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专项训练05 线段上的动点问题
【知识点1 线段上的动点问题】
1. 动点位置的表示（含时间参数）
- 基本公式：点P 从端点A 出发，速度为v，运动时间为t：
- 向端点B 运动：AP = vt，PB = AB - vt。
- 若从B 向 A 运动：BP = vt，PA = AB - vt 。
- 关键：动点位置常用“到某个端点的距离”或“剩余距离”表示。
- 多动点：分别用含 t 的式子表示各自的位置（用距离或比例）。
2. 核心等量关系：距离与比例
- 距离相等：如AP = PB（中点），列方程 vt = AB - vt 。
- 距离和/差为定值：如AP + PB = AB（恒成立，无新信息）； AP - PB = d （需讨论P 的位置）。
- 比例关系：如 AP : PB = m : n ，列比例方程
vt
AB − vt =
𝑚
𝑛 。
- 折返问题：点到达端点后折返，用分段函数表示位置（如先到B 再返回A ）。
3. 分类讨论与多解验证
- 位置不确定：点P 可能在端点之间，也可能在端点处，需分情况讨论（如AP > PB 或AP < PB）。
- 绝对值方程：若无法确定左右位置，用绝对值表示距离，解出多个t 后需验证是否在运动时间范围内。
- 多动点相遇：多个动点同时运动，相遇条件为位置相同，但需注意相遇时是否仍在线段上。
【题型1 线段上含动点求线段长问题】
1．如图，点C 在射线AB 上，且在点A、B 之间，
18
AB
，
2
AC
BC
．动点P 从C 出发，以每秒1 个单
位长度的速度沿射线CB 向右匀速运动；同时动点Q 从A 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿射线AB 运动，
遇到点P 时按原速返回点C 停止运动．当点Q 停止运动时，点P 也随之停止运动，设点Q 的运动时间为
s
t
．
(1) AC
．
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(2)当点P 是线段BC 的中点时，求PQ的长．
【答案】(1)12
(2)6
【分析】本题考查了线段的和差倍分的计算，运动问题，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的关系，是
解题的关键．
（1）根据
2
AC
BC
，且
18
AC
CB
AB
，代入计算即可．
（2）根据题意，得
3
AQ
t
，CP
t
，当点P 是线段BC 的中点时，确定运动时间，后计算即可．
【详解】（1）解：∵根据
2
AC
BC
，且
18
AC
CB
AB
，
∴2
18
CB
CB
，
∴
6
CB
，
∴
2
2 6
12
AC
BC
，
故答案为：12．
（2）解：∵动点P 从C 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿射线CB 向右匀速运动；同时动点Q 从A 出发，
以每秒3 个单位长度的速度沿射线AB 运动，设运动时间为t ，
得
3
AQ
t
，CP
t
，
当点P 是线段BC 的中点时，
1
3
2
CP
CB
，
故此时
3
t
，
∴
9
AQ
，
3
CP
，
∴
12
9
3
6
PQ
AC
AQ
CP
．
2．探究题：如图，已知线段
12cm
AB
，点C 为AB 上的一个动点，点D、E 分别是AC 和BC 的中点．
(1)若点C 恰好是AB 中点，则DE ____________；
(2)若
4cm
AC
，求DE 的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC 取何值（不超过12cm ），DE 的长不变．
【答案】(1)6
(2)
6cm
DE
(3)见解析
【分析】本题考查了线段中点的有关计算．
（1）由点D、E 分别是AC 和BC 的中点，C 点为AB 的中点，求出AC ，BC ，CD ，CE 的长度，运用
DE
CD
CE
即可得出答案．
（2）先求出BC ，再利用中点关系求出CD
CE
，
即可得出DE 的长．
（3）设
cm
AC
a
，由点D、E 分别是AC 和BC 的中点，根据DE
CD
CE
即可得出不论AC 取何值（不
超过12cm ），DE 的长不变，
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【详解】（1）
12
AB
cm
，C 点为AB 的中点，
6cm
AC
BC
．
∵点D 、B 分别是AC 和BC 的中点，
3cm
CD
CE
，
6cm
DE
．
故答案为：6；
（2）
12cm
AB
，
4cm
AC
，
8cm
BC
．
∵点D 、B 分别是AC 和BC 的中点，
2cm
CD
，
4cm
CE
，
6cm
DE
；
（3）设
cm
AC
a
，则
(12
)cm
BC
AB
AC
a
，
∵点D 、B 分别是AC 和BC 的中点，
∴
1
cm
2
2
a
CD
AC
，
1
12
cm
2
2
a
CE
BC
1
6cm
2
DE
CD
CE
AB
，
不论AC 取何值（不超过12cm ），DE 的长不变；
【题型2 线段上含动点求定值问题】
3．如图，数轴上点A，B 表示的有理数分别为6
，3，点P 是射线AB 上的一个动点（不与点A，B 重
合），M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点．
(1)若点P 表示的有理数是0，那么MN 的长为___________；若点P 表示的有理数是6，那么MN 的长为
___________．
(2)点P 在射线AB 上运动（不与点A，B 重合）的过程中，MN 的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN
的长的过程；若改变，请说明理由．
【答案】(1)6 ；6
(2)不会，MN 的长为定值6
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【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
（1）根据题意求出AP
BP
、
的长度，根据三等分点的定义求出NP
MP
、
的长度，即可得到答案；
（2）分6
3
a
及
3
a
两种情况分类讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：若点P 表示的有理数是0，
根据题意可知：
6,
3
AP
BP
，
M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，
2
2
4,
2
3
3
MP
AP
NP
BP
，
6
MN
MP
NP
；
若点P 表示的有理数是6，
12,
3
AP
BP
，
M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，
2
2
8,
2
3
3
MP
AP
NP
BP
，
6
MN
MP
NP
；
故答案为：6 ；6 ；
（2）解：MN 的长不会发生改变；
设点P 表示的有理数为a （
6
a 且
3
a
），
当6
3
a
时，
6
AP
a
，
3
BP
a
，
M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，
2
2
2
2
(
6),
(3
)
3
3
3
3
MP
AP
a
NP
BP
a
，
6
MN
MP
NP
；
当
3
a
时，
6
AP
a
，
3
BP
a
，
M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，
2
2
2
2
(
6),
(
3)
3
3
3
3
MP
AP
a
NP
BP
a
，
6
MN
MP
NP
；
综上所述，点P 在射线AB 上运动（不与点A，B 重合）的过程中，MN 的长不会发生改变，长是定值6 ．
4．如图，M 是线段AB 上一动点，沿A
B
A
以1cm/s 的速度往返运动1 次，N 是线段BM 的中点，
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5cm
AB
，设点M 运动时间为t 秒
0
10
t
．
(1)当
2
t
时，①AM ______cm，②此时线段BN 的长度______cm；
(2)用含有t 的代数式表示运动过程中AM 的长；
(3)在运动过程中，若AM 中点为C，则CN 的长度是否变化？若不变，求出CN 的长；若变化，请说明理
由．
【答案】(1)①2，②1.5；
(2)当0
5
t
时，
cm
AM
t
，当5
10
t
时，
10
cm
AM
t
；
(3)CN 的长度不变，为2.5cm
【知识点】用代数式表示式、线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式：
（1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案；
（2）分当0
5
t
时，当5
10
t
时，两种情况讨论求解即可；
（3）根据线段中点的定义得到
1
1
2
2
CM
AM
NM
BM
，
，再由线段的和差关系可得
1
2.5cm
2
CN
CM
MN
AB
．
【详解】（1）解；①由题意得，
2 1
2cm
AM
；
②∵
5cm
AB
，
2cm
AM
，
∴
3cm
BM
AB
AM
，
∵N 是线段BM 的中点，
∴
1
1.5cm
2
BN
BM
；
（2）解：当0
5
t
时，
cm
AM
t
，
当5
10
t
时，
10
cm
AM
t
；
（3）解：∵点C 和点N 分别是AM
BM
，
的中点，
∴
1
1
2
2
CM
AM
NM
BM
，
，
∴
1
1
1
2.5cm
2
2
2
CN
CM
MN
AM
BM
AB
，
∴CN 的长度不变，为2.5cm．
【题型3 线段上含动点求时间问题】
5．如图，在长方形ABCD 中，
12cm
AB
，
6cm
BC =
，动点P 沿AB 边从点A 开始，向点B 以2cm/s的速度
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运动；同时，动点Q 沿DA 边从点D 开始，向点A 以1cm/s 的速度运动；设运动时间为t．
(1)当t 为何值时，AQ
AP
？
(2)当t 为何值时，AQ
AP
等于长方形周长的1
4 ？
(3)如果点P 到达点B 后沿BC 方向继续运动，点Q 达到点A 后沿AB 方向继续运动，当点P 到达点C 时，
求点Q 的位置．
【答案】(1)2 秒
(2)3 秒
(3)在线段AB 上距离A 点3cm 处
【分析】（1）由点Q 在AD 边上运动且运动时间为ts 时，表示AQ 、AP ，令其相等，即可求出t 值；
（2）由点Q 在AD 边上运动时，点P 在AB 边上运动时， 表示AQ 、AP ，利用AQ
AP
等于长方形周长
的1
4 ，建立关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）先求解P 运动到C 的时间，再求解Q 的运动路程，从而可得答案．
【详解】（1）解：当点Q 在AD 边上运动，运动时间为st 时，
6
AQ
t
，
2
AP
t
，
根据题意得：6
2
t
t
，
解得：
2
t
．
答：t 为2s 时，AQ
AP
．
（2）由点Q 在AD 边上运动时，
此时
6
AQ
t
，
2
AP
t
，
根据题意得：
1
6
2
2 6 12
4
t
t
，
解得：
3
t
；
（3）当点P 到达点C 时，此时运动时间为
12
6
9 s
2
，
∴Q 的运动路程为：
1 9
9 cm
，
∵
6cm
AD
BC
，
∴Q 在AB 上，与A 距离为3cm．
6．如图，
12
AB
，线段CD 在线段AB 上，点C 在点D 的右边，且
3
CD
．动点P 从A 出发，以每秒3
个单位长度的速度沿AB 向终点B 匀速运动；同时线段CD 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿BA
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匀速运动，当点D 与点A 重合时，停止运动．设点C 的运动时间为s
t
．
(1)当点P 与点A 重合时，AD ．
(2)当点P 与点D 相遇时，求t 的值．
(3)求PD 的长（用含t 的代数式表示）．
(4)取CD 的中点E，当
2
AB
PE
时，直接写出t 的值．
【答案】(1)9
(2)1.8
(3)
9
5
PD
t
(4)3.3或0.9
【分析】（1）利用线段的和与差即可得解；
（2）根据“路程和
9
”列方程求解即可；
（3）根据“数轴上两点之间的距离公式”列式即可；
（4）根据已知条件“
2
AB
PE
”列方程求解即可．
【详解】（1）解：当
0
t
时，
12
3
9
AD
AB
CD
，
故答案为：9；
（2）解：由题意可得：
3
2
12
3
t
t
，
解得：
1.8
t
；
（3）解：设点A 表示原点，则点P 表示的数为：3t ，点D 表示的数为：9
2t
，
则
9
2
3
9
5
PD
t
t
t
；
（4）解：点E 表示的数为：9 1.5
2
10.5
2
t
t
，
∴2
10.5
2
3
12
t
t
，
解得：
3.3
t
或0.9 ．
【题型4 线段上含动点的新定义型问题】
7．已知线段
20
AB
，点C 在线段AB 上，且
3
5
AC
AB
．
(1)求线段AC ，CB 的长；
(2)点P 是线段AB 上的动点，线段AP 的中点为D ，设AP
a
．
①请用含有a 的式子表示线段PC ，DC 的长；
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②若三个点D ，P ，C 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称D ，P ，C 三点为“和谐点”，求使得
D ，P ，C 三点为“和谐点”的a 的值．
【答案】(1)
12cm
AC
，
8cm
CB
(2)①当点P 在线段AC 上时，
12
cm
PC
a
，
1
12
cm
2
DC
a
；当点P 在线段BC 上时，
12 cm
PC
a
，
1
12
cm
2
DC
a
；②a 的值为8 或16
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键．
（1）由线段
15cm
AB
，点C 在线段𝐴𝐵上，且
3
5
AC
AB
，可得答案；
（2）①分当点P 在线段AC 上时和当点P 在线段BC 上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得a 的
值．
【详解】（1）解：解：∵线段
20cm
AB
，点C 在线段𝐴𝐵上，且
3
5
AC
AB
，
∴
3
20
12cm
5
AC
，
2
20
8cm
5
CB
；
（2）解：①当点P 在线段AC 上时，
∵点D 是AP 的中点，
∴
1
1
2
2
AD
AP
a
，
12
cm
PC
AC
AP
a
，
1
12
cm
2
DC
AC
AD
a
；
当点P 在线段BC 上时，
∵点D 是AP 的中点，
∴
1
1
2
2
PD
AP
a
，
12 cm
PC
AP
AC
a
，
1
12
cm
2
DC
AC
AD
a
；
②当点P 在线段AC 上时，则DP
PC
，
∴1
12
2 a
a
，
解得：
8
a
，
当点P 在线段BC 上时，
则DC
PC
，
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∴
1
12
12
2
a
a
，
解得：
16
a
，
综上：a 的值为8 或16．
8．定义：在同一直线上有
, ,
A B C 三点，若点C 到
,
A B 两点的距离呈2 倍关系，即
2
AC
BC
或
2
BC
AC
，
则称点C 是线段AB 的“倍距点”．
(1)线段AB 的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知
9
AB
，点C 是线段AB 的“倍距点”，直接写出AC ．
(3)如图1，在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点．
①现有一动点P 从原点O 出发，以每秒2 个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t 秒(
0)
t
，求
当t 为何值时，点P 为AC 的“倍距点”？
②现有一长度为2 的线段MN （如图2，点M 起始位置在原点），从原点O 出发，以每秒1 个单位的速度
沿数轴向右匀速运动．当点N 为MC 的“倍距点”时，请直接写出t 的值．
【答案】(1)不是
(2)3 或6 或9 或18
(3)①5
2 或4 或10；②
5
t
或8 或10 或13
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差，
（1）根据中点的意义可得AP
BP
，不满足“倍距点”定义，即可作答；
（2）分情况讨论当点C 在线段AB 上时，当点C 在线段AB 延长线上时，当点C 在线段BA 延长线上时，再
根据“倍距点”的定义求解即可；
（3）①由题意得，
2
OP
t
，表示出
2
2 ,
2
11
AP
t
CP
t
，根据点P 为AC 的“倍距点”，可得
2
AP
CP
或
2
CP
AP
，得出2
2
2 2
11
t
t
或2
11
2 2
2
t
t
，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M 表示的
数为t，点N 表示的数为
2
t
，表示出
2 11
9
NC
t
t
，根据点N 为MC 的“倍距点”，可得
2
NC
MN
或
2
MN
NC
，进而得出
9
4
t
或
9
1
t
，解绝对值方程求解即可；
熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）假设点P 是线段AB 的中点，
∴AP
BP
，
∴线段AB 的中点不是该线段的“倍距点”，
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故答案为：不是；
（2）当点C 在线段AB 上时，
9
AB
AC
BC
，
若
2
AC
BC
，则
6
AC
，
若
2
BC
AC
，则
3
AC
；
当点C 在线段AB 延长线上时，
2
AC
BC
，则
9
AB
BC
，则
18
AC
当点C 在线段BA 延长线上时，
2
BC
AC
，则
9
AB
AC
；
故答案为：3 或6 或9 或18；
（3）∵在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点，
∴点C 表示的数为11，
①由题意得，
2
OP
t
，
∴
2
2 ,
2
11
AP
t
CP
t
，
若点P 为AC 的“倍距点”，
则
2
AP
CP
或
2
CP
AP
，
即2
2
2 2
11
t
t
，解得
4
t
或10；
或2
11
2 2
2
t
t
，解得
2.5
t
（负舍）；
综上，t 的值为5
2 或4 或10；
②由题意得点M 表示的数为t，点N 表示的数为
2
t
，
∴
2 11
9
NC
t
t
，
∵点N 为MC 的“倍距点”，
∴则
2
NC
MN
或
2
MN
NC
，
即
9
4
t
或
9
1
t
，
解得
5
t
或8 或10 或13．
1．已知点M 是线段AB 上一点，若
1
4
AM
AB
，点N 是直线AB 上的一动点，且AN
BN
MN
，则MN
AB
的（ ）
A．3
4
B．
1
2
C．1 或
1
2
D．3
4 或2
【答案】C
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【分析】根据N 在线段AB 上和线段AB 外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．
【详解】当N 在射线BA 上时，AN
BN
，不合题意
当N 在射线AB 上时，AN
BN
AB
MN
，此时
1
MN
AB
当N 在线段AB 上时，
由图可知AN
MN
AM
BN
BM
MN
，
∴
2
AN
BN
MN
AM
BM
MN
MN
AM
BM
MN
，
∴MN
BM
AM
∵
1
4
AM
AB
∴
3
4
BM
AB
∴
1
2
MN
BM
AM
AB
∴
1
2
MN
AB
故选：C．
2．已知线段
16
AB
，C、D 是线段AB 上的两个动点，则下列结论：①若C 是AB 的中点，点D 在线段CB
上，
3
DB
，则
5
CD ；②若
1
2
AC
BD
CD ，则
32
3
CD
；③若
4
CD
， 且
1 2
AC
BD
：
：，则
4
AC
；④若D 是BC 的中点，
6
0
AC
a a
， 则AC
BD
．其中正确的为（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差运算以及与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．分别作图以及运用线段的和差关系进行逐个情况分析列式，要注意分类讨论的运用，即可作答．
【详解】解：∵线段
16
AB
，C、D 是线段AB 上的两个动点，C 是AB 的中点，
∴
1
8
2
BC
AB
，
∵点D 在线段CB 上，
3
DB
，
∴
8
3
5
CD
BC
BD
．
故①是正确的；
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∵
1
2
AC
BD
CD ，线段
16
AB
，C、D 是线段AB 上的两个动点，且
16
AC
CD
BD
AB
，
∴1
16
2 CD
CD
，
即3
32
2 CD
，
∴
32
3
CD
．
故②是正确的；
∵
4
CD
，线段
16
AB
，C、D 是线段AB 上的两个动点，
∴当点C 在线段AD 上时，如图所示：
此时
16
4
12
AC
BD
AB
CD
，
∵
1 2
AC
BD
：
：，
∴
1
12
4
1
2
AC
；
∴当点D 在线段AC 上时，如图所示：
此时
16
4
20
AC
BD
AB
CD
，
∵
1 2
AC
BD
：
：，
∴
1
20
20 1
2
3
AC
；
综上：
4
AC
或20
3 ，
故③是错误的；
∵
6
0
AC
a a
，且线段
16
AB
，C、D 是线段AB 上的两个动点，
∴
16
16
6
10
BC
AC
a
a
，
∵D 是BC 的中点，
∴
1
1
5
2
2
BD
BC
a
，
则
1
3
6
5
1
2
2
AC
BD
a
a
a
．
∵
0
a
，
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∴
3
1
0
2 a
，
即
0
AC
BD
，
∴AC
BD
，
故④是正确的
故选：D．
3．如图，已知A，B（B 在A 的左侧）是数轴上的两点，点A 对应的数为4，且
6
AB
，动点P 从点A 出
发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M，N 始终为AP，BP 的中点，设
运动时间为
0
t t
秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B 对应的数是2；②点P 到达点B 时，
3
t
；③
2
BP
时，
2
t
；④在点P 的运动过程中，线段MN
的长度不变．
A．①③④
B．②③④
C．②③
D．②④
【答案】D
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；
②利用路程除以速度即可；
③分两种情况，点P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，由题意求出AP 的长，再利用路程除以速度即可；
④分两种情况，点P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B 对应的数是x，
∵点A 对应的数为4，且
6
AB
，
∴4
6
x
，
∴
2
x ，
∴点B 对应的数是-2，故①错误；
由题意得：
6÷2=3（秒），
∴点P 到达点B 时，t=3，故②正确；
分两种情况：
当点P 在点B 的右侧，
∵AB=6，BP=2，
∴
6
2
4
AP
AB
BP
，
∴4÷2=2（秒），
∴BP=2 时，t=2，
当点P 在点B 的左侧，
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∵AB=6，BP=2，
∴
6
2
8
AP
AB
BP
，
∴8÷2=4（秒），
∴BP=2 时，t=4，
综上所述，BP=2 时，t=2 或4，故③错误；
分两种情况：
当点P 在点B 的右侧，
∵M，N 分别为AP，BP 的中点，
∴
1
2
MP
AP
，
1
2
NP
BP
，
∴
1
1
1
1
3
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
BP
AP
BP
AB
，
当点P 在点B 的左侧，
∵M，N 分别为AP，BP 的中点，
1
2
MP
AP
，
1
2
NP
BP
，
∴
1
1
1
1
3
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
BP
AP
BP
AB
，
∴在点P 的运动过程中，线段MN 的长度不变，故④正确．
所以，上列结论中正确的是②④．
故选：D．
4．已知线段
24cm
AB
，动点P 从点A 出发，以每秒6cm的速度沿AB 向右运动，同时，动点Q 从点B 出
发，以每秒4cm 的速度沿BA 向左运动，设运动时间为t 秒
0
4
t
．在整个运动过程中，请你用t 的式子
表示线段PQ的长
．
【答案】
24 10
cm
t
或
10
24 cm
t
【分析】本题考查两点间的距离，t 秒后点P 的路程是6 cm
t
，点Q 的路程是4 cm
t
，再根据两点运动的方向
和AB 的长可得答案．
【详解】解：∵t 秒后点P 的路程是6 cm
t
，点Q 的路程是4 cm
t
，
24cm
AB
，
∴在P 与Q 相遇前，
24
6
4
24 10
cm
PQ
t
t
t
；
在P 与Q 相遇后，
6
4
24
10
24 cm
PQ
t
t
t
．
故答案为：
24 10
cm
t
或
10
24 cm
t
．
5．如图，数轴上的点O 为原点，点A 表示的数为3
，动点P 从点O 出发，按以下规律跳动：第1 次从点O
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跳动到OA的中点
1A 处，第2 次从点
1A 跳动到
1A A 的中点
2
A 处，第3 次从点
2
A 跳动到
2
A A的中点
3
A 处，…，
第n 次从点
1
n
A 跳动到
1
n
A
A
的中点
n
A 处，按照这样的规律继续跳动到点
4
A ，
5
A ，
6
A ，…，
2024
A
处，那么
点
2024
A
所表示的数为
．
【答案】
2024
3
3
2
【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段
n
AA 的变化规
律是解题的关键
根据题意，得第一次跳动到OA的中点
1A 处，即在离A 点的长度为1 3
2，第二次从
1A 点跳动到
2
A 处，即在
离A 点的长度为
2
1
3
2
，则跳动n 次后，即跳到了离A 点的长度为1
3
2
n
，再根据线段的和差关系可得
线段
n
OA 的长度，最后确定点
2024
A
的表示的数即可．
【详解】解：由题可知：
3
OA
，
此第一次跳动到OA的中点
1A 处时，
1
3
2
1
1
2
AA
OA
，
同理，第二次从
1A 点跳动到
2
A 处，
2
2
1
1
1
3
2
2
AA
AA
，
同理，第三次从
2
A 点跳动到
3
A 处，
3
3
1
2
1
1
3
2
2
AA
A A
同理，跳动n 次后，
1
3
2
n
n
AA
，
故线段
n
OA 的长度为：
1
3
3
3
3
2
2
n
n
n
n
OA
OA
AA
，
当
2024
n
时，
4
2024
202
3
3
2
OA
，
∵点
2024
A
在负半轴，
∴点
2024
A
表示的数是
2024
2024
3
3
(3
)
3
2
2
，
故答案为：
2024
3
3
2
．
6．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满
足“中点关系”．已知，如图点A ，B 表示的数分别为2
，6 ，点C 为数轴上一动点．若A ，B ，C 三点满足
“中点关系”时，则点C 表示的数为
．
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【答案】2 或10
或14
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间
的距离相等，分A ，B ，C 点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．
【详解】解：①当点C 为点A ，B 的中点时，点C 表示的数为2
6
2
2
；
②当点A 为点B ，C 的中点时，点C 表示的数为
2
6
2
2 8
10
；
③当点B 为点A ，C 的中点时，点C 表示的数为
6
6
2
6
8
14
；
综上：点C 表示的数为2 或10
或14；
故答案为：2 或10
或14．
7．如图，已知数轴上点A 表示的数为4，点B 表示的数为1，C 是数轴上一点，且
8
AC
．动点P 从点B
出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为
0
t t
秒．
(1)直接写出数轴上点C 表示的数；
(2)当点C 在数轴的负半轴上时，用含t 的代数式表示线段CP 的长度；
(3)当点C 在数轴的负半轴上时，设M 是AP 的中点，N 是CP 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 是否发
生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出MN 的长度．
【答案】(1) 4
或12
(2)
5
6
CP
t
(3)不发生变化，
4
MN
【分析】题目主要考查线段的中点计算． 解题关键点是运用数形结合思想和分类思想分析问题．
（1）根据数轴上两点之间的距离即可得出点的坐标；
（2）分两种情况：若点P 在线段BC 上，这时
5
0
6
t
；若点P 在线段BC 的延长线上，这时
5
6
t
；分别
求解即可；
（3）分两种情况分析：①如图1，当点P 在线段AC 上运动时，②如图2，当点P 在AC 的延长线上运动
时，结合图形求解即可．
【详解】（1）解：∵数轴上点A 表示的数为4，C 是数轴上一点，且
8
AC
．
∴当点C 位于点A 左侧时，点C 表示的数为：4
8
4
，
当点C 位于点A 右侧时，点C 表示的数为：4
8
12
，
∴点C 表示的数为4
或12；
（2）当点C 在数轴的负半轴上时，点C 表示的数是4
，
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①若点P 在线段BC 上，这时
5
0
6
t
，
则
5
6
CP
BC
BP
t
；
②若点P 在线段BC 的延长线上，这时
5
6
t
，
则
6
5
CP
BP
BC
t
；
综上可得：
5
6
CP
t
；
（3）线段MN 的长度不发生变化.理由如下：
①如图1，当点P 在线段AC 上运动时，
1
1
1
1
8
4
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
CP
AC
；
②如图2，当点P 在AC 的延长线上运动时，
1
1
1
1
8
4
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
CP
AC
；
由上可知，线段MN 的长度不发生变化，其值为4．
8．如图，数轴上点A 表示的数为5
，点B 表示的数为7，动点C 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速
度沿数轴向右匀速运动，同时动点D 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度向左匀速运动．设点C 运动
时间为t 秒
0
t
．
(1)①
,
A B 两点之间的距离为_______，线段AB 的中点表示的数为_______．
②用含t 的代数式表示：t 秒后，点C 表示的数为_______，点D 表示的数为_________．
(2)当
4
t
时，描述C、D 两点的位置关系．
(3)点C 运动4 秒后，动点E 从点B 出发，以每秒5 个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE
CD
的
值是否随着时间t 的变化而变化？请说明理由．
【答案】(1)①12，1；②5
2t
，7
t
(2)C、D 两点重合，理由见解析；
(3)不随着时间t 的变化而变化，理由见解析．
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中
点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）①由数轴上两点间的距离公式可求A ，B 两点之间的距离，由中点公式可求线段AB 的中点表示的数；
②根据点C 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点D 从点B 出发，以每秒1 个
单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案；
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（2）将
4
t
代入（1）②中代数式，得到点C ，点D 所表示的数，即可解答；
（3）根据题意表示出4 秒后，点E 所表示的数，再求出CE
CD
，即可解答．
【详解】（1）解：①点A 表示的数为5
，点B 表示的数为7，
A ，B 两点间的距离等于
5
7
12
，线段AB 的中点表示的数为5
7
1
2
；
故答案为：12，1；
②t 秒后，点C 表示的数为5
2t
；点D 表示的数为7
t
；
故答案为：5
2t
，7
t
；
（2）解：当
4
t
时，
点C 所表示的数为5
2 4
3
，
点D 所表示的数为7
4
3
，
则C、D 两点重合；
（3）解：点C 运动4 秒后，点E 表示的数为
7
5
4
5
13
t
t
，
∴
5
13
5
2
3
8,
5
2
7
3
12
CE
t
t
t
CD
t
t
t
，
∴
3
8
3
12
4
CE
CD
t
t
．
∴CE
CD
的值不随着时间t 的变化而变化．
9．如图，O 为数轴的原点，
5
AO
，
6
BD
，O 为BD 的中点，C 为AB 的中点．
(1)求CO 的长度；
(2)若动点P 从点C 出发，以每秒2 个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q 从O 出发，以每秒1 个
单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t 秒(
0)
t
，当t 满足什么条件时，
2
AP
BQ
有最小值，并求
出该最小值．
【答案】(1)1
(2)当2
3
t
，
2
AP
BQ
有最小值，最小值为2 ．
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算：
（1）先根据线段中点的定义得到
1
3
2
OB
BD
，进而得到
8
AB
AO
OB
，再由线段中点的定义得到
1
4
2
BC
AB
，则
1
CO
BC
OB
；
（2）由（1）得点A 表示的数为5
，点B 表示的数为3，点C 表示的数为1
，则运动t 秒后，点P 表示的
数为1 2t
，点Q 表示的数为t，根据两点距离计算公式得到
2
4
AP
t
，
3
BQ
t
，则
2
2
2
3
AP
BQ
t
t
，由绝对值的几何意义可知，
2
3
t
t
表示的数数轴上表示t 的数到表示2
和表示3 的数的距离之和，故当2
3
t
时，
2
3
t
t
的值最小，即此时
2
2
3
t
t
的值最小，据此
可得答案．
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【详解】（1）解：∵
6
BD
，O 为BD 的中点，
∴
1
3
2
OB
BD
，
∵
5
AO
，
∴
8
AB
AO
OB
，
∵C 为AB 的中点，
∴
1
4
2
BC
AB
，
∴
1
CO
BC
OB
；
（2）解：由（1）得点A 表示的数为5
，点B 表示的数为3，点C 表示的数为1
，
∴运动t 秒后，点P 表示的数为1 2t
，点Q 表示的数为t，
∴
5
1
2
2
4
AP
t
t
，
3
BQ
t
，
∴
2
2
4
2
3
2
2
3
AP
BQ
t
t
t
t
，
由绝对值的几何意义可知，
2
3
t
t
表示的数数轴上表示t 的数到表示2 和表示3 的数的距离之和，
∴当2
3
t
时，
2
3
t
t
的值最小，即此时
2
2
3
t
t
的值最小，
∴当2
3
t
，
2
AP
BQ
有最小值，最小值为
2 2
2
2
3
2
．
10．综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O 为原点，A、B 两点所表示数分别为2
和
8．
实践探究
(1)线段AB 的长为________；
(2)动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒，
①当0
5
t
时，线段PA ________，线段PB ________，点P 表示的数为________；（用含t 的代数式
表示）
②若点M 是线段PA 的中点，点N 是线段PB 的中点，当动点P 在（2）条件下运动时，线段MN 的长度是
否与点P 的运动时间t 有关．若有关，请求出线段MN 的长度与t 的关系式；若无关，请说明理由，并求出
线段MN 的长度．
【答案】(1)10
(2)①2t ，10
2t
，2
2t
；②MN 的长与点P 的运动时间t 无关，MN 的长度为5
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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（1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解；
（2）①由题意可得点P 表示的数为2
2t
，再根据两点间的距离公式计算即可得解；
②分两种情况：当0
5
t
时，线段
2
PA
t
，线段
10
2
PB
t
；当
5
t
时，线段
2
PA
t
，线段
2
10
PB
t
；分别求解即可得解．
【详解】（1）解：线段AB 的长为
8
2
8
2
10
；
（2）解：①∵动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒，
∴点P 表示的数为2
2t
，
∴当0
5
t
时，线段
2
2
2
2
PA
t
t
，线段
8
2
2
10
2
PB
t
t
；
故答案为：2 10
2
2
2
t
t
t
，
，
；
② 当0
5
t
时，线段
2
PA
t
，线段
10
2
PB
t
；
∵点M 是线段PA 的中点，点N 是线段PB 的中点，
∴
1
2
PM
PA
t
，
1
5
2
PN
PB
t
，
∴
5
MN
PM
PN
；
当
5
t
时，线段
2
PA
t
，线段
2
10
PB
t
，
∵点M 是线段PA 的中点，点N 是线段PB 的中点，
∴
1
2
PM
PA
t
，
1
5
2
PN
PB
t
，
∴
5
MN
PM
PN
；
综上所述，MN 的长与点P 的运动时间t 无关，MN 的长度为5．
1．如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条
线段长度的2 倍，则称点C 是线段AB 的“奇点”．
【新知理解】
（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”）
【问题解决】
（2）若点A 和点B 在数轴上表示的数分别是10
和14，点C 是线段AB 的“奇点”，求点C 在数轴上表示的
数．
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【应用拓展】
（3）如图②，已知
24cm
AB
．动点P 从点A 出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B 匀速移动；点Q 从点B 出
发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移
动的时间为st ．当点P 是线段AQ 的“奇点”时，直接写出运动时间t 的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）2
或2 或6 ；（3）24 s
7
或24 s
5
或6s
【分析】本题考查新定义，数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，
（1）根据“奇点”的定义即可求解；
（2）设点C 在数轴上表示的数为x ，则
10
AC
x
，
14
BC
x
，
24
AB
，根据“奇点”的定义，分情况
讨论，当
2
CB
AC
或AC
CB
或
2
AC
CB
，分别计算即可；
（3）根据“奇点”的定义，分情况讨论，当
2
PQ
AP
=
或AP
PQ
或
2
AP
PQ
，分别计算即可；
解题的关键是理解题意，利用分类讨论的思想解决问题．
【详解】解：（1）设点C 为线段AB 的中点，
∴
2
AB
AC
，
∵点C 在线段AB 上，
∴中点C 是线段AB 的“奇点”，
故答案为：是；
（2）设点C 在数轴上表示的数为x ，
∵点A 和点B 在数轴上表示的数分别是10
和14，
∴
10
10
AC
x
x
，
14
BC
x
，
∵点C 是线段AB 的“奇点”，
∴点C 在线段AB 上，且
2
CB
AC
或AC
CB
或
2
AC
CB
，
当
2
CB
AC
时，得：
14
2
10
x
x
，
解得：
2
x ；
当AC
CB
时，得：
10
14
x
x
，
解得：
2
x
；
当
2
AC
CB
时，得：
10
2 14
x
x
，
解得：
6
x
；
综上所述，点C 在数轴上表示的数为2
或2 或6 ；
（3）t 秒后，
2
AP
t
，
24
AQ
t
，
24
2
24
3
PQ
AQ
AP
t
t
t
，
∵点P 是线段AQ 的“奇点”，
∴
2
PQ
AP
=
或AP
PQ
或
2
AP
PQ
，
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当
2
PQ
AP
=
时，得：24
3
2 2
t
t
，
解得：
24
7
t
；
当AP
PQ
时，得：2
24
3
t
t
，
解得：
24
5
t
；
当
2
AP
PQ
时，得：
2
2 24
3
t
t
，
解得：
6
t
；
∴当t 为24 s
7
或24 s
5
或6s 时，点P 是线段AQ 的“奇点”．
2．如图①，点M 是线段AB 上任意一点，图中共有三条线段AB
AM
、
和BM ，若其中的两条较短线段中有
一条线段的长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点M 是线段AB 的“友好点”．
(1)若
12cm
AB
，点M 是线段AB 上靠近点A 的“友好点”，求BM 的长；
(2)如图②，若
24cm
CD
，点M 是线段CD 的“友好点”，点N 是线段CD 的中点，则MN
MC
__________
cm；
(3)如图③，已知
24cm
AB
，动点P 从点A 出发，以2cm/s速度沿AB 向点B 匀速移动，点Q 从点B 出发，
以3cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点
,
P Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为t，请求出t 为何值时，A
P
、、 Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”．
【答案】(1)8cm ；
(2)12或20 ；
(3)
8
3
t
或4 或
72
13
t
或72
11 ．
【分析】本题主要考查了线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求
解．
（1）根据题目中所给的“友好点”的定义，进行求值即可．
（2）根据“友好点”的定义可得
2
CM
MD
或
2
DM
CM
可求出CM 的长，再由中点的定义可得CN 的长，
再求出MN 的长即可得出结果．
（3）由题意可知，A 不可能是“友好点”，故此题分两大类情况，P 或Q 点是“友好点”，再分别当P 点是“友
好点”时，和Q 点是“友好点”时，根据“友好点”的定义列方程求解即可．
【详解】（1）点M 是线段AB 上靠近点A 的“友好点”
根据“友好点”的定义可得，
2
MB
AM ，
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12cm
AB
，
2
12
MB
AM
AM
AM
AB
，
解得
4cm
AM
，
cm
8
BM
．
（2）由题意可知，点N 是线段CD 的中点，
M 不是线段的中点，
当点M 是靠近C 点的三等分点时，
有
2
DM
CM
，
24cm
CD
，
1
24
8cm
3
CM
，
1
24
12cm
2
CN
，
12
8
4cm
MN
CN
CM
，
8
4
12cm
CM
NM
，
当点M 是靠近D 点的三等分点时，
有
2
CM
DM
，
24cm
CD
，
1
24
8cm,
24
8
16cm
3
DM
CM
，
1
24
12cm
2
CN
，
16 12
4cm
MN
CM
CN
，
16
4
20cm
CM
NM
．
（3）由题意可知，A 点不可能是“三等分点”，
故P 或Q 点是“三等分点”．
24cm
AB
，
t 秒后，
2
AP
t
，
24
3
AQ
t
，
当P 点是“三等分点”时，
24
5
PQ
AQ
AP
t
，
当
2
PQ
AP
时，
有
24
5
2
2
t
t
，
解得
8
3
t
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当
2
AP
PQ
时，
有
2
24
5
2
t
t
，
解得
4
t
，
当Q 点是“三等分点”时，
5
24
PQ
AP
AQ
t
，
当
2
PQ
AP
时，
有
5
24
24
3
2
t
t
，
解得
72
11
t
当
2
AP
PQ
时，
有
24
3
5
24
2
t
t
，
解得
72
13
t
综上所述：
8
3
t
或4 或
72
13
t
或72
11 ．
3．在数轴上，把原点记作点O，表示数a 的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A 重合），
将线段PO 与线段PA 的长度之比定义为点P 关于点A 的K 值，记作
k P
a
，
，即
PO
k
a
PA
P
，
，例如：
点P 表示的数为1，点A 表示的数为3，因为
1
PO ，
2
PA
，所以
1
2
PO
k P
a
PA
，
(1)当点P 是线段OA的中点时，点P 关于点A 的K 值
k P
a
，
；
(2)若点P 表示的数为p，点A 表示的数为a，
4
OA
OP
，求点P 关于点A 的K 值
k P
a
，
；
(3)点
1P 、点
2P 为数轴上两个不同的点，并且点
1P 与
2P 所表示的数互为相反数，点
1P 表示的数为p，点A．点
B 分别表示数a、2
，若
1
2
2
k P
a
k P
，
，
，请直接写出a、p 需满足条件： ．
【答案】(1)1
(2)
1
3
k P
a
，
或1
5
(3)
2
a
或
2
2
a
p
【分析】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知
识解决问题即可．
（1）根据点P 是线段OA的中点，得出PO
PA
，再利用定义求出
k P
a
，
的值即可．
（2）分两种情况进行讨论：当点P、A 在点O 的同侧时，当点P、A 在点O 的异侧时，分别求出结果即可；
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（3）点
1P 、点
2P 为数轴上两个不同的点，并且点
1P 与
2P 所表示的数互为相反数，得出
1
2
PO
PO
，根据
1
2
2
k P
a
k P
，
，
，得出
1
2
1
2
PO
PO
P A
P B
，即可得出
1
2
P A
P B
，从而得出
2
a
p
p
，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点P 是线段OA的中点，
∴PO
PA
，
∴
1
PO
k P
a
PA
，
，
故答案为：1；
（2）解：当点P、A 在点O 的同侧时，
∵
4
OA
OP
，
∴
3
PA
PO
∴
1
3
PO
k P
a
PA
，
；
当点P、A 在点O 的异侧时，
∵
4
OA
OP
，
∴
5
PA
PO
∴
1
5
PO
k P
a
PA
，
；
综上分析可知，
1
3
k P
a
，
或1
5 ．
（3）解：∵点
1P 、点
2P 为数轴上两个不同的点，并且点
1P 与
2P 所表示的数互为相反数，
∴
1
2
PO
PO
，
∵
1
2
2
k P
a
k P
，
，
，
∴
1
2
1
2
PO
PO
P A
P B
，
∴
1
2
P A
P B
，
∴
2
a
p
p
，
当
2
a
p
p
，解得：
2
2
a
p
；
当
2
a
p
p
，解得：
2
a
；
综上分析可知，
2
a
或
2
2
a
p
．
故答案为：
2
a
或
2
2
a
p
．
4．如图，已知数轴上原点为O ，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a
b
、满足
2
10
4
0
a
b
．动点P 从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒．
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(1)写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是___________，点P 表示的数是___________
（用含t 的式子表示）；
(2)设点M 是AP 的中点，点N 是PB 的中点．点P 在直线AB 上运动的过程中，线段MN 的长度是否会发生
变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段MN 的长度．
(3)动点Q 从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R 从点O 出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点
,
,
P Q R 同时出发；若点
,
P R 间的距离记为PR ，点
,
P Q 间的距离记
为PQ，是否存在一个数n ，使得nPR
PQ
的值与t 无关？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)10；4
；10
6t
(2)线段MN 的长度没有变化，长度为7
(3)存在，
2
9
n
或
2
9
【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键．
（1）根据绝对值的非负性求出a 和b 的值，根据动点则可求出P 表示的数；
（2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解；
（3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含t 则有系数为0 即可求解．
【详解】（1）解：∵
2
10
4
0
a
b
，
又∵
2
10
0
a
，
4
0
b
，
∴
2
10
0
a
，
4
0
b
，
即
10
a
，
4
b ，
∴数轴上点A 表示的数是10，点B 表示的数是4
，点P 表示的数是10
6t
．
故答案为：10
410
6t
，，
；
（2）解：不发生变化，线段MN 的长度为7 ．
理由如下：
∵点M 是AP 中点，点N 是PB 中点，
∴点M 表示的数为
10
10
6
10
3
2
t
t
，点N 表示的数为
10
6
4
3
3
2
t
t
，
∴
10
3
3
3
7
MN
t
t
；
（3）解：存在，理由如下：
由题意得：Q 点表示的数是：4
4t
，R 点表示的数是：3t ，
∴
10
6
4
4
14
2
PQ
t
t
t
，
10
6
3
10
9
PR
t
t
t
，
27 / 31
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①当
10
0
9
t
时，
10
9
PR
t
，
14
2
PQ
t
，
∴
10
9
14
2
9
2
10
14
nPR
PQ
n
t
t
n
t
n
，
∵上式与t 无关，
∴9
2
0
n
，解得
2
9
n
；
②当10
7
9
t
时，
9
10
PR
t
，
14
2
PQ
t
，
∴
9
10
14
2
9
2
10
14
nPR
PQ
n
t
t
n
t
n
，
∵与t 无关，
∴9
2
0
n
，解得
2
9
n
；
③当
7
t
时，
9
10
PR
t
，
2
14
PQ
t
，
∴
9
10
14
2
9
2
10
14
nPR
PQ
n
t
t
n
t
n
，
∵与t 无关，
∴9
2
0
n
，解得
2
9
n
；
综上所述，当
2
9
n
或
2
9
时，nPR
PQ
的值与t 无关．
5．定义：若点A ，B ，C 在同一直线上，且AB
mAC
，则
ABC
d
m
．例如
6
AB
，
3
AC
，则
2
ABC
d
．
(1)如图1，O 为数轴的原点，点P ，Q 表示的数分别为4 和2
，则
OPQ
d
_______．
(2)如图2，已知线段
12cm
AB
，点P 从点A 出发向右运动，点Q 从点B 出发向左运动，若点P 运动速度为
1cm / s ，点Q 的运动速度为2cm / s ．设运动时间为t ．
①请用含有t 的代数式分别表示
APB
d
和
AQB
d
．
②当t 为何值时，
1
2
AQB
APB
d
d
．
③若线段PQ的中点为M ，直接写出
1
3
AMB
d
时t 的值．
【答案】(1)2
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(2)①
12
APB
t
d
，
12
2
0
6
12
AQB
t
d
t
或
2
12
6
12
AQB
t
d
t
；②
2
t
或18；③4 或20
【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用；
（1）根据题意可得
4,
2
OP
OQ
，即
2
OP
OQ
，根据定义，即可求解；
（2）①根据题意得出
,
12
AP
t AB
，
12
2
AQ
t
，根据新定义即可求解；
②根据题意列出方程，解方程，即可求解．
③分情况讨论求得AM 的长，根据
1
3
AMB
d
可得
1
3
AM
AB
，即
4
AM ，根据题意列出方程，解方程即可求
解．
【详解】（1）解：①O 为数轴的原点，点P ，Q 表示的数分别为4 和2
，
∴
4,
2
OP
OQ
，即
2
OP
OQ
∴
2
OPQ
d
（2）解：①依题意，
,
12
AP
t AB
，
12
2
0
6
AQ
t
t
或
2
12
6
t
t
∴
12
APB
AP
t
d
AB
，
12
2
0
6
12
AQB
t
d
t
或
2
12
6
12
AQB
t
d
t
②∵
1
2
AQB
APB
d
d
∴12
2
1
12
12
2
t
t
或2
12
1
12
12
2
t
t
解得：
2
t
或18；
③
,
P Q 相遇时，
12
1
2
4
t
当0
4
t
时，
,
P Q 都在线段AB 上，如图所示，
∵AP
t
，
12
2
AQ
t
∴
12
2
12
3
PQ
AQ
AP
t
t
t
∴
1
3
6
2
2
PM
PQ
t
∴
3
1
6
6
2
2
AM
AP
PM
t
t
t
∵
1
3
AMB
d
∴
1
6
1
2
12
3
t
解得：
4
t
当4
6
t
时，如图所示，
,
P Q 都在线段AB 上，如图所示，
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∵AP
t
，
12
2
AQ
t
∴
12
2
3
12
PQ
AP
AQ
t
t
t
∴
1
3
6
2
2
PM
PQ
t
∴
3
1
6
6
2
2
AM
AP
PM
t
t
t
∵
1
3
AMB
d
∴
1
6
1
2
12
3
t
解得：
4
t
（舍去）
Q 点的速度大于P 的速度，当
6
t
时，
当M 点在A 点的右侧时，如图所示，
∵AP
t
，
2
12
AQ
t
∴
2
12
3
12
PQ
AP
AQ
t
t
t
∴
1
3
6
2
2
PM
PQ
t
∴
3
1
6
6
2
2
AM
AP
PM
t
t
t
∵
1
3
AMB
d
∴
1
6
1
2
12
3
t
解得：
4
t
（舍去）
当M 点在A 点的左侧时，如图所示，
∵AP
t
，
2
12
AQ
t
∴
2
12
3
12
PQ
AP
AQ
t
t
t
∴
1
3
6
2
2
PM
PQ
t
∴
3
1
6
6
2
2
AM
PM
AP
t
t
t
∵
1
3
AMB
d
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∴
1
6
1
2
12
3
t
．
解得：
20
t
．
综上所述，t 的值为4 或20 ．
6．定义：在同一直线上有
, ,
A B C 三点，若点C 到
,
A B 两点的距离呈2 倍关系，即
2
AC
BC
或
2
BC
AC
，
则称点C 是线段AB 的“倍距点”．
(1)线段AB 的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知
9
AB
，点C 是线段AB 的“倍距点”，直接写出AC ．
(3)如图1，在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点．
①现有一动点P 从原点O 出发，以每秒2 个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t 秒(
0)
t
，求
当t 为何值时，点P 为AC 的“倍距点”？
②现有一长度为2 的线段MN （如图2，点M 起始位置在原点），从原点O 出发，以每秒1 个单位的速度
沿数轴向右匀速运动．当点N 为MC 的“倍距点”时，请直接写出t 的值．
【答案】(1)不是
(2)3 或6 或9 或18
(3)①5
2 或4 或10；②
5
t
或8 或10 或13
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差，
（1）根据中点的意义可得AP
BP
，不满足“倍距点”定义，即可作答；
（2）分情况讨论当点C 在线段AB 上时，当点C 在线段AB 延长线上时，当点C 在线段BA 延长线上时，再
根据“倍距点”的定义求解即可；
（3）①由题意得，
2
OP
t
，表示出
2
2 ,
2
11
AP
t
CP
t
，根据点P 为AC 的“倍距点”，可得
2
AP
CP
或
2
CP
AP
，得出2
2
2 2
11
t
t
或2
11
2 2
2
t
t
，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M 表示的
数为t，点N 表示的数为
2
t
，表示出
2 11
9
NC
t
t
，根据点N 为MC 的“倍距点”，可得
2
NC
MN
或
2
MN
NC
，进而得出
9
4
t
或
9
1
t
，解绝对值方程求解即可；
熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）假设点P 是线段AB 的中点，
∴AP
BP
，
∴线段AB 的中点不是该线段的“倍距点”，
故答案为：不是；
（2）当点C 在线段AB 上时，
9
AB
AC
BC
，
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若
2
AC
BC
，则
6
AC
，
若
2
BC
AC
，则
3
AC
；
当点C 在线段AB 延长线上时，
2
AC
BC
，则
9
AB
BC
，则
18
AC
当点C 在线段BA 延长线上时，
2
BC
AC
，则
9
AB
AC
；
故答案为：3 或6 或9 或18；
（3）∵在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点，
∴点C 表示的数为11，
①由题意得，
2
OP
t
，
∴
2
2 ,
2
11
AP
t
CP
t
，
若点P 为AC 的“倍距点”，
则
2
AP
CP
或
2
CP
AP
，
即2
2
2 2
11
t
t
，解得
4
t
或10；
或2
11
2 2
2
t
t
，解得
2.5
t
（负舍）；
综上，t 的值为5
2 或4 或10；
②由题意得点M 表示的数为t，点N 表示的数为
2
t
，
∴
2 11
9
NC
t
t
，
∵点N 为MC 的“倍距点”，
∴则
2
NC
MN
或
2
MN
NC
，
即
9
4
t
或
9
1
t
，
解得
5
t
或8 或10 或13．
