1 / 52
学科网（北京）股份有限公司
专项训练06 角的动态旋转问题
【知识点1 角的动态旋转问题】
1. 动态角的表示（含时间参数）
- 基本公式：角∠AOB 从OA 边开始，以速度w（度/秒）旋转，时间为t ：
- 顺时针旋转：∠AOB = ∠AOB0 - w t（角度减小）；
- 逆时针旋转：∠AOB = ∠ AOB0 + w t（角度增大）。
- 多射线旋转：分别用含 t 的式子表示各条射线与起始边的夹角，角的度数 = 大角 - 小角（必要时加绝
对值）。
- 关键：确定旋转方向（顺/逆时针）和起始角度（通常以某边为基准）。
2. 核心等量关系：角度相等、和差、倍数
- 角度相等：如∠AOP = ∠POB，列方程 w1 t =∠AOB0 - w2 t 。
- 角度和/差为定值：如∠AOP + ∠POB =∠AOB（恒成立）；∠AOP -∠POB = 𝜶（需讨论射线位置）。
- 倍数关系：如∠AOP = 2∠POB，列比例方程w1t = 2(∠AOB0 - w2 t)。
- 平分线/垂直：平分线条件（角度相等）；垂直条件（夹角为 90°）。
3. 分类讨论与多解验证
- 射线位置不确定：射线可能在角内部或外部，需分情况讨论（如OP 在∠AOB 内部，或旋转到外部）。
- 相遇/追及：两射线重合（角度相等）或夹角为定值时，列方程解 t ，注意周期性（旋转超过360°会重
复）。
- 多解验证：
- 角度为正（∠> 0°）；
- 旋转时间 t≥0；
- 是否在限定范围内（如某射线只旋转一定角度后停止）。
- 注意：绝对值方程或三角方程可能产生多解，需结合运动实际筛选。
2 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【题型1 旋转中求多解问题】
1．如图①，点O 在直线AB 上，过O 作射线
,
120
OC
BOC
，三角板的顶点与点O 重合，边OM 与OB
重合，边ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点O 按10 / s
的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，
第
s时，直线ON 恰好平分锐角
AOC
（图②）．
【答案】6 或24/24 或6
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线ON 恰好平分锐角
AOC
，得到三角板旋转的度数，进而得到t 的值．
【详解】解：
120
BOC
，
60
AOC
，
当直线ON 恰好平分锐角
AOC
时，如图：
1
30
2
BON
AOC
，
此时，三角板旋转的角度为90
30
60
，
60
10
6
t
；
当ON 在
AOC
的内部时，如图：
三角板旋转的角度为360
90
30
240
，
240
10
24
t
；
t
的值为：6 或24．
故答案为：6 或24．
2．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知
30
D
，
60
E
，
45
B
C
∠
，若保持三角板ADE 不动，将三角板ABC 绕点A 在平面内旋转．当AB
DE
时，
3 / 52
学科网（北京）股份有限公司
EAC
的度数为 ．
【答案】60或120
【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结
合三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：当
∥
DE
AC时，AB
DE
，分以下两种情况：
如图1 所示，
DE
AC
，
60
E
60
EAC
E
；
如图2 所示，
DE
AC
，
90
CAB
1
90
CAB
60
E
90
30
EAB
E
30
90
120
EAC
EAB
CAB
综上所述，
EAC
的度数为60或120
根据答案为：60或120．
4 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【题型2 旋转中求的角定值问题】
3．已知：如图，直线AB 和CD 相交于点O（
AOC
为锐角），点M 在直线AB 上方，
90
BOM
，ON
平分
AOD
．
(1)若
52
COM
，求
DON
的度数；
(2)试说明：
1
2
DON
COM
的度数是一个定值，并求出这个定值的度数；
(3)若
14
5
BOC
COM
，试求
DON
的度数．
【答案】(1) 71
(2)
1
45
2
DON
COM
(3)
70
DON
【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义；
（1）先求解
38
BOD
，可得
142
AOD
，再结合角平分线的含义可得答案；
（2）先求解
180
90
90
BOD
COM
COM
，证明
1
2
DON
AOD
，结合
180
AOD
BOD
，
进一步可得结论；
（3）先求解
90
180
BOC
COM
，结合
14
5
BOC
COM
，可得14
90
180
5
COM
COM
，
求解
50
COM
，结合（2）的结论可得答案.
【详解】（1）解：
52
COM
，
90
BOM
，
180
COM
BOM
BOD
，
38
BOD
，
又
180
AOD
BOD
，
142
AOD
，
又
ON
平分
AOD
，
1
71
2
DON
AOD
；
（2）解：
180
COM
BOM
BOD
，
180
90
90
BOD
COM
COM
，
5 / 52
学科网（北京）股份有限公司
又
ON
平分
AOD
，
1
2
DON
AOD
．
又
180
AOD
BOD
，
2
90
180
DON
COM
，
1
45
2
DON
COM
．
（3）解：
180
BOC
AOC
，
90
180
BOC
COM
，
∵
14
5
BOC
COM
，
14
90
180
5
COM
COM
，
50
COM
．
由（2）知：
1
45
2
DON
COM
，
70
DON
；
4．如图1，先画出直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（
AOB
）的顶点与60角
（
COD
）的顶点重合，且边OA，OC 都在直线EF 上．
(1)
BOD
度；
(2)如图2，固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度，当边OB 第一次落
在射线OF 上时停止．
①当OB 平分
EOD
时，求旋转角α 的度数；
②如图3，当OB 运动到
COD
内部时，
BOD
AOC
是定值，求这个定值；
6 / 52
学科网（北京）股份有限公司
③当
2
BOC
AOD
时， 直接写出旋转角α 的度数为 ．
【答案】(1)75
(2)①
15
；②105；③105或125
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）①根据图形中角的和差关系进行计算即可；
②根据图形中角的和差关系进行计算即可；
③分两种情况，当OA在
DOE
内部时，当OA在
DOF
∠
内部时，利用角的和差表示出
AOD
和
BOC
，
然后根据
2
BOC
AOD
列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：（1）如图1，
180
180
45
60
75
BOD
AOB
COD
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
° ，
故答案为：75；
（2）解：①当OB 平分
DOE
时，
∴
1
1
1
180
180
60
60
2
2
2
BOE
BOD
DOE
COD
，
∴∠
60
45
15
AOE
BOE
AOB
，
即旋转角
15
；
②如图3，
105
BOD
AOC
，理由如下：
BOD
AOC
AOD
AOB
AOB
BOC
COD
AOB
60
45
105
；
③如图2，当OA在
DOE
内部或与OD 重合时，即0
120
，
由题意得，
120
AOD
DOE
AOE
，
180
180
45
135
BOC
AOE
AOB
，
当
2
BOC
AOD
时，即
135
2
120
，解得
105
．
如图3，当OA在
DOF
∠
内部与OF 重合时，即120
180
，
120
AOD
AOE
DOE
180
180
45
135
BOC
AOE
AOB
当
2
BOC
AOD
时，即
135
2
120
，解得
125
，
故答案为：105或125．
【题型3 旋转中探究角的数量关系问题】
5．如图，
90
EOC
，请你根据图形，求解下列问题：
7 / 52
学科网（北京）股份有限公司
(1)在
,
,
,
EOA
AOC
EOB
EOD
中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用
“”把它们连接起来；
(2)
BOD
是哪两个角的和？
(3)写出
,
,
,
EOD
EOC
DOC
EOA
中某些角之间的两个等量关系；
(4)如果
EOD
COB
，则
BOD
的度数为_________．
【答案】(1)
EOD
是锐角，
AOC
是直角，
EOB
是钝角，
EOA
是平角，
EOD
AOC
EOB
EOA
(2)
BOD
BOC
COD
(3)
EOC
EOD
DOC
，
2
EOA
EOC
（答案不唯一）
(4)90
【知识点】角的比较、角的分类、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解
决问题的关键．
（1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解；
（2）根据图形即可求解；
（3）根据图形即可求解；
（4）由题意可知
90
EOD
COD
，结合
EOD
COB
，即可得
90
COB
COD
BOD
．
【详解】（1）解：由图可知，
EOD
是锐角，
AOC
是直角，
EOB
是钝角，
EOA
是平角，
则
EOD
AOC
EOB
EOA
；
（2）由图可知，
BOD
BOC
COD
；
（3）由图可知，
EOC
EOD
DOC
，
2
EOA
EOC
（答案不唯一）
（4）∵
90
EOC
，
∴
90
EOD
COD
，
又∵
EOD
COB
，
∴
90
COB
COD
BOD
，
故答案为：90．
6．已知O 为直线AB 上一点，射线OD
OC
OE
、
、
位于直线AB 上方，OD 在OE 的左侧，
120
AOC
，
80
DOE
．
8 / 52
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图1，当OD 平分
AOC
时，求
EOB
的度数；
(2)点F 在射线OB 上，若射线OF 绕点O 逆时针旋转n（0
180
n
且
60
n
），
3
FOA
AOD
．当
DOE
在
AOC
内部（图2）和
DOE
的两边在射线OC 的两侧（图3）时，
FOE
和
EOC
的数量关系是否改变，
若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【答案】(1) 40
(2)不改变，
2
EOF
EOC
，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计
算．
（1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论；
（2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论．
【详解】（1）解：∵OD 平分
AOC
，
∴
1
60
2
COD
AOC
，
∵
80
DOE
．
∴
20
COE
DOE
COD
，
∴
120
20
140
AOE
AOC
COE
，
∴
180
40
BOE
AOE
；
（2）解：①
DOE
在
AOC
内部时．
令
AOD
x
，则
2
DOF
x
，
80
2
EOF
x
，
∴
120
2
80
2
40
EOC
x
x
x
x
，
∴
2
EOF
EOC
；
②
DOE
的两边在射线OC 的两侧时．令
AOD
x
，
则
2
DOF
x
，
120
DOC
x
，
2
80
EOF
x
，
∴
80
120
40
EOC
x
x
，
∴
2
EOF
EOC
．
综上可得，
FOE
和
EOC
的数量关系不改变，
2
EOF
EOC
．
9 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【题型4 旋转中求角的运动时间问题】
7．如图，若
AOB
是平角，
30
AOC
，将直角三角板MON 的直角顶点与点O 重合，ON 与OA重合．将
三角板绕点O 以每秒2的速度顺时针方向旋转，设旋转的时间是t 秒．
(1)当ON 平分
AOC
时，计算
AON
与t 的值
(2)在三角板MON 旋转的同时，OC 以每秒4的速度顺时针旋转，当OC 平分
MOB
时，求t 的值．
【答案】(1)
15
AON
，7.5秒
(2)35 秒
【分析】本题考查了角的平分线的计算、角的和差，找到角之间的关系是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出
15
AON
，再根据路程=速度时间即可得出答案；
（2）先根据路程=速度时间结合角的和差表示出
MOB
，再根据角平分线的定义得出
BOC
，然后表示
出
30
4
AOC
t
，最后根据
180
AOC
BOC
建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）当ON 平分
AOC
时，
30
AOC
30
2
15
，
15
AON
，
每秒2速度旋转，旋转15所需要时间15
2
7.5
（秒）
7.5
t
（秒）；
（2）依题意可得，
180
90
2
90
2
MOB
AOB
AOM
t
t
，
OC 平分
MOB
，
1
(45
)
2
MOC
BOC
MOB
t
，
30
4
AOC
t
，
180
AOC
BOC
，
30
4
45
180
t
t
，
35
t
（秒）
答：当OC 平分
MOB
时
35
t
秒．
8．如图1，直线AB 和直线CD 相交于O ，且
BOD
，点M
N
，
分别是射线OA、OB 上一点，射线OM
绕点O 以10 / s
的速度逆时针旋转，射线ON 绕点O 以30 / s
的速度顺时针旋转，旋转时间为(0
6)
t
t
，其
中OQ 为
MON
的角平分线．
10 / 52
学科网（北京）股份有限公司
(1)当
3s
t
时，
MON
．
(2)如图2，当t 为多少秒时，ON
OM
，
恰好分别为
BOD
AOD
和
的角平分线？并求出此时的度数．
(3)当
120
，且
20
DOQ
时，求旋转时间t 的值？
【答案】(1)60
(2)
9
4
t
，135
(3)
1
t 或
5
t
【分析】（1）当
3s
t
时，
10
3
30
AOM
，
30
3
90
BON
，根据
180
MON
AOM
BON
计算即可．
（2）设运动t 秒时，ON
OM
，
恰好分别为
BOD
AOD
和
的角平分线，根据题意，得
10
10
AOM
t
t
，
30
30
BON
t
t
，根据角的平分线，得2
2
180
BON
AOM
，即
90
BON
AOM
，列出方程解答即可．
（3）设运动t 秒时，根据题意，得
10
10
AOM
t
t
，
30
30
BON
t
t
，根据
120
，且
20
DOQ
，
分点Q 在OD 左侧和右侧两种情况，列出方程解答即可．
【详解】（1）解：∵射线OM 绕点O 以10 / s
的速度逆时针旋转，射线ON 绕点O 以30 / s
的速度顺时针旋转，
旋转时间为(0
6)
t
t
，
∴当
3s
t
时，
10
3
30
AOM
，
30
3
90
BON
，
∴
180
60
MON
AOM
BON
．
故答案为：60．
（2）解：设运动t 秒时，ON
OM
，
恰好分别为
BOD
AOD
和
的角平分线，根据题意，得
10
10
AOM
t
t
，
30
30
BON
t
t
，
∵ON
OM
，
恰好分别为
BOD
AOD
和
的角平分线，
∴
2
,
2
BOD
BON
AOD
AOM
，
∵
180
BOD
AOD
，
∴2
2
180
BON
AOM
，
∴
90
BON
AOM
，
11 / 52
学科网（北京）股份有限公司
∴10
30
90
t
t
，
解得
9
4
t
，
∴
9
2
2 30
135
4
BOD
BON
．
（3）解：设运动t 秒时，
当点Q 在OD 右侧时，
根据题意，得
10
10
AOM
t
t
，
30
30
BON
t
t
，
∴
180
180
40
MON
AOM
BON
t
．
∵OQ 为
MON
的角平分线．
∴
1
90
20
2
QON
MON
t
．
∵
120
，且
20
DOQ
，
∴
100
BOQ
Ð
=
° ，
∴
100
BON
QON
，
∴30
90
20
100
t
t
，
解得
1
t ；
当点Q 在OD 左侧时，如图，
根据题意，得
10
10
AOM
t
t
，
30
30
BON
t
t
，
∴
180
40
180
MON
AOM
BON
t
．
∵OQ 为
MON
的角平分线．
∴
1
20
90
2
QOM
MON
t
．
∵
120
BOD
，
∴
180
60
AOD
BOD
，
根据题意，得
DOM
QOQ
QOM
AOD
AOM
，
∴20
20
90
60 10
t
t
，
解得
5
t
；
12 / 52
学科网（北京）股份有限公司
综上所述，当
1
t 或
5
t
时，
120
，且
20
DOQ
．
【题型5 旋转中探究角的新定义型问题】
9．【问题背景】如图1，已知射线OC 在
AOB
的内部，若
AOB
，
AOC
和
BOC
三个角中有一个角
的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是
AOB
的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，
60
MPN
．若射线PQ 是
MPN
的“量尺金线”，则
QPN
的度数为________；
【问题推广】
（3）在（2）中，若
MPN
x
，0
60
x
，射线PF 从PN 位置开始，以每秒旋转3的速度绕点P 按逆
时针方向旋转，当
FPN
首次等于180时停止旋转，设旋转的时间为s
t
．当t 为何值时，射线PM 是
FPN
的“量尺金线”？（用含x 的式子表示出t 即可）
【答案】（1）是；（2）20 或30 或40；（3）1
2 x ，2
3 x ，x ；
【知识点】用代数式表示式、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，
是解题关键．
（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；
（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；
（3）射线PM 是
FPN
的“量尺金线”，PM 在
FPN
的内部，PF 在
NPM
的外部，然后分三种情况求解
即可．
13 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2 倍，满足“量尺金线”的定义，
故答案为：是；
（2）
60
MPN
，射线PQ 是
MPN
的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：
当
2
QPN
MPQ
时，如图，
∵
2
60
QPN
MPQ
，
∴
2
60
40
3
QPN
；
当
2
MPQ
QPN
时，如图，
∵2
60
QPN
MPQ
∴
1
60
20
3
QPN
；
当
2
NPM
QPN
时，如图，
∵
60
MPN
，
∴
1
60
30
2
QPN
；
综上：当
QPN
为20，30，40时，射线PQ 是
MPN
的“量尺金线”．
（3）∵射线PM 是
FPN
的“量尺金线”，
∴PM 在
FPN
的内部，
∴PF 在
NPM
的外部；
14 / 52
学科网（北京）股份有限公司
分三种情况：
①如图，当
2
NPM
FPM
时，如图所示：
1
1
2
2
FPM
NPM
x
∴
1
3
2
2
FPN
NPM
FPM
x
x
x
，
∴
3
1
3
s
2
2
t
x
x
；
②如图，当
2
FPN
MPN
时，如图所示：
∴
2
FPN
x
，
∴
2
s
3
t
x
；
③当
2
FPM
NPM
时，如图所示：
∵
2
FPM
x
，
∴
3
FPN
NPM
FPM
x
，
∴
3
3
s
t
x
x
；
综上：当t 为x 或1
2 x 或2
3 x 时，射线PM 是
FPN
的“量尺金线”．
10．【问题初探】
在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的2 倍，则称这条射线是已
知角的“奇妙线”．
例如：图1中
2
AOC
BOC
，则射线OC 是
AOB
的“奇妙线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）
15 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【类比分析】
（2）如图2 ，若
60
MPN
，在
MPN
内部画一条射线PQ ，使PQ 是
MPN
的“奇妙线”，求
MPQ
的
度数；
【变式拓展】
（3）如图3，若
60
MPN
，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始以每秒10的速度逆时针旋转，同时射线PM
以每秒6的速度也绕点P 逆时针旋转，当射线PQ 与射线PM 重合时全部停止运动．设旋转时间为t 秒，请
直接写出t 为何值时，射线PQ 是
MPN
的“奇妙线”．
【答案】（1）是；（2 ）20或30或40；（3）
30
7
t
或5
2 或20
3 ．
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2 ）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解；
（3）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；
本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：根据角平分线的定义可知：
由OC 平分
AOB
，
得：
2
2
AOB
AOC
BOC
，
则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”，
故答案为：是；
（2 ）①当PQ 平分
MPN
时，
16 / 52
学科网（北京）股份有限公司
∴
30
MPQ
，
②当
1
3
MPQ
MPN
时，
∴
20
MPQ
，
③
2
3
MPQ
MPN
，
∴
40
MPQ
，
则综上可知：
MPQ
的度数为20或30或40；
（3）由题意得：如图，
则
10
NPQ
t
，
1
6
MPM
t
，则
1
1
60
6
M PN
MPN
MPM
t
，
∵射线PQ 是
1
M PN
的“奇妙线”，
∴
1
1
2
NPQ
M PN
①
，即
1
10
60
6
2
t
t
，解得：
30
7
t
，
1
1
3
NPQ
M PN
②
，即
1
10
60
6
3
t
t
，解得：
5
2
t
，
1
2
3
NPQ
M PN
③
，即
2
10
60
6
3
t
t
，解得：
20
3
t
，
综上可知：
30
7
t
或5
2 或20
3 ．
17 / 52
学科网（北京）股份有限公司
1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，
且被等分成了8 份，三角形OAB 是水车的支架，
60
AOB
．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆
心O 旋转．在图②中，若OC 平分
AOB
，则
BOD
的度数为（ ）
A．5
B．15
C．20
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．根据周角的定义求出
45
COD
，再
根据角平分线的定义求出
30
BOC
，由
BOD
COD
BOC
；
【详解】解：由题意得，
360
45
8
COD
，
∵
60
AOB
，OC 平分
AOB
，
∴
1
30
2
BOC
AOB
，
∴
15
BOD
COD
BOC
∠
∠
，
故选：B．
2．题目： “一块含30角的直角三角板ABC 和一块含45角的直角三角板BDE 拼成如图1 所示的图案后，
三角板BDE 固定不动， 将三角板ABC 绕顶点B 旋转一周， 如图2． 当
CBE
ABD
时（注：
,
CBE
ABD
均指图中不超过180的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：
105
， 乙答：
285
， 则正确的是 （ ）
A．只有甲答的对
18 / 52
学科网（北京）股份有限公司
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
【答案】C
【分析】本题考查与三角板有关的计算，分两个三角板重合有得重合部分和不重合两种情况，进行讨论求
解，判断即可．
【详解】解：由题意，可知：
90 ,
30 ,
45
DBE
ACB
CAB
BED
BDE
，
∴
60
ABC
，
当两个三角板不重合时，如图：
则：
1 360
105
2
ABD
EBC
EBD
ABC
，
当两个三角板有重合部分时，如图：
∵
CBE
ABD
，
∴
1
15
2
ABE
CBD
EBD
ABC
，
∴
75
ABD
ABC
DBC
，
∴
360
285
ABD
；
故甲、乙答案合在一起才完整；
故选C．
3．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，
30
A
，
45
C
．
COD
△
固定不动，
AOB
V
绕着O
点顺时针旋转
0
180
，若
AOB
V
绕着O 点旋转图2 的位置，若
60
BOD
，则
AOC
的度数为
（ ）
19 / 52
学科网（北京）股份有限公司
A．150
B．120
C．60
D．30
【答案】B
【分析】根据题意可得
90
AOB
COD
，再由
60
BOD
，可得
90
30
AOD
BOD
，即可求
解．
【详解】解：根据题意得：
90
AOB
COD
，
∵
60
BOD
，
∴
90
30
AOD
BOD
，
∴
120
AOC
AOD
COD
．
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角板中角的计算，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键．
4．定义：若两个角的度数差的绝对值等于60，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优
角”．如
100
，
40
，
60
，则
和互为“优角”．如图，
120
AOB
，射线OC
平分
AOB
，
EOF
在
AOB
的内部．若
60
EOF
，则图中互为“优角”的共有（ ）
A．6 对
B．7 对
C．8 对
D．9 对
【答案】B
【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解
答即可．
【详解】解：∵
120
AOB
，射线OC 平分
AOB
，
∴
1
60
2
AOC
BOC
AOB
；
∵
60 ,
AOB
AOC
BOC
∴
AOB
AOC
、
互为“优角”；
∵
60
AOB
BOC
AOC
，
∴
AOB
BOC
、
互为“优角”；
∵
120
60
60 ,
AOB
EOF
20 / 52
学科网（北京）股份有限公司
∴
AOB
EOF
、
互为“优角”；
∵
60 ,
AOF
AOE
EOF
∴
AOF
AOE
、
互为“优角”；
∵
60 ,
AOF
COF
AOC
∴
AOF
COF
、
互为“优角”；
∵
60 ,
BOE
BOF
EOF
∴
BOE
BOF
、
互为“优角”；
∵
60 ,
BOE
EOC
BOC
∴
BOE
EOC
、
互为“优角”；
故共有7 对角互为“优角”
故选∶B．
5．一副三角板ABC、DBE，如图1 放置，（
30
D
、
45
BAC
），将三角板DBE 绕点B 逆时针旋转
一定角度，如图2 所示，且0
90
CBE
，有下列四个结论：
①在图1 的情况下，在
DBC
内作
DBF
EBF
，则BA 平分
DBF
；
②在旋转过程中，若BM 平分
DBA
，BN 平分
EBC
，
MBN
的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90的次数为3 次；
④
DBC
ABE
的角度恒为105．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．
【详解】①如图可得
15
DBA
ABF
，所以BA 平分
DBF
，①正确；
②当0
45
CBE
时，设
DBM
x
，
∵BM 平分
DBA
，
∴
x
ABM
DBM
，
∴
60
2
ABE
x
，
45
60
2
2
15
EBC
x
x
，
∴
7.5
EBN
x
，
60
2
7.5
52.5
MBN
x
x
x
21 / 52
学科网（北京）股份有限公司
当45
90
CBE
时，设
DBM
x
，
∵BM 平分
DBA
，
∴
x
ABM
DBM
，
∴
60
2
ABE
x
，
∴
2
15
EBC
x
，
60
MBE
x
∴
7.5
EBN
CBN
x
，
∴
60
7.5
52.5
MBN
x
x
，故②正确；
③
30
CBE
时BD
BC
，
45
CBE
时AB
DE
，
75
CBE
时DB
AB
故③正确；
④当0
45
CBE
时
105
DBC
ABE
，当45
90
CBE
时
105
DBC
ABE
，故④错误；
综上所述，正确的结论为①②③；
故选：C．
6．如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至AE
BC
时，
BAD
的度数为
度．
【答案】45
【分析】本题考查三角板中角度的计算，根据三角板中角度，结合角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：
45 ,
90
B
C
DAE
BAC
，
当AE
BC
时，则：
90
AFB
，
∴
90
45
BAF
ABF
，
∴
45
BAD
DAE
BAE
；
故答案为：45．
7．如图，已知
180 ,
110
AOB
AOC
，现将射线OA绕点O 顺时针匀速旋转，射线
,
OB OC 保持不动，
当射线OA与射线OB 重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋转
的角度为
．
【答案】40或145
【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差关
22 / 52
学科网（北京）股份有限公司
系解决此题．
【详解】解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形：
①当射线OA旋转到
BOC
的外部时，
70
AOC
BOC
∠
∠
．
∴射线OA旋转的角度为110
70
40
．
②当射线OA旋转到
BOC
内部时，
AOC
AOB
．
∴
1
35
2
AOB
BOC
，
∴射线OA旋转的角度为
35
145
180
，
综上：射线OA旋转的角度为40或145．
故答案为：40或145．
8．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线
叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如
120
AOB
，OC ，OD 是
AOB
的两条三分线，
以点O 为中心，将
COD
按顺时针方向旋转n（
90
n
）得到
C OD
，当OA恰好是
C OD
的三分线时，
n 的值为
．
【答案】160
3 或200
3
【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①
2
3
AOC
AOD
，②
1
3
AOC
AOD
，根据两种情况分
别讨论并计算即可．
【详解】解：∵
120
AOB
，OC ，OD 是
AOB
的两条三分线，
∴
1
120
'
'
40
3
3
COD
C OD
AOB
，
2
80
3
AOC
AOB
①当
2
80
'
'
'
3
3
AOC
C OD
，如图，
如原图所示：
80
160
80
(
)
3
3
COC
AOC
AOC
，
所以
160
3
n
；
23 / 52
学科网（北京）股份有限公司
②当
1
40
'
'
3
3
AOC
AOD
时，如图，
则
40
200
80
(
)
3
3
COC
AOC
AOC
，
所以，
200
3
n
．
故答案为：160
3 或200
3 ．
9．一副直角三角板按如图①放置，点B
O
D
、、
在同一直线上，
90
B
D
，
45
AOB
，
60
COD
，
AOB
V
和
COD
△
同时以相同的速度绕点O 分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当
AOB
和
COD
的
平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了
．
【答案】26.25 或206.25 或116.25或296.25
【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作
AOB
的平分线为OE ，
COD
的平
分线为OF ，求出
127.5
EOF
，然后分如图，当
1
1
E
O
F
、、
共线时，设旋转角度为x ，即
127.5
180
x
x
，如图，当
2
2
E
O
F
、、
共线时，设旋转角度为y ，即
180
127.5
180
180
y
y
，
如图，当
3
OE 和
3
OF 重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作
AOB
的平分线为OE ，
COD
的平分线为OF ，
∴
1
22.5
2
EOB
AOB
，
1
30
2
FOD
COD
，
∴
180
22.5
30
127.5
EOF
，
24 / 52
学科网（北京）股份有限公司
如图，当
1
1
E
O
F
、、
共线时，即反向共线时，
设旋转角度为x ，即
127.5
180
x
x
，
解得：
26.25
x
；
如图，当
2
2
E
O
F
、、
共线时，即反向共线时，
设旋转角度为y ，即
180
127.5
180
180
y
y
，
解得：
206.25
y
；
如图，当
3
OE 和
3
OF 重合，即同向共线时，
设旋转角度为m ，即
127.5
360
m
m
，
解得：
116.25
m
；
如图，当
4
OE 和
4
OF 重合，即同向共线时，
25 / 52
学科网（北京）股份有限公司
设旋转角度为n ，即
127.5
360
2
n
n
，
解得：
296.25
n
；
当
AOB
和
COD
的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了26.25或206.25或116.25或296.25
故答案为：26.25 或206.25 或116.25或296.25 ．
10．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n 倍，那么我们将这
条射线称为这个角的
1
n 分位线．例如：如图1，
4
MOP
NOP
，则OP 为
MON
的5 分位线；
4
NOQ
MOQ
，则OQ 也是
MON
的5 分位线．
（1）如图2，点A、O 、B 在同一条直线上，OC 为一条射线，OP ，OQ 分别为
AOC
与
BOC
的3 分位
线，（
COP
POA
，
COQ
QOB
），
150
AOC
，则
POQ
；
（2）如果点A、O 、B 在同一条直线上，OC 为一条射线，已知射线OM 、ON 分别为
AOC
与
BOC
的
5 分位线，且
96
MON
，则
AOC
．
【答案】
120
80或100
【分析】本题考查了新定义——角的
1
n 分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解
题的关键．
（1）求出
30
BOC
，根据OP ，OQ 分别为
AOC
与
BOC
的3 分位线，（
COP
POA
，
COQ
QOB
），得
2
2
100
20
3
3
COP
AOC
COQ
BOC
，
，得
120
COP
C
POQ
OQ
；
（2）根据OM 、ON 分别为
AOC
与
BOC
的5 分位线，得
1
5
COM
AOC
,或
4
5
COM
AOC
；
1
5
CON
BOC
，或
4
5
CON
BOC
,当
1
5
COM
AOC
,
1
5
CON
BOC
时，
36
COM
CON
,不合；当
1
5
COM
AOC
，
4
5
CON
BOC
时，
26 / 52
学科网（北京）股份有限公司
3
36
96
5
COM
CON
BOC
， 得
80
AOC
；当
4
5
COM
AOC
，
1
5
CON
BOC
时，
3
36
96
5
COM
CON
AOC
，得
100
AOC
；当
4
5
COM
AOC
，
4
5
CON
BOC
时，
144
96
COM
CON
，不合．
【详解】解：（1）∵
150
AOC
，
∴
180
30
BOC
AOC
，
∵OP ，OQ 分别为
AOC
与
BOC
的3 分位线，（
COP
POA
，
COQ
QOB
），
∴
2
2
COP
AOP
COQ
QOB
，
，
∵
150
30
COP
AOP
COQ
QOB
，
，
∴
2
2
100
20
3
3
COP
AOC
COQ
BOC
，
，
∴
120
COP
C
POQ
OQ
；
故答案为：120；
（2）∵射线OM 、ON 分别为
AOC
与
BOC
的5 分位线，
∴
4
AOM
COM
，∴
1
5
COM
AOC
,
或
4
COM
AOM
，∴
4
5
COM
AOC
；
4
BON
CON
，∴
1
5
CON
BOC
，
或
4
CON
BON
，∴
4
5
CON
BOC
，
当
1
5
COM
AOC
,
1
5
CON
BOC
时，
1
36
5
COM
CON
AOC
BOC
，
∵
96
COM
CON
MON
，
∴不合；
当
1
5
COM
AOC
，
4
5
CON
BOC
时，
1
4
3
36
96
5
5
5
COM
CON
AOC
BOC
BOC
，
∴
100
BOC
，
∴
80
AOC
；
当
4
5
COM
AOC
，
1
5
CON
BOC
时，
27 / 52
学科网（北京）股份有限公司
4
1
3
36
96
5
5
5
COM
CON
AOC
BOC
AOC
，
∴
100
AOC
；
当
4
5
COM
AOC
，
4
5
CON
BOC
时，
4
144
96
5
COM
CON
AOC
BOC
，
不合．
∴
80
AOC
或
100
AOC
．
故答案为：80或100．
11．已知O 为直线AB 上的一点，
90
COE
，AB
MN
．
(1)如图①，以O 为观察中心，射线OA表示正北方向，ON 表示正东方，若
17
CON
，则射线OE 的方向
是________；若将射线OC 、射线OE 绕点O 旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF 恰好平分
COM
．若
20
EOF
，求
AOF
的度数；
(2)若将射线OC 、射线OE 绕点O 旋转至如图③所示的位置，射线OF 仍然平分
COM
，
CON
与
AOF
之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)北偏东17；20
(2)
2
CON
AOF
，理由见解析
【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差
关系，是解题的关键：
（1）求出
AOE
的度数，根据方向角的定义，即可得到射线OE 的方向，根据角的和差关系，角平分线的
定义，推出
20
AOF
EOF
；
（2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出
180
180
2
CON
COM
MOF
，
90
AOF
MOF
，即可得出结论．
28 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：由题意知，
90
COE
，AB
MN
，
∴
73
EON
COE
CON
，
∴
90
17
AOE
EON
，
∴射线OE 的方向是北偏东17；
∵
90
COE
，AB
MN
，
∴
90
AOC
AOE
，
90
AOE
MOE
，
∴
AOC
MOE
．
∵OF 恰好平分
COM
，
∴
COF
MOF
，
∴
COF
AOC
MOF
MOE
，
∴
20
AOF
EOF
．
（2）
2
CON
AOF
，理由如下：
∵OF 为
COM
的平分线，
∴
COF
MOF
，
∴
180
180
2
CON
COM
MOF
．
∵
90
AOF
MOF
，
∴2
180
2
AOF
MOF
，
∴
2
CON
AOF
．
12．如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC，使
135
BOC
，将一个含45角的直角三角尺的
一个顶点放在点O 处，斜边OM 与直线AB 重合，另外两条直角边都在直线AB 的下方．
(1)将图1 中的三角尺绕着点O 逆时针旋转90，如图2 所示，此时
BOM
；在图2 中，OM 是否平分
CON
？请说明理由；
(2)紧接着将图2 中的三角板绕点O 逆时针继续旋转到图3 的位置所示，使得ON 在
AOC
的内部，请探究：
AOM
与
CON
之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图1 中的三角板绕点O 按每秒5的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON
恰好平分锐角
AOC
，则t 的值为 （直接写出结果）
【答案】(1)90，平分，见解析
(2)相等，见解析
29 / 52
学科网（北京）股份有限公司
(3)4.5 秒或40.5 秒．
【分析】（1）根据
135
BOC
和含45角的直角三角尺的特点，算出
MON
，得到
MOC
MON
，
即可解题；
（2）根据题意算出
MON
，
AOC
，利用
AOM
MON
AON
，
NOC
AOC
AON
，即可解
题；
（3）根据直线ON 恰好平分锐角
AOC
，且
45
AOC
，可分为当ON 在直线AB 的下方，且
22.5
NOB
，以及当ON 在直线AB 的上方，且
22.5
NOA
，再根据三角板绕点O 按每秒5的速度沿
逆时针方向旋转，建立关于t 的等式即可求解．
本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，
90
BOM
，
故答案为：90；
OM 平分
CON
．理由如下：
135
BOC
，
135
90
45
MOC
，
而
45
MON
，
MOC
MON
，则OM 平分
CON
．
（2）解：
AOM
CON
．
理由如下：如图3，
45
MON
，
45
AOM
AON
-
，
180
45
AOC
BOC
，
45
NOC
AON
，
AOM
CON
．
（3）解：直线ON 恰好平分锐角
AOC
，且
45
AOC
，
1
45
22.5
2
AON
或
180
22.5
157.5
AON
，即
22.5
NOB
，
①当ON 在直线AB 的下方，
有
22.5
5
4.5
t
（秒），
②当ON 在直线AB 的上方，
180
22.5
5
40.5
t
（秒）．
故答案为：4.5 秒或40.5 秒．
13．如图1，把一副三角板拼在一起，边OA，OC 与直线EF 重合，其中
45
AOB
，
60
COD
，此时
易得
75
BOD
．
30 / 52
学科网（北京）股份有限公司
(1)如图2，三角板COD 固定不动，将三角板AOB 绕点O 以每秒5的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，
三角板AOB 一直在
EOD
的内部，设三角板AOB 运动时间为t 秒．
①当
3
t
时，
BOD
______；
②当t 为何值时，
4
AOE
BOD
？
(2)如图3，在（1）的条件下，若OM 平分BOE ，ON 平分
AOD
．
①当
30
AOE
时，
MON
______；
②请问在三角板AOB 的旋转过程中，
MON
的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果
不发生变化，请直接写出
MON
的度数．
【答案】(1)①60 ，②
12
t
(2)①37.5，②
MON
的度数不发生变化，
37.5
MON
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算．
（1）①根据如图可得
5
AOE
t
，则
75
5
BOD
t
，将
3
t
代入求出
60
BOD
；
②根据题意，列出方程，解方程求出t 的值，即可；
（2）①当
30
AOE
时，分别求出
75
BOE
，
100
AOD
，结合角平分线的定义求出
37.5
BOM
，
50
AON
，即可求出
42.5
MON
∠
；
②分别用含t 的代数式表示出
5
45
BOE
t
∠
，
130
5
AOD
t
，结合角平分线的定义求出
5
22.5
2
BOM
t
，
5
65
2
AON
t
，即可求出
42.5
MON
∠
，得出结论．
【详解】（1）解：∵三角板AOB 绕点O 以每秒5的速度顺时针开始旋转，设三角板AOB 运动时间为t 秒，
则
5
AOE
t
，
∴
180
75
5
BOD
AOE
AOE
DOC
t
，
①当
3
t
时，
75
5
3
60
BOD
，
故答案为：60 ．
②若
4
AOE
BOD
，
即
5
4 75
5
t
t
解得：
12
t
，
即当
12
t
时，
4
AOE
BOD
．
（2）解：①当
30
AOE
时，
75
BOE
EOA
AOB
∠
∠
∠
，
180
180
30
60
90
AOD
AOE
DOC
∠
∠
，
31 / 52
学科网（北京）股份有限公司
∵OM 平分BOE ，ON 平分
AOD
，
∴
1
37.5
2
BOM
BOE
，
1
45
2
AON
AOD
，
∴
45
45
0
BON
AON
AOB
∠
∠
∠
，
则
45
45
37.5
37.5
MON
BON
BOM
AON
AOB
BOM
∠
∠
∠
∠
∠
∠
．
故答案为：37.5，
②
MON
的度数不发生变化，
37.5
MON
，
理由如下：根据题意可得
5
45
BOE
EOA
AOB
t
∠
∠
∠
，
180
180
5
60
120
5
AOD
AOE
DOC
t
t
∠
∠
，
∵OM 平分BOE ，ON 平分
AOD
，
∴
1
5
22.5
2
2
BOM
BOE
t
，
1
5
60
2
2
AON
AOD
t
，
∴
5
5
60
45
15
2
2
BON
AON
AOB
t
t
∠
∠
∠
则
5
5
15
22.5
37.5
2
2
MON
BON
BOM
t
t
∠
∠
∠
，
即在三角板AOB 的旋转过程中，
MON
的度数不发生变化，
37.5
MON
．
14．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如
何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义
两手手心位置分别为A，B 两点，两脚脚跟位置分别为C，D 两点，A，B，C，D，E，O 在同一平面内，O
为定点，且OE 垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O 进行旋转：
(1)填空：如图2，A，O，B 三点共线，且
AOC
BOC
，则
AOC
________°；
(2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B 三点共线，却不在水平方向上，且
:
5:3
AOD
BOC
，求
3
5
AOC
BOD
的度数；
(3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，OE 平分
COD
，且
30
COD
，开始运动前A，
O，B 三点在同一水平线上，OA，OB 同时绕点O 逆时针旋转，OA旋转速度为25 / s
，OB 旋转速度为
50 / s
，运动时间为st ，当OA旋转到与OC 重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示
AOE
与
BOD
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90
32 / 52
学科网（北京）股份有限公司
(2)72
(3)当0
2.1
t
时，
2
255
BOD
AOE
；当2.1
3
t
时，
2
105
BOD
AOE
【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系．
（1）由A ，O ，B 三点共线，可得出
180
AOC
BOC
，再由
AOC
BOC
，即可求出
=90
AOC
∠
；
（2 ）由
:
5:3
AOD
BOC
，设
5
AOD
a
Ð
=
，则
3
BOC
，分别求出
180
180
2
AOC
BOC
，
180
180
3
BOD
AOD
，再代入
3
5
AOC
BOD
即可求解；
（3）先求出OA旋转到与OC 重合时，
75
25
3
t
，由OB 的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，
O ，D 三点共线前和点B，O ，D 三点共线后，分别求解即可；
【详解】（1）解：∵A ，O ，B 三点共线，
∴
180
AOC
BOC
，
∵
AOC
BOC
，
∴
1 180
90
2
AOC
；
（2）解：∵
:
5:3
AOD
BOC
，
设
5
AOD
a
Ð
=
，则
3
BOC
，
∴
180
180
3
AOC
BOC
，
180
180
5
BOD
AOD
，
∴
2
180
3
180
5
3
72
5
3
AOC
BOD
；
（3）解：∵OE 平分
COD
，且
30
COD
，
∴
15
COE
EOD
，
∴此时
90
15
75
BOD
AOC
，
则OA旋转到与OC 重合时，
75
25
3
t
，
∴0
3
t
；
运动停止时，即
3
t
时，OB 旋转的角度为50
3
150
，
当点D，O ，B 三点共线时，
180
75
50
2.1
t
，
∴当0
2.1
t
时，
75
50
BOD
t
，
90
25
AOE
t
，
∴
2
75
50
2 90
25
255
BOD
AOE
t
t
；
当2.1
3
t
时，
180
50
2.1
285
50
BOD
t
t
，
90
25
AOE
t
，
∴
2
285
50
2 90
25
105
BOD
AOE
t
t
，
综上，当0
2.1
t
时，
2
255
BOD
AOE
；当2.1
3
t
时，
2
105
BOD
AOE
．
15．【概念学习】定义：从
45
90
的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将
分得
的两个角中有一个角与
的和为90°，则称该射线为
的“分余线”．
33 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【深入思考】
(1)如图1，
80
AOB
，
70
AOC
，则射线OC ______
AOB
的“分余线”；（填：“是”或“不是”）
(2)若OC 平分
AOB
，且OC 为
AOB
的“分余线”，求
AOB
的度数；
(3)如图2，
160
AOB
，在
AOB
内部作射线OC ，OM ，使OM 为
AOC
的平分线，在
BOC
的内部
作射线ON ，使
2
BON
CON
．当OC 为
MON
的“分余线”时，
BOC
______度．
【答案】(1)是
(2)60
(3)60 或105
【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差，
（1）根据题意可知
10
BOC
，再结合“分余线”的定义解答；
（2）根据角平分线的定义可得
2
AOB
BOC
，再根据“分余线”的定义可得2
90
BOC
BOC
，求
出答案即可；
（3）根据题意可得
1
1 (160
)
2
2
COM
AOC
BOC
，
1
3
CON
BOC
，可表示出
1
1
1
80
80
2
3
6
MON
BOC
BOC
BOC
.再分两种情况：当
90
CON
MON
时，当
90
COM
MON
时，然后代入计算可得答案．
【详解】（1）解：∵
80 ,
70
AOB
AOC
，
∴
10
BOC
，
∴
90
BOC
AOB
，
∴射线OC 是
AOB
的“分余线”；
故答案为：是；
（2）解：∵OC 平分
AOB
，
∴
2
AOB
BOC
．
∵OC 是
AOB
的“分余线”，
∴2
90
BOC
BOC
，
解得
30
BOC
，
∴
60
AOB
；
（3）解：∵OM 平分
AOC
，
34 / 52
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
1
1
160
80
2
2
2
COM
AOC
BOC
BOC
．
∵
2
BON
CON
，
∴
1
3
CON
BOC
，
∴
1
1
1
80
80
2
3
6
MON
CON
COM
BOC
BOC
BOC
．
当
90
CON
MON
时，OC 是
MON
的“分余线”，
即1
1
80
90
3
6
BOC
BOC
，
解得
60
BOC
；
当
90
COM
MON
时，OC 是
MON
的“分余线”，
即
1
1
80
80
90
2
6
BOC
BOC
，
解得
105
BOC
．
所以
BOC
的度数为60或105．
故答案为：60 或105．
1．如图1，已知，点O 为直线AB 上一点，OC 在直线AB 的上方，
60
AOC
．一直角三角板的直角顶点
放在点O 处，三角板一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．
(1)在图1 的时刻，
BOC
的度数为________，
CON
的度数为________；
(2)如图2，当三角板绕点O 旋转至一边OM 恰好平分
BOC
时，求
BON
的度数；
(3)在三角板绕点O 旋转一周的过程中，求
COM
与
AON
之间的数量关系．
【答案】(1)120，150
(2)30
(3)
150
COM
AON
或210
35 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差．
（1）根据邻补角互补求出
BOC
，
AON
，再由角的和差即可求出
CON
；
（2）根据角平分线求出
BOM
，再由角的和差即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O 旋转至一边ON 在
AOC
的内部时，②当三角板绕点O 旋转至
一边ON 不在
AOC
的内部时，根据角的和差分别求解即可．
【详解】（1）解：∵
90
MON
，
60
AOC
，
∴
180
120
BOC
AOC
，
180
90
AON
MON
，
∴
60
90
150
CON
AOC
AON
；
故答案为：120，150；
（2）解：∵
120
BOC
，OM 平分
BOC
，
∴
1
60
2
BOM
BOC
，
∵
90
MON
，
∴
90
60
30
BON
MON
BOM
；
（3）解：分两种情况：
当三角板绕点O 旋转至一边ON 在
AOC
的内部时，如图，
设NO 的延长线为OE ，则
90
MOE
，
∵
60
AOC
，
∴
180
120
BOC
AOC
，
∵
AON
BOE
，
∴
360
360
90
120
150
COM
AON
COM
BOE
MOE
BOC
＋
＋
；
当三角板绕点O 旋转至一边ON 不在
AOC
的内部时，如图：
∵
90
MON
，
60
AOC
，
∴
360
360
90
60
210
COM
AON
MON
AOC
；
36 / 52
学科网（北京）股份有限公司
综上所述，
COM
与
AON
的关系为：
150
COM
AON
或210．
故答案为：
150
COM
AON
或210．
2．如图1，点O 在直线AB 上，
60
BOC
．已知
60
POQ
，
POQ
的两边
,
OP OQ 分别与射线
,
OB OC
重合，现将
POQ
绕点O 按每秒2的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为t 秒．（题目中所指的角均大
于0且小于180）
(1)如图 2 所示，当0
90
t
时，若
4
BOP
COP
，且射线OP 在
BOC
内部，则
BOQ
___________，
此时t 的值为___________；
(2)当0
90
t
时，若OF 平分COQ ，请探究
BOF
与
COP
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)108，24
(2)
1
90
2
BOF
COP
或
1
90
2
BOF
COP
【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算；
（1）设
4
4
BOP
COP
，则
COP
，根据
60
BOC
得出
12
，进而得出
BOQ
，根据
POQ
绕点O 按每秒2的速度沿逆时针方向旋转，进而得出t 的值；
（2）设
COP
，分两种情况，求出则COQ ，由OF 平分COQ ，得出
COF
，即可求解；
【详解】（1）解：设
4
4
BOP
COP
，则
COP
，
60
BOC
BOP
POC
，则
4
60
，
解得：
12
，
4
60
48
60
108
BOQ
BOP
POQ
，
∵
4
48 ,
POB
POQ
绕点O 按每秒2的速度沿逆时针方向旋转，
48
24
2
t
（秒），
故答案为： 108，24 ．
（2）解：当0
30,
t
OP
在
BOC
内部，如图所示，
设
COP
，
37 / 52
学科网（北京）股份有限公司
60
POQ
，
60
COQ
POQ
POC
，
OF
平分COQ ，
1
1
30
2
2
COF
COQ
，
1
1
60
30
90
2
2
BOF
BOC
COF
，
1
90
2
BOF
，
即
1
90
2
BOF
COP
；
当30
90
t
时，OP 在
BOC
的外部（
30
t
时，
,
OP OC 重合），
60
POQ
，
60
COQ
POQ
POC
，
∵OF 平分COQ ，
1
1
30
2
2
COF
COQ
，
1
1
60
30
90
2
2
BOF
BOC
COF
，
1
90
2
BOF
，即
1
90
2
BOF
COP
，
综上所述：
1
90
2
BOF
COP
或
1
90
2
BOF
COP
．
3．已知
AOB
补角的度数是
AOB
度数的1
5 ，OC ，OM ，ON 都是
AOB
内的射线．
(1)如图10，若OM 平分
BOC
，ON 平分
AOC
，当OC 绕点O 在
AOB
内旋转时，求
MON
的度数．
(2)若OD 也是
AOB
内的射线，且
25
COD
，OM 平分
BOD
，ON 平分
AOC
．
①当
COD
绕点O 在
AOB
内旋转时，求
MON
的度数；
②若起始位置时
15
BOC
，当
COD
在
AOB
内绕着点O 以2 度/秒的速度逆时针旋转t 秒时，
38 / 52
学科网（北京）股份有限公司
2
3
AON
BOM
．求t 的值．
【答案】(1)75
(2)①62.5或87.5 ②15
【分析】题目主要考查角平分线的计算，一元一次方程的应用，理解题意，结合图形，分情况分析是解题
关键．
（1）设
AOB
的度数为x ，根据题意列出方程得出
150
AOB
，然后利用角平分线计算即可；
（2）①根据角平分线得出
1
2
MOD
BOD
，
1
2
CON
AOC
，然后分两种情况分析：情况一：如图1，
当OC 在OD 右侧时，情况二：如图2，当射线OC 在OD 左侧时，结合图形求解即可；②根据旋转及角平
分线作出相应图形，求解即可．
【详解】（1）解：设
AOB
的度数为x ．
由题意得
1
180
5
x
x
，
解得
150
x
．
所以
150
AOB
．
因为OM 平分
BOC
，ON 平分
AOC
．
所以
1
2
MOC
BOC
，
1
2
CON
AOC
．
所以
1
1
2
2
MON
MOC
CON
BOC
AOC
1
1
75
2
2
BOC
AOC
AOB
．
（2）①因为OM 平分
BOD
．ON 平分
AOC
，
所以
1
2
MOD
BOD
，
1
2
CON
AOC
．
分类讨论，情况一：如图1，当OC 在OD 右侧时，
MON
MOD
CON
COD
1
1
2
2
BOD
AOC
COD
1
2
BOD
AOD
COD
COD
1
2
AOB
COD
COD
39 / 52
学科网（北京）股份有限公司
1
1
1
1
150
25
62.5
2
2
2
2
AOB
COD
．
情况二：如图2，当射线OC 在OD 左侧时，
MON
MOD
CON
COD
1
1
2
2
BOD
AOC
COD
1
2
BOD
COD
AOC
COD
COD
1
2
AOB
COD
COD
1
1
1
1
150
25
87.5
2
2
2
2
AOB
COD
．
综上所述，
MON
的度数为62.5或87.5．
②如图3．因为起始位置时
15
BOC
，
25
COD
，所以OD 在OC 的右侧．
因为
COD
在
AOB
内绕着点O 以2 度/秒的速度逆时针旋转t 秒．
所以
2
15
25
2
40
BOD
BOC
COD
t
t
．
因为射线OM 平分
BOD
．
所以
1
20
2
BOM
BOD
t
．
因为
AOC
AOB
BOC
．
所以
150
2
15
135
2
AOC
t
t
．
因为射线ON 平分
AOC
．
所以
1
67.5
2
AON
AOC
t
．
又因为2
3
AON
BOM
，
所以
2 67.5
3
20
t
t
．
解得
15
t
．
答：t 的值为15．
4．综合与实践
40 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题
吧．已知
120
AOB
，射线
,
OE OF 分别是
AOC
和
COB
的角平分线．
(1)【初步感知】若射线OC 在
AOB
的内部，且
30
AOC
，求
EOF
的度数；
(2)【探究发现】若射线OC 在
AOB
的内部绕点O 旋转，请判断
EOF
的大小是否为定值，并说明理由；
(3)【拓展延伸】若射线OC 从OA出发，绕着点O 顺时针方向旋转，旋转的角度不超过180，其余条件不变，
当
3
BOE
COF
时，请借助备用图探究
EOC
的大小，并直接写出
EOC
的度数（不写计算过程）．
【答案】(1)60；
(2)
60
EOF
，是一个定值，理由见解析；
(3)
EOC
的度数为30或75
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用：
（1）先求出
BOC
的度数，角平分线求出
,
COE
COF
的度数，进而求出
EOF
的度数即可；
（2）根据角平分线的定义和角的和差关系求出
1
2
EOF
AOB
，即可；
（3）设
AOC
x
，分OC 在
AOB
内部和OC 在
AOB
外部，两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：
120 ,
30
AOB
AOC
，
120
30
90
BOC
AOB
AOC
，
射线
,
OE OF 分别是
AOC
和
COB
的角平分线，
1
1
15 ,
45
2
2
COE
AOC
COF
BOC
，
15
45
60
EOF
COE
COF
；
（2）解：
60
EOF
，是一个定值，理由如下：
射线
,
OE OF 分别是
AOC
和
COB
的角平分线，
1
1
,
2
2
COE
AOC
COF
BOC
，
1
1
1
1
2
2
2
2
EOF
COE
COF
AOC
BOC
AOC
BOC
AOB
，
120
AOB
Q
，
60
EOF
，
故
EOF
是一个定值，且
60
EOF
．
（3）解：
30
EOC
或75．
设
AOC
x
，分两种情况：
41 / 52
学科网（北京）股份有限公司
①如图1，当OC 在
AOB
内部时，
则：
120
BOC
x
，
射线
,
OE OF 分别是
AOC
和
COB
的角平分线，
1
1
1
,
120
60
2
2
2
COE
x
COF
x
x
，
1
1
120
120
2
2
BOE
COE
BOC
x
x
x
，
3
BOE
COF
，
1
1
120
3 60
2
2
x
x
，
解得：
60
x
，
1
30
2
COE
x
；
②如图2，当OC 在
AOB
外部时，
则：
120
BOC
x
，
射线
,
OE OF 分别是
AOC
和
COB
的角平分线，
1
1
1
,
120
60
2
2
2
COE
x
COF
x
x
，
1
1
120
120
2
2
BOE
COE
BOC
x
x
x
，
3
BOE
COF
，
1
1
120
3
60
2
2
x
x
，
解得：
150
x
，
1
75
2
COE
x
；
综上所述，
EOC
的度数为30或75．
42 / 52
学科网（北京）股份有限公司
5．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 1
3，则这条射线叫原
来角的“新生线”．
(1)如图1，
2
MOP
PON
，射线OP
MON
的“新生线”（填“是”或“不是”）；
(2)点M、O、N 在同一直线上，
①在图2 中，
72
AON
，射线OC 在
AOM
的内部，并且是
AOM
的“新生线”， OD 平分
COM
，
求
DOM
的大小；
②如图3，OA
MN
，
44
AOB
，射线OC 从OM 出发绕点O 以每秒6的速度逆时针旋转，运动时间为
t 秒，若在射线OC 旋转的同时，
AOB
绕点O 以每秒2的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD 平
分
AOB
．当射线OC 与射线ON 重合时，运动都停止．当射线OC 是
MOD
的“新生线”时，直接写出t 的
值．
【答案】(1)是
(2)①36或18；②27.2 或68
7 或17
4
【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义
是解题的关键．
（1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解；
（2）①射线OC 在
AOM
的内部，并且是
AOM
的“新生线”，分类讨论，当
1
3
AOC
AOM
时，当
1
3
MOC
AOM
，根据角平分线即可求解；
②OC 到ON 的时间范围为30s，当OC 追上OB 的时间为
11.5s
t
，当OC 追上OA的时间为
22.5s
t
，分类
讨论：第一种情况，当OC 在OB 右侧时，即0
11.5
t
；第二种情况，当OC 在OA左侧时，即
22.5
30
t
；第三种情况，当OC 在
AOB
内部，且在OD 左侧，即11.5
22.5
t
；第四种情况，当OC 在
AOB
内部，且在OD 右侧，即11.5
22.5
t
，结合图形分析即可．
【详解】（1）解：∵
2
MOP
PON
，设
PON
x
，则
2
MOP
x
，
∴
3
MON
MOP
PON
x
，
∴
1
3
3
PON
x
MON
x
，
∴
PON
是
MON
的1
3 ，
43 / 52
学科网（北京）股份有限公司
∴OP 是
MON
的新生线，
故答案为：是；
（2）解：①射线OC 在
AOM
的内部，并且是
AOM
的“新生线”，
当
1
3
AOC
AOM
时，如图所示，
∵点M 、O 、N 在同一直线上，
72
AON
，
∴
180
108
AOM
AON
．
∴
1 108
36
3
AOC
，
∴
72
COM
AOM
AOC
．
∵OD 平分
COM
，
∴
1
36
2
DOM
COM
；
当
1
3
MOC
AOM
时，如图所示，
同理，
180
108
AOM
AON
，
∴
1
36
3
MOC
AOM
，
∵OD 平分
COM
，
∴
1
18
2
DOM
COM
；
综上所述，
DOM
的大小为36或18；
②射线OC 从OM 出发绕点O 以每秒6的速度逆时针旋转，
AOB
绕点O 以每秒2的速度逆时针旋转，
∴OC 到ON 的时间范围为：180
6
30s
．
∵OA
MN
，
44
AOB
，
∴
90
44
46
BOM
，
∴当OC 追上OB 的时间为：46
2
6
t
t
，
解得：
11.5s
t
；
44 / 52
学科网（北京）股份有限公司
当OC 追上OA的时间为：90
2
6
t
t
，
解得：
22.5s
t
．
第一种情况，当OC 在OB 右侧时，即0
11.5
t
，如图，
∴
6
COM
t
，
90
2
MOA
t
，
46
2
BOM
t
，
∵射线OD 平分
AOB
，
∴
1
22
2
AOD
BOD
AOB
．
∵
90
2
22
68
2
MOD
AOM
AOD
t
t
，
当
1
3
COM
MOD
时，
∴
1
6
68
2
3
t
t
，
解得：
17 s
4
t
；
当
1
3
COD
MOD
时，
COD
BOD
BOC
BOD
BOM
COM
22
46
2
6
68
4
t
t
t
，
∴
1
68
4
68
2
3
t
t
，
解得：
68 s
7
t
；
第二种情况，当OC 在OA左侧时，即22.5
30
t
，如图，
当
1
3
COD
MOD
时，
∵
90
44
2
22
68
2
MOD
BOM
BOD
t
t
，
∴
6
68
2
4
68
COD
COM
MOD
t
t
t
，
45 / 52
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
4
68
68
2
3
t
t
，
解得：
27.2s
t
；
第三种情况，当OC 在
AOB
内部，且在OD 左侧，即11.5
22.5
t
，如图，
当
1
3
COD
MOD
时，
∵
90
44
2
22
68
2
MOD
BOM
BOD
t
t
，
∴
6
68
2
4
68
COD
COM
MOD
t
t
t
，
∴
1
4
68
68
2
3
t
t
，
解得：
27.2s
t
，不合题意，舍去；
第四种情况，当OC 在
AOB
内部，且在OD 右侧，即11.5
22.5
t
，如图，
当
1
3
COD
MOD
时，
∵
90
44
2
22
68
2
MOD
BOM
BOD
t
t
，
∴
COD
MOD
COM
BOM
BOD
COM
46
2
22
6
68
4
t
t
t
，
∵
46
2
22
68
2
MOD
BOM
BOD
t
t
，
∴
1
68
4
68
2
3
t
t
，
解得：
68 s
7
t
，不合题意，舍去；
当
1
3
COM
MOD
时，
∴
1
6
68
2
3
t
t
，
解得：
17 s
4
t
，不合题意，舍去．
46 / 52
学科网（北京）股份有限公司
综上可知t 的值为27.2 或68
7 或17
4 ．
6．如图1，将一副三角板的直角顶点C 叠放在一起（
90
ACD
BCE
）．
观察分析：
(1)若
35
DCE
，则
ACB
∠
；若
150
ACB
，则
DCE
；
猜想探究：
(2)请你猜想
ACB
与
DCE
有何关系，并说明理由；
拓展应用：
(3)如图2 ，若将两个同样的三角板含
60
60
DAC
EAB
锐角的顶点A 重合在一起，请你猜想
DAB
与
CAE
有何关系，请说明理由；
(4)如图3，如果把任意两个锐角
AOB
、
COD
的顶点O 重合在一起，已知
AOB
，
COD
（
、
都是锐角），请你直接写出
AOD
和
BOC
与
、
之间的关系．
【答案】(1)145，30
(2)
180
ACB
DCE
，理由见解析；
(3)
120
DAB
EAC
，理由见解析；
(4)
AOD
BOC
【分析】本题主要考查余角和补角的定义，通过角的和差关系来求解各角之间的关系．
(1)若
35
DCE
，根据90计算
ACE
的度数，再利用和计算
ACB
的度数；若
150
ACB
， 同理，反
之计算可得结果；
( 2 )先计算：
90
ACB
BCD
，再加上
DCE
可得结果；
(3)先计算
60
DAB
CAB
，再加上
CAE
可得结果；
( 4 )先计算
AOD
COA
，再加上
BOC
可得结果．
【详解】（1）解：若
35
DCE
，
∵
90
ACD
，
35
DCE
，
∴
90
35
55
ACE
，
∵
90
BCE
，
∴
55
90
145
ACB
ACE
BCE
；
若
150
ACB
，
∵
90
BCE
，
47 / 52
学科网（北京）股份有限公司
∴
150
90
60
ACE
，
∵
90
ACD
，
∴
90
60
30
DCE
，
故答案为：145，30；
（2）
180
ACB
DCE
，
理由：∵
90
ACE
ECD
，
90
ECD
DCB
，
∴
180
ACE
ECD
ECD
DCB
∵
ACE
ECD
DCB
ACB
，
∴
180
ACB
ECD
；
（3）
120
DAB
EAC
，
理由：∵
60
DAE
EAC
，
60
EAC
CAB
，
∴
120
DAE
EAC
EAC
CAB
，
∵
DAE
EAC
CAB
DAB
，
∴
120
DAB
EAC
；
（4）
AOD
BOC
，
理由：∵
AOD
DOC
COA
COA
，
AOD
BOC
COA
BOC
，
AOB
，
．
7．将一副直角三角板按如图1 摆放在直线AD 上（直角三角板OBC 和直角三角板MON ，
90
OBC
，
45
BOC
，
90
MON
，
30
MNO
），保持三角板OBC 不动，将三角板MON 绕点O 以每秒6的
速度顺时针方向旋转t 秒．
(1)如图2，当t 秒时，OM 平分
AOC
，此时
NOC
AOM
；
(2)继续旋转三角板MON ，如图3，使得OM 、ON 同时在直线OC 的右侧，猜想
NOC
与
AOM
有怎样的
数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）；
(3)直线AD 的位置不变，若在三角板MON 开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC 也绕点O 以每秒2
的速度顺时针旋转，当OM 旋转至射线OD 上时，两个三角板同时停止运动．
①当t 秒时，
15
MOC
；
②请直接写出在旋转过程中，
NOC
与
AOM
的数量关系（数量关系中不能含t）．
【答案】(1)
3.75
t
；
45
NOC
AOM
48 / 52
学科网（北京）股份有限公司
(2)
45
NOC
AOM
(3)①
7.5
t
或15；②3
2
135
NOC
AOM
【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数，
（1）根据角平分线的定义得到
1
22.5
2
AOM
AOC
，于是得到
3.75
t
，由于
90
MON
，
22.5
MOC
，即可得到
45
NOC
AOM
，
（2）根据题意得
90
6
AON
t
，求得
45
6
NOC
t
，即可得到结论；
（3）①根据题意得
2
AOB
t
，
6
AOM
t
，求得
45
2
AOC
t
，列方程即可得到结论；②根据角的
和差即可得到结论．
【详解】（1）解：∵
45
AOC
，OM 平分
AOC
，
∴
1
22.5
2
AOM
AOC
，
∴
22.5
6
3.75
t
，
∵
90
MON
，
22.5
MOC
，
∴
45
NOC
AOM
MON
MOC
AOM
；
（2）解：
45
NOC
AOM
，
∵
90
6
AON
t
，
∴
90
6
45
45
6
NOC
t
t
，
∵
6
AOM
t
，
∴
45
NOC
AOM
，
（3）解：①∵
2
AOB
t
，
6
AOM
t
，
∴
45
2
AOC
t
∴45
2
6
15
t
t
或6
45
2
15
t
t
，
解得：
7.5
t
或15，
②1
1
15
3
4
NOC
AOM
∵
2
AOB
t
，
6
AOM
t
，
90
MON
，
45
BOC
，
90
90
6
AON
AOM
t
，
45
2
AOC
AOB
BOC
t
，
∴
90
6
45
2
45
4
NOC
AON
AOC
t
t
t
，
∴
45
4
6
AOM
NOC
，
∴3
2
135
NOC
AOM
．
8．新定义：若两个角的和为120，则称这两个角互为“满分角”；例如
1
65
，
2
55
，则
1
与
2
互
为“满分角”．
49 / 52
学科网（北京）股份有限公司
【阅读理解】
（1）如图1，如果
50
AOB
，射线OD 在射线OA上方，
BOD
与
AOB
互为“满分角”，则
AOD
________．
【初步应用】
（2）若OC ，OE 为
AOB
内部的两条射线，射线OE 平分角
AOB
，若
BOC
与
AOB
互为“满分角”，
且满足
15
COE
，求
BOC
的值．
【解决问题】
（3）如图2 ，已知
100
AOB
，射线OM 从OA出发，以每秒12的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON
从OB 出发，以每秒8的速度绕O 点逆时针旋转，设运动的时间为t 秒．
①作
BOM
的平分线OP ，当0
5
t
时，
MOP
与
MON
互为“满分角”，求运动时间t 的值．
②若5
12.5
t
，当t ________，时，由OM 、ON 、OB 三条射线形成的角互为“满分角”．
【答案】
1 20；
2 50或30；
15
3
13
①
，②55
7 或11或10．
【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含t 的代数式
表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于t 的一元一次方程，解方程求出t 的值即可．
1 根据“满分角”的定义，可知
120
BOD
AOB
，又因为已知
50
AOB
，即可求出
BOD
的度数，
再根据图中角之间的关系求出
AOD
的度数即可；
2 设
2
AOB
x
，则有
AOE
BOE
x
，然后再分当射线OC 在射线OE 上方时，和射线OC 在射线OE
下方时，两种情况求解；
3 ①当
5
t
时，射线OM 与ON 重合，当0
5
t
时，可知
100
20
MON
t
，
100
12
BOM
t
，根
据“满分角”的定义，列出关于t 的方程求解即可；
②因为当
5
t
秒时，射线OM 与ON 重合，当
12.5
t
秒时射线ON 与OA重合，当
25
3
t
时，射线OM 与OA
重合，所以要分当
25
5
3
t
时，和当25
12.5
3
t
时，两种情况讨论．
【详解】
1 解：
BOD
与
AOB
互为“满分角”，
120
BOD
AOB
，
50 / 52
学科网（北京）股份有限公司
50
AOB
，
50
120
BOD
，
70
BOD
，
70
50
20
AOD
BOD
AOB
，
故答案为：20；
2 解：如下图所示，设
2
AOB
x
，
射线OE 平分角
AOB
，
1
2
AOE
BOE
AOB
x
，
15
EOC
，
当射线OC 在射线OE 上方时，
15
BOC
BOE
EOC
x
，
BOC
与
AOB
互为“满分角”，
120
BOC
AOB
，
2
15
120
x
x
，
解得：
35
x
，
15
50
BOC
x
；
如下图所示，当射线OC 在射线OE 下方时，
15
BOC
BOE
EOC
x
，
BOC
与
AOB
互为“满分角”，
120
BOC
AOB
，
2
15
120
x
x
，
解得：
45
x
，
15
30
BOC
x
；
综上所述，
BOC
的度数为50或30；
3 ①解：
100
12
8
5
，
当
5
t
时，射线OM 与ON 重合，
51 / 52
学科网（北京）股份有限公司
当0
5
t
时，
100
20
MON
t
，
100
12
BOM
AOB
AOM
t
，
OP 平分
BOM
，
1
1 100
12
50
6
2
2
MOP
BOM
t
t
，
MOP
与
MON
互为“满分角”，
120
MOP
MON
，
100
20
50
6
120
t
t
,
解得：
15
13
t
；
②解：由①可知当
5
t
时，射线OM 与ON 重合，
12.5 8
100
，
当
12.5
t
时，射线ON 恰好与OB 重合，
12.5 12
150
，
当
12.5
t
时，射线OM 旋转到OB 的下方，
当
25
100 12
3
t
时，射线OM 与OA重合，
如下图所示，当
25
5
3
t
时，
8
BON
t
，
100
12
BOM
t
，
20
100
MON
t
，
OM 、ON 、OB 三条射线形成的角互为“满分角”，
当
BON
和
BOM
互为“满分角”时，
则有8
100 12
120
t
t
，
解得：
5
t (负值，舍去)；
当
BON
和
MON
互为“满分角”时，
则有8
20
100
120
t
t
，
解得：
55
7
t
；
当
BOM
和
MON
互为“满分角”时，
则有100
12
20
100
120
t
t
，
解得：
15
t
(不符合题意，舍去)；
如下图所示，当25
12.5
3
t
时，
8
BON
t
，
12
100
BOM
t
，
20
100
MON
t
，
当
BON
和
BOM
互为“满分角”时，
则有8
12
100
120
t
t
，
52 / 52
学科网（北京）股份有限公司
解得：
11
t
；
当
BON
和
MON
互为“满分角”时，
则有8
20
100
120
t
t
，
解得：
55
7
t
(不符合题意，舍去)；
当
BOM
和
MON
互为“满分角”时，
则有12
100
20
100
120
t
t
，
解得：
10
t
；
综上所述，当
55
7
t
秒或11秒或10秒时，由OM 、ON 、OB 三条射线形成的角互为“满分角”，
故答案为：55
7 或11或10．
