COD
C OD
AOB
，
2
80
3
AOC
AOB
①当
2
80
'
'
'
3
3
AOC
C OD
，如图，
如原图所示：
80
160
80
(
)
3
3
COC
AOC
AOC
，
所以
160
3
n
；
②当
1
40
'
'
3
3
AOC
AOD
时，如图，
则
40
200
80
(
)
3
3
COC
AOC
AOC
，
所以，
200
3
n
．
故答案为：160
3 或200
3 ．
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6．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n 倍，那么我们将这
条射线称为这个角的
1
n 分位线．例如：如图1，
4
MOP
NOP
，则OP 为
MON
的5 分位线；
4
NOQ
MOQ
，则OQ 也是
MON
的5 分位线．
（1）如图2，点A、O 、B 在同一条直线上，OC 为一条射线，OP ，OQ 分别为
AOC
与
BOC
的3 分位
线，（
COP
POA
，
COQ
QOB
），
150
AOC
，则
POQ
；
（2）如果点A、O 、B 在同一条直线上，OC 为一条射线，已知射线OM 、ON 分别为
AOC
与
BOC
的
5 分位线，且
96
MON
，则
AOC
．
【答案】
120
80或100
【分析】本题考查了新定义——角的
1
n 分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解
题的关键．
（1）求出
30
BOC
，根据OP ，OQ 分别为
AOC
与
BOC
的3 分位线，（
COP
POA
，
COQ
QOB
），得
2
2
100
20
3
3
COP
AOC
COQ
BOC
，
，得
120
COP
C
POQ
OQ
；
（2）根据OM 、ON 分别为
AOC
与
BOC
的5 分位线，得
1
5
COM
AOC
,或
4
5
COM
AOC
；
1
5
CON
BOC
，或
4
5
CON
BOC
,当
1
5
COM
AOC
,
1
5
CON
BOC
时，
36
COM
CON
,不合；当
1
5
COM
AOC
，
4
5
CON
BOC
时，
3
36
96
5
COM
CON
BOC
， 得
80
AOC
；当
4
5
COM
AOC
，
1
5
CON
BOC
时，
3
36
96
5
COM
CON
AOC
，得
100
AOC
；当
4
5
COM
AOC
，
4
5
CON
BOC
时，
144
96
COM
CON
，不合．
【详解】解：（1）∵
150
AOC
，
∴
180
30
BOC
AOC
，
∵OP ，OQ 分别为
AOC
与
BOC
的3 分位线，（
COP
POA
，
COQ
QOB
），
∴
2
2
COP
AOP
COQ
QOB
，
，
∵
150
30
COP
AOP
COQ
QOB
，
，
∴
2
2
100
20
3
3
COP
AOC
COQ
BOC
，
，
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∴
120
COP
C
POQ
OQ
；
故答案为：120；
（2）∵射线OM 、ON 分别为
AOC
与
BOC
的5 分位线，
∴
4
AOM
COM
，∴
1
5
COM
AOC
,
或
4
COM
AOM
，∴
4
5
COM
AOC
；
4
BON
CON
，∴
1
5
CON
BOC
，
或
4
CON
BON
，∴
4
5
CON
BOC
，
当
1
5
COM
AOC
,
1
5
CON
BOC
时，
1
36
5
COM
CON
AOC
BOC
，
∵
96
COM
CON
MON
，
∴不合；
当
1
5
COM
AOC
，
4
5
CON
BOC
时，
1
4
3
36
96
5
5
5
COM
CON
AOC
BOC
BOC
，
∴
100
BOC
，
∴
80
AOC
；
当
4
5
COM
AOC
，
1
5
CON
BOC
时，
4
1
3
36
96
5
5
5
COM
CON
AOC
BOC
AOC
，
∴
100
AOC
；
当
4
5
COM
AOC
，
4
5
CON
BOC
时，
4
144
96
5
COM
CON
AOC
BOC
，
不合．
∴
80
AOC
或
100
AOC
．
故答案为：80或100．
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7．已知O 为直线AB 上的一点，
90
COE
，AB
MN
．
(1)如图①，以O 为观察中心，射线OA表示正北方向，ON 表示正东方，若
17
CON
，则射线OE 的方向
是________；若将射线OC 、射线OE 绕点O 旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF 恰好平分
COM
．若
20
EOF
，求
AOF
的度数；
(2)若将射线OC 、射线OE 绕点O 旋转至如图③所示的位置，射线OF 仍然平分
COM
，
CON
与
AOF
之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)北偏东17；20
(2)
2
CON
AOF
，理由见解析
【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差
关系，是解题的关键：
（1）求出
AOE
的度数，根据方向角的定义，即可得到射线OE 的方向，根据角的和差关系，角平分线的
定义，推出
20
AOF
EOF
；
（2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出
180
180
2
CON
COM
MOF
，
90
AOF
MOF
，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意知，
90
COE
，AB
MN
，
∴
73
EON
COE
CON
，
∴
90
17
AOE
EON
，
∴射线OE 的方向是北偏东17；
∵
90
COE
，AB
MN
，
∴
90
AOC
AOE
，
90
AOE
MOE
，
∴
AOC
MOE
．
∵OF 恰好平分
COM
，
∴
COF
MOF
，
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∴
COF
AOC
MOF
MOE
，
∴
20
AOF
EOF
．
（2）
2
CON
AOF
，理由如下：
∵OF 为
COM
的平分线，
∴
COF
MOF
，
∴
180
180
2
CON
COM
MOF
．
∵
90
AOF
MOF
，
∴2
180
2
AOF
MOF
，
∴
2
CON
AOF
．
8．如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使
135
BOC
，将一个含45角的直角三角尺的一
个顶点放在点O 处，斜边OM 与直线AB 重合，另外两条直角边都在直线AB 的下方．
(1)将图1 中的三角尺绕着点O 逆时针旋转90，如图2 所示，此时
BOM
；在图2 中，OM 是否平分
CON
？请说明理由；
(2)紧接着将图2 中的三角板绕点O 逆时针继续旋转到图3 的位置所示，使得ON 在
AOC
的内部，请探究：
AOM
与
CON
之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图1 中的三角板绕点O 按每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON
恰好平分锐角
AOC
，则t 的值为 （直接写出结果）
【答案】(1)90，平分，见解析
(2)相等，见解析
(3)4.5 秒或40.5 秒．
【分析】（1）根据
135
BOC
和含45角的直角三角尺的特点，算出
MON
，得到
MOC
MON
，
即可解题；
（2）根据题意算出
MON
，
AOC
，利用
AOM
MON
AON
，
NOC
AOC
AON
，即可解
题；
（3）根据直线ON 恰好平分锐角
AOC
，且
45
AOC
，可分为当ON 在直线AB 的下方，且
22.5
NOB
，以及当ON 在直线AB 的上方，且
22.5
NOA
，再根据三角板绕点O 按每秒5的速度沿
逆时针方向旋转，建立关于t 的等式即可求解．
本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
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【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，
90
BOM
，
故答案为：90；
OM 平分
CON
．理由如下：
135
BOC
，
135
90
45
MOC
，
而
45
MON
，
MOC
MON
，则OM 平分
CON
．
（2）解：
AOM
CON
．
理由如下：如图3，
45
MON
，
45
AOM
AON
-
，
180
45
AOC
BOC
，
45
NOC
AON
，
AOM
CON
．
（3）解：直线ON 恰好平分锐角
AOC
，且
45
AOC
，
1
45
22.5
2
AON
或
180
22.5
157.5
AON
，即
22.5
NOB
，
①当ON 在直线AB 的下方，
有
22.5
5
4.5
t
（秒），
②当ON 在直线AB 的上方，
180
22.5
5
40.5
t
（秒）．
故答案为：4.5 秒或40.5 秒．
9．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如
何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义
两手手心位置分别为A，B 两点，两脚脚跟位置分别为C，D 两点，A，B，C，D，E，O 在同一平面内，O
为定点，且OE 垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O 进行旋转：
(1)填空：如图2，A，O，B 三点共线，且
AOC
BOC
，则
AOC
________°；
(2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B 三点共线，却不在水平方向上，且
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:
5:3
AOD
BOC
，求
3
5
AOC
BOD
的度数；
(3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，OE 平分
COD
，且
30
COD
，开始运动前A，
O，B 三点在同一水平线上，OA，OB 同时绕点O 逆时针旋转，OA旋转速度为25 / s
，OB 旋转速度为
50 / s
，运动时间为st ，当OA旋转到与OC 重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示
AOE
与
BOD
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90
(2)72
(3)当0
2.1
t
时，
2
255
BOD
AOE
；当2.1
3
t
时，
2
105
BOD
AOE
【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系．
（1）由A ，O ，B 三点共线，可得出
180
AOC
BOC
，再由
AOC
BOC
，即可求出
=90
AOC
∠
；
（2 ）由
:
5:3
AOD
BOC
，设
5
AOD
a
Ð
=
，则
3
BOC
，分别求出
180
180
2
AOC
BOC
，
180
180
3
BOD
AOD
，再代入
3
5
AOC
BOD
即可求解；
（3）先求出OA旋转到与OC 重合时，
75
25
3
t
，由OB 的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，
O ，D 三点共线前和点B，O ，D 三点共线后，分别求解即可；
【详解】（1）解：∵A ，O ，B 三点共线，
∴
180
AOC
BOC
，
∵
AOC
BOC
，
∴
1 180
90
2
AOC
；
（2）解：∵
:
5:3
AOD
BOC
，
设
5
AOD
a
Ð
=
，则
3
BOC
，
∴
180
180
3
AOC
BOC
，
180
180
5
BOD
AOD
，
∴
2
180
3
180
5
3
72
5
3
AOC
BOD
；
（3）解：∵OE 平分
COD
，且
30
COD
，
∴
15
COE
EOD
，
∴此时
90
15
75
BOD
AOC
，
则OA旋转到与OC 重合时，
75
25
3
t
，
∴0
3
t
；
运动停止时，即
3
t
时，OB 旋转的角度为50
3
150
，
当点D，O ，B 三点共线时，
180
75
50
2.1
t
，
∴当0
2.1
t
时，
75
50
BOD
t
，
90
25
AOE
t
，
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∴
2
75
50
2 90
25
255
BOD
AOE
t
t
；
当2.1
3
t
时，
180
50
2.1
285
50
BOD
t
t
，
90
25
AOE
t
，
∴
2
285
50
2 90
25
105
BOD
AOE
t
t
，
综上，当0
2.1
t
时，
2
255
BOD
AOE
；当2.1
3
t
时，
2
105
BOD
AOE
．
10．【概念学习】定义：从
45
90
的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将
分得
的两个角中有一个角与
的和为90°，则称该射线为
的“分余线”．
【深入思考】
(1)如图1，
80
AOB
，
70
AOC
，则射线OC ______
AOB
的“分余线”；（填：“是”或“不是”）
(2)若OC 平分
AOB
，且OC 为
AOB
的“分余线”，求
AOB
的度数；
(3)如图2，
160
AOB
，在
AOB
内部作射线OC ，OM ，使OM 为
AOC
的平分线，在
BOC
的内部
作射线ON ，使
2
BON
CON
．当OC 为
MON
的“分余线”时，
BOC
______度．
【答案】(1)是
(2)60
(3)60 或105
【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差，
（1）根据题意可知
10
BOC
，再结合“分余线”的定义解答；
（2）根据角平分线的定义可得
2
AOB
BOC
，再根据“分余线”的定义可得2
90
BOC
BOC
，求
出答案即可；
（3）根据题意可得
1
1 (160
)
2
2
COM
AOC
BOC
，
1
3
CON
BOC
，可表示出
1
1
1
80
80
2
3
6
MON
BOC
BOC
BOC
.再分两种情况：当
90
CON
MON
时，当
90
COM
MON
时，然后代入计算可得答案．
【详解】（1）解：∵
80 ,
70
AOB
AOC
，
∴
10
BOC
，
∴
90
BOC
AOB
，
∴射线OC 是
AOB
的“分余线”；
故答案为：是；
（2）解：∵OC 平分
AOB
，
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∴
2
AOB
BOC
．
∵OC 是
AOB
的“分余线”，
∴2
90
BOC
BOC
，
解得
30
BOC
，
∴
60
AOB
；
（3）解：∵OM 平分
AOC
，
∴
1
1
1
160
80
2
2
2
COM
AOC
BOC
BOC
．
∵
2
BON
CON
，
∴
1
3
CON
BOC
，
∴
1
1
1
80
80
2
3
6
MON
CON
COM
BOC
BOC
BOC
．
当
90
CON
MON
时，OC 是
MON
的“分余线”，
即1
1
80
90
3
6
BOC
BOC
，
解得
60
BOC
；
当
90
COM
MON
时，OC 是
MON
的“分余线”，
即
1
1
80
80
90
2
6
BOC
BOC
，
解得
105
BOC
．
所以
BOC
的度数为60或105．
故答案为：60 或105．
1．【探索新知】
（1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．
①若
40
DCE
，则
ACB
________；若
130
ACB
，则
DCE
________；
②请直接写出
ACB
与
DCE
的数量关系________．
【深入探究】
（2）如图2，将两把同样的三角尺的60角的顶点A 重合在一起，则
DAB
与
CAE
有何数量关系？请说
明理由；
【拓展延伸】
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（3）如图3，已知
AOC
，作
AOB
，
COD
（，都是锐角，且
），若OC 在
AOB
的
内部，请直接写出
AOD
与
BOC
的数量关系．
【答案】（1）①140；50；②
180
ACB
DCE
；（2）
120
DAB
CAE
；（3）
AOD
BOC
或
AOD
BOC
或
BOC
AOD
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，数形结合，分类讨论是解题的关键．
（1）①当
40
DCE
时，根据互余关系得出
50
ACE
，根据
ACB
ACE
BCE
得出
ACB
，当
130
ACB
时，得出
40
ACE
，根据互余关系得出即可求解；②根据
90
ACB
ACD
BCD
BCD
，即可得出
180
ACB
DCE
；
（2）根据（1）的方法得出
60
DAB
DAC
CAB
CAB
，即可求解；
（3）分4 种情况讨论，即①OD 在OB 上方时，②OD 在
BOC
内部，③OD 在
AOC
内部，④OD 在OA
下方，分别画出图形，结合图形即可求解．
【详解】解：（1）①当
40
DCE
时，
∵
90
ACD
，
∴
90
40
50
ACE
∵
90
BCE
，
∴
50
90
140
ACB
ACE
BCE
；
当
130
ACB
时，
∵
90
BCE
，
∴
130
90
40
ACE
∵
90
ACD
，
∴
90
40
50
DCE
．
故答案为：140；50；
②∵
90
ACB
ACD
BCD
BCD
∴
90
90
180
ACB
DCE
BCD
DCE
BCE
；
即
180
ACB
DCE
（2）
120
DAB
CAE
．理由如下：
∵
60
DAB
DAC
CAB
CAB
；
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∴
60
60
120
DAB
CAE
CAB
CAE
EAB
；
（3）①OD 在OB 上方时，如图：
∴
AOD
BOC
AOB
BOD
BOC
AOB
COD
②OD 在
BOC
内部，如图：
同理可得：
AOD
BOC
AOB
COD
；
③OD 在
AOC
内部，如图：
AOD
BOC
AOB
COD
；
④OD 在OA下方，如图：
BOC
AOD
AOB
AOC
COD
AOC
AOB
COD
．
综上所述，
AOD
BOC
或
AOD
BOC
或
BOC
AOD
．
2．如图1，点O 在直线AB 上，
60
BOC
．已知
60
POQ
，
POQ
的两边
,
OP OQ 分别与射线
,
OB OC
重合，现将
POQ
绕点O 按每秒2的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为t 秒．（题目中所指的角均大
于0且小于180）
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(1)如图 2 所示，当0
90
t
时，若
4
BOP
COP
，且射线OP 在
BOC
内部，则
BOQ
___________，
此时t 的值为___________；
(2)当0
90
t
时，若OF 平分COQ ，请探究
BOF
与
COP
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)108，24
(2)
1
90
2
BOF
COP
或
1
90
2
BOF
COP
【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算；
（1）设
4
4
BOP
COP
，则
COP
，根据
60
BOC
得出
12
，进而得出
BOQ
，根据
POQ
绕点O 按每秒2的速度沿逆时针方向旋转，进而得出t 的值；
（2）设
COP
，分两种情况，求出则COQ ，由OF 平分COQ ，得出
COF
，即可求解；
【详解】（1）解：设
4
4
BOP
COP
，则
COP
，
60
BOC
BOP
POC
，则
4
60
，
解得：
12
，
4
60
48
60
108
BOQ
BOP
POQ
，
∵
4
48 ,
POB
POQ
绕点O 按每秒2的速度沿逆时针方向旋转，
48
24
2
t
（秒），
故答案为： 108，24 ．
（2）解：当0
30,
t
OP
在
BOC
内部，如图所示，
设
COP
，
60
POQ
，
60
COQ
POQ
POC
，
OF
平分COQ ，
1
1
30
2
2
COF
COQ
，
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1
1
60
30
90
2
2
BOF
BOC
COF
，
1
90
2
BOF
，
即
1
90
2
BOF
COP
；
当30
90
t
时，OP 在
BOC
的外部（
30
t
时，
,
OP OC 重合），
60
POQ
，
60
COQ
POQ
POC
，
∵OF 平分COQ ，
1
1
30
2
2
COF
COQ
，
1
1
60
30
90
2
2
BOF
BOC
COF
，
1
90
2
BOF
，即
1
90
2
BOF
COP
，
综上所述：
1
90
2
BOF
COP
或
1
90
2
BOF
COP
．
3．已知
AOB
补角的度数是
AOB
度数的1
5 ，OC ，OM ，ON 都是
AOB
内的射线．
(1)如图10，若OM 平分
BOC
，ON 平分
AOC
，当OC 绕点O 在
AOB
内旋转时，求
MON
的度数．
(2)若OD 也是
AOB
内的射线，且
25
COD
，OM 平分
BOD
，ON 平分
AOC
．
①当
COD
绕点O 在
AOB
内旋转时，求
MON
的度数；
②若起始位置时
15
BOC
，当
COD
在
AOB
内绕着点O 以2 度/秒的速度逆时针旋转t 秒时，
2
3
AON
BOM
．求t 的值．
【答案】(1)75
(2)①62.5或87.5 ②15
【分析】题目主要考查角平分线的计算，一元一次方程的应用，理解题意，结合图形，分情况分析是解题
关键．
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（1）设
AOB
的度数为x ，根据题意列出方程得出
150
AOB
，然后利用角平分线计算即可；
（2）①根据角平分线得出
1
2
MOD
BOD
，
1
2
CON
AOC
，然后分两种情况分析：情况一：如图1，
当OC 在OD 右侧时，情况二：如图2，当射线OC 在OD 左侧时，结合图形求解即可；②根据旋转及角平
分线作出相应图形，求解即可．
【详解】（1）解：设
AOB
的度数为x ．
由题意得
1
180
5
x
x
，
解得
150
x
．
所以
150
AOB
．
因为OM 平分
BOC
，ON 平分
AOC
．
所以
1
2
MOC
BOC
，
1
2
CON
AOC
．
所以
1
1
2
2
MON
MOC
CON
BOC
AOC
1
1
75
2
2
BOC
AOC
AOB
．
（2）①因为OM 平分
BOD
．ON 平分
AOC
，
所以
1
2
MOD
BOD
，
1
2
CON
AOC
．
分类讨论，情况一：如图1，当OC 在OD 右侧时，
MON
MOD
CON
COD
1
1
2
2
BOD
AOC
COD
1
2
BOD
AOD
COD
COD
1
2
AOB
COD
COD
1
1
1
1
150
25
62.5
2
2
2
2
AOB
COD
．
情况二：如图2，当射线OC 在OD 左侧时，
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MON
MOD
CON
COD
1
1
2
2
BOD
AOC
COD
1
2
BOD
COD
AOC
COD
COD
1
2
AOB
COD
COD
1
1
1
1
150
25
87.5
2
2
2
2
AOB
COD
．
综上所述，
MON
的度数为62.5或87.5．
②如图3．因为起始位置时
15
BOC
，
25
COD
，所以OD 在OC 的右侧．
因为
COD
在
AOB
内绕着点O 以2 度/秒的速度逆时针旋转t 秒．
所以
2
15
25
2
40
BOD
BOC
COD
t
t
．
因为射线OM 平分
BOD
．
所以
1
20
2
BOM
BOD
t
．
因为
AOC
AOB
BOC
．
所以
150
2
15
135
2
AOC
t
t
．
因为射线ON 平分
AOC
．
所以
1
67.5
2
AON
AOC
t
．
又因为2
3
AON
BOM
，
所以
2 67.5
3
20
t
t
．
解得
15
t
．
答：t 的值为15．
4．【综合与实践】
在第六章《几何图形初步》中，我们学习了角的平分线，通过折纸的方法可以作角的平分线．如图1，将纸
片上的
PQR
对折，使角的一边QP 与角的另一边QR 重合，得折痕QM ，此时
PQM
与
RQM
完全重合，
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因此
PQM
RQM
．展开纸片后，射线QM 即为
PQR
的平分线．
【探究1】
（1）如图2，在长方形纸片ABCD 的边AB
CD
，
上分别取点E
F
，
，连接EF ．若将
BEF
对折，点B 落在
直线EF 上的点B处，得折痕EM ；再将
AEF
对折，点A 落在直线EF 上的点A处，得折痕EN ，则
NEM
___________．
【探究2】
（2）如图3，在长方形纸片ABCD 的边AB 上取点E ，边CD上取点F
G
，
（点G 在点F 右侧），分别连接
EF
EG
，
．若将
BEG
对折，点B 落在直线EG 上的点B处，得折痕EM ；再将
AEF
对折，点A 落在直
线EF 上的点A处，得折痕EN ．
①若
36
AEN
，
49
BEM
，则
FEG
___________；
②若
20
FEG
，则
NEM
___________；
③若
0
180
FEG
，则
NEM
___________（用含的式子表示），并写出你的推导过程．
【探究3】
（3）如图4，在长方形纸片ABCD 的边AB 上取点E ，边CD上取点F
G
，
（点G 在点F 右侧），分别连接
EF
EG
，
．若将
BEF
对折，点B 落在直线EF 上的点B处，得折痕EM ；再将
AEG
对折，点A 落在直线EG
上的点A处，得折痕EN ．若
FEG
0
180
，则
NEM
___________（用含的式子表
示）．
【答案】（1）90；（2）①10；②80；③
1
90
2
，过程见解析；（3）
1
90
2
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
（1）由题意可得
AEN
A EN
，
B EM
BEM
，由平角的定义可得
180
AEN
A EN
B EM
BEM
∠
∠
∠
∠
，据此可得答案；
（2）①由题意可得
36
AEN
A EN
∠
∠
，
49
B EM
BEM
∠
∠
，由平角的定义可得
180
AEN
A EN
B EM
BEM
FEG
∠
∠
∠
∠
∠
，据此可得答案；②同（2）①求解即可；③同（2）①
求解即可；
（3））由题意可得
AEN
A EN
，
B EM
BEM
，由平角的定义可得
180
AEN
A EN
B EM
BEM
FEG
∠
∠
∠
∠
∠
，据此可得答案．
【详解】解：（1）由题意可得
AEN
A EN
，
B EM
BEM
，
∵
180
AEN
A EN
B EM
BEM
∠
∠
∠
∠
，
∴
90
A EN
B EM
，
∴
90
MEN
；
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（2）①由题意可得
36
AEN
A EN
∠
∠
，
49
B EM
BEM
∠
∠
，
∵
180
AEN
A EN
B EM
BEM
FEG
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴36
36
49
49
180
FEG
，
∴
10
FEG
；
②由题意可得
AEN
A EN
，
B EM
BEM
，
∵
180
AEN
A EN
B EM
BEM
FEG
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
20
180
AEN
A EN
B EM
BEM
∠
∠
∠
∠
，
∴
160
AEN
A EN
B EM
BEM
∠
∠
∠
∠
，
∴
80
A EN
B EM
∠
∠
，
∴
80
MEN
；
③由题意可得
AEN
A EN
，
B EM
BEM
，
∵
180
AEN
A EN
B EM
BEM
FEG
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
180
AEN
A EN
B EM
BEM
∠
∠
∠
∠
，
∴
180
AEN
A EN
B EM
BEM
∠
∠
∠
∠
，
∴
1
90
2
A EN
B EM
∠
∠
，
∴
1
90
2
MEN
；
（3）由题意可得
AEN
A EN
，
B EM
BEM
，
∵
180
AEN
A EN
B EM
BEM
FEG
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴
180
AEN
A EN
B EM
BEM
∠
∠
∠
∠
，
∴
180
AEN
A EN
B EM
BEM
∠
∠
∠
∠
，
∴
1
90
2
A EN
B EM
∠
∠
，
∴
1
90
2
MEN
∠
．
5．【基础感知】
如图1，点P 为线段AB 上一动点，
6
AB
，点P 从点A 出发向点B 运动，到达点B 后，再转向点A 运
动，…如此反复．在点P 的运动过程中，点P 运动1 个单位长度后到达点
1P ，即
1
1
AP ；再运动2 个单位
长度后到达点
2P ，此时
2
3
AP ；再运动3 个单位长度后到达点
3P ，…以此类推．
（1）求
3
AP ______，
2
4
P P ______，
【迁移应用】
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如图2，点O 是直线MN 上一点，线段OQ 从射线OM 的位置开始绕点O 向ON 的位置顺时针旋转，当转到ON
位置时，则从ON 位置弹回，继续向OM 位置旋转，…如此反复．在线段OQ 的旋转过程中，OQ 从OM 开始
旋转角度至
1
OQ ，从
1
OQ 继续旋转角度2至
2
OQ ，从
2
OQ 旋转角度3至
3
OQ ，…以此类推．
例如：当
20
时，线段
1
OQ ，
2
OQ ，
3
OQ ，
4
OQ ，
5
OQ 的位置如图3 所示，其中线段OQ 第4 次旋转到ON
后弹回，即
3
4
80
Q ON
NOQ
，而
5
OQ 恰好与
2
OQ 重合．
（2）若
35
，线段
1
OQ ，
2
OQ ，
3
OQ 的位置如图4 所示，求
2
3
Q OQ
的度数；
（3）若
30
，且线段
4
OQ 所在的射线平分
1
3
Q OQ
，在图5 中画出线段
1
OQ ，
2
OQ ，
3
OQ ，
4
OQ ，并求
出的值；
（4）若
36
，且
2
4
20
Q OQ
，直接写出所有的取值．
【答案】（1）6，1；（2）45；（3）图见解析，80
3
；（4）20
7
或340
13
或380
13
【分析】本题主要考查了线段的计算，角度的计算和角度的旋转变化，熟练掌握角度的计算是解题的关
键．
（1）根据点P 的运动规律即可求解；
（2）根据OQ 的旋转规律即可求解；
（3）当
18
时，由10
180
可判断不符合题意，当18
30
时，表示出
1
3
Q OQ
和
3
4
Q OQ
，根据
4
OQ 平分
1
3
Q OQ
即可求解；
（4）根据OQ 的旋转规律分①
18
，②
45
18
2
，③45
360
2
13
，④360
30
13
，⑤
30
36
，即可求解．
【详解】解：（1）由点P 的运动规律可知
2
3
3
P P
，
∴
3
2
2
3
6
AP
AP
P P
，
∴此时点P 到达点B，则点P 返回向点A 运动，
∴
4
4
BP
，
∴
2
4
4
2
3
4
3
1
P P
BP
P P
．
故答案为：6；1．
（2）∵OQ 从OM 开始旋转角度至
1
OQ ，从
1
OQ 继续旋转角度2至
2
OQ ，从
2
OQ 继续旋转角度3至
3
OQ ，
∴OQ 旋转了
2
3
6
6 35
210
，
∴OQ 旋转到了ON 的位置后，从ON 回弹了，
∴
3
210
180
30
NOQ
，
由题意得
2
2
3
3 35
105
MOQ
，
∴
3
2
3
2
180
180
105
30
45
MOQ
NOQ
Q OQ
．
（3）如图，
1
OQ ，
2
OQ ，
3
OQ ，
4
OQ 即为所求．
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当
18
时，
4
2
3
4
180
NOQ
，
∴
4
OQ 未从ON 回弹，不可能平分
1
3
Q OQ
，不符合题意，舍去；
∴18
30
，此时
3
2
3
6
180
MOQ
，
∴
3
OQ 未从ON 回弹，
由题意得，
1
3
2
3
5
Q OQ
，
3
3
180
180
6
NOQ
MOQ
，
∴
4
3
4
4
180
6
10
180
NOQ
NOQ
，
∴
3
4
4
3
10
180
180
6
16
360
Q OQ
NOQ
NOQ
，
∵
4
OQ 平分
1
3
Q OQ
，
∴
1
3
3
4
2
Q OQ
Q OQ
，即
5
2 16
360
，
∴
80
3
．
（4）①
18
时，则
2
3
4
10
180
，
∴
4
OQ 和
3
OQ 都未到达ON ，从ON 回弹，
由题意得
2
3
3
Q OQ
，
3
4
4
Q OQ
，
∴
2
4
2
3
3
4
20
Q OQ
Q OQ
Q OQ
，即3
4
20
，
∴
20
7
；
②
45
18
2
时，则
2
3
6
180
，
2
3
4
10
180
，
∴
3
OQ 未回弹，
4
OQ 已回弹，
由题意得，
3
3
180
180
6
NOQ
MOQ
，
2
180
3
NOQ
，
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∴
4
3
4
4
180
6
10
180
NOQ
NOQ
，
∴
3
4
180
6
10
180
360
16
0
NOQ
NOQ
，
∴
3
4
NOQ
NOQ
，即
4
OQ 回弹后在ON 和
3
OQ 之间或与
3
OQ 重合，
∴
2
4
2
3
3
54
Q OQ
Q OQ
，
∴与
2
4
20
Q OQ
矛盾，不符合题意，舍去；
③45
360
2
13
时，
同理②，
2
4
180
3
10
180
360
13
0
NOQ
NOQ
，
3
4
180
6
10
180
360
16
0
NOQ
NOQ
∴
2
4
NOQ
NOQ
，
3
4
NOQ
NOQ
，
∴
4
OQ 回弹后在
2
OQ 和
3
OQ 之间或与
2
OQ 重合，
∵
4
OQ 与
2
OQ 重合时，与
2
4
20
Q OQ
矛盾，不符合题意，舍去，
∵
2
4
2
4
20
Q OQ
NOQ
NOQ
，
∴
180
3
10
180
20
，
∴
340
13
；
④360
30
13
时，
同理③可得
3
OQ 未回弹，且
4
OQ 回弹后在
2
OQ 和
1
OQ 之间，
∵
2
4
4
2
20
Q OQ
NOQ
NOQ
，
∴
10
180
180
3
20
a
，
∴
380
13
；
⑤30
36
时，
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由题意得，
3
2
3
6
180
MOQ
，
∴
4
OQ 和
3
OQ 都已从ON 回弹，
∴
3
6
180
NOQ
，
4
3
4
4
6
180
10
180
NOQ
NOQ
，
2
180
3
NOQ
，
∴
4
2
10
180
180
3
13
360
0
NOQ
NOQ
，
4
3
4
4
6
180
10
180
180
NOQ
NOQ
∴
4
OQ 回弹后在
2
OQ 和OM 之间，
∴
2
4
4
2
20
Q OQ
NOQ
NOQ
，
∴
10
180
180
3
20
，
∴
380
13
，
∵30
36
，
∴不符合题意，舍去；
综上所述，的值为20
7
或340
13
或380
13
．
6．新定义：若两个角的和为120，则称这两个角互为“满分角”；例如
1
65
，
2
55
，则
1
与
2
互
为“满分角”．
【阅读理解】
（1）如图1，如果
50
AOB
，射线OD 在射线OA上方，
BOD
与
AOB
互为“满分角”，则
AOD
________．
【初步应用】
（2）若OC ，OE 为
AOB
内部的两条射线，射线OE 平分角
AOB
，若
BOC
与
AOB
互为“满分角”，
且满足
15
COE
，求
BOC
的值．
【解决问题】
（3）如图2 ，已知
100
AOB
，射线OM 从OA出发，以每秒12的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON
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从OB 出发，以每秒8的速度绕O 点逆时针旋转，设运动的时间为t 秒．
①作
BOM
的平分线OP ，当0
5
t
时，
MOP
与
MON
互为“满分角”，求运动时间t 的值．
②若5
12.5
t
，当t ________，时，由OM 、ON 、OB 三条射线形成的角互为“满分角”．
【答案】
1 20；
2 50或30；
15
3
13
①
，②55
7 或11或10．
【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含t 的代数式
表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于t 的一元一次方程，解方程求出t 的值即可．
1 根据“满分角”的定义，可知
120
BOD
AOB
，又因为已知
50
AOB
，即可求出
BOD
的度数，
再根据图中角之间的关系求出
AOD
的度数即可；
2 设
2
AOB
x
，则有
AOE
BOE
x
，然后再分当射线OC 在射线OE 上方时，和射线OC 在射线OE
下方时，两种情况求解；
3 ①当
5
t
时，射线OM 与ON 重合，当0
5
t
时，可知
100
20
MON
t
，
100
12
BOM
t
，根
据“满分角”的定义，列出关于t 的方程求解即可；
②因为当
5
t
秒时，射线OM 与ON 重合，当
12.5
t
秒时射线ON 与OA重合，当
25
3
t
时，射线OM 与OA
重合，所以要分当
25
5
3
t
时，和当25
12.5
3
t
时，两种情况讨论．
【详解】
1 解：
BOD
与
AOB
互为“满分角”，
120
BOD
AOB
，
50
AOB
，
50
120
BOD
，
70
BOD
，
70
50
20
AOD
BOD
AOB
，
故答案为：20；
2 解：如下图所示，设
2
AOB
x
，
射线OE 平分角
AOB
，
1
2
AOE
BOE
AOB
x
，
15
EOC
，
当射线OC 在射线OE 上方时，
15
BOC
BOE
EOC
x
，
BOC
与
AOB
互为“满分角”，
120
BOC
AOB
，
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2
15
120
x
x
，
解得：
35
x
，
15
50
BOC
x
；
如下图所示，当射线OC 在射线OE 下方时，
15
BOC
BOE
EOC
x
，
BOC
与
AOB
互为“满分角”，
120
BOC
AOB
，
2
15
120
x
x
，
解得：
45
x
，
15
30
BOC
x
；
综上所述，
BOC
的度数为50或30；
3 ①解：
100
12
8
5
，
当
5
t
时，射线OM 与ON 重合，
当0
5
t
时，
100
20
MON
t
，
100
12
BOM
AOB
AOM
t
，
OP 平分
BOM
，
1
1 100
12
50
6
2
2
MOP
BOM
t
t
，
MOP
与
MON
互为“满分角”，
120
MOP
MON
，
100
20
50
6
120
t
t
,
解得：
15
13
t
；
②解：由①可知当
5
t
时，射线OM 与ON 重合，
12.5 8
100
，
当
12.5
t
时，射线ON 恰好与OB 重合，
12.5 12
150
，
当
12.5
t
时，射线OM 旋转到OB 的下方，
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当
25
100 12
3
t
时，射线OM 与OA重合，
如下图所示，当
25
5
3
t
时，
8
BON
t
，
100
12
BOM
t
，
20
100
MON
t
，
OM 、ON 、OB 三条射线形成的角互为“满分角”，
当
BON
和
BOM
互为“满分角”时，
则有8
100 12
120
t
t
，
解得：
5
t (负值，舍去)；
当
BON
和
MON
互为“满分角”时，
则有8
20
100
120
t
t
，
解得：
55
7
t
；
当
BOM
和
MON
互为“满分角”时，
则有100
12
20
100
120
t
t
，
解得：
15
t
(不符合题意，舍去)；
如下图所示，当25
12.5
3
t
时，
8
BON
t
，
12
100
BOM
t
，
20
100
MON
t
，
当
BON
和
BOM
互为“满分角”时，
则有8
12
100
120
t
t
，
解得：
11
t
；
当
BON
和
MON
互为“满分角”时，
则有8
20
100
120
t
t
，
解得：
55
7
t
(不符合题意，舍去)；
当
BOM
和
MON
互为“满分角”时，
则有12
100
20
100
120
t
t
，
解得：
10
t
；
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综上所述，当
55
7
t
秒或11秒或10秒时，由OM 、ON 、OB 三条射线形成的角互为“满分角”，
故答案为：55
7 或11或10．
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