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专题05 轴对称、平移、旋转
核心考点聚焦
要点一、轴对称概念
1、如果一个图形沿一条直线折叠，对折后的两部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条
直线就是它的对称轴.
2、把一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称,这条
直线就是它的对称轴.
比较归纳
归纳： 轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后
重合的角）相等.
要点二、性质
1、线段垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
2、轴对称图形与垂直平分线的联系
如果两个图形关于某条直线对称，那么任何一对对称点所连线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.
要点三、作轴对称图形的方法
1、作图原理：对称轴是对称点连线段的垂直平分线
2、作图方法：(1)找特征点；(2)作垂线；(3)截取等长；(4）依次连线.
要点四、设计轴对称图案
1、作图原理：根据对称轴进行图形变换
2、作图方法：（1）画出对称轴（2）画出图形的基本形状的部分线条（3）按照其中一条对称
轴画出基本形状的对称图形（4）按照另一条对称轴继续画对称图形（5）完成对称图案设计
要点五、平移和旋转概念
1、平移：平面上的平行移动；由移动方向和距离所决定.
2、旋转：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为
旋转.
要点六、平移的特征
1、平移后的图形与原来图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小不变.
2、对应点平移后对应点所连的 线段平行并且相等.
要点七、旋转的特征
要点八、平移与旋转的异同
①
相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
②
不同：
要点十、旋
转对称图
形
1、概念：在平面内,将一个图形绕着一定点旋转一定角度（小于周角）后能与自身重合,这样的图形叫做旋
转对称图形.
2、旋转的度数称为旋转角度.
3、一般来说，旋转角度可以有多个，但旋转中心只有一个
要点十一、旋转对称图形的画法：
1.任意定一点旋转中心O；
2.按设计需要，把周角360°分成n 等份；
3.以O 为旋转中心，360°除以n 的商为旋转角做顺时针或
逆时针旋转n-1 次即可得到一个旋转对称图形.
要点十二、中心对称及其应用
1.中心对称图形是特殊的旋转对称图形，判断时应注意看图形绕中心旋转180°能否与自身重合。
2.中心对称作图步骤：先找对称中心；然后根据对称点到对称中心距离相等，且连结对称点的线段被对称
中心平分，作出对称点；最后顺次连结即可。
要点十三、图形的全等
1.常见的图形运动有三种：轴对称、平移和旋转。这三种变换刻画了“两个全等图形的特定位置关系”。
2.依据图形全等的性质和判定求解线段间的关系及角的度数。
图形变换
运动方向
运动量的衡量
平移
直线
移动一定距离
旋转
顺时针或逆时针
转动一定的角度
题型归纳
题型一、利用轴对称的性质求解
1．（24-25 七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点
是
内的一点，
、
分别是点
关于
、
的对称点，连接
与
、
分别相交于点
、
，已知
．
(1)求
的周长；
(2)连接
、
，若
，求
的度数．
2．（24-25 七年级下·江苏常州·期中）如图，
和
关于直线
对称，
和
的交点
在直
线
上．
(1)若
，
，求
的长；
(2)连接
，则
和直线
的关系为 ．
3．（24-25 七年级下·全国·课后作业）如图，
的边
关于
的对称线段是
，边
关于
的
对称线段是
，连接
．若点
落在
所在的直线上，
，求
的度数．
4．（21-22 七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点
是
外的一点，点
，
分别是
两边上
的点，点
关于
的对称点
落在线段
上，点
关于
的对称点
落在
的延长线上，若
，
，其中
，试求
的值．（用
和
表示）
5．（23-24 八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知
是
内的一点，点
、
分别是
点
关于
、
的对称点，
点
、
分别相交于点
、
，已知
．
(1)求
的周长；
(2)连接
、
，若
，求
．（用含
的代数式表达）
题型二、将军饮马问题
6．（2025 七年级下·全国·专题练习）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位
将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．
他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B 关于直线l 的对称点
，连结
与直线l 交于点C，点C 就是所求的位置．请你在下列阅读、
应用的过程中，完成解答：
(1)证明：如图3，在直线l 上另取任一点
，连结
，
∵直线l 是点B，
的对称轴，点C，
在l 上，
∴
_，
_，
∴
_．
在
中，
∵
，
∴
，即
最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用
“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，
两点的线中，
线段
最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．
(2)问题解决
如图，将军牵马从军营P 处出发，到河流
饮马，再到草地
吃草，最后回到P 处，试分别在边
和
上各找一点E、F，使得走过的路程，即
的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路
径用实线）
(3)
7．（24-25 七年级下·全国·单元测试）综合与实践．
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着
一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A 出发，到达河岸点P 饮马后再回到点B
宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】（1）小亮：作B 关于直线l 的对称点
，连结
与直线l 交于点C，点C 就是饮马的地方，
此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l 上另取任一点
，连结
，我只要说明
．
请完整地写出小亮的求解过程．
【解决问题】（2）如图4，将军牵马从军营P 处出发，到河流
饮马，再到草地
吃草，最后回到P
处，试分别在边
和
上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最
短路径用实线）
题型三、作已知线段的垂直平分线、角平分线
8．（24-25 七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形
中，
，
用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．
(1)作边
的中点D；
(2)作
的平分线
，交
边于点E；
(3)作点C 关于直线
的对称点F；
(4)直接写出
的长为 ．
9．（21-22 七年级下·山东淄博·期末）如图，已知
，点
，
．
求作：一点
，使
，并且点
到
两边的距离相等（要求：不写作法，只保留作图痕迹）．
10．（23-24 七年级下·广东佛山·期末）如图，在
中，
，
．
(1)用尺规作图法作
的平分线，且该平分线交
于点
（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)点
是
边上的一点，当
时，求
的度数．
题型四、利用平移的性质求解
11．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在
中，
，
，
，将
向左平移
得到
，
交
于点
，
．
(1)
，
；
(2)直接写出
与
之间关系；
(3)计算图中阴影部分的面积．
12．（24-25 七年级下·江苏无锡·期中）如图，将
沿直线
向右平移a 个单位到
的位置．
(1)连接
，当
的周长为16，
时，求四边形
的周长；
(2)已知
的面积为12，
．当
所扫过的面积为18 时，求a 的值．
13．（24-25 七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角
板
和
（
，
），其中边
和
重合．将三角形
沿
直线向左平移得到三角形
，点
落在
上，
为
与
的交点．
(1)求
的度数；
(2)求证：
；
(3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为_____．
14．（24-25 七年级下·河南安阳·阶段练习）光明中学现有一块长方形的草地，长为
，宽为
．现要
在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移
得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵
石铺地面的费用大约为150 元/平方米．
(1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你
将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用；
(2)小颖想知道设计图2 中
和
是否真正平行，她度量出
，
，
，她
就得出了
，你认为她的思考正确吗？为什么？
(3)如图3，猜想
之间有什么关系，请直接写出你的结论．
15．（23-24 七年级下·山西朔州·期中）综合与实践
在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形
空地的长都为
，宽都为
．白老师的设计方案如图1 所示，阴影部分为一条平行四边形小路，
，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地．
数学思考：（1）求图1 中草地的面积．
深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题
①“善思小组”提出问题：设计方案如图2 所示，有两条宽均为1 米的小路（图中阴影部分），其余部分
为草地，求草地的面积，请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3 所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1 米宽的小路，沿着小
路的中间从入口P 处走到出口Q 处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．
题型五、平移作图
16．（24-25 七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方
形的边长为均为1，三角形
的顶点都在格点上，将三角形
平移，点
平移到
的位置．
(1)请在图中画出平移后的三角形
；
(2)三角形
平移过程中，边
扫过的图形面积为____________；
(3)图中能使三角形
与三角形
面积相等的格点
有____________个（点
异于点
）．
17．（24-25 七年级下·吉林·期中）如图①，图②是
的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，
且每个小正方形的边长均为1．
的三个顶点和线段
的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按如
下要求作图．
(1)在图①中，将
平移至
，使点
和点
对应，点
和点
对应，点
和点
对应．
(2)在图②中，找一个格点
，连接
，使
，并写出点
到
的距离．
18．（24-25 七年级下·北京·期中）如图，
的三个顶点
均在正方形网格的格点上，每个小
正方形的边长都为1．请在网格中画图并回答下列问题：
(1)过
点画直线
的垂线，垂足为点
；
(2)过
点画射线
，交直线
于点
；
(3)点
到直线
的距离为线段______的长度；
(4)比较线段
和线段
长度的大小______，并说明理由______；
(5)将三角形
沿着直线
方向向上平移
个单位，再向右平移个单位，请画出平移后的三角形
，并计算其面积______．
题型六、利用旋转的性质求解
19．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，把△
绕点
按逆时针方向旋转
得到
，
交
于点
，已知
．
(1)求
的大小；
(2)求
的大小．
20．（24-25 七年级下·江苏扬州·期中）如图1，
为直线
上一点，过点
作射线
，使
．
现将一个直角三角板的直角顶点放在点
处，一边
与射线
重合，如图2．
(1)如图2，
；
(2)如图3，将三角板
绕点
逆时针旋转一定角度，此时
是
的角平分线，求
的度数；
(3)将三角板
绕点
逆时针旋转
（
）．
①
．（用含
的代数式表示）
②是否有某个时刻满足
？如果有，求此时
的度数；如果没有，请说明理由．
21．（24-25 七年级下·江苏连云港·期中）如图，把
绕着A 点按逆时针方向旋转
得到
，
与
交于点D 点，若
，求
的度数．
22．（23-24 九年级上·北京海淀·期末）如图，在
中，
，将
绕点
逆时针旋转得到
，使点
在
的延长线上．求证：
．
题型七、全等三角形
23．（24-25 七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知
，如果
，
，那么
．
24．（24-25 八年级上·河北保定·期中）如图，
，点
，
，
，
在一条直线上．
(1)求证：
；
(2)连接
．若
，求
的度数．
25．（24-25 七年级下·宁夏银川·期中）如图所示，已知
于D．
(1)判断
与
的位置关系，并说明理由．
(2)已知
，求
的长．
26．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，
，
、
分别为
和
上的点．求证：
．
真题感知
一、单选题
1．（24-25 七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点
落在
处，点
在边
上，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 七年级下·江苏无锡·期中）如图，
所在直线是
的对称轴，点
，
是
上的两点，
若
，
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 七年级下·上海崇明·期中）如图，在
中，
，将
沿直线l 翻折，点B 落在
点
的位置，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形
中，
，
，
，
，动点M 在线段
上运动（不与端点重合），点M 关于边
，
的对称点分别为E，F，连
接
，点D 在
上，则在点M 的运动过程中，线段
长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．10
D．
5．（24-25 七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（
）
A．轴对称→平移→旋转
B．轴对称→旋转→平移
C．旋转→轴对称→平移
D．平移→旋转→轴对称
6．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，
和
关于直线l 对称，直线l 与
相交
于点O，若
，
，
，则五边形
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 七年级下·江苏南通·期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形
沿着点
到点
的方向平移到三角形
的位置，
，平移距离为6，则阴影部分面积为
（ ）
A．60
B．48
C．36
D．24
8．（24-25 七年级下·四川绵阳·期中）把一副直角三角尺如图摆放，点B 与点E 重合，边
与边
都在
直线l 上，将
向右平移到
，此时边
经过点D，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 七年级下·江苏镇江·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 七年级下·江苏南京·期中）若将一块长
，宽
的长方形卡片剪成相同形状大小的两
张卡片，可拼成一个长
，宽
的新长方形，则原长方形的剪切方案为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知
，
，
，将
绕点
顺
时针方向旋转到
的位置，使得
、
、
在同一条直线上．那么旋转的最小角度是 ．
12．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）如图，点E，F 分别为长方形
的边
，
上的点，将长方
形纸片沿
翻折，点B，C 分别落在点
，
处，
与
相交于点G，若
，则
的
度数为 ．
13．（24-25 七年级下·四川南充·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区
，为方便游人观赏，
公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1 米．若
米，
米，小
明沿着小路的中间从入口E 处走到出口F 处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ，阴影部分的面积
为 ．
14．（2025·吉林·一模）如图所示，矩形纸片
，点
为边
上一点，连接
．将
沿
对折，点
落在点
处；将
沿
对折，点
落在点
处．若
．下列结论：①若
，则
；②
；③若
，
则
；④若
平分
，则
．其中一定正确的有 （填序号
即可）．
15．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的
中，
，
，
，点
、
在
直线上，将
绕着点
顺时针旋转到位置①得到直线上的点
，将位置①的三角形绕点
顺时针
旋转到位置②得到直线上的点
，
按此规律旋转至点
，则
= ．
三、解答题
16．（24-25 七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，O
和
为两条相交的公路，
，
是两个居民区，
快递公司要在居民区旁边修建一个快递中转站，为了使邮寄和取送方便，要使中转站到两条公路的距离相
等，并且到两居民区的距离也相等，请你用尺规作出中转站所在的位置（保留作图痕迹）．
17．（24-25 七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在
中，
，
的周长为
，边
在
直线上，将
沿着直线平移得到
，（
，
，
的对应点分别为
，
，
），
(1)如图1，连接
，若平移距离为
，则阴影部分的周长为
；
(2)如图2，当
时，求
的度数；
(3)在整个运动中，当
时，则
的度数为 ．
18．（24-25 七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知
．
【初步认识】
（1）尺规作图：求作直线，使
和
关于直线对称；（不写作法，保留痕迹）
【理解应用】
（2）如图
，若
在
内部，
和
关于
对称，
和
关于
对称，求
的度数；
（3）如图，若
在
外部，且
，
和
关于
对称，
和
关于
对
称，求
的度数；
【拓展提升】
（4）若
和
关于
的边
对称，且
，则
的度数是_____．
19．（24-25 七年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形
中，
．
(1)尺规作图：作
的角平分线，交
于点
．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)画线段
，交
于点
，若
，求
．
20．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，点
在四边形
的内部，且点
与点
关于
对称，
交
于点
，点
与点
关于
对称，
交
于点
，
分别交
，
于点
，
．
(1)连接
，
，若
，求
的周长；
(2)若
，求
的度数．
