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专项训练04 线段上的动点问题
【知识点1 线段上的动点问题】
1. 动点位置的表示（含时间参数）
- 基本公式：点P 从端点A 出发，速度为v，运动时间为t：
- 向端点B 运动：AP = vt，PB = AB - vt。
- 若从B 向 A 运动：BP = vt，PA = AB - vt 。
- 关键：动点位置常用“到某个端点的距离”或“剩余距离”表示。
- 多动点：分别用含 t 的式子表示各自的位置（用距离或比例）。
2. 核心等量关系：距离与比例
- 距离相等：如AP = PB（中点），列方程 vt = AB - vt 。
- 距离和/差为定值：如AP + PB = AB（恒成立，无新信息）； AP - PB = d （需讨论P 的位置）。
- 比例关系：如 AP : PB = m : n ，列比例方程
vt
AB − vt =
𝑚
𝑛 。
- 折返问题：点到达端点后折返，用分段函数表示位置（如先到B 再返回A ）。
3. 分类讨论与多解验证
- 位置不确定：点P 可能在端点之间，也可能在端点处，需分情况讨论（如AP > PB 或AP < PB）。
- 绝对值方程：若无法确定左右位置，用绝对值表示距离，解出多个t 后需验证是否在运动时间范围内。
- 多动点相遇：多个动点同时运动，相遇条件为位置相同，但需注意相遇时是否仍在线段上。
【题型1 线段上含动点求线段长问题】
1．已知：M 是线段AB 上一定点，C，D 两点分别从M，B 出发以1cm/s ，3cm/s 的速度沿直线BA 向A，M
运动，运动方向如箭头所示．
(1)若
10cm
AB
，当点C，D 运动2 秒时，求AC
MD
的值．
(2)若C，D 运动时，总有
3
MD
AC
，则AM ____________ AB
.
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(3)在（2）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN
BN
MN
，MN
AB 的值为__________．
2．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣．
如图1，图2，点C 在线段AB 上，M，N 分别是AC ，BC 的中点．若
10
AB
，
6
AC
，求MN 的长．
(1)根据题意，琪琪求得MN ；
(2)琪琪在求解（1）的过程中，发现MN 的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始
深入探究．
已知AB
a
，C 是线段AB 上任意一点（不与点A，B 重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解
答：
①如图1，M，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN ；
②如图2，M，N 分别为靠近A、B 的AC ，BC 的三等分点，即
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，求MN 的长；
③若M，N 分别为靠近A、B 的AC ，BC 的n 等分点，即
1
AM
AC
n
，
1
BN
BC
n
，则MN ．
【题型2 线段上含动点求定值问题】
3．已知线段AB
m
，CD
n
，线段CD在直线AB 上运动(点A 在点 B 的左侧，点C 在点D 的左侧)，且
2
12
6
0
m
n
．
(1)求线段AB ，CD的长；
(2)若点 M，N 分别为线段AC ，BD 的中点，
4
BC
，求线段MN 的长；
(3)当CD运动到某一时刻时，点D 与点 B 重合，P 是线段AB 延长线上任意一点，有下列两个结论：①
PA
PB
PC
是定值， ②PA
PB
PC
是定值，请选出正确的结论并求出该定值．
4．如图线段
12
AB
，动点Q 从点A 出发，以2 个单位长度/秒的速度沿射线AB 运动，点M 为线段AQ 的中
点，点N 为线段BQ 的中点，设运动时间为t ．
(1)当点Q 在射线AB 上运动时，
①当
2
t
时，线段MB 的长度为________；
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②线段MN 的长度为________．
(2)当点Q 在线段AB 上运动时，下列2 个结论中：①2MB
BQ
为定值；②2MB
BQ
为定值．正确的结论
是________，说明理由并求其值．
(3)若动点Q 出发时，动点P 也同时从点B 出发，以1个单位长度/秒沿射线BA 运动．1
3 PQ
BM
是否存在最
小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【题型3 线段上含动点求时间问题】
5．如图，已知点C 在线段AB 上，
2
AC
BC
，
18
AB
．点D ，点E 在直线AB 上，满足
8
DE
，且点D
在点E 的左侧．
(1)当E 为BC 中点时，求AD 的长；
(2)点F（异于A，B，C 三点）在线段AB 上，
3
AF
AD
，
3
CE
EF
，求AD 的长；
(3)若点D 从点A 处出发，以3 个单位长度/秒的速度沿线段AB 向右运动，点E 随之向右运动，设运动时间
为t 秒，求出当点D 或点E 三等分线段AB 时t 的值．
6．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P 以0.5cm/s 的速度从点A 沿线段AC 向点C 运动；同时点Q
以1cm/s 从点C 出发，在线段CB 上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P 运动到点C 时，
点P、Q 都停止运动，设点P 运动的时间为t 秒．
(1)当t＝1 时，PQ＝ cm；
(2)当t 为何值时，点C 为线段PQ 的中点？
(3)若点M 是线段CQ 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM 的长度保持不变？如果存
在，求出PM 的长度；如果不存在，请说明理由．
【题型4 线段上含动点的新定义型问题】
7．综合与探究：
在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：点
C 在线段AB 上，若
2
BC
AC
或
2
AC
BC
，则称点C 是线段AB 的“优点”，线段AC ，BC 称作互为“优点”
伴侣线段．
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(1)观察判断
如图1，点C 为线段AB 的“优点”．
①若
8,
AC
AC
BC
，则AB _____；
②若点D 也是线段AB 的“优点”（不同于点C ），则AC _____ BD （填“＝”或“≠”）；
(2)性质探究
如图2，在原点为O 的数轴上有
,
E F 两点，其中E 点表示的数为1，F 点表示的数为4．若点M 在点N 的
左侧，且
,
M N 均为线段OF 的“优点”，求线段MN 的长；
(3)拓展应用
在（2）的探究中，若点G 在线段EF 的延长线上，且线段EF 与GF 互为“优点”伴侣线段，求点G 表示的
数．
8．对于数轴上A，B，M，N 四点，给出如下定义：当点M 在线段AB 上（不与点A，B 重合），
1d
AM
BM
称为点M 关于线段AB 的“内差距”；当点N 在线段AB 外，
2
d
AN
BN
称为点N 关于线段AB 的“外差
距”．
如图，点A 表示的数为5
，点B 表示的数为4．若点M 表示的数为1
，则“内差距”
1
1
d ；若点N 表示的
数为5，则“外差距”
2
9
d
．
(1)已知点A 表示的数为7
，点B 表示的数为3．
①若点M 关于线段AB 的“内差距”
1
0
d
，求证：点M 是线段AB 的中点；
②若点M表示的数为m，点M关于线段AB 的“内差距”为
1d ，点N关于线段AB 的“外差距”为
2
d ，且
1
2
12
d
d
，
求m 的值；
(2)点A 表示的数为x，
5
AQ
，点Q 关于线段AB 的“外差距”
2
16
d
，原点O 关于线段AB 的“内差距”
1d ，
若
1
2
1
2
d
d
，求点Q 表示的数．
1．已知点M 是线段AB 上一点，若
1
4
AM
AB
，点N 是直线AB 上的一动点，且AN
BN
MN
，则MN
AB
的（ ）
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A．3
4
B．
1
2
C．1 或
1
2
D．3
4 或2
2．如图，已知A，B（B 在A 的左侧）是数轴上的两点，点A 对应的数为4，且
6
AB
，动点P 从点A 出
发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M，N 始终为AP，BP 的中点，设
运动时间为
0
t t
秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B 对应的数是2；②点P 到达点B 时，
3
t
；③
2
BP
时，
2
t
；④在点P 的运动过程中，线段MN
的长度不变．
A．①③④
B．②③④
C．②③
D．②④
3．已知线段
24cm
AB
，动点P 从点A 出发，以每秒6cm的速度沿AB 向右运动，同时，动点Q 从点B 出
发，以每秒4cm 的速度沿BA 向左运动，设运动时间为t 秒
0
4
t
．在整个运动过程中，请你用t 的式子
表示线段PQ的长
．
4．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满
足“中点关系”．已知，如图点A ，B 表示的数分别为2
，6 ，点C 为数轴上一动点．若A ，B ，C 三点满足
“中点关系”时，则点C 表示的数为
．
5．如图，已知数轴上点A 表示的数为4，点B 表示的数为1，C 是数轴上一点，且
8
AC
．动点P 从点B
出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为
0
t t
秒．
(1)直接写出数轴上点C 表示的数；
(2)当点C 在数轴的负半轴上时，用含t 的代数式表示线段CP 的长度；
(3)当点C 在数轴的负半轴上时，设M 是AP 的中点，N 是CP 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 是否发
生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出MN 的长度．
6．如图，数轴上点A 表示的数为5
，点B 表示的数为7，动点C 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速
度沿数轴向右匀速运动，同时动点D 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度向左匀速运动．设点C 运动
时间为t 秒
0
t
．
(1)①
,
A B 两点之间的距离为_______，线段AB 的中点表示的数为_______．
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②用含t 的代数式表示：t 秒后，点C 表示的数为_______，点D 表示的数为_________．
(2)当
4
t
时，描述C、D 两点的位置关系．
(3)点C 运动4 秒后，动点E 从点B 出发，以每秒5 个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE
CD
的
值是否随着时间t 的变化而变化？请说明理由．
7．如图，O 为数轴的原点，
5
AO
，
6
BD
，O 为BD 的中点，C 为AB 的中点．
(1)求CO 的长度；
(2)若动点P 从点C 出发，以每秒2 个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q 从O 出发，以每秒1 个
单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t 秒(
0)
t
，当t 满足什么条件时，
2
AP
BQ
有最小值，并求
出该最小值．
8．综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O 为原点，A、B 两点所表示数分别为2
和
8．
实践探究
(1)线段AB 的长为________；
(2)动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒，
①当0
5
t
时，线段PA ________，线段PB ________，点P 表示的数为________；（用含t 的代数式
表示）
②若点M 是线段PA 的中点，点N 是线段PB 的中点，当动点P 在（2）条件下运动时，线段MN 的长度是
否与点P 的运动时间t 有关．若有关，请求出线段MN 的长度与t 的关系式；若无关，请说明理由，并求出
线段MN 的长度．
1．如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条
线段长度的2 倍，则称点C 是线段AB 的“奇点”．
【新知理解】
（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”）
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【问题解决】
（2）若点A 和点B 在数轴上表示的数分别是10
和14，点C 是线段AB 的“奇点”，求点C 在数轴上表示的
数．
【应用拓展】
（3）如图②，已知
24cm
AB
．动点P 从点A 出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B 匀速移动；点Q 从点B 出
发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移
动的时间为st ．当点P 是线段AQ 的“奇点”时，直接写出运动时间t 的所有可能值．
2．如图①，点M 是线段AB 上任意一点，图中共有三条线段AB
AM
、
和BM ，若其中的两条较短线段中有
一条线段的长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点M 是线段AB 的“友好点”．
(1)若
12cm
AB
，点M 是线段AB 上靠近点A 的“友好点”，求BM 的长；
(2)如图②，若
24cm
CD
，点M 是线段CD 的“友好点”，点N 是线段CD 的中点，则MN
MC
__________
cm；
(3)如图③，已知
24cm
AB
，动点P 从点A 出发，以2cm/s速度沿AB 向点B 匀速移动，点Q 从点B 出发，
以3cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点
,
P Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为t，请求出t 为何值时，A
P
、、 Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”．
3．如图，已知数轴上原点为O ，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a
b
、满足
2
10
4
0
a
b
．动点P 从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒．
(1)写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是___________，点P 表示的数是___________
（用含t 的式子表示）；
(2)设点M 是AP 的中点，点N 是PB 的中点．点P 在直线AB 上运动的过程中，线段MN 的长度是否会发生
变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段MN 的长度．
(3)动点Q 从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R 从点O 出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点
,
,
P Q R 同时出发；若点
,
P R 间的距离记为PR ，点
,
P Q 间的距离记
为PQ，是否存在一个数n ，使得nPR
PQ
的值与t 无关？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理
由．
4．定义：若点A ，B ，C 在同一直线上，且AB
mAC
，则
ABC
d
m
．例如
6
AB
，
3
AC
，则
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2
ABC
d
．
(1)如图1，O 为数轴的原点，点P ，Q 表示的数分别为4 和2
，则
OPQ
d
_______．
(2)如图2，已知线段
12cm
AB
，点P 从点A 出发向右运动，点Q 从点B 出发向左运动，若点P 运动速度为
1cm / s ，点Q 的运动速度为2cm / s ．设运动时间为t ．
①请用含有t 的代数式分别表示
APB
d
和
AQB
d
．
②当t 为何值时，
1
2
AQB
APB
d
d
．
③若线段PQ的中点为M ，直接写出
1
3
AMB
d
时t 的值．
5．定义：在同一直线上有
, ,
A B C 三点，若点C 到
,
A B 两点的距离呈2 倍关系，即
2
AC
BC
或
2
BC
AC
，
则称点C 是线段AB 的“倍距点”．
(1)线段AB 的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知
9
AB
，点C 是线段AB 的“倍距点”，直接写出AC ．
(3)如图1，在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点．
①现有一动点P 从原点O 出发，以每秒2 个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t 秒(
0)
t
，求
当t 为何值时，点P 为AC 的“倍距点”？
②现有一长度为2 的线段MN （如图2，点M 起始位置在原点），从原点O 出发，以每秒1 个单位的速度
沿数轴向右匀速运动．当点N 为MC 的“倍距点”时，请直接写出t 的值．
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