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专项训练01 与绝对值有关的化简
【知识点1 绝对值的定义】
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值等于2，记作|+2|=2；
-3 的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值
越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
【知识点2 绝对值的性质】
性质：（1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【题型1 绝对值的非负性】
1．（1）若
0
x
y
，则x ______，y _______．
（2）若
6
0
a
b
，则a _____，b _____．
2．（1）根据x 是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①x 满足______时，式子
3
6
x
的值最______，为______；
(
0)
|
|
0
(
0)
(
0)
a
a
a
a
a
a
.
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②x 满足______时，式子5
2
x
的值最______，为______；
（2）已知若
0
a
，则a
a
，即
1
a
a
a
a
，若
0
a
，则a
a
，即
1
a
a
a
a
，如果x、y、z 是有理数，
且
0
x
y
z
，
0
xyz
时，直接写出
x
y
x
z
y
z
z
y
x
的值为______．
【题型2 利用数轴化简绝对值】
3．已知有理数a ，b 在数轴上对应位置如图．
(1)用“ ”或“”填空：1 b
______0，
1
a ______0；
(2)比较a ，b ，a
，b
的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______；
(3)化简：1
1
b
a
b
a
．
4．已知a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1) a
b
______0，ab ______0，
1
a ______0（填“”或“ ”）
(2)用“”将a ，a
，b ，b
连接起来：______．
(3)化简
1
2
3 2
a
a
b
b
a
．
【题型3 分类讨论化简绝对值】
5．在学习一个数的绝对值过程中，化简a 时，可以这样分类：当
0
a
时，a
a
，当
0
a
时，
0
a
；当
0
a
时，a
a
．请用这种方法解决下列问题．
(1)当
3
a
时，则
a
a _____；当
2
a 时，则
a
a _____．
(2)已知a ，b 是有理数，当
0
ab
时，试求
a
b
a
b
的值．
(3)已知a ，b ，c 是非零有理数．满足
0
a
b
c
且
0
abc
，求
a
b
c
b
c
a
c
a
b
的值．
6．在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简x 为例．当
0
x
时，x
x
；当
0
x
时，
0
x
；
当
0
x
时，x
x
．
知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为
1
0
a
a
a
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求解下列问题：
(1)当
5
x
时，
x
x 值为_____，当
5
x 时，
x
x 的值为_____，当x 为不等于0 的有理数时，
x
x 的值为_____；
(2)已知
0,
0
x
y
z
xyz
，求
y
z
x
z
x
y
x
y
z
的值；
(3)已知：
1
2
2024
2025
,
,
,
,
x x
x
x
，这2025 个数都是不等于0 的有理数，若这2025 个数中有n 个正数，
2024
2025
1
2
1
2
2024
2025
x
x
x
x
m
x
x
x
x
，则m 的值为_____．（请用含n 的式子表示）．
【题型4 几何意义化简绝对值】
7．如图，已知数轴上有A，B 两个点，分别表示有理数－6，4．若x 表示一个有理数．
(1)数轴上点A 到点B 的距离为______；数轴上到点A、B 的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若
4
2
x
，则x ______；
(3)式子
3
5
x
x
的最小值为______，此时x 的取值范围是______；
(4)式子8
2
3
2
5
x
x
有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
8．【阅读】若点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，则
AB
a
b
，即5
3
表示为5 与3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）点A ，B 表示的数分别为7
，2，则AB _______；
（2）若
2
3
x
，则x _________；
【应用】
（3）如图，数轴上表示数a 的点，问
3
2
a
a
是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，
说明理由．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数x ，
6
3
1
x
x
x
是否有最小值？如果有，直接写出最小值，
并写出此时x 的值；如果没有，说明理由．
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1．若
0
x
x
，则x 一定是（ ）．
A．正数
B．负数
C．正数或零
D．负数或零
2．若
1
a 与
2
b
互为相反数，则a
b
的值为（ ）
A．3
B．3
C．0
D．3 或3
3．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a b
+ <
B．
0
a
b
C．
0
a b
D．
0
a
b
4．已知
0
a
b
c
，则
2
3
a
b
c
a
b
c
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
5．已知a，b 为有理数，下列式子：①ab
ab
；②
0
a
b
；③a
a
b
b
；④
0
a
b
．其中一定能够表示
a，b 异号的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．代数式
4
3
a
有最小值是
．
7．当x 时，
2
2024
x
的值最大．
8．已知有理数a 、b 满足
0
ab
，则a
b
a
b
．
9．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ，对于以下结论：①
0
b
a
< ；
②
0
a
b
；③a
b
；④
1
b
a ．其中正确的是
（填序号）
10．已知a，b 为实数，下列说法：①若
0
ab
，且a，b 互为相反数，则
1
a
b ；②若a
b
，则
a
b
a
b
是正数；③若
0
a
b
a
b
，则b
a
；④若a
b
，
0
ab
，且
3
3
a
b
，则
6
a
b
，其中正确的
是
．（填序号，填不全得1 分，不填或有错误答案均得0 分）．
11．有理数, ,
a b c 在数轴上的位置如图所示．
(1)用“ ”“”或“ ”填空：a
b
_________0，c
a
_________0，
2
b
_________0；
(2)化简：3|
| 3|
| 3|
2 |
a
b
c
a
b
．
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12．根据
0
a
这一性质，解答下列问题：
(1)当a 时，|
4 |
a
有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a 取何值时，|
|1
3
a
有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，4
a
有最大值？这个最大值是多少？
13．有理数a
b
c
、、在数轴上的位置如图：
(1) a
b
______0 ，abc ______0 ，b
a
______0；填（“ ”或“”）
(2)如果a
c
、互为相反数，则a
c ______；
(3)计算：a
b
c
a
b
c
．
14．我们知道，a 是指数轴上表示数a 的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴
上点A
B
、分别对应数a
b
、，那么A
B
、两点间的距离为AB
a
b
=
-
．
(1)如图1，点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，则a _____0 ，b _____0 ，a
b
_____0 ；
(2)若
2
3
7
x
x
，则x _____；
(3)已知a
b
c
、、三个数在数轴上的位置如图2 所示，化简：a
b
c
b
a
c
c
b
．
1．有理数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，已知
0
a
b
，有如下四个结论：①
0
ab
；
②a
c
；③
0
a
c
；④
0
b
c
．上述结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列说法：①若
0
x
x
，则x 为负数；②若a
不是负数，则a 为非正数；③
2
2
a
a
；④若
a
b
，b
b
，则
0
a
b
．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，且a
b
，则a
b
，a
b
，a c
，
b
c
，化简c
a
b
a
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4．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“
3
9 4 站台”的镜头（如示意图的Q 站台），构思奇妙，给
观众留下深刻的印象．若A
B
、站台分别位于
2
3
，8
3 处，若P 站台到A 站台的距离是到B 站台距离的2 倍，
则P 站台用类似电影的方法可称为“
站台”．
5．阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道| 5
3|
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可
以理解为5 与3 两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．| 5
( 2) |
可以表示5 与2
之差的绝对值．也可
以理解为5 与2
两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)| 4
1|
表示数轴上4 与___________所对应的两点之间的距离．
(2)|
5|
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到___________所对应的点之间的距离，|
2 |
x
表示数轴上有理数
x 所对应的点到___________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数x ，使得|
2 |
|
1| 3
x
x
请直接写出这样的整数x 的
值：_________________________________．
(4)利用绝对值的几何意义，求出|
3|
|
2 |
x
x
的最小值．
6．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问
题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c 都是正数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，则
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
1
1
1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3 或1
．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值；
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(2)若a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，求
abc
abc 的值．
7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．
(1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系：
①点D 和点A 之间的距离为______，②点D 到点G 的距离为______；
③点C 和点A 之间的距离为______，④点C 到点F 的距离为______；
(2)【发现新知】如果数轴上点P 对应的数是a ，点Q 对应的数是b ，那么点P 和点Q 之间的距离可表示为
PQ ______．（用含a ，b 的式子表示）
(3)【综合运用】①数轴上表示x 和4.5
的两点M ，N 之间的距离是10，求x 的值．
②式子
2
4
6
8
x
x
x
x
的最小值是______．
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