文档文本内容
专题01 二次根式
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
二次根式、最简二次根式、同类二次根式
题型2
根据二次根式有意义条件求范围
题型3
根据二次根式有意义求值与化简
题型4
含隐含条件的参数范围化简二次根式
题型5
复杂的复合二次根式化简
题型6
二次根式的混合运算
题型7
二次根式中的分母有理化
题型8
二次根式运算中的新定义型问题
题型9
二次根式运算中的规律探究问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 有意义的条件（被开方数
≥0）。
2. 性质：√(a²)=|a|及非负性
应用。
3. 最简二次根式及同类二次
根式识别。
4. 加减乘除及分母有理化运
算。
5. 与勾股定理结合求边长。
1.
概念条件必考：二次根式有意义的条件（被开方数≥0）是基础题必
考点，常与分式、零指数幂结合设置取值范围问题。
2.
性质灵活运用：重点考查√(a²)=|a|的化简及非负性应用（如平方+
根号=0 求值），是高频陷阱题。
3.
运算注重规范：乘除、加减运算及分母有理化是计算题核心，强调
“先化简、再合并”的步骤，拒绝跳步。
4.
综合应用加强：常与勾股定理、图形面积结合求边长或周长，出现
在几何综合题中。
考情解码：根据2026 年新教材考情，《二次根式》侧重基础运算与性质的综合运用。高频考点包括
有意义的条件（被开方数非负）以及核心性质\(\sqrt{a^2}=|a|\) 的化简，常与非负性（平方、绝对
值）联立求值。运算强调“先化简再合并”，分母有理化是基本技能。命题常与勾股定理、矩形的面
积结合，考查代数与几何的综合转化能力。
知识点一二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如�（a≥0）的式子的式子叫做二次根式，
”
“
称为称为二次根
号．如
3
2
1.0
,3
，
都是二次根式.
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号
”
“
；（2）被开方数必须是非负数.
3.二次根式有无意义的条件
①二次根式有意义：被开方数为非负数，即�有意义⇔a≥0；
②二次根式无意义：被开方数为负数，即�无意义a<0.
4.二次根式的性质
①二次根式
a （
0
a
）的非负性
a （
0
a
）表示a 的算术平方根，也就是说，a （
0
a
）是一个非负数，即
0
a
（
0
a
）．
②二次根式
2
a
的性质：
2
a
a
（
0
a
）
③二次根式
2
a 的性质：
)
0
(
)
0
(
2
a
a
a
a
a
a
【易错警示】
- 性质：√a² = |a|，不是a（a 为负时易错）。
- 化简：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，分母不含根号。
- 运算：只有同类二次根式才能合并，勿将√a + √b = √(a+b)。
- 意义：√a 中a≥0，a 为负时无意义。
即时即练1.下列各式中，不属于二次根式的是（
）
A．
7
B．
2
b
C．
2
a
b
D．
2x
2.已知4
1
x
，化简：
2
2
8
16
2
2
1
x
x
x
x
．
知识点二最简二次根式与同类二次根式
1.最简二次根式
（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.同类二次根式
（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘
法分配律，如
)
0
(
)
(
m
a
a
n
m
a
n
a
【易错警示】
- 最简条件：被开方数不含分母、不含能开方的因数或因式，缺一不可。
- 同类判断：必须化为最简后，被开方数相同才是同类，不能只看表面。
- 运算：只有同类二次根式才能合并，系数相加减，根号部分不变。
即时即练1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A．12
B．
1
12
C．2
D．
4
2.若最简二次根式
2
4
a
与
3
a
可以合并，则a 的值为
．
知识点三二次根式的运算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法则：��= ��（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
（2）二次根式的乘法法则的推广:
①��∗
�= ���（a≥0；b≥0；c≥0）
②a �c �=ac ��（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，
即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
（3）二次根式的乘法法则的逆用：��= ��（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数
平方根的性质）
（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：����= ����（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0）
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法则：
b
a
b
a
0
,0
b
a
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
（2）二次根式的除法法则的推广：
)
0
,0
,0
(
c
b
a
c
b
a
c
b
a
.
3.二次根式的加减法
（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
（2）二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
4.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
【易错警示】
二次根式运算易错警示：
- 乘除：�∙
�= ��
(a,b≥0)，
�
�=
�
�
(a≥0,b>0)，勿忽略范围。
- 加减：先化最简，合并同类二次根式，系数相加减，根号不变。
- 结果：分母有理化，必为最简形式。
即时即练1.计算：
(1)
24
2
3 3
2
2 1
2
；
(2)
2
1 2 3
2
3
2
3
．
2.像( 5
2)( 5
2)
1
，
(
0)
a
a
a a
，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称
这两个代数式互为“有理化因式”．例如
5 与
5 ，
2
1
与
2
1
等都是互为“有理化因式”．进行二次根式
运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：①
2
3 2
．②
1
7
5
．
(2)计算
1
1
1
1
2025
1
2
1
3
2
4
3
2025
2024
(3)已知
2023
2022
a
，
2024
2023
b
，
2025
2024
c
，试比较a，b，c 的大小，并说明理由．
题型1
二次根式、最简二次根式、同类二次根式
例1．下列各式
2
1
x
，
3
，3 7 ，
2
1
a 中是二次根式的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
例2．下列根式中，与2 是同类二次根式的是（）
A．0.2
B．
4
C．12
D．
1
2
【技巧总结】
1. 化简：根号内不含开得尽方因子、不含分母，分母无根号。
2. 判同类：先化最简，再看被开方数是否相同。
3. 运算：合并同类二次根式，乘法用�∙
�= ��，除法有理化分母。
【变式训练1-1】下列二次根式中是最简二次根式的是（
）
A．
0.3
B．
1
2
C．
7
D．12
【变式训练1-2】下列各式化成最简二次根式正确的是（
）
A．
24
24
49
7
B．
3
5
5 15
C．
4
2
7
7
D．
30
0.3
10
题型2
根据二次根式有意义条件求范围
例3．若
3
x
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（
）
A．
3
x
B．
3
x
C．
3
x
D．
3
x
例4．若代数式
2
3
x
有意义，则x 的取值范围是（
）
A．
3
x
B．
3
x
C．
3
x
D．
3
x
【技巧总结】
1. 偶次根式：被开方数需≥0，分母含根式时不能为0。
2. 奇次根式：被开方数为全体实数。
3. 分式组合：同时满足分母不为0 和根式有意义，取交集。
4. 隐含条件：化简前先依原式列不等式，避免漏解。
【变式训练2-1】若二次根式
6
2x
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
．
【变式训练2-2】若代数式
3
2
1
x
x
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
．
题型3
根据二次根式有意义求值与化简
例5．若
1
x
2
0
y
，则x
y
的值为
．
例6．若
1
1
y
x
x
，则
2025
2025y
x
．
【技巧总结】
1. 由意义列式：偶次根式被开方数≥0，结合分母≠0，求出字母范围。
2. 化简代入：范围常隐含非负性（如a-2≥0, 2-a≥0 得a=2），直接化简原式求值。
3. 注意零与正负：避免平方开方时丢符号。
【变式训练3-1】已知
ABC
的三边分别为2, ,5
x
，化简
2
6
9
7
x
x
x
．
【变式训练3-2】已知点A、B、C 在数轴上表示的数a、b、c 的位置如图所示：
化简：3
3
2
b
a
b
c
．
题型4
含隐含条件的参数范围化简二次根式
例7．化简：
4
a
a
．
例8．化简二次根式
1
(
1) 1
a
a
．
【技巧总结】
1. 抓隐含条件：由被开方数非负、分母非零及等式约束（如a-3 与3-a 同时有意义）推出参数具体值或范围。
2. 判断符号：利用范围确定根号内字母的正负，去根号时加绝对值。
3. 化简合并：根据符号去掉绝对值，再合并同类项。
【变式训练4-1】化简：当
0
ab
时，
2
3
24a b
．
【变式训练4-2】把
1
a
b
a
b
根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果
是
．
题型5
复杂的复合二次根式化简
例9．阅读材料．
把根式
2
x
y
进行化简，若能找到两个数m、n，是
2
2
m
n
x
且mn
y
，则把
2
x
y
变成
2
2
2
2
m
n
mm
m
n
开方，从而使得
2
x
y
化简．
如：
2
2
2
3
2 2
1
2 2
2
1
2 1
2
2
1
2
1
2
1
2
解答问题：
(1)填空：
5
2 6
______，
7
4 3
______．
(2)
3
2 2
5
2 6
7
2 12
9
2 20
例10．有这样一类题目：将
2
a
b
化简，如果你能找到两个数m 、n ，使
2
2
m
n
a
且mn
b
，则将
2
a
b
将变成
2
2
2
m
n
mn
，即变成
2
m
n
开方，从而使得
2
a
b
化简．
例如，
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3
2
2 3
2
3
2
，
2
5
2 6
3
2
3
2
请仿照上例解下列问题：
(1) 8
2 15
；
(2)
8
48
．
【技巧总结】
1. 配方法：将根号内化为
�±
�
2，关键找两数积为根号下整数部分，和为有理数。
2. 设元法：整体平方或设x = �±
�解方程。
3. 消去法：利用平方差公式或共轭有理化，将嵌套逐层拆解。
【变式训练5-1】观察、思考、解答：
2
2
2
2
1
2
2 1
2
1
2
2 2
1
3
2 2
反之
2
3
2 2
2
2 2
1
2
1
2
3
2 2
2
1
3
2 2
2
1
(1)仿上例，化简：
6
2 5
______，
7
48
______．
(2)若
2
a
b
m
n
，则m、n 与a、b 的关系是什么？并说明理由；
【变式训练5-2】像
4
2 3,
48
45
，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助
构造完全平方式进行化简：
如：
2
2
2
4
2 3
3
2 3
1
3
2
3 1 1
3
1
3
，
再如：
2
2
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2 3
2
2
3
2
3
2
，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
9
2 14
(2)化简：8
4 3
(3)若
2
2
6 2
m
n
k
，且, ,
k m n 为正整数，求k 的值．
题型6
二次根式的混合运算
例11．计算：
(1) 3
6
8
；
(2)
3
1
2 12
3 2
8
3
4
2
．
例12．计算
(1)
3
2
3
2
；
(2)
20
5
1
6
3
5
【技巧总结】
1. 先化简：各根式化为最简，合并同类二次根式。
2. 巧用公式：乘法分配律、平方差、完全平方公式简化计算。
3. 分母有理化：遇分式乘共轭因式化去分母根号。
4. 整体代换：复杂式子先变形再代入，避免繁琐计算。
【变式训练6-1】计算：
(1)
1
1
4
48
24
6
2
3
2
；
(2)
3
3
0,
0
a
a
ab
a b
a
b
b
b
【变式训练6-2】计算：
(1)
1
48
12
3
(2)
1
27
3
18
24
3
(3)
45
5
(2
3)(2
3)
5
题型7
二次根式中的分母有理化
例13．[核心素养]阅读下面的解答过程：
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
；
1
3
2
1
3
2
3
2
3
2
3
2
；
……
根据以上解答过程解决下列问题：
(1)
1
5
2
；
(2)试求
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
79
80
80
81
的值．
例14．阅读材料：在解决问题“若
2
3
7
a
，求
2
2
12
5
a
a
的值”时，小俊是这样分析与解答的：
∵
2(3
7)
2(3
7)
3
7
9
7
(3
7)(3
7)
a
，∴
3
7
a
，∴
2
3
7
a
，∴
2
6
2
a
a
．
∴
2
2
2
12
5
2
6
5
2 ( 2)
5
9
a
a
a
a
．
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简：
1
4
15
；
(2)若
4
3
5
a
，求
2
2
12
1
a
a
的值．
【技巧总结】
1. 单一项：分子分母同乘根号本身，如
�
�=
��
�。
2. 两项和差：乘共轭因式（�±
�互为共轭），用平方差消根号。
3. 复杂分母：先分解部分分式或提取公因式，再有理化。
【变式训练7-1】阅读材料：
像
5
2
5
2
3
(
0)
1
1
1(
0)
a
a
a a
b
b
b
b
、
、
两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如，3 与
3 、2
1
与
2
1
、2 3
3 5
与2 3
3 5
等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算：
1
5
2
；
(2)计算：
1
1
1
1
1
2
2
3
3
2
2024
2025
．
【变式训练7-2】阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如3
5 、
2
3
、
2
3
1
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
3
3
5
3 5
5
5
5
5
（Ⅰ）
2
2 3
6
3
3 3
3
（Ⅱ）
2
2
2
3
1
2
3
1
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
（Ⅲ）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2
3
1
还可以用以下方法化简：
2
2
3
1
3
1
3
1
2
3 1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
（Ⅳ）
(1)请用不同的方法化简
2
5
3
①参照（Ⅲ）式得
2
5
3
；
②参照（Ⅳ）式得
2
5
3
；
(2)化简：
2
2
2
2
...
3
1
5
3
7
5
2
1
2
1
n
n
题型8
二次根式运算中的新定义型问题
例15．定义：若两个二次根式m ，n 满足m n
p
，且p 是有理数．则称m 与n 是关于p 的美好二次根式．
(1)若m 与2 是关于6 的美好二次根式，求m 的值：
(2)若1
3
与4
3m
是关于n 的美好二次根式，求m 和n 的值．
例16．对于任意的正数m ，n 定义运算※为：
(
)
(
)
m
n m
n
m
n
m
n m
n
※
.
(1)计算48 75
※
的结果；
(2)计算
3
2
12
8
※
※
的结果.
【技巧总结】
1. 读定义：明确新运算规则（如a⊕b= �2 + �2）。
2. 代公式：按规则代入数字或式子，保留括号。
3. 化简计算：严格进行二次根式化简、分母有理化等常规步骤。
4. 验结果：检查是否符合定义域及最简形式。
【变式训练8-1】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2 倍的三角形叫做奇异三角形．例
如，某三角形的三边长分别是2，4 和10 ，因为
2
2
2
2
4
20
2 ( 10)
，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若
ABC
的三边长分别是2，2 2 和
6 ，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由．
(2)若Rt
ABC
是奇异三角形，直角边的长为a，b（a
b
），斜边长为c，写出a 和b 的等量关系式．
【变式训练8-2】我们规定用
,a b 表示有序数对．给出如下定义：记
1
m
a
，n
b
，其中
0
a
，
0
b
，
将
,
m n 与
,n m 称为有序数对
,a b 的一对“对称数对”．例如；
4,1 的一对“对称数对”为
1 ,1
2
和
1
1, 2
．
(1)有序数对
4,3 的一对“对称数对”是＿＿＿；
(2)若有序数对
5, y 的一对“对称数对”相同，则y 的值为＿＿＿；
(3)若有序数对
,2
x
的一个“对称数对”是
2,2 3 ，则x 的值为＿＿＿；
(4)若有序数对
,a b 的一个“对称数对”是
3,3 2 ，求ab 的值．
题型9
二次根式运算中的规律探究问题
例17．观察下列各式及其验证过程：
2
2
2
2
3
3
．验证：
3
2
3
2
2
2
2
2
2 2
1
2
2
2
2
2
2
3
3
2
1
2
1
3
．
3
3
3
3
8
8
．验证：
3
2
3
2
2
3
3
3
3 3
1
3
3
3
3
3
8
8
3
1
3
1
8
．
(1)按照上述规律，直接写出
4
4 15
的结果是___________
(2)针对上述各式反映的规律，写出用
n n 为自然数，且
2
n
表示的等式，并给出证明．
例18．①
1
2
2
1
1
3
1
1
1
1
2
2
1 2
x
；
②
2
2
2
1
1
7
1
1
1
2
3
6
2 3
x
；
③
3
2
2
1
1
13
1
1
1
3
4
12
3 4
x
；
(1)写出
4x _________；
(2)猜想：
nx _________；
(3)由以上规律，计算
1
2
3
2023
2024
x
x
x
x
的值．
【技巧总结】
1. 观察特例：计算前几项结果，化为最简二次根式。
2. 找变与不变：注意根号内整数、系数的变化模式，区分循环或递推规律。
3. 猜想通项：用\(n\) 表示规律，验证首项。
4. 合并化简：运用平方差、分母有理化简化通项表达式。
【变式训练9-1】观察下列等式：
①
1
1
1
2
2
，
②
2
2
2
2
5
5
，
③
3
3
3
3
10
10
，
…
解答下列问题：
(1)根据上面3 个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；
(2)用含n（n 为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．
【变式训练9-2】观察下列各式
①
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1 2
；②
2
2
1
1
1
1
1
2
3
2 3
；③
2
2
1
1
1
1
1
3
4
3 4
……
请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：
(1)
2
2
1
1
1
6
7
_________；
(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n 为正整数）个等式：_________；
(3)用上述规律计算：
1
101
81
100
．
1．下列计算正确的是（
）
A．9
4
5
B．
9
4
13
C．
27
3
4 3
D．4 2
2
4
2．假设1
0
x
，那么
2
2
1
x
x
等于（
）
A．1
B．1
C．2
1
x
D．2
1
x
3．若把
1
x
x
中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（
）
A．
x
B．
x
C．
x
D．
x
4．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦‐秦
九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是, ,
a b c ，记
2
a
b
c
p
，那么三角形的面积
S
p p
a
p
b
p
c
．若一个三角形的周长为16，其中两边长分别为5 和6，则该三角形的面积为
（
）
A．12
B．6 3
C．9 5
D．15
5．使代数式
1
3
4
x
x
有意义，则x 的取值范围是_____．
6．3 与最简二次根式
1
1
n m
是同类二次根式，则mn __________．
7．若n 为正整数，且满足
3 2
1
n
n
，则n _______．
8．观察下列各式：①
1
2
1
3
3
3
；②
1
3
2
4
4
4
；③
1
4
3
5
5
5
，…请用含
1
n n
的式子写出你
猜想的规律：_________．
9．计算
(1)
3
2 12
2
4
；
(2)
18
98
27
．
10．计算：
(1)
1
18
27
6
8 2
(2)
2
2
6
3 1
2
1
2
1
3
11．若两个含有二次根式的代数式M ，N 满足M N
t
，其中t 是有理数，则称M 与N 是互为“t 相关代数
式”．
(1)若M 与2 是互为“6 相关代数式”，求代数式M ；
(2)若其中
3 6
M
a
（a 是有理数），
2
6
N
，且M 与N 是互为“t 相关代数式”，求a 和t 的值．
12．问题：已知
1
2
3
a
，求
2
2
8
1
a
a
的值．
小明是这样解答的：∵
1
2
3
1
2
3
2
3
2
3
2
3
a
，
∴
2
3
a
，
∴
2
2
2
2
8
1
2
2
7
2
3
7
1
a
a
a
．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
(1)请用以上方法化简：
1
7
6
；
(2)计算：
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
2025
2024
2026
2025
L L
；
(3)若
1
4
15
a
，求
2
5
40
54
a
a
的值．
