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专项训练02 数轴上的动点探究问题
【知识点1 数轴上的动点探究问题】
1. 两点基础关系（距离与中点）
- 距离公式：数轴上两点A(a) 、B(b)的距离AB = |a-b| （右侧减左侧可直接去绝对值）。
- 中点公式：A、B 的中点M 对应的数为
𝑎+ 𝑏
2 （即平均数）。
- 关键：动点问题中，距离相等或中点重合是列方程的常用等量关系。
2. 动点位置表示（含时间参数）
- 匀速运动：点P 从a 出发，速度为v，运动时间为t：
- 向右运动：P(t) = a + vt ；
- 向左运动：P(t) = a - vt。
- 关键：运动方向由速度正负决定（通常设向右为正）。
- 多动点：分别用含t 的式子表示各点位置，然后建立它们之间的等量关系。
3. 核心题型与列方程策略
- 追及/相遇：
- 相遇：两动点位置相同（P(t) = Q(t) ）；
- 追及：速度快的追上慢的（位置相同且时间满足先后条件）。
- 距离问题：
- 两点距离为定值d：|P(t)-Q(t)| = d（去绝对值时分左右两种情况讨论）；
- 若可确定左右位置，直接右侧减左侧。
- 中点/定比分点：
- 某点为两动点的中点：P(t) + Q(t) = 2M （M 为定点或另一点）。
- 隐含条件：
- 时间 t≥0；
- 注意是否有“停止点”（如点到原点后折返、点到达终点停止等）。
- 多解验证：绝对值方程通常有两解，需结合运动方向或范围舍去无效解。
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【题型1 数轴动点中的相遇问题】
1．如图，数轴上两点
,
A B （点A 在点B 的左侧，AB 表示点A 与点B 之间的距离），点A 表示的有理数为
12,
28
AB
．点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，
以每秒4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为t 秒（
0
t
）．
(1)点B 表示的数为___________，线段AB 的中点表示的数为___________；
(2)用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为___________，点Q 表示的数为___________；
(3)当t 为何值时，点P 与点Q 相遇？
(4)当
1
7
PQ
AB
时，此时点P 表示的数是多少？
2．在数轴上A 点在原点的左侧，所表示的数是a；B 点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b 满足
2
2
6
0
a
b
b
.
(1)求a，b 的值；
(2)点P、Q 是数轴上的两个动点，点P 从点A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 从点B 出发沿数轴向右运动，
且点P 的速度是点Q 速度的2 倍，经过6 秒钟点P 与点Q 相遇，求点Q 与点P 的速度分别为每秒几个单
位；
(3)若P、Q 两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P 从点A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 从点B
出发沿数轴向左运动，且点P 运动到B 点后原速返回，当点Q 到达点A 时，P、Q 停止运动，经过几秒钟，
P、Q 两点相距6 个单位长度．
【题型2 数轴动点中的相距问题】
3．【问题背景】
大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上A 和B 两地之间相距大约5 千米，大明骑电动车从A
地出发，以1 千米/分钟的速度向B 地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从B 地出发，以0.5 千米/分钟的速度向A
地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1 千米？
【问题解决】
小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，
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将滨海路抽象为一条数轴，将点A 与数轴的原点重合，点B 表示数5．大明和笑笑分别用动点P 、Q 来表示，
设运动的时间为t 分钟．
（1）t 分钟后点P 在数轴上对应的数是_____，点Q 对应的数是_____；（用含t 的代数式表示）
（2）我们知道，如果数轴上M ，N 两点分别对应数m，n ，则MN
m
n
．试运用该方法求经过几分钟
P ，Q 之间相距1 千米？
【拓展应用】
（3）如图2，点A ，B ，C 为数轴上三点；若点A 表示的数是20
，点B 表示的数是40，点C 表示数是
25，现有两个动点P 、Q 分别从点A ，B 同时开始在线段AB 上运动，点P 以每分钟2 个单位长度的速度向
右运动，点Q 以每分钟1 个单位长度的速度向左运动，若点P 与点C 之间的距离为a ，点Q 与点B 之间的距
离为b .在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得
40
a
b
？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请
说明理由．
4．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探
究数轴发现了一些重要的规律．
规律1：如图1，数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，则A 、B 两点间的距离AB 可表示为：
①AB
b
a
（即用右边点B 表示的数减去左边点A 表示的数）；
②
|
| |
|
AB
b
a
a
b
（即两点表示的数之差的绝对值）．
规律2：数轴上A 、B 两点的中点M 表示的数为
2
a
b
．
【简单应用】如图1，点A 在数轴上所对应的数为5
，点B 表示的数为4，P 是数轴上一动点．
（1）则A 、B 两点间的距离AB ________，A 、B 两点的中点M 表示的数为________．
（2）若A 、P 两点间的距离
6
AP
，则点P 表示的数为________．
【拓展运用】如图2，已知数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为12
，8，点A 以每秒2 个单位的速度沿
数轴向右匀速运动，同时点B 以每秒3 个单位向左匀速运动，设运动时间t 秒（
0
t
）．
（3）用含t 的式子填空：
点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t 的式子填空）
点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为________；（用含t 的式子填空）
此时A 、B 两点的中点M 表示的数为________．（用含t 的式子填空）
（4）按上述方式运动，A 、B 两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5 个单位长度？
【题型3 数轴动点中的折返问题】
5．数轴上点A，B 对应的数分别是5
和10，点P 以每秒2 个单位的速度从点A 出发向右运动，同时，点Q
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以每秒3 个单位的速度从点B 出发向左运动，当点Q 到达点A 后立即折返向右运动，设运动时间为t 秒．
(1)当点P 和点Q 第一次相遇时，求t 的值；
(2)当
6
t
时，求点P 到点Q 的距离；
(3)在整个运动过程中，当t 为多少时，P，Q 两点间的距离为2？请直接写出t 的值．
6．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好
习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；
将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点
P、Q 从M 点同时出发向N 点运动，到达N 点后折返到M 点；
已知：数轴上点M、N 对应的数分别为m、n，且满足
2
20
40
0
m
n
．
(1)直接写出m、n 的值；
(2)设点P 在数轴上对应的数为x，那么当x 为多少时能使得
50
PO
PN
？
(3)已知点P 的速度为3 个单位长度/秒，点Q 的速度为2 个单位长度/秒，当动点P 到达点N 后，点Q 开始
改变速度，以a 个单位长度/秒继续折返跑，4 秒后，P、Q 两点相距2 个单位长度，求a 的值．
【题型4 数轴动点中的翻折问题】
7．已知点A，B 在数轴上，A，B 对应的数字为a，b，满足
2
1
7
0
a
b
，点M 从点A 开始以2 个单
位长度/秒的速度向右移动，同时点N 从点B 开始以3 个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t 秒
(1) a __________，b _________．
(2)用含t 的代数式表示点M 对应的数为__________，点N 对应的数__________．
(3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A 翻折后，点P 对应的数为Q，点Q 对应的数为14
．当点N 到达点P
时，立即向左返回；当点N 到达点B 时，点M，N 同时停止移动．在移动过程中，请用含t 的代数式表示
点M 与点N 之间的距离MN ．
8．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点
之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答
下列问题．
【问题情境1】
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如图1，若数轴上表示1的点与表示5 的点重合．
①则表示10的点与表示______的点重合；
②若数轴上D ，E 两点之间的距离为18（点D 在点E 的左侧），当D ，E 两点经折叠后重合，则点D 表
示的数为______，点E 表示的数为______；
③若点M 表示数a ，点N 经折叠后与点M 重合，则点N 表示的数是______；
【问题情境2 】
如图2 ，一条数轴上有M ，N ，P 三点，其中点M ，N 表示的数分别是21
和8 ，现以P 为折点，将数轴
向右对折．若对折后点M 对应的点为M ，且点M 与点N 之间的距离为3 ，求点P 表示的数．
【题型5 数轴动点中的定值问题】
9．A 、B 为数轴上的两个点，点A 对应的数记为a ，点B 对应的数记为b ，且a ，b 满足
2
8
12
0
a
b
．解答下列问题：
(1) a ___________，b ___________；
(2)若数轴上点Q 满足
3
QA
QB
，求点Q 对应的数；
(3)点Q ，点M ，点N 是数轴上的动点，点Q 从点A 出发，沿数轴以5 个单位/秒的速度向右运动，点M 从
点A 出发，以3 个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N 从点B 出发，沿数轴以1 个单位/秒的速度向左
移动，设运动时间为t ，在三个点移动的过程中，3QM
QN
或3QM
QN
是否会是定值．若会，请求t 的取
值范围；若不会，请说明理由．
10．课本P52 页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，线段AB 的长表示为
AB ．当点C 为线段AB 中点时，即AC
BC
时，点C 表示的数为
2
a
b
．请同学们借助以上结论，解决下面
问题：
如图，在数轴上的A 点表示数2
，B 点表示数5．若在原点O 处放一挡板，一动点P 从点A 处以2 个单位
／秒的速度向左运动；同时另一个动点Q 从点B 处以3 个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来
的速度向相反的方向运动，回到B 点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为t （秒）．
(1)动点P 表示的数为______；
当
5
0
3
t
时，动点Q 表示的数为______；
当5
10
3
3
t
时，动点Q 表示的数为______；（用含t 的代数式表示）
(2)当O 是线段PQ中点时，求时间t 的值；
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(3)分别取OB 和AQ 的中点E ，F ；
①当
2
EF
时，求时间t 的值；
②试判断是否存在常数m，使得AB
OQ
mEF
的值是定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理
由．
【题型6 数轴动点中的新定义问题】
11．已知数轴上A，B 两点表示的数分别为a，b，AB 表示线段AB 的长度．对于线段AB 和数轴上的点C，
给出如下定义：
,
,
,
CA CA
CB
d C AB
CB CA
CB
，此时，我们称
,
d C AB 是点C 和线段AB 的极大距离．例如：数轴上A，B 两点
表示的数分别为2
，3，点C 是原点，此时因为
2
CA
，
3
CB
，且CA
CB
，所以
,
3
d C AB
CB
．
(1)当数轴上A，B 两点表示的数分别为2
，10，点C 对应的数是1 时，
,
d C AB ______；
(2)①当数轴上点A 表示的数为2
，点C 对应的数是1，
,
5
d C AB
，点B 对应的数是______；
②当数轴上A，B 两点表示的数分别为2
，10，点C 是数轴上的动点，
,
d C AB 的最小值是______；
(3)已知数轴上A，B，C 三点表示的数分别为2
，10，1．A ，C 两点沿数轴以每秒2 个单位长度向右运动，
B 点沿数轴以每秒4 个单位长度向左运动，三点同时出发，运动时间为t，当
,
d C AB 最小时，求t 的最大
值和最小值．
12．如图，A 点、B 点是数轴上的两个定点，其中点A 表示的数是5
，点B 表示的数是1，若在数轴上存
在一点 P，使得点P 到点A 的距离等于点 P 到点B 的距离的m 倍(m 是正整数)，则称点P 为点A、B 的“m
级幸运点”．例如图1 所示，若点P 表示的数为0，因为P 到A 的距离等于P 到B 距离的5 倍，则称点 P
为点 A、B 的“5 级幸运点”
(1)若点P 为点A、B 的“m 级幸运点”，且点 P 在数轴上表示的数为-1，则 m ；
(2)若点 P 是数轴上点A、B 的“3 级幸运点”，求点 P 表示的数．
(3)点P 在数轴上表示的数为1
，若点A 在数轴上以每秒2 个单位长度的速度向左运动，同时点B 在数轴
上以每秒1 个单位长度的速度向左运动，经过多少秒后点P 为点A、B 的“6 级幸运点”？
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1．如图，数轴上线段
2
AB
（单位长度），
4
CD
（单位长度），点A 在数轴上表示的数是10
，点C 在
数轴上表示的数是16．若线段AB 以6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2 个单位长度/
秒的速度向左匀速运动．问：当
8
BC （单位长度）时，运动时间为多少秒？（ ）
A．2 秒
B．13.4秒
C．2 秒或4 秒
D．2 秒或13.4秒
2．如图，将一条数轴在原点O ，点B ，点C 处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A 表示9
，点B 表示
12，点C 表示24，点D 表示36，我们称点A 与点D 在数轴上的“友好距离”为45 个单位长度，并表示为
45
AD
．点M 从点A 出发沿着“折线数轴”运动至点D ，点N 从点D 出发沿着“折线数轴”运动至点A ，两
点同时出发．点M ，N 的初始速度分别是3 个单位长度/ 秒和6 个单位长度/ 秒，点M 和点N 运动到折线
时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的1
3 ，“下坡”时速度为初始速度的2 倍，离开折线后速度恢复为
初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为
0
t t
秒，有下列结论：
①当
9
t
时，点N 表示的数为数轴的原点；
②当点M 到达点D 时，
21
t
；
③当点N 到达点A 时，
11
t
；
④运动过程中，点M 和点N 在线段OB 上相遇；
⑤当
11
t
或18 时，
16
MB
MC
．
以上结论正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
3．在一张透明的纸上画一条数轴，点A ，B 在数轴上表示的数分别为19
，6，如图，以点C 为折点，将此
数轴向右对折，若对折后点A 对应的点A落在数轴上，且A，B 两点之间的距离为3，则点C 表示的数是
________．
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4．定义：已知点M
N
Q
、、
为数轴上三点，我们规定：点Q 到点M 的距离是点Q 到点N 的距离的K 倍，则
称Q 是
,
M N 的“ K 倍点”，记作：
,
Q M N
K
．例如：若点Q 表示的数为0 ，点M 表示的数为2
，点N
表示的数为1，则Q 是
,
M N 的“ 2 倍点”，记作：
,
2
Q M N
．应用：如图有一条数轴，A
B
P
、、
为数轴
上三点，分别对应1
，5 ，3
．
,
P B A 的值是______；若点D 是数轴上一点，且
,
3
D A B
，则点D 表
示的数______．
5．点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且a 、b 满足
2
|
8| (
6)
0
a
b
．
(1)填空：a __________；b __________；线段AB 的长为__________；
(2)动点P 从点A 出发，以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发，以每秒4 个单
位长度的速度沿数轴向左移动；动点M 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，点
P ，Q ，M 同时出发，设运动时间为t 秒，
①点C 在数轴上对应的数为10，在数轴上（图1中）标出C 的大致位置，若动点M 到A ，B ，C 三点的距
离满足MA
MB
MC
，求此时点M 对应的数；
②若
QP
QA
QM
的取值与t 无关，求t 的最大值．
6．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，
我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ，则A ，B 两点之间的距离
AB
a
b
，线段AB 的中点表示的数为
2
a
b
．如图，数轴上点A 表示的数为4
，点B 表示的数为16．
【综合运用】
(1)填空：A ，B 两点间的距离AB ________，线段AB 的中点表示的数为________；
(2)若M 为该数轴上的一点，且满足
28
MA
MB
，求点M 所表示的数；
(3)若点P 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向终点B 匀速运动；同时点Q 从点B 出发，以每
秒2 个单位长度的速度向左匀速运动，Q 到达A 点后，再立即以同样的速度返回B 点，当点P 到达终点后，
P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒（
0
t＞）．
①当t 为何值时，P ，Q 两点第一次重合？
②当t 为何值时，P ，Q 两点间距离为8 ？
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7．如图①，已知数轴上点A、O、B、C、D 表示的数分别为6
、0、4、8、12，点P、Q 是数轴上的两个
动点，动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点Q 从点D 出发，
以每秒1 个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t 秒．
(1)移动t 秒时，点P 在数轴上所表示的数为______，点Q 在数轴上所表示的数为______；（用含t 的式子
表示）
(2)当t 为何值时，P、Q 两点相距2 个单位长度；
(3)现将数轴在原点O 和点B、点C 处各折一下，得到如图②所示的一条“折线数轴”．动点P 从点O 运动到
点B 速度为起始速度的一半，从B 点运动到C 点的速度为起始速度的2 倍，到达C 点之后立刻恢复起始速
度向终点D 运动；同时动点Q 一直以原速度向终点A 运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当t
为何值时，P、Q 两点相距2 个单位长度．
8．已知：点A、B、P 为数轴上三点，我们规定：点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的k 倍，即
PA
kPB
，则称P 是
,
A B 的“k 倍点”，记作：
,
P A B
k
．例如：若点P 表示的数为0，点A 表示的数为
2
，点B 表示的数为1，则P 是
,
A B 的“2 倍点”，记作：
,
2
P A B
．
(1)如图，A、B、P 为数轴上三点，回答下面问题：
①
,
P A B ______；
②若点C 在数轴上且
,
1
C A B ，则点C 表示的数为______；
③点D 是数轴上一点，且
,
2
D A B
，求点D 所表示的数．
(2)数轴上，点E 表示的数为20
，点F 表示的数为60，从某时刻开始，若点M 从原点O 出发向右在数轴
上做匀速直线运动，且M 的速度为5 单位/秒，设运动时间为t 秒
0
t
，当
,
3
M E F
时，请直接写出t
的值．
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1．已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，若数轴上数1 对应的点与数1
对应的点重合，则数轴
上数2
对应的点与数2 对应的点重合．
根据你对折叠数轴的理解，解答下列问题：
已知数轴上4
对应的点与数0 对应的点重合．
(1)数轴上数3 对应的点与数________对应的点重合；
(2)若点A 到原点的距离为5，且点A，B 经折叠后重合，则点B 表示的数为________；
(3)若数轴上M，N 两点之间的距离为2026，且点M，N 经折叠后重合，如果点M 表示的数比点N 表示的数
大，求点M，N 表示的数．
2．在数学活动课上，老师用两个单位长度不同的数轴模拟双向公路（如图）．数轴甲和数轴乙平行放置，
数轴甲的正方向向左，数轴乙的正方向向右．当数轴甲的原点O 与数轴乙的原点O对齐时，数轴甲上表示2
的点与数轴乙上表示3
的点恰好对齐．
数轴甲上的动点P 从点A （表示4
）出发，以每秒2 个单位长度（数轴甲的单位长度）的速度向左运动，
点P 与数轴乙上的点P对齐；数轴乙上的动点Q从点B（表示3）出发，以每秒1 个单位长度（数轴乙的
单位长度）的速度向右运动，点Q与数轴甲上的点Q 对齐，点B与数轴甲上的点B 对齐．设运动时间为t
秒．
(1)数轴乙上表示12 的点与数轴甲上表示_____的点对齐；
(2)在数轴甲上，当点,
P Q 重合时，求t 的值；
(3)在数轴甲上，若点,
P Q 之间的距离PQ 为4，求t 的值；
(4)在数轴甲上，若点
,
P O 的距离PO 与点
,
Q B 的距离QB 之和为10，求点P 所表示的数．
3．已知点A 在数轴上对应的数是5
，点B 在数轴上对应的数是10，点D 在数轴上对应的数是2
，点E
在数轴上对应的数是2．阅读并解决相应问题．
问题发现：
对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离的k 倍（k 为正
整数），则称C 点是A，B 两个点的“整k 距点”，记为：
,
C
A B
k ．
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(1)初步体会：
如图1，若
,
C
A B
k ，且点C 在数轴上对应的数是5，则k _______；
(2)类比探究：
如图2，点M 从D 点出发，以每秒3 个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N 从E 点出发，以每秒1 个
单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t 秒，若
,
3
M
D N
，求出t 的值；
(3)拓展延伸：
如图3，点P 从D 点出发，以每秒1 个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点H 从A 点出发，以每秒4 个
单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t 秒，在运动的过程中，若存在数轴上点Q 满足：
,
2
Q
H B
，点P 到点Q 的距离记为a，点H 到点B 的距离记为b，且
2
a
b
，直接写出所有符合条件
的t 的值．
4．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思
想，并借助方程解决问题．如图1，点A、O、B、C、D、E 为数轴上的点，O 为原点，A 表示的数是6
，B
为线段OC 的中点，C 表示的数是12，D 表示的数是18，将点D 向右移动4 个单位长度得点E．如图2，
我们将数轴在点O、点B、点C 和点D 处均可折一次，可折后AO 、BC 、DE 处于水平位置，线段OB 与CD
处均产生了一个坡度，且坡度的倾斜程度相同，我们称这样的数轴为“弯折数轴”．其中O 为“弯折数轴”原
点．在“弯折数轴”上，每个点对应的数就是把“弯折数轴”拉直后对应的数，两点间的距离就是把“弯折数轴”
拉直后两点间的距离．
动点M 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动，同时，动点N 从点E 出发以相
同的速度沿着“弯折数轴”向左运动．当点N 运动到点B 后立即掉头返回向右运动（掉头时间不计），两个
点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的3 倍，水平位置保持初始
速度不变．当点M 运动到点D 时，点M、点N 均停止运动，设运动时间为t 秒．问：
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(1)点M 从点A 运动到点D 用时 秒，此时点N 对应的数为 ；
(2)在运动过程中，当t 为何值时点M 与点N 在点P 处相遇？并求出点P 在数轴上对应的数；
(3)在“弯折数轴”上，是否存在某一时刻t，使得M、B 两点的距离是N、C 两点距离的2 倍？若存在，请直
接写出所有t 的值，并把求其中一个t 的过程写出来；若不存在，请说明理由．
