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专项训练05 角的动态旋转问题
【知识点1 角的动态旋转问题】
1. 动态角的表示（含时间参数）
- 基本公式：角∠AOB 从OA 边开始，以速度w（度/秒）旋转，时间为t ：
- 顺时针旋转：∠AOB = ∠AOB0 - w t（角度减小）；
- 逆时针旋转：∠AOB = ∠ AOB0 + w t（角度增大）。
- 多射线旋转：分别用含 t 的式子表示各条射线与起始边的夹角，角的度数 = 大角 - 小角（必要时加绝
对值）。
- 关键：确定旋转方向（顺/逆时针）和起始角度（通常以某边为基准）。
2. 核心等量关系：角度相等、和差、倍数
- 角度相等：如∠AOP = ∠POB，列方程 w1 t =∠AOB0 - w2 t 。
- 角度和/差为定值：如∠AOP + ∠POB =∠AOB（恒成立）；∠AOP -∠POB = 𝜶（需讨论射线位置）。
- 倍数关系：如∠AOP = 2∠POB，列比例方程w1t = 2(∠AOB0 - w2 t)。
- 平分线/垂直：平分线条件（角度相等）；垂直条件（夹角为 90°）。
3. 分类讨论与多解验证
- 射线位置不确定：射线可能在角内部或外部，需分情况讨论（如OP 在∠AOB 内部，或旋转到外部）。
- 相遇/追及：两射线重合（角度相等）或夹角为定值时，列方程解 t ，注意周期性（旋转超过360°会重
复）。
- 多解验证：
- 角度为正（∠> 0°）；
- 旋转时间 t≥0；
- 是否在限定范围内（如某射线只旋转一定角度后停止）。
- 注意：绝对值方程或三角方程可能产生多解，需结合运动实际筛选。
.
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【题型1 旋转中求多解问题】
1．已知点A
O
B
、、
在一直线上，且点A
B
、在点O 的两侧，
100
AOC
，现将射线OA绕点O 顺时针匀
速旋转，射线OB
OC
，
保持不动，直到射线OA与射线OB 重合时停止旋转．在旋转过程中，当三条射线构
成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋转的角度为________．
2．如图1，直线ED 上有一点O，过点O 在直线ED 上方作射线OC ，将一直角三角板
30
AOB
OAB
的
直角顶点放在点O 处，一条直角边OA在射线OD 上，另一边OB 在直线ED 上方，将直角三角板绕着点O
按每秒10的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t 秒．若射线OC 的位置保持不变，且
140
COE
．则在
旋转过程中，如图2，当t _____________秒时，射线OA
OC
，
与OD 中的某一条射线恰好是另两条射线所
夹角的平分线．
【题型2 旋转中求的角定值问题】
3．已知：如图，直线AB 和CD 相交于点O（
AOC
为锐角），点M 在直线AB 上方，
90
BOM
，ON
平分
AOD
．
(1)若
52
COM
，求
DON
的度数；
(2)试说明：
1
2
DON
COM
的度数是一个定值，并求出这个定值的度数；
(3)若
14
5
BOC
COM
，试求
DON
的度数．
4．如图1，先画出直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（
AOB
）的顶点与60角
（
COD
）的顶点重合，且边OA，OC 都在直线EF 上．
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(1)
BOD
度；
(2)如图2，固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度，当边OB 第一次落
在射线OF 上时停止．
①当OB 平分
EOD
时，求旋转角α 的度数；
②如图3，当OB 运动到
COD
内部时，
BOD
AOC
是定值，求这个定值；
③当
2
BOC
AOD
时， 直接写出旋转角α 的度数为 ．
【题型3 旋转中探究角的数量关系问题】
5．按要求完成下列各题：
(1)如图，正方形ABCD 的四个内角
DAB
，
ABC
，
BCD
，
ADC
均为直角，边AB 在直线EF 上，
DAF
的平分线AQ 交正方形的边于点P．
PAB
的度数为 ；
PAB
与
DAE
的度数之间的关系为 ．
(2)将正方形ABCD 绕点A 旋转至如图②所示的位置，此时
DAE
，
DAF
的平分线AQ 交正方形的边
BC 于点P，请探究：
PAB
与
DAE
的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
(3)将正方形ABCD 绕点A 旋转至如图③的位置，AQ 平分
DAF
，请探究
QAB
与
DAE
的度数之间的关
系．
6．已知点O 是直线AB 上的一点，OC ，OE ，OF 是三条射线，
90
COE
，OF 是
AOE
的平分线．
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(1)当
90
AOC
时，
①若射线OC ，OE ，OF 在直线AB 的同侧（图1），
25
COF
，求
BOE
的度数；
②根据①中的结果，猜想
BOE
和
COF
的数量关系是______；
③当OC 与OE ，OF 在直线AB 两旁时（如图2），设
COF
x
，请通过计算，用含x 的代数式表示
BOE
，说明②中的关系是否仍然成立；
(2)当
90
AOC
，OC 与OE ，OF 在直线AB 两旁时（如图3），上述
BOE
和
COF
的数量关系是否仍
然成立？若成立，请仿照③中的方法说明理由；若不成立，请直接写出
COF
和
BOE
此时具备的数量关
系．
【题型4 旋转中求角的运动时间问题】
7．综合与探究
问题情境：探究三角尺中的学问．一把含45角的直角三角板AOB 的直角顶点O 在直线DE 上，过点O 作射
线OC ，使得
60
COE
，直角三角板AOB 的直角边OB 从射线OE 开始，绕点O 以15/秒的速度顺时针旋
转一圈，设旋转的时间为t 秒．
问题解决：
(1)如图1，当直角边OB 在射线OE 上，另一边OA在直线DE 的上方，则
AOC
的度数为 ，
COD
的度数
为 ；
初步感知：
(2)当直角三角板旋转到如图2 所示的位置时，射线OB 恰好平分
COE
，试猜想此时
AOC
与
AOD
之间
的数量关系，并说明理由；
操作探究：
(3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB ，OC ，OE 中的某一条射线是另外两条射线所夹角的
平分线？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
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8．已知
50
AOC
，
30
BOD
，
AOC
和
BOD
均可绕点O 进行旋转，点M ，O ，N 在同一条直线
上，OP 是
COD
的角平分线．
(1)如图1，当点A 与M 点重合，点B 与N 点重合，且射线OC 和射线OD 在直线MN 的同侧时，求
DOP
的度数．
(2)在（1）的基础上，若
AOC
从OM 处开始绕点O 顺时针方向旋转，转速为每秒6，
BOD
从ON 处开
始绕点O 逆时针方向旋转，同时转速为每秒4
①当旋转多少秒时，OC 与OD 第一次重合；
②直接写出
AOC
与
BOD
第一次从相遇到分开所经历的时间．
(3)在（1）的基础上，若
AOC
从OM 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为每秒3，同时
BOD
从ON
处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为每秒5，如图2 所示，当旋转5s 时，则
DOP
的度数为多少？
【题型5 旋转中探究角的新定义型问题】
9．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们
给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1: 2的两个角的射线，叫做这个角的三分线；
从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:3 的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分
线、四分线都有两条．例如：如图1，若
2
BOC
AOB
，则OB 是
AOC
的一条三分线；若
2
AOD
COD
，则OD 是
AOC
的另一条三分线．
(1)如图2，OB 是
AOC
的三分线，
BOC
AOB
，若
60
AOC
，则
AOB
；
(2)如图3，
120
DOF
，OE 是
DOF
的四分线，
DOE
EOF
，过点O 作射线OG ，当OG 刚好为
DOE
的三分线时，求
GOF
的度数；
(3)如图4，
120
AOD
，射线OB
OC
、
是
AOD
的两条三分线，将射线OB
OC
、
同时绕点O 沿顺时针方
向旋转
0
180
，在旋转的过程中，若射线OB
OC
OD
、
、
中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹
角的四分线，请直接写出的值．
10．新定义：若两个角的和为105，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如
45
AOB
，
60
COD
，则
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AOB
与
COD
互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于0而小于180的角．）
【阅读理解】
（1）如图1，如果
70
AOB
，
AOD
与
COB
互为“相伴角”，则
COD
________；
【初步应用】
（2）射线OM 平分角
AOB
，OC 为
AOB
内部的一条射线，且满足
15
COM
，若
BOC
与
AOB
互
为“相伴角”，求
AOB
的值；
【解决问题】
（3）如图2 ，已知
90
AOB
，射线OM 从OA出发，以每秒10的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON
从OB 出发，以每秒5的速度绕O 点逆时针旋转，设运动的时间为
3
t
秒由OM ，ON ，OA三条射线形成
的角中是否有两个角互为“相伴角”？
1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，
且被等分成了8 份，三角形OAB 是水车的支架，
60
AOB
．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆
心O 旋转．在图②中，若OC 平分
AOB
，则
BOD
的度数为（ ）
A．5
B．15
C．20
D．无法确定
2．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，
30
A
，
45
C
．
COD
△
固定不动，
AOB
V
绕着O
点顺时针旋转
0
180
，若
AOB
V
绕着O 点旋转图2 的位置，若
60
BOD
，则
AOC
的度数为
（ ）
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A．150
B．120
C．60
D．30
3．一副三角板ABC、DBE，如图1 放置，（
30
D
、
45
BAC
），将三角板DBE 绕点B 逆时针旋转
一定角度，如图2 所示，且0
90
CBE
，有下列四个结论：
①在图1 的情况下，在
DBC
内作
DBF
EBF
，则BA 平分
DBF
；
②在旋转过程中，若BM 平分
DBA
，BN 平分
EBC
，
MBN
的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90的次数为3 次；
④
DBC
ABE
的角度恒为105．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．如图，已知
180 ,
110
AOB
AOC
，现将射线OA绕点O 顺时针匀速旋转，射线
,
OB OC 保持不动，
当射线OA与射线OB 重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋转
的角度为
．
5．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线
叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如
120
AOB
，OC ，OD 是
AOB
的两条三分线，
以点O 为中心，将
COD
按顺时针方向旋转n（
90
n
）得到
C OD
，当OA恰好是
C OD
的三分线时，
n 的值为
．
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6．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n 倍，那么我们将这
条射线称为这个角的
1
n 分位线．例如：如图1，
4
MOP
NOP
，则OP 为
MON
的5 分位线；
4
NOQ
MOQ
，则OQ 也是
MON
的5 分位线．
（1）如图2，点A、O 、B 在同一条直线上，OC 为一条射线，OP ，OQ 分别为
AOC
与
BOC
的3 分位
线，（
COP
POA
，
COQ
QOB
），
150
AOC
，则
POQ
；
（2）如果点A、O 、B 在同一条直线上，OC 为一条射线，已知射线OM 、ON 分别为
AOC
与
BOC
的
5 分位线，且
96
MON
，则
AOC
．
7．已知O 为直线AB 上的一点，
90
COE
，AB
MN
．
(1)如图①，以O 为观察中心，射线OA表示正北方向，ON 表示正东方，若
17
CON
，则射线OE 的方向
是________；若将射线OC 、射线OE 绕点O 旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF 恰好平分
COM
．若
20
EOF
，求
AOF
的度数；
(2)若将射线OC 、射线OE 绕点O 旋转至如图③所示的位置，射线OF 仍然平分
COM
，
CON
与
AOF
之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
8．如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使
135
BOC
，将一个含45角的直角三角尺的一
个顶点放在点O 处，斜边OM 与直线AB 重合，另外两条直角边都在直线AB 的下方．
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(1)将图1 中的三角尺绕着点O 逆时针旋转90，如图2 所示，此时
BOM
；在图2 中，OM 是否平分
CON
？请说明理由；
(2)紧接着将图2 中的三角板绕点O 逆时针继续旋转到图3 的位置所示，使得ON 在
AOC
的内部，请探究：
AOM
与
CON
之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图1 中的三角板绕点O 按每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON
恰好平分锐角
AOC
，则t 的值为 （直接写出结果）
9．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如
何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义
两手手心位置分别为A，B 两点，两脚脚跟位置分别为C，D 两点，A，B，C，D，E，O 在同一平面内，O
为定点，且OE 垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O 进行旋转：
(1)填空：如图2，A，O，B 三点共线，且
AOC
BOC
，则
AOC
________°；
(2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B 三点共线，却不在水平方向上，且
:
5:3
AOD
BOC
，求
3
5
AOC
BOD
的度数；
(3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，OE 平分
COD
，且
30
COD
，开始运动前A，
O，B 三点在同一水平线上，OA，OB 同时绕点O 逆时针旋转，OA旋转速度为25 / s
，OB 旋转速度为
50 / s
，运动时间为st ，当OA旋转到与OC 重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示
AOE
与
BOD
的数量关系，并说明理由．
10．【概念学习】定义：从
45
90
的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将
分得
的两个角中有一个角与
的和为90°，则称该射线为
的“分余线”．
【深入思考】
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(1)如图1，
80
AOB
，
70
AOC
，则射线OC ______
AOB
的“分余线”；（填：“是”或“不是”）
(2)若OC 平分
AOB
，且OC 为
AOB
的“分余线”，求
AOB
的度数；
(3)如图2，
160
AOB
，在
AOB
内部作射线OC ，OM ，使OM 为
AOC
的平分线，在
BOC
的内部
作射线ON ，使
2
BON
CON
．当OC 为
MON
的“分余线”时，
BOC
______度．
1．【探索新知】
（1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．
①若
40
DCE
，则
ACB
________；若
130
ACB
，则
DCE
________；
②请直接写出
ACB
与
DCE
的数量关系________．
【深入探究】
（2）如图2，将两把同样的三角尺的60角的顶点A 重合在一起，则
DAB
与
CAE
有何数量关系？请说
明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知
AOC
，作
AOB
，
COD
（，都是锐角，且
），若OC 在
AOB
的
内部，请直接写出
AOD
与
BOC
的数量关系．
2．如图1，点O 在直线AB 上，
60
BOC
．已知
60
POQ
，
POQ
的两边
,
OP OQ 分别与射线
,
OB OC
重合，现将
POQ
绕点O 按每秒2的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为t 秒．（题目中所指的角均大
于0且小于180）
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(1)如图 2 所示，当0
90
t
时，若
4
BOP
COP
，且射线OP 在
BOC
内部，则
BOQ
___________，
此时t 的值为___________；
(2)当0
90
t
时，若OF 平分COQ ，请探究
BOF
与
COP
的数量关系，并说明理由．
3．已知
AOB
补角的度数是
AOB
度数的1
5 ，OC ，OM ，ON 都是
AOB
内的射线．
(1)如图10，若OM 平分
BOC
，ON 平分
AOC
，当OC 绕点O 在
AOB
内旋转时，求
MON
的度数．
(2)若OD 也是
AOB
内的射线，且
25
COD
，OM 平分
BOD
，ON 平分
AOC
．
①当
COD
绕点O 在
AOB
内旋转时，求
MON
的度数；
②若起始位置时
15
BOC
，当
COD
在
AOB
内绕着点O 以2 度/秒的速度逆时针旋转t 秒时，
2
3
AON
BOM
．求t 的值．
4．【综合与实践】
在第六章《几何图形初步》中，我们学习了角的平分线，通过折纸的方法可以作角的平分线．如图1，将纸
片上的
PQR
对折，使角的一边QP 与角的另一边QR 重合，得折痕QM ，此时
PQM
与
RQM
完全重合，
因此
PQM
RQM
．展开纸片后，射线QM 即为
PQR
的平分线．
【探究1】
（1）如图2，在长方形纸片ABCD 的边AB
CD
，
上分别取点E
F
，
，连接EF ．若将
BEF
对折，点B 落在
直线EF 上的点B处，得折痕EM ；再将
AEF
对折，点A 落在直线EF 上的点A处，得折痕EN ，则
NEM
___________．
【探究2】
（2）如图3，在长方形纸片ABCD 的边AB 上取点E ，边CD上取点F
G
，
（点G 在点F 右侧），分别连接
EF
EG
，
．若将
BEG
对折，点B 落在直线EG 上的点B处，得折痕EM ；再将
AEF
对折，点A 落在直
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线EF 上的点A处，得折痕EN ．
①若
36
AEN
，
49
BEM
，则
FEG
___________；
②若
20
FEG
，则
NEM
___________；
③若
0
180
FEG
，则
NEM
___________（用含的式子表示），并写出你的推导过程．
【探究3】
（3）如图4，在长方形纸片ABCD 的边AB 上取点E ，边CD上取点F
G
，
（点G 在点F 右侧），分别连接
EF
EG
，
．若将
BEF
对折，点B 落在直线EF 上的点B处，得折痕EM ；再将
AEG
对折，点A 落在直线EG
上的点A处，得折痕EN ．若
FEG
0
180
，则
NEM
___________（用含的式子表
示）．
5．【基础感知】
如图1，点P 为线段AB 上一动点，
6
AB
，点P 从点A 出发向点B 运动，到达点B 后，再转向点A 运
动，…如此反复．在点P 的运动过程中，点P 运动1 个单位长度后到达点
1P ，即
1
1
AP ；再运动2 个单位
长度后到达点
2P ，此时
2
3
AP ；再运动3 个单位长度后到达点
3P ，…以此类推．
（1）求
3
AP ______，
2
4
P P ______，
【迁移应用】
如图2，点O 是直线MN 上一点，线段OQ 从射线OM 的位置开始绕点O 向ON 的位置顺时针旋转，当转到
ON 位置时，则从ON 位置弹回，继续向OM 位置旋转，…如此反复．在线段OQ 的旋转过程中，OQ 从OM
开始旋转角度至
1
OQ ，从
1
OQ 继续旋转角度2至
2
OQ ，从
2
OQ 旋转角度3至
3
OQ ，…以此类推．
例如：当
20
时，线段
1
OQ ，
2
OQ ，
3
OQ ，
4
OQ ，
5
OQ 的位置如图3 所示，其中线段OQ 第4 次旋转到ON
后弹回，即
3
4
80
Q ON
NOQ
，而
5
OQ 恰好与
2
OQ 重合．
（2）若
35
，线段
1
OQ ，
2
OQ ，
3
OQ 的位置如图4 所示，求
2
3
Q OQ
的度数；
（3）若
30
，且线段
4
OQ 所在的射线平分
1
3
Q OQ
，在图5 中画出线段
1
OQ ，
2
OQ ，
3
OQ ，
4
OQ ，并求
出的值；
（4）若
36
，且
2
4
20
Q OQ
，直接写出所有的取值．
6．新定义：若两个角的和为120，则称这两个角互为“满分角”；例如
1
65
，
2
55
，则
1
与
2
互
为“满分角”．
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【阅读理解】
（1）如图1，如果
50
AOB
，射线OD 在射线OA上方，
BOD
与
AOB
互为“满分角”，则
AOD
________．
【初步应用】
（2）若OC ，OE 为
AOB
内部的两条射线，射线OE 平分角
AOB
，若
BOC
与
AOB
互为“满分角”，
且满足
15
COE
，求
BOC
的值．
【解决问题】
（3）如图2 ，已知
100
AOB
，射线OM 从OA出发，以每秒12的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON
从OB 出发，以每秒8的速度绕O 点逆时针旋转，设运动的时间为t 秒．
①作
BOM
的平分线OP ，当0
5
t
时，
MOP
与
MON
互为“满分角”，求运动时间t 的值．
②若5
12.5
t
，当t ________，时，由OM 、ON 、OB 三条射线形成的角互为“满分角”．
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