专题03 特殊的平行四边形
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
利用平行四边形的性质求角度或线段
题型2
平行四边形的性质和判定的综合问题
题型3
利用矩形的性质求解
题型4
矩形的性质与判定的综合问题
题型5
利用菱形的性质求解
题型6
菱形的性质与判定的综合问题
题型7
利用正方形的性质求解
题型8
正方形的性质与判定的综合问题
题型9
与特殊平行四边形的性质与判定有关的作图（含无刻度作图）
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 平行四边形对边平行且相等、对
角相等、对角线互相平分。
2. 矩形四个角直角、对角线相等。
3. 菱形四条边相等、对角线垂直平
分。
4. 正方形兼具矩形与菱形性质。
5. 判定方法综合运用（如添加条
件）。
6. 折叠、动点及最值问题。
1.
判定与性质辨析：重点考查从一般四边形到矩形、菱形、正
方形的判定路径，高频设置条件选择题（如“添加什么条件可判
定为菱形”）。
2.
折叠与动点问题：将折叠变换与平行四边形结合求线段长度，
或设置动点探究四边形形状，考查分类讨论与几何直观。
3.
对角线核心地位：充分利用对角线互相平分、垂直、相等等
性质进行证明或计算，常与勾股定理、面积法综合。
4.
实际情境应用：结合矩形裁剪、菱形花坛、正方形地砖等生
活问题，考查性质的实际运用。
考情解码：根据2026 年新教材考情，特殊的平行四边形是几何证明与计算的核心板块。命题聚焦从
边、角、对角线三个维度判定矩形、菱形、正方形，并灵活运用其性质（如矩形对角线相等、菱形对
角线垂直）解决线段长度、角度及面积问题。折叠变换、动点探究存在性及最值问题是压轴题高频方
向，同时强调与勾股定理、全等三角形的综合，考查逻辑推理与分类讨论思想。
知识点一平行四边形的概念及性质与判定
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
【易错警示】
- 性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，勿与矩形、菱形性质混淆。
- 判定：一组对边平行且相等是常用判定，勿只记“平行”或只记“相等”；对角线互相平分也是重要判定。
- 条件充分性：两组对角相等或两组对边相等均能判定，但一组邻角互补不一定。
即时即练1.如图，在
ABC
中，
90
ACB
D
，
为AB 边上一点，连接
,
CD E 为CD 中点，过点C 作CF
BD
∥
，
交BE 的延长线于点F，连接DF 交AC 于点G．
(1)判断四边形DBCF 的形状，并说明理由；
(2)若
30
A
，
4 3
AC
，
6
CF ．求AD 的长．
【答案】(1)平行四边形，理由见解析
(2)2
【分析】（1）通过平行线的性质证得CEF
DEB
≌
，可得CF
DB
，结合题意得CF
DB
∥
即可求证四边
形DBCF 是平行四边形；
（2）设BC
x
，根据题意可得
2
AB
x
，通过勾股定理求出AB ，即可求解AD ．
【详解】（1）解：四边形DBCF 是平行四边形，理由如下：
E
为CD 中点，
CE
DE
，
CF
BD
∥
，
CFE
DBE
，
FCE
BDE
，
在
CEF
△
和DEB
中，
CFE
DBE
FCE
BDE
CE
DE
，
AAS
CEF
DEB
≌
，
CF
DB
，
CF
DB
∥
，
四边形DBCF 是平行四边形．
（2）解：四边形DBCF 是平行四边形，
6
CF
BD
，
90
ACB
，
30
A
，
2
AB
BC
，
在Rt
ACB
△
中，
2
2
2
AC
BC
AB
，
设BC
x
，则
2
AB
x
，
2
2
2
4 3
2
x
x
，
解得
4
x
（负值舍去），
8
AB
，
8
6
2
AD
AB
BD
．
2 已知，如图，ABCD
的对角线AC ，BD 相交于点O，EF 过点O，分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接AF ，
CE ．
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)若
8
AD
AC
，
4
CD
，则
ABCD
的边BC 上的高为________．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 15 ．
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AD
BC
∥
，OA
OC
，由平行线的性质得出
OAE
OCF
，由“ASA ”
证明
AOE
COF
△
≌△
，由全等三角形的性质得出AE
CF
，证出四边形AFCE 为平行四边形即可；
（2 ）过点A 作AM
CD
于点M ，AN
BC
于点N ，利用等腰三角形的性质求出AM ，利用面积法求出AN
即可.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD
BC
∥
，OA
OC
，
∴
OAE
OCF
，
在
AOE
△
和
COF
中，
OAE
OCF
AO
CO
AOE
COF
，
∴
ASA
AOE
COF
≌
，
∴AE
CF
，
又∵AE
CF
∥
，
∴四边形AFCE 是平行四边形；
（2）解：过点A 作AM
CD
于点M ，AN
BC
于点N ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴
8
AD
BC
，
∵
8
AD
AC
，
4
CD
，AM
CD
，
∴
2
CM
DM
，
∴
2
2
2
2
8
2
2 15
AM
AD
DM
，
∴BC AN
CD AM
，
∴
2 15
4
15
8
AN
，
∴
ABCD
的边BC 上的高为15 ，
故答案为：15 ．
知识点二矩形的概念及性质与判定
1.矩形的概念和性质
（1）有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平
行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
【易错警示】
- 性质：具平行四边形所有性质，且四个角为直角、对角线相等。勿遗漏对角线相等。
- 判定：一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形也是矩形。勿用“对角线相等且垂直”。
- 混淆：勿将矩形性质（对角线相等）与菱形（对角线垂直）记混。
即时即练1.如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O，AE 平分
BAD
交BC 于点E ．若
30
ODA
，
则BOE 的度数为_____．
【答案】75/75度
【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，可求得
BAE
BEA
，得到AB
BE
，进
而求得ABO
为等边三角形，得到BE
OB
．
【详解】∵AE 平分
BAD
，
∴
1
45
2
BAE
BAD
．
∴
90
45
BEA
BAE
．
∴
BAE
BEA
．
∴AB
BE
．
∵四边形ABCD 为矩形，
∴OD
OA
OB
，AD
BC
∥
．
∴
30
ODA
OAD
，
30
OBE
ODA
．
∴
90
60
BAO
OAD
．
∴ABO
为等边三角形．
∴AB
OA
OB
．
∴BE
OB
．
∴
1 180
75
2
BOE
BEO
OBE
．
故答案为：75
2.如图，在
ABC
中，
4
AB
AC
，D 为BC 中点，四边形ACDE 是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE 是矩形；
(2)过点E 作EH
AB
于点H，若
3
HEB
HEA
，求AH 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
2
2
AH
【分析】（1）通过等腰三角形三线合一，可得BD
CD
，AD
BC
，结合四边形ACDE 是平行四边形，
AE
BD
，AE
BD
，从而得证；
（2）不妨设
HEA
，那么
3
3
HEB
HEA
，先求得
22.5
，接着通过外角求得
EOH
，得到
EOH
△
为等腰直角三角形，结合矩形的性质以及勾股定理，可求得OH ，最后通过AO
OH
可求得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ACDE 是平行四边形，
∴AE
CD
∥
，AE
CD
．
∵AB
AC
，D 为BC 的中点，
∴BD
CD
，AD
BC
．
∴AE
BD
，AE
BD
，
∴四边形ADBE 是平行四边形．
又∵
90
ADB
∴平行四边形ADBE 是矩形．
（2）解：不妨设
HEA
，那么
3
3
HEB
HEA
，
∴
4
BEA
HEA
HEB
，
∵四边形ADBE 是矩形，
4
AB
，
∴
4
90
BEA
，
1
1
2
2
2
EO
AO
ED
AB
，
∴
22.5
，
∴
22.5
OEB
OBE
，
∴
45
EOH
OEB
OBE
，
∵EH
AB
，
∴
45
OEH
，
∴EH
OH
，
∵
2
2
2
2
2
EH
OH
OE
OH
，
∴
2
2
2
EH
OH
OE
，
∴
2
2
AH
AO
OH
．
知识点三菱形的概念及性质与判定
1.菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，
还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
2.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【易错警示】
- 性质：具平行四边形所有性质，且四边相等、对角线互相垂直平分并平分内角。勿漏对角线平分内角。
- 判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形也是菱形。勿只用“对角线垂直”
（还需平行四边形条件）。
- 面积：可用对角线积的一半，勿只记底乘高。
即时即练1.如图，边长为5 的菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O，E 是AB 的中点，则EO 的长为
_____________．
【答案】5
2
【分析】根据菱形的性质可得
5
AB
，AC
BD
，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，且边长5，
5
AB
，AC
BD
，
90
AOB
∴
，
∵E 是AB 的中点，
1
5
2
2
OE
BE
AB
．
2.如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O，延长CD 至点E，使得
2
CE
BC
，连接BE 交AD 边于
点F，点D、F 分别是CE 、BE 的中点，
1
2
DF
AD
．
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)若
6
AC
，
9
OB
BC
，求四边形ABCD 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 24
【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理；
（1）先证明
SAS
AFB
DFE
△
≌△
得到AB
DE
∥
，AB
DE
，得出四边形ABCD 是平行四边形，再证明邻
边BC
CD
即可；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB ，
4
OBC
ABCD
S
S
△
四边形
即可求出四边形ABCD 的面积．
【详解】（1）证明：∵点D、F 分别是CE 、BE 的中点，
1
2
DF
AD
，
∴BE
EF
，AF
FD
，CD
DE
，
又∵
AFB
DFE
，
∴
SAS
AFB
DFE
△
≌△
，
∴AB
DE
CD
ABF
DEF
，
，
∴AB
DE
∥
，即AB
CD
，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵
2
CE
BC
，
2
CE
CD
，
∴BC
CD
，
∴四边形ABCD 是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴
1
3
2
AO
OC
AC
，AC
BD
，
∵
9
OB
BC
，
∴设OB
x
，则
9
BC
x
，
∵
2
2
2
OB
OC
BC
，
∴
2
2
33
9
x
x
，解得：
4
x
，
∴
4
OB
，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴
1
1
4
4
4
4 3
24
2
2
BOC
ABCD
S
S
OB OC
△
四边形
．
知识点四正方形的概念及性质与判定
1.正方形的概念、性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是
有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
【易错警示】
- 性质：具矩形和菱形所有性质（四边等、四角直角、对角线垂直且相等）。
- 判定：先证矩形再加邻边相等或对角线垂直；或先证菱形再加一个直角或对角线相等。勿只证一组条件就
下结论。
- 混淆：勿将正方形性质误作仅矩形或菱形特有。
即时即练1.如图，P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA ，PB，PC ，PD ．若PAB
是等边三角形，则
DPA
的度数是______．
【答案】75/75 度
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据正方形的性质，等
边三角形的性质可得
30
DAP
，AP
DA
，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
,
90
AD
AB
DAB
CBA
，
∵PAB
是等边三角形，
∴
60 ,
PAB
PA
AB
，
∴
30
DAP
，AP
DA
，
∴
180
75
2
DAP
DPA
．
故答案为：75
2.如图，在四边形ABCD中，AD
BC
∥
，AB
BC
，
90
A
，点E 在CD边上，点F 是AD 边的中点，
且AB
CF
，FE
CD
于点E ，延长FE 交BC 的延长线于点G ，连接BF ．
(1)求证：四边形ABCF 是正方形；
(2)若
4
BF
，求BG 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
4 2
BG
【分析】本题考查正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题
的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
（2）证明BFG
是等腰直角三角形可得结论．
【详解】（1）证明：∵AB
CF
，AD
BC
∥
，
∴四边形ABCF 是平行四边形，
∵
90
A
，
∴四边形ABCF 是矩形，
∵AB
BC
，
∴四边形ABCF 是正方形；
（2）解：∵四边形ABCF 是正方形，
∴BC
AF
，
45
FBC
，
∵点F 是AD 的中点，
∴AF
DF
，
∴DF
BC
，
∵BC
DF
∥
，
∴四边形BCDF 是平行四边形，
∴BF
CD
∥
，
∵EF
CD
，
∴BF
EF
，
∴BFG
是等腰直角三角形，
∴
2
4 2
BG
BF
．
题型1
利用平行四边形的性质求角度或线段
例1．如图，平行四边形ABCD 的一个外角为38，则
A
的度数为
．
【答案】142
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补．
利用已知可先求出
142
BCD
，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求
A
的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴
A
BCD
，
∵平行四边形ABCD 的一个外角为38，
∴
142
BCD
，
∴
142
A
．
故答案为：142．
例2．如图，在
ABCD
中，对角线AC，BD 交于点O．若
4
AB
，
6
AC
，
10
BD
，则BC 的长为
．
【答案】2 13
【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键；
利用平行四边形的性质求得AO 、BO的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
1
3
2
OA
OC
AC
，
1
2
5
OB
OD
BD
．
在ABO
中，
∵
4
AB
，
3
OA ，
5
OB
，
∴
2
2
2
AB
OA
OB
，
∴ABO
是直角三角形，且
90
BAO
．
在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
2
4
6
2 13
BC
AB
AC
．
故答案为：2 13 ．
【技巧总结】
1. 对边平行：得同位角、内错角相等，结合邻角互补求角度。
2. 对边相等、对角线互分：转移线段或证全等，利用中点或等长求线段。
3. 设未知列方程：将条件转化为含未知数的等式，解出角度或边长。
【变式训练1-1】如下图，在ABCD 中，按如下步骤作图：①以点D 为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA 、
DC 于E、F 两点；②分别以点E、F 为圆心，大于EF 的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线DG
交CB 的延长线于点M．如果
120
A
，
6
AB
，
3
BC ，则BM 的长为
．
【答案】3
【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答
本题的关键．由作图过程可知，DM 为
ADC
的平分线，可得
ADM
CDM
．由平行四边形的性质可
得
6
CD
AB
，AD
BC
∥
，则
ADM
CMD
，进而可得
6
CM
CD
，再根据BM
CM
BC
可得答
案．
【详解】解：由作图过程可知，DM 为
ADC
的平分线，
ADM
CDM
．
四边形ABCD 为平行四边形，
6
CD
AB
，AD
BC
∥
，
ADM
CMD
，
CDM
CMD
，
6
CM
CD
，
6
3
3
BM
CM
BC
．
故答案为：3．
【变式训练1-2】如图，在
ABCD
中，
60 ,
1,
2
B
AB
BC
，将AB 绕点A 逆时针旋转角
0
360
得到AP ，连接
,
PC PD ．当
PCD
△
为等腰三角形时，PD 的值为
．
【答案】1 或
3 或
7
【分析】分三种情况讨论，①点P 在BC 上，则PAB
是等边三角形，可证明PC
CD
，则
PCD
△
是等腰三
角形，根据勾股定理即可得到结论，②点P 在AD 上，可证明PD
AP
AB
CD
，则
PCD
△
是等腰三角形，
根据等边三角形的性质即可得到结论；③
PCD
△
是等腰三角形，且PC
PD
，作PE
CD
于点E ，交AD 于
点F ，则DE
CE
，可证明
2
AD
CD
，再推导出
1
2
AF
DF
AD
，则AF
AP
，所以
30
APF
AFP
，
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：①如图1，当点P 在BC 上时，
由旋转得AP
AB
，
60 ,
1,
2
B
AB
BC
，
∴PAB
是等边三角形，
1
1
2
AP
BP
AB
BC
，
60
APB
，
PC
BP
AB
，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
,
,
2
AB
CD AD
BC AD
BC
∥
，
PC
CD
，
∴
PCD
△
是等腰三角形，
180
120
C
B
，
30
CPD
CDP
，
∵
60
APB
，
90
APD
，
2
2
2
2
2
1
3
PD
AD
AP
；
②如图2，当点P 在AD 上时，
1
,
2
AP
AB
BC BC
AD
，
1
2
AP
AD
，
1
PD
AP
AB
CD
，
∴
PCD
△
是等腰三角形，
即当
PCD
△
是等腰三角形，PD
CD
时，
1
PD ；
③如图3，
PCD
△
是等腰三角形，且PC
PD
，作PE
CD
于点E ，交AD 于点F ，
则DE
CE
，
,
2
,
AD
BC BC
AB AB
CD
，
2
AD
CD ，
90 ,
60
FED
EDF
B
，
30
AFP
DFE
，
2
DF
DE
CD
，
2
AD
DF
，
1
1
2
AF
DF
AD
，
由旋转得AP
AB
，
AF
AP
，
30
APF
AFP
，
过点A 作AH
PF
，
则PH
FH
，
1
1
2
2
AH
AF
，
3
2
2
3
3,
3
2
PF
FH
AH
EF
DE
，
3 3
2
PE
，
2
2
7
PD
PE
DE
；
综上所述，
1
PD 或
3 或
7 ，
故答案为：1 或
3 或
7 ．
题型2
平行四边形的性质和判定的综合问题
例3．如图，在四边形ABCD 中，
90
ACB
CAD
，点E 在BC 上，AE
DC
∥
．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若
60
3
D
AE
BE
AD
，
，
，求AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6 3
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行
四边形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据已知得出AD
CE
∥
，进而根据AE
DC
∥
，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得
证；
（2）根据题意得出
1
30
2
B
AEC
，进而根据含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AC ，即
可求解．
【详解】（1）证明：
90
ACB
CAD
，
AD
CE
∥
；
又AE
DC
∥
，
四边形AECD 是平行四边形；
（2）四边形AECD是平行四边形，
60
D
，
60
AEC
D
；
AE
BE
，
1
30
2
B
AEC
；
90
60
3
CAD
D
AD
，
，
，
2
6
CD
AD
，
2
2
3 3
AC
CD
AD
；
90
30
ACB
B
，
，
2
6 3
AB
AC
．
例4．如图，在
ABC
中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，连接AE，ED，过点C 作CF
AE
∥
交ED 的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形．
(2)若
2
BC
CE
，
ABC
的面积为8，求CDF
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
2
CDF
S
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的
关键．
（1）由两直线平行，内错角相等可得到
CFD
AED
，由中点的性质得到CD
AD
，接着通过AAS判定
CDF
ADE
≌
，由全等三角形的性质得到DF
DE
，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证
四边形AFCE 是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得
2
AFCE
ACE
S
S
，根据
2
BC
CE
，结合等高的三角形的面积比等于底之比得
到2
ACE
ABC
S
S
，由此可求出CDF
的面积．
【详解】（1）证明：
CF
AE
，
CFD
AED
．
D
是AC 的中点，
CD
AD
．
在CDF
和
ADE
中，
,
,
,
CFD
AED
FDC
EDA
CD
AD
AAS
CDF
ADE
≌
，
DF
DE
，
∴四边形AFCE 是平行四边形．
（2）解：∵四边形AFCE 是平行四边形，
2
AFCE
ACE
S
S
．
2
BC
CE
，
ACE
△
的CE 边上的高与
ABC
的BC 边上的高相等，
2
ACE
ABC
S
S
，
8
AFCE
ABC
S
S
，
1
1
8
2
4
4
CDF
AFCE
S
S
．
【技巧总结】
1. 判平行四边：从边（平行或相等）、角、对角线三个方向找依据。
2. 搭桥转化：利用性质得边角等量关系，再用判定证另一组四边形。
3. 连对角线：构造全等三角形，转移条件，连接已知与未知。
【变式训练2-1】如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，点D 是AB 边上一点，且BC
DC
，点E 是CD 延长
线上一点，且CD
DE
，点F 在AB 上，且BD
DF
．
(1)求证：四边形CBEF 为平行四边形；
(2)若
5
CF
CD
，求四边形CBEF 的周长；
(3)过点D 作DG
CE
^
交BE 于点G ，判断
BDG
和
CAD
的大小关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形CBEF 的周长为10
(3)
BDG
CAD
，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌
握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解；
（2）根据平行四边形的对边分别相等，结合
5
CF
CD
，BC
DC
，即可求解；
（3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：CD
DE
，BD
DF
，
四边形CBEF 是平行四边形；
（2）四边形CBEF 是平行四边形，
CF
BE
，BC
EF
，
5
CF
CD
，BC
DC
，
5
CF
BC
，
平行四边形CBEF 的周长为：
2
10
CF
BC
BE
EF
CF
BC
；
（3）DG
CE
^
，
90
GDC
，
即
90
BDG
CDB
，
Rt
ABC
△
中，
90
ACB
，
90
CAD
CBD
，
BC
DC
，
CDB
CBD
，
BDG
CAD
．
【变式训练2-2】如图，在
ABC
中，BD ，CE分别是边AB ，AC 上的中线，BD 与CE相交于点O，点M ，
N 分别是OB ，OC 的中点．
(1)求证：四边形DEMN 是平行四边形；
(2)求证：
2
OB
OD
；
(3)试猜想
DEMN
S四边形
与
ABC
S
的数量关系并给予证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
1
3
ABC
DEMN
S
S
四边形
，证明见解析．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题．
（1）利用三角形中位线定理，分别证明DE 和MN 都平行且等于BC 的一半，从而得到DE 与MN 平行且相
等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证；
（2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OD
OM
，结合M 是OB 中点的条件，即可推导出
2
OB
OD
；
（3）将四边形DEMN 的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等
于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出
另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和ABC
的面积，把两部分面积合并得证．
【详解】（1）解：∵BD ，CE分别是边AB ，AC 上的中线，
∴D 是AC 的中点，E 是AB 的中点，
∴DE 是ABC
的中位线，
∴DE
BC
，且
1
2
DE
BC
；
又∵点M ，N 分别是OB ，OC 的中点，
∴MN 是OBC
的中位线，
∴MN
BC
，且
1
2
MN
BC
；
∴DE
MN
，且DE
MN
，
∴四边形DEMN 是平行四边形；
（2）解：∵四边形DEMN 是平行四边形，
∴OD
OM
；
又∵M 是OB 的中点，
∴
2
OB
OM
，
∴
2
OB
OD
；
（3）解：猜想
1
3
ABC
DEMN
S
S
四边形
，证明如下：
由（1）BM
MO
OD
，EO
ON
NC
，
∴
BEM
MEO
EOD
S
S
S
，
1
3
EO
EC
，
∴
EMD
EBO
S
S
．
∵BEO
与BEC
同高，
∴
1
3
EMD
EBO
BEC
S
S
S
，
同理可得：
1
3
EDN
AEC
S
S
．
又
EMD
EDN
DEMN
S
S
S
四边形
，
BEC
AEC
ABC
S
S
S
，
∴
1
1
1
1
3
3
3
3
BEC
AEC
BEC
AEC
ABC
DEMN
S
S
S
S
S
S
四边形
．
题型3
利用矩形的性质求解
例5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，
50
AOB
Ð
=
°，AE
AO
，则
DEO
的度数
为
．
【答案】102.5°
【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键．
由四边形是矩形，得出AO
BO
，由
50
AOB
，进而得到
65
OAB
OBA
，根据AE
AO
得到
77.5
AEO
AOE
，进而得到
102.5
DEO
．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO
BO
，
∵
50
AOB
，
∴
65
OAB
OBA
，
∴
25
EAO
，
∵AE
AO
，
∴
77.5
AEO
AOE
，
∴
102.5
DEO
故答案为：102.5．
例6．如图，P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF
BC
∥
，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连
接PB，PD ．若
2
AE
，
6
PF
，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】12
【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个
规则图形的面积来计算．
【详解】解：如图，过点P 作MN
AD
于点M ，交BC 于点N ，则四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边
形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形．
∴
ADC
ABC
S
S
△
△
，
AMP
AEP
S
S
，
PBE
PBN
S
S
，
PFD
PMD
S
S
△
△
，
PFC
PNC
S
S
△
△
，
2
MP
AE
DF
，
1
2 6
6
2
DFP
PBE
S
S
△
△
，
6
6
12
S
阴影
．
故答案为：12．
【技巧总结】
1. 借直角：用勾股定理求对角线或边长，设未知列方程。
2. 用对角线：对角线相等且互相平分，得等腰三角形，转移角度。
3. 遇中点：连接对角线或利用斜边中线等于斜边一半求线段。
4. 面积法：不同边与高乘积相等求未知量。
【变式训练3-1】已知，矩形ABCD 中
3
AB
E
，
为AB 上一点，且
1
AE
F
，
为BC 上一点，且
1
BF ，连
接DE ，EF ，DF ．若DEF
是直角三角形，则BC 的长为
．
【答案】2 或7
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理及分类讨论思想．关键是由于DEF
的直角顶点不确定，需分三
种情况(
90
DEF
、
90
EDF
、
90
DFE
)讨论，利用勾股定理列出方程求解，同时验证解是否符
合矩形边长的实际意义．
【详解】解：如图，设BC 的长为x ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
A
B
C
，AD
BC
x
，
3
CD
AB
．
由
1
AE ，得
3 1
2
EB
AB
AE
；
由
1
BF ，得
1
FC
BC
BF
x
．
在Rt ADE
中，
2
2
2
2
1
DE
AD
AE
x
；
在Rt BEF
中，
2
2
2
5
EF
EB
BF
；
在Rt DCF
中，
2
2
2
2
2
2
3
(
1)
2
10
DF
DC
FC
x
x
x
．
①若
90
DEF
，则
2
2
2
DE
EF
DF
，
即
2
2
1
5
2
10
x
x
x
，解得
2
x
；
此时
2 1 1
0
FC
，符合题意．
②若
90
EDF
，则
2
2
2
DE
DF
EF
，
即
2
2
1
2
10
5
x
x
x
，化简得
2
3
0
x
x
，
∵判别式
2
Δ
( 1)
4 1 3
1 12
11
0
，
∴该方程无实数根，此情况不存在．
③若
90
DFE
，则
2
2
2
EF
DF
DE
，
即
2
2
5
2
10
1
x
x
x
，
解得
7
x
；
此时
7 1
6
0
FC
，符合题意．
综上，BC 的长为2 或7 ．
故答案为：2 或7 ．
【变式训练3-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为
10,0 ，
0,3 ，点D
为
5,0 ，点P 在线段BC 上运动，当ODP
是腰长为5 的等腰三角形时，点P 的坐标为
．
【答案】
1,3 或
4,3 或
9,3
【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据ODP
是
腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当OP
OD
时，以及当OD
PD
时，分别进
行讨论得出P 点的坐标．
【详解】解：矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为
10,0 ，
0,3 ，点D 为
5,0 ，
∴
10,
3,
5
BC
OA
AB
OC
OD
，
过P 作PM
OA
于M ，
①当OP
OD
时，如图1 所示：
5
OP
，
3
CO
，
由勾股定理得：
4
CP
，
4,3
P
；
②当OD
PD
时，
如图2 所示：
5
PD
DO
，
3
PM
，
由勾股定理得：
4
MD
，
CP
5
4
1
OM
，
1,3
P
；
如图3 所示：
5
PD
DO
，
3
PM
，
由勾股定理得：
4
MD
，
CP
OM
9
，
9,3
P
；
综上，满足题意的点P 的坐标为
1,3 或
4,3 或
9,3 ，
故答案为：
1,3 或
4,3 或
9,3 ．
题型4
矩形的性质与判定的综合问题
例7．如图，在
ABCD
中，AE
BC
于点E，延长BC 至点F，使CF
BE
，连接DF ，AF 与DE 交于点O．
(1)求证：四边形AEFD 为矩形；
(2)若
3
AB ，
2
OE
，
5
BF
，求AE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2.4
【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性
质推出AD
EF
，由勾股定理的逆定理判定ABF 是直角三角形，
（1）由平行四边形的性质推出AD
BC
∥
，AD
BC
，得到EF
BC
，判定四边形AEFD 是平行四边形，
而
90
AEF
，即可证明四边形AEFD 是矩形．
（2）由勾股定理的逆定理判定
ABF
△
是直角三角形，由三角形面积公式得到5
3
4
AE
，即可求出AE ．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD
BC
∥
，AD
BC
，
∵CF
BE
，
∴CF
CE
BE
CE
，
∴EF
BC
，
∴EF
AD
，
∵AD
EF
，
∴四边形AEFD 是平行四边形，
∵AE
EF
，
∴
90
AEF
，
∴四边形AEFD 是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形AEFD 是矩形，又
2
OE
，
∴
2
2 2
4
AF
DE
OE
，
∵
3
AB ，
5
BF
，
∴
2
2
2
AB
AF
BF
，
∴
ABF
△
是直角三角形，
∴
ABF
△
的面积
1
1
2
2
BF AE
AB AF
，
∴5
3
4
AE
，
∴
2.4
AE
．
例8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，点O是AC 、BD 的中点，点E 在四边形ABCD
外，连接AE
CE
EO
、
、
，且
90
AEC
，
2
BD
EO
．
(1)求证：四边形ABCD 是矩形；
(2)若
2
AB
，
120
AOD
，求矩形ABCD 的面积
【答案】(1)见解析
(2)4 3
【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性
质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）首先根据O为BD 和AC 的中点，得出四边形ABCD 是平行四边形，在Rt
AEC
△
中
1
2
EO
AC
，结合
2
BD
EO
，得到AC
BD
，可证出结论．
（2）根据矩形性质求出
90
BAD
，求出
30
BDA
，根据直角三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：∵O是AC 、BD 的中点，
∴
,
AO
CO BO
DO
，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵
90
AEC
，
∴
2
AC
EO
，
∵
2
BD
EO
，
∴AC
BD
，
又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴平行四边形ABCD 是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA
OD
，
∵
120
AOD
，
30
OAD
ODA
，
∵四边形ABCD 是矩形，
90
BAD
，
2
4
BD
AB
，
2
2
2
2
4
2
2 3
AD
BD
AB
，
2 3
2
4 3
ABCD
S
AD AB
矩形
．
【技巧总结】
1. 先证平行四边：从对边平行或相等、对角相等、对角线互分入手。
2. 再加直角：一个直角即矩形；或对角线相等直接得矩形。
3. 借性质算量：证得矩形后，用对角线相等、勾股定理、面积法求边长或角度。
【变式训练4-1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O，点E 是AB 的中点，连接OE ，
过点E 作EF
BC
于点F，过点O 作OG
BC
于点G．
(1)求证：四边形EFGO是矩形．
(2)若四边形ABCD 是菱形，
10
AB
，且
4
5
EO
AO
，求
AEO
△
的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)125 39
64
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、三
角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证OE 是
ABC
的中位线，得OE
BC
∥
，由EF
BC
，OG
BC
，得EF
OG
∥
，
90
EFG
，即
可解答；
（2）过点E 作EH
OA
于H，证
AEO
△
是等腰三角形，得
8
5
EO
HO
，由勾股定理求出HO 、EH 即可解答；
【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA
OC
，
∵点E 是AB 的中点，
∴OE 是
ABC
的中位线，
∴OE
BC
∥
，
∵EF
BC
，OG
BC
，
∴EF
OG
∥
，
90
EFG
，
∴四边形EFGO是矩形，
（2）解：过点E 作EH
OA
于H，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴
10
AB
BC
，OA
OC
，
∵点E 是AB 的中点，
∴OE 是
ABC
的中位线，
∴OE
BC
∥
，
∴
1
1
10
5
2
2
AE
OE
AB
，
∴
AEO
△
是等腰三角形，
∴
1
2
AH
OH
AO
，
∵
4
5
EO
AO
，
∴
4
2
5
EO
HO
即5
8
5
HO
，
∴
25
8
HO
，
25
4
AO
，
∴，
2
2
2
2
25
5 39
5
8
8
EH
EO
HO
∴
1
1
25
5 39
125 39
2
2
4
8
64
AEO
S
AO EH
．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上．点D 在
BC 上，过点D 作DE
AD
分别交x 轴、y 轴于点E ，F ，过点E 作EG
DE
交y 轴于点G ，连接AG ，
DA
EG
．
(1)求证：四边形ADEG 是矩形．
(2)连接DG 交x 轴于点H ，已知点B 的坐标为
6,4 ．
①求OG 的长；
②请直接写出点H 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①
4
OG
②5 ,0
3
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握先判定平行四边形再
结合直角判定矩形，利用全等和勾股定理计算边长与坐标是解题的关键．
（1）先证明四边形ADEG 是平行四边形，再结合一个直角判定为矩形；
（2）①通过证明三角形全等，得到OG 与AB 相等，从而求OG 的长；
②由（2）①的全等三角形结论得到OE
BD
，结合OA的长度求出AE 的长度；再利用矩形对角线互相平分
的性质得到
1
2
EH
AE
；最后通过线段的和差计算出OH 的长度，从而确定H 点坐标．
【详解】（1）证明：
DE
AD
，EG
DE
，
AD
EG
∥
．
DA
EG
，
∴四边形ADEG 是平行四边形．
（2）解：①∵四边形OABC 为矩形，点B 的坐标为
6,4 ，
6
OA
BC
，
4
OC
AB
，OA
BC
∥
，
90
B
Ð
=
°，
BDA
OAD
，
90
B
EOG
．
由（1）知，四边形ADEG 是矩形，
AD
GE
，AD
GE
∥
，
OAD
OEG
，
BDA
OEG
．
在
ABD
△
和GOE
中，
B
EOG
BDA
OEG
AD
GE
AAS
ABD
GOE
≌
，
4
OG
AB
．
②由（2）①知，
8
3
OE
BD
，
8
26
6
3
3
AE
OE
OA
．
∵四边形ADEG 为矩形，对角线AE ，DG 交于点H ，
1
13
2
3
EH
AE
，
13
8
5
3
3
3
OH
EH
OE
，
点H 的坐标为5 ,0
3
．
题型5
利用菱形的性质求解
例9．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，在DB上截取DE ，使得DE
DC
，连接CE ，若
68
ADC
，
则
DEC
的度数为
．
【答案】73/73 度
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据菱形的性质得到
1
34
2
CDB
ADC
，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，
68
ADC
，
∴
1
34
2
CDB
ADC
，
∵DE
DC
，
∴
1 180
73
2
DEC
DCE
CDE
．
故答案为：73．
例10．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O，DH
AB
于点H ，连接OH ，若
48
BAD
，
则
DHO
的度数是
．
【答案】24/24 度
【分析】利用菱形性质得出BO
DO
，可知OH 为
DHB
△
斜边中线，结合等腰三角形的性质求出
HOB
，
利用外角即可求出
DHO
的值．
【详解】解：四边形ABCD 是菱形，
BO
DO
，AD
BC
∥
，
1
2
ABD
ABC
，
AD
BC
，
180
132
ABC
BAD
，
1
66
2
ABD
ABC
，
DH
AB
，DO
BO
，
1
2
HO
BD
BO
，
66
OHB
OBH
，
180
48
HOB
OHB
OBH
，
90
24
BDH
HBD
，
48
24
24
DHO
HOB
BDH
．
故答案为：24．
【技巧总结】
1. 四边相等：转移线段，证等腰三角形，求周长或边长。
2. 对角线垂直平分：得四个直角三角形，用勾股定理求对角线长或面积。
3. 面积公式：\( \text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{对角线乘积} = \text{底} \times \text{高} \)，灵活转换。
【变式训练5-1】中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小
敏家有一个菱形中国结装饰．测得
5cm
AB
，
6cm
AC
，则该菱形的面积是
2
cm ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是掌握以上性质．
根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面
积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，
,
AC BD 交于点O，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴
1
3cm,
2
2
OA
OC
AC
BD
OB
，
90
AOB
，
由勾股定理得
2
2
25
9
4cm
OB
AB
OA
，
∴
2
8cm
BD
OB
，
∴该菱形的面积是
2
1
1
6 8
24cm
2
2
AC BD
故答案为：24．
【变式训练5-2】如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，
6
BD
，
8
AC
，点E 是CD 边上的
一个动点，过点E 作EF
OC
于点F ，EG
OD
于点G ，连接FG ，则FG 的最小值为
．
【答案】2.4
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，由菱形的性质可得AC
BD
，
1
3
2
OD
BD
，
1
4
2
OC
AC
，即得
2
2
5
CD
OD
OC
，四边形OGEF 是矩形，连接OE ，可知OE
FG
，
可得当OE
DC
时，OE 取最小值，此时FG 的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识
点是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，
6
BD
，
8
AC
，
∴AC
BD
，
1
3
2
OD
BD
，
1
4
2
OC
AC
，
∴
2
2
2
2
3
4
5
CD
OD
OC
，
∵EF
OC
于点F ，EG
OD
于点G ，
∴
90
GOF
EFO
EGO
，
∴四边形OGEF 是矩形，
连接OE ，则OE
FG
，
当OE
DC
时，OE 取最小值，此时FG 的值最小，
∵
1
1
·
·
2
2
COD
S
CD OE
OD OC
，
∴1
1
5
3 4
2
2
OE
，
解得
2.4
OE
，
∴FG 的最小值为2.4 ，
故答案为：2.4 ．
题型6
菱形的性质与判定的综合问题
例11．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O，E 为BC 的中点，连接OE 并延长至点F ，使EF
EO
，
连接BF 和CF ．
(1)求证：四边形OBFC 是菱形；
(2)若
4 5
AB
，
6
AD
，求菱形OBFC 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12 5
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形OBFC 是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形
是菱形可得结果；
（2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出
1
2
EF
EO
AB
，利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵点E 为BC 的中点，且EF
EO
，
∴四边形OBFC 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是矩形，
OC
OB
，
∴四边形OBFC 是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，且
6
AD
，
∴
6
BC
AD
，OA
OC
，
又∵点E 为BC 的中点，
∴EO 是
ABC
的中位线，
∴
1
2
EO
AB
，
∴
1
2
EF
EO
AB
，
∴OF
AB
，
∵
4 5
AB
，
∴
4 5
OF
AB
，
由（1）可知：四边形OBFC 是菱形，
∴菱形OBFC 的面积为：1
1
4 5
6
12 5
2
2
OF BC
．
例12．如图，在四边形ABCD 中，AB
DC
∥
，AB
AD
，对角线AC
BD
，
交于点O
AC
，
平分
BAD
，过
点C 作CE
AB
，交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
(1)求证：四边形ABCD 是菱形．
(2)若
2
OE
BD
，求四边形ABCD 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)4
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱
形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证CD
AD
，再证四边形ABCD 是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质求出AC ，BD ，然后利用菱形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：
AB
DC
∥
，
OAB
DCA
．
AC
为
DAB
的平分线，
OAB
DAC
，
DCA
DAC
，
CD
AD
．
AB
AD
，
AB
DC
．
AB
DC
∥
，
四边形ABCD 是平行四边形．
AD
AB ，
平行四边形ABCD 是菱形．
（2）解：四边形ABCD 是菱形，
OA
OC
BD
AC
，
．
CE
AB
，
OE
OA
OC
．
2
OE
BD
，
2
4
AC
OE
，
菱形ABCD 的面积为1
1
4
2
4
2
2
AC BD
．
故答案为：4．
【技巧总结】
1. 先证平行四边：从对边平行或相等、对角相等、对角线互分入手。
2. 再加边等：一组邻边相等即菱形；或对角线垂直。
3. 借性质算量：证得菱形后，用对角线垂直平分、勾股定理、面积公式求值。
【变式训练6-1】如图，在矩形ABCD 中，
8
AB
，
6
BC
．
(1)如图1，过对角线AC 中点O作EF
AC
，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ，求证：四边形
AFCE 为菱形；
(2)求图1 中线段CE 的长；
(3)如图2，矩形ABCD 内有一点P ，连接DP ，CP ，延长BP 交AD 于点Q ，若
90
CPD
，BP
BC
，
求DQ 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2) 25
4
(3) 8
3
【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等内容，利用勾
股定理建立方程是本题的解题的关键．
（1）先证
ASA
OCF
OAE
≌
可得四边形AFCE 是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得证；
（2）易得
8
BE
CE
，再在Rt BCE
中利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）易得
QDP
QPD
，则PQ
DQ
，据此在Rt ABQ
中利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，O是AC 中点，
AB
CD
∥
，AO
OC
，AB
CD
，
FCO
EAO
，
又
EF
AC
，
90
COF
AOE
，
FCO
EAO
，AO
OC
，
COF
AOE
，
ASA
COF
AOE
≌
，
AE
CF
∴
=
；
四边形AFCE 是平行四边形
EF
AC
，
四边形AFCE 为菱形；
（2）解：四边形AFCE 为菱形，
AE
CE
，
在Rt
BCE
△
中，
2
2
2
BE
BC
CE
，
即
2
2
2
8
6
CE
CE
解得
25
4
CE
（3）解：
BP
BC
，
BPC
BCP
，
90
CPD
，
90
BPC
DPQ
．
又
90
BCP
DCP
，
90
CDP
DCP
，
90
QDP
CDP
，
QDP
QPD
．
DQ
PQ
设DQ 的长为x ，则AQ 的长为6
x
，BQ 的长为6
x
，
在Rt
ABQ
△
中，由勾股定理得，
2
2
2
6
8
6
x
x
，
解得
8
3
x
，即DQ 的长为8
3 ．
【变式训练6-2】如图1，矩形ABCD 的对角线
,
AC BD 相交于点O，延长BC 至点E，使CE
BC
，连接
,
DE H
是DE 的中点，连接CH ．
(1)①试猜想四边形OCHD 的形状，并说明理由．
②若
6,
8
AB
BC
，则四边形OCHD 的面积为________．
(2)如图2，将图1 中的矩形ABCD 改为正方形ABCD ，其他条件不变．若正方形ABCD 的面积为16，求四
边形OCHD 的面积．
【答案】(1)①四边形OCHD 是菱形，理由见解析；②24
(2)8
【分析】本题考查矩形的性质和菱形的性质与判定，掌握矩形和菱形的性质是解题关键．
（1）①根据矩形性质先得到OD
OC
，再利用垂直和平分的条件得到BD
DE
，最后借助H 为中点，通
过等量代换得到OD
OC
CH
DH
，即可通过四边相等的四边形是菱形证明结论；
②利用矩形和菱形的性质，找到图中矩形和菱形被对角线分割而成的三角形的面积关系，求解即可；
（2）同（1）②理，改矩形为正方形不影响图中三角形的面积关系，按照同样的面积关系计算即可．
【详解】（1）①解：四边形OCHD 是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
，
90
BCD
，
1
1
2
2
OA
OC
OB
OD
AC
BD
，
又CE
BC
，
∴DC 是线段BE 的垂直平分线，
∴BD
DE
，
∵点H 是DE 中点，
90
BCD
，
∴
1
1
2
2
CH
DH
DE
BD
，
∴CH
DH
OD
OC
，
∴四边形OCHD 是菱形；
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA
OC
OB
OD
，
由中点的性质，可知
1
4
OAB
OBC
OCD
OAD
ABCD
S
S
S
S
S
矩形
，
∵
·
48
ABCD
S
AB BC
矩形
，
∴
1
12
4
OCD
ABCD
S
S
矩形
，
由（1）可知，四边形OCHD 是菱形，
由菱形的对称性可知，
12
HCD
OCD
S
S
，
∴四边形OCHD 的面积为
24
OCD
HCD
S
S
；
（2）解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质，
∴（1）中的结论仍成立，
由（1）可知，
1
4
4
OCD
ABCD
S
S
正方形
，
4
HCD
OCD
S
S
，
∴四边形OCHD 的面积为
8
OCD
HCD
S
S
．
题型7
利用正方形的性质求解
例13．如图，E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且CE
CB
，连接BE ，则
AEB
的度数是
．
【答案】112.5
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关
键．因为在正方形ABCD 中，则
45
ACB
，因为CE
CB
，则
CEB
CBE
，利用三角形内角和定理
可求
CEB
，则
AEB
的度数可求．
【详解】解：在正方形ABCD 中，
则
45
ACB
，
∵CE
CB
，
∴
180
45
67.5
2
CEB
CBE
，
∴
180
67.5
112.5
AEB
．
故答案为：112.5
例14．在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O，延长BD 至点E ，使DE
OD
，连接AE ，点F 为AE
的中点，连接OF ．若
4
AB
，则OF 的长为
．
【答案】10
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明
90
AOD
AOB
，BD
AC
，又因为点F 为AE 的
中点，得出
1
2
OF
AE
，再根据勾股定理得
2
2
2
2
2
AB
AO
BO
BO
，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90
AOD
AOB
，BD
AC
，
∴AO
BO
OD
，
∵点F 为AE 的中点，
∴
1
2
OF
AE
，
∵DE
OD
，
∴
2
2
OE
OD
OB
，
∵
4
AB
，AO
BO
，
∴
2
2
2
2
2
AB
AO
BO
BO
，
∴
2
16
2BO
，
∴
2 2
BO
，
∴
4 2
OE
，
∴
2
2
8
32
2 10
AE
AO
OE
，
∴
1
10
2
OF
AE
，
故答案为：10 ．
【技巧总结】
1. 四边等、四角直：得等腰直角三角形，用勾股或三角函数。
2. 对角线：相等、垂直平分且平分内角，将问题转为等腰直角。
3. 对称性：利用轴对称或中心对称转移线段、构造全等。
4. 旋转全等：常将含90°的三角形旋转解题。
【变式训练7-1】如图，三个边长为6cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O 是其中一个正方形的
中心，则重叠部分（阴影）的面积为
．
【答案】
2
18cm
【分析】本题主要考查正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接OD ，OC ，由正
方形的性质可得
1
4
AOB
OCD
ABCD
S
S
S
△
△
正方形
，证明△OED≌△OFC 可得
OCD
OEDF
S
S
△
四边形
，进而可求解．
【详解】解：连接OD ，OC ，
由题意知：四边形ABCD ，四边形OMNP 都是正方形，
90
EOF
DOC
，OD
OC
，
45
ODE
OCF
，
1
4
AOB
OCD
ABCD
S
S
S
△
△
正方形
，
EOD
FOC
，
△OED △
(ASA)
OFC
，
OED
OFC
S
S
△
△
，
OCD
OEDF
S
S
△
四边形
，
2
2
1
1
6
18 cm
2
2
ABCD
S
S
重叠部分
正方形
．
故答案为：
2
18cm ．
【变式训练7-2】如图，在正方形ABCD 中，
2
AB
，点F 从点A 出发，沿A
D
C
运动到点C，点E
是边BC 的中点，连接AE ，AF ，EF ，当
AEF
△
为等腰三角形时，CF 的长为
．
【答案】1 或2 或7
4
【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，分三种情况再结合勾股定理
建立方程求解即可.
【详解】解：根据题意，可知：在正方形ABCD 中，
2
AB
，点E 是边BC 的中点，
∴
2
AB
CD
BC
AD
，
1
1
2
BE
CE
BC
，
90
D
C
B
．
当AF
EF
时，设CF
x
，
∴
2
DF
x
．
2
2
2
2
4
2
AF
AD
DF
x
，
2
2
2
2
1
FE
CE
CF
x
，
∴
2
2
4
2
1
x
x
，
解得：
7
4
x
，
∴
7
4
CF
，
当AE
EF
时，
∴
2
2
2
1
5
EF
AE
，
∴
2
2
2
2
5
1
2
CF
EF
CE
，
当
5
AF
AE
时，
∴
2
2
2
2
5
2
1
DF
AF
AD
，
∴
1
CF ，
综上所述，CF 的长为1 或2 或7
4 ．
故答案为：1 或2 或7
4
题型8
正方形的性质与判定的综合问题
例15．如图，点P 是矩形ABCD 的边BC 的延长线上一点，连接AP ，过点B 作BE
AP
于点E．过点D 作
DF
AP
于点F，AE
DF
．
(1)求证：四边形ABCD 是正方形；
(2)若
10
AB
，
30
P
，求BE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5 3
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、含30 度直角三角形的性
质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由垂直的定义可得
90
AEB
DFA
，即
90
ADF
DAF
；再根据矩形的性质可得
90
BAD
，
进而得到
BAE
ADF
，再证明
ASA
ABE
DAF
≌
可得AB
AD
，进而证明结论；
（2）由矩形的性质以及已知条件可得
60
BAP
，进而得到
30
ABE
，根据直角三角形的性质可得
5
AE ，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵过点B 作BE
AP
于点E．过点D 作DF
AP
于点F，
∴
90
AEB
DFA
，
∴
90
ADF
DAF
，
∵矩形ABCD ，
∴
90
BAD
，
∴
90
BAE
DAF
，
∴
BAE
ADF
，
∵AE
DF
，
∴
ASA
ABE
DAF
≌
，
∴AB
AD
，
∴四边形ABCD 是正方形．
（2）解：∵矩形ABCD ，
∴
90
ABC
，
∵
30
P
，
∴
90
60
BAP
P
，
∴
90
30
ABE
BAP
，
∴
1
5
2
AE
AB
，
∴
2
2
2
2
10
5
5 3
BE
AB
AE
．
例16．如图，已知四边形ABCD为正方形，
3 2
AB
，点E 为对角线AC 上一动点，连接DE ，过点E 作
EF
DE
，交BC 于点F，以DE
EF
、
为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．
(1)求证：矩形DEFG 是正方形．
(2)探究：CE
CG
的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)直接写出DG 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)是定值，6
(3)
3
DG
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助
线是解题的关键．
（1）过E 作EM
BC
于M 点，过E 作EN
CD
于N 点，可证四边形EMCN 是正方形，得EM
EN
，进
而证明
ASA
FEM
DEN
≌
，得到EF
ED
，即可求证；
（2 ）证明
SAS
ADE
CDG
≌
，可得AE
CG
，即得
2
CE
CG
CE
AE
AC
AB
，即可求解；
（3）由矩形DEFG 为正方形，得到DG
DE
，根据垂线段最短可知，当DE
AC
时，DE 取得最小值，
最小值为1
2 AC ，此时，DG 有最小值，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，过E 作EM
BC
于M 点，过E 作EN
CD
于N 点，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴
90
BCD
，
∵EM
BC
，EN
CD
，
∴
90
EMF
ENC
END
，
∴四边形EMCN 是矩形，
∴
90
MEN
，
∵E 是正方形ABCD 对角线的一点，
∴
45
MCE
，
45
MCE
CEM
，
∴EM
CM
，
∴四边形EMCN 是正方形，
∴EM
EN
，
∵四边形DEFG 为矩形，
∴
90
FED
，
∴
MEN
FEN
FED
FEN
，
即
MEF
NED
，
在
FEM
△
和DEN
中，
EMF
END
EM
EN
MEF
NED
，
∴
ASA
FEM
DEN
≌
，
∴EF
ED
，
∴矩形DEFG 为正方形；
（2）解：CE
CG
是定值，定值为6 ，理由如下：
∵矩形DEFG 为正方形，
∴DE
DG
，
90
EDG
，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD
DC
，
90
ADC
，
∴
EDG
EDC
ADC
EDC
，
即
ADE
CDG
，
在
ADE
和CDG
中，
AD
DG
ADE
CDG
DE
DG
，
∴
SAS
ADE
CDG
≌
，
∴AE
CG
，
∴
2
6
CE
CG
CE
AE
AC
AB
，
∴CE
CG
是定值，定值为6 ．
（3）解：∵矩形DEFG 为正方形，
∴DG
DE
，
由垂线段最短可知，当DE
AC
时，DE 取得最小值，最小值为1
2 AC ，
此时，DG 有最小值，
由（2）知
6
AC
，
∴DG 的最小值为1
3
2 AC
．
【技巧总结】
1. 先证矩形：一角为直角的平行四边形；或对角线相等的平行四边形。
2. 再证菱形：一组邻边相等；或对角线垂直。
3. 得正方形：既是矩形又是菱形。
4. 借性质：用对角线、边长、勾股定理、全等三角形求值或证结论。
【变式训练8-1】如图，四边形ABCD 为正方形，E 为射线AC 上一点，连接DE，过点E 作EF
DE
，交
射线BC 于点F，以DE、EF 为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)如图①，当点E 在线段AC 的延长线上时，求证：矩形DEFG 是正方形．
(2)如图②，当点E 在线段AC 上时，
①若
4
AB
，
2 2
CE
，求CG 的长度；
②当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是40时，直接写出
EFC
的度数：________________．
【答案】(1)见解析
(2)①2 2 ，②130或40
【分析】（1）要证明矩形DEFG 是正方形，核心是证明矩形的邻边相等．利用正方形ABCD的对角线性质，
构造辅助线EP
DC
EQ
BC
、
，得到正方形CQEP ；再通过角的互余关系证明
QEF
PED
，从而证得
全等，推出EF
DE
，矩形即可判定为正方形．
（2）①先由正方形边长
4
AB
，得对角线
4 2
AC
；结合
2 2
CE
，可知
2 2
AE
AC
CE
，即E
为AC 中点，此时F 与C 重合，矩形DECG 为正方形，故CG
CE
．
②分两种情况讨论：当DE 与AD 夹角为40时，利用正方形对角线的角性质和三角形内角和，计算得
130
EFC
；当DE 与DC 夹角为40时，利用矩形和正方形的角性质，得
40
EFC
．
【详解】（1）证明：如图①，过点E 作EP
DC
，交DC 的延长线于点P，EQ
BC
，交BC 的延长线于
点Q，则四边形CQEP 为矩形，
∴
90
EPD
EQF
PEQ
．
∵
45
ECQ
BCA
ECP
DCA
，
∴
45
CEP
ECP
，CP
PE
，
∴四边形CQEP 为正方形，EQ
EP
．
∵EF
DE
，
∴
90
DEF
PEQ
，
∴
QEF
PED
．
在
EQF
△
和
EPD
△
中:
,
,
,
QEF
PED
EQ
EP
EQF
EPD
∴EQF
EPD ASA
≌
（
），
∴EF
ED
，
∴矩形DEFG 是正方形．
（2）解：①如图②，在Rt
ABC
△
中，由勾股定理，得
2
2
4 2
AC
AB
BC
，
∵
2 2
CE
，
∴AE
CE
，
∴点F 与点C 重合，此时
DCE
△
是等腰直角三角形，
∴矩形DEFG 是正方形，
2 2
CG
CE
．
②分以下两种情况讨论：①如图③，当DE 与AD 的夹角为40时，
45
40
85
DEC
．
∵
90
DEF
，
∴
5
CEF
．
∵
45
ECF
，
∴
130
EFC
；
②如图④，当DE 与DC 的夹角为40时，
∵
90
DEF
DCF
，
∴
40
EFC
EDC
．
综上所述，当线段DE 与正方形ABCD的某条边的夹角是40时，
EFC
的度数为130或40．
【变式训练8-2】已知正方形ABCD中，E 是BC 上一动点，过点E 作EF
AE
交正方形的外角
DCL
的平
分线于点F ．
(1)【动手操作】
如图①，在BA 上截取BQ
BE
，连接EQ ，根据题意在图中画出图形，图中
AQE
_____度．
(2)【深入探究】E 是线段BC 上的一个动点，如图②，过点F 作FG
AE
交直线CD于点G ，以CG 为斜边
向右作等腰直角三角形HCG ，点H 在射线CF 上，连接AG ．试判断四边形AEFG 的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
E 是射线BC 上的一个动点，过点F 作FG
AE
交直线CD于点G ，以CG 为斜边向右作等腰直角三角形
HCG ，点H 在射线CF 上，连接AG ．若
5
AB
，
2
CE
，求线段AG 的长．
【答案】(1)135；
(2)矩形AEFG 是正方形；见解析；
(3)线段AG 的长为34 或
74 ．
【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定
理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，
并根据动点的位置进行分类讨论．
（1）利用正方形的直角性质，结合BQ
BE
证BQE
为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算
AQE
的度数；
（2）先在AB 上截取AP
EC
，证明APE
ECF
≌
得AE
EF
，再构造辅助线证QGF
CFE
≌
得FG
EF
，
结合FG
AE
证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形；
（3）分点E 在线段BC 上和点E 在BC 延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形AEFG 均为正方形，得
到AG
AE
，再利用勾股定理分别计算AE 的长度，即可得AG 的长．
【详解】（1）解：根据题意画图如图；
∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
B
，
又∵BQ
BE
，
∴BQE
是等腰直角三角形，
∴
45
BQE
，
∵
180
AQE
BQE
，
∴
180
45
135
AQE
；
（2）解：四边形AEFG 为正方形，证明如下：
在AB 上截取AP
EC
，连接PE ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB
BC
，
90
B
BCD
，
∴AB
AP
BC
EC
，即BP
BE
，
∴BPE
是等腰直角三角形，
∴
45
BPE
，
∴
180
45
135
APE
，
∵CF 平分
DCM
，
180
90
DCM
BCD
，
∴
90
45
135
ECF
ECD
DCF
，
∴
APE
ECF
，
∵
90
AEF
，
∴
90
AEB
CEF
，
又∵
90
AEB
BAE
，
∴
BAE
CEF
，
在APE
和ECF
中，
BAE
CEF
，AP
EC
，
APE
ECF
，
∴
AAS
APE
ECF
≌
，
∴AE
EF
，
在GH 上截取HQ
HF
，连接FQ ，则
45
HQF
HFQ
，
∵FG
AE
，EF
AE
，
∴EF
FG
，
90
EFG
，
HCG
△
是等腰直角三角形，
HG
HC
，
90
CHG
，
QG
FC
，
45
HQF
HFQ
，
180
45
135
GQF
FCE
，
90
QGF
GFH
CFE
，
ASA
QGF
CFE
≌
，
∴FG
EF
，
∴AE
FG
，
又∵FG
AE
，
∴四边形AEFG 是平行四边形，
∵
90
AEF
，
∴平行四边形AEFG 是矩形，
又∵AE
EF
，
∴矩形AEFG 是正方形；
（3）解：①当点E 在线段BC 上时，
由（2）知四边形AEFG 是正方形，
∴AG
AE
，
∵
5
BC
，
2
CE
，
∴
5
2
3
BE
BC
CE
，
在Rt ABE
中，由勾股定理得
2
2
2
2
5
3
34
AE
AB
BE
，
∴
34
AG
；
②当点E 在BC 延长线上时，延长BA 至K ，使得AK
CE
，连接KE ，
∵BK
BA
AK
，BE
BC
CE
，且AB
BC
，AK
CE
，
∴BK
BE
，
又∵
90
B
，
∴BKE
是等腰直角三角形，
∴
45
K
，
∴
45
K
ECF
．
∵EF
AE
，
∴
90
AEF
，
∵
K
90
AE
B
AEB
AEB
，
C
AEB
90
A
EF
AEF
EB
，
∴
KAE
CEF
．
在KAE
和CEF
中，
K
ECF
AK
CE
KAE
CEF
，
∴
ASA
KAE
CEF
≌
，
∴AE
EF
．
∵FG
AE
，EF
AE
，
∴EF
FG
，即
90
EFG
．
延长GH 至点Q ，使HQ
HF
，连接FQ ，
∵HCG
是等腰直角三角形，
∴HG
HC
，
90
CHG
，
∴GQ
HG
HQ
HC
HF
CF
，且HQF
是等腰直角三角形，
∴
45
GQF
，
∵
90
EFG
，
90
CHG
，
∴
90
QGF
GFH
，
90
CFE
GFH
，
∴
QGF
CFE
．
在QGF
和CFE
中，
GQF
FCE
GQ
CF
QGF
CFE
，
∴
ASA
QGF
CFE
≌
，
∴FG
EF
．
结合AE
EF
，可得AE
FG
，
又∵FG
AE
，
∴四边形AEFG 是平行四边形．
∵
90
AEF
，
∴平行四边形AEFG 是矩形，
又∵AE
EF
，
∴矩形AEFG 是正方形．
2
25
5
2
74
AG
AE
，
综上所述，线段AG 的长为
34 或
74 ．
题型9
与特殊平行四边形的性质与判定有关的作图（含无刻度作图）
例17．如图，在
ABCD
中，点E 为CD 的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）：
(1)在图1 中，AC
BC
，作出
ABC
中AB 边上的高CH ；
(2)在图2 中，过点D 作AC 的平行线DM ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图，考查了平行四边形的性质，掌握等腰三角形底边上的高垂直平分底边和三角
形三条中线交于一点、平行四边形对角线相互平分是解答本题的关键．
（1）作出
ABC
中AB 边上的高CH ；即找到AB 的中点即可，连接BD ，交AC 于点O，由平行四边形性
质可知OA
OC
，OB
OD
，连接EO 并延长交AB 于H ，容易证明AOH
COE
≌
，从而可得
1
2
AH
CE
AB
，即H 是AB 中点，
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接EO 并延长交BC 延长线于M ，可得平行四边形
ACMD，由此即可解题．
【详解】（1）解：如图，CH 为所求，
（2）解：如图，DM 为所求，
例18．如图，在长方形ABCD 中，BD 是对角线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出点C 关于直线BD 的对称点P （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接
,
PD PB ，PB 交AD 于点E ，若
4,
8
AB
AD
．求
BDE
的面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)10
【分析】（1）过点C 作BD 的垂线，垂足为点F ，在垂线上截取FP
FC
即可得到答案；
（2）根据题意，作出图形，由对称性得到
,
PD
DC PB
BC
，从而结合等腰三角形性质、矩形性质得到
90
BPD
，再由两个三角形全等的判定定理得到
AAS
ABE
PDE
≌
，进而得到AE
PE
，设AE
PE
x
，
则
8
BE
PB
PE
x
，在Rt
ABE
△
中，列方程求解得到
3
x
，则
5
DE
，再由三角形面积公式代值计算
即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
点P 即为所求；
（2）解：如图所示：
由（1）中的作图过程可知，
,
PD
DC PB
BC
，
,
DPC
DCP
BPC
BCP
，
在长方形ABCD 中，
90
A
BCD
，则
90
D C P
B C P
，
90
BPD
DPC
BPC
，
在ABE
和
PDE
△
中，
90
A
EPD
AEB
PED
AB
PD
，
AAS
ABE
PDE
≌
，
AE
PE
，
在长方形ABCD 中，
4,
8
DC
AB
BC
AD
，则
8
PB
BC
，
设AE
PE
x
，则
8
BE
PB
PE
x
，
在Rt
ABE
△
中，
90
A
，
4,
,
8
AB
AE
x BE
x
，则由勾股定理可得
2
2
2
AB
AE
BE
，
即
2
2
2
4
8
x
x
，
解得
3
x
，
8
3
5
DE
AD
AE
，
1
1
5 4
10
2
2
BDE
S
DE AB
．
【技巧总结】
1. 借对角线交点：连接已知顶点与对角线交点，利用中心对称找等分点。
2. 用平行与垂直：借助矩形、正方形网格线作平行或垂直，构造菱形、正方形。
3. 找对称点：利用轴对称性质，通过作垂线或连线找对应点。
【变式训练9-1】如图，已知四边形ABCD 为菱形，延长AB 到点E ，使得BE
AB
，过点E 作EF
AD
∥
，
交DB的延长线于点F （保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，用无刻度的直尺作直线l
AE
( 直线l 不与CD 重合）；
(2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AC ，DE ，分别交BD ，BC 于点O，M ，连接OM ，则线段OM 所在的直线即为所求
的直线l ；
（2）连接AC ，交BD 于点O，分别延长DC ，FE ，相交于点N ，连接BN ，CE ，相交于点G ，则四边
形OBGC 即为所求．
【详解】（1）解：如图，直线l 即为所求．
（2）解：如图，矩形OBGC 即为所求．
【变式训练9-2】如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作
图．（请保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图①中，作出AB 边的中点P；
(2)在图②中，作出一个面积等于正方形ABCD 面积的一半的正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接
,
AC BD 交于点O，连接EO并延长交AB 于点P 即可；
（2）在（1）的基础上，连接
,
AE DP 交于点H，作直线HO 分别交
,
BC AD 于点G，点F，依次连接
,
,
,
E F P G
即可．
【详解】（1）解：如图所示点P 为所求：
∵点E 是DC 的中点，点O 是BD 的中点，
∴OE 是BCD
的中位线，
∴OE
BC
，
∴EP
BC
，
∵在正方形ABCD 中，AD
BC
，
90
A
，AB
CD
，
∴EP
AD
，
∵AP
DE
，
∴四边形APED 是平行四边形，
∵
90
A
，
∴四边形APED 是矩形，
∴
1
1
2
2
AP
DE
CD
AB
，
∴点P 为AB 边的中点；
（2）解：如图所示，正方形EFPG 为所求：
由（1）知四边形APED 是矩形，OE 是BCD
的中位线，
∴HP
HE
，PE
AD
，
1
1
2
2
OE
BC
AD
，
∴
1
2
OE
PE
，即OP
OE
，
∵HO
HO
，
∴
SSS
HPO
HEO
≌
，
∴
90
HOP
HOE
，
∴OH 所在直线垂直平分PE ，
∵EP
AD
BC
，
∴OH 所在直线垂直平分AD ，OH 所在直线垂直平分BC ，
∴
,
PE FG 所在直线是正方形ABCD 的对称轴，
∴四边形APOF ，四边形DFOE ，四边形PBGO，四边形EOGC 都是正方形，且边长都相等，
∴FP
PG
GE
EF
，
45
AFP
DFE
，
∴
180
90
PFE
AFP
DFE
，
∴四边形FPGE 是正方形，
设正方形ABCD的边长为x ，则
1
2
AF
AP
x
，正方形ABCD的面积为
2
x ，
∴
2
2
2
PF
AF
x
，
∴正方形FPGE 的面积为
2
2
2
1
2
2
x
x
，
∴正方形FPGE 的面积等于正方形ABCD面积一半．
1．在平行四边形ABCD 中，如果
125
A
，则
D
（
）
A．35
B．30
C．55
D．65
【答案】C
【分析】已知
A
的度数，根据
180
A
D
即可计算出
D
的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB
CD
∥
，
∴
180
A
D
，
∵
125
A
，
∴
180
125
55
D
．
2．如图，在菱形ABCD 中，按如下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于1
2 CD 长为半径作弧，两
弧交于点M ，N ；②连接直线MN ，直线MN 恰好经过点A ，与CD交于点E ，连接BE ，若
4
AD
，则BE
的长为（
）
A．3 3
B．3 7
C．
7
D．2 7
【答案】D
【分析】先利用垂直平分线和菱形的性质，用勾股定理求出AE 的长度，再结合平行线的性质推出
90
BAE
，最后用勾股定理算出BE 的长．
【详解】解：根据题意可知，MN 为CD的垂直平分线，则AE
CD
，EC
ED
，
四边形ABCD 为菱形，
4
AD
DC
AB
，
2
ED
，
2
2
2 3
AE
AD
ED
，
AB
CD
∥
，
90
AED
，
90
BAE
，
在Rt
BAE
△
中，
2
2
2 3
4
12 16
2 7
BE
．
3．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 为BC 边上一点，F 为CD延长线上一点，M 为线段EF 的中点，连
接AM 并延长交边CD于点G ．若BE
DF
，
2
DG
，则EF 的长为（
）
A．5 17
4
B．5
34
2
C．10
29
7
D．5
58
7
【答案】C
【分析】连接AF ，EG ，由四边形ABCD 是正方形，得
90
B
ADC
，然后证明
ABE
ADF SAS
≌
，
所以AE
AF
，又M 为EF 中点，所以AM
EF
，即有AG 垂直平分EF ，所以GE
GF
，设BE
DF
x
，
则
2
EG
FG
DF
DG
x
，
5
CE
BC
BE
x
，在Rt
CEG
△
中，
2
2
2
CE
CG
EG
，即
2
2
2
(5
)
3
(
2)
x
x
，解得
15
7
x =
，最后再通过勾股定理即可求解．
【详解】解：连接AF ，EG ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90
B
ADC
，
∴
90
B
ADF
，
在ABE
与
ADF
△
中，
AB
AD
ABE
ADF
BE
DF
，
∴
ABE
ADF SAS
≌
，
∴AE
AF
，
∵M 为EF 中点，
∴AM
EF
，
∴AG 垂直平分EF ，
∴GE
GF
，
设BE
DF
x
，则
2
EG
FG
DF
DG
x
，
5
CE
BC
BE
x
，
在Rt
CEG
△
中，
2
2
2
CE
CG
EG
，
∴
2
2
2
(5
)
3
(
2)
x
x
，
∴
15
7
x =
，
在Rt
CEF
△
中，
2
2
2
2
15
15
10
5
5
29
7
7
7
EF
CE
CF
．
4．第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过A 点的直线折叠，使点B 落在AD 边上的点B处，得到折痕AE ，
然后把纸片展平．第二步：如图2 ，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点C 落在EB上的
点C处，得到折痕DF ，再把纸片展平．若
10
AB
，
16
BC
，EF （
）
A．2
B．3
C．3
2
D．8
3
【答案】D
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可得
6,
10,
B D
C D
CF
C F
，利用勾股定理得到
8
B C
，设
EF
x
，根据
2
2
2
EF
C E
C F
，列方程求解即可．
【详解】解：∵将矩形纸片ABCD 沿过A 点的直线折叠，使点B 落在AD 边上的点B处，得到折痕AE ，
∴
10,
90 ,
AB
AB
CD
AB E
B
BAB
∴四边形ABEB是正方形，
∴
90
BEB
，
10
B E
AB
，
16 10
6
DB
AD
AB
，
∴
180
90
B EC
BEB
，
∵
90
D
C
，
∴四边形CDB E
是矩形，
∴
90
EB D
，
6
CE
DB
，
∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点C 落在EB上的点C处，得到折痕DF ，
∴
10
C D
CD
，CF
C F
，
∴
2
2
'
2
2
10
6
8
B C
C D
DB
，
∴
10
8
2
C E
B E
B C
，
设EF
x
，
6
C F
CF
x
，
∵
2
2
2
EF
C E
C F
，
∴
2
2
2
2
6
x
x
，
解得：
8
3
x
，
即：
8
3
EF
．
5．如图，ABCD
中，AE
BD
，AC
CD
，
30
ABE
，
2cm
AE
，
16cm
AC
BD
，则平行四边形ABCD
的面积________
2
cm ．
【答案】64
3
【分析】由直角三角形的性质可得
2
4cm
AB
AE
，由平行四边形的性质可得AB
CD
，
2
ABCD
ABD
S
S
，
8cm
OD
OC
，再由直角三角形的性质可得
2
OD
OC
，从而求出
32
2
3
BD
OD
，即可得出结果．
【详解】解：∵AE
BD
，
∴
90
AEB
，
∵
30
ABE
，
2cm
AE
，
∴
2
4cm
AB
AE
，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB
CD
，
2
ABCD
ABD
S
S
，
2
BD
OD
，
2
AC
OC
，
∴
1
1
8
,
2
2
OD
OC
BD
AC
c m
，
30
CDB
ABE
，
∵AC
CD
，
∴
2
OD
OC
，
∴
16
3
OD
cm
，
∴
32
2
3
BD
OD
cm
，
∴
2
1
32
64
2
2
2
2
3
3
ABCD
ABD
S
S
cm
．
6．如图，在正方形ABCD中，点P，Q 分别为CD
AD
、
边上的点，且AQ
DP
，连接BQ
AP
、
．则
BEP
为
________度．
【答案】90
【分析】根据题意利用SAS 证明ABQ
DAP
≌
即可．
【详解】解：在正方形ABCD中，AB
AD
，
90
BAD
ADC
，
∴在ABQ
和DAP
中，
AB
AD
BAQ
ADP
AQ
DP
∴
ABQ
DAP SAS
≌
，
∴
DAP
ABQ
，
∵
90
DAP
BAP
，
∴
90
ABQ
BAP
，
∴
90
BEP
BAP
ABQ
．
7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，
8
AC
，
12
BD
，E 是线段OA的中点，连接BE ，
（I）线段BE 的长为____________；
（II）G 为BE 的中点，F 是OC 的中点，连接GF ，则线段GF 的长为____________．
【答案】
2 10
3 2
【分析】（I）根据菱形对角线互相垂直平分求出
,
OA OB 的长，由中点定义求出OE 的长，在Rt BOE
中利
用勾股定理求出BE ；
（II）取OE 中点H ，连接GH ，利用三角形中位线定理求出
,
GH OH 的长，进而求出HF 的长，在Rt
GHF
△
中利用勾股定理求出GF ．
【详解】（I）四边形ABCD 是菱形，
8
AC
，
12
BD
，
AC
BD
，
1
4
2
OA
OC
AC
，
1
6
2
OB
OD
BD
．
E 是线段OA 的中点，
1
2
2
OE
OA
，
在Rt BOE
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
6
2
40
2 10
BE
OB
OE
．
（II）如图，取OE 的中点H ，连接GH ，
G 为BE 的中点，H 为OE 的中点，
GH 是
BOE
△
的中位线，
1
3
2
GH
OB
，GH
OB
，
AC
BD
，
GH
AC
，即
90
GHF
．
H 为OE 的中点，
2
OE
，
1
1
2
OH
OE
．
F 是OC 的中点，
4
OC
，
1
2
2
OF
OC
，
1 2
3
HF
OH
OF
．
在Rt
GHF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
3
3
18
3 2
GF
GH
HF
．
8．矩形ABCD 中，对角线
2 5
AC
，将AB 绕点A 旋转一定的角度后，点B 的对应点恰好为ACD
一边的
中点，则AB ________．
【答案】2 或
5 或4 35
7
【分析】根据矩形的性质得到ACD
是直角三角形，结合旋转的性质得到对应线段相等，分情况讨论中点
的不同位置，利用勾股定理计算求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB
CD
，
90
D
Ð
=
°，
∴
2
2
2
2
2 5
20
AD
CD
AC
，
∴
2
2
20
AD
AB
，
∵将AB 绕点A 旋转一定的角度后，点B 的对应点恰好为ACD
一边的中点，
∴当点B 的对应点为斜边AC 的中点时，如图，则此时
1
5
2
AB
AC
，
∴当点B 的对应点为直角边AD 的中点时，此时
2
AD
AB，
∴
2
2
2
20
AB
AB
，
∴
2
AB
（负值不符合题意，舍去），
当点B 的对应点为边CD的中点时，记此时的对应点为M ，则AB
AM
CD
，
1
1
2
2
CM
DM
CD
AB
，
由勾股定理可得
2
2
2
AD
DM
AM
，
∴
2
2
2
1
2
AD
AB
AB
，
∴
2
2
3
4
AD
AB
，
∵
2
2
20
AD
AB
，
∴
2
2
3
20
4 AB
AB
，
∴
4 35
7
AB
（负值不符合题意，舍去）
综上所述，
2
AB
或
5 或4 35
7
．
9．如图，在菱形ABCD 中，
4
AB
，
=60
B
，点E，F 分别在边BC 和CD上，且
AEB
AFD
．
(1)求证：BE
DF
；
(2)若
2
EC
BE
，求ABE
的面积．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴
,
60
AB
AD
B
D
，
∵
AEB
AFD
，
∴
AAS
AEB
AFD
≌
，
∴BE
DF
；
(2) 4
3
3
【分析】（1）由题意易得
,
60
AB
AD
B
D
，然后可得
AAS
AEB
AFD
≌
，进而问题可求证；
（2）连接AC ，过点A 作AH
BC
，由题意易得
4
AB
BC
，则有
ABC
是等边三角形，然后可得
2
2
2 3
AH
AB
BH
，进而问题可求解．
【详解】（1）略
（2）解：连接AC ，过点A 作AH
BC
，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴
4
AB
BC
，
∵
=60
B
，
∴
ABC
是等边三角形，
∴
1
2
2
BH
CH
BC
，
∴
2
2
2 3
AH
AB
BH
，
∴
1
4 3
2
ABC
S
BC AH
，
∵
2
EC
BE
，
∴
1
4
3
3
3
ABE
ABC
S
S
．
10．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD上，且AE
BF
，垂足为M ．
(1)求证：AE
BF
；
(2)若点E 是BC 的中点，连接DM ，请你判断线段DM 与AD 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) DM
AD
，理由见解析
【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明
ABE
BCF ASA
≌
，即可证得结论；
（2）延长AD 、BF ，交于点K ，由三角形全等的性质，可得BE
CF
，证明
BCF
KDF ASA
≌
，可得
点D 是AK 的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段DM 与AD 之间的关系．
【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，AB
BC
，
90
ABC
C
，
∴
90
ABF
CBF
，
∵AE
BF
，垂足为M ，
∴
90
AMB
AMF
，
∴
90
ABM
BAM
Ð
+Ð
=
°，
∴
BAE
CBF
，
在ABE
和
BCF
中，
BAE
CBF
AB
BC
ABC
C
，
∴
ABE
BCF ASA
≌
，
∴AE
BF
．
（2）解：DM
AD
，理由：
在正方形ABCD 中，BC
CD
AD
，
90
ADC
C
，
延长AD 、BF ，交于点K ，则
180
90
90
CDK
，
∴
CDK
C
，
由（1）得
ABE
BCF
△
△
≌
，
∴BE
CF
，
∵点E 是BC 的中点，
∴
1
1
2
2
BE
BC
CD
，
∴
1
2
CF
CD
，
∴
1
2
DF
CD
CF
，
在
BCF
和KDF
中，
C
KDF
CF
DF
BFC
DFK
，
∴
BCF
KDF ASA
≌
，
∴BC
KD
=
，
∴AD
KD
，
∴点D 是AK 的中点，
又∵
90
AMF
，
∴
1
2
DM
AK
AD
．
11．如图，AC 为菱形ABCD 的对角线，点E 为线段AB 的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图
（保留作图痕迹）．
(1)如图1，过点B 作直线l ，使得l
AC
∥
；
(2)如图2，在边AD 上找点F ，使得AF
DF
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接CE 并延长，与DA 的延长线相交于点M ，作直线BM ，因为点E 为线段AB 的中点，所
以AE
BE
，因为AM
BC
∥
，所以
EAM
EBC
，
EMA
ECB
，故可得
AEM
BEC
≌
△
△
，得到
ME
CE
，所以四边形ACBM 为平行四边形，即BM
AC
∥
；
（2）连接DE 交AC 于点O，连接BO并延长交AD 于点F 即可，根据菱形的性质，利用SAS 易得
AOB
AOD
△
≌△
，得到
ABO
ADO
，OB
OD
，对顶角得到
BOD
DOF
，进而得到BOE
DOF
≌
，
进而得到
1
1
2
2
DF
BE
AB
AD
.
【详解】（1）解：如图，直线l 即为所求．
（2）解：如图2，点F 即为所求；
12．如图，四边形ABCD 是矩形，O 是对角线BD 的中点，连接AO ，分别过点A，D 作AE
BD
，
∥
DE
AO ，
F 是对角线BD 延长线上的点，且FD
BD
，连接CF ．
(1)求证：四边形AODE 是菱形；
(2)若
6
AB
，
5
AD ，求CF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）先证明四边形AODE 是平行四边形，再证明AO
DO
，即可根据菱形的判定证明结论；
（2）过点F 作FG
CD
⊥
交CD的延长线于点G，先证明BCD
FGD
≌
，得到
6
CD
GD
，
5
FG
，再根
据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：
AE
BD
∥
，
∥
DE
AO ，
四边形AODE 是平行四边形，
四边形ABCD 是矩形，
90
BAD
，
O
是BD 的中点，
AO
DO
，
四边形AODE 是菱形；
（2）解：过点F 作FG
CD
⊥
交CD的延长线于点G，
90
G
，
四边形ABCD 是矩形，
90
BCD
，
6
CD
AB
，
5
BC
AD
，
BCD
G
，
在
BCD
△
与FGD
中，
BCD
G
BDC
FDG
BD
FD
，
(AAS)
BCD
FGD
≌
，
6
CD
GD
，
5
BC
FG
，
6
6
12
CG
CD
GD
，
在Rt
CFG
△
中，
2
2
2
2
12
5
13
CF
CG
FG
．
13．如图，在四边形ABCD 中，AB
CD
∥
，对角线AC 、BD 交于点O，且OA
OC
．
(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形．
(2)若AC
AB
，过点D 作DF
AC
∥
交BA 的延长线于点F ．
（ⅰ）求证：A 为BF 的中点．
（ⅱ）连接CF 交AD 于点E ，过点F 作FM
AD
于点M ，若
4
AD
，
3
MFD
MFA
，求AM 的长．
【答案】(1)证明：
AB
CD
，
OAB
OCD
，
OBA
ODC
；
在
OAB
△
和OCD
中，
OBA
ODC
OAB
OCD
OA
OC
，
AAS
OAB
OCD
≌
，
AB
CD
，
AB
CD
，AB
CD
，
四边形ABCD 是平行四边形；
(2)（ⅰ）证明：
AB
CD
∥
，
AF
CD
∥
．
DF
AC
∥
，
四边形ACDF 是平行四边形，
AF
CD
．
四边形ABCD 是平行四边形，
AB
CD
，
AB
AF
，即A 为BF 的中点；
（ⅱ）2
2
．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得
OAB
OCD
，结合题中给出的条件求出OAB
OCD
V
V
≌
，
根据全等三角形的性质得出AB
CD
，即可求证四边形ABCD 是平行四边形；
（2）（ⅰ）根据平行四边形的判定求出四边形ACDF 是平行四边形，则有AF
CD
，根据平行四边形ABCD
的性质可知AB
CD
，即可求证AB
AF
；
（ⅱ）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可判定四边形ACDF 是矩形，则有AE
EF
ED
EC
，根据
3
MFD
MFA
求出MEF
是等腰直角三角形，根据设ME
x
，
2
AE
EF
x
即可求解．
【详解】（1）略；
（2）（ⅰ）略；
（ⅱ）四边形ACDF 是平行四边形，AC
AB
，
四边形ACDF 是矩形，
AE
EF
ED
EC
，
90
AFD
，
CF
AD
，
EF
EA
，
3
MFD
MFA
，
90
MFD
MFA
AFD
，
3
4
90
MFA
MFA
MFA
，
22.5
MFA
，
FM
AD
，
67.5
FAM
，
180
2
45
AEF
FAM
，
MEF
是等腰直角三角形．
设ME
x
，则MF
x
，
2
2
2
2
2
EF
ME
MF
x
x
x
，
2
AE
EF
x
．
4
AD
，
1
2
2
AE
AD
，
2
2
x
2
x
，
2
ME
，
2
2
AM
AE
ME
．
14．如图，正方形ABCD 的边长为2 ，直线l 分别交
,
AD BC 于点
,
,
M N
A B
．
关于直线l 的对称点为
,
A B
，
且点A恰好在CD上．
(1)当点A是CD中点时，MN 的长为_____；
(2)连接A B
，交BC 于点E ，连接AA，交MN 于点P ．
①连接AE ，求证
45
A AE
；
②已知
A CE
△
的面积为2 ，求A E
的长．
【答案】(1)
5
(2)①如图所示，过点A 作AK
A E
于点K ，
∴
90 ,
90
AKA
ADA
AKE
ABE
，
∵折叠，
∴
BAA
B A A
，
在正方形ABCD 中，AB
CD
∥
，
∴
BAA
AA D
，
∴
AA K
AA D
，
在Rt
,Rt
ADA
AKA
中，
90
AA D
AA K
ADA
AKA
AA
AA
，
∴
Rt ADA
Rt AKA AAS
≌
，
∴AK
AD
，
A AD
A AK
，，
∴AK
AB
，
1
2
A AK
DAK
，
在Rt
,Rt
ABE
AKE
中，
AE
AE
AB
AK
，
Rt ABE
Rt AKE HL
≌
，
∴
BAE
KAE
，
∴
1
2
KAE
BAK
，
∵
90
BAD
BAK
DAK
，
∴1
1
45
2
2
BAK
DAK
KAE
KAA
A AE
②
4
2
2
A E
【分析】（1）过点D 作DG
MN
，交AA于点H ，证明
Rt DAA
Rt CDG ASA
≌
，由勾股定理可得
2
2
2
2
2
1
5
AA
AD
DA
，即可得出结果；
（2）①过点A 作AK
A E
于点K ，证明
Rt ADA
Rt AKA AAS
≌
，再证明
Rt ABE
Rt AKE HL
≌
，从
而
BAE
KAE
，再证明即可；
②设
,
A C
x CE
y
，则
2
,
2
A D
CD
A C
x BE
BC
CE
y
，
2
2
4
A E
x
y
x
y
，求得
1
1
·
2
2
2
A C CE
xy
，则
2 2
xy
，得出
2
2
2
4
x
y
xy
x
y
，设x
y
m
，得出
2
2
4 2
4
m
m
，
整理得，解得，
4
2
2
m
，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图所示，过点D 作DG
MN
，交AA于点H ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
2,
90 ,
AB
BC
CD
AD
ABC
BCD
CDA
DAB
AD
BC
，
∴MD
NG
，
∴四边形MNGD 是平行四边形，
∴MN
DG
，MN
DG
∥
，
在正方形ABCD 中，
90
DAA
DA A
，
∵折叠，
∴MN
AA
，垂足为点P ，
∴DG
AA
，垂足为点H ，
∴
90
HDA
DA A
，
∴
HDA
DAA
，
在
,
Rt DAA Rt CDG
中，
90
DAA
CDG
AD
DC
ADA
DCG
，
∴
Rt DAA
Rt CDG ASA
≌
，
∴AA
DG
，
∴MN
DG
AA
，
∵点A是CD中点，
∴
1
1
2
DA
CD
，
∴
2
2
2
2
2
1
5
AA
AD
DA
，
∴MN 的长为
5 ，
故答案为：
5
（2）解：①略
②根据上述证明得到
,
,
A D
A K EK
BE A K
EK
A E
，
∴A D
BE
A E
，
设
,
A C
x CE
y
，则
2
,
2
A D
CD
A C
x BE
BC
CE
y
，
∴
2
2
4
A E
x
y
x
y
，
∵
A CE
△
的面积为2 ，
∴1
1
·
2
2
2
A C CE
xy
，则
2 2
xy
，
在Rt A CE
中，
2
2
2
'
A C
CE
A E
，
∴
2
2
2
2
2
x
y
x
y
，整理得，
2
2
2
4
x
y
xy
x
y
，
设x
y
m
，
∴
2
2
4 2
4
m
m
，整理得，8
16
4 2
m
，
解得，
4
2
2
m
，
∴
4
2
4
2
4
4
2
2
A E
x
y
．
