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专项训练04 线段上的动点问题
【知识点1 线段上的动点问题】
1. 动点位置的表示（含时间参数）
- 基本公式：点P 从端点A 出发，速度为v，运动时间为t：
- 向端点B 运动：AP = vt，PB = AB - vt。
- 若从B 向 A 运动：BP = vt，PA = AB - vt 。
- 关键：动点位置常用“到某个端点的距离”或“剩余距离”表示。
- 多动点：分别用含 t 的式子表示各自的位置（用距离或比例）。
2. 核心等量关系：距离与比例
- 距离相等：如AP = PB（中点），列方程 vt = AB - vt 。
- 距离和/差为定值：如AP + PB = AB（恒成立，无新信息）； AP - PB = d （需讨论P 的位置）。
- 比例关系：如 AP : PB = m : n ，列比例方程
vt
AB − vt =
𝑚
𝑛 。
- 折返问题：点到达端点后折返，用分段函数表示位置（如先到B 再返回A ）。
3. 分类讨论与多解验证
- 位置不确定：点P 可能在端点之间，也可能在端点处，需分情况讨论（如AP > PB 或AP < PB）。
- 绝对值方程：若无法确定左右位置，用绝对值表示距离，解出多个t 后需验证是否在运动时间范围内。
- 多动点相遇：多个动点同时运动，相遇条件为位置相同，但需注意相遇时是否仍在线段上。
【题型1 线段上含动点求线段长问题】
1．已知：M 是线段AB 上一定点，C，D 两点分别从M，B 出发以1cm/s ，3cm/s 的速度沿直线BA 向A，M
运动，运动方向如箭头所示．
(1)若
10cm
AB
，当点C，D 运动2 秒时，求AC
MD
的值．
(2)若C，D 运动时，总有
3
MD
AC
，则AM ____________ AB
.
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(3)在（2）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN
BN
MN
，MN
AB 的值为__________．
【答案】(1)2cm
(2) 1
4
(3) 1
2 或1
【分析】（1）根据题意算出CM ，BD ，再由AC
MD
AB
CM
BD
，即可解题．
（2）设运动时间为t，则CM
t
，
3
BD
t
，根据AC
AM
t
，
3
MD
BM
t
，结合
3
MD
AC
，
BM
AB
AM
即可解题．
（3）根据N 是直线AB 上一点，且AN
BN
MN
，可分为以下两种情况讨论，当点N 在线段AB 上时
和当点N 在线段AB 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出MN 与AB 的数量关系，即可解题．
【详解】（1）解：当点C、D 运动了2s时，
2
CM
cm
，
6cm
BD
，
10
AB
cm
，
2
CM
cm
，
6cm
BD
，
10
2
6
2
AC
MD
AB
CM
BD
cm
．
（2）解：设运动时间为t，
则CM
t
，
3
BD
t
，
AC
AM
t
，
3
MD
BM
t
，
又
3
MD
AC
，
3
3
3
BM
t
AM
t
，
即
3
BM
AM
，
BM
AB
AM
，
3
AB
AM
AM
，
1
4
AM
AB
．
（3）解：当点N 在线段AB 上时，如图
AN
BN
MN
，
又
AN
AM
MN
，
1
4
BN
AM
AB
，
1
2
MN
AB
，即
1
2
MN
AB
．
当点N 在线段AB 的延长线上时，如图：
AN
BN
MN
，
又
AN
BN
AB
，
MN
AB
，即
1
MN
AB ．
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综上所述MN
AB 的值为
1
2 或1．
2．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣．
如图1，图2，点C 在线段AB 上，M，N 分别是AC ，BC 的中点．若
10
AB
，
6
AC
，求MN 的长．
(1)根据题意，琪琪求得MN ；
(2)琪琪在求解（1）的过程中，发现MN 的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始
深入探究．
已知AB
a
，C 是线段AB 上任意一点（不与点A，B 重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解
答：
①如图1，M，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN ；
②如图2，M，N 分别为靠近A、B 的AC ，BC 的三等分点，即
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，求MN 的长；
③若M，N 分别为靠近A、B 的AC ，BC 的n 等分点，即
1
AM
AC
n
，
1
BN
BC
n
，则MN ．
【答案】(1)5
(2)①1
2 a ；②
2
3
MN
a
；③
1
n
a
n
【分析】本题考查了线段中点的意义、线段的和差计算；
（1）首先根据M 、N 分别是AC 、BC 的中点，可得
1
3
2
CM
AC
、
1
2
2
CN
BC
，从而可得
5
MN
CM
CN
；
（2）①由M ，N 分别是AC ，BC 的中点，可得
1
1
1
2
2
2
MN
AC
BC
AB
，根据AB
a
可得
1
2
MN
a
；
②根据
1
3
AM
AC
、
1
3
BN
BC
，可知
2
3
CM
AC
、
2
3
CN
BC
，所以可得
2
2
2
3
3
3
MN
CM
CN
AC
BC
AB
，从而可得
2
3
MN
a
；
③由
1
AM
AC
n
，
1
BN
BC
n
，知
1
n
CM
AC
n
，
1
n
CN
BC
n
，即得
1
1
1
n
n
n
MN
CM
CN
AC
BC
AB
n
n
n
，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵
10
AB
，
6
AC
，
4
BC
AB
AC
，
点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，
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1
3
2
CM
AC
，
1
2
2
CN
BC
，
5
MN
CM
CN
；
故答案为：5 ；
（2）①因为M 、N 分别是AC 、BC 的中点，
1
2
CM
AC
，
1
2
CN
BC
，
1
1
1
2
2
2
MN
AC
BC
AB
，
AB
a
，
1
2
MN
a
；
故答案为：1
2 a ；
②
1
3
AM
AC
，
1
3
BN
BC
，
2
3
CM
AC
，
2
3
CN
BC
，
2
2
2
3
3
3
MN
CM
CN
AC
BC
AB
，
AB
a
，
2
3
MN
a
；
③
1
AM
AC
n
，
1
BN
BC
n
，
1
n
CM
AC
n
，
1
n
CN
BC
n
，
1
1
1
n
n
n
MN
CM
CN
AC
BC
AB
n
n
n
，
AB
a
，
1
n
MN
a
n
，
故答案为：
1
n
a
n
．
【题型2 线段上含动点求定值问题】
3．已知线段AB
m
，CD
n
，线段CD在直线AB 上运动(点A 在点 B 的左侧，点C 在点D 的左侧)，且
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2
12
6
0
m
n
．
(1)求线段AB ，CD的长；
(2)若点 M，N 分别为线段AC ，BD 的中点，
4
BC
，求线段MN 的长；
(3)当CD运动到某一时刻时，点D 与点 B 重合，P 是线段AB 延长线上任意一点，有下列两个结论：①
PA
PB
PC
是定值， ②PA
PB
PC
是定值，请选出正确的结论并求出该定值．
【答案】(1)
12
AB
，
6
CD
．
(2)9
(3)②正确，2
【分析】本题考查了非负数的性质、线段的和差、与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运
用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由非负数的性质求出
12
m
，
6
n
，即可得出结果；
（2）分两种情况：①当点C 在点B 的右侧时，②当点C 在点B 的左侧时，分别计算即可得出结果；
（3）由题意可得BC
DC
，再证明AC
BC
，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵
2
12
6
0
m
n
，
12
0
m
，
2
6
0
n
，
∴
12
0
m
，6
0
n
，
∴
12
m
，
6
n
，
即
12
AB
，
6
CD
．
（2）解：①当点C 在点B 的右侧时，如图1 所示．
∵M，N 分别为线段AC ，BD 的中点，
4
BC
，
∴
1
1
8
2
2
AM
AC
AB
BC
，
1
1
5
2
2
DN
BD
CD
BC
，
∵
12
4
6
22
AD
AB
BC
CD
，
∴
22
8
5
9
MN
AD
AM
DN
．
②当点C 在点B 的左侧时，如图2 所示．
∵M，N 分别为线段AC ，BD 的中点，
4
BC
，
∴
1
1
4
2
2
AM
AC
AB
BC
，
1
1
1
2
2
DN
BD
CD
BC
．
∵
12
6
4
14
AD
AB
CD
BC
，
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∴
14
4 1
9
MN
AD
AM
DN
；
综上所述，线段MN 的长为9；
（3）解：②正确，且
2
PA
PB
PC
，
∵点 D 与点B 重合，
∴BC
DC
，
∴
6
AC
AB
BC
AB
DC
，
∴AC
BC
，
∴
2
2
PC
AC
PC
BC
PA
PB
PC
PC
PC
PC
．
4．如图线段
12
AB
，动点Q 从点A 出发，以2 个单位长度/秒的速度沿射线AB 运动，点M 为线段AQ 的中
点，点N 为线段BQ 的中点，设运动时间为t ．
(1)当点Q 在射线AB 上运动时，
①当
2
t
时，线段MB 的长度为________；
②线段MN 的长度为________．
(2)当点Q 在线段AB 上运动时，下列2 个结论中：①2MB
BQ
为定值；②2MB
BQ
为定值．正确的结论
是________，说明理由并求其值．
(3)若动点Q 出发时，动点P 也同时从点B 出发，以1个单位长度/秒沿射线BA 运动．1
3 PQ
BM
是否存在最
小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①10；②6
(2)①，2MB
BQ
为定值12，理由见解析
(3)存在，1
3 PQ
BM
的最小值为8
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段中点的性质、代数式表示线段长度以及绝对值函数的最
值求解，熟练运用中点公式和绝对值的几何意义是解答本题的关键．
（1）①根据动点运动速度和时间求出线段长度，结合中点性质计算线段MB 的长度；
②利用中点性质分别表示出MQ 和NQ ，再通过线段和差求出MN 的长度；
（2）用含时间t 的代数式分别表示MB 和BQ ，代入两个结论的表达式进行化简，判断是否为定值；
（3）建立数轴模型，用绝对值表示PQ 和BM ，将目标表达式转化为绝对值函数，通过分段讨论或利用绝
对值的几何意义，求出函数的最小值．
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【详解】（1）解：①当
2
t
时，
2
2
4
AQ
，
1
2
2
AM
AQ
，
12
2
10
MB
AB
AM
；
②
8
BQ
AB
AQ
，
1
4
2
QN
BQ
，
1
2
2
MQ
AQ
，
6
MN
MQ
QN
．
（2）解：正确结论①，2MB
BQ
为定值12，理由如下：
依题意
2
AQ
t
，
点M 为AQ 中点，
1
2
AM
MQ
AQ
t
12
MB
AB
AM
t
12
2
BQ
AB
AQ
t
2
2 12
12
12
MB
BQ
t
t
为定值．
（3）解：存在最小值．以点A 为原点，射线AB 的方向为正方向，建立数轴；
点A 表示的数为0 ，点B 表示的数为12，点Q 表示的数为2t ，点P 表示的数为12
t
点M 为AQ 中点
点M 表示的数为t
2
12
3
12
PQ
t
t
t
，
12
BM
t
，
1
4
12
3 PQ
BM
t
t
当
4
t
时，1
4
12
16
2
8
3 PQ
BM
t
t
t
；
当4
12
t
时，1
4 12
8
3 PQ
BM
t
t
；
当
12
t
时，1
4
12
2
16
8
3 PQ
BM
t
t
t
，
综上所述，1
3 PQ
BM
的最小值为8 ．
【题型3 线段上含动点求时间问题】
5．如图，已知点C 在线段AB 上，
2
AC
BC
，
18
AB
．点D ，点E 在直线AB 上，满足
8
DE
，且点D
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在点E 的左侧．
(1)当E 为BC 中点时，求AD 的长；
(2)点F（异于A，B，C 三点）在线段AB 上，
3
AF
AD
，
3
CE
EF
，求AD 的长；
(3)若点D 从点A 处出发，以3 个单位长度/秒的速度沿线段AB 向右运动，点E 随之向右运动，设运动时间
为t 秒，求出当点D 或点E 三等分线段AB 时t 的值．
【答案】(1)7
(2) AD 的长为3 或5
(3)当
4
3
t
或
2
t
或
4
t
时，点D 或点E 三等分线段AB
【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键．
（1）首先根据
2
AC
BC
得到
6
BC
，
12
AC
，然后由线段中点的概念得到
3
CE
，然后利用线段的和
差关系求解即可；
（2）根据题意分点E 在点F 的左侧和点E 在点F 的右侧两种情况讨论，然后分别根据线段的和差关系求解
即可；
（3）根据题意分点E 为线段AB 靠近点B 的三等分点，点D 为线段AB 靠近点A 的三等分点和点D 运动到
线段AB 靠近点B 的三等分点，然后根据线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：如图，
因为
2
AC
BC
，
18
AB
，
所以
6
BC
，
12
AC
．
因为E 为BC 中点，
所以
3
CE
．
因为
8
DE
，
所以
5
CD
DE
CE
，
所以
12
5
7
AD
AC
CD
；
（2）解：①当点E 在点F 的左侧时，如图，
因为
3
CE
EF
，
6
BC
，
所以点F 是BC 的中点，
所以
3
CF
BF
，
所以
18
3
15
AF
AB
BF
．
因为
3
AF
AD
，
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所以
1
5
3
AD
AF
；
②当点E 在点F 的右侧时，如图，
因为
12
AC
，
3
CE
EF
CF
，
所以
9
AF
AC
CF
，
所以
3
9
AF
AD
，
所以
3
AD
．
其他情况不存在，舍去．
综上所述，AD 的长为3 或5．
（3）解：当点E 为线段AB 靠近点B 的三等分点时，
此时
6
BE
，
8
DE
，
所以
4
AD
，
所以点D 向右运动了4
3 秒，即
4
3
t
；
当点D 为线段AB 靠近点A 的三等分点时，
6
AD
，
所以点D 向右运动了6
2
3
（秒），即
2
t
；
当点D 运动到线段AB 靠近点B 的三等分点时，
12
AD
，
所以点D 向右运动了12
4
3
（秒），即
4
t
．
综上所述，当
4
3
t
或
2
t
或
4
t
时，点D 或点E 三等分线段AB ．
6．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P 以0.5cm/s 的速度从点A 沿线段AC 向点C 运动；同时点Q
以1cm/s 从点C 出发，在线段CB 上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P 运动到点C 时，
点P、Q 都停止运动，设点P 运动的时间为t 秒．
(1)当t＝1 时，PQ＝ cm；
(2)当t 为何值时，点C 为线段PQ 的中点？
(3)若点M 是线段CQ 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM 的长度保持不变？如果存
在，求出PM 的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
(2)t 为2 或14
3 时，点C 为线段PQ 的中点
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(3)存在，PM 的长度为3cm 或1cm，理由见解析
【分析】（1）根据题意可求出AC 的长，AP 和CQ 的长，再由PQ
AC
CQ
AP
即可求出PQ 的长；
（2）由题意可得出t 的取值范围，再根据点C 在线段CB 上做来回往返运动，可分类讨论①当Q 由C 往B
第一次运动时，即0
2
t
时，分别用t 表示出CP 和CQ 的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t 的
值即可；②当Q 由B 往C 点第一次返回时，即2
4
t
时，同理求出t 的值即可；③当Q 由C 往B 第二次
运动时，即4
6
t
时，同理求出t 的值即可．最后舍去不合题意的t 的值即可．
（3）同理（2）可分类讨论①当Q 由C 往B 第一次运动时，即0
2
t
时，分别用t 表示出CP 和CM 的长
度，再根据PM
CP
CM
，求出PM 即可；②当Q 由B 往C 点第一次返回时，即2
4
t
时，同理求出PM
即可；③当Q 由C 往B 第二次运动时，即4
6
t
时，同理求出PM 即可．最后根据判断所求PM 的代数
式中是否含t 即可判断．
【详解】（1）解：当
1
t 时，
0.5 1
0.5cm
1 1
1cm
AP
CQ
，
，
∵
5cm
:
3: 2
AB
AC CB
，
，
∴
3
3cm
5
AC
AB
，
∴
3 1 0.5
3.5cm
PQ
AC
CQ
AP
．
故答案为：3.5．
（2）∵点P 运动到点C 时，点P、Q 都停止运动，
∴
3
0
6
0.5
t
．
∵
5cm
:
3: 2
AB
AC CB
，
，
∴
2
2cm
5
BC
AB
．
①当Q 由C 往B 第一次运动时，即
2
0
2
1
t
时，
此时
0.5 cm
AP
t
，
cm
CQ
t
，
∴
(3
0.5 )cm
CP
AC
AP
t
，
∵点C 为线段PQ 的中点，
∴CP
CQ
，即3
0.5t
t
，
解得：
2
t
；
②当Q 由B 往C 点第一次返回时，即
4
2
4
1
t
时，
此时
(3
0.5 )cm
CP
t
，
(4
)cm
CQ
t
，
∴3
0.5
4
t
t
，
解得：
2
t
，不符合题意舍；
③当Q 由C 往B 第二次运动时，即4
6
t
时，
此时
(3
0.5 )cm
CP
t
，
(
4)cm
CQ
t
，
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∴3
0.5
4
t
t
，
解得：
14
3
t
；
综上可知，t 为2 或14
3 时，点C 为线段PQ 的中点；
（3）根据（2）可知0
6
t
．
∵点M 是线段CQ 的中点，
∴CM
QM
．
①当Q 由C 往B 第一次运动时，即0
2
t
时，
此时
(3
0.5 )cm
CP
t
，
1
1 cm
2
2
CM
CQ
t
．
∵PM
CP
CM
，
∴
1
3
0.5
3cm
2
PM
t
t
，
∴此时PM 为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q 由B 往C 点第一次返回时，即2
4
t
时，
此时
(3
0.5 )cm
CP
t
，
1
1
(2
)cm
2
2
CM
CQ
t
，
∴
1
3
0.5
2
(5
)cm
2
PM
t
t
t
，
∴此时PM 的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；
③当Q 由C 往B 第二次运动时，即4
6
t
时，
此时
(3
0.5 )cm
CP
t
，
1
1
(
2)cm
2
2
CM
CQ
t
，
∴
1
3
0.5
2
1cm
2
PM
t
t
，
∴此时PM 为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM 的长度为3cm 或1cm．
【题型4 线段上含动点的新定义型问题】
7．综合与探究：
在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：点
C 在线段AB 上，若
2
BC
AC
或
2
AC
BC
，则称点C 是线段AB 的“优点”，线段AC ，BC 称作互为“优点”
伴侣线段．
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(1)观察判断
如图1，点C 为线段AB 的“优点”．
①若
8,
AC
AC
BC
，则AB _____；
②若点D 也是线段AB 的“优点”（不同于点C ），则AC _____ BD （填“＝”或“≠”）；
(2)性质探究
如图2，在原点为O 的数轴上有
,
E F 两点，其中E 点表示的数为1，F 点表示的数为4．若点M 在点N 的
左侧，且
,
M N 均为线段OF 的“优点”，求线段MN 的长；
(3)拓展应用
在（2）的探究中，若点G 在线段EF 的延长线上，且线段EF 与GF 互为“优点”伴侣线段，求点G 表示的
数．
【答案】(1)①24；②
(2) 4
3
(3)5.5 或10
【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨
论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义．
（1）①由
2
BC
AC
即可求解；②利用“优点”定义求出BD ，AC 与AB 的数量关系即可；
（2）根据点M 在N 左侧，再由“优点”定义求解即可；
（3）根据点G 在线段EF 的延长线上，可得出
2
EF
GF
或
2
GF
EF
，求解即可．
【详解】（1）解：①∵点C 为线段AB 的“优点”，
8
AC
BC AC
,
，
∴
2
16
BC
AC
，
∴
24
AB
AC
BC
，
故答案为：24；
②如图，
∵点D 是线段AB 的“优点”（不同于点C ），
∴
2
AD
BD
，
∴
2
3
AB
AD
BD
BD
BD
BD
，即
1
3
BD
AB
由①得
2
BC
AC
，
∴
2
3
AB
AC
BC
AC
AC
AC
，即
1
3
AC
AB
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∴AC
BD
，
故答案为：；
（2）解：如图，
∵点F 表示的数为4，
∴
4
OF
，
当点M 在点N 左侧时，则
2
MF
OM
，
2
ON
NF
，
∴
1
1
,
3
3
OM
OF NF
OF
，
∴
1
3
OM
NF
OF
，
∴
1
3
MN
OF
，
∴
4
3
MN
；
（3）解：∵点E 表示的数为1，点F 表示的数为4，
∴
4 1
3
EF
，
线段
,
EF GF 互为“优点”伴侣线段时，有
2
EF
GF
或
2
GF
EF
，
当
2
EF
GF
时，
1.5
GF
，
∴点G 表示的数为4
1.5
5.5
，
当
2
GF
EF
时，
6
GF
，
∴点G 表示的数为4
6
10
，
综上，点G 表示的数为5.5或10．
8．对于数轴上A，B，M，N 四点，给出如下定义：当点M 在线段AB 上（不与点A，B 重合），
1d
AM
BM
称为点M 关于线段AB 的“内差距”；当点N 在线段AB 外，
2
d
AN
BN
称为点N 关于线段AB 的“外差
距”．
如图，点A 表示的数为5
，点B 表示的数为4．若点M 表示的数为1
，则“内差距”
1
1
d ；若点N 表示的
数为5，则“外差距”
2
9
d
．
(1)已知点A 表示的数为7
，点B 表示的数为3．
①若点M 关于线段AB 的“内差距”
1
0
d
，求证：点M 是线段AB 的中点；
②若点M表示的数为m，点M关于线段AB 的“内差距”为
1d ，点N关于线段AB 的“外差距”为
2
d ，且
1
2
12
d
d
，
求m 的值；
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(2)点A 表示的数为x，
5
AQ
，点Q 关于线段AB 的“外差距”
2
16
d
，原点O 关于线段AB 的“内差距”
1d ，
若
1
2
1
2
d
d
，求点Q 表示的数．
【答案】(1)①见解析；②1
或3
(2) 9
或17
【分析】本题考查线段的和差关系，绝对值，掌握“内差距”“外差距”的定义是解题的关键．
（1）①由
1
0
d
可得
0
AM
BM
，进而可得AM
BM
；②先根据“外差距”的定义求出
2
10
d
，进而可
得
10
AM
BM
，再根据
1
2
12
d
d
，求出
1
2
d ，分
2
AM
BM
和
2
BM
AM
两种情况，分别计算即
可；
（2）根据
2
16
d
，可得
16
AB
，根据
1
2
1
2
d
d
，可得
1
8
d
AO
BO
，进而可得
12
AO
或4，
12
x
或4
，分点Q 在点A 右侧与左侧两种情况，分别计算即可．
【详解】（1）解：①∵点M 关于线段AB 的“内差距”
1
0
d
，
∴
0
AM
BM
，
∴AM
BM
，
∴点M 是线段AB 的中点；
②∵点N 关于线段AB 的“外差距”为
2
d ，
∴
2
3
7
10
d
AN
BN
AB
，
∴
10
AM
BM
，
∵
1
2
12
d
d
，
∴
1
2
d ，
∵点M 关于线段AB 的“内差距”为
1d ，
∴
1
2
d
AM
BM
，
当
2
AM
BM
时，
6
AM
，
4
BM
，
∴
7
6
1
m
，
当
2
BM
AM
时，
4
AM
，
6
BM
，
∴
7
4
3
m
，
综上所述，m 的值为1
或3
；
（2）解：∵点Q 关于线段AB 的“外差距”
2
16
d
，
∴
16
AB
，
∵原点O 关于线段AB 的“内差距”为
1d ，
1
2
1
2
d
d
，
∴
1
8
d
AO
BO
，
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∴
8
AO
OB
或
8
OB
AO
，
∴
12
AO
或4，
∴
12
x
或4
，
当点Q 在点A 右侧时，点A 表示的数为x，点Q 表示的数为
5
x ，点B 表示的数为
16
x
，
∴
12
x
或4，
∴点Q 表示的数为9 或17，
当点Q 在点A 左侧时，点A 表示的数为x，点Q 表示的数为
5
x ，点B 表示的数为
16
x
，
∴
12
x
或4
∴点Q 表示的数为9
或17
，
综上所述，点Q 表示的数为9
或17
.
1．已知点M 是线段AB 上一点，若
1
4
AM
AB
，点N 是直线AB 上的一动点，且AN
BN
MN
，则MN
AB
的（ ）
A．3
4
B．
1
2
C．1 或
1
2
D．3
4 或2
【答案】C
【分析】根据N 在线段AB 上和线段AB 外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．
【详解】当N 在射线BA 上时，AN
BN
，不合题意
当N 在射线AB 上时，AN
BN
AB
MN
，此时
1
MN
AB
当N 在线段AB 上时，
由图可知AN
MN
AM
BN
BM
MN
，
∴
2
AN
BN
MN
AM
BM
MN
MN
AM
BM
MN
，
∴MN
BM
AM
∵
1
4
AM
AB
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∴
3
4
BM
AB
∴
1
2
MN
BM
AM
AB
∴
1
2
MN
AB
故选：C．
2．如图，已知A，B（B 在A 的左侧）是数轴上的两点，点A 对应的数为4，且
6
AB
，动点P 从点A 出
发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P 的运动过程中，M，N 始终为AP，BP 的中点，设
运动时间为
0
t t
秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B 对应的数是2；②点P 到达点B 时，
3
t
；③
2
BP
时，
2
t
；④在点P 的运动过程中，线段MN
的长度不变．
A．①③④
B．②③④
C．②③
D．②④
【答案】D
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；
②利用路程除以速度即可；
③分两种情况，点P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，由题意求出AP 的长，再利用路程除以速度即可；
④分两种情况，点P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B 对应的数是x，
∵点A 对应的数为4，且
6
AB
，
∴4
6
x
，
∴
2
x ，
∴点B 对应的数是-2，故①错误；
由题意得：
6÷2=3（秒），
∴点P 到达点B 时，t=3，故②正确；
分两种情况：
当点P 在点B 的右侧，
∵AB=6，BP=2，
∴
6
2
4
AP
AB
BP
，
∴4÷2=2（秒），
∴BP=2 时，t=2，
当点P 在点B 的左侧，
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∵AB=6，BP=2，
∴
6
2
8
AP
AB
BP
，
∴8÷2=4（秒），
∴BP=2 时，t=4，
综上所述，BP=2 时，t=2 或4，故③错误；
分两种情况：
当点P 在点B 的右侧，
∵M，N 分别为AP，BP 的中点，
∴
1
2
MP
AP
，
1
2
NP
BP
，
∴
1
1
1
1
3
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
BP
AP
BP
AB
，
当点P 在点B 的左侧，
∵M，N 分别为AP，BP 的中点，
1
2
MP
AP
，
1
2
NP
BP
，
∴
1
1
1
1
3
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
BP
AP
BP
AB
，
∴在点P 的运动过程中，线段MN 的长度不变，故④正确．
所以，上列结论中正确的是②④．
故选：D．
3．已知线段
24cm
AB
，动点P 从点A 出发，以每秒6cm的速度沿AB 向右运动，同时，动点Q 从点B 出
发，以每秒4cm 的速度沿BA 向左运动，设运动时间为t 秒
0
4
t
．在整个运动过程中，请你用t 的式子
表示线段PQ的长
．
【答案】
24 10
cm
t
或
10
24 cm
t
【分析】本题考查两点间的距离，t 秒后点P 的路程是6 cm
t
，点Q 的路程是4 cm
t
，再根据两点运动的方向
和AB 的长可得答案．
【详解】解：∵t 秒后点P 的路程是6 cm
t
，点Q 的路程是4 cm
t
，
24cm
AB
，
∴在P 与Q 相遇前，
24
6
4
24 10
cm
PQ
t
t
t
；
在P 与Q 相遇后，
6
4
24
10
24 cm
PQ
t
t
t
．
故答案为：
24 10
cm
t
或
10
24 cm
t
．
4．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满
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足“中点关系”．已知，如图点A ，B 表示的数分别为2
，6 ，点C 为数轴上一动点．若A ，B ，C 三点满足“中
点关系”时，则点C 表示的数为
．
【答案】2 或10
或14
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间
的距离相等，分A ，B ，C 点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．
【详解】解：①当点C 为点A ，B 的中点时，点C 表示的数为2
6
2
2
；
②当点A 为点B ，C 的中点时，点C 表示的数为
2
6
2
2 8
10
；
③当点B 为点A ，C 的中点时，点C 表示的数为
6
6
2
6
8
14
；
综上：点C 表示的数为2 或10
或14；
故答案为：2 或10
或14．
5．如图，已知数轴上点A 表示的数为4，点B 表示的数为1，C 是数轴上一点，且
8
AC
．动点P 从点B
出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为
0
t t
秒．
(1)直接写出数轴上点C 表示的数；
(2)当点C 在数轴的负半轴上时，用含t 的代数式表示线段CP 的长度；
(3)当点C 在数轴的负半轴上时，设M 是AP 的中点，N 是CP 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 是否发
生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出MN 的长度．
【答案】(1) 4
或12
(2)
5
6
CP
t
(3)不发生变化，
4
MN
【分析】题目主要考查线段的中点计算． 解题关键点是运用数形结合思想和分类思想分析问题．
（1）根据数轴上两点之间的距离即可得出点的坐标；
（2）分两种情况：若点P 在线段BC 上，这时
5
0
6
t
；若点P 在线段BC 的延长线上，这时
5
6
t
；分别
求解即可；
（3）分两种情况分析：①如图1，当点P 在线段AC 上运动时，②如图2，当点P 在AC 的延长线上运动
时，结合图形求解即可．
【详解】（1）解：∵数轴上点A 表示的数为4，C 是数轴上一点，且
8
AC
．
∴当点C 位于点A 左侧时，点C 表示的数为：4
8
4
，
当点C 位于点A 右侧时，点C 表示的数为：4
8
12
，
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∴点C 表示的数为4
或12；
（2）当点C 在数轴的负半轴上时，点C 表示的数是4
，
①若点P 在线段BC 上，这时
5
0
6
t
，
则
5
6
CP
BC
BP
t
；
②若点P 在线段BC 的延长线上，这时
5
6
t
，
则
6
5
CP
BP
BC
t
；
综上可得：
5
6
CP
t
；
（3）线段MN 的长度不发生变化.理由如下：
①如图1，当点P 在线段AC 上运动时，
1
1
1
1
8
4
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
CP
AC
；
②如图2，当点P 在AC 的延长线上运动时，
1
1
1
1
8
4
2
2
2
2
MN
MP
NP
AP
CP
AC
；
由上可知，线段MN 的长度不发生变化，其值为4．
6．如图，数轴上点A 表示的数为5
，点B 表示的数为7，动点C 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速
度沿数轴向右匀速运动，同时动点D 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度向左匀速运动．设点C 运动
时间为t 秒
0
t
．
(1)①
,
A B 两点之间的距离为_______，线段AB 的中点表示的数为_______．
②用含t 的代数式表示：t 秒后，点C 表示的数为_______，点D 表示的数为_________．
(2)当
4
t
时，描述C、D 两点的位置关系．
(3)点C 运动4 秒后，动点E 从点B 出发，以每秒5 个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE
CD
的
值是否随着时间t 的变化而变化？请说明理由．
【答案】(1)①12，1；②5
2t
，7
t
(2)C、D 两点重合，理由见解析；
(3)不随着时间t 的变化而变化，理由见解析．
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中
点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）①由数轴上两点间的距离公式可求A ，B 两点之间的距离，由中点公式可求线段AB 的中点表示的数；
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②根据点C 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点D 从点B 出发，以每秒1 个
单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案；
（2）将
4
t
代入（1）②中代数式，得到点C ，点D 所表示的数，即可解答；
（3）根据题意表示出4 秒后，点E 所表示的数，再求出CE
CD
，即可解答．
【详解】（1）解：①点A 表示的数为5
，点B 表示的数为7，
A ，B 两点间的距离等于
5
7
12
，线段AB 的中点表示的数为5
7
1
2
；
故答案为：12，1；
②t 秒后，点C 表示的数为5
2t
；点D 表示的数为7
t
；
故答案为：5
2t
，7
t
；
（2）解：当
4
t
时，
点C 所表示的数为5
2 4
3
，
点D 所表示的数为7
4
3
，
则C、D 两点重合；
（3）解：点C 运动4 秒后，点E 表示的数为
7
5
4
5
13
t
t
，
∴
5
13
5
2
3
8,
5
2
7
3
12
CE
t
t
t
CD
t
t
t
，
∴
3
8
3
12
4
CE
CD
t
t
．
∴CE
CD
的值不随着时间t 的变化而变化．
7．如图，O 为数轴的原点，
5
AO
，
6
BD
，O 为BD 的中点，C 为AB 的中点．
(1)求CO 的长度；
(2)若动点P 从点C 出发，以每秒2 个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q 从O 出发，以每秒1 个
单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t 秒(
0)
t
，当t 满足什么条件时，
2
AP
BQ
有最小值，并求
出该最小值．
【答案】(1)1
(2)当2
3
t
，
2
AP
BQ
有最小值，最小值为2 ．
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算：
（1）先根据线段中点的定义得到
1
3
2
OB
BD
，进而得到
8
AB
AO
OB
，再由线段中点的定义得到
1
4
2
BC
AB
，则
1
CO
BC
OB
；
（2）由（1）得点A 表示的数为5
，点B 表示的数为3，点C 表示的数为1
，则运动t 秒后，点P 表示的
数为1 2t
，点Q 表示的数为t，根据两点距离计算公式得到
2
4
AP
t
，
3
BQ
t
，则
2
2
2
3
AP
BQ
t
t
，由绝对值的几何意义可知，
2
3
t
t
表示的数数轴上表示t 的数到表示2
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和表示3 的数的距离之和，故当2
3
t
时，
2
3
t
t
的值最小，即此时
2
2
3
t
t
的值最小，据此
可得答案．
【详解】（1）解：∵
6
BD
，O 为BD 的中点，
∴
1
3
2
OB
BD
，
∵
5
AO
，
∴
8
AB
AO
OB
，
∵C 为AB 的中点，
∴
1
4
2
BC
AB
，
∴
1
CO
BC
OB
；
（2）解：由（1）得点A 表示的数为5
，点B 表示的数为3，点C 表示的数为1
，
∴运动t 秒后，点P 表示的数为1 2t
，点Q 表示的数为t，
∴
5
1
2
2
4
AP
t
t
，
3
BQ
t
，
∴
2
2
4
2
3
2
2
3
AP
BQ
t
t
t
t
，
由绝对值的几何意义可知，
2
3
t
t
表示的数数轴上表示t 的数到表示2 和表示3 的数的距离之和，
∴当2
3
t
时，
2
3
t
t
的值最小，即此时
2
2
3
t
t
的值最小，
∴当2
3
t
，
2
AP
BQ
有最小值，最小值为
2 2
2
2
3
2
．
8．综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O 为原点，A、B 两点所表示数分别为2
和
8．
实践探究
(1)线段AB 的长为________；
(2)动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒，
①当0
5
t
时，线段PA ________，线段PB ________，点P 表示的数为________；（用含t 的代数式
表示）
②若点M 是线段PA 的中点，点N 是线段PB 的中点，当动点P 在（2）条件下运动时，线段MN 的长度是
否与点P 的运动时间t 有关．若有关，请求出线段MN 的长度与t 的关系式；若无关，请说明理由，并求出
线段MN 的长度．
【答案】(1)10
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(2)①2t ，10
2t
，2
2t
；②MN 的长与点P 的运动时间t 无关，MN 的长度为5
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解；
（2）①由题意可得点P 表示的数为2
2t
，再根据两点间的距离公式计算即可得解；
②分两种情况：当0
5
t
时，线段
2
PA
t
，线段
10
2
PB
t
；当
5
t
时，线段
2
PA
t
，线段
2
10
PB
t
；分别求解即可得解．
【详解】（1）解：线段AB 的长为
8
2
8
2
10
；
（2）解：①∵动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒，
∴点P 表示的数为2
2t
，
∴当0
5
t
时，线段
2
2
2
2
PA
t
t
，线段
8
2
2
10
2
PB
t
t
；
故答案为：2 10
2
2
2
t
t
t
，
，
；
② 当0
5
t
时，线段
2
PA
t
，线段
10
2
PB
t
；
∵点M 是线段PA 的中点，点N 是线段PB 的中点，
∴
1
2
PM
PA
t
，
1
5
2
PN
PB
t
，
∴
5
MN
PM
PN
；
当
5
t
时，线段
2
PA
t
，线段
2
10
PB
t
，
∵点M 是线段PA 的中点，点N 是线段PB 的中点，
∴
1
2
PM
PA
t
，
1
5
2
PN
PB
t
，
∴
5
MN
PM
PN
；
综上所述，MN 的长与点P 的运动时间t 无关，MN 的长度为5．
1．如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条
线段长度的2 倍，则称点C 是线段AB 的“奇点”．
【新知理解】
（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”）
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【问题解决】
（2）若点A 和点B 在数轴上表示的数分别是10
和14，点C 是线段AB 的“奇点”，求点C 在数轴上表示的
数．
【应用拓展】
（3）如图②，已知
24cm
AB
．动点P 从点A 出发，以2cm/s的速度沿AB 向点B 匀速移动；点Q 从点B 出
发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移
动的时间为st ．当点P 是线段AQ 的“奇点”时，直接写出运动时间t 的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）2
或2 或6 ；（3）24 s
7
或24 s
5
或6s
【分析】本题考查新定义，数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，
（1）根据“奇点”的定义即可求解；
（2）设点C 在数轴上表示的数为x ，则
10
AC
x
，
14
BC
x
，
24
AB
，根据“奇点”的定义，分情况
讨论，当
2
CB
AC
或AC
CB
或
2
AC
CB
，分别计算即可；
（3）根据“奇点”的定义，分情况讨论，当
2
PQ
AP
=
或AP
PQ
或
2
AP
PQ
，分别计算即可；
解题的关键是理解题意，利用分类讨论的思想解决问题．
【详解】解：（1）设点C 为线段AB 的中点，
∴
2
AB
AC
，
∵点C 在线段AB 上，
∴中点C 是线段AB 的“奇点”，
故答案为：是；
（2）设点C 在数轴上表示的数为x ，
∵点A 和点B 在数轴上表示的数分别是10
和14，
∴
10
10
AC
x
x
，
14
BC
x
，
∵点C 是线段AB 的“奇点”，
∴点C 在线段AB 上，且
2
CB
AC
或AC
CB
或
2
AC
CB
，
当
2
CB
AC
时，得：
14
2
10
x
x
，
解得：
2
x ；
当AC
CB
时，得：
10
14
x
x
，
解得：
2
x
；
当
2
AC
CB
时，得：
10
2 14
x
x
，
解得：
6
x
；
综上所述，点C 在数轴上表示的数为2
或2 或6 ；
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（3）t 秒后，
2
AP
t
，
24
AQ
t
，
24
2
24
3
PQ
AQ
AP
t
t
t
，
∵点P 是线段AQ 的“奇点”，
∴
2
PQ
AP
=
或AP
PQ
或
2
AP
PQ
，
当
2
PQ
AP
=
时，得：24
3
2 2
t
t
，
解得：
24
7
t
；
当AP
PQ
时，得：2
24
3
t
t
，
解得：
24
5
t
；
当
2
AP
PQ
时，得：
2
2 24
3
t
t
，
解得：
6
t
；
∴当t 为24 s
7
或24 s
5
或6s 时，点P 是线段AQ 的“奇点”．
2．如图①，点M 是线段AB 上任意一点，图中共有三条线段AB
AM
、
和BM ，若其中的两条较短线段中有
一条线段的长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点M 是线段AB 的“友好点”．
(1)若
12cm
AB
，点M 是线段AB 上靠近点A 的“友好点”，求BM 的长；
(2)如图②，若
24cm
CD
，点M 是线段CD 的“友好点”，点N 是线段CD 的中点，则MN
MC
__________
cm；
(3)如图③，已知
24cm
AB
，动点P 从点A 出发，以2cm/s速度沿AB 向点B 匀速移动，点Q 从点B 出发，
以3cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点
,
P Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时
间为t，请求出t 为何值时，A
P
、、 Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”．
【答案】(1)8cm ；
(2)12或20 ；
(3)
8
3
t
或4 或
72
13
t
或72
11 ．
【分析】本题主要考查了线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求
解．
（1）根据题目中所给的“友好点”的定义，进行求值即可．
（2）根据“友好点”的定义可得
2
CM
MD
或
2
DM
CM
可求出CM 的长，再由中点的定义可得CN 的长，
再求出MN 的长即可得出结果．
（3）由题意可知，A 不可能是“友好点”，故此题分两大类情况，P 或Q 点是“友好点”，再分别当P 点是“友
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好点”时，和Q 点是“友好点”时，根据“友好点”的定义列方程求解即可．
【详解】（1）点M 是线段AB 上靠近点A 的“友好点”
根据“友好点”的定义可得，
2
MB
AM ，
12cm
AB
，
2
12
MB
AM
AM
AM
AB
，
解得
4cm
AM
，
cm
8
BM
．
（2）由题意可知，点N 是线段CD 的中点，
M 不是线段的中点，
当点M 是靠近C 点的三等分点时，
有
2
DM
CM
，
24cm
CD
，
1
24
8cm
3
CM
，
1
24
12cm
2
CN
，
12
8
4cm
MN
CN
CM
，
8
4
12cm
CM
NM
，
当点M 是靠近D 点的三等分点时，
有
2
CM
DM
，
24cm
CD
，
1
24
8cm,
24
8
16cm
3
DM
CM
，
1
24
12cm
2
CN
，
16 12
4cm
MN
CM
CN
，
16
4
20cm
CM
NM
．
（3）由题意可知，A 点不可能是“三等分点”，
故P 或Q 点是“三等分点”．
24cm
AB
，
t 秒后，
2
AP
t
，
24
3
AQ
t
，
当P 点是“三等分点”时，
24
5
PQ
AQ
AP
t
，
当
2
PQ
AP
时，
有
24
5
2
2
t
t
，
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解得
8
3
t
当
2
AP
PQ
时，
有
2
24
5
2
t
t
，
解得
4
t
，
当Q 点是“三等分点”时，
5
24
PQ
AP
AQ
t
，
当
2
PQ
AP
时，
有
5
24
24
3
2
t
t
，
解得
72
11
t
当
2
AP
PQ
时，
有
24
3
5
24
2
t
t
，
解得
72
13
t
综上所述：
8
3
t
或4 或
72
13
t
或72
11 ．
3．如图，已知数轴上原点为O ，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a
b
、满足
2
10
4
0
a
b
．动点P 从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
0
t t
秒．
(1)写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是___________，点P 表示的数是___________
（用含t 的式子表示）；
(2)设点M 是AP 的中点，点N 是PB 的中点．点P 在直线AB 上运动的过程中，线段MN 的长度是否会发生
变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段MN 的长度．
(3)动点Q 从点B 出发，以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R 从点O 出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点
,
,
P Q R 同时出发；若点
,
P R 间的距离记为PR ，点
,
P Q 间的距离记
为PQ，是否存在一个数n ，使得nPR
PQ
的值与t 无关？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)10；4
；10
6t
(2)线段MN 的长度没有变化，长度为7
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(3)存在，
2
9
n
或
2
9
【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键．
（1）根据绝对值的非负性求出a 和b 的值，根据动点则可求出P 表示的数；
（2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解；
（3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含t 则有系数为0 即可求解．
【详解】（1）解：∵
2
10
4
0
a
b
，
又∵
2
10
0
a
，
4
0
b
，
∴
2
10
0
a
，
4
0
b
，
即
10
a
，
4
b ，
∴数轴上点A 表示的数是10，点B 表示的数是4
，点P 表示的数是10
6t
．
故答案为：10
410
6t
，，
；
（2）解：不发生变化，线段MN 的长度为7 ．
理由如下：
∵点M 是AP 中点，点N 是PB 中点，
∴点M 表示的数为
10
10
6
10
3
2
t
t
，点N 表示的数为
10
6
4
3
3
2
t
t
，
∴
10
3
3
3
7
MN
t
t
；
（3）解：存在，理由如下：
由题意得：Q 点表示的数是：4
4t
，R 点表示的数是：3t ，
∴
10
6
4
4
14
2
PQ
t
t
t
，
10
6
3
10
9
PR
t
t
t
，
①当
10
0
9
t
时，
10
9
PR
t
，
14
2
PQ
t
，
∴
10
9
14
2
9
2
10
14
nPR
PQ
n
t
t
n
t
n
，
∵上式与t 无关，
∴9
2
0
n
，解得
2
9
n
；
②当10
7
9
t
时，
9
10
PR
t
，
14
2
PQ
t
，
∴
9
10
14
2
9
2
10
14
nPR
PQ
n
t
t
n
t
n
，
∵与t 无关，
∴9
2
0
n
，解得
2
9
n
；
③当
7
t
时，
9
10
PR
t
，
2
14
PQ
t
，
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∴
9
10
14
2
9
2
10
14
nPR
PQ
n
t
t
n
t
n
，
∵与t 无关，
∴9
2
0
n
，解得
2
9
n
；
综上所述，当
2
9
n
或
2
9
时，nPR
PQ
的值与t 无关．
4．定义：若点A ，B ，C 在同一直线上，且AB
mAC
，则
ABC
d
m
．例如
6
AB
，
3
AC
，则
2
ABC
d
．
(1)如图1，O 为数轴的原点，点P ，Q 表示的数分别为4 和2
，则
OPQ
d
_______．
(2)如图2，已知线段
12cm
AB
，点P 从点A 出发向右运动，点Q 从点B 出发向左运动，若点P 运动速度为
1cm / s ，点Q 的运动速度为2cm / s ．设运动时间为t ．
①请用含有t 的代数式分别表示
APB
d
和
AQB
d
．
②当t 为何值时，
1
2
AQB
APB
d
d
．
③若线段PQ的中点为M ，直接写出
1
3
AMB
d
时t 的值．
【答案】(1)2
(2)①
12
APB
t
d
，
12
2
0
6
12
AQB
t
d
t
或
2
12
6
12
AQB
t
d
t
；②
2
t
或18；③4 或20
【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用；
（1）根据题意可得
4,
2
OP
OQ
，即
2
OP
OQ
，根据定义，即可求解；
（2）①根据题意得出
,
12
AP
t AB
，
12
2
AQ
t
，根据新定义即可求解；
②根据题意列出方程，解方程，即可求解．
③分情况讨论求得AM 的长，根据
1
3
AMB
d
可得
1
3
AM
AB
，即
4
AM ，根据题意列出方程，解方程即可求
解．
【详解】（1）解：①O 为数轴的原点，点P ，Q 表示的数分别为4 和2
，
∴
4,
2
OP
OQ
，即
2
OP
OQ
∴
2
OPQ
d
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（2）解：①依题意，
,
12
AP
t AB
，
12
2
0
6
AQ
t
t
或
2
12
6
t
t
∴
12
APB
AP
t
d
AB
，
12
2
0
6
12
AQB
t
d
t
或
2
12
6
12
AQB
t
d
t
②∵
1
2
AQB
APB
d
d
∴12
2
1
12
12
2
t
t
或2
12
1
12
12
2
t
t
解得：
2
t
或18；
③
,
P Q 相遇时，
12
1
2
4
t
当0
4
t
时，
,
P Q 都在线段AB 上，如图所示，
∵AP
t
，
12
2
AQ
t
∴
12
2
12
3
PQ
AQ
AP
t
t
t
∴
1
3
6
2
2
PM
PQ
t
∴
3
1
6
6
2
2
AM
AP
PM
t
t
t
∵
1
3
AMB
d
∴
1
6
1
2
12
3
t
解得：
4
t
当4
6
t
时，如图所示，
,
P Q 都在线段AB 上，如图所示，
∵AP
t
，
12
2
AQ
t
∴
12
2
3
12
PQ
AP
AQ
t
t
t
∴
1
3
6
2
2
PM
PQ
t
∴
3
1
6
6
2
2
AM
AP
PM
t
t
t
∵
1
3
AMB
d
∴
1
6
1
2
12
3
t
解得：
4
t
（舍去）
Q 点的速度大于P 的速度，当
6
t
时，
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当M 点在A 点的右侧时，如图所示，
∵AP
t
，
2
12
AQ
t
∴
2
12
3
12
PQ
AP
AQ
t
t
t
∴
1
3
6
2
2
PM
PQ
t
∴
3
1
6
6
2
2
AM
AP
PM
t
t
t
∵
1
3
AMB
d
∴
1
6
1
2
12
3
t
解得：
4
t
（舍去）
当M 点在A 点的左侧时，如图所示，
∵AP
t
，
2
12
AQ
t
∴
2
12
3
12
PQ
AP
AQ
t
t
t
∴
1
3
6
2
2
PM
PQ
t
∴
3
1
6
6
2
2
AM
PM
AP
t
t
t
∵
1
3
AMB
d
∴
1
6
1
2
12
3
t
．
解得：
20
t
．
综上所述，t 的值为4 或20 ．
5．定义：在同一直线上有
, ,
A B C 三点，若点C 到
,
A B 两点的距离呈2 倍关系，即
2
AC
BC
或
2
BC
AC
，
则称点C 是线段AB 的“倍距点”．
(1)线段AB 的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知
9
AB
，点C 是线段AB 的“倍距点”，直接写出AC ．
(3)如图1，在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点．
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①现有一动点P 从原点O 出发，以每秒2 个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t 秒(
0)
t
，求
当t 为何值时，点P 为AC 的“倍距点”？
②现有一长度为2 的线段MN （如图2，点M 起始位置在原点），从原点O 出发，以每秒1 个单位的速度
沿数轴向右匀速运动．当点N 为MC 的“倍距点”时，请直接写出t 的值．
【答案】(1)不是
(2)3 或6 或9 或18
(3)①5
2 或4 或10；②
5
t
或8 或10 或13
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差，
（1）根据中点的意义可得AP
BP
，不满足“倍距点”定义，即可作答；
（2）分情况讨论当点C 在线段AB 上时，当点C 在线段AB 延长线上时，当点C 在线段BA 延长线上时，再
根据“倍距点”的定义求解即可；
（3）①由题意得，
2
OP
t
，表示出
2
2 ,
2
11
AP
t
CP
t
，根据点P 为AC 的“倍距点”，可得
2
AP
CP
或
2
CP
AP
，得出2
2
2 2
11
t
t
或2
11
2 2
2
t
t
，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M 表示的
数为t，点N 表示的数为
2
t
，表示出
2 11
9
NC
t
t
，根据点N 为MC 的“倍距点”，可得
2
NC
MN
或
2
MN
NC
，进而得出
9
4
t
或
9
1
t
，解绝对值方程求解即可；
熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）假设点P 是线段AB 的中点，
∴AP
BP
，
∴线段AB 的中点不是该线段的“倍距点”，
故答案为：不是；
（2）当点C 在线段AB 上时，
9
AB
AC
BC
，
若
2
AC
BC
，则
6
AC
，
若
2
BC
AC
，则
3
AC
；
当点C 在线段AB 延长线上时，
2
AC
BC
，则
9
AB
BC
，则
18
AC
当点C 在线段BA 延长线上时，
2
BC
AC
，则
9
AB
AC
；
故答案为：3 或6 或9 或18；
（3）∵在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点，
∴点C 表示的数为11，
①由题意得，
2
OP
t
，
∴
2
2 ,
2
11
AP
t
CP
t
，
若点P 为AC 的“倍距点”，
则
2
AP
CP
或
2
CP
AP
，
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即2
2
2 2
11
t
t
，解得
4
t
或10；
或2
11
2 2
2
t
t
，解得
2.5
t
（负舍）；
综上，t 的值为5
2 或4 或10；
②由题意得点M 表示的数为t，点N 表示的数为
2
t
，
∴
2 11
9
NC
t
t
，
∵点N 为MC 的“倍距点”，
∴则
2
NC
MN
或
2
MN
NC
，
即
9
4
t
或
9
1
t
，
解得
5
t
或8 或10 或13．
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