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专项训练02 数轴上的动点探究问题
【知识点1 数轴上的动点探究问题】
1. 两点基础关系（距离与中点）
- 距离公式：数轴上两点A(a) 、B(b)的距离AB = |a-b| （右侧减左侧可直接去绝对值）。
- 中点公式：A、B 的中点M 对应的数为
𝑎+ 𝑏
2 （即平均数）。
- 关键：动点问题中，距离相等或中点重合是列方程的常用等量关系。
2. 动点位置表示（含时间参数）
- 匀速运动：点P 从a 出发，速度为v，运动时间为t：
- 向右运动：P(t) = a + vt ；
- 向左运动：P(t) = a - vt。
- 关键：运动方向由速度正负决定（通常设向右为正）。
- 多动点：分别用含t 的式子表示各点位置，然后建立它们之间的等量关系。
3. 核心题型与列方程策略
- 追及/相遇：
- 相遇：两动点位置相同（P(t) = Q(t) ）；
- 追及：速度快的追上慢的（位置相同且时间满足先后条件）。
- 距离问题：
- 两点距离为定值d：|P(t)-Q(t)| = d（去绝对值时分左右两种情况讨论）；
- 若可确定左右位置，直接右侧减左侧。
- 中点/定比分点：
- 某点为两动点的中点：P(t) + Q(t) = 2M （M 为定点或另一点）。
- 隐含条件：
- 时间 t≥0；
- 注意是否有“停止点”（如点到原点后折返、点到达终点停止等）。
- 多解验证：绝对值方程通常有两解，需结合运动方向或范围舍去无效解。
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【题型1 数轴动点中的相遇问题】
1．如图，数轴上两点
,
A B （点A 在点B 的左侧，AB 表示点A 与点B 之间的距离），点A 表示的有理数为
12,
28
AB
．点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，
以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为t 秒（
0
t
）．
(1)点B 表示的数为___________，线段AB 的中点表示的数为___________；
(2)用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为___________，点Q 表示的数为___________；
(3)当t 为何值时，点P 与点Q 相遇？
(4)当
1
7
PQ
AB
时，此时点P 表示的数是多少？
【答案】(1)16，2
(2) 12
2t
，16
4t
(3)
14
3
t
(4) 4
或
4
3
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴．
（1）设点B 表示的数为x，利用两点之间的距离公式列方程可得点B 表示的数，再利用线段中点公式可得AB
的中点表示的数；
（2）根据在数轴上点的移动规律列代数式；
（3）当P、Q 两点相遇时，P、Q 两点表示的数相等，列方程求解即可；
（4）根据
1
7
PQ
AB
，分两种情况：相遇前和相遇后，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设点B 表示的数为x，
∵点A 表示的有理数为12,
28
AB
，
∴
12
28
x
，
解得：
16
x
，
即点B 表示的数为16，
线段AB 的中点表示的数为12 16
2
2
，
故答案为：16，2；
（2）解：∵点A 表示的有理数为12
，点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴t 秒后，点P 表示的数为12
2t
，
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∵点B 表示的数为16，点Q 从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴t 秒后，点Q 表示的数为16
4t
，
故答案为：12
2t
，16
4t
；
（3）解：点P 与点Q 相遇时，12
2
16
4
t
t
，
解得
14
3
t
，
所以当
14
3
t
时，点P 与点Q 相遇；
（4）解：
1
4
7
PQ
AB
，分以下两种情况：
点P 与点Q 相遇前，
1
16
4
12
2
28
4
7
t
t
，即4
2
28
4
t
t
，
解得
4
t
，
此时点P 表示的数是：12
2
12
2 4
4
t
；
点P 与点Q 相遇后，
1
12
2
16
4
28
4
7
t
t
，即4
2
28
4
t
t
，
解得
16
3
t
，
此时点P 表示的数是：
16
4
12
2
12
2
3
3
t
．
2．在数轴上A 点在原点的左侧，所表示的数是a；B 点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b 满足
2
2
6
0
a
b
b
.
(1)求a，b 的值；
(2)点P、Q 是数轴上的两个动点，点P 从点A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 从点B 出发沿数轴向右运动，
且点P 的速度是点Q 速度的2 倍，经过6 秒钟点P 与点Q 相遇，求点Q 与点P 的速度分别为每秒几个单
位；
(3)若P、Q 两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P 从点A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 从点B
出发沿数轴向左运动，且点P 运动到B 点后原速返回，当点Q 到达点A 时，P、Q 停止运动，经过几秒钟，
P、Q 两点相距6 个单位长度．
【答案】(1)
12
6
a
b
，
(2)点Q 的速度为每秒3 个单位，点P 的速度为每秒6 个单位
(3)经过8
3 秒或4
3 秒或4 秒，P、Q 两点相距6 个单位长度．
【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，分类讨
论是解题的关键．
（1）由非负数的性质得出
2
0
6
0
a
b
b
，
，即可得出答案；
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（2）由题意得出方程组，解方程组即可；
（3）分两种情况进行讨论，由题意分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
6
0
a
b
b
，
∴
2
0
6
0
a
b
b
，
，
解得：
12
6
a
b
，
；
（2）解：∵点P 的速度是点Q 速度的2 倍，
设点Q 的速度为每秒x 个单位，则点P 的速度为每秒2x 个单位，
依题意，
6 2
6
12
x
x
，
解得：
3
x
，
答：点Q 的速度为每秒3个单位，则点P 的速度为每秒6 个单位；
（3）解：A 点所表示的数是12
；B 点所表示的数是6 ；
18
AB
，
当点Q 到达点A 时，需要18
6
3
秒；
设经过t 秒钟，P 、Q 两点相距6 个单位长度，
分情况讨论：
①点P 没有到达B 点，
当P 、Q 没有相遇，P 、Q 两点相距6 个单位长度时，
由题意得：6
3
18
6
t
t
，
解得：
4
3
t
；
当P 、Q 相遇后，P 、Q 两点相距6 个单位长度时，
由题意得：6
3
18
6
t
t
，
解得：
8
3
t
；
②点P 到达B 点后原速返回，
当点P 还没有追上点Q 时，
由题意得：
3
6
18
6
t
t
，
解得：
4
t
；
当点P 超过点Q 时，
由题意得：
6
18
3
6
t
t
，
解得：
8
t
（不合题意，舍去）；
综上所述，经过4
3 秒或8
3 秒或4 秒钟，P 、Q 两点相距6 个单位长度．
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【题型2 数轴动点中的相距问题】
3．【问题背景】
大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上A 和B 两地之间相距大约5 千米，大明骑电动车从A
地出发，以1 千米/分钟的速度向B 地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从B 地出发，以0.5 千米/分钟的速度向A
地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1 千米？
【问题解决】
小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，
将滨海路抽象为一条数轴，将点A 与数轴的原点重合，点B 表示数5．大明和笑笑分别用动点P 、Q 来表示，
设运动的时间为t 分钟．
（1）t 分钟后点P 在数轴上对应的数是_____，点Q 对应的数是_____；（用含t 的代数式表示）
（2）我们知道，如果数轴上M ，N 两点分别对应数m，n ，则MN
m
n
．试运用该方法求经过几分钟
P ，Q 之间相距1 千米？
【拓展应用】
（3）如图2，点A ，B ，C 为数轴上三点；若点A 表示的数是20
，点B 表示的数是40，点C 表示数是
25，现有两个动点P 、Q 分别从点A ，B 同时开始在线段AB 上运动，点P 以每分钟2 个单位长度的速度向
右运动，点Q 以每分钟1 个单位长度的速度向左运动，若点P 与点C 之间的距离为a ，点Q 与点B 之间的距
离为b .在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得
40
a
b
？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）t ，
5
0.5t
；（2）当
4
t
或
8
3
t
时，P ，Q 之间相距1 千米；（3）存在，当
5
t
或
85
3
t
时，使得
40
a
b
【分析】本题考查数轴上动点问题，涉及数轴上两点之间距离求法、绝对值意义、解一元一次方程等知识，
数形结合列式求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，列代数式即可得到答案；
（2）由题意，数形结合，由数轴上两点之间距离求法，得到
5
0.5
1
PQ
t
t
，结合绝对值意义，解一
元一次方程即可得到答案；
（3）由题意，数形结合，由数轴上两点之间距离求法，得到AC
PC
BQ
、
、
，从而得到45
2
40
t
t
，结
合绝对值意义，解一元一次方程即可得到答案．
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【详解】解：（1）依据题意得，t 分钟后点P 对应的数是t ，点Q 对应的数是
5
0.5t
，
故答案为：t ，
5
0.5t
；
（2）由题意得：
5
0.5
1
PQ
t
t
，
解得：
4
t
或
8
3
t
，
当
4
t
或
8
3
t
时，P ，Q 之间相距1 千米，
（3）存在某一时刻t ，使得
40
a
b
，
理由如下：
20
25
45
AC
，
2
45
2
PC
a
AC
t
t
，BQ
b
t
，
由题意得：45
2
40
t
t
，
解得：
5
t
或
85
3
t
，
存在，当
5
t
或
85
3
t
时，
40
a
b
．
4．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探
究数轴发现了一些重要的规律．
规律1：如图1，数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，则A 、B 两点间的距离AB 可表示为：
①AB
b
a
（即用右边点B 表示的数减去左边点A 表示的数）；
②
|
| |
|
AB
b
a
a
b
（即两点表示的数之差的绝对值）．
规律2：数轴上A 、B 两点的中点M 表示的数为
2
a
b
．
【简单应用】如图1，点A 在数轴上所对应的数为5
，点B 表示的数为4，P 是数轴上一动点．
（1）则A 、B 两点间的距离AB ________，A 、B 两点的中点M 表示的数为________．
（2）若A 、P 两点间的距离
6
AP
，则点P 表示的数为________．
【拓展运用】如图2，已知数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为12
，8，点A 以每秒2 个单位的速度沿
数轴向右匀速运动，同时点B 以每秒3 个单位向左匀速运动，设运动时间t 秒（
0
t
）．
（3）用含t 的式子填空：
点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t 的式子填空）
点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t 的式子填空）
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此时A 、B 两点的中点M 表示的数为________．（用含t 的式子填空）
（4）按上述方式运动，A 、B 两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5 个单位长度？
【答案】（1）9，0.5
；（2）11
或1；（3）12
2t
，8
3t
，
1
2
2 t
；（4）经过4 秒会相遇；A、B
两点经过3 秒或5 秒会相距5 个单位长度．
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置，
（1）根据题目给定的距离公式即可求得；
（2）利用点P 与点A 的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案；
（3）点A 以每秒2 个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B 以每秒3 个单位向左匀速运动即可写出点A 和
点B 在t 秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案；
（4）根据相遇的时候两个点表示的数一样列出方程求解即可；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列
一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵点A 在数轴上所对应的数为5
，点B 表示的数为4，
∴
4
5 =9
AB
，
点M 在数轴上所对应的数为
5
4
0.5
2
2
a
b
．
故答案为：9，0.5
；
（2）∵若A、P 两点间的距离
6
6
AP
a
p
，点A 在数轴上所对应的数为5
，
当P 点在A 点左边时，则P 点的为：
5
6
11
p
a
AP
，
当P 点在A 点右边时，则P 点的为：
5
6
1
p
a
AP
，
∴点P 表示的数为11
或1，
故答案为：11
或1；
（3）点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为：12
2t
，
点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为：8
3t
，
此时A、B 两点的中点M 表示的数为：12
2
8
3
4
1
2
2
2
2
t
t
t
t
．
故答案为：12
2t
，8
3t
，
1
2
2 t
；
（4）当12
2
8
3
t
t
时，
解得：
4
t
，
∴经过4 秒会相遇；
设它们按上述方式运动，A、B 两点经过t 秒会相距5 个单位长度，
当点A 在点B 左侧时：8
3
( 12
2 )
5
t
t
解得
3
t
；
当点A 在点B 右侧时：12
2
(8
3 )
5
t
t
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解得
5
t
；
答：它们按上述方式运动，A、B 两点经过3 秒或5 秒会相距5 个单位长度．
【题型3 数轴动点中的折返问题】
5．数轴上点A，B 对应的数分别是5
和10，点P 以每秒2 个单位的速度从点A 出发向右运动，同时，点Q
以每秒3 个单位的速度从点B 出发向左运动，当点Q 到达点A 后立即折返向右运动，设运动时间为t 秒．
(1)当点P 和点Q 第一次相遇时，求t 的值；
(2)当
6
t
时，求点P 到点Q 的距离；
(3)在整个运动过程中，当t 为多少时，P，Q 两点间的距离为2？请直接写出t 的值．
【答案】(1)点P 与点Q 第一次相遇时t 的值为3
(2)9
(3)13
5 或17
5 或13 或17
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离．
（1）利用路程速度时间，结合点P 和点Q 第一次相遇时的路程之和为15，可列出关于t 的一元一次方
程，解之即可得出结论；
（2）利用时间路程速度，可求出点Q 到达点A 所需时间，找出当
6
t
时点P，Q 表示的数，再利用数
轴上两点间的距离公式，即可求出此时点P 到点Q 的距离；
（3）当0
5
t
时，点P 表示的数为5
2t
，点Q 表示的数为10
3t
，根据P，Q 两点间的距离为2，可列
出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；当
5
t
时，点P 表示的数为5
2t
，点Q
表示的数为3
20
t
，根据P，Q 两点间的距离为2，可列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即
可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：2
3
5 10
t
t
，
解得：
3
t
，
∴当点P 和点Q 第一次相遇时，t 的值为3；
（2）解：
5 10
3
5
（秒），
当
6
t
时，点P 表示的数为5
2 6
7
，点Q 表示的数为
5
3
6
5
2
，
∴
7
2
9
PQ
，
∴当
6
t
时，点P 到点Q 的距离为9；
（3）解：当0
5
t
时，点P 表示的数为5
2t
，点Q 表示的数为10
3t
，
∴
5
2
10
3
2
t
t
，
即15
5
2
t
或5
15
2
t
，
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解得：
13
5
t
或
17
5
t
；
当
5
t
时，点P 表示的数为5
2t
，点Q 表示的数为
5
3
5
3
20
t
t
，
∴
5
2
3
20
2
t
t
，
即15
2
t
或
15
2
t
，
解得
13
t
或
17
t
．
综上所述，在整个运动过程中，当t 为13
5 或17
5 或13 或17 时，P，Q 两点间的距离为2．
6．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好
习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；
将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点
P、Q 从M 点同时出发向N 点运动，到达N 点后折返到M 点；
已知：数轴上点M、N 对应的数分别为m、n，且满足
2
20
40
0
m
n
．
(1)直接写出m、n 的值；
(2)设点P 在数轴上对应的数为x，那么当x 为多少时能使得
50
PO
PN
？
(3)已知点P 的速度为3 个单位长度/秒，点Q 的速度为2 个单位长度/秒，当动点P 到达点N 后，点Q 开始
改变速度，以a 个单位长度/秒继续折返跑，4 秒后，P、Q 两点相距2 个单位长度，求a 的值．
【答案】(1)
20
m
；
40
n
(2)当
5
x 或
45
x
时，
50
PO
PN
(3)
3
2
a
或5
2 或23
2 或25
2
【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n 的值即可；
（2）根据
50
PO
PN
，结合两点间距离公式得出
40
50
x
x
，分情况讨论，求出结果即可；
（3）分四种情况讨论：当点Q 向点N 运动时，点P 在点Q 右侧：当点Q 向点N 运动时，点P 在点Q 左
侧：当点Q 到达点N 后，向点M 运动时，点P 在点Q 左侧：当点Q 到达点N 后，向点M 运动时，点P 在
点Q 右侧，分别列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
20
40
0
m
n
，
∴
20
0
m
，
40
0
n
，
解得：
20
m
，
40
n
；
（2）解：∵点P 在数轴上对应的数为x，
50
PO
PN
，
∴根据两点间距离公式可得：
40
50
x
x
，
当
0
x
时，
40
50
x
x
，解得：
5
x ；
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当0
40
x
时，
40
50
x
x
，此方程无解；
当
40
x
时，
40
50
x
x
，解得：
45
x
；
∴当
5
x 或
45
x
时，
50
PO
PN
．
（3）解：当点P 到达点N 时，需要的时间为：
40
20
3
20
（秒），
此时点Q 到达20
2 20
20
，
当点Q 向点N 运动时，点P 在点Q 右侧：
40
3 4
20
4
2
a
，
解得：
3
2
a
；
当点Q 向点N 运动时，点P 在点Q 左侧：
20
4
40
3 4
2
a
，
解得：
5
2
a
；
当点Q 到达点N 后，向点M 运动时，点P 在点Q 左侧：
20
4
40
40
3 4
2
a
，
解得：
25
2
a
；
当点Q 到达点N 后，向点M 运动时，点P 在点Q 右侧：
40
3 4
20
4
40
2
a
，
解得：
23
2
a
综上分析可知：当
3
2
a
或5
2 或23
2 或25
2 时，4 秒后，P、Q 两点相距2 个单位长度．
【题型4 数轴动点中的翻折问题】
7．已知点A，B 在数轴上，A，B 对应的数字为a，b，满足
2
1
7
0
a
b
，点M 从点A 开始以2 个单
位长度/秒的速度向右移动，同时点N 从点B 开始以3 个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t 秒
(1) a __________，b _________．
(2)用含t 的代数式表示点M 对应的数为__________，点N 对应的数__________．
(3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A 翻折后，点P 对应的数为Q，点Q 对应的数为14
．当点N 到达点P
时，立即向左返回；当点N 到达点B 时，点M，N 同时停止移动．在移动过程中，请用含t 的代数式表示
点M 与点N 之间的距离MN ．
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【答案】(1)1；7
(2)2
1
t ；3
7
t
(3)
6 0
3
24
5
3
6
t
t
MN
t
t
【分析】（1）根据非负数的性质可得
1
0 7
0
a
b
，
，则可求出
1
7
a
b
，
；
（2）用点A 表示的数加上点M 运动的路程即为点M 表示的数，用点B 表示的数加上点N 运动的路程即可
求出点N 表示的数；
（3）先根据点P 和点Q 到折叠点A 的距离相等求出点P 表示的数，进而求出点N 运动到点B 的时间，以
及点N 回到点B 的时间，然后分点N 从B 到P 的运动过程和点N 从P 到B 的运动过程，两种情况分别表
示出点M 和点N 表示的数，再利用数轴上两点距离计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
1
7
0
a
b
，
2
0
1
7
0
a
b
，
，
∴
2
1
7
0
a
b
，
∴
1
0 7
0
a
b
，
，
∴
1
7
a
b
，
，
故答案为：1；7；
（2）解：由（1）得，点A 表示的数为1，点B 表示的数为7，
∵点M 从点A 开始以2 个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N 从点B 开始以3 个单位长度/秒的速度向右
移动，
∴点M 对应的数为2
1
t ，点N 对应的数3
7
t
，
故答案为：2
1
t ；3
7
t
；
（3）解：∵将数轴沿着点A 翻折后，点P 对应的数为Q，点Q 对应的数为14
，
∴点P 和点Q 到点A 的距离都为
1
14
1 14
15
，
∴点P 表示的数为1 15
16
，
∴点N 运动到点P 的时间为16
7
3
3
秒，
∴当点N 运动到点B 时的运动时间为2 3
6
秒；
当0
3
t
时，由（1）得点M 对应的数为2
1
t ，点N 对应的数3
7
t
，
∴
3
7
2
1
3
7
2
1
6
6
MN
t
t
t
t
t
t
；
当3
6
t
时，点M 对应的数为2
1
t ，点N 对应的数为
16
3
3
25
3
t
t
，
∴
25
3
2
1
25
3
2
1
24
5
MN
t
t
t
t
t
；
综上所述，
6 0
3
24
5
3
6
t
t
MN
t
t
．
8．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点
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之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答
下列问题．
【问题情境1】
如图1，若数轴上表示1的点与表示5 的点重合．
①则表示10的点与表示______的点重合；
②若数轴上D ，E 两点之间的距离为18（点D 在点E 的左侧），当D ，E 两点经折叠后重合，则点D 表
示的数为______，点E 表示的数为______；
③若点M 表示数a ，点N 经折叠后与点M 重合，则点N 表示的数是______；
【问题情境2 】
如图2 ，一条数轴上有M ，N ，P 三点，其中点M ，N 表示的数分别是21
和8 ，现以P 为折点，将数轴
向右对折．若对折后点M 对应的点为M ，且点M 与点N 之间的距离为3 ，求点P 表示的数．
【答案】【问题情境1】①
4
；②
6
，12；③6
a
；
【问题情境2 】点P 表示的数为8
或5
．
【分析】【问题情境1】①根据数轴上表示1的点与表示5 的点重合，则点1与3 的距离和点5 与3 的距离相
等，从而求解；
②根据题意，数轴是绕数3 折叠，则点D 表示的数为3 左侧9个单位，点E 表示的数为3 右侧9个单位，然
后由有理数加减运算即可；
③分当M 在3 左侧时和当M 在3 右侧时两种情况分析即可；
【问题情境2 】分①当M 落在点N 左边时，②当M 落在点N 右边时两种情况分析即可；
本题考查了数轴及数轴上两点间的距离，有理数加法、减法、除法运算，熟练掌握知识点的应用及分类讨
论思想是解题的关键．
【详解】解：1【问题情境1】
①∵数轴上表示1的点与表示5 的点重合，
∴表示10的点与表示4
的点重合，
故答案为：4
；
②∵数轴上D ，E 两点之间的距离为18，数轴上表示1的点与表示5 的点重合，
∴18
2
9
，1 5
3
2
，
∴点D 表示的数为3
9
6
，点E 表示的数为3
9
12
，
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故答案为：6
，12；
③∵，数轴上表示1的点与表示5 的点重合，
∴1 5
3
2
，
当M 在3 左侧时，则M 与3 的距离为3
a
，
∴点N 表示的数是3
3
6
a
a
；
当M 在3 右侧时，则M 与3 的距离为
3
a ，
∴点N 表示的数是
3
3
6
a
a
；
综上可知：点N 表示的数是6
a
，
故答案为：6
a
；
【问题情境2 】
①当M 落在点N 左边时，
∵点M 与点N 之间的距离为3 ，
∴点为M 表示的数为8
3
5
，
∴点P 表示的数21 5
8
2
，
②当M 落在点N 右边时，
∵点M 与点N 之间的距离为3 ，
∴点为M 表示的数为8
3
11
，
∴点P 表示的数21 11
5
2
，
综上可知：点P 表示的数为8
或5
．
【题型5 数轴动点中的定值问题】
9．A 、B 为数轴上的两个点，点A 对应的数记为a ，点B 对应的数记为b ，且a ，b 满足
2
8
12
0
a
b
．解答下列问题：
(1) a ___________，b ___________；
(2)若数轴上点Q 满足
3
QA
QB
，求点Q 对应的数；
(3)点Q ，点M ，点N 是数轴上的动点，点Q 从点A 出发，沿数轴以5 个单位/秒的速度向右运动，点M 从
点A 出发，以3 个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N 从点B 出发，沿数轴以1 个单位/秒的速度向左
移动，设运动时间为t ，在三个点移动的过程中，3QM
QN
或3QM
QN
是否会是定值．若会，请求t 的取
值范围；若不会，请说明理由．
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【答案】(1) 8
，12
(2)7 或22
(3)当
10
3
t
时，3QM
QN
为定值；当
10
3
t
时，3QM
QN
为定值．理由见解析．
【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴等内容，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
（1）根据非负数的性质即可得解；
（2）分两种情况，点Q 在AB 上或在AB 的延长线上，表示出QA和QB ，再建立方程求解即可；
（3）先用t 表示出点Q，M，N，进而表示出AM 和QN ，再代入得出关系式，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：
8
0
a
，
12
0
b
，
解得：
8
12
a
b
，
，
故答案为：8
，12；
（2）解：法一：设点Q 表示的数为x ，分两种情况：
①当点Q 在线段AB 上时，
3
8
3 12
AQ
QB
x
x
，
，
解得
7
x
；
②当点Q 在线段AB 的延长线上时，
3
8
3
12
AQ
QB
x
x
，
，
解得
22
x
．
综上所述，点Q 表示的数为7 或22．
法二：设点Q 表示的数为x ，由题意得：
8
3
12
x
x
8
3
12
22
x
x
x
，
或
8
3 12
7
x
x
x
，
综上所述，点Q 表示的数为7 或22．
（3）解：由题意得：
Q 点表示的数为8
5t
M
，
点表示的数为8
3t
N
，
点表示的数为12
t
，
2
2
6
20
QM
t
t
QN
t
，
，
①当
10
3
t
时，
6
20
20
6
QN
t
t
，
此时3
6
20
6
20 3
QM
QN
t
t
QM
QN
，
为定值，
3
6
20
6
12
20
QM
QN
t
t
t
不为定值，
②当
10
3
t
时，
6
20
6
20
QN
t
t
，
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此时
3
6
6
20
20
QM
QN
t
t
，3QM
QN
为定值，
3
6
6
20
12
20
QM
QN
t
t
t
不为定值，
答：当
10
3
t
时，3QM
QN
为定值；当
10
3
t
时，3QM
QN
为定值．
10．课本P52 页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，线段AB 的长表示为
AB ．当点C 为线段AB 中点时，即AC
BC
时，点C 表示的数为
2
a
b
．请同学们借助以上结论，解决下面
问题：
如图，在数轴上的A 点表示数2
，B 点表示数5．若在原点O 处放一挡板，一动点P 从点A 处以2 个单位
／秒的速度向左运动；同时另一个动点Q 从点B 处以3 个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来
的速度向相反的方向运动，回到B 点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为t （秒）．
(1)动点P 表示的数为______；
当
5
0
3
t
时，动点Q 表示的数为______；
当5
10
3
3
t
时，动点Q 表示的数为______；（用含t 的代数式表示）
(2)当O 是线段PQ中点时，求时间t 的值；
(3)分别取OB 和AQ 的中点E ，F ；
①当
2
EF
时，求时间t 的值；
②试判断是否存在常数m，使得AB
OQ
mEF
的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理
由．
【答案】(1) 2
2t
，5
3t
，3
5
t
(2)
3
5
t
(3)①
2
3
t
或
8
3
t
②存在，
2
m
【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题：
（1）根据两点间的距离公式结合数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可；
（2）分
5
0
3
t
和5
10
3
3
t
两种情况，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可；
（3）分
5
0
3
t
和5
10
3
3
t
两种情况，根据AB
OQ
mEF
的值是定值，得到整式的值与t 的值无关，进
行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，点P 表示的数为：2
2t
，
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当
5
0
3
t
时，动点Q 表示的数为5
3t
，
当5
10
3
3
t
时，动点Q 表示的数为3
5
t ；
故答案为：2
2t
，5
3t
，3
5
t ；
（2）①当
5
0
3
t
时，2
2
5
3
0
2
t
t
，解得：
3
5
t
；
②当5
10
3
3
t
时，2
2
3
5
0
2
t
t
，解得：
7
t
（舍去）；
故
3
5
t
．
（3）①由题意，点E 表示的数为：5
2 ，
当
5
0
3
t
时，点F 表示的数为：2
5
3
3
3
2
2
t
t
，
则：3
3
5
2
2
2
t
，解得：
2
3
t
或
2
t （舍去）；
当5
10
3
3
t
时，点F 表示的数为：2
3
5
3
7
2
2
t
t
，
则：3
7
5
2
2
2
t
，解得：
8
3
t
或
16
3
t
（舍去）；
综上：
2
3
t
或
8
3
t
；
②存在：
由题意，得：
5
2
7
AB
，
当
5
0
3
t
时，
5
3
OQ
t
，
3
3
5
3
2
3
2
2
2
2
2
t
t
t
EF
，
∴
3
2
7
3
5
2
t
AB
OQ
mEF
t
m
，
∴当
2
m 时，
7
3
5
3
2
0
AB
OQ
mEF
t
t
为定值；
当5
10
3
3
t
，
3
5
OQ
t
，
3
5
5
3
10
10
3
2
2
2
2
t
t
t
EF
，
∴
10
3
7
5
3
2
t
AB
OQ
mEF
t
m
，
∴当
2
m 时，
7
5
3
3
10
2
AB
OQ
mEF
t
t
为定值；
综上：当
2
m 时，AB
OQ
mEF
的值是定值．
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【题型6 数轴动点中的新定义问题】
11．已知数轴上A，B 两点表示的数分别为a，b，AB 表示线段AB 的长度．对于线段AB 和数轴上的点C，
给出如下定义：
,
,
,
CA CA
CB
d C AB
CB CA
CB
，此时，我们称
,
d C AB 是点C 和线段AB 的极大距离．例如：数轴上A，B 两点
表示的数分别为2
，3，点C 是原点，此时因为
2
CA
，
3
CB
，且CA
CB
，所以
,
3
d C AB
CB
．
(1)当数轴上A，B 两点表示的数分别为2
，10，点C 对应的数是1 时，
,
d C AB ______；
(2)①当数轴上点A 表示的数为2
，点C 对应的数是1，
,
5
d C AB
，点B 对应的数是______；
②当数轴上A，B 两点表示的数分别为2
，10，点C 是数轴上的动点，
,
d C AB 的最小值是______；
(3)已知数轴上A，B，C 三点表示的数分别为2
，10，1．A ，C 两点沿数轴以每秒2 个单位长度向右运动，
B 点沿数轴以每秒4 个单位长度向左运动，三点同时出发，运动时间为t，当
,
d C AB 最小时，求t 的最大
值和最小值．
【答案】(1)9
(2)6 或4
；6
(3)t 的最大值为2，最小值为1
【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解答本题的关
键．
（1）分别求出CA
CB
，
的长即可求解；
（2）由
,
5
d C AB
可知
5
CB
，然后分两种情况求解即可；
由点C 是AB 中点时，
,
d C AB 有最小值，求解即可；
（3）先确定运动后A、B、C 的坐标，当
,
d C AB 最小时，则点C 到点A 和点B 的距离相等，据此分两种
情况列式求解即可．
【详解】（1）
A
，B 两点表示的数分别为2
，10，点C 对应的数是1，
1
2
3
CA
，
10 1
9
CB
，
,
9.
d C AB
故答案为：9；
（2）①点A 表示的数为2
，点C 对应的数是1，
1
2
3.
CA
,
5
d C AB
，
5
CB
，
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点B 对应的数是1 5
6
或1 5
4.
故答案为：6 或4
；
②点C 是AB 中点时，CA
CB
，
,
d C AB
的最小值是
10
2
6
2
，
故答案为：6；
（3）运动t 秒后：
点A 表示的数：2
2t
，
点B 表示的数：10
4t
，
点C 表示的数：1
2t
，
当
,
d C AB 最小时，则点C 到点A 和点B 的距离相等，
当点C 是AB 中点时，如图，
10
4
1
2
1
2
2
2
t
t
t
t
，
解得
1
t ．
当点A 与点B 重合时，如图，
2
2
10
4
t
t
，
解得
2
t
．
因此，
,
d C AB 最小时，t 的最大值为2，最小值为1.
12．如图，A 点、B 点是数轴上的两个定点，其中点A 表示的数是5
，点B 表示的数是1，若在数轴上存
在一点 P，使得点P 到点A 的距离等于点 P 到点B 的距离的m 倍(m 是正整数)，则称点P 为点A、B 的“m
级幸运点”．例如图1 所示，若点P 表示的数为0，因为P 到A 的距离等于P 到B 距离的5 倍，则称点 P
为点 A、B 的“5 级幸运点”
(1)若点P 为点A、B 的“m 级幸运点”，且点 P 在数轴上表示的数为-1，则 m ；
(2)若点 P 是数轴上点A、B 的“3 级幸运点”，求点 P 表示的数．
(3)点P 在数轴上表示的数为1
，若点A 在数轴上以每秒2 个单位长度的速度向左运动，同时点B 在数轴
上以每秒1 个单位长度的速度向左运动，经过多少秒后点P 为点A、B 的“6 级幸运点”？
【答案】(1)2
(2)4 或
1
2
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(3)4 或1
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，解题的关键是掌握“m 级幸运点”的概念和运算法则，
找出题中的等量关系，列出方程并解答是关键．
（1）依据题意，根据“m 级幸运点”的概念解答；
（2）依据题意，设P 表示的数是x ，从而结合题意，列出关于x 的方程
5
3
1
x
x
计算进而可以得解；
（3）依据题意，设经过t 秒后P 为点
,
A B 的“6 级幸运点”，然后表示出
,
A B 后再列方程计算即可得解．
【详解】（1）解：∵ A 表示的数为5,B
表示的数为1 ，点P 在数轴上表示的数为1
，
1
5
4,
1
1
2
AP
BP
，
:
4: 2
2
m
AP BP
，
故答案为：2；
（2）解：由题意，设P 表示的数是x ，
5 ,
1
PA
x
PB
x
，
又点P 是数轴上点
,
A B 的“3 级幸运点”，
3
PA
PB
，
5
3
1
x
x
，
当
5
3
1
x
x
时，
4
x
；
当
5
3
1
x
x
时，
1
2
x
；
综上，点 P 表示的数是4 或
1
2
；
（3）解：由题意，设经过t 秒后P 为点
,
A B 的“6 级幸运点”，
此时A 对应的数为5
2 ,t B
对应的数为1 t
，
1
5
2
4
2 ,
1
1
2
PA
t
t PB
t
t
，
又P 为点
,
A B 的“6 级幸运点”，
4
2
6
2
t
t
，
4
t
或1．
1．如图，数轴上线段
2
AB
（单位长度），
4
CD
（单位长度），点A 在数轴上表示的数是10
，点C 在
数轴上表示的数是16．若线段AB 以6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2 个单位长度/
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秒的速度向左匀速运动．问：当
8
BC （单位长度）时，运动时间为多少秒？（ ）
A．2 秒
B．13.4秒
C．2 秒或4 秒
D．2 秒或13.4秒
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上的动点问题．
设运动t 秒时，然后分点B 在点C 的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：∵点A 在数轴上表示的数是10
，点C 在数轴上表示的数是16，
∴
26
AC
（单位长度），
∵
2
AB
（单位长度），
∴
24
BC
（单位长度）；
设运动t 秒时，
①当点B 在点C 的左边时，
由题意得：6
8
2
24
t
t
，
解得：
2
t
；
②当点B 在点C 的右边时，
由题意得：6
8
2
24
t
t
，
解得：
4
t
．
即运动2 秒或4 秒时，
8
BC （单位长度）．
故选：C．
2．如图，将一条数轴在原点O ，点B ，点C 处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A 表示9
，点B 表示
12，点C 表示24，点D 表示36，我们称点A 与点D 在数轴上的“友好距离”为45 个单位长度，并表示为
45
AD
．点M 从点A 出发沿着“折线数轴”运动至点D ，点N 从点D 出发沿着“折线数轴”运动至点A ，两
点同时出发．点M ，N 的初始速度分别是3 个单位长度/ 秒和6 个单位长度/ 秒，点M 和点N 运动到折线
时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的1
3 ，“下坡”时速度为初始速度的2 倍，离开折线后速度恢复为
初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为
0
t t
秒，有下列结论：
①当
9
t
时，点N 表示的数为数轴的原点；
②当点M 到达点D 时，
21
t
；
③当点N 到达点A 时，
11
t
；
④运动过程中，点M 和点N 在线段OB 上相遇；
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⑤当
11
t
或18 时，
16
MB
MC
．
以上结论正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】先理解题意，得出
12
CD
，
12
BC
，
12
BO
，
9
AO
，结合运动速度以及运动方向，进行列
式计算，得
1
6
6
6 2
9
3
CD
BC
OB
，故当
9
t
时，点N 表示的数为数轴的原点；结合运动速
度以及运动方向，进行列式计算，得
1
3
3
3 2
3
21
3
AO
BO
BC
CD
，当点M 到达点D 时，
21
t
；依题意，
1
6
6
6 2
6
10.5
3
CD
BC
OB
AO
，即当点N 到达点A 时，
10.5
11
t
，再
进行讨论，得出点M 和点N 相遇只可能在8
9
t
之间，再设未知数以及列方程，分别算出当
11
t
时，点
M 表示的数为8 ，当
18
t
时，即点M 表示的数为8 ，当
18
t
时， 即点M 表示的数为27，然后算出MB
MC
的值，即可作答．
【详解】解：∵点B 表示12，点C 表示24，点D 表示36，A 表示9
，
∴
36
24
12
CD
，
24 12
12
BC
，
12
BO
，
9
AO
，
∵ 点D 表示36，点N 的初始速度是6 个单位长度/ 秒，点N 运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为
初始速度的1
3 ，“下坡”时速度为初始速度的2 倍，
∴
1
6
6
6 2
12
6 12
2 12 12
2
6 1
9
3
CD
BC
OB
，
即当
9
t
时，点N 表示的数为数轴的原点；
故①符合题意；
∵点M 初始速度是3 个单位长度/ 秒，点M 运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的1
3 ，“下
坡”时速度为初始速度的2 倍，离开折线后速度恢复为初始速度．
∴
1
3
3
3 2
3
3
AO
BO
BC
CD
9
3 12 1 12
6 12
3
3 12
2
4
21
,
即当点M 到达点D 时，
21
t
；
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故②符合题意；
依题意，
1
6
6
6 2
6
3
CD
BC
OB
AO
12
6 12
2 12 12
9
6
2
6 1 1.5
10.5
,
即当点N 到达点A 时，
10.5
11
t
，
故③不符合题意；
依题意，点M 到达点O 的时间是
3
9
3
3
AO
点M 到达点B 的时间是
1
3
3
3 12
15
3
AO
BO
，
点N 到达点B 的时间是
1
6
6
12
6 12
2
8
3
CD
BC
，
点N 到达点O 的时间是
8
6 2
8 12 12
9
OB
，
故点M 和点N 相遇只可能在8
9
t
之间，
设相遇时间为t
点M 在线段OB 上的速度是
1
3
1
3
，
则点M 表示的数为
1
3
3
t
t
，
点N 在线段 OB 上的速度是6 2
12
，
则
12 12
8
108 12
t
t
，
故108 12
3
t
t
，
解得
111
13
t
，
即运动过程中，点M 和点N 在线段OB 上相遇，且相遇时间为111
13 ，
故④符合题意；
依题意，当
11
t
时，
11
9
3
1
8
，
即点M 表示的数为8 ，
则
12
8
4
MB
,
24
8
16
MC
，
∵
4 16
20
16
MB
MC
，
由②得当点M 到达点D 时，
21
t
；
依题意，
36
3
21 18
27
，
即当
18
t
时，点M 表示的数为27，
则
27 12
27
24
18
16
MB
MC
，
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故⑤不符合题意；即结论正确的有3 个；
故选：B．
3．在一张透明的纸上画一条数轴，点A ，B 在数轴上表示的数分别为19
，6，如图，以点C 为折点，将此
数轴向右对折，若对折后点A 对应的点A落在数轴上，且A，B 两点之间的距离为3，则点C 表示的数是
________．
【答案】8
或5
/ 5
或8
【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用
含x 的式子表示出线段的长度．分两种情况讨论：当A在B 的右侧及当A在B 的左侧，利用
3
A B
A C
BC
及
3
A B
BC
A C
，列出方程解答即可．
【详解】①当A在B 的右侧且距离是3 时，
A点表示的数为9，
设点C 表示的数是x ，
则
( 19)
19
AC
x
x
，
6
BC
x
，
3
A B
，
即A C
BC
A B
，
19
(6
)
3
x
x
解得：
5
x ，
点C 表示的数是5
．
②当A在B 的左侧且距离是3 时，
A点表示的数为3，
设点C 表示的数是x ，
则
( 19)
19
AC
x
x
，
6
BC
x
，
3
A B
，
即BC
A C
A B
，
6
(
19)
3
x
x
解得：
8
x ，
点C 表示的数是8
．
故答案为：8
或5
．
4．定义：已知点M
N
Q
、、
为数轴上三点，我们规定：点Q 到点M 的距离是点Q 到点N 的距离的K 倍，则
称Q 是
,
M N 的“ K 倍点”，记作：
,
Q M N
K
．例如：若点Q 表示的数为0 ，点M 表示的数为2
，点N
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表示的数为1，则Q 是
,
M N 的“ 2 倍点”，记作：
,
2
Q M N
．应用：如图有一条数轴，A
B
P
、、
为数轴
上三点，分别对应1
，5 ，3
．
,
P B A 的值是______；若点D 是数轴上一点，且
,
3
D A B
，则点D 表
示的数______．
【答案】
4
8 或7
2
【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，数轴上两点之间的距离，求出
5
3
8
PB
，
3
1
2
PA
，则有
4
PB
PA
，即
,
4
P B A
，设点D 表示的数为x ，则有
1
DA
x
，
5
DB
x
，
由
,
3
D A B
，得
1
3
5
x
x
，然后求出x 的值即可，根据理解题中定义和分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵A
B
P
、、
为数轴上三点，分别对应1
，5 ，3
，
∴
5
3
8
PB
，
3
1
2
PA
，
∴
4
PB
PA
，
∴
,
4
P B A
，
设点D 表示的数为x ，则有
1
1
DA
x
x
，
5
DB
x
，
∵
,
3
D A B
，
∴
1
3
5
x
x
，
∴
1
3
5
x
x
或
1
3
5
x
x
，
解得：
8
x
或
7
2
x
，
∴点D 表示的数为8 或7
2 ，
故答案为：4 ，8 或7
2 ．
5．点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且a 、b 满足
2
|
8| (
6)
0
a
b
．
(1)填空：a __________；b __________；线段AB 的长为__________；
(2)动点P 从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发，以每秒4 个单
位长度的速度沿数轴向左移动；动点M 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，点
P ，Q ，M 同时出发，设运动时间为t 秒，
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①点C 在数轴上对应的数为10，在数轴上（图1中）标出C 的大致位置，若动点M 到A ，B ，C 三点的距
离满足MA
MB
MC
，求此时点M 对应的数；
②若
QP
QA
QM
的取值与t 无关，求t 的最大值．
【答案】(1)8 ；6
；14；
(2)①见解析，4
或8
；②7 ．
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加为0 则各自为0 ，求出a 、b 的值，再用数轴上
两点距离公式计算线段AB 的长度．
（2）①设点M 对应的数为m ，根据点在数轴上的位置表示出MA、MB 、MC ，代入等式MA
MB
MC
，
通过绝对值方程求解m 的值．②先表示出运动t 秒后点P 、Q 、M 对应的数，进而得出PQ 、QA、QM 的
表达式，分
7
t
和
7
t
两段化简
QP
QA
QM
，根据“取值与t 无关”的条件确定t 的最大值．
【详解】（1）解：
2
8
6
0
a
b
，
8
0
a
,
2
6
0
b
，
8
0
a
,
6
0
b
，
8
a
,
6
b ，
∴
8
6
14
AB
；
（2）解：①如图所示，点C 为所求，
设点M 对应的数为m ，M 可能在B 左侧，也可能在B 右侧，但M 始终在A ，C 左侧，
则
8
,
|
( 6) |,
10
MA
m MB
m
MC
m
，
MA
MB
MC
，
8
|
( 6) | 10
m
m
m
，
|
6 | 2
m
，
解得：
4
m 或
8
m
．
∴点M 对应的数为4
或8
；
②Q 速度比M 快，比P 慢，
故M 始终在Q 右侧，P 可能在Q 左侧，也可能在Q 右侧，
Q
表示的数是6
4t
，P 表示的数是8
6 ,t M
表示的数是8
3t
，
|(8
6 )
( 6
4 ) | |14
2 |,
8
( 6
4 )
14
4
PQ
t
t
t QA
t
t
，
(8
3 )
( 6
4 )
14
QM
t
t
t
，
当
7
t
时，
14
2
PQ
t
，
(14
2 )
(14
4 )
28
2
2
14
14
QP
QA
t
t
t
QM
t
t
，
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当
7
t
时，
2
14
PQ
t
，
(2
14)
(14
4 )
6
14
14
QP
QA
t
t
t
QM
t
t
，取值与t 有关，不合题意，
t
的最大值是7 ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上两点间的距离公式、动点问题的代数表示、绝对值方程
的求解以及代数式的分类化简，熟练掌握非负数的性质、用代数表示数轴上点的位置和距离，以及对含绝
对值的表达式进行分类讨论是解题的关键．
6．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，
我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ，则A ，B 两点之间的距离
AB
a
b
，线段AB 的中点表示的数为
2
a
b
．如图，数轴上点A 表示的数为4
，点B 表示的数为16．
【综合运用】
(1)填空：A ，B 两点间的距离AB ________，线段AB 的中点表示的数为________；
(2)若M 为该数轴上的一点，且满足
28
MA
MB
，求点M 所表示的数；
(3)若点P 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向终点B 匀速运动；同时点Q 从点B 出发，以每
秒2 个单位长度的速度向左匀速运动，Q 到达A 点后，再立即以同样的速度返回B 点，当点P 到达终点后，
P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒（
0
t＞）．
①当t 为何值时，P ，Q 两点第一次重合？
②当t 为何值时，P ，Q 两点间距离为8 ？
【答案】(1)20 ，6 ；
(2) 8
或20 ；
(3)①20
3 ；②
4
t
或28
3 或12．
【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题：
（1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算；
（2）设点M 所表示的数为x ，分
4
x
＜
和4
16
x
和
16
x
三种情况讨论即可；
（3）①P ，Q 的路程和为AB 时，两点第一次重合，列方程解答即可；
②分P ，Q 两点相遇前、P ，Q 两点相遇后且点Q 未到达A 点前、Q 从A 点返回后三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：A 、B 两点间的距离
4 16
20
AB
＝
＝
，
线段AB 的中点表示的数为：16
( 4)
6
2
；
（2）设点M 表示的数为x ，
∵
28
MA
MB
＝
，
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∴
4
16
28
x
x
＝
．
当
4
x
＜
时，
4
16
28
x
x
＝
，
8
x ；
当4
16
x
时，
4
16
28
x
x
，此方程无解；
当
16
x＞
时，
4
16
28
x
x
，
∴
20
x
；
∴点M 表示的数为8
或20 ；
（3）解：①
2
16
4
t
t
，
∴
20
3
t
（秒）；
②当P ，Q 两点相遇前，点P 表示的数为4
t
，点Q 表示的数为16
2t
，
∴
16
2
4
8
PQ
t
t
，
∴
4
t＝；
当P ，Q 两点相遇后，点Q 未到达A 点前，点P 表示的数为4
t
，点Q 表示的数为16
2t
，
∴
4
16
2
8
PQ
t
t
＝
，
∴
28
3
t
；
当点Q 从A 点返回后，点P 表示的数为4
t
，点Q 表示的数为
4
2
16
4
2
24
t
t
，
∴
4
2
24
8
PQ
t
t
，
∴
12
t
．
∴
4
t
或28
3 或12时P ，Q 两点间距离为8 ．
7．如图①，已知数轴上点A、O、B、C、D 表示的数分别为6
、0、4、8、12，点P、Q 是数轴上的两个
动点，动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点Q 从点D 出发，
以每秒1 个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t 秒．
(1)移动t 秒时，点P 在数轴上所表示的数为______，点Q 在数轴上所表示的数为______；（用含t 的式子
表示）
(2)当t 为何值时，P、Q 两点相距2 个单位长度；
(3)现将数轴在原点O 和点B、点C 处各折一下，得到如图②所示的一条“折线数轴”．动点P 从点O 运动到
点B 速度为起始速度的一半，从B 点运动到C 点的速度为起始速度的2 倍，到达C 点之后立刻恢复起始速
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度向终点D 运动；同时动点Q 一直以原速度向终点A 运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当t
为何值时，P、Q 两点相距2 个单位长度．
【答案】(1) 6
2t
，12
t
(2)当
16
3
t
或
20
3
t
，P、Q 两点相距2 个单位长度
(3)当
6.5
t
或
7.6
t
时，P、Q 两点相距2 个单位长度
【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，
采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）分两种情况：①相遇前P 、Q 相距2 个单位长度 ，即点P 在点Q 左侧时，②相遇后P 、Q 相距2 ，
即点P 在点Q 右侧时，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果；
（3）由题意可得P 在OA段运动时间为3 秒，P 在OB 段的运动时间为4 秒，P 在BC 段的运动时间为1 秒，
P 在CD段运动时间为2 秒，点Q 在CD段的运动时间为4 秒，在BC 段的运动时间为4 秒，在OB 段的运动
时间为4 秒，在OA段的运动时间为6 秒，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：移动t 秒时，点P 在数轴上所表示的数为6
2t
，点Q 在数轴上所表示的数为12
t
；
故答案为：6
2t
，12
t
；
（2）解：①相遇前P 、Q 相距2 个单位长度 ，即点P 在点Q 左侧时，
2
6
2
12
t
t
或2
2
18
t
t
，
解得
16
3
t
②相遇后P 、Q 相距2 ，即点P 在点Q 右侧时，
2
6
2
12
t
t
或2
2
18
t
t
，
解得
20
3
t
；
综上所述，当
16
3
t
或
20
3
t
，P、Q 两点相距2 个单位长度；
（3）解：根据题意可知，∵点P 在OA段的运动速度为2 个单位长度/秒，点P 在OB 段的运动速度为1 个单
位长度/秒，点P 在BC 段的运动速度为4 个单位长度/秒，点P 在CD段的运动速度为2 个单位长度/秒，
∴P 在OA段运动时间为3 秒，P 在OB 段的运动时间为4 秒，P 在BC 段的运动时间为1 秒，P 在CD段运
动时间为2 秒，
∵点Q 在D
C
B
O
A
段的运动速度为1 个单位长度/秒，
∴点Q 在CD段的运动时间为4 秒，在BC 段的运动时间为4 秒，在OB 段的运动时间为4 秒，在OA段的运
动时间为6 秒，
当点P 运动到B 点用时4 秒，同时点Q 运动到数字5 处，P 、Q 两点相距1 个单位长度，
∴①P 在OB 段，Q 在BC 段，
0 1
3
2
8 1
4
t
t
或
6
3
2
18
t
t
，
29 / 38
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解得
13
2
t
；
②当P 、Q 两点都在BC 段， 点P 在BC 段表示的数为
4
7
4
4
24
t
t
，点Q 在BC 段表示的数为
8
4
12
t
t
，
∵当P 、Q 两点相遇时，点P 、Q 表示的数相等，
∴4
24
12
t
t
，
解得
36
5
t
，
∴点P 、Q 表示的数为
4
4 5 ，
∴P 、Q 两点相距2 个单位长度可以在BC 段上，
∴
4
7
4
2
8
4
t
t
或
4
7
4
2
8
4
t
t
，
解得
6.8
t
或
7.6
t
，
当
6.8
t
时，点P 尚未进入BC 段，故不符合题意；
∴当
6.5
t
或
7.6
t
时，P 、Q 两点相距2 个单位长度．
8．已知：点A、B、P 为数轴上三点，我们规定：点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的k 倍，即
PA
kPB
，则称P 是
,
A B 的“k 倍点”，记作：
,
P A B
k
．例如：若点P 表示的数为0，点A 表示的数为
2
，点B 表示的数为1，则P 是
,
A B 的“2 倍点”，记作：
,
2
P A B
．
(1)如图，A、B、P 为数轴上三点，回答下面问题：
①
,
P A B ______；
②若点C 在数轴上且
,
1
C A B ，则点C 表示的数为______；
③点D 是数轴上一点，且
,
2
D A B
，求点D 所表示的数．
(2)数轴上，点E 表示的数为20
，点F 表示的数为60，从某时刻开始，若点M 从原点O 出发向右在数轴
上做匀速直线运动，且M 的速度为5 单位/秒，设运动时间为t 秒
0
t
，当
,
3
M E F
时，请直接写出t
的值．
【答案】(1)①4；②2；③7
或1
(2)8 秒或20 秒
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，理解新定义是解题的关
键．
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（1）①分别根据新定义可解答；
②由点C 在数轴上且
,
1
C A B ，可知点C 是点A 和点B 的中点，据此求解即可；
③设点D 表示的数是x，根据
,
2
D A B
得出
5
2
1
x
x
，然后解方程即可；
（2）根据点M 运动的速度可得M 运动t 秒表示的数为5t ，分点M 在点F 的左边和右边，根据新定义列方
程可解答．
【详解】（1）解：①∵点P 表示3
，点A 表示5，点B 表示1
，
1
3
2
PB
，
5
3
8
PA
，
8
2
4
，
则P 是
,
A B 的“4 倍点”，记作：
,
4
P A B
；
故答案为：4；
②∵点C 在数轴上且
1
[
]
C A B
,
，
∴点C 表示的数为：
1 5
2
2
；
故答案为：2；
③
2
[
]
D A B
,
，
2
DA
DB
，
设点D 表示的数是x，
∵点A 表示5，点B 表示1
，
5
2
1
x
x
，
7
x
或1，
∴点D 所表示的数为7
或1；
（2）解：设点M 在数轴上表示的数为a，
3
[
]
M E F
,
，
3
EM
FM
，
∵点E 表示的数为20
，点F 表示的数为60，
20
3 60
a
a
，
40
a
或100，
当点M 运动到点F 的左边时，5
40
t
，解得：
8
t
；
当点M 运动到点F 的右边时，5
100
t
，解得：
20
t
；
综上所述，t 的值为8 秒或20 秒．
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1．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1 对应的点与数1
对应的点重合，则数轴
上数2
对应的点与数2 对应的点重合．
根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题：
已知数轴上4
对应的点与数0 对应的点重合．
(1)数轴上数3 对应的点与数________对应的点重合；
(2)若点A 到原点的距离为5，且点A，B 经折叠后重合，则点B 表示的数为________；
(3)若数轴上M，N 两点之间的距离为2026，且点M，N 经折叠后重合，如果点M 表示的数比点N 表示的数
大，求点M，N 表示的数．
【答案】(1) 7
(2)B 表示的数为1或9
(3)点M 表示的数是1011，点N 表示的数是1015
【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴两点之间的距离，理解折点的计算，数轴上两点之间
距离的计算是关键．
（1）根据材料提示的折点计算即可；
（2）根据折点，两点之间距离的计算方法即可求解；
（3）设点
,
M N 表示的数是
,
m n ，根据折点的计算，两点之间距离的计算列式求解即可．
【详解】（1）解：数轴上4
对应的点与数0 对应的点重合，
∴折点为4
0
2
2
，
∵2 2
3
7
，
∴数轴上数3 对应的点与数7
对应的点重合，
故答案为：7
；
（2）解：点A 到原点的距离为5，
∴点A 表示的数是5
或5 ，
∵折点是2
，
∴当点A 表示的数是5
时，2 2
5
1
，
∴点B 表示的数是1；
当点A 表示的数是5 时，2 2
5
9
，
∴点B 表示的数是9
；
综上所述，B 表示的数为1或9
；
（3）解：设点
,
M N 表示的数是
,
m n ，
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∵M，N 两点之间的距离为2026，
∴
2026
m
n
，
∴
2026
m
n
，
∵点M，N 经折叠后重合，
∴
2
2
m
n
，
∴2026
2
2
n
n
，
解得，
1015
n
，
∴
2026
1015
1011
m
，
∴点M 表示的数是1011，点N 表示的数是1015
．
2．在数学活动课上，老师用两个单位长度不同的数轴模拟双向公路（如图）．数轴甲和数轴乙平行放置，
数轴甲的正方向向左，数轴乙的正方向向右．当数轴甲的原点O 与数轴乙的原点O对齐时，数轴甲上表示2
的点与数轴乙上表示3
的点恰好对齐．
数轴甲上的动点P 从点A （表示4
）出发，以每秒2 个单位长度（数轴甲的单位长度）的速度向左运动，
点P 与数轴乙上的点P对齐；数轴乙上的动点Q从点B（表示3）出发，以每秒1 个单位长度（数轴乙的
单位长度）的速度向右运动，点Q与数轴甲上的点Q 对齐，点B与数轴甲上的点B 对齐．设运动时间为t
秒．
(1)数轴乙上表示12 的点与数轴甲上表示_____的点对齐；
(2)在数轴甲上，当点,
P Q 重合时，求t 的值；
(3)在数轴甲上，若点,
P Q 之间的距离PQ 为4，求t 的值；
(4)在数轴甲上，若点
,
P O 的距离PO 与点
,
Q B 的距离QB 之和为10，求点P 所表示的数．
【答案】(1) 8
(2)
0.75
t
(3)
2.25
t
(4)6.5
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、一元一次方程的应用，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据甲、乙数轴对应关系求解，即可解题；
（2）根据题意得到数轴甲上动点P 所表示的数为4
2t
，数轴乙上动点Q所表示的数为3t ，进而得到数
轴甲上的点Q 所表示的数，结合点,
P Q 重合建立方程求解，即可解题；
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（3）在数轴甲上，得到
8
2
3
PQ
t
，结合点,
P Q 之间的距离为4，建立方程求解，即可解题；
（4）根据题意表示出PO ，QB ，再结合
10
PO
QB
建立方程，分两种情况：①当0
2
t
时，
4
2
4
2
t
t
，②当
2
t
时，
4
2
2
4
t
t
，分析求解，即可解题．
【详解】（1）解：数轴甲的原点O 与数轴乙的原点O对齐时，数轴甲上表示2 的点与数轴乙上表示3
的点恰好对齐，
数轴乙上表示12 的点与数轴甲上表示
12
3 2
8
的点对齐；
故答案为：8
；
（2）解：（2）数轴甲上动点P 所表示的数为4
2t
，
数轴乙上动点Q所表示的数为3t ，
所以数轴甲上的点Q 所表示的数为
2
2
3
2
3
3
t
t
．
当点,
P Q 重合时，
2
4
2
2
3
t
t
，
解得
0.75
t
；
（3）解：在数轴甲上，
2
2
8
4
2
2
4
2
2
2
3
3
3
PQ
t
t
t
t
t
，
因为点,
P Q 之间的距离为4，
所以
8
2
4
3t
．
①当
8
2
4
3t
时，即8
6
3t
，解得
3
18
6
2.25
8
8
t
；
②当
8
2
4
3t
时，即8
2
3t ，解得
3
2
0.75
8
t
；（不合题意，舍去）
综上所述，
2.25
t
；
（4）解：由题意，在数轴甲上，
4
2
PO
t
，
在数轴乙上，
3
3
Q B
t
t
，
所以在数轴甲上，
2
2
3
3
QB
t
t
．
由
10
PO
QB
，得
2
4
2
10
3
t
t
，
①当0
2
t
时，
4
2
4
2
t
t
，
所以
2
4
2
10
3
t
t
，
解得
4.5
t
；（不合题意，舍去）
②当
2
t
时，
4
2
2
4
t
t
，
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所以
2
2
4
10
3
t
t
，
解得
5.25
t
，
此时点P 所表示的数为4
2 5.25
6.5
．
3．已知点A 在数轴上对应的数是5
，点B 在数轴上对应的数是10，点D 在数轴上对应的数是2
，点E
在数轴上对应的数是2．阅读并解决相应问题．
问题发现：
对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离的k 倍（k 为正
整数），则称C 点是A，B 两个点的“整k 距点”，记为：
,
C
A B
k ．
(1)初步体会：
如图1，若
,
C
A B
k ，且点C 在数轴上对应的数是5，则k _______；
(2)类比探究：
如图2，点M 从D 点出发，以每秒3 个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N 从E 点出发，以每秒1 个
单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t 秒，若
,
3
M
D N
，求出t 的值；
(3)拓展延伸：
如图3，点P 从D 点出发，以每秒1 个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点H 从A 点出发，以每秒4 个
单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t 秒，在运动的过程中，若存在数轴上点Q 满足：
,
2
Q
H B
，点P 到点Q 的距离记为a，点H 到点B 的距离记为b，且
2
a
b
，直接写出所有符合条件
的t 的值．
【答案】(1)2
(2)
4
3
t
或
4
t
(3)t 的值为1或57
13 或69
25 或111
23
【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的
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关键．
（1）根据数轴上两点间距离公式求出AC 和BC ，再根据“整k 距点”的定义解答即可求解；
（2）由题意得，运动时间为t 秒后，点M 在数轴上对应的数是2
3t
，点N 在数轴上对应的数是2 t
，即
得
2
3
2
3
MD
t
t
，
2
2
3
4
2
MN
t
t
t
，再根据“整k 距点”的定义列出方程解答即可求解；
（3）由题意得，运动时间为t 秒后，点P 在数轴上对应的数是2
t
，点H 在数轴上对应的数是5
4t
，设
点Q 在数轴上对应的数是x ，根据“整k 距点”的定义可得
5
4
2
10
x
t
x
，解得
25
4
x
t
或
5
3
4
x
t
，再分两种情况列出方程解答即可求解．
【详解】（1）解：∵点A 在数轴上对应的数是5
，点B 在数轴上对应的数是10，点C 在数轴上对应的数是
5，
∴
5
5
10
AC
，
10
5
5
BC
，
∵10
5
2
，
∴
2
k
；
（2）解：由题意得，运动时间为t 秒后，点M 在数轴上对应的数是2
3t
，点N 在数轴上对应的数是
2 t
，
∴
2
3
2
3
MD
t
t
，
2
2
3
4
2
MN
t
t
t
，
∵
3
MD
MN
，
∴3
3 4
2
t
t
即
3
3 4
2
t
t
或
3
3 2
4
t
t
，
解得：
4
3
t
或
4
t
；
（3）解：由题意得，运动时间为t 秒后，点P 在数轴上对应的数是2
t
，点H 在数轴上对应的数是
5
4t
，
设点Q 在数轴上对应的数是x ，
∵
2
QH
QB
∴
5
4
2
10
x
t
x
，
即
5
4
2
10
x
t
x
或
5
4
2
10
x
t
x
，
解得:
25
4
x
t
或
5
3
4
x
t
，
∴点Q 在数轴上对应的数是25
4t
或4
5
3 t ，
①当点Q 在数轴上对应的数是25
4t
时，
则
2
25
4
5
27
a
PQ
t
t
t
，
5
4
10
4
15
b
HB
t
t
，
36 / 38
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∵
2
a
b
，
∴5
27
2 4
15
t
t
，
解得：
1
t 或
57
13
t
；
②当点Q 在数轴上对应的数是4
5
3 t 时，
则
1
2
5
7
4
3
3
a
PQ
t
t
t
，
4
15
b
HB
t
，
∵
2
a
b
，
∴
1
7
2 4
15
3t
t
，
解得
69
25
t
或
111
23
t
；
综上所述，t 的值为1或57
13 或69
25 或111
23 ．
4．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思
想，并借助方程解决问题．如图1，点A、O、B、C、D、E 为数轴上的点，O 为原点，A 表示的数是6
，B
为线段OC 的中点，C 表示的数是12，D 表示的数是18，将点D 向右移动4 个单位长度得点E．如图2，
我们将数轴在点O、点B、点C 和点D 处均可折一次，可折后AO 、BC 、DE 处于水平位置，线段OB 与CD
处均产生了一个坡度，且坡度的倾斜程度相同，我们称这样的数轴为“弯折数轴”．其中O 为“弯折数轴”原
点．在“弯折数轴”上，每个点对应的数就是把“弯折数轴”拉直后对应的数，两点间的距离就是把“弯折数轴”
拉直后两点间的距离．
动点M 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动，同时，动点N 从点E 出发以相
同的速度沿着“弯折数轴”向左运动．当点N 运动到点B 后立即掉头返回向右运动（掉头时间不计），两个
点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的3 倍，水平位置保持初始
速度不变．当点M 运动到点D 时，点M、点N 均停止运动，设运动时间为t 秒．问：
(1)点M 从点A 运动到点D 用时 秒，此时点N 对应的数为 ；
(2)在运动过程中，当t 为何值时点M 与点N 在点P 处相遇？并求出点P 在数轴上对应的数；
(3)在“弯折数轴”上，是否存在某一时刻t，使得M、B 两点的距离是N、C 两点距离的2 倍？若存在，请直
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接写出所有t 的值，并把求其中一个t 的过程写出来；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)13；16
(2)当
5
t
时，点M 与点N 在点P 处相遇，P 点表示的数为8
(3)存在，
2.4
t
或3.6
【分析】（1）根据A，C，D 表示的数，求出C 和E 表示数，根据折叠之后相邻两点间距离不变，求出
AO ，OB ，BC ，CD，DE 的长，再跟速度、时间、路程的关系求解M 的运动时间；先确定N 是否掉头，
在根据时间确定N 点停止的位置，即可求出N 点所代表的数；
（2）根据M 到达B 点时，N 点的位置，可以得出相遇点的位置，再根据相遇问题求解相遇时间，进而可确
定P 所代表的数；
（3）根据运动时间分类讨论，用t 表示出M、B 两点的距离是N、C 两点距离，列出一元一次方程求解即
可．
【详解】（1）解：∵B 是OC 的中点，C 表示的数是12，
∴B 表示的数是6，
∵将点D 向右移动4 个单位长度得点E，
∴
4
DE
，
∴
6
OA
OB
BC
CD
，
∴M 从A 到D 所用时间为：
6
2
6
2 3
6
2
6
2
2
3 1 3
6
13
（秒），
∵N 从E 到B 所用时间为：
4
2
6
2 3
6
2
2 1 3
6
（秒），
∴N 已经从B 点掉头，
∵N 从B 到C 所用时间为：6
2
3
（秒），
从C 到D 所用时间为：
6
2
2
6
（秒），
6
3
13
6
3
6
，
∴停止时，N 在CD上，
此时，N 距离C 的距离为：
13
6
3
1
4
，
∴N 表示的数为：12
4
16
，
故答案为：13，16；
（2）解：∵
2
AO
DE
，
∴当M 到B 时，N 在BC 上且距离C 点两个单位长度，
∴P 点在BC 上，
∴从M 到达B 点，到M，N 相遇所用时间为：
6
2
2
2
1
（秒），
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∴相遇总时间为：
3 1 1
5
t
（秒），
2 1
2
BP
，
∴P 点表示的数为：6
2
8
；
（3）解：存在，
当0
2
t
时，
12
2
BM
t
，
10
2
CN
t
，
令
2
BM
CN
，即
12
2
2 10
2
t
t
，
解得：
4
2
t
，不符合题意；
当2
3
t
时，
12
2
BM
t
，
6
6
2
18
6
CN
t
t
，
令
2
BM
CN
，即
12
2
2 18
6
t
t
，
解得：
2.4
t
，符合题意；
当3
4
t
时，
6
6
3
24
6
BM
t
t
，
2
3
2
6
CN
t
t
，
令
2
BM
CN
，即
24
6
2 2
6
t
t
，
解得：
3.6
t
，符合题意；
当4
6
t
时，
2
4
2
8
BM
t
t
，
2
6
CN
t
，
令
2
BM
CN
，即
2
8
2 2
6
t
t
，
解得：
2
t
，不符合题意；
当6
7
t
时，
2
8
BM
t
，
6
2
6
18
2
CN
t
t
，
令
2
BM
CN
，即
2
8
2 18
2
t
t
，
解得：
22
3
t
，不符合题意；
当7
9
t
时，
6
7
1
BM
t
t
，
18
2
CN
t
，
令
2
BM
CN
，即
1
2 18
2
t
t
，
解得：
3.8
t
，不符合题意；
当9
13
t
时，
1
BM
t
，
9
CN
t
，
令
2
BM
CN
，即
1
2
18
t
t
，
解得：
17
t
，不符合题意；
综上所述，
2.4
t
或3.6．
