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专项训练05 线段上的动点问题
【知识点1 线段上的动点问题】
1. 动点位置的表示（含时间参数）
- 基本公式：点P 从端点A 出发，速度为v，运动时间为t：
- 向端点B 运动：AP = vt，PB = AB - vt。
- 若从B 向 A 运动：BP = vt，PA = AB - vt 。
- 关键：动点位置常用“到某个端点的距离”或“剩余距离”表示。
- 多动点：分别用含 t 的式子表示各自的位置（用距离或比例）。
2. 核心等量关系：距离与比例
- 距离相等：如AP = PB（中点），列方程 vt = AB - vt 。
- 距离和/差为定值：如AP + PB = AB（恒成立，无新信息）； AP - PB = d （需讨论P 的位置）。
- 比例关系：如 AP : PB = m : n ，列比例方程
vt
AB − vt =
𝑚
𝑛 。
- 折返问题：点到达端点后折返，用分段函数表示位置（如先到B 再返回A ）。
3. 分类讨论与多解验证
- 位置不确定：点P 可能在端点之间，也可能在端点处，需分情况讨论（如AP > PB 或AP < PB）。
- 绝对值方程：若无法确定左右位置，用绝对值表示距离，解出多个t 后需验证是否在运动时间范围内。
- 多动点相遇：多个动点同时运动，相遇条件为位置相同，但需注意相遇时是否仍在线段上。
【题型1 线段上含动点求线段长问题】
1．如图，点C 在射线AB 上，且在点A、B 之间，
18
AB
，
2
AC
BC
．动点P 从C 出发，以每秒1 个单
位长度的速度沿射线CB 向右匀速运动；同时动点Q 从A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿射线AB 运动，
遇到点P 时按原速返回点C 停止运动．当点Q 停止运动时，点P 也随之停止运动，设点Q 的运动时间为
s
t
．
(1) AC
．
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(2)当点P 是线段BC 的中点时，求PQ的长．
2．探究题：如图，已知线段
12cm
AB
，点C 为AB 上的一个动点，点D、E 分别是AC 和BC 的中点．
(1)若点C 恰好是AB 中点，则DE ____________；
(2)若
4cm
AC
，求DE 的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC 取何值（不超过12cm ），DE 的长不变．
【题型2 线段上含动点求定值问题】
3．如图，数轴上点A，B 表示的有理数分别为6
，3，点P 是射线AB 上的一个动点（不与点A，B 重
合），M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点．
(1)若点P 表示的有理数是0，那么MN 的长为___________；若点P 表示的有理数是6，那么MN 的长为
___________．
(2)点P 在射线AB 上运动（不与点A，B 重合）的过程中，MN 的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN
的长的过程；若改变，请说明理由．
4．如图，M 是线段AB 上一动点，沿A
B
A
以1cm/s 的速度往返运动1 次，N 是线段BM 的中点，
5cm
AB
，设点M 运动时间为t 秒
0
10
t
．
(1)当
2
t
时，①AM ______cm，②此时线段BN 的长度______cm；
(2)用含有t 的代数式表示运动过程中AM 的长；
(3)在运动过程中，若AM 中点为C，则CN 的长度是否变化？若不变，求出CN 的长；若变化，请说明理
由．
【题型3 线段上含动点求时间问题】
5．如图，在长方形ABCD 中，
12cm
AB
，
6cm
BC =
，动点P 沿AB 边从点A 开始，向点B 以2cm/s的速度
运动；同时，动点Q 沿DA 边从点D 开始，向点A 以1cm/s 的速度运动；设运动时间为t．
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(1)当t 为何值时，AQ
AP
？
(2)当t 为何值时，AQ
AP
等于长方形周长的1
4 ？
(3)如果点P 到达点B 后沿BC 方向继续运动，点Q 达到点A 后沿AB 方向继续运动，当点P 到达点C 时，
求点Q 的位置．
6．如图，
12
AB
，线段CD 在线段AB 上，点C 在点D 的右边，且
3
CD
．动点P 从A 出发，以每秒3
个单位长度的速度沿AB 向终点B 匀速运动；同时线段CD 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿BA
匀速运动，当点D 与点A 重合时，停止运动．设点C 的运动时间为s
t
．
(1)当点P 与点A 重合时，AD ．
(2)当点P 与点D 相遇时，求t 的值．
(3)求PD 的长（用含t 的代数式表示）．
(4)取CD 的中点E，当
2
AB
PE
时，直接写出t 的值．
【题型4 线段上含动点的新定义型问题】
7．已知线段
20
AB
，点C 在线段AB 上，且
3
5
AC
AB
．
(1)求线段AC ，CB 的长；
(2)点P 是线段AB 上的动点，线段AP 的中点为D ，设AP
a
．
①请用含有a 的式子表示线段PC ，DC 的长；
②若三个点D ，P ，C 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称D ，P ，C 三点为“和谐点”，求使得
D ，P ，C 三点为“和谐点”的a 的值．
8．定义：在同一直线上有
, ,
A B C 三点，若点C 到
,
A B 两点的距离呈2 倍关系，即
2
AC
BC
或
2
BC
AC
，
则称点C 是线段AB 的“倍距点”．
(1)线段AB 的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
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(2)已知
9
AB
，点C 是线段AB 的“倍距点”，直接写出AC ．
(3)如图1，在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点．
①现有一动点P 从原点O 出发，以每秒2 个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t 秒(
0)
t
，求
当t 为何值时，点P 为AC 的“倍距点”？
②现有一长度为2 的线段MN （如图2，点M 起始位置在原点），从原点O 出发，以每秒1 个单位的速度
沿数轴向右匀速运动．当点N 为MC 的“倍距点”时，请直接写出t 的值．
1．已知点M 是线段AB 上一点，若
1
4
AM
AB
，点N 是直线AB 上的一动点，且AN
BN
MN
，则MN
AB
的（ ）
A．3
4
B．
1
2
C．1 或
1
2
D．3
4 或2
2．已知线段
16
AB
，C、D 是线段AB 上的两个动点，则下列结论：①若C 是AB 的中点，点D 在线段CB
上，
3
DB
，则
5
CD ；②若
1
2
AC
BD
CD ，则
32
3
CD
；③若
4
CD
， 且
1 2
AC
BD
：
：，则
4
AC
；④若D 是BC 的中点，
6
0
AC
a a
， 则AC
BD
．其中正确的为（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①②④
3．如图，已知A，B（B 在A 的左侧）是数轴上的两点，点A 对应的数为4，且
6
AB
，动点P 从点A 出
发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M，N 始终为AP，BP 的中点，设
运动时间为
0
t t
秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B 对应的数是2；②点P 到达点B 时，
3
t
；③
2
BP
时，
2
t
；④在点P 的运动过程中，线段MN
的长度不变．
A．①③④
B．②③④
C．②③
D．②④
4．已知线段
24cm
AB
，动点P 从点A 出发，以每秒6cm的速度沿AB 向右运动，同时，动点Q 从点B 出
发，以每秒4cm 的速度沿BA 向左运动，设运动时间为t 秒
0
4
t
．在整个运动过程中，请你用t 的式子
表示线段PQ的长
．
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5．如图，数轴上的点O 为原点，点A 表示的数为3
，动点P 从点O 出发，按以下规律跳动：第1 次从点O
跳动到OA的中点
1A 处，第2 次从点
1A 跳动到
1A A 的中点
2
A 处，第3 次从点
2
A 跳动到
2
A A的中点
3
A 处，…，
第n 次从点
1
n
A 跳动到
1
n
A
A
的中点
n
A 处，按照这样的规律继续跳动到点
4
A ，
5
A ，
6
A ，…，
2024
A
处，那么
点
2024
A
所表示的数为
．
6．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满
足“中点关系”．已知，如图点A ，B 表示的数分别为2
，6 ，点C 为数轴上一动点．若A ，B ，C 三点满足
“中点关系”时，则点C 表示的数为
．
7．如图，已知数轴上点A 表示的数为4，点B 表示的数为1，C 是数轴上一点，且
8
AC
．动点P 从点B
出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为
0
t t
秒．
(1)直接写出数轴上点C 表示的数；
(2)当点C 在数轴的负半轴上时，用含t 的代数式表示线段CP 的长度；
(3)当点C 在数轴的负半轴上时，设M 是AP 的中点，N 是CP 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 是否发
生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出MN 的长度．
8．如图，数轴上点A 表示的数为5
，点B 表示的数为7，动点C 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速
度沿数轴向右匀速运动，同时动点D 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度向左匀速运动．设点C 运动
时间为t 秒
0
t
．
(1)①
,
A B 两点之间的距离为_______，线段AB 的中点表示的数为_______．
②用含t 的代数式表示：t 秒后，点C 表示的数为_______，点D 表示的数为_________．
(2)当
4
t
时，描述C、D 两点的位置关系．
(3)点C 运动4 秒后，动点E 从点B 出发，以每秒5 个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE
CD
的
值是否随着时间t 的变化而变化？请说明理由．
9．如图，O 为数轴的原点，
5
AO
，
6
BD
，O 为BD 的中点，C 为AB 的中点．
(1)求CO 的长度；
(2)若动点P 从点C 出发，以每秒2 个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q 从O 出发，以每秒1 个
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单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t 秒(
0)
t
，当t 满足什么条件时，
2
AP
BQ
有最小值，并求
出该最小值．
10．综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O 为原点，A、B 两点所表示数分别为2
和
8．
实践探究
(1)线段AB 的长为________；
(2)动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒，
①当0
5
t
时，线段PA ________，线段PB ________，点P 表示的数为________；（用含t 的代数式
表示）
②若点M 是线段PA 的中点，点N 是线段PB 的中点，当动点P 在（2）条件下运动时，线段MN 的长度是
否与点P 的运动时间t 有关．若有关，请求出线段MN 的长度与t 的关系式；若无关，请说明理由，并求出
线段MN 的长度．
1．如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条
线段长度的2 倍，则称点C 是线段AB 的“奇点”．
【新知理解】
（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”）
【问题解决】
（2）若点A 和点B 在数轴上表示的数分别是10
和14，点C 是线段AB 的“奇点”，求点C 在数轴上表示的
数．
【应用拓展】
（3）如图②，已知
24cm
AB
．动点P 从点A 出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B 匀速移动；点Q 从点B 出
发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移
动的时间为st ．当点P 是线段AQ 的“奇点”时，直接写出运动时间t 的所有可能值．
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2．如图①，点M 是线段AB 上任意一点，图中共有三条线段AB
AM
、
和BM ，若其中的两条较短线段中有
一条线段的长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点M 是线段AB 的“友好点”．
(1)若
12cm
AB
，点M 是线段AB 上靠近点A 的“友好点”，求BM 的长；
(2)如图②，若
24cm
CD
，点M 是线段CD 的“友好点”，点N 是线段CD 的中点，则MN
MC
__________
cm；
(3)如图③，已知
24cm
AB
，动点P 从点A 出发，以2cm/s速度沿AB 向点B 匀速移动，点Q 从点B 出发，
以3cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点
,
P Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为t，请求出t 为何值时，A
P
、、 Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”．
3．在数轴上，把原点记作点O，表示数a 的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A 重合），
将线段PO 与线段PA 的长度之比定义为点P 关于点A 的K 值，记作
k P
a
，
，即
PO
k
a
PA
P
，
，例如：
点P 表示的数为1，点A 表示的数为3，因为
1
PO ，
2
PA
，所以
1
2
PO
k P
a
PA
，
(1)当点P 是线段OA的中点时，点P 关于点A 的K 值
k P
a
，
；
(2)若点P 表示的数为p，点A 表示的数为a，
4
OA
OP
，求点P 关于点A 的K 值
k P
a
，
；
(3)点
1P 、点
2P 为数轴上两个不同的点，并且点
1P 与
2P 所表示的数互为相反数，点
1P 表示的数为p，点A．点
B 分别表示数a、2
，若
1
2
2
k P
a
k P
，
，
，请直接写出a、p 需满足条件： ．
4．如图，已知数轴上原点为O ，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a
b
、满足
2
10
4
0
a
b
．动点P 从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒．
(1)写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是___________，点P 表示的数是___________
（用含t 的式子表示）；
(2)设点M 是AP 的中点，点N 是PB 的中点．点P 在直线AB 上运动的过程中，线段MN 的长度是否会发生
变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段MN 的长度．
(3)动点Q 从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R 从点O 出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点
,
,
P Q R 同时出发；若点
,
P R 间的距离记为PR ，点
,
P Q 间的距离记
为PQ，是否存在一个数n ，使得nPR
PQ
的值与t 无关？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理
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由．
5．定义：若点A ，B ，C 在同一直线上，且AB
mAC
，则
ABC
d
m
．例如
6
AB
，
3
AC
，则
2
ABC
d
．
(1)如图1，O 为数轴的原点，点P ，Q 表示的数分别为4 和2
，则
OPQ
d
_______．
(2)如图2，已知线段
12cm
AB
，点P 从点A 出发向右运动，点Q 从点B 出发向左运动，若点P 运动速度为
1cm / s ，点Q 的运动速度为2cm / s ．设运动时间为t ．
①请用含有t 的代数式分别表示
APB
d
和
AQB
d
．
②当t 为何值时，
1
2
AQB
APB
d
d
．
③若线段PQ的中点为M ，直接写出
1
3
AMB
d
时t 的值．
6．定义：在同一直线上有
, ,
A B C 三点，若点C 到
,
A B 两点的距离呈2 倍关系，即
2
AC
BC
或
2
BC
AC
，
则称点C 是线段AB 的“倍距点”．
(1)线段AB 的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知
9
AB
，点C 是线段AB 的“倍距点”，直接写出AC ．
(3)如图1，在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点．
①现有一动点P 从原点O 出发，以每秒2 个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t 秒(
0)
t
，求
当t 为何值时，点P 为AC 的“倍距点”？
②现有一长度为2 的线段MN （如图2，点M 起始位置在原点），从原点O 出发，以每秒1 个单位的速度
沿数轴向右匀速运动．当点N 为MC 的“倍距点”时，请直接写出t 的值．
