文档文本内容
专题01 整式的乘除
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
判断整式运算是否正确
题型2
用科学记数法表示绝对值小于1 的数
题型3
完全平方式中的字母参数问题
题型4
已知多项式乘积不含某项求字母的值
题型5
幂的混合运算及逆运算
题型6
零指数幂、负整数指数幂综合计算
题型7
整式混合运算——化简求值
题型8
利用乘法公式简便运算
题型9
通过对完全平方公式变形求值
题型10
整式乘法与图形面积
题型11
乘法公式中几何图形的应用
题型12
多项式乘法中的规律性问题
题型13
整式的运算中的新定义型问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 幂的运算：法则及
逆用。
2. 整式乘除：含新增
整式除法。
3. 乘法公式：平方差、
完全平方公式。
1.
注重算理与双基：强化同底数幂运算、整式乘除的法则理解，特别关注指
数为“1”时漏项及符号处理等易错点。
2.
新增内容必考：2026 版新教材新增的整式除法（单项式/多项式除以单项
式）是考查重点。
3.
情境化与应用：题型趋向跨学科（如几何面积、物理[速度/光年]计算）及
新定义运算。
4. 实际应用：结合几
何面积。
5. 化简求值：注意符
号与整体代入。
4.
逆向思维与整体代入：不再只考计算，更重视公式的逆用及整体思想求值。
考情解码：根据2026 年新教材北师大版七年级下册第一章《整式的乘除》的考情分析，本单元重在
考查学生的运算能力和代数推理意识。命题聚焦三大核心：一是幂的运算性质及整式乘除法则的准确
应用，特别关注“指数为0 或1”及“符号处理”等易错点；二是乘法公式（平方差、完全平方）的
几何背景理解和逆用能力；三是设置跨学科情境（如面积、速度计算）考查代数式的实际应用，整体
代换思想是本册新增的难点。
知识点一幂的运算
1.同底数幂的乘法性质：
m
n
m n
a
a
a
(其中
,
m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即
m
n
p
m n
p
a
a
a
a
（
,
,
m n
p
都是正整数）.
2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数
相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即
m n
m
n
a
a
a
（
,
m n 都是正整数）.
3.幂的乘方法则：(
)
m
n
mn
a
a
(其中
,
m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：公式的推广：((
) )
m
n
p
mnp
a
a
(
0
a
，
, ,
m n p 均为正整数)
4.幂的乘方法则逆用公式：
n
m
mn
m
n
a
a
a
，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变
形，从而解决问题.
5.积的乘方法则：(
)
n
n
n
ab
a
b
(其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘.
要点诠释：公式的推广：(
)
n
n
n
n
abc
a
b
c
( n 为正整数).
6.积的乘方法则逆用公式：
n
n
n
a b
ab
逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数
时，计算更简便.如：
10
10
10
1
1
2
2
1.
2
2
7.同底数幂的除法：
m
n
m n
a
a
a
(其中
,
m n 都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）逆用公式：即
=
m n
m
n
a
a
a
（
,
m n 都是正整数）.
【易错警示】
同底数幂相乘指数相加，乘方指数相乘，积的乘方每个因式分别乘方。勿混淆加减与乘除，勿忽略负号及
底数为0 情况。
即时即练1．计算：
3
2
4
4
6
3
2
x
x
x
x
2．【中档】若
0
m
n
a
a
a
且
1
a ，m、n 是正整数，则m
n
．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果
5
2
8 ·16
2
x
x
，求x 的值；
(2)若
1
3
3
162
x
x
，求x 的值；
(3)若
5
4
25
m
m
x
y
，＝
，用含x 的代数式表示y，则y
．
知识点二零指数幂、负指数幂、科学记数法
1.零指数幂：
0
1
a
（a≠0）
2.负指数幂：
1
p
p
a
a
（a≠0，p 是正整数）
3.科学记数法：我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示
成a×10-n 的形式，其中n 是正整数，
10
a
1
＜
.
【易错警示】
零指数幂：底数不为0 时结果为1，勿忘底数≠0。
负指数幂
1
p
p
a
a
（a≠0），指数为负只表示倒数，符号勿乱用。
科学记数法：a×10-n，1≤|a|<10，n 为整数，注意负指数时小数位数。
即时即练1．一种新型芯片内部线路宽度为0.0000000108 分米，用科学记数法表示为______米．
2．计算：
2
0
2
1
3
1
2026
2
知识点三整式的乘法
1.单项式与单项式相乘：
单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指
数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.
2.单项式与多项式相乘：
单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就
是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即（a+b+c)m=am+bm+cm
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序.
3.多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多
项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1 的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两
个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab
对于一次项系数不为1 的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.
【易错警示】
单项式乘多项式勿漏乘每一项，注意符号；多项式乘多项式要防漏项、忘变号。合并同类项前先检查项数，
结果按某字母降幂排列。
即时即练1．已知
2
1
2
2
x
m
x
x
n
的乘积中不含x 项和
2x 项．
(1)求m 、n 的值．
(2)求代数式
2026
2027
m
n
的值．
2．如图，有一块长
3
5
m
a
b
、宽
m
a
b
的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长m
a
、宽
2
m
a
b
的
长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（
2
a
b
）
(1)用含,a b 的代数式表示草坪的面积．（结果需化简）
(2)已知草坪的单价为每平方米20 元，当
25,
5
a
b
时，求购买草坪所需要的总费用．
知识点四乘法公式
1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²
公式的几种变化：
①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²
②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²
③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=
4
4
a
b
④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²
⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=
4
4
a
b
⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b)
2.完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2 倍.
即完全平方和(a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差(a-b)²=a²-2ab+b²
（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2 倍
（2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab；③(a+b)²=(a-b)²+4ab；
④(a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab.
【易错警示】
平方差公式中要注意“相同项平方减相反项平方”；完全平方公式勿漏中间项“±2ab”，且符号看准。公
式勿乱用，只有符合形式才能直接用。
即时即练1．先化简，再求值：
2
3
3
3
2
2
x
x
x
x
x
，其中
1
2
x
2．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：
2
2
a
b
a
d
bc
c
d
．
(1)填空：对于有理数x，y，k，若
2
2
x
kx
y
y
是一个完全平方式，则k ______．
(2)对于有理数x，y，已知2
18
x
y
，
2
2
3
2
3
204
3
3
x
y
x
y
x
y
，求xy 的值．
知识点五整式的除法
（1）单项式÷单项式：系数相除，同底数幂指数相减，独含字母照搬
（2）多项式÷单项式：各项分别除单项式再求和
（3）易错：漏符号、漏单独字母、指数算错
【易错警示】
同底数幂相除指数相减，底数不为0；单项式除单项式系数、同底数幂分别相除；多项式除单项式要逐项相
除，注意符号，不能漏项。结果要约分。
即时即练1．先化简，再求值：
2
3
2
3
4
3
5
3
x
y
x
y
y
x
x
y
xy
y
，其中
1
1
,
1
3
x
y
．
2．已知：整式
2
3
A
t
，
2
3
B
t
，t 为任意有理数．
(1)
10
A B
的值可能为负数吗？请说明理由；
(2)请通过计算说明：当t 是整数时，
2
2
A
B
的值一定能被12 整除．
题型1
判断整式运算是否正确
例1．下列运算正确的是（
）
A．
3
2
6
a
a
B．
2
3
6
a
a
a
C．
3
3
2
2
a
a
D．
10
2
5
a
a
a
例2．下列运算正确的是（
）
A．
3
3
6
a
a
a
B．
3
2
6
a
a
C．
4
4
16
a
a
a
D．
4
8
4
a
a
a
【技巧总结】
先看运算顺序，再检查法则：幂运算注意指数乘除，合并同类项看系数字母指数，整式乘除注意符号与分
配律，可代特殊值快速验证，避免跳步出错。
【变式训练1-1】下列各式中正确的是（
）
A．
2
2
4
2
a
a
a
B．
3
2
6
2
6
a
a
C．
6
3
2
a
a
a
D．
2
3
5
a
a
a
【变式训练1-2】下列式子运算正确的是（
）
A．
2
4
8
a
a
a
B．
2
3
6
2
2
a
a
C．
6
2
3
a
a
a
D．
2
6
3
6
2
a
a
a
题型2
用科学记数法表示绝对值小于1 的数
例3．《哪吒之魔童闹海》是中国影史首部百亿票房影片，为在影片中呈现细腻的法术光芒，在特效制作中
对单个粒子的渲染精度要求极高，其中某关键特效粒子的半径为0.0000025 米，其中数据0.0000025 用科学
记数法可表示为
．
例4．气凝胶属于纳米级多孔固态材料，是目前已知密度最低的固体，质量为1g 的某种二氧化硅气凝胶的
体积约为
3
0.0000223m ．将数据0.0000223用科学记数法表示为
．
【技巧总结】
将小数点右移至第一个非零数字后，指数为负，指数绝对值等于左移位数；注意保持有效数字位数，结果
写成a×10⁻ ⁿ 形式，其中1≤|a|＜10，n 为正整数，前面补零不计。
【变式训练2-1】2025 年，我国大科学装置取得重大进展，在其捕捉到的一种极端微弱信号中，某个关键参
数的强度值为0.0000015个单位，数值0.0000015用科学记数法可表示为
．
【变式训练2-2】制造高性能LED 显示屏时，需要使用一种掺杂了稀土元素铕（Eu ）的超薄有机膜．经测
量，该薄膜的厚度非常薄，仅为0.0000405毫米，数值0.0000405用科学记数法表示为
．
题型3
完全平方式中的字母参数问题
例5．若
2
2
36
x
mx
是一个完全平方式，则m _____．
例6．若
2
2
36
x
mx
可以用完全平方式来分解因式，则m 的值为________．
【技巧总结】
先写成(a±b)²形式展开对比，常数项为一次项系数一半的平方；含参数时，设完全平方后展开对应系数相
等，注意符号，两解勿漏，有时需考虑二次项系数为完全平方数。
【变式训练3-1】已知多项式
2
3
16
x
m
x
是完全平方式，则m 的值是______．
【变式训练3-2】多项式
2
225
x
添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________
（任写一个符合条件的即可）．
题型4
已知多项式乘积不含某项求字母的值
例7．已知
4
2
x
x
m
展开式中不含x 的一次项，则m 的取值为___．
例8．若
2
3
2
5
x
x
mx
的计算结果中
2x 项的系数为3
，则m 的值为________．
【技巧总结】
先按法则展开合并同类项，令该项系数为零列方程求解；注意“不含”指该项系数为零，有时需考虑二次
项、一次项或常数项，展开时细心防止漏项，结果代入验证。
【变式训练4-1】若关于x 的多项式
2
2
x
x
与x
b
的乘积中不含x 项，则b ______．
【变式训练4-2】已知
2
3
2
2
,
1,
2
3
5
A
x
ax
b B
x
C
x
x
．若A B
C
的值与x 的取值无关，则当
2
x 时，A 的值为________．
题型5
幂的混合运算及逆运算
例9．计算：
3
2
3
2
3
4
2
3
x
x
x
x
x
．
例10．计算：
(1)
4
3
2
5
3
2
4
2
2
a
a
a
a
a
(2)
3
2
4
2
10
7
2
2
2
a
a
a
a
a
【技巧总结】
同底数幂乘除指数加减，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式乘方；逆运算常化同底数或同指数，利用
指数相等列方程，注意底数为负时指数奇偶性，底数非零为前提。
【变式训练5-1】计算：
(1)已知
64
8
m
n
x
x
，
，求
m n
x
的值；
(2)已知2
2
m
n
a
b
，
，求
3
10
2 m
n
的值
【变式训练5-2】（1）已知
6
m
x
，
2
nx
，求①
m n
x
；②
2
3
m
n
x
的值．
（2）已知
2
1
0
x
y
，求2
4
8
x
y
的值．
题型6
零指数幂、负整数指数幂综合计算
例11．计算：
2026
1
0
1
2 3
1
例12．计算：
3
2026
0
1
3
1
π
3
2
【技巧总结】
零指数幂底数非零结果为1，负指数化为倒数正指数；运算时先化负指数为正，再按幂运算法则计算，注意
底数为分数时取倒数，结果化为正整数指数形式，避免符号错误。
【变式训练6-1】计算：
1
0
4
2
1
2
3
2
π
3
2
【变式训练6-2】计算：
(1)
2025
2
2026
1
0.125
8
3
3
；
(2)
2
0
2025
3
1
1
3.14
π
4
3
．
题型7
整式混合运算——化简求值
例13．先化简，再求值：
2
2
x
y
x
y
x
y
x
x ，其中
3
x
，
1
2
y
．
例14．先化简，再求值：
2
2
x
y
x
y
x
y
y
，其中
2025,
1
x
y
．
【技巧总结】
先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号内，合并同类项化简；代入数值时负数添括号，注意整体代入或
利用条件变形简化计算，避免直接代入增加运算量，结果要最简。
【变式训练7-1】先化简，再求值：
2
[
2 )
2
2
2
2
2
a
b
a
b
b
a
a
a
b
a
，其中a，b 满足
2
1
(
3)
0
a
b
【变式训练7-2】（1）计算：
2
2
1
x
y
；
（2）先化简，再求值：
2
2
x
y
x
y
x
y
x
．其中
3
x
，
2
y ．
题型8
利用乘法公式简便运算
例15．利用平方差公式简便运算：
(1)1.03 0.97
；
(2)
2
60
58 62
．
例16．简便运算：
(1)1007 993
；
(2)
2
2
1
1
665
335
11
11
．
【技巧总结】
观察式子结构，凑成平方差、完全平方或立方公式形式；将数字拆解成和或差，逆向运用公式简化计算，
注意符号与系数，避免直接硬算。
【变式训练8-1】运用乘法公式进行简便运算：
(1)
2
201 ；
(2)49 51 2500
．
【变式训练8-2】乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目．
(1)
2
100
99 101
；
(2)
2
9
910
．
题型9
通过对完全平方公式变形求值
例17．若
4
x
y
，且
1
1
8
x
y
．
(1)求xy 的值；
(2)求
2
2
x
y
的值；
例18．已知
5
3
x
y
xy
，
，求下列代数式的值：
(1)
2
2
x
y
；
(2)
2
x
y
；
(3)
4
4
x
y
．
【技巧总结】
1. 知和求积：由(a+b)2 = a2+b2+2ab 得ab =
（�+�）
2−( �2+�2)
2
。
2. 知差求积：由(a-b)2= a2+b2-2ab 得ab =
( �2+�2)−（�−�）
2
2
。
核心：将平方和、和（差）与积灵活互化。
【变式训练9-1】已知a ，b 是实数，定义关于“”的一种运算如下：
2
2
a b
a
b
a
b
．
(1)化简：a b
；
(2)若
20
a b
，
4
a
b
，求下列式子的值：
①
2
2
a
b
；
②a
b
；
(3)若
2025
2026
24
m
m
，求
2
2
2025
2026
m
m
的值．
【变式训练9-2】拓展探究：
材料：我们知道
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，两式相减可得：
2
2
4
a
b
a
b
ab
，
由此可得公式：
2
2
4
a
b
a
b
ab
．
(1)已知
7
a
b
，
3
a
b
，求ab 的值：
(2)探究：已知a
b
m
，
2
2
a
b
n
，求ab （用m 、n 表示）；
(3)已知
2025
2024
1
a
a
，求
2
2
2025
2024
a
a
的值．
题型10
整式乘法与图形面积
例19．对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为3b ，对联上方留
白称为天头，长为6a ，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为3: 2 ，左、右两边的边宽均为天
头与地头长度之和的1
10 ．
(1)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b 的代数式
表示，并将结果化为最简）
(2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b 的代数式表示，并将结果化为最简）
例20．如图，有一块长
3
5
m
a
b
、宽
m
a
b
的长方形地块，现计划在中间修筑一个长m
a
、宽
2
m
a
b
的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．
2
a
b
(1)用含a
b
，的代数式表示草坪的面积；（结果需化简）
(2)当
25
5
a
b
，
时，求草坪的面积．
【技巧总结】
根据图形分割或补全，用不同方法表示总面积，列出整式乘法恒等式；常利用矩形、正方形面积模型解释
乘法公式，通过等面积法建立方程，数形结合验证运算结果。
【变式训练10-1】书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如
图1），其长为28cm、宽为20.5cm、厚为1cm．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中
虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（cm
x
）即为折叠进去的
宽度．请解答下列问题：（用含x 的代数式表示，并化为最简）
(1)图2 中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______cm，宽为______cm；
(2)求图2 中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积．
【变式训练10-2】如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地
而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2 是某吊
脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3 所示的几何图形（单位：m）．
(1)请用含字母a，b 的代数式表示图3 的面积．
(2)若
2
a ，
4
b
，此时图3 的面积是多少平方米？
题型11
乘法公式中几何图形的应用
例21．推理能力如图①所示，在边长为a 的正方形中作一个边长为
b a
b
的正方形，则余下的阴影部分面
积等于一个以
a
b
为长、
a
b
为宽的长方形面积，如图②所示．
【探究】
（1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两
图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________．
【应用】
（2）根据（1）中的公式解决如下问题：
①若
4
a
b
，
2
a
b
，求
2
2
a
b
的值．
②计算：
2
4
8
1024
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
．
例22．边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A．
2
2
2
2
(
)
a
ab
b
a
b
B．
2
2
a
b
a
b
a
b
C．
2
a
ab
a a
b
D．
2
a
ab
a a
b
(2)若
2
2
12
x
y
，
4
x
y
，求x
y
的值；
(3)计算：
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
2024
2025
．
【技巧总结】
用图形面积验证或推导公式，如平方差用长方形与正方形拼补，完全平方用大正方形分割；根据图形边长
关系列面积等式，转化为代数恒等式，直观理解公式结构。
【变式训练11-1】观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
．
【探究】
（1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：
2
2
a
b
___________；
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若
7
4
，
a
b
ab
，求
2
2
a
b
的值；
（3）若x 满足
2
2
2026
2022
10
x
x
，求
2026
2022
x
x
的值；
【拓展】
（4）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD ，AC
BD
于点E ，AE
DE
，BE
CE
，该校计划在
AED
△
和
BEC
区域内种花，在CDE
和ABE
的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102 平方米，
18
AC
米，
求种草区域的面积和．
【变式训练11-2】阅读以下解法：
“若y 满足
40
20
50
y
y
，求
2
2
(40
)
(
20)
y
y
的值”．解：设40
,
20
y
a y
b
，则
40
20
20,
40
20
50
a
b
y
y
ab
y
y
，则
2
2
2
2
(
)
2
20
2 50
300
a
b
a
b
ab
，即
2
2
(40
)
(
20)
300
y
y
．
解决以下问题：
(1)若x 满足
30
22
2
x
x
，则
2
2
(30
)
(
22)
x
x
_______；
(2)若x 满足
2
2
(2
3)
(2
1)
76
x
x
，求
2 2
3
2
1
x
x
的值；
(3)如图，在长方形ABCD 中，
8,
4, ,
AB
BC
E F
分别是
,
BC CD 上的点，且BE
DF
x
，分别以
,
FC CE 为
边在长方形ABCD 外侧作正方形CFGH 和正方形CEMN ，若长方形CEPF 的面积为22 ，求图中阴影部分的
面积．
题型12
多项式乘法中的规律性问题
例23．（1）观察、归纳：请填上正确答案
1
1
x
x
__________；
2
1
1
x
x
x
__________；
3
2
1
1
x
x
x
x
__________；
4
3
2
1
1
x
x
x
x
x
__________；
……
（2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明；
（3）运用：利用你发现的规律计算：
2025
2024
2023
2
2
2
2
2
2 1
L
例24．在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026 年1 月份的月历，我们任意选择
其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4 个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），
例如：2 8 1 9
7
，5 11
4 12
7
．不难发现，结果都是7．
(1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？
(2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为a ，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？
【技巧总结】
先计算前几项或特殊值，观察系数、指数变化规律，猜想一般式；常用公式如平方差、完全平方推广，或
利用杨辉三角找系数，注意项数与次数关系，通过验证确保正确。
【变式训练12-1】观察下列各式：
12 18
216
1 2 100
8 2
；
23 27
621
2 3 100
3 7
；
34 36
1224
3 4 100
4 6
…
(1)请根据上述规律直接写出计算结果：73 77
______；92
98
______．
(2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且
10
b
c
．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性．
【变式训练12-2】“杨辉三角”揭示了
n
a
b
（n 为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫
做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654 年发现这一规律的，比杨辉要迟393 年，比贾宪迟600 年，请仔细观察
“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
根据上述规律，完成下列各题：
（1）将
2
a
b
展开后，各项的系数和为_______．
（2）将
n
a
b
展开后，各项的系数和为_______．
（3）写出
6
a
b
的展开式．
下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
第一行
1
1
第二行
1
1
2
2
第三行
1
1
1
3
6
3
第四行
1
1
1
1
4
12
12
4
第五行
1
1
1
1
1
5
20
30
20
5
．．．．．．
（4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律．
（5）若
,
m n 表示第m 行，从左到右数第n 个数，如
4,2 表示第四行第二个数是1
12 ，则
8,6 表示的数是
多少？
题型13
整式的运算中的新定义型问题
例25．对于任意有理数a 、b 、c 、d ，定义一种新运算：
a
b
ad
bc
c
d
．
(1)
2
1
4
4
___________．
(2)求
2
3
2
2
a
b
a b
a
a b
ab
的值．
(3)当
1 ,
2
2
a
b
时，请求出（2）的值．
例26．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：
2
2
2
2
2
2
8
3
1 ,16
5
3 ,24
7
5
，则8，16，24 都是“和谐数”．
(1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”）
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2
1
k 和2
1
k ，其中k 是正整数，那么“和谐数”
都能被8 整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
(3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1 开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形ABCD ，其边长为
99，求阴影部分的面积．
【技巧总结】
仔细阅读新定义，明确运算法则与符号意义，将新运算转化为常规整式运算；按定义代入计算，注意运算
顺序与括号，可先举例理解规则，再按步骤化简求值，避免直接套用旧习惯。
【变式训练13-1】对于任意有理数a 、b 、c 、d ，定义一种新运算：
2
2
a
c
a
b
cd
b
d
．
(1)
1
2
1
3
；
(2)对于有理数x 、y ，若
x
k
y
xy
是一个完全平方式，则k ；
(3)对于有理数x 、y ，若
10
x
y
，
22
xy
．求
2
3
x
y
x
y
y
x
y
的值．
【变式训练13-2】小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式
2
2
3
x
x
，
由于
2
2
2
2
3
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
，所以当
1
x 取任意一对互为相反数的数时，多项式
2
2
3
x
x
的
值是相等的．例如，当
1
1
x ，即
2
x
或0 时，
2
2
3
x
x
的值均为3；当
1
2
x ，即
3
x
或1
时，
2
2
3
x
x
的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，当x
t
取任意一对互为相反数的数
时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x
t
对称．例如
2
2
3
x
x
关于
1
x 对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式
2
4
5
x
x
关于x ______对称；
(2)若关于x 的多项式
2
2
3
x
bx
关于
5
x
对称，求b 的值；
(3)若整式
2
2
10
25
6
9
x
x
x
x
关于x
m
对称，求m 的值．
1．下列运算正确的是（
）
A．
6
2
3
x
x
x
B．
2
3
6
2
2
x
x
x
C．
3
2
6
x
x
D．2
3
6
x
y
xy
2．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来．”已知某种梅花的花粉直径是0.000026m ，这个数用科学记数法表
示是（
）
A．
5
0.26 10
B．
5
2.6 10
C．
6
2.6 10
D．
5
2.6 10
3．将
2
1
5
，
0
3
，
2
4
这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（
）
A．
2
0
2
1
3
4
5
B．
2
0
2
1
3
4
5
C．
2
2
0
1
4
3
5
D．
2
0
2
1
3
4
5
4．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”，该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数
字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现有如图所示的“幻方”，则
c d
a
b
的值是（
）
A．256
B．1
256
C．256
D．
1
256
5．若
2,
4
m
n
a
a
，则
m n
a
的值是_____．
6．若
2
2
3
2
5
2
x
x
ax
x
的展开式中不含
3x 项，则a ______．
7．若一个关于x 的多项式的完全平方是
2
9
1
16
x
m
x
，则m 的值为____．
8．使
3
2
3
1
x
x
的x 的值为__________．
9．计算或化简：
(1)
0
2022
1
π
3.14
2
1
；
(2)
2
2
3
2
4
4
2
a
a
a
a
a
；
(3)
4
6
x
x
；
(4)
1
1
x
y
y
x
．
10．先化简，再求值：
2
2
2
6
m
n
m m
n
m
n
m
n
n
，其中
6
m
，
2
n
．
11．在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式
除法的化简：
1
5
8 1
2
0
8
4
0
4
0
0
3
2
3
2
2
2
2
2
2
8
4
4
2
8
2
8
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
即
3
2
2
2
8
4
2
x
x
x
x
x
x
．
(1)请你完成下面的竖式计算．
2
3
2
3
12
x
x x
x
x
即
3
2
2
12
3
x
x
x
x
x
(2)已知多项式
3
2
3
x
x
ax
，能被多项式
1
x 整除，求a 的值．
12．根据题目条件，解答下列各题
(1)
16
3 9
27
3
m
m
，则m 的值为___________；
(2)已知
4
m
a
，
8
n
a ，求
3
2
m
n
a
的值．
(3)若
6
2
2
4b
a
，求a
b
值．
13．我们给出以下两个定义：
①三角形
b
c
a
a
；
②3×3 的方格图
m
n
z
x
y
．
请你根据上面两个定义，解答下列问题：
(1)填空：
，
；
(2)若
3
，求
的值．
14．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形能直观推导和解释许多数学问题．
如图1，将边长为a
b
的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可
以得到代数恒等式：
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
．
如图2，是用长为a 、宽为
b a
b
的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分
（小正方形）的面积，可以得到另一个代数恒等式：
2
2
4
a
b
a
b
ab
基于上述内容，解决以下问题：
(1)若
5
3
a
b
ab
，
，则
2
a
b
___________；
(2)若x 满足
5
3
3
13
9
x
x
，求
2
2
5
3
3
13
x
x
的值：
(3)图3 是某市首届航空航天国防科普展中的平面图，面积为192 平方米的长方形展厅
ABCD AB
AD
中设
置两个长方形展区
AEFG
PQCH
和
，中间重合部分搭建长方形互动体验台
3
PMFN
PM
，
米，
2
PN
米．阴影部分为参观区域，参观区域总周长为46 米，求展厅的长AB 比宽AD 多多少米？
