文档文本内容
专题05 不等式与不等式组
内容导航
01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1 不等式的性质
题型2 一元一次不等式的定义
题型3 一元一次不等式求解及数轴表示解集
题型4 不等式（组）整数解问题
题型5 含参数一元一次不等式（组）求参数范围
题型6 不等式（组）同解、无解、有解综合问题
题型7 一元一次不等式（组）和方程综合题
题型8 和差倍分、最值类实际应用
题型9 方案选择类实际应用
题型10 利润、销售类实际应用
题型11 分配、行程、工程类综合应用题
04 综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
模块一 不等式基础概念
1. 不等式、一元一次不等式定义
2. 不等式的解、解集的区分
2. 不等式三条基本性质及变形规则
模块二 一元一次不等式
1. 标准解题步骤（去分母、去括号、移
项、合并同类项、系数化为 1）
2. 解集在数轴上的规范表示
3. 含参数不等式求解、整数解问题
模块三 一元一次不等式组
1. 不等式组解集四种情况与口诀运用
模块一 不等式基础概念
选择、填空基础必考题型，难度偏低。高频设置陷阱：
混淆解与解集、运用性质 3（乘除负数）时不变更不等
号方向，侧重概念辨析与简单式子变形。
模块二 一元一次不等式
全题型覆盖，是单元核心计算考点。移项不变号、去分
母漏乘常数项为高频计算错误；数轴表示易混淆空心圆
与实心点，属于中档基础题型。
模块三 一元一次不等式组
选择、填空常考解集判断，解答题侧重完整求解过程。
含参数边界取值（能否取等号）是主要难点，数形结合
2. 不等式组求解、数轴表示公共解集
3. 含参数不等式组（有解、无解、整数
解）
模块四 综合与实际应用
1. 不等式（组）与一元一次方程综合计算
2. 生活场景应用题：最值、分配、利润、
方案选择
3. 结合整数解的实际方案设计
思想考查较多，属于中档拉分题型。
模块四 综合与实际应用
本单元重难点。核心考查数学建模能力，需要从题干抓
取 “至少、至多、不超过、不少于” 等不等关键词，结
合实际取舍非整数解，分值占比高，区分学生能力。
考情解码：
1. 基础送分题：不等式概念判断、基本性质变形、简单不等式求解、数轴表示解集。
2. 核心重难点：含参数不等式（组）求取值范围、不等式（组）整数解、方案类应用题，是主要拉
分点，侧重建模、计算、数形结合能力。
3. 高频易错考情：①不等式两边乘除负数，忘记改变不等号方向；②去分母、去括号、移项步骤出
现符号错误、漏乘项；③数轴表示解集时，空心圆圈（≠）与实心圆点（含等号）混用；④参数范围
判断忽略临界值能否取等号；⑤实际应用题忽略未知数需为正整数、非负数等现实限制。
知识点一 不等式相关基础概念
1.不等式：用＞、＜、≥、≤、≠连接，表示不等关系的式子。
2.一元一次不等式：只含一个未知数，未知数最高次数为1，左右两边都是整式的不等式；
一般形式：ax+b>0、ax+b<0(a≠0\)。
3.不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值。
4.不等式的解集：使不等式成立的所有解的集合，解集是一个取值范围，包含无数个解。
5.解不等式：求不等式解集的过程。
【易错提醒】
1.区分不等式的解与解集：解是单个数值，解集是所有解组成的取值范围。
2.一元一次不等式需同时满足：只含一个未知数、未知数次数为1、两边是整式。
3.含≠、＞、＜的式子都属于不等式，不要只认>和<。
4.不要混淆不等式与等式、代数式，不含不等号的式子不是不等式。
即时即练用不等式表示下列问题中的数量关系：
(1)长为a、宽为
的长方形的面积小于边长为
的正方形的面积．
(2)一辆40 座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x 人，到某一站停车时下车2 人，又上车a 人，车内仍
有空余座位．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”
“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模．
（1）长方形的面积为
，正方形的面积为
，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列
出不等式；
（2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客
人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40
人，即可列出不等式．
【详解】（1）解：根据题意，得
．
（2）解：根据题意，得
．
知识点
二
不等式的基本性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数/式子，不等号方向不变。若a>b，则a±c>b±c。
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
若a>b，c>0，则ac>bc，
>
。
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变（重中之重，高频易错）。
若a>b，c<0，则ac<bc，
<
。
补充：对称性：若a>b，则b<a；
传递性：若a>b，b>c，则a>c。
【易错警示】
1.不等式两边加、减同一个数，不等号方向始终不变。
2.两边同乘、除以正数，不等号方向不变；同乘、除以负数，必须改变不等号方向，这是高频易错点。
3.若未知数取值正负不确定，不能随意同时乘除含字母的式子。
4.变形时注意符号，避免因正负判断失误导致不等号方向出错。
即时即练在证明“如果
，那么a
2+bc>ab+ac”结论的正确性时，小明的证明方法如下：
证明：
，
．
∴a
2+bc> ．
．
．
请将上面的证明过程补充完整．
【答案】
；
；
；
【分析】本题根据不等式的基本性质逐步推导补充证明，用到的性质为：不等式两边乘同一个正数，不等
号方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变；不等式两边加同一个整式，不等号方向不变．
【详解】证明：
∴a
2+bc>ab+bc
∵a>b，c<0，
∴bc>ac
∴ab+bc>ab+ac
∴a
2+bc>ab+ac．
知识点
三
一元一次不等式解法
1.去分母：两边同乘所有分母的最小公倍数，所有项都要乘，不可漏乘常数项；
2.去括号：遵循去括号法则，括号前为负号，括号内各项全部变号；
3.移项：把含未知数项移到左边，常数项移到右边，移项必须变号；
4.合并同类项：化为最简形式ax>b 或ax<b；
5.系数化为1：两边同除以未知数系数，系数为负时，不等号反向。
【易错警示】
1.去分母时，所有项都要乘最小公倍数，切勿漏乘常数项。
2.去括号注意符号，括号前是负号，括号内各项要全部变号。
3.移项必须变号，只移动位置不改变符号是常见错误。
4.系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向一定要反转。
5.最终结果规范书写，不要颠倒不等号左右内容。
即时即练解不等式
并在数轴上表示解集．
【答案】
，
．
【分析】先求出不等式的解集，再画出数轴表示即可；
【详解】去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
画数轴略．
知识点
四
解集的数轴表示（数形结合）
1.边界点：包含该数（≥、≤）用实心圆点；不包含该数（>、<）用空心圆圈；
2.方向：大于向右画，小于向左画；
3.多条解集：取公共重叠部分。
【易错警示】
1.含≥、≤用实心圆点，含>、<用空心圆圈，二者不可混用。
2.数轴上大于向右画，小于向左画，注意方向不要画反。
3.表示不等式组解集时，只取多条折线公共重叠部分。
4.标注刻度清晰，边界点位置准确，避免描点偏移。
即时即练解不等式：
，并将解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】
，
【分析】根据不等式的性质解不等式，并在数轴上表示不等式的解集即可．
【详解】解：
，
去括号，得
，
移项，合并同类项得
，
系数化为，得
，
解集在数轴上表示略．
知识点五 一元一次不等式组
1.定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。
2.不等式组的解集：各个不等式解集的公共部分；无公共部分则不等式组无解。
3.解集判断口诀（两个不等式组成的不等式组）
（1）同大取大：{x>a
x>b，解集为x>a；
（2）同小取小：{x<a
x<b，解集为x<b；
（3）大小小大中间找：{x<a
x>b，解集为b< x<a；
（4）大大小小找不到：{x>a
x<b（a>b），无解。
4.不等式组解法：分别解每个不等式→数轴表示各自解集→找公共部分→写出不等式组解集。
【易错警示】
1.解不等式组要先分别求出每个不等式的解集，再找公共部分，无公共部分则判定为无解。
2.牢记解集口诀，结合数轴辅助判断，避免 “同大、同小、交叉” 情况判断失误。
3.含参数不等式组，重点验证临界值能否取等号，不要遗漏边界情况。
4.求整数解时，要在解集范围内逐一筛选，不重复、不遗漏整数。
即时即练解不等式组：
(1)解不等式①得： ；
(2)解不等式②得： ；
(3)在数轴上表示：
(4)原不等式组的解集为： .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先通过移项把常数项移到不等号右侧，再将
的系数化为1，得到①的解集；
（2）先给不等式两边同乘3 消去分母，再通过移项合并同类项，最后将
的系数化为1，得到②的解集；
（3）在数轴上表示两个解集：如果是大于号就从对应点向右画，小于号就向左画，包含端点用实心点，
不包含用空心点；
（4）取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解： 移项得
，
即
，
两边同除以2 得：
．
（2）解： 两边同乘3 去分母得 2 x + 4>3(3−x) ，
展开得 2 x + 4>9−3 x，
移项合并得5 x>5，
两边同除以5 得：x>1．
（3）在数轴上，
处画空心圆圈，向右画线；
处画实心圆点，向左画线，数轴略．
（4）取两个解集的公共部分，原不等式组的解集为：
．
知识点
六
含参不等式（组）
1.已知解集反求参数：根据不等式性质、解集范围列等式 / 不等式求解参数；
2.已知整数解个数求参数：先解出不等式（组）解集，再结合整数解个数，确定参数取值边界（重点判断
能否取等号）；
3.不等式与方程（组）综合：先解方程（组），将解代入不等式，转化为含参数不等式求解。
【易错警示】
1. 先把参数当作常数正常求解，再结合题意分析范围，不要提前对参数分类讨论。
2. 判断有解、无解、整数解问题，借助数轴分析，直观不易出错。
3. 重点检验临界数值能否取等号，等号取舍是高频丢分点。
4. 已知整数解个数求参数时，边界范围要 “卡准”，避免区间扩大或缩小。
5. 题目隐含未知数取值限制（如整数、非负数），不可忽略附加条件。
即时即练关于
的不等式
的解集都是不等式
的解，求
的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系即可求
出
的取值范围．
【详解】解：将关于
的不等式
去分母得，
，
移项合并同类项得，
，
系数化为1 得，
；
将关于
的不等式
去分母得，
，
移项合并同类项得，
，
解得
．
由题意可知，
，
解得
．
知识点
七
一元一次不等式（组）的实际应用
1.解题通用六步骤
（1）审：审题，找出题目中的不等关系（关键词：至少、至多、不超过、不少于、大于、小于等）；
（2）设：设未知数（一般直接设，实际问题未知数多为正整数）；
（3）列：根据不等关系，列出一元一次不等式（组）；
（4）解：求解不等式（组）；
（5）验：结合实际意义，筛选符合条件的解（人数、数量、长度等为正整数）；
（6）答：规范书写答案。
2.常见关键词对应不等号
（1）至少、不低于、不少于 ⇒≥
（2）至多、不高于、不超过 ⇒≤
（3）大于、多于 ⇒>；小于、少于 ⇒<
3.常考题型
方案设计问题、利润最值问题、工程问题、行程问题、价格采购问题，核心是挖掘题干中的不等关系。
【易错警示】
1.准确抓取至少、至多、不低于、不超过等关键词，正确列出不等关系。
2.人数、物品数、车辆数等实际量必须取非负整数，求出解集后要筛选整数解。
3.审题分清不等关系与等量关系，不要错把不等式列成方程。
4.解出结果后务必检验，保证答案符合现实场景。
5.作答规范，结合题干完整回应问题，不省略关键表述。
即时即练班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B 两种奖品若干件，且A，B 两种奖品的数量之比为
．
设购买A 种奖品共
（
为正整数）件．
(1)若最初购买的奖品总数不超过100 件，求A 种奖品最多买了几件？
(2)奖品颁发完毕后，发现A，B 两种奖品分别还剩余原来的
和
．
①此次颁奖，共颁发了
两种奖品__________件．（请用含
的代数式表示）
②若全班45 位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B 两种奖品的人数不超过30 人，求全班有
几位同学获得了B 种奖品？
【答案】(1)A 种奖品最多买了35 件；
(2)①
；②36
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购买A 种奖品共
（x 为正整数）件，则购买B 种奖品共
（x 为正整数）件，根据最初购买的
奖品总数不超过100 件，可列出关于x 的一元一次不等式，解之可得出x 的取值范围，再将x 的最大整数
值代入
中，即可求出结论；
（2）①设购买A 种奖品共
（x 为正整数）件，则购买B 种奖品共
（x 为正整数）件，利用颁发A，B
两种奖品的总数量=颁发A 种奖品的数量+颁发B 种奖品的数量，可用含x 的代数式表示出颁发A，B 两种
奖品的总数量；
②根据颁发A，B 两种奖品的总数量不低于45 件且不超过
件，可列出关于x 的一元一次不等式组，
解之可得出x 的取值范围，结合x，
均为正整数，可确定x 的值，再将其代入
中，即可求出
结论．
【详解】（1）解：设购买A 种奖品共
（x 为正整数）件，则购买B 种奖品共
（x 为正整数）件，
根据题意得：
，
解得：
，
又∵x 为正整数，
∴x 的最大值为7，
∴
（件）．
答：A 种奖品最多买了35 件；
（2）解：①设购买A 种奖品共
（x 为正整数）件，则购买B 种奖品共
（x 为正整数）件，
∴此次颁奖，共颁发了A，B 两种奖品
（件）．
故答案为：
；
②根据题意得：
，
解得：
，
即
，
又∵x，
均为正整数，
∴
，
∴
．
答：全班有36 位同学获得了B 种奖品．
题型1 不等式的性质
例1．已知三个实数
满足
．
(1)证明：
．
(2)若
，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等式的性质得到
，代入
得到
，即
；
（2）根据等式的性质得到
，根据不等式的性质得到
，可知
的取值范围．
【详解】（1）证明：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【技巧总结】
判断变形是否成立，重点检查乘除负数时不等号是否反向；字母取值不确定时，分正负讨论。
【变式训练1-1】请你认真阅读并完成下列任务．
▶例2 利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性：
（1）如果
，
，那么
；
解（1）因为
，所以
．①
又因为
，所以
．②
由数的大小比较可知，不等关系具有传递性，
即如果
且
，那么
．它也可以作
为推理的依据．
由①②，可得
．
任务：
(1)填空：
①若
，
，则
的取值范围是______；
②若
，
，则
的取值范围是______．
(2)如果
，
，，
都是负数，且
，
，那么
与
的大小关系如何？请说明你的结论的正确
性．
【答案】(1)①
；②
(2)
，理由见解析
【分析】（1）①利用不等式的性质即可解答；②利用不等式的性质即可解答；
（2）由不等式的基本性质得
，
，即可得证．
【详解】（1）解：①由题意得
，
；
②∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
（2）解：
，理由如下：
a、b、c、d 都是负数，
、且
，
，
，
．
【变式训练1-2】代数推理是学习数学的一种重要推理方法，请你阅读以下推理过程并完成所给的题目：
【阅读材料】如果
、
、、
都是正数，且
，
，那么
．
证明：
，是正数，第一步
．（依据：________）第二步
又
，
是正数，第三步
________，第四步
．第五步
(1)上述证明过程中，第二步的依据为________，第四步应填________．
(2)如果
、
、、
都是负数，且
，
，那么
与
的大小关系如何？请说明你的结论的正确
性．
【答案】(1)不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变；
(2)
【分析】（1）根据不等式的性质进行求解；
（2）根据不等式的性质进行证明．
【详解】（1）解：第二步的依据为不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变，
第四步应填
；
（2）解：
，理由如下：
，是负数，
，
又
，
是负数，
，
．
题型2 一元一次不等式的定义
例1．已知
是关于x 的一元一次不等式，求b 的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1 的不
等式是一元一次不等式是解题的关键．根据一元一次不等式的定义，即可求解．
【详解】解：∵
是关于x 的一元一次不等式，
∴
且
，
解得：
．
故答案为：1．
【技巧总结】
一元一次不等式三要素：①只含 1 个未知数；②未知数次数为 1；③两边都是整式，三者缺一不可。
【变式训练2-1】已知
是关于x 的一元一次不等式，求m 的值．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m 的值．含有一
个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：依题意得
，且
，
．
【变式训练2-2】若(m-2)
-2≥7 是关于x 的一元一次不等式，求m 的值．
【答案】m=-2
【分析】由题意可知：m2-3=1，m-2≠0，即可解答.
【详解】解∵不等式(m-2)
-2≥7 是关于x 的一元一次不等式，
∴m2-3=1，m-2≠0，
解得m=-2
当m=-2 时，不等式是关于x 的一元一次不等式
题型3 一元一次不等式求解及数轴表示解集
例1．已知关于x、y 的方程组
的解满足不等式
，求实数a 的取值范围．
【答案】
【分析】先用含a 的代数式表示x，y，再代入
，即可求解．
【详解】解：解方程组
得：{
x =2a+1
y =2a−2，
∵
，
∴
，
解得：
．
【技巧总结】
严格按照五步求解，系数化为 1 先判断系数正负；数轴 “空心不等、实心等，大于右、小于左”。
【变式训练3-1】解不等式
，并将不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】
，画数轴见解析
【分析】一元一次不等式解法步骤求解，再由数轴表示不等式解集的画法作图即可．
【详解】解：
，
去括号得
，
移项得
，
合并同类项得
，
系数化为得
，
将不等式的解集在数轴上表示如下：
【变式训练3-2】解不等式（要求不等式解集在数轴上表示出来）．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
，
(2)
，
【详解】（1）解：
，
去括号，得
，
移项并合并同类项，得
，
解得
，
画数轴略
（2）解：
，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项并合并同类项，得
，
解得
，
画数轴略
题型4 不等式（组）整数解问题
例1．解答下列问题：
(1)解不等式
(2)设a 是实数，若(1)中不等式的最大整数解是方程
的解．求a 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按照解不等式的步骤和方法求解即可；
（2）先确定（1）中不等式解集的最大整数，再代入（2）中的方程求解．
【详解】（1）解：
∴
（2）解：∵不等式
的最大整数解是
，且是方程
的解，
∴
，
解得
．
【技巧总结】
先求出完整解集，再在范围内找出整数；已知整数解个数，反向推导参数范围。
【变式训练4-1】阅读材料：善于思考的小军在解方程组
时，采用了一种“整体代换”的解
法．
解：将方程②变形：
，即
，③
把方程①代入③得：
，解得
，
把
代入①得
，
原方程组的解为
请你根据上述材料解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)若关于x，y 的二元一次方程组
的解满足
，请求出满足条件的m 的所有正
整数值．
【答案】(1)
(2)m 的正整数值为1，2，3
【分析】（1）根据题干方法求解即可；
（2）将两式相加，再解不等式．
【详解】（1）解：
由②得：
，③
把①代入③中，得
，解得
，
把
代入①中，得
，解得
，
原方程组的解为
；
（2）解：由①＋②得：
，则
，
，
，
解得
，
满足条件的m 的正整数值为1，2，3．
【变式训练4-2】解不等式组：
，并写出它的所有整数解．
【答案】
，所有整数解：
，0，1
【分析】先分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后结合整数的概念进行作答即可．
【详解】解：
，
解不等式①得：
，
解不等式②得：
，
∴不等式组的解集为
，
这个不等式组的所有整数解：
，0，1．
题型5 含参数一元一次不等式（组）求参数范围
例1．已知关于
的不等式组
(1)当
时，求不等式组的解集；
(2)若不等式组有个整数解，求
的取值范围；
(3)若不等式组无解，直接写出
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解问题以及不等式组无解的条件，熟练掌
握解一元一次不等式组的步骤，理解整数解和无解的含义是解答本题的关键．
（1）将
代入不等式组，分别解两个一元一次不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集；
（2）先求出不等式组的解集，再根据“有
个整数解”确定整数解的具体值，进而反推出
的取值范围；
（3）根据不等式组无解的条件“两个不等式的解集没有公共部分”，直接确定
的取值范围．
【详解】（1）解：当
时，不等式组为
，
解①得，
，
解②得，
，
综上所述，不等式组的解集为
；
（2）解：
，
解①得，
，
解②得，
，
不等式组的解集为
，
不等式组有个整数解，
个整数解为
，
；
（3）解：由（2）得，不等式组的解集为
，
不等式组无解，
．
【技巧总结】
先解不含参数部分，数轴分析范围，单独验证临界值能否取等号。
【变式训练5-1】对于实数x，y，我们定义一种新运算：
（其中a，b 均为非零常数）．例
如：
，
．已知
，
．
(1)直接写出：
______，
______；
(2)若关于x，y 的方程组
的解满足
，且关于p 的不等式组
的解
集为
，求关于s 的不等式
的解集；
(3)若关于x 的不等式组
有4 个整数解，且
，求m 的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）先根据已知条件列二元一次方程组求出a、b 的值，得到新运算的表达式；
（2）问先化简方程组得到t 的范围，再根据不等式组的解集确定t 的范围，最后化简所求不等式得到解集；
（3）化简不等式组得到解集，结合整数解个数和已知条件求出m 的范围．
【详解】（1）解：∵
，
，
．
∴
，解得
，
（2）解：由（1）可得：
，
，则
，
∵关于x，y 的方程组
，
∴
，
可得：
，即
，
∵
∴
，解得：
，
∵关于p 的不等式组
，
∴
，解得：
，
∵关于p 的不等式组
的解集为
，
∴
，即
，
∴
，
∵关于s 的不等式
，
∴
，解得：
，
∵
，
∴
，
∴
，即
．
（3）解：∵
，
∴
，即
，
关于x 的不等式组
可化为：
，
解不等式①可得：
；
解不等式②可得：
，即
∵关于x 的不等式组
有4 个整数解，
∴
，
∵有四个整数解，
∴设最小的整数解为k，最大的整数解为
，则
，整理得：
，
∵方程组
有解，
∴
，解得：
，
当
时，由不等式①可得：
；由不等②可得：
，此时不等式组的解集为
；
当
时，由不等式①可得：
；由不等②可得：
，此时不等式组的解集为
；
综上，m 的取值范围为
．
【变式训练5-2】已知不等式组
的解集中任意一个x 的值均不在
的范围内，求a 的取值范
围．
【答案】
或
【分析】解不等式组，求出x 的范围，根据任何一个x 的值均不在
的范围内列出不等式，解不等
式得到答案．
【详解】解：由
，得：
；
由
，得：
，
不等式的解集为：
，
x 的值均不在
的范围内，如图，
不等式的解集中的最小值应不小于5 或者最大值不超过2，
a 的取值范围是：
或
，即
；
a 的取值范围是：
或
．
题型6 不等式（组）同解、无解、有解综合问题
例1．如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．
例如：不等式
的解集为
，其所有整数解为大于等于2 的全体整数，不等式组
的解集
为
，其所有整数解也为大于等于2 的全体整数，因此不等式
与不等式组
是“整数同
解”的．
(1)下列不等式（组）中与
是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）；
①
，②
，③
(2)已知关于x 的不等式组
与
是“整数同解”的，请求出a 的取值范围；
(3)已知关于x 的不等式组
与
是“整数同解”的，直接写出a 的取值范围
【答案】(1)③
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义解答，即可求解；
（2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a 的不等式组，即可求解；
（3）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a 的不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：
，解得：
，
∴不等式
的所有整数解为大于等于2 的全体整数，
①
，解得：
，其所有整数解为大于等于5 的全体整数，不符合题意；
②
，解得：
，其所有整数解为大于等于3 的全体整数，不符合题意；
③
，解得：
，其所有整数解为大于等于2 的全体整数，符合题意；
故答案为：③
（2）解：
，
解不等式
得：
，
解不等式
得：
，
∴原不等式组的解集为
，
∴其所有整数解为
，
，
解不等式
得：
，
解不等式
得：
，
∴原不等式组的解集为
，
∵不等式组
与
是“整数同解”的，
∴不等式组
的所有整数解为
，
∴
，
解得：
；
（3）解：
，解得：
，
，解得：
，
∵不等式组
与
是“整数同解”的，
设“整数同解”解集中的最大整数为
，且
为非负整数，
则有
，
解得：
，
，
，
为非负整数，
．
将
代入
得：
．
【技巧总结】
同解即解集完全一致；有解必须存在公共部分；无解即无重叠区域，数轴直观分析。
【变式训练6-1】已知关于x，y 的方程组
与
有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)小刚同学说：“
是不等式
的一个解”这句话对吗?请说明理由．
(3)小明同学说：“无论a 取何值，（1）中的解都是关于x，y 的方程
的解．”这句
话对吗?请说明理由．
【答案】(1)
(2)不对，理由见解析
(3)对，理由见解析
【分析】（1）联立
，解方程组，即可求解；
（2）将
代入不等式，解不等式，即可求解；
（3）将
代入原方程，可得恒等式，进而与
无关，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
解得：
；
（2）解：不对，理由如下，∵
∴
，即
解得：
∴
，不是不等式
的解，
（3）对，理由如下：
∵
∴
，即
即
，
∴
，与
无关，
∴无论a 取何值，（1）中的解都是关于x，y 的方程
的解．
【变式训练6-2】已知关于x 的不等式组
(1)若这个不等式组有解，求a 的取值范围．
(2)若这个不等式组无解，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、
大大小小找不到是解题的关键．
（1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于
的不等式，
从而求出
的取值范围；
（2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于
的
不等式，从而求出
的取值范围．
【详解】（1）解：解不等式
，得
，
解不等式
，得
．
∵这个不等式组有解，
∴
，
解得
，
∴
的取值范围为
．
（2）解：由（1）得：
∵这个不等式组无解，
∴
，
解得
，
∴
的取值范围为
．
题型7 一元一次不等式（组）和方程综合题
例1．已知关于x、y 的方程满足方程组
，若x、y 均为非负数．
(1)求m 的取值范围；
(2)化简式子
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先解方程组可得
，然后根据已知易得
，从而可得
，最后
进行计算即可解答；
（2）先判断
和
的正负，然后根据绝对值的意义化简即可．
【详解】（1）解：
，
解得
，
∵
均为非负数，
∴
，
即
，
解得
；
（2）解：∵
，
∴
，
∴
．
【技巧总结】
先解方程（组），将解代入不等式，转化为新不等式求解参数。
【变式训练7-1】已知关于
的方程组
(1)方程组的解均为非负数，求
的取值范围；
(2)在（1）的条件下，化简：
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
的值，根据方程组的解均为非负数，得到关于
的不等式组，进行求解即可；
（2）根据绝对值的意义，进行化简即可.
【详解】（1）解：
得：
，
，
将
代入②得：
，
，
，
关于
，
的方程组
的解均为非负数，
，
；
（2）解：
，
，
，
．
【变式训练7-2】已知方程组
的解满足
为负数，
为非正数．
(1)求
的取值范围；
(2)在
的取值范围内，当
取何整数时，不等式
的解集为
？
【答案】(1)
−2≤m<3
(2)
和
【分析】（1）求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出不等式组，进行求解即可；
（2）根据不等式的性质，得到
，结合（1）中
的取值范围，进行求解即可.
【详解】（1）解：解方程组{
x + y =−7−m
x−y =1+3m ，
两式相加得
，解得
.
两式相减得
，解得
.
根据题意可得{
x<0
y ≤0，代入得{
m−3<0
−2m−4≤0.
解得
；
（2）解：对不等式
整理得
，
不等式的解集为
，不等号方向改变.
，解得
；
由（1）知
，
∴
，
该范围内的整数为
和
，
即符合条件的整数
为
和
.
题型8 和差倍分、最值类实际应用
例1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1 场得2 分，负1 场得1 分，某队在14 场比赛中至少
要得20 分．请问这个队胜场数至少为（ ）
A．4 场
B．6 场
C．7 场
D．9 场
【答案】B
【分析】设这个队胜
场，则负
场，根据得分范围列出一元一次不等式即可求解．
【详解】解：设这个队胜
场，则负
场，
由题意得，
，
解得
，
∴这个队胜场数至少为6 场．
【技巧总结】
抓取 “至少、最多、最大、最小” 等关键词，直接列不等式求解。
【变式训练8-1】百题速答赛共100 道题，答对一题得5 分，答错一题扣1 分，不答得0 分．希希得了400
分，他最多答对________道题．
【答案】83
【分析】总共有100 道题，设答对x 题，答错
题，根据得分规则，列出不等式组
求解即可．
【详解】解：设希希答对
道题，答错
道题，
由题意得，
，
均为非负整数，且满足
，
由
得
，
因为
，所以
，得
，
将
代入不等式
得：
，
移项合并同类项得
，
系数化为得
，
因为
为整数，所以
的最大值为
，此时
，
，符合题意．
【变式训练8-2】某数的5 倍与7 的差不超过它的2 倍与3 的和．如果设某数为x，下列不等式成立的是（
）
A．5x - 7< 2x + 3
B．5x-7 > 2x + 3
C．5x-7≥ 2x + 3
D．5x-7 ≤ 2x + 3
【答案】D
【分析】直接根据“某数的5 倍与7 的差不超过它的2 倍与3 的和”列出不等式即可．
【详解】解：设某数为x
由题意得：5x-7≤2x + 3．
故选D．
题型9 方案选择类实际应用
例1．某出租汽车公司计划购买
型和
型两种节能汽车，若购买
型汽车4 辆，
型汽车7 辆，共需310
万元；若购买
型汽车10 辆，
型汽车15 辆，共需700 万元．
(1)
型和
型汽车每辆的价格分别是多少万元？
(2)该公司计划购买
型和
型两种汽车共10 辆，费用不超过285 万元，且
型汽车的数量少于
型汽车的
数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】(1)
型汽车每辆的价格为25 万元，
型汽车每辆的价格为30 万元
(2)费用最省的方案是购买
型汽车4 辆，
型汽车6 辆，该方案所需费用为280 万元
【分析】（1）设
型汽车每辆的价格为
万元，
型汽车每辆的价格为
万元，根据题意建立方程组，解
方程组即可；
（2）设购买
型汽车
辆，则购买
型汽车
辆，根据题意建立一元一次不等式组，解不等式组，
结合
是整数解答即可．
【详解】（1）解：设
型汽车每辆的价格为
万元，
型汽车每辆的价格为
万元，
由题意得：
，
解得
，
答：
型汽车每辆的价格为25 万元，
型汽车每辆的价格为30 万元．
（2）解：设购买
型汽车
辆，则购买
型汽车
辆，
由题意得：
，
解得
，
是整数，
或4，
当
时，
，则该方案所需费用为
（万元）；
当
时，
，则该方案所需费用为
（万元）；
答：费用最省的方案是购买
型汽车4 辆，
型汽车6 辆，该方案所需费用为280 万元．
【技巧总结】
设未知数列出不等式组，求出整数解，每一组整数解对应一种可行方案。
【变式训练9-1】某商场计划购进A、B 两种商品进行销售，购进60 件A 商品和30 件B 商品用了1080 元，
购进50 件A 商品和10 件B 商品用了840 元．
(1)求A、B 两种商品每件的进价分别为多少元？
(2)每件A 商品售价20 元，每件B 商品售价10 元，现购进A、B 两种商品共500 件．
①若其中A 商品的件数不低于B 商品件数的3 倍，总利润不低于2200 元，问共有几种进货方案？
②若商场打折促销，每件A 商品优惠m 元，每件B 商品优惠n 元，结果发现无论购进A 商品多少件，商场
总利润恒为1250 元，直接写出m 的值为_________，n 的值为_________．
【答案】(1)A 商品的进价是16 元/件，B 商品的进价是4 元/件
(2)①26 种；②1.5，3.5
【分析】（1）设A 商品的进价是x 元/件，B 商品的进价是y 元/件，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）①设购进a 件A 商品，则购进
件B 商品，根据题意，列出不等式组进行求解即可；②根据题
意，两种商品优惠完后的单件利润相同，根据题意，列出方程组进行求解即可.
【详解】（1）解：设A 商品的进价是x 元/件，B 商品的进价是y 元/件，
根据题意得：
，
解得：
．
答：A 商品的进价是16 元/件，B 商品的进价是4 元/件；
（2）解：①设购进a 件A 商品，则购进
件B 商品，
根据题意得：
，
解得：
，
又∵a 为正整数，且
，
∴共有26 种进货方案；
②根据题意得：
，
解得：
，
∴m 的值为1.5，n 的值为3.5．
【变式训练9-2】新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进
箱
甲型口罩和箱乙型口罩，共需要资金
元；若购进箱甲型口罩和
箱乙型口罩，共需要资金
元．
(1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？
(2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于
元且不少于
元的
资金购进这两种型号口罩共
箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；
【答案】(1)甲型口罩每箱的进价为300 元，乙型口罩每箱的进价为240 元．
(2)共有5 种进货方案，具体为：方案1：购进8 箱甲型口罩，12 箱乙型口罩；方案2：购进9 箱甲型口罩，
11 箱乙型口罩；方案3：购进10 箱甲型口罩，10 箱乙型口罩；方案4：购进11 箱甲型口罩，9 箱乙型口罩；
方案5：购进12 箱甲型口罩，8 箱乙型口罩．
【分析】（1）设甲型口罩每箱的进价为x 元，乙型口罩每箱的进价为y 元，然后根据题意列二元一次方程
组求解即可；
（2）设购进a 箱甲型口罩，则购进
箱乙型口罩，再根据资金的限制范围列出一元一次不等式组，
求出a 的取值范围，结合a 为正整数的条件，列举出所有符合要求的进货方案即可解答．
【详解】（1）解：设甲型口罩每箱的进价为x 元，乙型口罩每箱的进价为y 元，
依题意，得：
，解得：
．
答：甲型口罩每箱的进价为300 元，乙型口罩每箱的进价为240 元．
（2）解：设购进a 箱甲型口罩，则购进
箱乙型口罩，
依题意，得：
，解得：
．
∵a 为正整数，
∴a 可取8、9、10、11、12，
∴共有5 种进货方案，具体为：方案1：购进8 箱甲型口罩，12 箱乙型口罩；方案2：购进9 箱甲型口罩，
11 箱乙型口罩；方案3：购进10 箱甲型口罩，10 箱乙型口罩；方案4：购进11 箱甲型口罩，9 箱乙型口罩；
方案5：购进12 箱甲型口罩，8 箱乙型口罩．
题型10 利润、销售类实际应用
例1．云南大理白族剪纸是国家级非物质文化遗产，以其细腻的镂空技艺和浓郁的民族风情闻名、春节前
夕，某文创店购进了甲、乙两种白族特色剪纸礼盒共60 套用于销售，甲种礼盒含《蝴蝶泉》主题剪纸，
乙种礼盒含《三月街》主题剪纸．已知购进2 套甲种礼盒和1 套乙种礼盒共需140 元，购进1 套甲种礼盒
和2 套乙种礼盒共需130 元．
(1)求甲、乙两种白族剪纸礼盒的购进单价各是多少元?
(2)已知甲种礼盒售价65 元/套，乙种礼盒售价50 元/套，要求总进货预算不超过2600 元，且全部售完后的
利润不低于690 元．有哪几种进货方案?
【答案】(1)
甲种礼盒购进单价为50 元，乙种礼盒购进单价为40 元.
(2)
共有3 种进货方案，分别是：方案1：购进甲种礼盒18 套，乙种礼盒42 套；方案2：购进甲种礼盒19 套，
乙种礼盒41 套；方案3：购进甲种礼盒20 套，乙种礼盒40 套.
【分析】（1）设甲种礼盒购进单价为x 元，乙种礼盒购进单价为y 元，根据题意列出二元一次方程组求解
即可；
（2）设甲种礼盒购进m 套，则乙种礼盒购进
套，根据题意可列出关于m 的不等式组，解不等式
组求出符合题意的整数解即可．
【详解】（1）解：设甲种礼盒购进单价为x 元，乙种礼盒购进单价为y 元，根据题意可得：
，
解得：
，
答：甲种礼盒购进单价为50 元，乙种礼盒购进单价为40 元.
（2）解：设甲种礼盒购买
件，则
，
解得
，
∵m 为整数，
∴
，
∴共有3 种进货方案，分别是：
方案1：购进甲种礼盒18 套，乙种礼盒42 套；
方案2：购进甲种礼盒19 套，乙种礼盒41 套；
方案3：购进甲种礼盒20 套，乙种礼盒40 套.
【技巧总结】
结合利润公式：总利润 = 单件利润 × 数量，根据 “利润不低于、销售额不超过” 列不等式。核心规
律：开口同向角度和相等，凹凸拐角角度互补/和为定值。
【变式训练10-1】2026 年都江堰放水节（国家级非物质文化遗产）盛大启幕，活动联动成都春假，引爆文
旅消费热潮．某景区专营店售卖放水节纪念徽章和李冰治水主题书签两种文创产品，在传播传统文化的同
时实现良好经营收益．已知购进2 枚纪念徽章和3 套主题书签，总进价为130 元；购进4 枚纪念徽章和1
套主题书签，总进价为150 元．
(1)求每枚纪念徽章、每套主题书签的进价；
(2)该店计划购进两种文创产品共50 件，其中主题书签的数量不超过纪念徽章数量的2 倍，且购进两种产
品的总进价不超过1280 元．求符合条件的进货方案有哪几种？
【答案】(1)每枚纪念徽章进价32 元，每套主题书签进价22 元
(2)进货方案有两种，方案1：纪念徽章17 件，主题书签33 件；方案2：纪念徽章18 件，主题书签32 件
【分析】（1）设每枚纪念徽章的进价为x 元，每套主题书签的进价为y 元，根据题意列方程组，再求解即
可；
（2）设购进纪念徽章a 枚，用含a 的式子表示购进主题书签的套数，根据题意列不等式组，再求解，根据
解集的整数解得到a 的值即可．
【详解】（1）解：设每枚纪念徽章的进价为x 元，每套主题书签的进价为y 元．
根据题意列方程组，
，
解得
．
答：每枚纪念徽章进价32 元，每套主题书签进价22 元；
（2）解：设购进纪念徽章a 枚，则购进主题书签
套．
根据题意列不等式组：
，
∴
，
∵a 为整数，
∴
或
．
当
时，
；
当
时，
；
即符合条件的进货方案有两种：
方案1：纪念徽章17 件，主题书签33 件；方案2：纪念徽章18 件，主题书签32 件．
【变式训练10-2】为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B 两种
型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4 个A 型垃圾箱与3 个B 型垃圾箱，总费
用为560 元；同时，购买2 个A 型垃圾箱的支出，比购买1 个B 型垃圾箱少20 元．
(1)求每个A 型垃圾箱和每个B 型垃圾箱分别多少元？
(2)该小区计划用不多于1500 元的资金购买A、B 两种型号的垃圾箱共20 个，且A 型号垃圾箱个数不多于B
型号垃圾箱个数的3 倍，则该小区购买A、B 两种型号的垃圾箱有哪些方案？
【答案】(1)A 型单价50 元，B 型单价120 元
(2)共有3 种购买方案：
方案一：A 型13 个，B 型7 个
方案二：A 型14 个，B 型6 个
方案三：A 型15 个，B 型5 个
【分析】（1）设每个
型垃圾箱
元，每个
型垃圾箱
元，根据购买4 个A 型垃圾箱与3 个B 型垃圾箱，
总费用为560 元；同时，购买2 个A 型垃圾箱的支出，比购买1 个B 型垃圾箱少20 元，列出方程组进行求
解即可；
（2）设购买
个B 型垃圾箱，则购买
个A 型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可．
【详解】（1）解：设每个A 型垃圾箱
元，每个B 型垃圾箱
元，
由题意得：
解得：
；
答：每个A 型垃圾箱50 元，每个B 型垃圾箱120 元．
（2）解：设购买
个B 型垃圾箱，则购买
个A 型垃圾箱
由题意得：
解得：
又
为整数，
可取7，6，5，
有三种购买方案：
方案一：A 型13 个，B 型7 个，
方案二：A 型14 个，B 型6 个，
方案三：A 型15 个，B 型5 个．
题型11 分配、行程、工程类综合应用题
例1．如图
，A，B 两地间的公路长
，其中有一段长
的施工道路
，M 距离A 地
甲、乙两辆轿车分别从A，B 两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发
在非施工道路其
限速情况如图
所示，甲车始终以
的速度行驶，乙车始终以
的速度行驶；在施工道
路，两车均以
的速度行驶．
(1)若
①甲车出发
时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“
的中点”
②甲车行至
的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P 处相遇．
①若P 与N 重合，求V 的值；
②若P 在非施工道路上
不与M，N 重合，直接写出V 的取值范围．
【答案】(1)①M，N；②
(2)①
，②
或
【分析】
①根据题意，分别得到
，
，
，，根据甲乙两车的速度，
即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在
段和
段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发
，得到乙
车所用时间；
①两车在P 处相遇
与N 重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在
上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为
，得到等式，表示出
速度，同时结合限速的要求，得到结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，
正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：①
依题意，
，
，
，
，
甲车从A 地出发，始终以
的速度行驶，
甲车2 小时共行驶了
，
甲车出发2 小时，行至M 处，
乙车从B 地出发，比甲车晚出发
小时，以
的速度行驶，
乙车共行驶了
，
乙车行至N 处，
故答案为：M，N；
②甲车行至
的中点时，所用时间为：
，
此时乙车行驶所用时间：
，
故答案为：
；
（2）①两车在P 处相遇，P 与N 重合，
甲车所用时间为
，
此时乙车所用时间为
，
乙车的速度为
；
②P 在非施工道路上
不与M，N 重合，
若P 在
上，设甲的行驶时间为t，则
，
此时甲行驶路程为
，乙行驶的路程为
，
，
，
，
解得
，
限速为
，
，
若P 在
上，设甲的行驶时间为t，
，
则
，
此时甲行驶路程为
，乙行驶的路程为
，
，
，
，
解得
，
限速为
，
，
综上所述
或
．
【技巧总结】
结合行程、工程基本公式，挖掘隐含不等关系，解题后检验实际意义。
【变式训练11-1】剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进
两种样式的剪纸用于课外拓展课，
A 种剪纸每幅10 元、B 种剪纸每幅8 元，计划购进
两种类型剪纸共100 幅，购买预算不超过900 元，
且购进的B 种剪纸数量不大于A 种剪纸数量的2 倍，则至少购进A 种剪纸多少幅？
【答案】34 幅
【分析】设购进
种剪纸
幅，则购进
种剪纸
幅，根据“购买预算不超过900 元，且购进的B
种剪纸数量不大于A 种剪纸数量的2 倍”列不等式组求解即可．
【详解】解：设购进
种剪纸
幅，则购进
种剪纸
幅，
，
由①得，
，
由②得，
，
不等式组解集为
，
为整数，
，
∴最小整数解为
，
答：至少购进A 种剪纸34 幅．
【变式训练11-2】某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多
本；
若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生．
【答案】
【分析】设一共有
名学生，根据每人分本，则多
本，可知图书共有
本，根据每人分本，则
最后一人分到了书但不到本书，列不等式组求解．
【详解】解：设一共有
名学生，则图书共有
本，
由题意得：
，
解得：
，
又
学生人数为正整数，
，
学生人数为
．
1．如果不等式组
的解集是
，那么
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先解出第一个不等式
的解集，再根据
即可确定
的取值范围．
【详解】解：
，
解不等式
，
移项得
，
合并同类项得
，
系数化为得
，
∵不等式组的解集为
，
∴
．
2．已知一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合条件的不等式组为（ ）
A．
B．¿
C．¿
D．¿
【答案】C
【详解】解：根据数轴可得不等式组为
．
3．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由
，得
B．由
，得
C．由
，得
D．由
，得
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项逐一判断，即可得到正确结果．
【详解】解：对于选项A，∵
，不等式两边同乘正数
，不等号方向不变，∴
，不等式两边
再同减，不等号方向不变，∴1
3 a−3> 1
3 b−3，选项A 变形正确．
对于选项B，∵
，不等式两边同乘负数
，不等号方向改变，∴
，选项B 变形错误．
对于选项C，由
，仅能推出
时
，但
无法推出
，选项C 变形错误．
对于选项D，举例：当
时，满足
，但
，因此无法推出
，选项D 变形错误．
4．若关于
的不等式
的解集为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，根据已知解集的不等号方向判断
系数的符
号，进而求解即可．
【详解】解：∵不等式
变形后解集为
，不等号方向发生改变，
∴根据不等式的性质，不等式两边除以负数时不等号方向改变，可得
，
解得
．
此时，原不等式化为
，即
，与已知解集相符，
故
的取值范围是
。
5．关于y 的一元一次不等式组
有3 个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定
的取值范
围．
【详解】解：
解不等式①，两边同乘
得：
，
移项合并得：
，
∴
.
解不等式②得：
.
∴不等式组的解集为
.
∵不等式组有个整数解，
∴满足条件的整数解为
，
∴
．
6．若关于
的一元一次不等式组
有解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式组中的两个不等式的解集有公共部分解答即可．
【详解】解：∵关于
的一元一次不等式组
有解，
∴不等式①的解集与不等式②的解集有公共部分，
∴
．
7．在“学法、知法、守法”活动中，学校组织学生参加法律知识竞赛，竞赛共40 道单选题，答对一道得
3 分，答错或不答扣1 分．规定成绩不低于98 分为优秀，小明的竞赛成绩为优秀，则小明答对的题数至少
为( )
A．36 道
B．35 道
C．34 道
D．33 道
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．根据竞赛得分规则列出不等式，结合题数为正整数的实际
意义即可得到答案．
【详解】解：设小明答对了
道题，则答错或不答
道题．
根据题意，得
去括号整理得
解得
∵题数为正整数
∴小明答对题数至少为35 道．
8．已知
，则
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性列出关于
的一元一次不等式，解不等式即可得到
的取值范围．
【详解】解：∵
，
∴
，
解得：
．
9．用不等式表示“
的3 倍与2 的差不小于5”：______．
【答案】
【分析】理解题中关键字“倍”“差”“不小于”的含义，找准不等关系是解题的关键，根据运算顺序和
不等关系即可列出不等式．
【详解】解：由题意得，
的倍为
，与
的差为
，“不小于”表示大于等于，
因此列出不等式为
．
10．若方程组
的解满足
，则m 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先解二元一次方程组，得到
和
关于
的表达式，再整理得到
的表达式，代入不等式
，解一元一次不等式即可得到
的取值范围．
【详解】解：
，
得：
，
解得：
，
将
代入
得：
，
解得：
，
，
，
，
解得：
，
的取值范围是
．
11．定义新运算：
，若不等式
，则 x 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据新运算的定义，将不等式
转化为一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求
解即可．
【详解】解：根据定义新运算
，得：
，
，
解得：
．
12．关于
的不等式组
有且只有5 个整数解，则常数
的取值范围是______．
【答案】
−1<k ≤0
【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有个整数
解，确定出所有整数解，列出关于
的不等式，求解即可得到
的取值范围.
【详解】解：
，
解不等式
得：
，
解不等式
得：
，
原不等式组的解集为：
，
不等式组有且只有个整数解，
不等式组的个整数解为
.
，
解得
.
13．已知关于
的不等式组
的解集为
，且使得关于
、
的二元一次方程组
有正整数解．则所有满足条件的整数
的和为________．
【答案】19
【分析】先解不等式组，根据已知解集确定
的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整
数确定符合条件的整数
，最后计算所有满足条件的
的和．
【详解】解：解不等式
，得
，
解不等式
得
，
不等式组的解集为
，
∴
，
解方程组
，
由第一个方程得
，
代入第二个方程得
，
解得
，
将
代入
得
，
方程组的解为正整数，且
为整数，
∴
是
的正因数，
的正因数有
，
当
时，
，不满足
，舍去；
当
时，
，不满足
，舍去；
当
时，
，满足条件，此时
均为正整数；
当
时，
，满足条件，此时
均为正整数；
所有满足条件的整数
的和为
，故答案为
．
14．一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购
买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40 件，已知接力棒每根9 元，标志桶每个18 元，长绳每根25 元，
在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的
，长绳购进10 根，结果实际购进三种器材共30 件．
且比原计划少支付124 元，则实际购进标志桶的数量为______个．
【答案】6
【分析】设计划购进接力棒数量，根据实际购买比例得到实际接力棒数量，结合实际总件数得到实际标志
桶数量的表达式，再根据总费用差列出方程，利用正整数的性质求解即可．
【详解】解：设计划购进接力棒
根，实际购进标志桶
个，
由题意，实际购买接力棒数量为
（根），
实际购进长绳
根，实际总件数为
，因此可得：
，
整理得：
，
设原计划购进标志桶
个，则原计划长绳数量为
根，
原计划总费用减去实际总费用等于
，
列方程得：
，
整理得：
，
将
代入上式，
得：
，
化简得
，
变形得：
，
∵
是正整数，
∴
为整数，
又∵
和
互质，
∴
是
的倍数，
∵
，解得
，
∴
，
则
，即实际购进标志桶的数量为
个．
15．已知
、
为实数，若不等式
解集为
，不等式
的解
集为________．
【答案】
/
【分析】先根据第一个不等式的解集确定一次项系数小于0，得到m 和n 的数量关系，判断出m 的符号，
再代入第二个不等式求解即可．
【详解】解：∵不等式
解集为
，
∴
，
∴
，
∵不等式
解集为
，
∴
，
解得：
，
经检验
符合题意，
将
代入
得
，解得：
；
将
代入不等式
，
得：
，
化简得
，
移项得
，
∵
，
∴
，
两边同时除以
得：
．
16．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依
方程”．
(1)在方程①
，②
，③
中，不等式组{
2 x +1< x +6
5 x−1≥−x +11的“相依方程”是 ；
（填序号）
(2)若不等式组
的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于
的“相依方程”
中
的值；
(3)若方程
和
都是关于
的不等式组{
2 x ≤3 x−m
x−1<2m 的“相依方程”，则
的取值范围是 ．
【答案】(1)②③
(2)
或
(3)
【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案；
（2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中
求出a 的值即可；
（3）先求出两个“相依方程”的解，然后求出不等式组的解，然后根据“相依方程”的定义求解即可．
【详解】（1）解：{
2 x +1< x +6
5 x−1≥−x +11，
解得：
，
①
，
解得：
，不是一元一次不等式组的解，
②
，
解得：
，是一元一次不等式组的解，
③
，
解得：
，是一元一次不等式组的解，
∴不等式组{
2 x +1< x +6
5 x−1≥−x +11的“相依方程”是②③；
（2）解：{
x−3
2 <2①
−2+ x>−3 x +3②
，
解不等式①得：
，
解不等式②得：
，
∴该不等式组的解集为
，
∴不等式组的整数解为
或
，
若
是
的解，则
，解得：
；
若
是
的解，则
，解得：
；
综上所述，
或
；
（3）解：解方程
得：
，
解方程
得：
，
解关于
的不等式组{
2 x ≤3 x−m
x−1<2m 得：
，
∵方程
和
都是关于
的不等式组{
2 x ≤3 x−m
x−1<2m 的“相依方程”，
∴
和
是
的解，
∴{
m≤7
2m+1>13，
∴
的取值范围是
．
17．某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B 两种型号智能机器人进行快速分拣．若买1 台A 型机器人、
3 台B 型机器人，共需260 万元；若买3 台A 型机器人、2 台B 型机器人，共需360 万元．
(1)求A、B 两种型号智能机器人的单价；
(2)该企业现计划采购A 型和B 型机器人共15 台，且总费用不超过1000 万元，则最多能买A 型机器人多少
台？
【答案】(1)A 型智能机器人单价为
万元，B 型智能机器人单价为
万元
(2) 台
【分析】（1）设A 型智能机器人单价为
万元，B 型智能机器人单价为
万元． 根据题干给出的两种购
买方案的总费用列出二元一次方程组，求解即可得到单价．
（2）设购买A 型智能机器人
台，则购买B 型智能机器人
台．根据总费用不超过1000 万元的限
制列出一元一次不等式，求解后得到最大购买数量．
【详解】（1）解：设A 型智能机器人单价为
万元，B 型智能机器人单价为
万元．
由题意得
解得
答：A 型智能机器人单价为
（万元），B 型智能机器人单价为
（万元）．
（2）解：设购买A 型智能机器人
台，则购买B 型智能机器人
台．
由题意得80m+60(15−m)≤1000
化简得20m≤100
解得
答：最多能买A 型智能机器人台．
18．某超市销售甲、乙两种型号的电器，其进价分别为180 元/台和160 元/台，下表是近两周的销售情况
（进价、售价均保持不变，利润
售价进价）：
销售时段
销售数量/台
销售收入/元
甲种型号
乙种型号
第一周
3
2
1120
第二周
4
3
1560
(1)求甲、乙两种型号电器的售价；
(2)若超市准备用不多于6000 元的金额再采购这两种型号的电器共35 台，则最多能采购甲种型号电器多少
台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这35 台电器能否实现利润超过1750 元的目标？若能，请说明哪种采购
方案利润最大；若不能，请说明理由．
【答案】(1)甲种型号电器的售价为240 元，乙种型号电器的售价为200 元
(2)最多能采购甲种型号电器20 台
(3)能实现利润超过1750 元的目标，采购甲种型号电器20 台、乙种型号电器15 台时利润最大
【分析】（1）根据两周的销售收入条件列二元一次方程组，求解得到两种型号电器的售价；
（2）根据总采购金额的限制列一元一次不等式，求解得到甲种型号电器的最大采购量；
（3）根据利润要求列不等式，结合（2）的结论得到所有可行方案，比较各方案利润得到最大利润对应的
采购方案；
【详解】（1）解：设甲种型号电器的售价为
元，乙种型号电器的售价为
元，
由题意得：{
3 x +2 y =1120
4 x +3 y =1560，
解得：{
x =240
y =200，
答：甲种型号电器的售价为240 元，乙种型号电器的售价为200 元；
（2）解：设采购甲种型号电器
台，则采购乙种型号电器
台，
由题意得：180m+160(35−m)≤6000，
解得：
，
答：最多能采购甲种型号电器20 台；
（3）解：由题意得，总利润满足：(240−180)m+(200−160)(35−m)>1750，
解得：m>17.5，
，且
为正整数，
∴17.5<m≤20，且
为正整数，
可取18，19，20，说明能实现利润超过1750 元的目标，
分别计算三种方案的利润：当
时，利润为60×18+ 40×17=1760（元），
当
时，利润为60×19+ 40×16=1780（元），
当
时，利润为60×20+ 40×15=1800（元），
∵1800>1780>1760，
当采购甲种型号电器20 台，乙种型号电器15 台时，利润最大．
19．某校餐厅为学生们准备了
，
两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为
，其营养成分表如下：
品牌
营养成分表
品牌
营养成分表
项目
每
项目
每
能量
能量
蛋白质
蛋白质
脂肪
脂肪
碳水化合物
碳水化合物
钠
钠
(1)若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取
的能量和
的蛋白质，则应饮用
，
两种
品牌的酸奶各多少盒？
(2)已知
品牌酸奶的价格是
元／盒，
品牌酸奶的价格是元／盒．某班级计划用不超过
元从餐厅
购买两种酸奶共
盒，经与餐厅沟通，每盒
品牌酸奶售价不变，
品牌酸奶的售价打九折．求最多能
购买
品牌酸奶多少盒？
【答案】(1)应饮用
品牌酸奶
盒，
品牌酸奶盒
(2)最多能购买
品牌酸奶
盒
【分析】（1）根据能量总量和蛋白质总量的限制，设未知数后列二元一次方程组求解即可；
（2）根据总费用不超过1000 元的限制，设未知数后列一元一次不等式，取符合题意的最大正整数解即可
求解．
【详解】（1）解：设应饮用A 品牌酸奶
盒，B 品牌酸奶
盒；
根据题意，得
解得
答：应饮用A 品牌酸奶2 盒，B 品牌酸奶3 盒．
（2）设购买A 品牌酸奶
盒，则购买B 品牌酸奶
盒，
根据题意，得
化简得
整理得
移项得
解得
为非负整数
的最大值为
答：最多能购买A 品牌酸奶146 盒．
20．随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽
车充电难的问题，准备在小区内修建10 个充电桩，已知新建1 个地上充电桩和2 个地下充电桩需要1 万元；
新建3 个地上充电桩和1 个地下充电桩也需要1 万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？
(2)若该小区计划用不超过
万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案．
【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需
万元，一个地下充电桩需
万元
(2)该小区共有3 种建造方案，方案1：新建8 个地上充电桩，2 个地下充电桩；方案2：新建9 个地上充电
桩，1 个地下充电桩；方案3：新建10 个地上充电桩，0 个地下充电桩
【分析】（1）设该小区新建一个地上充电桩需
万元，一个地下充电桩需
万元，利用新建1 个地上充电
桩和2 个地下充电桩需要1 万元；新建3 个地上充电桩和1 个地下充电桩也需要1 万元．再建立方程组求
解即可．
（2）设该小区新建
个地上充电桩，则新建
个地下充电桩，根据该小区计划用不超过
万元的
资金新建充电桩，再建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需
万元，一个地下充电桩需
万元，
根据题意得：
，
解得：
．
答：该小区新建一个地上充电桩需
万元，一个地下充电桩需
万元；
（2）解：设该小区新建
个地上充电桩，则新建
个地下充电桩，
根据题意得：
，
解得：
，
∴
，
又
均为非负整数，
可以为8，9，10，
该小区共有3 种建造方案，
方案1：新建8 个地上充电桩，2 个地下充电桩；
方案2：新建9 个地上充电桩，1 个地下充电桩；
方案3：新建10 个地上充电桩，0 个地下充电桩．
