专题04 图形的轴对称
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
轴对称图形的识别
题型2
根据成轴对称图形的特征进行判断
题型3
画轴对称图形
题型4
轴对称中的折叠问题
题型5
利用等腰（等边）三角形性质求解
题型6
利用等腰（等边）三角形性质证明
题型7
根据线段垂直平分线的性质求解与证明
题型8
根据角平分线的性质定理求解与证明
题型9
利用轴对称求解将军饮马问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 轴对称图形识别及性质（对应点
连线被对称轴垂直平分）。
2. 垂直平分线与角平分线性质。
3. 等腰三角形：“三线合一”、等
边对等角。
4. 最短路径问题（将军饮马模型）。
5. 折叠问题中的角度或线段计算。
1.
强化轴对称识别与实际应用：从概念辨析转向生活情境（如
台球、光线反射、折叠问题）中的对称分析。
2.
聚焦“三线合一”与最值问题：重点考查等腰三角形性质及
利用垂直平分线、角平分线解决将军饮马类最短路径问题。
3.
注重尺规作图融合：常结合角平分线、垂直平分线的尺规作
图进行推理或计算。
4.
渗透分类讨论思想：针对等腰三角形顶角/底角不确定及折
叠中对应点位置进行分类讨论。
考情解码：根据2026 年新教材考情，第五章《图形的轴对称》重点考查轴对称的概念辨析与实际应
用，常见题型包括折叠问题、光线反射及台球路径等生活情境。核心考点为垂直平分线与角平分线的
性质，等腰三角形的“三线合一”仍是高频切入点。命题注重尺规作图（作对称点、垂直平分线）与
几何计算的融合，同时通过等腰三角形顶点、底边不确定情况及折叠中对应点位置渗透分类讨论思想。
知识点一轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条
直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直
线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，
而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形
关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
（4）轴对称图形的性质
性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对
应角相等
【易错警示】
- 概念区别：轴对称图形是一个图形的自身性质；轴对称是两个图形关于某条直线对称，勿混淆。
- 对称轴：是直线，不是线段或射线；作图时画成虚线。
- 对应点：对称轴垂直平分对应点连线。
即时即练1．下列图形中，是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形
的定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：A、C、D 选项图形无法找到一条直线，使折叠后两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形，
故A、C、D 均不符合题意；
B 选项图形可以找到直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B 符合题意．
2．如图，在长方形ABCD 中，E 为DC 边上的一点，沿线段BE 对折后，若
ABF
比
EBF
大18，则
EBF
的度数是______．
【答案】24/24 度
【分析】本题考查角的和差计算以及用一元一次方程解决几何问题，关键是利用折叠的性质得到相等的角，
结合直角的度数建立方程求解．
【详解】解：设
EBF
x
，
∵沿线段BE 对折，
∴
EBF
EBC
x
；
又∵
ABF
比
EBF
大18，
∴
18
ABF
x
；
∵四边形ABCD是长方形，
∴
90
ABC
，即
90
ABF
EBF
EBC
，
∴
18
90
x
x
x
，解得
24
x
；
故答案为：24
3．如图，
AOB
内一点P ，
1
2
P
P
、
分别是点P 关于OA
OB
、
的对称点，
1
2
PP 交OA于M ，交OB 于N ，若
1
2
10cm
PP
，则PMN
的周长是_______．
【答案】10cm
【分析】此题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
由轴对称的性质得到
1
PM
MP
，
2
PN
NP
，1
2
1
2
PP
MP
MN
NP
PM
MN
PN
，由此可得到PMN
的
周长．
【详解】解：由于轴对称的性质，
∴
1
PM
MP
，
2
PN
NP
，
PMN
的周长为
1
2
1
2
10cm
PM
MN
PN
MP
MN
NP
PP
，
故答案为：10cm．
知识点二等腰三角形的性质
（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相
重合（简称：等腰三角的三线合一）
图形：如下所示；
符号：在ABC
中，AB＝AC，
1
2
1
2,
,
;
,
,
;
,
1
2
.
BD
CD AD
BC
AD
B
BD
CD
AD
BC
C
BD
CD
若
则
若
则
若
，则
【易错警示】
- 等边对等角：前提是同一个三角形中，边相等则对角相等，勿颠倒因果。
- 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高重合，必指明“底边”，腰上一般不成立。
- 分类讨论：顶角或底角不确定时，需分情况讨论。
即时即练1．浏水月夜民宿用等腰
ABC
形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使AB
AC
，并用AD
连接和加固支架．已知D 是BC 边的中点，且
70
BAC
，则
BAD
________．
【答案】35
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
已知等腰ABC
中AB
AC
，D 是BC 边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD 平分顶角
BAC
，
因此只需将
BAC
的度数除以2 即可得到
BAD
的度数．
【详解】解：∵在等腰ABC
中，AB
AC
，D 是BC 边的中点，
∴AD 平分
BAC
（等腰三角形三线合一），
∵
70
BAC
，
∴
BAD
1
2
BAC
1
70
35
2
，
故答案为：35．
2．如图，在
ABC
中，AB
AC
，AD 是BC 边上的中线，且CD
CE
，若
20
ADE
，则
C
的度数为
________．
【答案】40/ 40 度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得AD
BC
，
进而求得
70
CDE
，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵AB
AC
，AD 是BC 边上的中线，
∴AD
BC
∵
20
ADE
，
∴
90
90
20
70
CDE
ADE
∵CD
CE
，
∴
70
CED
CDE
∴
180
180
70
70
40
C
CDE
CED
故答案为：40．
知识点三等边三角形的性质
（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60；
（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
【易错警示】
- 三边相等、三角相等（均为60°），具有等腰三角形所有性质。
- “三线合一”：每条边上的中线、高及对角平分线都重合，勿认为只有一条。
- 混淆：等边三角形是特殊的等腰三角形，但反之不成立；判定时勿只用“一个角60°”，缺边条件。
即时即练1．如图，直线m
n
∥
，等边
ABC
的顶点B 在直线n 上，直线m 交AB 边于点D ．若
18
，
则的度数为（
）
A．72
B．78
C．86
D．82
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性
质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵
ABC
是等边三角形，
∴
60
ABC
，
∵m
n
∥
，
18
60
78
ABC
，
故选：B．
2．如图，在等边
ABC
中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE
AB
∥
，过点E 作EF
DE
，交BC 的延长
线于点F ．
(1)求
F
的度数；
(2)若
2
CD
，求DF 的长．
【答案】(1)30°
(2)4
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，含有30角的直角三角形的性质，理解
等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，含有30角的直角三角形的性质是解决问题的关键；
（1）根据等边三角形性质得
60
B
ACB
，再根据DE
AB
∥
得
60
EDC
B
，然后根据EF
DE
即可得出
F
的度数，
（2）证明△DEC 是等边三角形得
2
DE
CD
，再根据含有30角的直角三角形的性质即可得出DF 的长．
【详解】（1）解：△ABC 是等边三角形，
60
B
ACB
，
DE
AB
∥
，
60
EDC
B
，
EF
DE
，
△DEF 是直角三角形，
在Rt
DEF
△
中，
90
30
F
EDC
，
（2）解：
60
EDC
，
60
ACB
，
△DEC 是等边三角形，
2
DE
CD
，
在Rt
DEF
△
中，
30
F
，
2
4
DF
DE
．
知识点四线段的垂直平分线（简称中垂线）
1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
3.作法：作已知线段的垂直平分线.
【易错警示】
- 性质：中垂线上的点到线段两端距离相等，勿反用（距离相等点在中垂线上是判定）。
- 作图：需作中点且垂直，二者缺一不可；对称轴是直线，勿画成线段。
- 三角形：三边中垂线交于外心，勿与中线、角平分线混淆。
即时即练如图，在
ABC
中，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E ，F ．若
8cm
BC
，则
AEF
△
的
周长为_____________cm．
【答案】8
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是利用垂直平分线的性质将AEF
的周长转化为BC 的长
度．根据线段垂直平分线的性质，得到EA
EB
，FA
FC
，再将AEF
的周长AE
EF
FA
替换为
EB
EF
FC
，而EB
EF
FC
的长度等于BC 的长度，代入已知BC 的数值即可求出AEF
的周长．
【详解】解：∵AB 的垂直平分线交BC 于点E ，
∴EA
EB
；
∵AC 的垂直平分线交BC 于点F ，
∴FA
FC
；
∴AEF
的周长
AE
EF
FA
EB
EF
FC
BC
，
∵
8cm
BC
，
∴AEF
的周长为8cm ；
故答案为：8．
知识点五角平分线的性质
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3.作已知角的角平分线.
【易错警示】
- 性质：角平分线上的点到角两边距离相等，勿忘“距离”是垂直的线段长度，非斜线段。
- 判定：内部到两边距离相等的点在角平分线上，注意“内部”条件。
- 交点：三角形三角平分线交于内心，勿说成中线交点。
即时即练1.如图，AD 是
ABC
的角平分线，DE
AB
，DF
AC
，垂足分别是E ，F ，若
8cm
AB
，
6cm
AC
，
2
14cm
ABC
S
，则DE 的长为_____cm．
【答案】2
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出DE
DF
，根据三角形的面积公式计算
即可．
【详解】解：
AD
是ABC
的角平分线，DF
AC
，DE
AB
，
DE
DF
，
∵
8cm
AB
，
6cm
AC
，
2
14cm
ABC
S
，
∴1
1
6
8
14
2
2
DF
DE
，
解得，
2
DF
，
故答案为：2 ．
2.如图，OP 平分
AOB
，PF
OA
于点F ，点D 在OB 上，DH
OP
于点H ，若
4
OD
，
8
OP ，
3.5
PF
，
则DH 的长为_______．
【答案】7
4
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，关键是由三角形面积的不同表示方法得到等积式；
过点P 作PE
OB
，则
3.5
PE
PF
，又根据OD
PE
OP
DH
，即可求得DH 的长．
【详解】解：∵OP 平分
AOB
，
,
PF
OA PE
OB
，
∴
3.5
PE
PF
，
∵
1
1
2
2
POD
S
OD
PE
OP
DH
，
∴OD
PE
OP
DH
，
∵
4
OD
，
8
OP ，
∴4 3.5
8DH
，
即：
7
4
DH
，
故答案为：7
4 ．
题型1
轴对称图形的识别
例1．下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．轴对称图形的概
念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对
称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：选项A、B、C 的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D 的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴
对称图形；
故选：D．
例2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，
对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形判断即可．
【详解】解：A ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D ．是轴对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
【技巧总结】
找一条直线，使图形沿直线对折后两侧完全重合，可逐点验证；常见图形如线段、角、等腰三角形、圆，
注意平行四边形不是轴对称，可通过观察或折纸判断。
【变式训练1-1】“长安回望绣成堆，山顶千门次第开．”长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承载历史的古
城．以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：第3 个中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，所以不是轴对称图形；
第1、2、4 个中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形；
故选：B．
【变式训练1-2】戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称
的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
题型2
根据成轴对称图形的特征进行判断
例3．如图是一个风筝设计图，其主体部分关于BD 所在的直线对称（四边形ABCD ，AB
AD
），AC 与BD
相交于点O，BD
AC
，且AO
OC
，则下列推断不正确的是（
）
A．AD
CD
B．
ABD
CBD
≌
△
△
C．
ABD
CBD
D．
ABC
是等边三角形
【答案】D
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：AD
CD
，AB
BC
，
ABD
CBD
≌
△
△
，
ABD
CBD
，进而得到
ABC
是等腰三角形，即可判断．
【详解】解：其主体部分关于BD 所在的直线对称（四边形ABCD ，AB
AD
），
AD
CD
，AB
BC
，
ABD
CBD
≌
△
△
，
ABD
CBD
，
ABC
是等腰三角形，
故A、B、C 正确；D 不正确；
故选：D．
例4．如图，
AOD
△
关于直线l 进行轴对称变换后得到BOC
，下列结论中不正确的是（
）
A．
1
2
B．
3=
4
C．l 垂直平分
,
AB CD
D．
,
OA
OC OB
OD
【答案】D
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得
出结论．
【详解】解：∵
AOD
△
关于直线l 进行轴对称变换后得到BOC
，
∴
1
2
，
3=
4
，l 垂直平分
,
AB CD ，OA
OB
，OC
OD
故选项A、B、C 正确；故选项D 不一定正确．
故选：D．
【技巧总结】
成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系，
找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。
【变式训练2-1】如图，直线MN 是四边形MANB 的对称轴，点P 在MN 上．则下列结论错误的是（
）
A．
ANM
BNM
B．
MAP
MBP
C．AM
BM
D．AP
BN
【答案】D
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线MN 是四边形AMBN 的
对称轴，得到点A 与点B 对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】解：直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，
点A 与点B 对应，
AM
BM
，AN
BN
，
ANM
BNM
，
点P 是直线MN 上的点，
MAP
MBP
，AP
BP
，
A，B，C 正确，而D 错误，
故选：D．
【变式训练2-2】如图，ABC
和A B C
关于直线l 对称，点P 为直线l 上一点，则下列说法中错误的是（
）
A．
A
ABC
B C
≌
△
△
B．l 垂直平分CC
C．PC
PC
D．
BAC
CAC
【答案】D
【知识点】全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】本题考查了轴对称的性质、全等的性质、线段垂直平分线的判定与性质，连接CC交l 于O，根据
轴对称的性质得出
A
ABC
B C
≌
△
△
，CO
C O
，CC
l
，即可判断A，从而得出l 垂直平分CC，即可判
断B、C，最后再根据全等三角形的性质即可判断D，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接CC交l 于O，
，
ABC
和A B C
关于直线l 对称，
ABC
A B C
△
≌△
，CO
C O
，CC
l
，故A 正确，不符合题意；
l 垂直平分CC，故B 正确，不符合题意；
点P 为直线l 上一点，
PC
PC
，故C 正确，不符合题意；
ABC
A B C
△
≌△
，
BAC
B AC
，故D 错误，符合题意；
故选：D．
题型3
画轴对称图形
例5．如图，在所给网格图中每小格均为边长是1 的正方形．
ABC
的顶点均在格点上，请完成下列各题：
（用直尺画图）．
(1)画出
ABC
关于直线DE 对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)在直线DE 上画出点P ，使PB
PC
最小．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解．
【知识点】画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题)、无刻度直尺作图
【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是正确
解答此题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）连接
1
BC ，交直线DE 于点P ，，此时点P 即为所求．
【详解】（1）解：如图，分别作出点、、
A
B
C 的对应点
1
1
1
A
B
C
、、
，顺次连接得
1
1
1
A B C
△
，
1
1
1
A B C
△
即为
所求；
（2）解：如图，连接
1
BC ，交直线DE 于点P ，连接BP ，此时PB
PC
最小，则点P 即为所求。
例6．如图，在3 3
的正方形网格中，ABC
和DEF
的顶点都在格点（正方形的交点）上，且
ABC
和DEF
关于某条直线成轴对称．请在图中画出4 个不同的DEF
．
【答案】画图见解析
【知识点】画轴对称图形
【分析】本题考查了作轴对称图形，根据轴对称图形的性质作图即可，掌握轴对称图形的性质是解题的关
键．
【详解】解：如图所示，DEF
即为所求（答案不唯一）．
【技巧总结】
成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系，
找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。
【变式训练3-1】如图，
ABC
在正方形网格中，顶点都在格点上，每个小正方形网格的边长代表1 个单位
长度．
(1)在图中画出
ABC
关于直线m 的对称图形
1
1
1
A B C
△
；
(2)如图，点P 在直线m 上，连接AP 和CP ，则AP
CP
，请你说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS 综合（SAS）、画轴对称图形
【分析】本题考查了轴对称，全等三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据轴对称的概念画出图形即可；
（2）过点A、C 作直线m 的垂线AD 、CE ，垂足分别为D、E，证明
SAS
ADP
PEC
≌
即可解答．
【详解】（1）解：
1
1
1
A B C
△
如图所示
（2）解：理由如下：如图，分别过点A、C 作直线m 的垂线AD 、CE ，垂足分别为D、E．
由图知
4
AD
PE
，
ADP
PEC
，
1
DP
EC
，
∴
SAS
ADP
PEC
≌
，
∴AP
PC
．
【变式训练3-2】如下图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中有一个
ABC
．请仅用无刻度的直尺，完
成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)作
ABC
关于直线MN 对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)求
ABC
的面积；
(3)在直线MN 上找一点P，使得PA
PB
最短．
【答案】(1)见解析
(2) 5
2
(3)见解析
【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、利用网格求三角形面积、无刻度直尺作图
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线MN 的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用长为2、宽为3 的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案；
（3）连接
1
AB ，与直线MN 的交点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，
1
1
1
A B C
△
即为所求．
（2）解：
1
1
5
2 3
2
1 2
1 3
2
2
2
ABC
S
△
；
（3）解：如图所示，点P 即为所求．
题型4
轴对称中的折叠问题
例7．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
=60
B
，M，N 分别是边AC ，AB 上的动点，沿着直线MN 将AMN
对折，点A 的对称点是点A．若A N
BC
∥
，求
CMN
的度数．
【答案】
150
CMN
或60
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题
的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．
分两种情况：当A在AB 上方时，当A在AB 下方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当A在AB 上方时，如图所示：
A N
BC
∥
，
60
A NB
B
，
根据折叠可知，
1
(180
60 )
60
2
ANG
A NG
，
180
60
120
ANM
，
120
30
150
CMN
ANM
A
；
当A在AB 下方时，如图所示：
A N
BC
∥
，
60
A NA
B
，
根据折叠可知，
1
60
30
2
ANM
A NM
，
30
30
60
CMN
ANM
A
；
综上分析可知，此时
150
CMN
或60．
例8．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸
ABCD AB
AD
沿折痕BD 折
叠，点C 落在了点C处，BC交AD 于点N．
(1)如果
20
CBD
，那么
ABC
°；
(2)点E 为线段AN 上一点，将三角形ABE 沿BE 折叠，点A 恰好落在BD 上的点
1A 处，如果
CBD
，请
用α的代数式表示
CBE
；
(3)将三角形ABN 沿BN 折叠，点A 落在点
2
A 处，当
2
9
DBA
时，求出
CBD
的度数．
【答案】(1)50
(2)
1
45
2
(3)33或27
【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出
20
C BD
CBD
，进一步求出
ABC
的度数即可；
（2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可；
（3）对点
2
A 在BD 左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可．
【详解】（1）解：由折叠可知，
20
C BD
CBD
．
因为四边形ABCD 是长方形，
所以
90
ABC
，
所以
90
20
20
50
ABC
．
故答案为：50；
（2）解：如图所示，
因为
CBD
，
所以
90
ABD
，
由折叠可得
1
1
90
2
2
ABE
A BE
ABD
，
所以
90
1
90
90
45
2
2
CBE
ABE
；
（3）解：当点
2
A 在BD 的左上方时，如图所示，
设
C BD
CBD
x
，
则
2
90
2
ABN
A BN
x
，
∵
2
9
DBA
，
2
2
C BD
DBA
A BN
，
∴
90
2
9
x
x
，
解得
33
x
，
所以
33
CBD
．
当点
2
A 在BD 的右下方时，如图所示，
设
C BD
CBD
x
，
则
2
90
2
ABN
A BN
x
，
∵
2
9
DBA
，
2
2
C BD
A BN
DBA
，
∴
90 2
9
x
x
，
解得
27
x
，
所以
27
CBD
．
综上所述，∠CBD 的度数为33或27．
【技巧总结】
折叠即轴对称，折痕是对称轴；对应点连线被折痕垂直平分，对应边角相等，设未知数表示折后线段，利
用勾股定理或全等列方程，注意重合点与折痕位置关系。
【变式训练4-1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕．
(1)如图1，求
CBD
的度数；
(2)如图2，若
46
A BE
，求
CBD
的度数；
(3)如图3，若
A BE
，求
CBD
的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)90
(2)113
(3)
1
90
2
【分析】本题主要考查了折叠的性质，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
（1）由折叠的性质知
ABC
A BC
，
EBD
E BD
，由平角的定义求出
90
A BC
E BD
，即可
得到
90
CBD
；
（2）由
46
A BE
计算出
65
ABC
EBD
，据此即可求出答案；
（3）同（2）求得
1
90
2
A BC
E BD
，进一步计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由折叠的性质知
ABC
A BC
，
EBD
E BD
，
∵
180
ABC
A BC
EBD
E BD
，
∴
90
A BC
E BD
，即
90
CBD
；
（2）解：由折叠的性质知
ABC
A BC
，
EBD
E BD
，
∵
180
ABC
A BC
EBD
E BD
A BE
，
∴
180
46
2
67
A BC
E BD
，
∴
67
46
113
CBD
A BC
E BD
A BE
；
（3）解：由折叠的性质知
ABC
A BC
，
EBD
E BD
，
∵
180
ABC
A BC
EBD
E BD
A BE
，
∴
1
180
2
90
2
A BC
E BD
，
∴
1
1
90
90
2
2
CBD
A BC
E BD
A BE
．
【变式训练4-2】阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线．
(1)如图1，若
56
AOB
，则
BOC
；
(2)折叠长方形纸片，
,
BC BD 均为折痕，折叠后，点A 落在点A，点E 落在点E．
①如图2，当点E在BA上时，求
CBD
的度数；
②如图3，若
42
A BE
，求
CBD
的度数；
③如图4，若
30
A CB
，
A BE
n
，则DBE
的度数为（用含n 的式子表示）．
【答案】(1)28
(2)①90；②111；③1
30
2 n
【分析】（1）由折叠得出
AOC
BOC
，即可得出结论；
（2）①由折叠得出
1
1
,
2
2
ABC
A BC
ABA
EBD
E BD
EBE
，再由点E在BA上，进而求解即
可；
②首先求出
138
ABA
EBE
，然后由折叠得到
1
1
,
2
2
ABC
A BC
ABA
EBD
E BD
EBE
，
然后求出
A BC
E BD
，进而即可求出
CBD
；
③首先由折叠得，
30
ACB
A CB
，求出
ABC
，
ABA
，然后根据
180
ABA
EBE
A BE
，
得到
60
EBE
n
，最后由折叠的性质求解，即可解题．
熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
【详解】（1）解：
56
AOB
，
由折叠知，
1
28
2
AOC
BOC
AOB
；
（2）解：①由折叠知，
1
1
,
2
2
ABC
A BC
ABA
EBD
E BD
EBE
，
∴当点E在BA上时，
1
=90
2
CBD
CBE
DBE
ABA
EBE
；
②由条件可知
180
138
ABA
EBE
A BE
，
由折叠知，
1
1
,
2
2
ABC
A BC
ABA
EBD
E BD
EBE
，
∴
1
69
2
A BC
E BD
ABA
EBE
，
∴
69
42
111
CBD
A BC
E BD
A BE
；
③∵
30
A CB
，
∴由折叠得，
30
ACB
A CB
，
∴
90
60
ABC
ACB
，
∴由折叠得，
2
120
ABA
ABC
，
180
ABA
EBE
A BE
，
A BE
n
，
∴
180
180
120
60
EBE
A BE
ABA
n
n
，
∴由折叠得，
1
2
DBE
EBE
1
30
2 n
．
题型5
利用等腰（等边）三角形性质求解
例9．已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，则它的顶角的度数为_____．
【答案】108
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形两底角相等的性质
以及三角形内角和为180是解题的关键．
利用等腰三角形两底角相等的性质，设底角为x 度，则顶角为3x度，根据三角形内角和定理列方程求解．
【详解】解：设底角为x 度，则顶角为3x度．
根据三角形内角和定理，得3
180
x
x
x
，即5
180
x
，
解得
36
x
．
所以顶角为3 36
108
度．
故答案为：108．
例10．八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，AB
AC
，为了方便灌溉，从顶点A 修了一
条与底边BC 垂直的水渠AD ，已知
20m
BD
，则CD _______m．
【答案】20
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三
角形“三线合一”进行求解即可．
【详解】解：∵AB
AC
，AD
BC
，
∴CD
BD
，
∵
20m
BD
，
∴
20m
CD
．
故答案为：20．
【技巧总结】
等边对等角，三线合一（顶角平分线、底边中线、高线重合）；常作底边高线构造直角三角形，设未知数
表示角度或边长，结合外角或内角和列方程，注意分类讨论顶角与底角。
【变式训练5-1】如图，等腰
ABC
的底边BC 长为6．面积是24，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、AC
于点E 、F ．若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则BDM
的周长的最小值为______．
【答案】11
【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接AD ，BDM
的周长为BD
BM
DM
，DB为定值，要使BDM
的周长最小，则BM
DM
的值最小，AB 的垂直平分
线为EF ，得到
,
A B 关于EF 对称，得到BM
DM
AM
DM
AD
，当
,
,
A M D 三点共线时，BM
DM
AD
，
最小，进行求解即可．
【详解】解：∵BDM
的周长为BD
BM
DM
，DB 为定值，
∴当BM
DM
的值最小时，BDM
的周长最小，
连接AD
AM
，
，
∵AB 的垂直平分线为EF ，
∴
,
A B 关于EF 对称，
∴BM
DM
AM
DM
AD
，
∴当
,
,
A M D 三点共线时，BM
DM
AD
，
∵等腰
ABC
，点D 为底边BC 的中点，
∴AD
BC
，
1
3
2
BD
BC
，
∴
1
1
6
24
2
2
ABC
S
BC AD
AD
，
∴
8
AD
，
∴BDM
的周长的最小值为
3 8
11
BD
BM
DM
BD
AD
；
故答案为：11．
【变式训练5-2】如图，在
ABC
中，AB
AC
，
50
B
，点D 在线段BC 上运动（不与点B，C 重合），
当
ABD
△
是等腰三角形时，
ADB
的度数为________．
【答案】65或80
【分析】本题需要分类讨论，注意当AB
AD
时，点D 与点C 重合，不符合题意，需舍去．分AB
AD
，
BA
BD
，DA
DB
三种情况，分别计算即可．
【详解】分三种情况讨论，
当AB
AD
时，
50
ADB
B
，
此时点D 与点C 重合，不符合题意，故舍去；
当BA
BD
时，
180
65
2
B
ADB
；
当DA
DB
时，
50
BAD
B
180
2
80
ADB
B
，
综上，
ADB
的度数为65或80．
题型6
利用等腰（等边）三角形性质证明
例11．如图，在
ABC
中，AB
AC
BD
CD
，
，点P 为射线AD 上一点，连接PB
PC
，
．
(1)求证：
AP
BC ；
(2)求证：PB
PC
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明
AP
BC ；
（2）可证明AP 是线段BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明PB
PC
．
【详解】（1）证明：∵AB
AC
BD
CD
，
，
∴AD
BC
，即
AP
BC ；
（2）证明：由（1）知
AP
BC ，
又∵BD
CD
，
∴AP 是线段BC 的垂直平分线，
∴PB
PC
．
例12．如图，点A、D、C、F 在一条直线上，且AD
CF
，AB
DE
，
BAC
EDF
．
(1)求证：
ABC
DEF
≌△
△
；
(2)若
40
A
，AB
AC
，求
F
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的
性质与判定定理是解题的关键．
（1）先证明AC
DF
，再利用SAS 即可证明
ABC
DEF
≌△
△
；
（2）由等边对等角和三角形内角和定理可得
ACB
的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵AD
CF
，
∴AD
CD
CF
CD
，
∴AC
DF
，
又∵AB
DE
，
BAC
EDF
，
∴
ABC
DEF SAS
≌
；
（2）解：∵
40
A
，AB
AC
，
∴
180
70
2
A
ACB
B
，
∵
ABC
DEF
≌△
△
，
∴
70
F
ACB
∠
∠
．
【技巧总结】
先由边等推角等或由角等推边等，运用三线合一转移条件，常作辅助线（底边中线或高线）构造全等三角
形，通过等量代换与平行线性质，按逻辑顺序严密推导结论。
【变式训练6-1】如图，在
ABC
中，
,
AB
AC
AD BE
CF
，点E、F 在边BC 上．
(1)求证：
ABE
ACF
≌
；
(2)若
30
BAE
，求
D
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)75
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据等腰三角形的性质可得
B
ACF
，即可证明
ABE
ACF
≌
；
（2）根据全等三角形的性质可得
CAF
BAE
，再由等腰三角形的性质可得
ADC
ACD
，即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB
AC
，
∴
B
ACF
，
在ABE
和
ACF
△
中，
∵
,
,
AB
AC
B
ACF BE
CF
，
∴
ABE
ACF
≌
；
（2）解：∵
ABE
ACF
≌
，
∴
CAF
BAE
，
∵
30
BAE
，
∴
30
CAF
，
∵AD
AC
，
∴
ADC
ACD
，
∴
1
1
180
180
30
75
2
2
ADC
CAF
．
【变式训练6-2】如图，在
ABC
中，
90
A
，P 为边BC 上的一点，D 为BP 的中点，E 为CP 的中点，
过点D 作DF
BP
^
交AB 于点F ，过点E 作EG
CP
交AC 于点G ．
(1)求
FPG
的度数．
(2)如图，连接FG ，若FG
BC
∥
，求证：AG
PG
．
【答案】(1)90
(2)证明见解析
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BF
PF
，即得
FPD
B
，同理可得
GPE
C
，即得
到
90
FPD
GPE
B
C
，再根据平角的定义即可求解；
（2 ）由平行线的性质得
AFG
B
GFP
FPD
，
，即得
AFG
GFP
，再根据角平分线的性质即可
求证；
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关
键．
【详解】（1）解：
D
为BP 的中点，DF
BP
^
，
∴DF 垂直平分BP ，
BF
PF
，
FPD
B
，
同理可得
GPE
C
，
∵
90
A
，
∴
90
B
C
，
∴
90
FPD
GPE
B
C
，
180
180
90
90
FPG
FPD
GPE
；
（2）证明：∵FG
BC
∥
，
，
AFG
B
GFP
FPD
，
FPD
B
，
AFG
GFP
，
∴FG 平分
AFP
，
90
90
A
FPG
，
，
GA
AF
GP
PF
，
，
AG
PG
．
题型7
根据线段垂直平分线的性质求解与证明
例13．如图，在
ABC
中，边AB 的垂直平分线EF 分别交边BC 、AB 于点E 、F ，过点A 作AD
BC
于
点D ，且D 为线段CE 的中点，若
ABC
的周长为26 ，
5
AF
，则BD 的长为______．
【答案】8
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出
16
AC
BC
，再得出AC
AE
后即可求解．
【详解】解：连接AE ，
ABC
的周长为26 ，
26
AB
BC
AC
，
EF
垂直平分AB ，
5
AF
，
2
10
AB
AF
，EA
EB
，
16
AC
BC
，
D
为线段CE 的中点，
CD
DE
，
AD
BC
，
AC
AE
，
AC
EB
，
1
8
2
AC
DC
EB
DE
CB
AC
，
8
BD
．
故答案为：8 ．
例14．如图是一风筝的骨架图，AC 是BD 的垂直平分线，E 为垂足．若
2
AB
，四边形ABCD 的周长为14，
则CD 的长度为______．
【答案】5
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得
2
AB
AD
，BC
DC
，再结合题意求解
即可．
【详解】解：∵AC 是BD 的垂直平分线，
∴
2
AB
AD
，BC
DC
，
∵四边形ABCD 的周长为14，
∴
14
4
=
=
= 5
2
BC
DC
，
故答案为：5．
【技巧总结】
垂直平分线上点，到线段两端距离相等；由此得等腰三角形或等边，常连接对称点构造全等，利用直角与
等边转化条件，设未知数表示线段长，通过勾股定理列方程求解。
【变式训练7-1】在
ABC
中，DE 垂直平分AC ，连接CE ，CE 平分
ACB
．
(1)若
46
CEB
，求
B
的度数．
(2)若
4
BC
，
ABC
的周长比EBC
的周长多8，EBC
的面积为6，则三角形AEC 的面积为多少？
【答案】(1)111
(2)12
【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键．
（1）利用垂直平分线的性质得到
23
A
，再得到
46
ACB
，利用三角形内角和即可解答；
（2）过点E 作EF
BC
交BC 的延长线于点F ，根据题意求得
,
AC EF 的长即可解答．
【详解】（1）解：
DE
垂直平分AC ，
EA
EC
，
A
ACE
，
46
BEC
，
1
46
23
2
A
ACE
CE
为角平分线
2
46
ACB
ACE
180
B
A
ACB
180
46
23
111
；
（2）解：如图，过点E 作EF
BC
交BC 的延长线于点F
EF
BC
，DE
AC
，CE 为角分平线，
EF
DE
，
1
2
EBC
S
BC EF
1
4
6
2
EF
，
3
EF
DE
，
ABC
C
AB
AC
BC
△
，
EBC
C
EB
EC
BC
AB
BC
，且
8
ABC
EBC
C
C
，
8
AC
1
2
AEC
S
AC
ED
12
，
AEC
的面积为12．
【变式训练7-2】如图，在
ABC
中，AB
AC
，过点C 作CD
AB
于点D，在CA 的延长线上取点E，连
接BE ，使BE
BC
．
(1)求证：
E
ABC
；
(2)探究BD 、AD 、AE 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) BD
AD
AE
，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】（1）先证明
A
ABC
CB
∠
，
E
ACB
，从而可得结论；
（2）如图，在BD 上截取DF
AD
，连接CF ，证明
BFC
EAB
，再证明
AAS
BCF
EBA
≌
，结合全
等三角形的性质可得结论.
【详解】（1）证明：
AB
AC
ABC
ACB
BE
BC
E
ACB
E
ABC
（2）解：BD
AD
AE
，理由如下：
如图，在BD 上截取DF
AD
，连接CF ．
CD
AB
CF
CA
CFA
CAF
180
180
CFA
CAF
BFC
EAB
由（1）得
E
ABC
，
在
BCF
和
EBA
△
中
BFC
EAB
CBF
E
BC
EB
AAS
BCF
EBA
≌
BF
AE
BD
DF
BF
AD
AE
.
题型8
根据角平分线的性质定理求解与证明
例15．如图，Rt
ABC
△
中，
90
C
，AD 平分
BAC
，交BC 于点D ，
10
AB
，
15
ABD
S
，则CD 的
长为
．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D 作DE
AB
，交AB 于点E，再
根据角平分线的性质定理得出DE
CD
，然后根据
1
15
2
ABD
S
AB DE
求出DE ，即可得出答案．
【详解】解：过点D 作DE
AB
，交AB 于点E，
AD
平分
BAC
，
90
C
AED
，
∴DE
CD
．
∵
10
AB
，
∴
1
15
2
ABD
S
AB DE
，
解得
3
DE ，
∴
3
CD
．
故答案为：3．
例16．如图，在
ABC
中，
90
C
，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分
别交AB ，AC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③
作射线AG 交BC 边于点D ．若
5
CD
，
14
AB
，则
ABD
△
的面积是
．
【答案】35
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点D 作DM
AB
于M ，由作图可知平分
BAC
，
进而由角平分线的性质可得
5
MD
CD
，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质是
解题的关键．
【详解】解：如图，过点D 作DM
AB
于M ，
由作图可知，AG 平分
BAC
，
∵
90
C
，
∴DC
AC
，
∵AG 平分
BAC
，DC
AC
，DM
AB
，
∴
5
MD
CD
，
∴
1
1
·
14 5
35
2
2
ABD
S
AB DM
．
故答案为：35 ．
【技巧总结】
角平分线上点到角两边距离相等；常作垂线构造等距条件，结合面积法或全等三角形，转移线段长，设未
知数表示距离，利用勾股定理或等积关系列方程求解。
【变式训练8-1】如图，OC 是
AOB
的平分线，过OA上一点D ，作DE
OB
，分别交OB ，OC 于E ，F ，
若
6
OD
，
2
EF
，则DOF
的面积为______．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，过F 作FG
OA
于点G ，由角平分线性质可得
2
GF
EF
，然后代入1
2 OD
GF
即可求出DOF
的面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过F 作FG
OA
于点G ，
∵OC 是
AOB
的平分线，DE
OB
，
∴
2
GF
EF
，
∴DOF
的面积为1
1
6
2
6
2
2
OD
GF
，
故答案为：6 ．
【变式训练8-2】如图，C 是
MAN
的角平分线上一点，CE
AN
，CF
AM
，垂足分别为E ，F ．过点
C 作CD
AN
∥
，交AM 于点D ，在射线EN 上取一点B ，使
2
CBE
DCA
．
(1)求证：CF
CE
；
(2)求证：DF
BE
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA 或者AAS）、角平分线
的性质定理
【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等
三角形性质和判定．
（1）结合角平分线定义，证明
ACF
ACE
△
≌△
，结合全等三角形性质即可证明CF
CE
；
（2）结合平行线性质，证明
CFD
CEB
≌
△
△
，结合全等三角形性质即可证明DF
BE
．
【详解】（1）证明：
C
是
MAN
的角平分线上一点，
1
2
，
CE
AN CF
AM
，
，
3
4
5
90
，
在
ACF
△
和
ACE
△
中，
3
4
1
2
AC
AC
，
AAS
ACF
ACE
≌
，
CF
CE
；
（2）证明：
CD
AN
∥
，
6
1
2
7
2
，
，
又
1
2
，
6
2
7
，
又
2
CBE
DCA
，即
2
7
CBE
，
6
CBE
，
在
CFD
△
和CEB
中，
6
3
5
CBE
CF
CE
，
AAS
CFD
CEB
≌
，
DF
BE
．
题型9
利用轴对称求解将军饮马问题
例17．如图，在
ABC
中，BD 平分
ABC
交AC 于点D ，点M ，N 分别是线段BD 、BC 上的动点，AB ＞
BD 且
10
ABC
S
△
，AB ＝5，则CM
MN
的最小值为______．
【答案】4
【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点N 关于BD 的对称点N，连接MN，
过点C 作CH
AB
于点H ．证明MN
MN
，再根据MN
MC
MN
MC
CH
，求出CH ，可得结论．解题
的关键是掌握利用轴对称解决最短问题．
【详解】解：作点N 关于BD 的对称点N，连接MN，过点C 作CH
AB
于点H ．
BD
平分
ABC
，
点N 关于BD 的对称点在BA 上，
MN
MN
，
MN
MC
MN
MC
CH
，
10
ABC
S
，
5
AB
，
1
5
10
2
CH
，
4
CH
，
4
MN
MC
，
MN
MC
的最小值为4．
故答案为：4．
例18．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出
一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
(1)如图1，若点A 和点B 分别在直线l 的两侧，请作出示意图，在直线l 上找到点C，使得CA
CB
有最小
值，并说明作图依据：
；
(2)如图2，若点A 和点B 在直线l 的同侧，请在直线l 上作出点P，使得PA
PB
有最小值，并说明理由．
【答案】(1)两点之间线段最短
(2)见解析
【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题.
（1）根据两点之间线段最短解决问题；
（2）利用轴对称解决最短问题，作点A 关于直线l 的对称点A，连接BA交直线l 于点P，连接PA ，点P
即为所求．
【详解】（1）解：如图1 中，点C 即为所求，依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短；
（2）如图2 中，点P 即为所求．
理由：在直线l 上任意取一点P，连接
AP ，BP．
∵A，A关于直线l 对称，
∴PA
PA
，P A
P A
，
∵P B
P A
P B
P A
BA
PA
PB
，
∴点P 即为所求的点P．
【技巧总结】
作定点关于直线对称点，连接对称点与另一动点，与直线交点即最短路径点；利用两点间线段最短及轴对
称等距转化，求线段和最小值，注意动点在线上变化。
【变式训练9-1】如图，直线m 是
ABC
中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若
6
AB
，
4
AC
，
7
BC
．
(1)求PA
PB
的最小值，并说明理由．
(2)求
APC
△
周长的最小值．
【答案】(1)6，理由见解析
(2)10
【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；
（2）根据题意知点C 关于直线m 的对称点为点B，故当点P 与点D 重合时，AP+CP 值的最小，求出AB
长度即可得到结论．
【详解】（1）解：当A,B,P 三点共线时，PA+PB 最小
6
PA
PB
AB
；
原因：两点之间，线段最短．
（2）∵直线m 是BC 的垂直平分线，点P 在m 上，
∴点C 关于直线m 的对称点是点B，
则PB
PC
，
∵
APC
C
AP
PC
AC
△
，
∵
4
AC
，
要使
APC
△
周长最小，
即AP
PC
最小，
当点P 是直线m 与AB 的交点时，PA
PB
最小，
即PA
PB
AB
，此时
6
4
10
ARC
C
AB
AC
△
．
【变式训练9-2】综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数
学模型：直线l 同侧有两个定点A，B，在直线l 上存在点C，使得CA
CB
的值最小．
小明的作法是：如图2，作点B 关于直线l 的对称点B，连接AB，则AB与直线l 的交点即为点C，且CA
CB
的最小值为AB的长．
如图3，为了证明点C 的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点C，连接AC，BC，B C
，
证明AC
BC
AC
BC
即可．
(1)请完成图3 中小明的证明；
(2)如图4，在
ABC
中，直线m 是边BC 的垂直平分线，点P 是直线m 上的动点．若
6
AB
，
5
AC
，
8
BC ，
则
APC
△
周长的最小值为________；
(3)如图5，已知
35
MON
，P 为
MON
内一定点，OM 上有一点A，ON 上有一点B，当PAB
的周长
取最小值时，
APB
的大小为________度．
【答案】(1)证明见解析
(2)11
(3)110
【分析】（1）由轴对称的性质可知，B C
BC
，BC
B C
，则AC
BC
AC
B C
AB
，
AC
BC
AC
B C
AB
，可得AC
BC
AB
，进而结论得证；
（2）连接BP ，则B 是C 关于m 的对称点，当B、P、A 三点共线时，即当P 是m 与AB 的交点时，
APC
△
的周长最小；
（3）分别作P 关于OM 、ON 的对称点
1P 、
2P ，连接
1
OP 、
2
1
2
OP
PP
、
，当
1P 、
2P
A
、
、B 四点共线时，PAB
的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可．
本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用．
【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，B C
BC
，BC
B C
，
∴AC
BC
AC
B C
AB
，AC
BC
AC
B C
AB
，
∴AC
BC
AC
BC
，AC
BC
AB
，
∴当A
C
B
、、
三点共线时，AC
BC
值最小，
∴点C 的位置即为所求；
（2）解：如图，连接BP ，
∵m 是边BC 的垂直平分线，
∴PB
PC
，
∴
APC
△
的周长为
5
5
6
5
11
PC
AC
AP
PB
AP
AB
，
当且仅当B、P、A 三点共线时，等号成立，
即当P 是m 与AB 的交点时，
APC
△
的周长最小，最小为11，
故答案为：11；
（3）解：如图，分别作P 关于OM 、ON 的对称点
1P 、
2P ，连接
1
OP 、
2
1
2
OP
PP
、
，当
1P 、
2P
A
、
、B 四点共
线时，PAB
的周长取最小值，
根据对称性可知，
1
2
1
2
,
,
POA
POA
POB
POB OP
OP
OP
，
∴
1
2
2
POP
MON
，
35
MON
，
1
2
70
POP
，
1
2
180
70
55
2
APO
BP O
，
1
2
,
APO
APO
BPO
BP O
，
1
2
2 55
110 ,
APB
APO
BPO
APO
BP O
故答案为：110．
1．2026 年11 月9 日是第35 个全国消防日．下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，
ABC
与A B C
关于直线l 对称，
35
B
，
50
C
，则
A
的大小为（
）
A．85
B．90
C．95
D．105
【答案】C
【分析】根据轴对称性质可得ABC
A B C
，从而
50
C
C
，再利用三角形内角和，即可求出．
【详解】解：∵ABC
与A B C
关于直线l 对称，
∴ABC
A B C
，
∴
50
C
C
，
∵
35
B
，
∴
180
180
35
50
95
A
B
C
．
3．如图，已知
AOB
，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA，OB 于点C，D；以点O 为圆
心，大于OC 长为半径画弧，分别交边OA，OB 于点E，F；连接CF ，DE ，交点为G，作射线OG ．则下
列结论一定正确的是（
）
A．EC
EG
B．CF
OA
C．OG
EG
D．
AOG
BOG
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（OC
OD
，
OE
OF
），进而证明COF
DOE
≌
和ECG
FDG
≌
，最终利用SSS证明OCG
ODG
≌
，从而得出OG 平
分
AOB
的结论．
【详解】∵由作图可知OC
OD
，OE
OF
，
∴CE
DF
，
在COF
和DOE
中，
∵
OC
OD
COF
DOE
OF
OE
∴COF
DOE
≌
（SAS ），
∴
OFC
OED
；
在ECG
和
FDG
△
中，
∵
EGC
FGD
CEG
DFG
CE
DF
∴ECG
FDG
≌
（AAS ）
∴CG
DG
；
在OCG
和ODG
中，
∵
OG
OG
OC
OD
CG
DG
∴OCG
ODG
≌
（SSS）
∴
COG
DOG
Ð
= Ð
，
∴
AOG
BOG
，
∴选项D 正确．
4．如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠（折线EF 交AD 于E ，交BC 于F ），点C、D 的对应点分别是
1
C ，
1
D ，
1
ED 交BC 于G ，再将四边形
1
1
C DGF 沿FG 折叠，点
1
1
C
D
、
的对应点分别是
2
C 、
2
D ，
2
GD 交EF 于H ，
若
32
FEG
，则
2
EFC
（
）
A．84
B．85
C．64
D．90
【答案】A
【分析】由折叠得
32
FED
FEG
，则
32
GFE
FED
，
1
2
64
DGF
GED
FED
，求得
2
1
1
180
116
GFC
GFC
D GF
，所以
2
2
84
EFC
GFC
GFE
，于是得到问题的答案．
【详解】解：由折叠得
32
FED
FEG
，
BC
AD
，
∴
32
GFE
FED
，
1
2
64
D GF
GED
FED
，
1
1
FC
GD
∥
，
2
1
1
180
180
64
116
GFC
GFC
D GF
，
2
2
116
32
84
EFC
GFC
GFE
．
5．已知等腰三角形的底角等于50，则顶角等于______．
【答案】
80
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为180即可求解.
【详解】解：等腰三角形的底角等于50，等腰三角形的两个底角相等，
顶角的度数为180
2 50
80
.
6．如图，在
ABC
中，DE 是AC 的垂直平分线，
3cm
AE
，
ABD
△
的周长为13cm，则
ABC
的周长为
______．
【答案】19cm
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD
CD
，
2
AC
AE
，结合周长，进行线段的
等量代换可得答案．
【详解】解：
DE
是AC 的垂直平分线，
AD
CD
，
2
6cm
AC
AE
，
又
ABD
的周长
13cm
AB
BD
AD
，
13cm
AB
BD
CD
，
即
13cm
AB
BC
，
ABC
的周长
13
6
19(cm)
AB
BC
AC
．
7．如图，AB
CD
∥
，BE 和CE 分别平分
ABC
和
BCD
，AD 过点E ，且与AB 互相垂直，点P 为线段BC
上一动点，连接PE ．若
8
AD
，则PE 的最小值为____
【答案】4
【分析】过E 作EH
BC
于H ，由平行线的性质推出AD
CD
，由角平分线的性质推出AE
EH
，DE
EH
，
得到
1
4
2
AE
DE
AD
，由垂线段最短得到PE
EH
，即可得到PE 的最小值．
【详解】解:过E 作EH
BC
于H ，
∵AB
CD
∥
，AD
AB
，
∴AD
CD
，
∵BE 和CE 分别平分
ABC
和
BCD
，
∴AE
EH
，DE
EH
，
∴
1
4
2
AE
DE
AD
，
∴
4
EH
，
∵PE
EH
，
∴PE 的最小值为4 ．
8．如图，在锐角
ABC
中，
45
BAC
，
5
BC
，ABC
的面积为8 ，P 为BC 上一动点，将ABP
、
ACP
△
分别沿AB 、AC 向外翻折，得到
ABD
△
，
ACE
△
，连接DE ，则
ADE
面积的最小值为________．
【答案】128
25
【分析】由折叠可得AD
AP
AE
，
BAD
BAP
，
CAP
CAE
，由
45
BAC
，得
=90
DAE
，
则
2
1
1
2
2
ADE
S
AD AE
AP
，当AP 取最小值时，
ADE
的面积最小，在
ADE
中，当AP 为边BC 的高，即
AP
BC 时，AP 最小，根据
ABC
的面积为8 ，
5
BC
，求出AP ，即可求解．
【详解】解：
ABP
、
ACP
△
分别沿AB 、AC 向外翻折，得到
ABD
△
，
ACE
△
，
AD
AP
AE
，
BAD
BAP
，
CAP
CAE
，
45
BAC
，
(
)
2
2
90
DAE
DAP
EAP
BAP
CAP
BAC
Ð
= Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
Ð
=
°，
2
1
1
2
2
ADE
S
AD AE
AP
，
当AP 取最小值时，
ADE
的面积最小，在
ADE
中，当AP 为边BC 的高，即
AP
BC 时，AP 最小，
ABC
的面积为8 ，
5
BC
，
1
1
5
8
2
2
ABC
S
BC AP
AP
=
=
´
=
，
16
5
AP
，
ADE
面积的最小值为
2
2
1
1
16
128
2
2
5
25
AP
，
故答案为：128
25 ．
9．如图，
ABC
与DEF
关于直线l 对称，其中
90
B
Ð
=
°，
4cm
AB
，
5cm
DF
，
3cm
BC
．
(1)求
E
的度数．
(2)求
ABC
的周长．
【答案】(1)
90
E
(2)12cm
【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案；
（2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出
5cm
AC
DF
，进而求出
ABC
的周长即可．
【详解】（1）解：∵
ABC
与DEF
关于直线l 对称，
∴
E
B
，
∵
90
B
Ð
=
°，
∴
90
E
．
（2）解：∵
ABC
与DEF
关于直线l 对称，
5cm
DF
，
∴
5cm
AC
DF
，
∵
4cm
AB
，
3cm
BC
，
∴
ABC
的周长
4
3
5
12cm
AB
BC
AC
．
10．如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的网格中，
ABC
的三个顶点都在其格点上．
(1)
ABC
的面积为_____________；
(2)画出
ABC
关于直线l 的轴对称图形
1
1
1
A B C
△
；
(3)在直线l 上求作一点P，使PB
PA
值最小．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)8
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）用割补法求面积即可；
（2）每个点关于l 对称，连接即可；
（3）先作点B 关于l 的对称点
1B ，连接
1
AB ，与l 的交点为P ．
【详解】（1）解：
1
1
1
4 5
2 3
2
4
2 5
8
2
2
2
ABC
S
；
（2）解：如图所示：
（3）解：如图，点P 即为所求作，
，
∵
1
,
B B 关于直线l 对称，
∴
1
BP
B P
，
当
1
, ,
A P B 三点共线时，PB
PA
值最小．
11．如图，已知：
A
E
AB
EB
，
，点D 在AC 边上，且
ABE
CBD
．
(1)求证：EBD
ABC
≌
；
(2)如果O 为CD中点，
65
BDE
，求
OBD
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)25
【分析】（1）先根据角的和差运算得到
EBD
ABC
，结合已知条件即可利用ASA 证得结论；
（2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知BDC
为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以
及三角形内角和定理，即可解答．
【详解】（1）证明：∵
ABE
CBD
，
∴
ABE
ABD
CBD
ABD
，
即
EBD
ABC
，
在
EBD
△
和
ABC
中，
E
A
EB
AB
EBD
ABC
，
∴
ASA
EBD
ABC
≌
；
（2）解：由（1）可知EBD
ABC
≌
，
∴BD
BC
BDE
BCD
，
，
∴
BDC
BCD
，
∵
65
BDE
，
∴
65
BDC
BCD
，
∴
180
50
CBD
BDC
BCD
，
又∵O 点为CD中点，
∴
1
25
2
OBD
CBD
．
12．如图，已知四边形ABDC 的面积为16，AD 平分
,
10
BAC AB
AC
．
(1)求点D 到AC 的距离DE 的长；
(2)若
180
C
B
，求证：BD
DC
．
【答案】(1) DE 的长为3.2
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
（1）过点D 作DF
AB
，交AB 的延长线于点F ，根据角平分线的性质得出DF
DE
，然后根据图形的面
积即可求解；
（2）过点D 作DF
AB
，交AB 的延长线于点F ，证明DBF
DCE
≌
，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点D 作DF
AB
，交AB 的延长线于点F ，
∵AD 平分
BAC
，且DE
AC
，
∴DF
DE
，
∵
ABD
ACD
ABDC
S
S
S
四边形
，
∴
1
1
1
1
10
16
2
2
2
2
AB DF
AC DE
DE AB
AC
DE
，
解得
3.2
DE
，
∴DE 的长为3.2；
（2）证明：如图，过点D 作DF
AB
，交AB 的延长线于点F ，
由（1）得
,
90
DF
DE
DEC
F
，
∵
180
C
ABD
，
180
DBF
ABD
，
∴
DBF
C
，
∴
AAS
DBF
DCE
≌
，
∴BD
DC
．
13．如图，点P 在
AOB
的内部，点C 和点P 关于直线OA 对称，点P 关于直线OB 的对称点是点D ，连接CD
交OA于点M ，交OB 于点N ．
(1)若
AOB
，求
COD
的度数；
(2)若
6
CD
，PMN
的周长为________．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）根据轴对称的性质，可知
AOC
AOP
，
BOD
BOP
，可以求出
COD
的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知CM
PM
，DN
PN
，根据周长定义可以求出PMN
的周长．
【详解】（1）解：点C 和点P 关于OA对称，
AOC
AOP
，
点P 关于OB 对称点是D ，
BOD
BOP
，
AOB
，
∴
COD
AOC
AOP
BOP
BOD
2
AOP
BOP
2
AOB
2
；
（2）解：点C 和点P 关于OA对称，
CM
PM
，
点P 关于OB 对称点是D ，
DN
PN
，
6
CD
，
6
CM
MN
DN
，
6
PM
MN
PN
，
即PMN
的周长为6 ．
14．如图，在
ABC
中，
90
A
，P 为边BC 上的一点，D 为BP 的中点，E 为CP 的中点，过点D 作DF
BP
^
交AB 于点F ，过点E 作EG
CP
交AC 于点G ．
(1)求
FPG
的度数．
(2)如图，连接FG ，若FG
BC
∥
，求证：AG
PG
．
【答案】(1)90
(2)证明见解析
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BF
PF
，即得
FPD
B
，同理可得
GPE
C
，即得
到
90
FPD
GPE
B
C
，再根据平角的定义即可求解；
（2 ）由平行线的性质得
AFG
B
GFP
FPD
，
，即得
AFG
GFP
，再根据角平分线的性质即可
求证；
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关
键．
【详解】（1）解：
D
为BP 的中点，DF
BP
^
，
∴DF 垂直平分BP ，
BF
PF
，
FPD
B
，
同理可得
GPE
C
，
∵
90
A
，
∴
90
B
C
，
∴
90
FPD
GPE
B
C
，
180
180
90
90
FPG
FPD
GPE
；
（2）证明：∵FG
BC
∥
，
，
AFG
B
GFP
FPD
，
FPD
B
，
AFG
GFP
，
∴FG 平分
AFP
，
90
90
A
FPG
，
，
GA
AF
GP
PF
，
，
AG
PG
．
