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专项训练01 与绝对值有关的化简
【知识点1 绝对值的定义】
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值等于2，记作|+2|=2；
-3 的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值
越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
【知识点2 绝对值的性质】
性质：（1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【题型1 绝对值的非负性】
1．已知,a b 满足
2
2
3
0
a
b
，则式子
2025
a
b
的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，代数式的求值，乘方运算，解题的关键是两个非负数和为0
的条件是它们都是0．由
2
0,
3
0
a
b
出来,a b ，再代入
2025
a
b
求解即可．
(
0)
|
|
0
(
0)
(
0)
a
a
a
a
a
a
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【详解】解：由题意，得
2
0,
3
0
a
b
解，得
2,
3
a
b
，
∴（a+b）2025=（2-3）2025=-1，
故答案为：1
．
2．在五个有理数5
，3
，0，2
，7
中任意取出两个相乘，则最大的积为a，最小的积为b．
(1)求a、b 的值；
(2)
0
x
a
y
b
，求代数式
2 x
y
y
x
的值．
【答案】(1)
15
a
，
35
b
(2) 10
【分析】本题主要考查有理数的乘法、绝对值的性质、整式的化简求值等知识点，熟练掌握有理数的乘法
法则和绝对值的性质是解题的关键．
（1）根据有理数的乘法法则得出a、b 的值即可；
（2）将a、b 的值代入，再根据非负数的性质得出x、y 的值，然后根据整式的混合运算法则化简，最后代
入计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
5
3
15
a
，
5
7
35
b
．
（2）解：∵
0
x
a
y
b
，即
15
35
0
x
y
∴x+15=0，
35
0
y
，
∴
15
x
，
35
y
，
∴
2
2
2
3
3
15
35
10
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
．
【题型2 利用数轴化简绝对值】
3．已知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，且a
b
．
(1) a
b
，b
a
；
(2)化简：a
c
c
b
b
a
．
【答案】(1)0，1
(2) 2a
【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及利用数轴判断式子符号、化简绝对值：
（1）结合数轴以及a
b
，得a 与b 是相反数，即可作答．
（2）由数轴得，
0
c
b
a
，得出
0
0
0
a
c
c
b
b
a
，
，
，接着化简，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，∵a
b
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∴a
b
，
∴
0
1
b
a
b
a
，
，
故答案为：0，1
；
（2）解：∵
0
c
b
a
∴
0
0
0
a
c
c
b
b
a
，
，
∴a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
2a
4．已知数轴上A，B ，C 三点对应的数分别是a ，b ，c ，若a<0 ，
0
b
，a
b
，c 为最小的正整数．
(1)请在数轴上标出A，B ，C 三点的大致位置；
(2)化简：|
| 2 |
|
|
2 |
a
b
b
a
c
b
c
．
【答案】(1)见解析
(2) a
【分析】本题主要考查数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的有关概念、绝对
值的性质．
（1）由c 为最小的正整数，确定出
1
c ，再由a<0 ，
0
b
，a
b
，得出b 到原点的距离大于a 到原点的
距离，从而确定出在数轴上的大概位置；
（2）根据A，B，C 三点在数轴上的位置得到
0
a
b
，
0
b
a
c
，
2
0
b
c
，然后化简求解即可．
【详解】（1）解：A，B ，C 三点的大致位置，如图所示，
（2）解：由数轴可得，
0
a
b
，
0
b
a
c
，
2
0
b
c
，
∴a
b
a
b
，b
a
c
a
c
b
，
2
2
b
c
c
b
，
∴|
| 2 |
|
|
2 |
a
b
b
a
c
b
c
2
2
a
b
a
c
b
c
b
2
2
2
2
a
b
a
c
b
c
b
a
．
【题型3 分类讨论化简绝对值】
5．已知
0
x
a
、
0
x
b
，那么|
|
|
|
x
a
x
b
x
a
x
b
＝
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【答案】±2 或0
【分析】根据x+a，x+b 的符号，结合绝对值的性质进行计算即可．
【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0 时，原式＝1+1＝2，
当x+a＞0，x+b＜0 时，原式＝1﹣1＝0，
当x+a＜0，x+b＞0 时，原式＝﹣1+1＝0，
当x+a＜0，x+b＜0 时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
故答案为：±2 或0．
6．我们知道数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结
合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题：
(1)若
5
a 时，a
a
的值为___________；
(2)若
5
9
a
a
成立，则
a
___________；
(3)若
0
abc <
，则
|
|
|
|
|
|
|
|
a
b
c
abc
a
b
c
abc
___________；
(4)当式子
3
4
x
x
取最小值时，相应的x 的取值范围___________，最小值是___________．
【答案】(1) 1
(2)2
(3)0 或4
(4) 3
4
x
；7
【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可；
（2）根据题意得出
5
9
a
a
表示数轴上数a 的点到5
的距离与到9 的距离相等，然后求出中点到5
的
距离为7，即可求解；
（3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可；
（4）
3
4
x
x
表示数轴上数x 的点到3
的距离与到4 的距离和，得出当3
4
x
时，距离和即为3
到4 的距离即可求解．
【详解】（1）解：
5
a 时，
5
1
5
，
故答案为：1
；
（2）
5
9
a
a
表示数轴上数a 的点到5
的距离与到9 的距离相等，
∵5
与9 的距离为9
5
14
，
∴中点到5
的距离为7，
∴5
7
2
，
∴
2
a
，
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故答案为：2；
（3）∵
0
abc <
，
∴分情况讨论：当
0
a
时，
0,
0
b
c
，
|
|
1 1 1 1
0
|
|
| |
|
|
a
b
c
abc
a
b
c
abc
；
当
0
a
时，
0,
0
b
c
，
|
|
1 1 1 1
0
|
|
| |
|
|
a
b
c
abc
a
b
c
abc
；
当a<0 时，
0,
0
b
c
，
|
|
1 1 1 1
0
|
|
|
|
|
|
a
b
c
abc
a
b
c
abc
；
当a<0 时，
0,
0
b
c
，
|
|
1 1 1 1
4
|
|
|
|
|
|
a
b
c
abc
a
b
c
abc
；
综上可得：
|
|
|
|
|
|
|
|
a
b
c
abc
a
b
c
abc
值为0 或4
，
故答案为：0 或4
；
（4）
3
4
x
x
表示数轴上数x 的点到3
的距离与到4 的距离和，
当3
4
x
时，距离和即为3
到4 的距离4
3
7
，
故答案为：3
4
x
；7．
【题型4 几何意义化简绝对值】
7．如图，已知数轴上有A，B 两个点，分别表示有理数－6，4．若x 表示一个有理数．
(1)数轴上点A 到点B 的距离为______；数轴上到点A、B 的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若
4
2
x
，则x ______；
(3)式子
3
5
x
x
的最小值为______，此时x 的取值范围是______；
(4)式子8
2
3
2
5
x
x
有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10；1
(2)6 或2
(3)8，5
3
x
(4) 8
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几
何意义是解本题的关键．
（1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可；
（2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解；
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（3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答；
（4）把问题转化为式子8
2(|
3|
|
5|)
x
x
，当
3
5
x
x
最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几
何意义分析，得出当x 在5
与3 之间时，有最小值8，然后把
3
5
x
x
的最小值8 代入代数式，计算即
可得出代数式的最大值．
【详解】（1）∵数轴上有
,
A B 两个点，分别表示有理数6,4
，
∴数轴上点6
到点4 的距离为4
( 6)
10
；
∴数轴上到点
,
A B 的距离相等的点的位置表示的有理数为6
4
1
2
；
故答案为：10；1
（2）根据题意，
4
2
x
4
2
x
，
解得：
6
x
或
2
x
故答案为：6 或2
（3）∵
3
x
表示数轴上x 到3 两点之间的距离，
5
x
表示数轴上x 到5
两点之间的距离，
由图可知，
当
5
x 或
3
x
时，
3
5
8
x
x
，
当5
3
x
时，
3
5
8
x
x
∴式子
3
5
x
x
的最小值为8，此时x 的取值范围为5
3
x
；
故答案为：8，5
3
x
（4）
8
2
3
2
5
8
2(
3
5)
x
x
x
x
，
当式子
3
5
x
x
的最小值为8 时，8
2(
3
5)
x
x
有最大值；
此时8
2(
3
5)
8
2 8
8
x
x
8
2(
3
5)
x
x
的最大值为8
8．【阅读】若点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，则
AB
a
b
，即5
3
表示为5 与3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）点A ，B 表示的数分别为7
，2，则AB _______；
（2）若
2
3
x
，则x _________；
【应用】
（3）如图，数轴上表示数a 的点，问
3
2
a
a
是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，
说明理由．
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（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数x ，
6
3
1
x
x
x
是否有最小值？如果有，直接写出最小值，
并写出此时x 的值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）9；（2）1 或5
；（3）有，5；（4）有，最小值为7，
3
x
【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键．
（1）根据绝对值几何意义计算即可；
（2）根据绝对值几何意义计算即可；
（3）根据|
3|
|
2 |
a
a
的几何意义解答即可；
（4）利用绝对值几何意义，分析出当
3
x 时有最小值解答即可．
【详解】解：（1）点A ，B 表示的数分别为7
，2，则
2
7
9
AB
，
故答案为：9；
（2）数轴上与表示2
的点相距3 个单位的点表示的数为1 或5
，
若
|
2 | |
2 | 3
x
x
，则
1
x 或5
，
故答案为：1 或5
；
（3）有最小值，理由如下：
|
3|
|
2 |
a
a
表示数轴上有理数a 所对的点到3
和2 所对的两点距离之和，
当3
2
a
时，|
3|
|
2 |
a
a
有最小值，
此时最小值为|
3|
|
2 |
3
2
5
a
a
a
a
；
（4）有最小值，理由如下：
若x 表示一个有理数，则|
6 |
|
3|
|
1|
x
x
x
有最小值，|
6 |
|
3|
|
1|
x
x
x
表示到6
，3
和1 距离
的和，
若想和的值最小，则当x 表示3
时，到三点的距离和最小，
当
3
x 时，|
6 |
|
3|
|
1|
x
x
x
的最小值为7．
1．式子
1
2
x
取最小值时，x 等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．1
【答案】D
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【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝
对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x 值
即可．
【详解】解：式子|
|1
2
x
中，|
1|
x
的最小值为0，
当且仅当
1
0
x
，即
1
x 时取得；
此时整个式子的值为0
2
2
，为最小值．
故选：D．
2．若
2
7
0
m
n
，则m
n
（
）
A．2
B．7
C．8
D．5
【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一
个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解．
【详解】解：∵
2
7
0
m
n
，
∴
2
0
7
0
m
n
，
，
解得
2
7
m
n
，
，
∴
5
2
7
m
n
．
故选：D．
3．已知表示有理数a，b 的点在数轴上的位置如图所示，则
2025
a
b
a
b
的值是（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得
0
a
b
，据此化简绝对值后计
算求解即可．
【详解】解：由数轴可得
0
a
b
，
∴
2025
a
b
a
b
2025
a
b
a
b
1 1
2025
，
2025
，
故选：C．
4．当2
7
5
m
的值最小时，m
．
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【答案】
7
2
【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知2
7
0
m
即可解答．
【详解】解：∵2
7
0
m
，
∴2
7
5
5
m
，
此时2
7
0
m
时，2
7
5
m
的值最小，则
7
2
m
；
故答案为：
7
2
．
5．已知
2
4
0
x
y
，则x
y
．
【答案】2
【分析】本题主要考查绝对值的非负性，根据非负数的性质求出,x y 的值，代入计算即可．
【详解】解：∵
2
4
0
x
y
，
∴
2
0,
4
0,
x
y
解得，
2,
4,
x
y
∴
2
4
2
x
y
，
故答案为：2
．
6．已知a，b，c 为非零有理数，请解决下列问题：
（1）当
0
a
时，|
|
a
a
；
（2）若
0
abc
，则|
|
|
|
|
|
|
|
a
b
c
abc
a
b
c
abc
的值为
．
【答案】
1
0 或4
/ 4
或0
【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键．
（1）由给出条件和绝对值的性质即可解答；
（2）由条件先确定a、b、c 的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可．
【详解】解：（1）当
0
a
时，|
|
1
a
a
a
a
．
故答案为：1．
（2）∵
0
abc
，
∴a、b、c 为两正一负或a、b、c 都为负，
①当a、b、c 为两正一负时，不防设
0,
0,
0
a
b
c
，
∴
1 1 1 1
0
a
b
c
abc
a
b
c
abc
a
b
c
abc
a
b
c
abc
；
①当a、b、c 都为负时，即
0,
0,
0
a
b
c
，
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∴
1 1 1 1
4
a
b
c
abc
a
b
c
abc
a
b
c
abc
a
b
c
abc
；
综上，该代数式的值为0 或4
．
故答案为：0 或4
．
7．已知有理数
0
a
，
0
b
，
0
c
，且b
a
c
．
(1)如图，在数轴上将a、b、c 三个数填在相应的括号中：
(2)化简：2
2
a
b
b
c
c
a
【答案】(1)见解析
(2)b
c
【分析】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减运算，根据题意判断式子正负是解题关键．
（1）由题意可知
0
a
，0
b
c
，再填写数轴即可；
（2）由题意可知
0,
0,
0
a
b
b
c
c
a
，再取绝对值符号化简即可．
【详解】（1）解：有理数
0
a
，
0
b
，
0
c
，且b
a
c
，
则
0
a
，0
b
c
，
在数轴上表示如下：
（2）解：由题意，可知
0,
0,
0
a
b
b
c
c
a
，
所以
2
2
2
2
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
c
a
2
2
2
2
a
b
b
c
c
a
b
c
．
8．根据
0
a
这一性质，解答下列问题：
(1)当a 时，|
4 |
a
有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a 取何值时，|
|1
3
a
有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，4
a
有最大值？这个最大值是多少？
【答案】(1)4，0
(2)
1
a ，3
(3)
0
a
，4
【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知0 的绝对值最小，为0，则可得
4
0
a
时，|
4 |
a
有最小值，由此即可求解；
（2）要使|
|1
3
a
有最小值，则|
1|
a
要取最小，即
1
0
a
，由此即可求解；
（3）要使4
a
有最大值，则a 取最小值，结合
0
a
即可求解．
【详解】（1）因为|
4 | 0
a
，所以当
4
a
时，|
4 |
a
有最小值，这个最小值是0．
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故答案为：4，0
（2）因为|
1| 0
a
，所以当
1
a 时，|
|1
3
a
有最小值，这个最小值是3．
（3）因为
0
a
，所以
0
a
，所以当
0
a
时，4
a
有最大值，这个最大值是4．
9．有理数a
b
c
、、在数轴上的位置如图：
(1) a
b
______0 ，abc ______0 ，b
a
______0；填（“ ”或“”）
(2)如果a
c
、互为相反数，则a
c ______；
(3)计算：a
b
c
a
b
c
．
【答案】(1)，，；
(2) 1
；
(3)1．
【分析】（1）根据a 、b 、c 在数轴上的位置即可求解；
（2 ）根据相反数的定义即可求解；
（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解；
本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由数轴可知：
0
a
b
c
，a
b
，
∴
0
a b
+ <
，
0
abc
，
0
b
a
，
故答案为：，，；
（2）解：∵a
c
、互为相反数，
∴
0
a
c
，即a
c
，
∴
1
a
c
c
c
，
故答案为：1
；
（3）解：由数轴可知：
0
a
b
c
，
∴a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
1 1 1
1
．
10．我们知道，a 是指数轴上表示数a 的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴
上点A
B
、分别对应数a
b
、，那么A
B
、两点间的距离为AB
a
b
=
-
．
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(1)如图1，点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，则a _____0 ，b _____0 ，a
b
_____0 ；
(2)若
2
3
7
x
x
，则x _____；
(3)已知a
b
c
、、三个数在数轴上的位置如图2 所示，化简：a
b
c
b
a
c
c
b
．
【答案】(1)，，
(2) 4
或3
(3)
3
b
c
【分析】（1）根据数轴解答即可求解；
（2 ）由
2
3
2
3
x
x
x
x
可得式子
2
3
x
x
表示数x 对应的点到2 对应的点与到3
对应点
的距离之和，根据
2
3
5
7
可得数x 不可能在3
与2 之间，再分x 在3
左侧和x 在2 右侧两种情况解
答即可求解；
（3）由数轴可得
0
c
b
a
，c
a
，进而得到
0
a
b
> ，
0
c
b
，
0
a
c
，
0
c
b
，再根据绝对值
的性质化简合并即可；
本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：由数轴可得，
0
a
，
0
b
，a
b
，
∴
0
a
b
，
故答案为：，，；
（2）解：∵
2
3
2
3
x
x
x
x
，
∴式子
2
3
x
x
表示数x 对应的点到2 对应的点与到3
对应点的距离之和，
∵
2
3
5
7
，
∴数x 不可能在3
与2 之间，
当x 在3
左侧时，则
2
3
7
x
x
，
解得
4
x ；
当x 在2 右侧时，则
2
3
7
x
x
，
解得
3
x
；
∴
4
x 或
3
x
，
故答案为：4
或3；
（3）解：由数轴可得，
0
c
b
a
，c
a
，
∴
0
a
b
> ，
0
c
b
，
0
a
c
，
0
c
b
，
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∴原式
a
b
c
b
a
c
b
c
a
b
c
b
a
c
b
c
3
b
c
．
1．有理数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，已知
0
a
b
，有如下四个结论：①
0
ab
；
②a
c
；③
0
a
c
；④
0
b
c
．上述结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据
0
a
b
，表示a，b 互为相反数，从而在数轴上标出原点，结合数轴得
0
c
b
a
，
a
b
，据此进行判断各结论，得到结果．本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵
0
a
b
，
∴数轴上的原点在表示a，b 两点的中间，a，b 互为相反数，
∴
0
c
b
a
，a
b
，
∴
0
ab
，结论①错误，不符合题意；
∴a
c
，结论②错误，不符合题意；
∴
0
a
c
，结论③正确，符合题意；
∴
0
b
c
，结论④正确，符合题意，
则正确的结论有2 个，
故选：B．
2．下列说法：①若
0
x
x
，则x 为负数；②若a
不是负数，则a 为非正数；③
2
2
a
a
；④若
a
b
，b
b
，则
0
a
b
．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的性质是解题关键．
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根据绝对值的性质
0
0
0
0
a a
a
a a
a
逐个分析判断即可得解．
【详解】解：若
0
x
x
，
x
x
，
0
x
．
①的说法错误；
若a
不是负数，
0
a
，
0
a
，即a 为非正数．
②的说法正确；
2
2
a
a
，
2
2
a
a
，
2
2
a
a
．
③的说法正确；
若a
b
，b
b
，
0
a
b
，
0
a
b
．
④的说法正确．
综上所述，正确的结论有②③④，共3 个正确结论．
故选：C．
3．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，且a
b
，则a
b
，a
b
，a c
，
b
c
，化简c
a
b
a
【答案】
b
a
a
b
a
c
b
c
b
c
【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在
数轴的位置判断式子的正负是解题的关键．
根据数轴上各点的位置可得
0
a
c
b
，a
b
c
，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质
化简即可．
【详解】解：根据数轴上有理数a 、b 、c 的位置可得：
0
a
c
b
，a
b
c
，
∴
0
a
b
，
0
a
b
，
0
a
c
，
0
b
c
，
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∴a
b
b
a
，a
b
a
b
，a
c
a
c
，b
c
b
c
，
∴c
a
b
a
c
a
b
a
b
c
，
故答案为：b
a
，a
b
，a
c
，b
c
，b
c
．
4．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“
3
9 4 站台”的镜头（如示意图的Q 站台），构思奇妙，给
观众留下深刻的印象．若A
B
、站台分别位于
2
3
，8
3 处，若P 站台到A 站台的距离是到B 站台距离的2 倍，
则P 站台用类似电影的方法可称为“
站台”．
【答案】5
19 或6
【分析】本题主要考查了数轴，解题关键是用几何方法借助数轴来求解．先根据两点间的距离公式得到AB
的长度，再根据
2
AP
PB
求得AP 的长度，再用
2
3
加上该长度即为所求．
【详解】A
B
、站台分别位于
2
3
，8
3 处
A 站台与B 站台之间的距离
8
2
10
3
3
3
，
A 站台与P 站台之间的距离
10
2
20
3
2 1
9
，
P 站台是
9
2
20
5
3
9
1
；
或A 站台与P 站台之间的距离
10
20
2
3
3
，
P 站台是
2
20
6
3
3
．
故P 站台用类似电影的方法可称为“ 5
19 或6 站台”．
故答案为：5
19 或6．
5．阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道| 5
3|
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可
以理解为5 与3 两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．| 5
( 2) |
可以表示5 与2
之差的绝对值．也可
以理解为5 与2
两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)| 4
1|
表示数轴上4 与___________所对应的两点之间的距离．
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(2)|
5|
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到___________所对应的点之间的距离，|
2 |
x
表示数轴上有理数
x 所对应的点到___________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数x ，使得|
2 |
|
1| 3
x
x
请直接写出这样的整数x 的
值：_________________________________．
(4)利用绝对值的几何意义，求出|
3|
|
2 |
x
x
的最小值．
【答案】(1)1
(2)5，2
(3) 2
，1
，0，1
(4)5
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据数轴上的两点距离可直接判断；
（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x 所对应的点到2
的距离和到1 的距离的和为3，
进而求解；
（4）利用绝对值的几何意义，写出|
3|
|
2 |
x
x
的最小值；
【详解】（1）解：由题意得：| 4
1|
表示数轴上4 与1 所对应的两点之间的距离；
故答案为：1；
（2）解：|
5|
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到5 所对应点之间的距离；|
2 |
x
表示数轴上有理数x 到2
所对应点之间的距离．
故答案为：5，2
；
（3）解：由题意得：|
2 |
|
1| 3
x
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到2
的距离和到1 的距离的和为3，
又∵
2 1
3
，
∴2
1
x
，
又∵x 为整数，
∴x 表示的数为：2
，1
，0，1．
故答案为：2
，1
，0，1．
（4）解：由题意得：当3
2
x
时，|
3|
|
2 |
x
x
有最小值，最小值为：
3
2
5
．
6． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并
解答题目后提出的两个问题．
例：三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
的值．
解：由题意得：a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c 都是正数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，
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则：
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②当a，b，c 有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
则：|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
=
𝑎
𝑎+ −𝑏
𝑏+
−𝑐
𝑐= 1 + (−1) + (−1) = −1，
综上述：|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
的值为3 或1
．
请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题：
(1)已知a，b 是有理数，当
0
ab
时，求|
|
|
|
a
b
a
b
值．
(2)已知a，b，c 是有理数，
0
a
b
c
，
0
abc
，求
b
c
a
c
a
b
a
b
c
的值．
【答案】(1) 2
或0
(2)1
【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不
重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
（1）对a 、b 进行讨论，即a 、b 同正，a 、b 同负，a 、b 异号，根据绝对值的意义计算|
|
|
|
a
b
a
b
得到结
果；
（2）根据a ，b ，c 是有理数，
0
a
b
c
，把求|
|
|
|
| |
b
c
a
c
a
b
a
b
c
转化为求|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
的值，根据
0
abc
得结果．
【详解】（1）解：已知a ，b 是有理数，当
0
ab
时，可分为四种情况：
①若
0
a
，
0
b
，
1 1
2
|
|
|
|
a
b
a
b
a
b
a
b
；
②若
0
a
，
0
b
，
1
1
2
|
|
|
|
a
b
a
b
a
b
a
b
；
③若
0
a
，
0
b
，
1
1
0
|
|
|
|
a
b
a
b
a
b
a
b
；
④若
0
a
，
0
b
，
1
1
0
|
|
|
|
a
b
a
b
a
b
a
b
．
故|
|
|
|
a
b
a
b
的值为2
或0；
（2）解：因为a ，b ，c 是有理数，
0
a
b
c
，
0
abc
，
所以b
c
a
，a
c
b
，a
b
c
，且a ，b ，c 有两个负数一个正数，
不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
则
1 1
1
1
|
|
|
|
|
|
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
．
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7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．
(1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系：
①点D 和点A 之间的距离为______，②点D 到点G 的距离为______；
③点C 和点A 之间的距离为______，④点C 到点F 的距离为______；
(2)【发现新知】如果数轴上点P 对应的数是a ，点Q 对应的数是b ，那么点P 和点Q 之间的距离可表示为
PQ ______．（用含a ，b 的式子表示）
(3)【综合运用】①数轴上表示x 和4.5
的两点M ，N 之间的距离是10，求x 的值．
②式子
2
4
6
8
x
x
x
x
的最小值是______．
【答案】(1)①4 ②2 ③3 ④4；
(2) a
b
；
(3)①
5.5
x
或
14.5
x
；②式子
2
4
6
8
x
x
x
x
的最小值是8．
【分析】本题考查了列代数式、数轴，两点间距离，解决本题的关键是绝对值的意义的运用．
（1）观察数轴运用有理数减法即可求解；
（2）根据（1）中所观察规律即可得结论；
（3）①根据（2）中得到的结论列出等式
4.5
10
x
，求解即可；
②分
2
x
，2
4
x
，4
6
x
，6
8
x
，
8
x
五种情况讨论，可得答案．
【详解】（1）解：观察数轴，可得
①点D 与点A 的距离为
1
3
1 3
4
，
故答案为：4；
②点D 与点G 的距离为1 3
2
2
；
故答案为：2；
③点C 与点A 的距离为
0
3
0
3
3
，
故答案为：3；
④点C 与点F 的距离为0
4
4
4
；
故答案为：4；
（2）解：如果点P 对应的数是a，点Q 对应的数是b，那么点P 与点Q 之间的距离可表示为
PQ
a
b
．
故答案为：a
b
；
（3）解：①根据（2），得：
4.5
10
x
，
4.5
10
x
，
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即4.5
10
x
或4.5
10
x
，
解得：
14.5
x
或
5.5
x
．
②分五种情况：
当
2
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
20
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
此时，当
2
x
时，最小值是12；
当2
4
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
16
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
此时，当
4
x
时，最小值是8；
当4
6
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
8
x
x
x
x
x
x
x
x
；
当6
8
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
此时，当
6
x
时，最小值是8；
当
8
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
4
20
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
此时，当
8
x
时，最小值是12；
综上，当式子
2
4
6
8
x
x
x
x
取最小值时，相应的x 的取值范围是4
6
x
，
即
2
4
6
8
x
x
x
x
2
4
6
8
x
x
x
x
=8，
∴
2
4
6
8
x
x
x
x
最小值是8．
故答案为：8．
