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专项训练01 与绝对值有关的化简
【知识点1 绝对值的定义】
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值等于2，记作|+2|=2；
-3 的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点分析：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值
越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
【知识点2 绝对值的性质】
性质：（1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【题型1 绝对值的非负性】
1．（1）若
0
x
y
，则x ______，y _______．
（2）若
6
0
a
b
，则a _____，b _____．
【答案】
0
0
6
0
【详解】解：（1）∵
0
x
，
0
y
，
0
x
y
，
(
0)
|
|
0
(
0)
(
0)
a
a
a
a
a
a
.
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∴
0,
0
x
y
，
∴
0
x
y
；
（2）∵
6
0
a
，
0
b
，
6
0
a
b
，
∴
6
0,
0
a
b
，
∴
6
0,
0
a
b
∴
6,
0
a
b
．
2．（1）根据x 是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①x 满足______时，式子
3
6
x
的值最______，为______；
②x 满足______时，式子5
2
x
的值最______，为______；
（2）已知若
0
a
，则a
a
，即
1
a
a
a
a
，若
0
a
，则a
a
，即
1
a
a
a
a
，如果x、y、z 是有理数，
且
0
x
y
z
，
0
xyz
时，直接写出
x
y
x
z
y
z
z
y
x
的值为______．
【答案】（1）①
3
x
，小，6
；②
2
x
，大，5；（2）1或1
【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是
解题的关键；
（1）①由绝对值的非负性质即可求解；
②由绝对值的非负性质即可求解；
（2）由
0
x
y
z
可得x
y
z
y
z
x
x
z
y
，
，
，则原式可化为
z
y
x
z
y
x
；不妨假设
x
y
z
，分两种情况：
0
x
y
z
；
0
x
y
z
，即可求解．
【详解】解：（1）①由于
3
0
x
，则
3
6
6
x
，
当
3
0
x
时，
3
6
6
x
，
此时当
3
x
时，
3
6
x
的值最小，最小值为6
；
故答案为：
3
x
，小，6
；
②由于
2
0
x
，则
2
0
x
，5
2
5
x
，
当
2
0
x
时，5
2
5
x
，
此时当
2
x
时，5
2
x
的值最大，最大值为5 ；
故答案为：
2
x
，大，5；
（2）由
0
x
y
z
，得x
y
z
y
z
x
x
z
y
，
，
，
原式
z
y
x
z
y
x
；
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不妨假设x
y
z
，
由于
0
x
y
z
，则
0
z
，
0
x
，
分两种情况：
当
0
x
y
z
时；
原式
z
y
x
z
y
x
1 ( 1)
( 1)
1
；
当
0
x
y
z
时，
原式
z
y
x
z
y
x
1 1 ( 1)
1
；
综上，
x
y
x
z
y
z
z
y
x
的值为1或1
．
【题型2 利用数轴化简绝对值】
3．已知有理数a ，b 在数轴上对应位置如图．
(1)用“ ”或“”填空：1 b
______0，
1
a ______0；
(2)比较a ，b ，a
，b
的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______；
(3)化简：1
1
b
a
b
a
．
【答案】(1) ,
(2) b
a
a
b
(3)2a
【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减．
（1）根据数轴上点的位置可得
1, 1
b
a
，进而可得1
0
b
，
1
0
a +
>
；
（2）根据数轴可得
1, 1
b
a
，进而在数轴上表示出
,b
a
，再根据数轴比较大小，即可求解；
（3）根据数轴可得1
0
b
，
1
0
a +
>
，
0
a
b
，进而化简绝对值，再根据整式的加减化简，即可求解．
【详解】（1）解：根据数轴可得
1, 1
b
a
，
∴1
0
b
，
1
0
a +
>
故答案为：,
．
（2）解：根据数轴可得
1, 1
b
a
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∴
1,0
1
b
a
如图
∴b
a
a
b
（3）解：∵1
0
b
，
1
0
a +
>
，
0
a
b
，
∴1
1
b
a
b
a
1
1
b
b
a
a
1
1
b
b
a
a
2a
4．已知a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1) a
b
______0，ab ______0，
1
a ______0（填“”或“ ”）
(2)用“”将a ，a
，b ，b
连接起来：______．
(3)化简
1
2
3 2
a
a
b
b
a
．
【答案】(1) ，，
(2) b
a
a
b
(3)2
7
a
b
【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键．
（1）根据有理数a、b 在数轴上的对应点的位置，得出
0,
0
a
b
，且|
| |
|
a
b
进而解答即可；
（2）根据
0,
0
a
b
，且|
| |
|
a
b
，进而解答即可；
（3）根据绝对值，相反数的意义化简，再根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据有理数a、b 在数轴上的对应点的位置可知，1
0,
2
0
a
b
，且|
| |
|
a
b
，
0,
0
a
b
ab
，
1
0
a +
>
故答案为：
，，．
（2）解：
0,
0
a
b
，且|
| |
|
a
b
，
b
a
a
b
．
（3）解：
0,
0
a
b
，且|
| 1
2 |
|
a
b
，
1
0,
0,2
0
a
a
b
b
a
，
|
1| 2 |
| 3| 2
|
1
2
2
6
3
3
2
7
a
a
b
b
a
a
a
b
b
a
a
b
．
【题型3 分类讨论化简绝对值】
5．在学习一个数的绝对值过程中，化简a 时，可以这样分类：当
0
a
时，a
a
，当
0
a
时，
0
a
；当
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0
a
时，a
a
．请用这种方法解决下列问题．
(1)当
3
a
时，则
a
a _____；当
2
a 时，则
a
a _____．
(2)已知a ，b 是有理数，当
0
ab
时，试求
a
b
a
b
的值．
(3)已知a ，b ，c 是非零有理数．满足
0
a
b
c
且
0
abc
，求
a
b
c
b
c
a
c
a
b
的值．
【答案】(1)1，1
(2)2 或2
(3) 1
【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．
（1）根据绝对值的几何意义求解即可；
（2）分类进行讨论，根据绝对值的几何意义求解
（3）根据给出的条件得出, ,
a b c 中有2 个正数，1 个负数，然后根据绝对值的几何意义进行求解即可．
【详解】（1）解：当
3
a
时，则
3
1
3
a
a
；
当
2
a 时，则
2
1
2
a
a
；
故答案为：1，1
；
（2）解：当
0
ab
时，
0,
0
a
b
或
0,
0
a
b
，
当
0,
0
a
b
时，
1 1
2
a
b
a
b
；
当
0,
0
a
b
时，
1 1
2
a
b
a
b
；
∴
a
b
a
b
的值为2 或2
；
（3）解：由a ，b ，c 是非零有理数，
0
a
b
c
且
0
abc
得，
, ,
a b c 中有2 个正数，1 个负数，
∴
,
,
a
b
c b
c
a a
c
b
，
∴
a
b
c
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
b
c
1 1 1
1
．
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6．在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简x 为例．当
0
x
时，x
x
；当
0
x
时，
0
x
；
当
0
x
时，x
x
．
知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为
1
0
a
a
a
求解下列问题：
(1)当
5
x
时，
x
x 值为_____，当
5
x 时，
x
x 的值为_____，当x 为不等于0 的有理数时，
x
x 的值为_____；
(2)已知
0,
0
x
y
z
xyz
，求
y
z
x
z
x
y
x
y
z
的值；
(3)已知：
1
2
2024
2025
,
,
,
,
x x
x
x
，这2025 个数都是不等于0 的有理数，若这2025 个数中有n 个正数，
2024
2025
1
2
1
2
2024
2025
x
x
x
x
m
x
x
x
x
，则m 的值为_____．（请用含n 的式子表示）．
【答案】(1)1，1
，1
(2) 1
或3
(3) 2
2025
n
【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，理解题意，熟练运用分类讨论的数学方法分
析问题是解题关键．
（1）结合题意，根据绝对值的性质化简求值即可；
（2）首先将原式化简，然后结合题意，分“x 为正数，y，z 为负数”，“y 为正数，x，z 为负数”， “z 为正数，
x，y 为负数”三种情况逐一分析计算即可；
（3）根据题意，这2025 个数中有n 个正数，有
2025
n
个负数，然后整理化简即可获得答案．
【详解】（1）解：当
5
x
时，
5
5
1
5
5
x
x
，
当
5
x 时，
5
5
1
5
5
x
x
，
当x 为不等于0 的有理数时，
若
0
x
，则
1
x
x
x
x
；
若
0
x
，则
1
x
x
x
x
．
即
x
x 的值为1
．
故答案为：1，1
，1
；
（2）解：
0
x
y
z
，
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y
z
x
，x
z
y
，x
y
z
．
y
z
x
z
x
y
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
．
0
xyz
，
x
，y，z 的正负性可能为：
当为x 正数，y，z 为负数时，原式
1 1 1
1
；
当为y 正数，x，z 为负数时，原式
1 1 1
1
；
当为z 正数，x，y 为负数时，原式
1 1 1
3
．
综上所示，原式的值为1
或3；
（3）解：根据题意，这2025 个数中有n 个正数，有
2025
n
个负数，
即
2024
2025
1
2
1
2
2024
2025
x
x
x
x
m
x
x
x
x
中有n 个1，有
2025
n
个1
．
1
2025
2025
2
2025
m
n
n
n
n
n
．
故答案为：2
2025
n
．
【题型4 几何意义化简绝对值】
7．如图，已知数轴上有A，B 两个点，分别表示有理数－6，4．若x 表示一个有理数．
(1)数轴上点A 到点B 的距离为______；数轴上到点A、B 的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若
4
2
x
，则x ______；
(3)式子
3
5
x
x
的最小值为______，此时x 的取值范围是______；
(4)式子8
2
3
2
5
x
x
有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10；1
(2)6 或2
(3)8，5
3
x
(4) 8
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几
何意义是解本题的关键．
（1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可；
（2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答；
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（4）把问题转化为式子8
2(|
3|
|
5|)
x
x
，当
3
5
x
x
最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几
何意义分析，得出当x 在5
与3 之间时，有最小值8，然后把
3
5
x
x
的最小值8 代入代数式，计算即
可得出代数式的最大值．
【详解】（1）∵数轴上有
,
A B 两个点，分别表示有理数6,4
，
∴数轴上点6
到点4 的距离为4
( 6)
10
；
∴数轴上到点
,
A B 的距离相等的点的位置表示的有理数为6
4
1
2
；
故答案为：10；1
（2）根据题意，
4
2
x
4
2
x
，
解得：
6
x
或
2
x
故答案为：6 或2
（3）∵
3
x
表示数轴上x 到3 两点之间的距离，
5
x
表示数轴上x 到5
两点之间的距离，
由图可知，
当
5
x 或
3
x
时，
3
5
8
x
x
，
当5
3
x
时，
3
5
8
x
x
∴式子
3
5
x
x
的最小值为8，此时x 的取值范围为5
3
x
；
故答案为：8，5
3
x
（4）
8
2
3
2
5
8
2(
3
5)
x
x
x
x
，
当式子
3
5
x
x
的最小值为8 时，8
2(
3
5)
x
x
有最大值；
此时8
2(
3
5)
8
2 8
8
x
x
8
2(
3
5)
x
x
的最大值为8
8．【阅读】若点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，则
AB
a
b
，即5
3
表示为5 与3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）点A ，B 表示的数分别为7
，2，则AB _______；
（2）若
2
3
x
，则x _________；
【应用】
（3）如图，数轴上表示数a 的点，问
3
2
a
a
是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，
说明理由．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数x ，
6
3
1
x
x
x
是否有最小值？如果有，直接写出最小值，
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并写出此时x 的值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）9；（2）1 或5
；（3）有，5；（4）有，最小值为7，
3
x
【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键．
（1）根据绝对值几何意义计算即可；
（2）根据绝对值几何意义计算即可；
（3）根据|
3|
|
2 |
a
a
的几何意义解答即可；
（4）利用绝对值几何意义，分析出当
3
x 时有最小值解答即可．
【详解】解：（1）点A ，B 表示的数分别为7
，2，则
2
7
9
AB
，
故答案为：9；
（2）数轴上与表示2
的点相距3 个单位的点表示的数为1 或5
，
若
|
2 | |
2 | 3
x
x
，则
1
x 或5
，
故答案为：1 或5
；
（3）有最小值，理由如下：
|
3|
|
2 |
a
a
表示数轴上有理数a 所对的点到3
和2 所对的两点距离之和，
当3
2
a
时，|
3|
|
2 |
a
a
有最小值，
此时最小值为|
3|
|
2 |
3
2
5
a
a
a
a
；
（4）有最小值，理由如下：
若x 表示一个有理数，则|
6 |
|
3|
|
1|
x
x
x
有最小值，|
6 |
|
3|
|
1|
x
x
x
表示到6
，3
和1 距离
的和，
若想和的值最小，则当x 表示3
时，到三点的距离和最小，
当
3
x 时，|
6 |
|
3|
|
1|
x
x
x
的最小值为7．
1．若
0
x
x
，则x 一定是（ ）．
A．正数
B．负数
C．正数或零
D．负数或零
【答案】D
【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解．
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【详解】解：∵
0
x
x
∴
0
x
x
,
∴
0
x
，即x 一定是负数或零
故选：D．
2．若
1
a 与
2
b
互为相反数，则a
b
的值为（ ）
A．3
B．3
C．0
D．3 或3
【答案】A
【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等
于0”是解题关键．根据相反数的定义可得
1
2
0
a
b
，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数
都等于0”，计算出a 和b 的值，即可得出结果．
【详解】解：∵
1
a 与
2
b
互为相反数，
∴
1
2
0
a
b
，
1
0
2
0
a
b
，
，
1
2
a
b
，
，
∴
1
2
3
a
b
，
故选：A．
3．实数a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
0
a b
+ <
B．
0
a
b
C．
0
a b
D．
0
a
b
【答案】B
【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点
的位置判断
0
b
a
，且b
a
，再进一步分析即可．
【详解】解：由数轴上的点位置得：
0
b
a
，且b
a
，
∴
0
a
b
，
0
a
b
，
0
ab
，
0
a
b
，
故选：B．
4．已知
0
a
b
c
，则
2
3
a
b
c
a
b
c
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】本题考查有理数的运算，根据
0
a
b
c
，得到, ,
a b c 的符号为2 正1 负，或者2 负1 正，根据绝
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对值的意义，以及式子的特点得到
0
a
，
0,
0
b
c
时，式子的值最大，进行求解即可．
【详解】解：∵
0
a
b
c
，
∴, ,
a b c 的符号为2 正1 负，或者2 负1 正，
∴a
a
，b
b ，c
c 为2 个1，1 个1
或1 个1，2 个1
∵
2
3
2
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
最大，
∴
0
a
，
0,
0
b
c
，
∴
2
3
a
b
c
a
b
c
的最大值为1
2
3
4
；
故选C．
5．已知a，b 为有理数，下列式子：①ab
ab
；②
0
a
b
；③a
a
b
b
；④
0
a
b
．其中一定能够表示
a，b 异号的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查有理数的乘除法，加法运算法则和化简绝对值，根据有理数的乘除法运算，加法法则，
与化简绝对值的方法逐项判断即可．
【详解】①ab
ab
，则
0
ab
，（否则
0
ab
，可推出ab
ab
，矛盾），即a 与b 异号，符合题意；
②
0
a
b
， a 与b 异号，符合题意；
③a
a
b
b
，若
0
a
成立，a 与b 不一定异号，不符合题意；
④
0
a
b
，当
0
a
b
时成立，不符合题意；
则其中一定能够表示a、b 异号的有2 个．
故选：B．
6．代数式
4
3
a
有最小值是
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．
根据绝对值的非负性，可得
4
3
3
a
，即可求解．
【详解】解：∵
4
0
a
，
∴
4
3
3
a
，
∴代数式
4
3
a
的最小值是3．
故答案为：3．
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7．当x 时，
2
2024
x
的值最大．
【答案】2
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据
2
0
x
，若使
2
2024
x
有最大值，则
2
x
应为0 即可．
【详解】解：
2
0
x
，
要使得
2
2024
x
的值最大，则需满足
2
0
x
，即
2
x
．
故答案为：2 ．
8．已知有理数a 、b 满足
0
ab
，则a
b
a
b
．
【答案】2 或2
或0
【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方
法是解题关键．
分a、b 同号与a、b 异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可．
【详解】解：∵
0
ab
，
∴
0
a
，
0
b
，
若a、b 同号，
当
0
a
，
0
b
时，|
|
|
|
1 1
2
a
b
a
b
；
当
0
a
，
0
b
时，
1
1
2
a
b
a
b
；
若a、b 异号，
当
0
a
，
0
b
时，
1
1
0
a
b
a
b
；
当
0
a
，
0
b
时，|
|
|
|
1 1
0
a
b
a
b
；
综上分析可知，|
|
|
|
a
b
a
b
的值为2，2
，0．
故答案为2 或2
或0．
9．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ，对于以下结论：①
0
b
a
< ；
②
0
a
b
；③a
b
；④
1
b
a ．其中正确的是
（填序号）
【答案】②④/④②
【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．由数轴得，3
0
3
a
b
，
然后绝对值意义，用理数的加法、除法法则判断两数的和、差、商的符号即可．
【详解】解：①由数轴得，3
0
3
a
b
，
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∴
0
b
a
，故①错误，不符合题意；
②由数轴得，3
0
3
a
b
，
∴
0
a
b
，故②正确，符合题意；
③由数轴得，3
0
3
a
b
，
∴a
b
，故③不符合题意；
④由数轴得，3
0
3
a
b
，
∴
1
b
a ，故④正确，符合题意．
故答案为：②④．
10．已知a，b 为实数，下列说法：①若
0
ab
，且a，b 互为相反数，则
1
a
b ；②若a
b
，则
a
b
a
b
是正数；③若
0
a
b
a
b
，则b
a
；④若a
b
，
0
ab
，且
3
3
a
b
，则
6
a
b
，其中正确的
是
．（填序号，填不全得1 分，不填或有错误答案均得0 分）．
【答案】②④/④②
【分析】本题主要考查了相反数定义，有理数的运算，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义，
有理数运算法则．
①根据
0
ab
得出定a、b 异号，不能判断
1
a
b ，即可判断①错误；
②根据a
b
，分
0
a
，
0
b
时，
0
a
，
0
b
时，
0
a
，
0
b
时，
0
a
，
0
b
时，进行讨论，即可判
断②正确；
③根据
0
a
b
a
b
，得出
0
a
b
，求出b
a
，即可判断③错误；
④根据a
b
，
0
ab
，得出
0
a
，
0
b
，得出
3
3
a
a
，根据
3
3
a
b
，得出
3
3
b
，根据
0
b
，得出要使
3
3
b
成立必须使
6
b
，根据
3
3
a
b
，得出3
3
a
b
，即可判断④正确．
【详解】解：①若
0
ab
，只能判定a、b 异号，不能判断
1
a
b ，且c，b 互为相反数与a
b 没有关系，故①
错误；
②若a
b
，
当
0
a
，
0
b
时，
0
a
b
，
0
a
b
> ，
∴
0
a
b
a
b
；
当
0
a
，
0
b
时，
0
a
b
，
0
a
b
> ，
∴
0
a
b
a
b
；
当
0
a
，
0
b
时，
0
a b
+ <
，
0
a
b
，
∴
0
a
b
a
b
；
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当
0
a
，
0
b
时，
0
a b
+ <
，
0
a
b
，
∴
0
a
b
a
b
；
∴若a
b
，则
a
b
a
b
是正数，故②正确；
③∵
0
a
b
a
b
，
∴a
b
a
b
，
∴
0
a
b
，
∴b
a
，故③错误；
④∵a
b
，
0
ab
，
∴
0
a
，
0
b
，
∴
3
3
a
a
，
∴3
3
a
，
∵
3
3
a
b
，
∴
3
3
b
，
∵
0
b
，
∴要使
3
3
b
成立必须使
6
b
，
∴
3
3
b
b
，
∵
3
3
a
b
，
∴3
3
a
b
，
∴
6
a
b
，故④正确；
综上分析可知，正确的有②④．
故答案为：②④．
11．有理数, ,
a b c 在数轴上的位置如图所示．
(1)用“ ”“”或“ ”填空：a
b
_________0，c
a
_________0，
2
b
_________0；
(2)化简：3|
| 3|
| 3|
2 |
a
b
c
a
b
．
【答案】(1) ；；
(2)3
6
c
【分析】本题考查了数轴以及绝对值的计算：
（1）先根据数轴取得, ,
a b c 之间的关系，然后再确定所求代数式的正负；
（2）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项．
【详解】（1）解：
b
c
a
，0
2
b
，a
b
，
0
a
b
，
0
c
a
，
2
0
b
．
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故答案为：；；．
（2）解：结合（1）的结论，可得：
3
3
3
2
a
b
c
a
b
3(
)
3(
)
3(
2)
a
b
a
c
b
3
3
3
3
3
6
a
b
a
c
b
3
6
c
．
12．根据
0
a
这一性质，解答下列问题：
(1)当a 时，|
4 |
a
有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a 取何值时，|
|1
3
a
有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a 取何值时，4
a
有最大值？这个最大值是多少？
【答案】(1)4，0
(2)
1
a ，3
(3)
0
a
，4
【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知0 的绝对值最小，为0，则可得
4
0
a
时，|
4 |
a
有最小值，由此即可求解；
（2）要使|
|1
3
a
有最小值，则|
1|
a
要取最小，即
1
0
a
，由此即可求解；
（3）要使4
a
有最大值，则a 取最小值，结合
0
a
即可求解．
【详解】（1）因为|
4 | 0
a
，所以当
4
a
时，|
4 |
a
有最小值，这个最小值是0．
故答案为：4，0
（2）因为|
1| 0
a
，所以当
1
a 时，|
|1
3
a
有最小值，这个最小值是3．
（3）因为
0
a
，所以
0
a
，所以当
0
a
时，4
a
有最大值，这个最大值是4．
13．有理数a
b
c
、、在数轴上的位置如图：
(1) a
b
______0 ，abc ______0 ，b
a
______0；填（“ ”或“”）
(2)如果a
c
、互为相反数，则a
c ______；
(3)计算：a
b
c
a
b
c
．
【答案】(1)，，；
(2) 1
；
(3)1．
【分析】（1）根据a 、b 、c 在数轴上的位置即可求解；
（2 ）根据相反数的定义即可求解；
（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解；
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本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由数轴可知：
0
a
b
c
，a
b
，
∴
0
a b
+ <
，
0
abc
，
0
b
a
，
故答案为：，，；
（2）解：∵a
c
、互为相反数，
∴
0
a
c
，即a
c
，
∴
1
a
c
c
c
，
故答案为：1
；
（3）解：由数轴可知：
0
a
b
c
，
∴a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
1 1 1
1
．
14．我们知道，a 是指数轴上表示数a 的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴
上点A
B
、分别对应数a
b
、，那么A
B
、两点间的距离为AB
a
b
=
-
．
(1)如图1，点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，则a _____0 ，b _____0 ，a
b
_____0 ；
(2)若
2
3
7
x
x
，则x _____；
(3)已知a
b
c
、、三个数在数轴上的位置如图2 所示，化简：a
b
c
b
a
c
c
b
．
【答案】(1)，，
(2) 4
或3
(3)
3
b
c
【分析】（1）根据数轴解答即可求解；
（2 ）由
2
3
2
3
x
x
x
x
可得式子
2
3
x
x
表示数x 对应的点到2 对应的点与到3
对应点
的距离之和，根据
2
3
5
7
可得数x 不可能在3
与2 之间，再分x 在3
左侧和x 在2 右侧两种情况解
答即可求解；
（3）由数轴可得
0
c
b
a
，c
a
，进而得到
0
a
b
> ，
0
c
b
，
0
a
c
，
0
c
b
，再根据绝对值
的性质化简合并即可；
本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键．
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【详解】（1）解：由数轴可得，
0
a
，
0
b
，a
b
，
∴
0
a
b
，
故答案为：，，；
（2）解：∵
2
3
2
3
x
x
x
x
，
∴式子
2
3
x
x
表示数x 对应的点到2 对应的点与到3
对应点的距离之和，
∵
2
3
5
7
，
∴数x 不可能在3
与2 之间，
当x 在3
左侧时，则
2
3
7
x
x
，
解得
4
x ；
当x 在2 右侧时，则
2
3
7
x
x
，
解得
3
x
；
∴
4
x 或
3
x
，
故答案为：4
或3；
（3）解：由数轴可得，
0
c
b
a
，c
a
，
∴
0
a
b
> ，
0
c
b
，
0
a
c
，
0
c
b
，
∴原式
a
b
c
b
a
c
b
c
a
b
c
b
a
c
b
c
3
b
c
．
1．有理数a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，已知
0
a
b
，有如下四个结论：①
0
ab
；
②a
c
；③
0
a
c
；④
0
b
c
．上述结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据
0
a
b
，表示a，b 互为相反数，从而在数轴上标出原点，结合数轴得
0
c
b
a
，
a
b
，据此进行判断各结论，得到结果．本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵
0
a
b
，
∴数轴上的原点在表示a，b 两点的中间，a，b 互为相反数，
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∴
0
c
b
a
，a
b
，
∴
0
ab
，结论①错误，不符合题意；
∴a
c
，结论②错误，不符合题意；
∴
0
a
c
，结论③正确，符合题意；
∴
0
b
c
，结论④正确，符合题意，
则正确的结论有2 个，
故选：B．
2．下列说法：①若
0
x
x
，则x 为负数；②若a
不是负数，则a 为非正数；③
2
2
a
a
；④若
a
b
，b
b
，则
0
a
b
．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的性质是解题关键．
根据绝对值的性质
0
0
0
0
a a
a
a a
a
逐个分析判断即可得解．
【详解】解：若
0
x
x
，
x
x
，
0
x
．
①的说法错误；
若a
不是负数，
0
a
，
0
a
，即a 为非正数．
②的说法正确；
2
2
a
a
，
2
2
a
a
，
2
2
a
a
．
③的说法正确；
若a
b
，b
b
，
0
a
b
，
0
a
b
．
④的说法正确．
综上所述，正确的结论有②③④，共3 个正确结论．
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故选：C．
3．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，且a
b
，则a
b
，a
b
，a c
，
b
c
，化简c
a
b
a
【答案】
b
a
a
b
a
c
b
c
b
c
【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在
数轴的位置判断式子的正负是解题的关键．
根据数轴上各点的位置可得
0
a
c
b
，a
b
c
，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质
化简即可．
【详解】解：根据数轴上有理数a 、b 、c 的位置可得：
0
a
c
b
，a
b
c
，
∴
0
a
b
，
0
a
b
，
0
a
c
，
0
b
c
，
∴a
b
b
a
，a
b
a
b
，a
c
a
c
，b
c
b
c
，
∴c
a
b
a
c
a
b
a
b
c
，
故答案为：b
a
，a
b
，a
c
，b
c
，b
c
．
4．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“
3
9 4 站台”的镜头（如示意图的Q 站台），构思奇妙，给
观众留下深刻的印象．若A
B
、站台分别位于
2
3
，8
3 处，若P 站台到A 站台的距离是到B 站台距离的2 倍，
则P 站台用类似电影的方法可称为“
站台”．
【答案】5
19 或6
【分析】本题主要考查了数轴，解题关键是用几何方法借助数轴来求解．先根据两点间的距离公式得到AB
的长度，再根据
2
AP
PB
求得AP 的长度，再用
2
3
加上该长度即为所求．
【详解】A
B
、站台分别位于
2
3
，8
3 处
A 站台与B 站台之间的距离
8
2
10
3
3
3
，
A 站台与P 站台之间的距离
10
2
20
3
2 1
9
，
P 站台是
9
2
20
5
3
9
1
；
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或A 站台与P 站台之间的距离
10
20
2
3
3
，
P 站台是
2
20
6
3
3
．
故P 站台用类似电影的方法可称为“ 5
19 或6 站台”．
故答案为：5
19 或6．
5．阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道| 5
3|
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可
以理解为5 与3 两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．| 5
( 2) |
可以表示5 与2
之差的绝对值．也可
以理解为5 与2
两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)| 4
1|
表示数轴上4 与___________所对应的两点之间的距离．
(2)|
5|
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到___________所对应的点之间的距离，|
2 |
x
表示数轴上有理数
x 所对应的点到___________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数x ，使得|
2 |
|
1| 3
x
x
请直接写出这样的整数x 的
值：_________________________________．
(4)利用绝对值的几何意义，求出|
3|
|
2 |
x
x
的最小值．
【答案】(1)1
(2)5，2
(3) 2
，1
，0，1
(4)5
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据数轴上的两点距离可直接判断；
（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x 所对应的点到2
的距离和到1 的距离的和为3，
进而求解；
（4）利用绝对值的几何意义，写出|
3|
|
2 |
x
x
的最小值；
【详解】（1）解：由题意得：| 4
1|
表示数轴上4 与1 所对应的两点之间的距离；
故答案为：1；
（2）解：|
5|
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到5 所对应点之间的距离；|
2 |
x
表示数轴上有理数x 到2
所对应点之间的距离．
故答案为：5，2
；
（3）解：由题意得：|
2 |
|
1| 3
x
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到2
的距离和到1 的距离的和为3，
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又∵
2 1
3
，
∴2
1
x
，
又∵x 为整数，
∴x 表示的数为：2
，1
，0，1．
故答案为：2
，1
，0，1．
（4）解：由题意得：当3
2
x
时，|
3|
|
2 |
x
x
有最小值，最小值为：
3
2
5
．
6．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问
题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c 都是正数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，则
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
1
1
1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3 或1
．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值；
(2)若a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，求
abc
abc 的值．
【答案】(1) 3
或1
(2)1
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c 的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情
况讨论；
（2）由题意得，a，b，c 中有2 个负数，1 个正数，则
0
abc
，利用绝对值的意义可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①若a，b，c 都是负数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，
1
1
1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为负数，另两个为正数时，
不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
则
1
1 1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
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综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3
或1；
（2）解：∵a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，
∴a，b，c 有2 个负数，1 个正数，
∴
0
abc
，
∴
1
abc
abc
abc
abc
．
7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．
(1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系：
①点D 和点A 之间的距离为______，②点D 到点G 的距离为______；
③点C 和点A 之间的距离为______，④点C 到点F 的距离为______；
(2)【发现新知】如果数轴上点P 对应的数是a ，点Q 对应的数是b ，那么点P 和点Q 之间的距离可表示为
PQ ______．（用含a ，b 的式子表示）
(3)【综合运用】①数轴上表示x 和4.5
的两点M ，N 之间的距离是10，求x 的值．
②式子
2
4
6
8
x
x
x
x
的最小值是______．
【答案】(1)①4 ②2 ③3 ④4；
(2) a
b
；
(3)①
5.5
x
或
14.5
x
；②式子
2
4
6
8
x
x
x
x
的最小值是8．
【分析】本题考查了列代数式、数轴，两点间距离，解决本题的关键是绝对值的意义的运用．
（1）观察数轴运用有理数减法即可求解；
（2）根据（1）中所观察规律即可得结论；
（3）①根据（2）中得到的结论列出等式
4.5
10
x
，求解即可；
②分
2
x
，2
4
x
，4
6
x
，6
8
x
，
8
x
五种情况讨论，可得答案．
【详解】（1）解：观察数轴，可得
①点D 与点A 的距离为
1
3
1 3
4
，
故答案为：4；
②点D 与点G 的距离为1 3
2
2
；
故答案为：2；
③点C 与点A 的距离为
0
3
0
3
3
，
故答案为：3；
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④点C 与点F 的距离为0
4
4
4
；
故答案为：4；
（2）解：如果点P 对应的数是a，点Q 对应的数是b，那么点P 与点Q 之间的距离可表示为
PQ
a
b
．
故答案为：a
b
；
（3）解：①根据（2），得：
4.5
10
x
，
4.5
10
x
，
即4.5
10
x
或4.5
10
x
，
解得：
14.5
x
或
5.5
x
．
②分五种情况：
当
2
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
20
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
此时，当
2
x
时，最小值是12；
当2
4
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
16
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
此时，当
4
x
时，最小值是8；
当4
6
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
8
x
x
x
x
x
x
x
x
；
当6
8
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
此时，当
6
x
时，最小值是8；
当
8
x
时，
2
4
6
8
2
4
6
8
4
20
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
此时，当
8
x
时，最小值是12；
综上，当式子
2
4
6
8
x
x
x
x
取最小值时，相应的x 的取值范围是4
6
x
，
即
2
4
6
8
x
x
x
x
2
4
6
8
x
x
x
x
=8，
∴
2
4
6
8
x
x
x
x
最小值是8．
故答案为：8．
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