文档文本内容
1 / 14
学科网（北京）股份有限公司
专项训练06 角的动态旋转问题
【知识点1 角的动态旋转问题】
1. 动态角的表示（含时间参数）
- 基本公式：角∠AOB 从OA 边开始，以速度w（度/秒）旋转，时间为t ：
- 顺时针旋转：∠AOB = ∠AOB0 - w t（角度减小）；
- 逆时针旋转：∠AOB = ∠ AOB0 + w t（角度增大）。
- 多射线旋转：分别用含 t 的式子表示各条射线与起始边的夹角，角的度数 = 大角 - 小角（必要时加绝
对值）。
- 关键：确定旋转方向（顺/逆时针）和起始角度（通常以某边为基准）。
2. 核心等量关系：角度相等、和差、倍数
- 角度相等：如∠AOP = ∠POB，列方程 w1 t =∠AOB0 - w2 t 。
- 角度和/差为定值：如∠AOP + ∠POB =∠AOB（恒成立）；∠AOP -∠POB = 𝜶（需讨论射线位置）。
- 倍数关系：如∠AOP = 2∠POB，列比例方程w1t = 2(∠AOB0 - w2 t)。
- 平分线/垂直：平分线条件（角度相等）；垂直条件（夹角为 90°）。
3. 分类讨论与多解验证
- 射线位置不确定：射线可能在角内部或外部，需分情况讨论（如OP 在∠AOB 内部，或旋转到外部）。
- 相遇/追及：两射线重合（角度相等）或夹角为定值时，列方程解 t ，注意周期性（旋转超过360°会重
复）。
- 多解验证：
- 角度为正（∠> 0°）；
- 旋转时间 t≥0；
- 是否在限定范围内（如某射线只旋转一定角度后停止）。
- 注意：绝对值方程或三角方程可能产生多解，需结合运动实际筛选。
2 / 14
学科网（北京）股份有限公司
【题型1 旋转中求多解问题】
1．如图①，点O 在直线AB 上，过O 作射线
,
120
OC
BOC
，三角板的顶点与点O 重合，边OM 与OB
重合，边ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点O 按10 / s
的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，
第
s时，直线ON 恰好平分锐角
AOC
（图②）．
2．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知
30
D
，
60
E
，
45
B
C
∠
，若保持三角板ADE 不动，将三角板ABC 绕点A 在平面内旋转．当AB
DE
时，
EAC
的度数为 ．
【题型2 旋转中求的角定值问题】
3．已知：如图，直线AB 和CD 相交于点O（
AOC
为锐角），点M 在直线AB 上方，
90
BOM
，ON
平分
AOD
．
(1)若
52
COM
，求
DON
的度数；
(2)试说明：
1
2
DON
COM
的度数是一个定值，并求出这个定值的度数；
(3)若
14
5
BOC
COM
，试求
DON
的度数．
4．如图1，先画出直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（
AOB
）的顶点与60角
3 / 14
学科网（北京）股份有限公司
（
COD
）的顶点重合，且边OA，OC 都在直线EF 上．
(1)
BOD
度；
(2)如图2，固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度，当边OB 第一次落
在射线OF 上时停止．
①当OB 平分
EOD
时，求旋转角α 的度数；
②如图3，当OB 运动到
COD
内部时，
BOD
AOC
是定值，求这个定值；
③当
2
BOC
AOD
时， 直接写出旋转角α 的度数为 ．
【题型3 旋转中探究角的数量关系问题】
5．如图，
90
EOC
，请你根据图形，求解下列问题：
(1)在
,
,
,
EOA
AOC
EOB
EOD
中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用
“”把它们连接起来；
(2)
BOD
是哪两个角的和？
(3)写出
,
,
,
EOD
EOC
DOC
EOA
中某些角之间的两个等量关系；
(4)如果
EOD
COB
，则
BOD
的度数为_________．
6．已知O 为直线AB 上一点，射线OD
OC
OE
、
、
位于直线AB 上方，OD 在OE 的左侧，
120
AOC
，
80
DOE
．
4 / 14
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图1，当OD 平分
AOC
时，求
EOB
的度数；
(2)点F 在射线OB 上，若射线OF 绕点O 逆时针旋转n（0
180
n
且
60
n
），
3
FOA
AOD
．当
DOE
在
AOC
内部（图2）和
DOE
的两边在射线OC 的两侧（图3）时，
FOE
和
EOC
的数量关系是否改变，
若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【题型4 旋转中求角的运动时间问题】
7．如图，若
AOB
是平角，
30
AOC
，将直角三角板MON 的直角顶点与点O 重合，ON 与OA重合．将
三角板绕点O 以每秒2的速度顺时针方向旋转，设旋转的时间是t 秒．
(1)当ON 平分
AOC
时，计算
AON
与t 的值
(2)在三角板MON 旋转的同时，OC 以每秒4的速度顺时针旋转，当OC 平分
MOB
时，求t 的值．
8．如图1，直线AB 和直线CD 相交于O ，且
BOD
，点M
N
，
分别是射线OA、OB 上一点，射线OM
绕点O 以10 / s
的速度逆时针旋转，射线ON 绕点O 以30 / s
的速度顺时针旋转，旋转时间为(0
6)
t
t
，其
中OQ 为
MON
的角平分线．
(1)当
3s
t
时，
MON
．
(2)如图2，当t 为多少秒时，ON
OM
，
恰好分别为
BOD
AOD
和
的角平分线？并求出此时的度数．
5 / 14
学科网（北京）股份有限公司
(3)当
120
，且
20
DOQ
时，求旋转时间t 的值？
【题型5 旋转中探究角的新定义型问题】
9．【问题背景】如图1，已知射线OC 在
AOB
的内部，若
AOB
，
AOC
和
BOC
三个角中有一个角
的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是
AOB
的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，
60
MPN
．若射线PQ 是
MPN
的“量尺金线”，则
QPN
的度数为________；
【问题推广】
（3）在（2）中，若
MPN
x
，0
60
x
，射线PF 从PN 位置开始，以每秒旋转3的速度绕点P 按逆
时针方向旋转，当
FPN
首次等于180时停止旋转，设旋转的时间为s
t
．当t 为何值时，射线PM 是
FPN
的“量尺金线”？（用含x 的式子表示出t 即可）
10．【问题初探】
在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的2 倍，则称这条射线是已
知角的“奇妙线”．
例如：图1中
2
AOC
BOC
，则射线OC 是
AOB
的“奇妙线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）
【类比分析】
（2）如图2 ，若
60
MPN
，在
MPN
内部画一条射线PQ ，使PQ 是
MPN
的“奇妙线”，求
MPQ
的
度数；
【变式拓展】
（3）如图3，若
60
MPN
，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始以每秒10的速度逆时针旋转，同时射线PM
以每秒6的速度也绕点P 逆时针旋转，当射线PQ 与射线PM 重合时全部停止运动．设旋转时间为t 秒，请
直接写出t 为何值时，射线PQ 是
MPN
的“奇妙线”．
6 / 14
学科网（北京）股份有限公司
1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，
且被等分成了8 份，三角形OAB 是水车的支架，
60
AOB
．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆
心O 旋转．在图②中，若OC 平分
AOB
，则
BOD
的度数为（ ）
A．5
B．15
C．20
D．无法确定
2．题目： “一块含30角的直角三角板ABC 和一块含45角的直角三角板BDE 拼成如图1 所示的图案后，
三角板BDE 固定不动， 将三角板ABC 绕顶点B 旋转一周， 如图2． 当
CBE
ABD
时（注：
,
CBE
ABD
均指图中不超过180的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：
105
， 乙答：
285
， 则正确的是 （ ）
A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
3．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，
30
A
，
45
C
．
COD
△
固定不动，
AOB
V
绕着O
7 / 14
学科网（北京）股份有限公司
点顺时针旋转
0
180
，若
AOB
V
绕着O 点旋转图2 的位置，若
60
BOD
，则
AOC
的度数为
（ ）
A．150
B．120
C．60
D．30
4．定义：若两个角的度数差的绝对值等于60，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优
角”．如
100
，
40
，
60
，则
和互为“优角”．如图，
120
AOB
，射线OC
平分
AOB
，
EOF
在
AOB
的内部．若
60
EOF
，则图中互为“优角”的共有（ ）
A．6 对
B．7 对
C．8 对
D．9 对
5．一副三角板ABC、DBE，如图1 放置，（
30
D
、
45
BAC
），将三角板DBE 绕点B 逆时针旋转
一定角度，如图2 所示，且0
90
CBE
，有下列四个结论：
①在图1 的情况下，在
DBC
内作
DBF
EBF
，则BA 平分
DBF
；
②在旋转过程中，若BM 平分
DBA
，BN 平分
EBC
，
MBN
的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90的次数为3 次；
④
DBC
ABE
的角度恒为105．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至AE
BC
时，
BAD
的度数为
度．
8 / 14
学科网（北京）股份有限公司
7．如图，已知
180 ,
110
AOB
AOC
，现将射线OA绕点O 顺时针匀速旋转，射线
,
OB OC 保持不动，
当射线OA与射线OB 重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋转
的角度为
．
8．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线
叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如
120
AOB
，OC ，OD 是
AOB
的两条三分线，
以点O 为中心，将
COD
按顺时针方向旋转n（
90
n
）得到
C OD
，当OA恰好是
C OD
的三分线时，
n 的值为
．
9．一副直角三角板按如图①放置，点B
O
D
、、
在同一直线上，
90
B
D
，
45
AOB
，
60
COD
，
AOB
V
和
COD
△
同时以相同的速度绕点O 分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当
AOB
和
COD
的
平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了
．
10．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n 倍，那么我们将这
条射线称为这个角的
1
n 分位线．例如：如图1，
4
MOP
NOP
，则OP 为
MON
的5 分位线；
4
NOQ
MOQ
，则OQ 也是
MON
的5 分位线．
9 / 14
学科网（北京）股份有限公司
（1）如图2，点A、O 、B 在同一条直线上，OC 为一条射线，OP ，OQ 分别为
AOC
与
BOC
的3 分位
线，（
COP
POA
，
COQ
QOB
），
150
AOC
，则
POQ
；
（2）如果点A、O 、B 在同一条直线上，OC 为一条射线，已知射线OM 、ON 分别为
AOC
与
BOC
的
5 分位线，且
96
MON
，则
AOC
．
11．已知O 为直线AB 上的一点，
90
COE
，AB
MN
．
(1)如图①，以O 为观察中心，射线OA表示正北方向，ON 表示正东方，若
17
CON
，则射线OE 的方向
是________；若将射线OC 、射线OE 绕点O 旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF 恰好平分
COM
．若
20
EOF
，求
AOF
的度数；
(2)若将射线OC 、射线OE 绕点O 旋转至如图③所示的位置，射线OF 仍然平分
COM
，
CON
与
AOF
之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
12．如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使
135
BOC
，将一个含45角的直角三角尺的
一个顶点放在点O 处，斜边OM 与直线AB 重合，另外两条直角边都在直线AB 的下方．
(1)将图1 中的三角尺绕着点O 逆时针旋转90，如图2 所示，此时
BOM
；在图2 中，OM 是否平分
CON
？请说明理由；
(2)紧接着将图2 中的三角板绕点O 逆时针继续旋转到图3 的位置所示，使得ON 在
AOC
的内部，请探究：
AOM
与
CON
之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图1 中的三角板绕点O 按每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON
10 / 14
学科网（北京）股份有限公司
恰好平分锐角
AOC
，则t 的值为 （直接写出结果）
13．如图1，把一副三角板拼在一起，边OA，OC 与直线EF 重合，其中
45
AOB
，
60
COD
，此时
易得
75
BOD
．
(1)如图2，三角板COD 固定不动，将三角板AOB 绕点O 以每秒5的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，
三角板AOB 一直在
EOD
的内部，设三角板AOB 运动时间为t 秒．
①当
3
t
时，
BOD
______；
②当t 为何值时，
4
AOE
BOD
？
(2)如图3，在（1）的条件下，若OM 平分BOE ，ON 平分
AOD
．
①当
30
AOE
时，
MON
______；
②请问在三角板AOB 的旋转过程中，
MON
的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果
不发生变化，请直接写出
MON
的度数．
14．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如
何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义
两手手心位置分别为A，B 两点，两脚脚跟位置分别为C，D 两点，A，B，C，D，E，O 在同一平面内，O
为定点，且OE 垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O 进行旋转：
(1)填空：如图2，A，O，B 三点共线，且
AOC
BOC
，则
AOC
________°；
(2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B 三点共线，却不在水平方向上，且
:
5:3
AOD
BOC
，求
3
5
AOC
BOD
的度数；
(3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，OE 平分
COD
，且
30
COD
，开始运动前A，
O，B 三点在同一水平线上，OA，OB 同时绕点O 逆时针旋转，OA旋转速度为25 / s
，OB 旋转速度为
50 / s
，运动时间为st ，当OA旋转到与OC 重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示
AOE
与
BOD
的数量关系，并说明理由．
11 / 14
学科网（北京）股份有限公司
15．【概念学习】定义：从
45
90
的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将
分得
的两个角中有一个角与
的和为90°，则称该射线为
的“分余线”．
【深入思考】
(1)如图1，
80
AOB
，
70
AOC
，则射线OC ______
AOB
的“分余线”；（填：“是”或“不是”）
(2)若OC 平分
AOB
，且OC 为
AOB
的“分余线”，求
AOB
的度数；
(3)如图2，
160
AOB
，在
AOB
内部作射线OC ，OM ，使OM 为
AOC
的平分线，在
BOC
的内部
作射线ON ，使
2
BON
CON
．当OC 为
MON
的“分余线”时，
BOC
______度．
1．如图1，已知，点O 为直线AB 上一点，OC 在直线AB 的上方，
60
AOC
．一直角三角板的直角顶点
放在点O 处，三角板一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．
(1)在图1 的时刻，
BOC
的度数为________，
CON
的度数为________；
(2)如图2，当三角板绕点O 旋转至一边OM 恰好平分
BOC
时，求
BON
的度数；
(3)在三角板绕点O 旋转一周的过程中，求
COM
与
AON
之间的数量关系．
2．如图1，点O 在直线AB 上，
60
BOC
．已知
60
POQ
，
POQ
的两边
,
OP OQ 分别与射线
,
OB OC
重合，现将
POQ
绕点O 按每秒2的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为t 秒．（题目中所指的角均大
于0且小于180）
12 / 14
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图 2 所示，当0
90
t
时，若
4
BOP
COP
，且射线OP 在
BOC
内部，则
BOQ
___________，
此时t 的值为___________；
(2)当0
90
t
时，若OF 平分COQ ，请探究
BOF
与
COP
的数量关系，并说明理由．
3．已知
AOB
补角的度数是
AOB
度数的1
5 ，OC ，OM ，ON 都是
AOB
内的射线．
(1)如图10，若OM 平分
BOC
，ON 平分
AOC
，当OC 绕点O 在
AOB
内旋转时，求
MON
的度数．
(2)若OD 也是
AOB
内的射线，且
25
COD
，OM 平分
BOD
，ON 平分
AOC
．
①当
COD
绕点O 在
AOB
内旋转时，求
MON
的度数；
②若起始位置时
15
BOC
，当
COD
在
AOB
内绕着点O 以2 度/秒的速度逆时针旋转t 秒时，
2
3
AON
BOM
．求t 的值．
4．综合与实践
【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题
吧．已知
120
AOB
，射线
,
OE OF 分别是
AOC
和
COB
的角平分线．
(1)【初步感知】若射线OC 在
AOB
的内部，且
30
AOC
，求
EOF
的度数；
(2)【探究发现】若射线OC 在
AOB
的内部绕点O 旋转，请判断
EOF
的大小是否为定值，并说明理由；
(3)【拓展延伸】若射线OC 从OA出发，绕着点O 顺时针方向旋转，旋转的角度不超过180，其余条件不变，
当
3
BOE
COF
时，请借助备用图探究
EOC
的大小，并直接写出
EOC
的度数（不写计算过程）．
5．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 1
3，则这条射线叫原
来角的“新生线”．
13 / 14
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图1，
2
MOP
PON
，射线OP
MON
的“新生线”（填“是”或“不是”）；
(2)点M、O、N 在同一直线上，
①在图2 中，
72
AON
，射线OC 在
AOM
的内部，并且是
AOM
的“新生线”， OD 平分
COM
，
求
DOM
的大小；
②如图3，OA
MN
，
44
AOB
，射线OC 从OM 出发绕点O 以每秒6的速度逆时针旋转，运动时间为
t 秒，若在射线OC 旋转的同时，
AOB
绕点O 以每秒2的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD 平
分
AOB
．当射线OC 与射线ON 重合时，运动都停止．当射线OC 是
MOD
的“新生线”时，直接写出t 的
值．
6．如图1，将一副三角板的直角顶点C 叠放在一起（
90
ACD
BCE
）．
观察分析：
(1)若
35
DCE
，则
ACB
∠
；若
150
ACB
，则
DCE
；
猜想探究：
(2)请你猜想
ACB
与
DCE
有何关系，并说明理由；
拓展应用：
(3)如图2 ，若将两个同样的三角板含
60
60
DAC
EAB
锐角的顶点A 重合在一起，请你猜想
DAB
与
CAE
有何关系，请说明理由；
(4)如图3，如果把任意两个锐角
AOB
、
COD
的顶点O 重合在一起，已知
AOB
，
COD
（
、
都是锐角），请你直接写出
AOD
和
BOC
与
、
之间的关系．
7．将一副直角三角板按如图1 摆放在直线AD 上（直角三角板OBC 和直角三角板MON ，
90
OBC
，
45
BOC
，
90
MON
，
30
MNO
），保持三角板OBC 不动，将三角板MON 绕点O 以每秒6的
速度顺时针方向旋转t 秒．
14 / 14
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图2，当t 秒时，OM 平分
AOC
，此时
NOC
AOM
；
(2)继续旋转三角板MON ，如图3，使得OM 、ON 同时在直线OC 的右侧，猜想
NOC
与
AOM
有怎样的
数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）；
(3)直线AD 的位置不变，若在三角板MON 开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC 也绕点O 以每秒2
的速度顺时针旋转，当OM 旋转至射线OD 上时，两个三角板同时停止运动．
①当t 秒时，
15
MOC
；
②请直接写出在旋转过程中，
NOC
与
AOM
的数量关系（数量关系中不能含t）．
8．新定义：若两个角的和为120，则称这两个角互为“满分角”；例如
1
65
，
2
55
，则
1
与
2
互
为“满分角”．
【阅读理解】
（1）如图1，如果
50
AOB
，射线OD 在射线OA上方，
BOD
与
AOB
互为“满分角”，则
AOD
________．
【初步应用】
（2）若OC ，OE 为
AOB
内部的两条射线，射线OE 平分角
AOB
，若
BOC
与
AOB
互为“满分角”，
且满足
15
COE
，求
BOC
的值．
【解决问题】
（3）如图2 ，已知
100
AOB
，射线OM 从OA出发，以每秒12的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON
从OB 出发，以每秒8的速度绕O 点逆时针旋转，设运动的时间为t 秒．
①作
BOM
的平分线OP ，当0
5
t
时，
MOP
与
MON
互为“满分角”，求运动时间t 的值．
②若5
12.5
t
，当t ________，时，由OM 、ON 、OB 三条射线形成的角互为“满分角”．
