专题05 全等三角形的基本解题模型
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
全等三角形模型之一线三等角模型
题型2
全等三角形模型之倍长中线模型
题型3
全等三角形模型之截长补短模型
题型4
全等三角形模型之手拉手模型
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 一线三等角模型
2. 倍长中线模型
3. 截长补短模型
4. 手拉手模型
1. 一线三等角模型：以同一直线上三个相等角为背景，结合坐标轴或几何图
形构造全等，侧重考查从复杂图形中剥离模型的抽象能力。
2. 倍长中线模型：已知三角形中线条件下，通过加倍延长构造全等，常与中
位线、线段不等关系综合，强调辅助线规范作法。
3. 截长补短模型：用于证明线段和差关系（如a+b=c），与角平分线、等腰
三角形性质深度结合，考查转化与构造思维。
4. 手拉手模型：以共顶点的两个等腰三角形旋转为背景，综合考查SAS 判定
及旋转角、对应边夹角等结论，常出现在压轴题。
考情解码：一线三等角模型侧重同一直线上三个相等角构造全等，常用于证明线段相等或角相等；
倍长中线模型通过加倍延长中线构造全等，解决中线相关问题；截长补短模型通过截取或延长线段证
和差关系；手拉手模型利用共顶点等腰三角形旋转证全等，高频考查综合运用。
知识点一全等三角形模型之一线三等角模型
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角
直角一线三等角（“K型图”）
钝角一线三等角
条件：
A
CED
B
，AE=DE；
结论：ABE
ECD
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角
直角一线三等角
钝角一线三等角
条件：
DCF
ABC
AED
，AE=DE；
结论：ABE
ECD
，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
，BE
CD
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
DCF
ABC
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
ABC
AEB
A
，∠AED=∠AEB+∠CED，
ABC
AED
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
，BE
CD
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
【易错警示】
- 找等角：利用平角180°及三角形内角和推导等角，勿直接假设第三个角相等。
- 对应顶点：等角顶点需对应，对应边找准，否则全等判定易错。
- 分类：等角可在同侧或异侧，注意锐角、钝角情况。
即时即练综合与实践
在直线m 上依次取互不重合的三个点D 、A 、E ，在直线m 上方有AB
AC
，且满足
BDA
AEC
BAC
(1)如图1，当
90
时，猜想线段DE 、BD 、CE 之间满足的数量关系，并进行证明；
(2)如图2，当0
a
180时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证
明；
(3)如图3，在△ABC 中，
BAC
是钝角，AB
AC
，BAD
CAE
，
BDA
AEC
BAC
，直线m 与
CB 的延长线交于点F ，若
3
BC
BF
，△ABC 的面积是12，请求出△FBD 与△ACE 的面积之和．
【答案】(1) DE
BD
CE
，证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)4
【分析】此题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相关知识是解
决问题的关键．
（1）根据题意得
DBA
EAC
，可得DBA
≌
EAC ，有
AD
CE 和BD
AE
，即可证明结论；
（2）根据
180
BAD
EAC
BAD
DBA
，得
EAC
DBA
，即可证明DBA
≌
EAC ，则有
AD
CE 和BD
AE
，即有DE
BD
CE
成立；
（3）根据全等三角形的判定和性质定理以及三角形的面积的计算即可得到结论．
【详解】（1）解：
90
BDA
BAC
AEC
，
90
BAD
EAC
BAD
DBA
，
DBA
EAC
，
AB
AC
，
DBA
≌
(AAS)
EAC
，
AD
CE
，BD
AE
，
则DE
AD
AE
BD
CE
．
（2）解：DE
BD
CE
仍然成立，
理由：
BDA
AEC
BAC
，
180
BAD
EAC
BAD
DBA
，
DBA
EAC
，
AB
AC
，
DBA
≌
(AAS)
EAC
，
AD
CE
，BD
AE
，
DE
AD
AE
BD
CE
；
（3）解：同（2）可得DBA
≌
(AAS)
EAC
，
DBA
EAC
S
S
，
设
ABC
的底边BC 上的高为h ，则
ABF
△
的底边BF 上的高为h ，
3
BC
BF
，
12
ABC
S
△
，
4
ABF
S
△
，
即
4
FBD
ABD
S
S
∴
4
FBD
ACE
S
S
∴
知识点二全等三角形模型之倍长中线模型
【模型解析】（1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD 为△ABC 的中线。
结论：ABD
ECD
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
（2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点（不同于端点）。
结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D 为BC 边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
【易错警示】
- 倍长：延长中线至相等，构造全等（SAS），勿只延长一半。
- 连线：倍长后需连接顶点与延长点，才能形成全等三角形。
- 结论：得对应边平行或相等，勿忘证明三点共线（如有需要）。
即时即练【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在
ABC
中，
6,
4
AB
AC
，求BC 边上的中线
AD 的取值范围．
【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD 到E ，使得DE
AD
；
②连接BE ，易证ACD
EBD
，于是我们把
,
,2
AB AC
AD 转化在ABE
中；
③利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB
BE
AE
AB
BE
，从而得到AD 的取值范围．
【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即
把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为
“倍长中线法”．
【问题解决】（1）如图1，AC 与BE 的位置关系是_____；AD 的取值范围是_____．
【问题应用】（2）如图2，AD 是
ABC
的中线，点E 在BC 的延长线上，AC 平分
DAE
，
E
BAD
，
试探究线段AE 与AD 的数量关系．
【拓展延伸】（3）如图3，在
ABC
中，AD 平分
BAC
，且AD 交BC 于点D ，BC 的中点为G ，过点G
作GF 平行于AD ，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．若
10
6
AB
AC
,
，求BE 的长．
【答案】
（1）平行；1
5
AD
（2）
2
AE
AD
（3）
8
BE
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍
长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题．
（1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围；
（2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系；
（3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长
度．
【详解】解：（1）由
SAS
ACD
EBD
，得
CAD
BED
，故AC
BE
．
在ABE
中，
6
AB
，
4
BE
AC
，由三边关系AB
BE
AE
AB
BE
，即6
4
2
6
4
AD
，化简得
1
5
AD
．
故答案为：平行；1
5
AD
．
（2）如图，延长AD 到F ，使DF
AD
，连接BF ．
∵BD
CD
，
BDF
CDA
，DF
AD
，
∴
SAS
BDF
CDA
，
∴BF
AC
，
F
CAD
．
∵AC 平分
DAE
，
∴
CAD
CAE
，
∴
F
CAE
．
∵
E
BAD
，
∴
AAS
ABF
ECA
，
∴
2
AF
AE
AD
；
（3）如图，过B 作BH
CF
，交FG 的延长线于H ，则
H
CFG
．
∵G 是BC 中点，
∴BG
CG
．
∵
C
H
FG
，
BGH
CGF
，
∴
AAS
BGH
CGF
，
∴BH
CF
．
∵GE
AD
，AD 平分
BAC
，
∴
C
AEF
FG
CAD
BAD
BEH
，
∴
H
BEH
，AE
AF
，
∴BE
BH
，
设AE
x
，则AF
x
，
6
CF
x
，故
CF
6
BE
BH
x
．
由
6
10
AB
AE
BE
x
x
，解得
2
x
，
∴
6
2
8
BE
．
知识点三全等三角形模型之截长补短模型
【模型解析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线
等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2 次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD 上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD 上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
【易错警示】
- 目的：证明线段和差关系（如a+b=c），勿乱用。
- 截长：在长边上截取一段等于短边；补短：延长短边使等于长边。
- 全等：构造后必须证明全等，且对应边要正确连线，勿遗漏证明步骤。
即时即练同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可
以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．
(1)（1）在
ABC
中，AD 平分
BAC
，
2
ABC
C
，求证：AC
AB
BD
；任选下面一种方法，并写
出完整的证明过程：
方法一：如图①，在AC 上截取AE ，使得AE
AB
，连接DE ，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图②，延长AB 到点F，使得BF
BD
，连接DF ，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
(2)如图③，在
ABC
中，
2
ABC
C
，AH
BC
交BC 于点H，直接写出AB
BH
BC
、
、
之间的等量关系
________．
(3)如图④，在
ABC
中，AD 平分
BAC
，
2
ABC
C
，AD
BG
、
分别为
BAC
ABC
、
的角平分线，
5
3
AB
BD
=
=
，
，
25
8
AG
，直接写出GC ________．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
AB
BH
BC
(3) 39
8
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质
等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）选择方法一：证明
SAS
ABD
AED
≌
．则
,
BD
ED
B
AED
，证明
EDC
C
，则ED
EC
BD
，
即可得到结论；选择方法二：证明
AAS
AFD
ACD
≌
．则AF
AC
，即可得到结论；
（2）在CH 上取点G，使BH
GH
，证明AB
AG
，AG
GC
，则AB
GC
，即可得到
2
CG
BG
AB
BH
BC
；
（3）根据角平分线的性质定理可知点D 到AC 的距离等于点D 到AB 的距离，得到
ABD
ACD
S
AB
S
AC
△
△
，又由
ABD
ACD
S
BD
S
CD
，得到AB
BD
AC
CD
，同理，
G
AB
BC
AG
C
，设CG
x
CD
y
，
，列出方程组并解方程组即可得到答案．
【详解】（1）若选择方法一．
证明：如图①，在AC 上截取AE ，使得AE
AB
，连接DE ，
∵AD 平分
BAC
，
∴
BAD
CAD
．
又∵AD
AD
，
∴
SAS
ABD
AED
≌
．
∴
,
BD
ED
B
AED
，
∵
2
ABC
C
，
∴
2
AED
C
，
∵
AED
EDC
C
，
∴
EDC
C
，
∴ED
EC
BD
，
∴AC
AE
EC
AB
BD
．
若选择方法二．
证明：如图②，延长AB 到点F，使得BF
BD
，连接DF ，
∵AD 平分
BAC
，
∴
BAD
CAD
．
又∵BF
BD
，
∴
F
BDF
．
∴
2
ABC
F
BDF
F
．
∵
2
ABC
C
，
∴
F
C
．
∵AD
AD
∴
AAS
AFD
ACD
≌
．
∴AF
AC
，
∴AF
AB
BF
AB
BD
，
∴AC
AB
BD
．
（2）解：在CH 上取点G，使BH
GH
，
∵
,
AH
BC BH
GH
，
∴AB
AG
，
∴
B
AGB
，
∵
2
ABC
C
AGB
C
GAC
，
，
∴
C
GAC
，
∴AG
GC
，
∴AB
GC
，
∴
2
CG
BG
AB
BH
BC
．
故答案为：
2
AB
BH
BC
；
（3）解：∵AD 平分
BAC
，
∴点D 到AC 的距离等于点D 到AB 的距离，
∴
ABD
ACD
S
AB
S
AC
△
△
，
∵
ABD
ACD
S
BD
S
CD
，
∴AB
BD
AC
CD
，
同理，
G
AB
BC
AG
C
设CG
x
CD
y
，
，则
25
3
,
8
BC
BD
CD
y AC
AG
CG
x
∴
5
25
8
3
y
x
，
5
25
8
3
x
y
，
∴
39
8
x
，
∴
39
8
CG
．
故答案为：39
8 ．
知识点四全等三角形模型之手拉手模型
1）双等边三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
证明：∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
【易错警示】
- 条件：两个等腰三角形顶角相等，且共顶点，拉手线为对应边。
- 全等：拉手线构成的三角形全等（SAS），勿找错对应边。
- 结论：拉手线相等，且夹角等于顶角（或互补），需证明旋转关系。
即时即练
ABC
和DBE
是两个角都是45的等腰直角三角形（BA
BC
，BE
BD
，
90
DBE
ABC
）
的三角板，
【问题初探】
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C 在同一直线上，连接AD 、CE ，请证明：
AD
CE ；
【类比探究】
（2）当三角板ABC 保持不动时，将三角板DBE 绕点B 顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD 与CE
的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
AD
CE ，AD
CE
，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形．
（1）由SAS 判定
ADB
CEB
△
≌△
，推出
AD
CE ；
（2）过点C 作CH 垂直于DA 的延长线于点H，交BD 于点O，判定
SAS
ABD
CBE
≌
，推出
AD
CE ，
ADB
CEB
，由三角形内角和定理推出
90
DHO
EBD
，推出AD
CE
．
【详解】（1）证明：在ADB
和CEB
中，
BD
BE
ABD
CBE
AB
CB
，
∴
SAS
ADB
CEB
≌
，
∴
AD
CE ；
（2）解：
AD
CE ，AD
CE
，理由如下：
如图，过点C 作CH 垂直于DA 的延长线于点H，交BD 于点O，
∵
90
ABC
DBE
，
∴
ABD
DBC
CBE
DBC
，
∴
ABD
CBE
，
在
ABD
△
和
CBE
△
中，
AB
BC
ABD
CBE
BD
BE
，
∴
SAS
ABD
CBE
≌
，
∴
AD
CE ，
ADB
CEB
，
∵
DOH
EOB
，
∴
90
DHO
EBD
，
∴AD
CE
．
题型1
全等三角形模型之一线三等角模型
例1．一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满
足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型．
(1)如图1，在
ABC
中，
90
BAC
AB
AC
，
，点A 在直线MN 上，过点B 作BD
MN
于点D ，过点C
作CE
MN
于点E ，由
90
90
，
DAB
DBA
DAB
CAE
得
DBA
___________．又知道
，
BDA
AEC
AB
AC
，可以推理得到ABD
CAE
≌
，进而得到
，
AD
CE
AE
___________．
(2)当图1 中的直线MN 绕点A 旋转到图2 的位置时，求证：DE
BD
CE
．
(3)当图1 中的直线MN 绕点A 旋转到图3 的位置时，请直接写出DE
BD
CE
，
，
．之间的数量关系：
___________．
(4)如图4，若将（1）中的条件改为：在
ABC
中，AB
AC
，D，A，E 三点都在直线MN 上，且满足
BDA
BAC
AEC
，其中为任意锐角或钝角，请问结论ABD
CAE
≌
是否成立？若成立，请给
出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)
EAC
，BD
(2)见解析
(3) DE
CE
BD
(4)成立，理由见解析
【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形
的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．
（1）由垂直得
90
ADC
BEC
，由同角的余角相等得
DAC
BCE
，因此根据AAS 可以证明
ABD
CAE
≌
，结合全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）根据全等三角形的判定定理AAS 推知ABD
CAE
≌
，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段
间的和差关系以及等量代换证得DE
BD
CE
；
（3）同理（2）可得
AD
CE ，AE
BD
，进而即可得出DE
AD
AE
CE
BD
；
（4）同理（1）可以证明
ABD
CAE
，根据全等三角形的判定定理AAS 推知ABD
CAE
≌
．
【详解】（1）证明：
90
，
，
BD
MN
CE
MN
BAC
，
90
BAC
BDA
CEA
90
BAD
CAE
90
BAD
ABD
ABD
CAE
在
ABD
△
和CAE
中
ABD
CAE
ADB
CEA
AB
CA
AAS
ADB
CEA
△
≌△
AD
CE ，AE
BD
，
（2）证明：
90
，
，
BD
MN
CE
MN
BAC
90
BAC
BDA
CEA
90
BAD
CAE
90
BAD
ABD
ABD
CAE
在
ABD
△
和CAE
中
ABD
CAE
ADB
CEA
AB
CA
AAS
ADB
CEA
△
≌△
AD
CE ，AE
BD
，
DE
AE
AD
BD
CE
（3）DE
CE
BD
，
同理（2）可得：
AD
CE ，AE
BD
，
DE
AD
AE
CE
BD
．
（4）ABD
CAE
≌
成立，理由如下：
180
ABD
ADB
BAD
180
CAE
CAB
BAD
ADB
CAB
ABD
CAE
在
ABD
△
和CAE
中
ABD
CAE
ADB
CEA
AB
CA
AAS
ADB
CEA
△
≌△
例2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，
90
BAD
，AB
AD
，过点B 作BC
AC
于点C，过点D 作DE
AC
于点E．由
1
2
2
90
D
，得
D
1
．又
90
ACB
AED
，可以推理得到
ABC
≌______，推理依据
是______．进而得到AC ______，BC ______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，
90
BAD
CAE
，AB
AD
，AC
AE
，连接
,
BC DE ，且BC
AF
于点
,
F DE 与直线AF
交于点G．求证：点G 是DE 的中点；
(3)如图3，已知四边形ABCD 和DEFG ，
90
ADC
EDF
，AD
CD
，DE
DF
，
AFD
△
的面积为
1S ，
DCE
△
的面积为
2S ，试猜想
1S 和
2S 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) DAE
；AAS ；DE ；AE
(2)见解析
(3)
1
2
S
S
=
，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件，利用AAS判定
ABC
≌DAE
，再根据全等三角形的性质求解；
（2）利用“ K ”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果；
（3）先利用“ K ”字模型，证明ADM
DCP
≌
，DFN
EDP
≌
，利用全等三角形得到新的条件证
AMQ
FNQ
≌
，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案．
【详解】（1）解：由题意知得，在
ABC
和DAE
中，
1
D
ACB
AED
AB
AD
，
∴
AAS
DAE
ABC
≌
，
∴AC
DE,BC
AE
．
（2）证明：如图：作
,
DM
AF EN
AF
，
∴
90
DMG
ENG
AFB
AMD
，
∵
90
BAD
，
∴
90 ,
90
BAF
FBA
BAF
DAG
，则
FBA
DAG
，
在
ABF
△
和
DAM
△
中，
FBA
DAG
AFB
AMD
AB
AD
，
∴
AAS
ABF
DAM
≌
，
同理可证
ACF
EAN
△
≌△
，
∴AF
DM
，AF
EN
，
∴DM
EN
，
在DMG
和
ENG
△
中，
90
DMG
ENG
DGM
EGN
DM
EN
，
∴
AAS
DMG
ENG
≌
，
∴EG
DG
，即：点G 是DE 的中点．
（3）解：
1
2
S
S
=
，理由如下：
如图：作PQ
CE
，
,
AM
PQ FN
PQ
，
∵
90
ADC
EDF
，AD
CD
，DE
DF
，
∴
90 ,
90
ADM
MAD
ADM
PDC
，则
MAD
PDC
，
在
ADM
△
和DCP
中，
MAD
PDC
ADM
DCP
AD
CD
，
∴
AAS
ADM
DCP
≌
，
同理可证DFN
EDP
≌
，
∴
ADM
DCP
S
S
，
DFN
EDP
S
S
，AM
DP
，FN
DP
，
∴AM
FN
∵在
AMQ
△
和FNQ
中，
90
AMQ
FNQ
AQM
FQN
AM
FN
，
∴
AAS
AMQ
FNQ
≌
，
∴
AMQ
FNQ
S
S
，
∴
AFD
ADQ
FNQ
DFN
S
S
S
S
ADQ
AMQ
DFN
S
S
S
ADM
DFN
S
S
DCP
EDP
S
S
DCE
S
△
∴
1
2
S
S
=
．
【技巧总结】
1. 找等角：同一直线上三个相等的角，其两侧三角形必全等。
2. 用外角：利用外角性质证明另一组角相等。
3. 证全等：结合已知边等（如等腰底边），用AAS 或ASA 证全等，进而得对应边、角相等。
【变式训练1-1】已知：
ABC
中，
90
ACB
，AC
CB
．
(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，连接AD ，在直线AC 左侧作AE
AD
，且AE
AD
，过点E 作EH
AC
于H ，求证：EH
AC
；
(2)如图2，当点D 在线段AC 上时，连接BD ，在直线BC 下方作BE
BD
，且BE
BD
，过点E 作EH
BC
于H ，连接AE 交BC 于M ，求AD
CM 的值；
(3)当点D 在射线CB 上时，连接AD ，在直线AC 左侧作AE
AD
，且AE
AD
，连接BE 交直线AC 于M ，
若
3
AC
CM
，请在备用图中画出图形，再直接写出
ADB
AEM
S
S
△
△
的值．
【答案】(1)见解析
(2) 2
(3)
1
2 或1．
【分析】（1）证明
AAS
EAH
ADC
≌
，即可得到结论；
（2）证明
CDB
HBE AAS
≌
，得到
,
BH
CD EH
BC
，证明AD
CH
，证明
AMC
EMH AAS
≌
，
则
1
2
CM
HM
CH
，得到
2
AD
CH
CM
，即可得到结论；
（3）分两种情况：当点D 在线段CB 的延长线上时，连接BE 交AC 的延长线于M，作EN
AM
交AM 的
延长线于点N ，设
3
AC
a
，则
,
3
CM
a BC
AC
a
，
证明EAN
ADC
≌
及BCM
ENM
≌
即可求出结论；点D在线段BC 上，同理
,
BCM
EHM
AEH
DAC
≌
≌
，
即可求出结论．
【详解】（1）证明：
,
AE
AD EH
AC
，
90
AHE
EAD
ACB
，
90 ,
90
DAC
ADC
DAC
EAH
，
EAH
ADC
，
,
90
AE
AD
AHE
ACD
，
AAS
EAH
ADC
≌
，
EH
AC
；
（2）证明：∵EH
BC
，
90
ACB
，BE
BD
，
∴
90
ACB
BHE
DBE
，
∴
90
CBD
CDB
CBD
EBH
，
∴
CDB
EBH
，
∵BE
BD
，
∴
CDB
HBE AAS
≌
，
∴
,
BH
CD EH
BC
，
∵
,
AC
BC
∴AC
EH
，AC
CD
BC
BH
，
∴AD
CH
∵
90 ,
ACM
EHM
AMC
EMH
，
∴
AMC
EMH AAS
≌
∴
1
2
CM
HM
CH
，
∴
2
AD
CH
CM
∴
2
2
AD
CM
CM
CM
（3）解：如图，当点D 在线段CB 的延长线上时，连接BE 交AC 的延长线于M，作EN
AM
交AM 的延
长线于点N ，
3
AC
CM
，
设
3
AC
a
，则
,
3
CM
a BC
AC
a
，
,
AE
AD EN
AN
，
90
ANE
EAD
ACB
，
90 ,
90
DAC
ADC
DAC
EAN
，
EAN
ADC
，
,
90
AE
AD
ANE
ACD
，
AAS
EAN
ADC
≌
，
3 ,
EN
AC
BC
a AN
CD
，
,
90
BMC
EMN
BCM
ENM
，
AAS
BCM
ENM
≌
，
CM
NM
a
，
4
AM
AC
CM
a
，
5
CD
AN
AC
CM
MN
a
，
2
BD
CD
BC
a
，
1
2
3
1
2
1
4
3
2
2
ADB
AEM
BD AC
S
a
a
S
a
a
AM EN
；
如图，点D 在线段BC 上，
同理可证：
,
BCM
EHM
AEH
DAC
≌
≌
，
,
CM
HM CD
AH
，
2
HC
CM
，
AC
BC
，
AC
AH
BC
CD
，即HC
BD
，
设CM
HM
n
，则
2
BD
CH
n
，
3
3
AC
CM
n
，
3
3 ,
2
2
HE
AC
CM
n AM
CM
n
，
1
2
3
2
1
1
2
3
2
ADB
AEM
BD AC
S
n
n
S
n
n
AM EH
，
综上所述，
1
2
ADB
AEM
S
S
或1．
【变式训练1-2】数学教材中有这样一道习题：“如图1，
90 ,
,
,
ACB
AC
BC AD
CE BE
CE
，垂足
分别为
,
D E ，若
2.5cm
AD
，
1.7cm
DE
，求BE 的长．”在计算时，我们通过证明
ADC
CEB
△
≌△
，得
到一些线段之间的数量关系，然后进行求解．
【类比探究】
（1）如图2，在等腰三角形ABC 中，
90
ACB
，AC
BC
，DE 为过点C 的直线，AD
DE
于D ，BE
DE
于E ，求证：DE
AD
BE
；
【拓展应用】
（2）如图3，在Rt AOB
中，
90
AOB
，分别以BA 和OB 为直角边作等腰Rt
ABD
△
和等腰Rt
OBC
△
，
连DC 交OB 延长线于点E ．猜想AO 与BE 的数量关系，并说明理由；
【知识迁移】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4 所示，以
ABC
的AB ，AC 边向外
作等腰Rt BAD
和等腰Rt
CAE
△
，其中
90
BAD
CAE
，AG 是边BC 上的高．延长GA交DE 于点H ，
若
5,
12
AH
AG
，直接写出DAE
的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
OA
BE
(或
1
2
BE
OA
)；见解析；（3）60
【分析】（1）因为AD
DE
于D，
90
ACB
，所以
DAC
BCE
，因为AC
BC
，即可通过AAS 证
明
ADC
CEB
△
≌△
作答；
（2）过点D 作DT
OB
于点T，连接CT ．证明
AAS
DTB
BOA
≌
，推出DT
OB
，BT
OA
，再证明
AAS
BCE
TDE
≌
，即可得结论；
（3）作辅助线，过点D 作DM
AH
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
于点N，利用角度等量变
换，得到ABG
DAM
Ð
= Ð
，进而推导证明ABG
DAM
≌
，同样证得AGC
ENA
≌
，得到DM
EN
AG
，
最后DAE
的面积为ADH
、AHE
面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解．
【详解】（1）证明：∵AD
DE
于D，
90
ACB
，
∴
90
ADC
，
90
DAC
DCA
，
90
BCE
DCA
，
∴
DAC
BCE
，
∵BE
DE
，
∴
90
BEC
ADC
，
∵AC
BC
，
∴
AAS
ADC
CEB
≌
，
∴CD
BE
，
AD
CE ，
∴DE
CE
CD
AD
BE
；
（2）解：结论：
2
OA
BE
．理由如下：
如图，过点D 作DT
OB
于点T，连接CT ．
∵
90
AOB
ABD
DTB
，
∴
90
TBD
ABO
，
90
ABO
BAO
，
∴
TBD
BAO
，
∵BD
DA
，
∴
AAS
DTB
BOA
≌
，
∴DT
OB
，BT
OA
，
∵BOC
是等腰直角三角形，
∴OB
BC
DT
，
又∵
BEC
TED
，
90
CBE
DTE
，
∴
AAS
BCE
TDE
≌
，
∴BE
TE
，
∴
2
BT
BE
，
∴
2
OA
BE
；
（3）解：过点D 作DM
AH
交AH 的延长线于点M，过点E 作EN
AH
于点N，如图所示：
∵AG
BC
，
∴
90
AGB
M
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
ABG
BAG
，
∵
90
BAD
，
∴
90
BAG
DAM
Ð
+Ð
=
°，
∴ABG
DAM
Ð
= Ð
，
在ABG
和
DAM
△
中，
AGB
M
ABG
DAM
AB
AD
，
∴
AAS
ABG
DAM
≌
，
∴DM
AG
=
，
同理可证明：AGC
ENA
≌
，
∴EN
AG
，
∴DM
EN
AG
，
∵
1
1
5 12
60
2
2
DAE
AHD
AHE
S
S
S
AH DM
AH EN
AH AG
，
∴
ADE
的面积等于60．
题型2
全等三角形模型之倍长中线模型
例3．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，AD 是
ABC
的中线，
8
5
AB
AC
，
，求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点E ，使DE
AD
，
连接BE ，根据SAS 可证
ADC
EDB
≌
△
△
，所以BE
AC
．接下来，在ABE
中利用三角形的三边关系可
求得AE 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是：________；
(2)如图2 ，
90
AB
AE
AC
AF
BAE
CAF
，
，
，点D 为BC 的中点，连接AD ．求证：
2
EF
AD
．
【答案】(1)1.5
6.5
AD
(2)证明见解析
【分析】（1）由
SAS
EDB
ADC
≌
可得
5
BE
AC
，再根据三角形三边关系解答即可求解；
（2 ）延长AD 至G ，使DG
AD
，连接BG ，则
2
AG
AD
，同理可证
SAS
ADC
GDB
≌
，即得AC
GB
，
C
GBD
，再证明
SAS
ABG
EAF
≌
，得到AG
EF
，即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵AD 是
ABC
的中线，
∴BD
CD
，
又∵ED
AD
，
BDE
CDA
，
∴
SAS
EDB
ADC
≌
，
∴
5
BE
AC
，
在ABE
中，∵AB
BE
AE
AB
BE
，
∴8
5
2
8
5
AD
，
∴1.5
6.5
AD
，
故答案为：1.5
6.5
AD
；
（2）解：如图，延长AD 至G ，使DG
AD
，连接BG ，则
2
AG
AD
，
同理可证
SAS
ADC
GDB
≌
，
∴AC
GB
，
C
GBD
，
∵AC
AF
，
∴BG
AF
，
∵
90
BAE
CAF
，
∴
180
BAC
EAF
，
∵
180
BAC
ABC
C
，
∴
180
BAC
ABC
GBD
，
即
180
BAC
ABG
，
∴
ABG
EAF
，
又∵AB
AE
，
∴
SAS
ABG
EAF
≌
，
∴AG
EF
，
∴
2
EF
AD
．
例4．综合与实践
【问题情境】
补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某
特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形ABCD 中，AB
DC
，E 是AD 的中点，BE 平分
ABC
，试判断BC ，CD，AB 之
间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长BE ，CD相交于点F ，构造
ABE
DFE
≌
和等腰三角形BCF 即可判断．
【问题解决】
（1）按照小颖的方法，判断BC ，CD，AB 之间的等量关系，并说明理由；
【自主探究】
（2）如图③，在
ABC
中，D 是BC 的中点，点E 在AC 上，连接BE 交AD 于点F ，AE
EF
，试说明AC
BF
．
【答案】（1）BC
CD
AB
，见解析；（2）见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）延长BE 、CD相交于点F，证明ABE
和
DFE
△
全等得AB
DF
，再根据BE 平分
ABC
得
ABE
CBE
DFE
，则BC
CF
，由此可得出BC ，CD，AB 之间的等量关系；
（2）延长AD 至点H，使DH
AD
，连接BH ，证明ACD
和
HBD
△
全等得BH
AC
，
H
CAD
，再
根据AE
EF
，
AFE
BFH
得
H
H
AFE
BF
，进而得BH
BF
，由此即可得出结论；
【详解】解：（1）BC ，CD，AB 之间的等量关系是：BC
CD
AB
，理由如下：
如图，延长BE ，CD相交于点F ，
AB
CD
∥
，
A
FDE
，
ABE
DFE
．
E 是AD 的中点，
AE
DE
．
在ABE
和
DFE
△
中，
ABE
DFE
A
FDE
AE
DE
，
(AAS)
ABE
DFE
≌
，
AB
DF
．
BE
平分
ABC
，
ABE
CBE
．
DFE
CBE
，
BC
CF
，
CF
CD
DF
，
BC
CD
AB
；
（2）证明：如图，延长AD 至点H ，使DH
AD
，连接BH ，
D 是BC 的中点，
BD
CD
，
在ACD
和
HBD
△
中，
AD
DH
ADC
HDB
CD
BD
，
(SAS)
ACD
HBD
△
≌△
，
BH
AC
，
H
CAD
．
AE
EF
，
CAD
AFE
，
H
AFE
．
AFE
BFH
（对顶角相等），
H
BFH
．
BH
BF
，
AC
BF
．
【技巧总结】
1. 遇中线：直接延长一倍，构造全等三角形。
2. 连顶点：连接中线端点与对应顶点，得平行四边形或全等。
3. 证相等：倍长后得对边平行且相等，转移边角关系，常用于证线段不等或求取值范围。
【变式训练2-1】在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，AD 是
ABC
的中线，
6,
10
AB
AC
，求AD 的取值范围．
我们可以延长AD 到点E．使DE
AD
，连接BE ，根据SAS 可证
ADC
EDB
≌
，所以BE
AC
．接下来，
在ABE
中利用三角形的三边关系可求得AE 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是：；（直接填结
果，不用写出求解过程）
(2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在ABC
中，D 是BC 边上的一点，AE 是ABD
的中线，
,
CD
AB
BDA
BAD
，试说明：
2
AC
AE
；
(3)如图3，
,
,
90
AB
AE AC
AF
BAE
CAF
．点D 为BC 的中点，判断线段EF 与AD 的关系，并说
明理由．
【答案】(1) 2
8
AD
；
(2)见解析；
(3)EF=2AD，EF⊥AD，见解析．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌
握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据
ADC
EDB
≌
可得
10
BE
AC
，在ABE
中利用三角形的三边关系可求得4
16
AE
，即可
根据
2
AE
AD
求解即可；
（2）延长AE 至点F，使得EF
AE
，连接DF ，则
2
AF
EF
AE
AE
，根据全等三角形的判定和性质
得出
SAS
EDF
EBA
≌
，
,
,
DF
AB
CD
B
EDF
F
EAB
，继续利用全等三角形的判定和性质
即可证明；
（3）延长DA 交EF 于点P，延长AD 到M，使得DM
AD
，连接BM ，根据全等三角形的判定和性质证
明即可．
【详解】（1）解：如图：延长AD 到点E．使DE
AD
，连接BE ，
∵AD 是
ABC
的中线，
∴CD
BD
，
又∵
ADC
EDB
，
∴
SAS
ADC
EDB
≌
，
∴
10
BE
AC
，
∵在ABE
中，BE
AB
AE
AB
BE
，
∴4
16
AE
，
∵DE
AD
，
∴
2
AE
AD
，
∴4
2
16
AD
，解得2
8
AD
．
故答案为：2
8
AD
；
（2）证明：如图，延长AE 至点F，使得EF
AE
，连接DF ，则
2
AF
EF
AE
AE
．
∵E 是BD 中点，
∴DE
BE
，
在EDF
和EBA
中，
DE
BE
DEF
BEA
EF
EA
∴
SAS
EDF
EBA
≌
．
∴
,
,
DF
AB
CD
B
EDF
F
EAB
，
∵
,
,
CDA
B
BAD
ADF
BDA
EDF
BDA
BAD
∴
ADC
ADF
，
在AFD
和ACD
中，
CD
DF
ADC
ADF
AD
AD
∴
SAS
AFD
ACD
≌
．
∴AC
AF
，
∴
2
AC
AE
；
（3）解：
2
,
EF
AD EF
AD
．
理由：如图3，延长DA 交EF 于点P，延长AD 到M，使得DM
AD
，连接BM ．
由（1）可知，
SAS
BDM
CDA
≌
∴BM
AC
M
CAD
，
AC
AF
，
BM
AF
，
M
CAD
，
∴AC
BM
∥
，
∴
180
BAC
ABM
，
,
AE
AB AF
AC
，
90
BAE
FAC
，
180
BAC
EAF
，
ABM
EAF
，
在ABM
和EAF
中，
AB
EA
ABM
EAF
BM
AF
∴
SAS
ABM
EAF
≌
，
∴AM
EF
BAM
E
，
，
AD
DM
，
2
AM
AD
，
2
EF
AD
，
EAM
BAM
BAE
E
APE
，
90
APE
BAE
，
EF
AD
．
【变式训练2-2】【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：
如图①，在ABC
中，AD 是BC 边上的中线，
5.4
AB
，
3
AD
，若AC 边的长度为奇数，求AC 的长．小
明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 至点E 使AD
DE
，连接BE ．由已知和作图
能得到EDB
ADC
≌
，所以AC
BE
．
【思考发现】
(1)如图①，EDB
ADC
≌
的理由是；
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
(2)请根据小明的方法思考，直接写出AC 的长可能为（写一个值即可）；
【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、
证明）的结论集中到同一个三角形之中．
(3)如图②，AD 是ABC
的中线，BG 交AC 于G，AC
BF
．探究
AFG
与
GAF
的关系，并说明理由；
【深入探究】
(4)如图③，在ABC
和CDE
中，CA
CB
，CD
CE
，且
90
ACB
DCE
，连接
,
AD BE ，F 为AD 的
中点，连接FC 并延长交BE 于H，
4
CF
，
2
CH
，求BCE
的面积．
【答案】(1)B
(2)1（或3 或5 或7 或9 或11）
(3)
AFG
GAF
，理由见解析
(4)8
【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到EDB
ADC
≌
；
（2）根据三角形三边的关系先得到BE 的范围，再由BE
AC
，且AC 边的长度为奇数，这一条件求解即
可；
（3）同理可证EDB
ADC
≌
，可得
CAD
E
，再由AC
BF
，转化边的关系求解角度的关系即可；
（4）添加辅助线，延长CF 至点G 使GF
CF
，连接GD ，同理可证明GFD
CFA
≌
，再证明BCE
GDC
≌
，
由此可得BE
CG
，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵AD 是BC 边上的中线，
∴BD
CD
，
在EDB
与ADC
中，
BD
CD
BDE
ADC
DE
AD
，
∴
EDB
ADC SAS
≌
，
∴EDB
ADC
≌
的理由是B；
（2）解：∵EDB
ADC
≌
，
∴BE
AC
，
3
DE
AD
，
∴
3
3
6
AE
AD
DE
，
在ABF
中，AE
AB
BE
AE
AB
，
即6
5.4
6
5.4
BE
，即0.6
11.4
BE
∵AC 边的长度为奇数，且BE
AC
，
∴AC 的长可能为1 或3 或5 或7 或9 或11；
（3）解：
AFG
GAF
，理由如下：
延长AD 至点E 使AD
DE
，连接BE ，如图，
同理可证
EDB
ADC SAS
≌
，
∴
GAF
E
，BE
AC
，
∵AC
BF
．
∴BE
BF
，
∴
BFD
E
，
∵
BFD
AFG
，
∴
AFG
E
，
∴
AFG
GAF
；
（4）解：延长CF 至点G 使GF
CF
，连接GD ，如图，
同理可知
GFD
CFA SAS
≌
，
∴GD
AC
BC
，
GDF
CAF
，
ACF
G
，
∵
90
ACB
DCE
，
∴
180
BCE
ACD
，
∵
180
ACD
CAD
ADC
，
∵
GDF
CAF
，
∴
180
ACD
GDF
ADC
，
即
180
ACD
GDC
，
∴
BCE
GDC
，
在BCE
与GDC
中，
BC
GD
BCE
GDC
CE
CD
，
∴
BCE
GDC SAS
≌
，
∴
2
8
BE
CG
CF
，
CBE
G
，
∵
90
ACB
，
∴
90
BCH
ACF
，
∵
ACF
G
，
∴
90
BCH
G
BCH
CBE
，
即
90
CHB
，则CH
BE
，
∴
1
1
2 8
8
2
2
BCE
S
CH
BE
．
题型3
全等三角形模型之截长补短模型
例5．如图，AD
BC
∥
，点E 在线段AB 上，DE
CE
、
分别是
ADC
、
BCD
的角平分线，
(1)线段DE 与CE 有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若
3
AD
，
2
BC
，求CD 的长．
【答案】(1) DE
CE
，理由见解析
(2)5
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）先根据角平分线得2
,2
EDC
ADC
DCE
BCD
，再根据AD
BC
∥
就可得出
90
EDC
DCE
∠
∠
，
即可得出结论；
（2）在DC 上截取
3
DF
AD
，先证
ADE
FDE
△
≌△
，再证BCE
FCE
≌
，即可得出答案．
【详解】（1）解：DE
CE
，理由如下：
DE
CE
、
分别是
ADC
、
BCD
的角平分线，
2
,
2
ADC
EDC
BCD
DCE
，
AD
BC
，
180
ADC
BCD
，
2
2
180
EDC
DCE
，
90
EDC
DCE
，
90
DEC
，
DE
CE
；
（2）解：如图，在DC 上截取
3
DF
AD
，连接EF ，
DE
CE
、
分别是
ADC
、
BCD
的角平分线，
,
EDC
ADE
DCE
BCE
，
在
ADE
和
FDE
中，
AD
FD
ADE
FDE
DE
DE
，
SAS
ADE
FDE
≌
，
A
DFE
，
AD
BC
，
180
A
B
，
180
DFE
CFE
，
B
CFE
，
在BCE
和
FCE
△
中，
BCE
FCE
B
EFC
CE
CE
，
AAS
BCE
FCE
≌
，
2
BC
CF
，
2
3
5
CD
CF
DF
．
例6．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵
活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问
题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形ABCD 中，AB
AD
，
E ，F 分别是直线BC ，CD上的点．
(1)如图①，若
90
ABC
ADC
，E ，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
，试探究线段
EF ，BE ，DF 之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
，连接AG ，
请你帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若
180
ABC
ADC
，点E 在CB 的延长线上，且BE
CD
，点F 在CD的延长线上，若
EF
BE
DF
，请探究
EAF
与
BAD
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) EF
BE
DF
，理由见详解；
(2)
1
180
2
EAF
DAB
，理由见详解
【分析】（1）延长CB 到点G ，使BG
DF
，连接AG ，通过证明ABG
ADF
≌
，得到对应角、对应边相
等，继而得证
AEF
AEG
△
≌△
，得到EF
EG
BE
DF
．
（2）在DC 的延长线上取一点G ，使得DG
BE
，连接AG ，通过证明
ABE
ADG
△
≌△
，得到对应角、对
应边相等，继而得证AEF
AGF
≌
，得到
FAE
FAG
，根据圆周角为360，得到
1
180
2
EAF
DAB
．
【详解】（1）解：线段EF
BE
DF
，
，
之间的数量关系为：EF
BE
DF
，理由：
如图，延长CB 到点G ，使BG
DF
，连接AG ，
∵
90
ABC
ADC
，
∴
90
ABG
ADF
，
又∵AB
AD
，BG
DF
，
∴
SAS
ABG
ADF
≌
，
∴
BAG
DAF
AF
AG
，
，
∴
FAG
DAB
，
∵
1
2
EAF
BAD
，
∴
1
2
EAF
FAG
，
∴
EAF
EAG
，
在
AEF
△
和
AEG
△
中，
AE
AE
EAF
EAG
AF
AG
，
∴
SAS
AEF
AEG
≌
，
∴EF
EG
BE
BG
，
∴EF
BE
DF
；
（2）解：
1
180
2
EAF
DAB
，理由：
如图，在DC 的延长线上取一点G ，使得DG
BE
，连接AG ，
180
ABC
ADC
，
180
ABC
ABE
，
ADC
ABE
，
AB
AD
，DG
BE
，
SAS
ABE
ADG
≌
，
AG
AE
DAG
BAE
，
，
EF
BE
DF
DG
BE
，
，
EF
DG
DF
GF
，
在
AEF
△
和AGF
中，
AE
AG
FA
FA
EF
GF
，
SSS
AEF
AGF
≌
，
FAE
FAG
，
360
FAE
EAG
FAG
，
EAG
BAE
BAG
，
2
360
FAE
BAE
BAG
，
DAG
BAE ，
2
360
FAE
DAG
BAG
，
即2
360
EAF
DAB
，
1
1
360
180
2
2
EAF
DAB
DAB
．
【技巧总结】
1. 截长：在长线段上截取一段等于短线段，构造全等。
2. 补短：延长短线段使等于长线段，再证全等。
3. 目的：将分散的线段集中到同一三角形中，利用全等证明和差关系（如\(a+b=c\)）。
【变式训练3-1】“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图
形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助
以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形ABCD 中，
AB
AD
E
F
，，
分别是直线BC
CD
，
上的点．
(1)如图1，若AB
CB
AD
CD
E
，
，
，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
，试探究线段EF ，
BE
DF
，
之间的数量关系．
数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
．连接AG ，先证ABG
与
ADF
△
的全等，
再证
AEF
△
与
AEG
△
的全等，可得到EF ，BE ，DF 之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段EF ，
BE ，FD 之间的数量关系为
___________．
(2)如图2，若
180
ABC
ADC
，点E ，点F 分别在线段CB ，DC 的延长线上，且满足
1
2
EAF
BAD
，
试探究线段EF ，BE
DF
，
之间的数量关系，并请说明理由．
(3)如图3，若
180
ABC
ADC
不变，点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的延长线上，若EF
BE
DF
，
试探究
EAF
与
BAD
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) EF
BE
DF
(2)
DF
BE
EF
，理由如下：
在DF 上截取DG
BE
，连接AG ，
180 ,
180
ABC
D
ABC
ABE
，
ABE
D
，
在
ADG
△
和ABE
中，
DG
BE
ABE
D
AD
AB
，
ADG
ABE SAS
≌
，
,
DAG
EAB AE
AG
，
EAG
BAD
，
1
2
FAE
BAD
，
1
2
FAE
EAG
，
EAF
GAF
，
在
EAF
△
和GAF
中，
AF
AF
EAF
GAF
AE
AG
EAF
GAF SAS
≌
，
EF
FG
，
DF
FG
DG
，
DF
EF
BE
．
(3)
1
180
2
EAF
BAD
∠
∠
，
理由：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得DG
BE
，连接AG ，
180 ,
180
ABC
ADC
ABC
ABE
，
ADG
ABE
，
在ABE
和
ADG
△
中，
AB
AD
ABE
ADG
EB
DG
，
SAS
ABE
ADG
≌
，
,
AG
AE
DAG
BAE
，
,
EF
BE
DF DG
BE
，
EF
DG
DF
FG
，
在
AEF
△
和AFG
中
AF
AF
EA
AG
EF
FG
，
SSS
AEF
AGF
≌
，
FAE
FAG
，
360
FAE
EAG
GAF
，
2
360
FAE
GAB
BAE
，
2
(
)
360
FAE
GAB
DAG
，
即2
360
EAF
DAB
，
1
180
2
EAF
BAD
．
【分析】（1）延长CB 到点G ，使BG
DF
，连接AG ，可判定
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
，进而得出
,
BAG
DAF AF
AG
，再判定
AEF
AEG
△
≌△
，可得结论；
（2）如图2：在DF 上截取DG
BE
，连接AG ，先判定
(SAS)
ABE
ADG
≌
，进而得出
,
BAE
DAG AE
AG
，再判定
AEF
AEG
△
≌△
，可得结论；
（3）在DC 延长线上取一点G ，使得DG
BE
，连接AG ，先判定
SAS
ABE
ADG
≌
，再判定
SSS
AEF
AGF
≌
，得出
FAE
FAG
，最后根据
360
FAE
EAG
GAF
，推导得到
2
360
EAF
DAB
，即可得出结论．
【详解】（1）解：结论：EF
BE
DF
．
理由：如图1，延长CB 到点G ，使BG
DF
，连接AG ，
在ABG
和
ADF
△
中，
BA
DA
ABG
ADF
BG
DF
，
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
，
,
BAG
DAF AF
AG
，
FAG
DAB
，
1
2
EAF
DAB
，
1
2
EAF
FAG
，
EAF
EAG
，
在
AEF
△
和
AEG
△
中，
AE
AE
EAF
EAG
AF
AG
，
(SSS)
AEF
AEG
≌
，
EF
EG
BE
BG
，
EF
BE
DF
．
（2）略
（3）略
【变式训练3-2】在四边形ABCD 中，AB
AD
．
(1)若
120
BAD
，
90
B
ADC
，点E，F 分别是BC ，CD上的点，且
60
EAF
，试探究线段BE ，EF ，
FD 之间的数量关系．小亮同学认为：延长FD 到点G，使DG
BE
，连接AG ，如图1，先证明
ABE
ADG
△
≌△
，
再证明AEF
AGF
≌
，则可得到BE ，EF ，FD 之间的数量关系．请你：
①直接写出
GAF
的度数：
GAF
______ ；
②根据小亮同学的思路，直接判断BE ，EF ，FD 之间的数量关系：______．
(2)如图2，若
180
B
D
，点E，F 分别是BC ，CD上的点，
1
2
EAF
BAD
，（1）中的结论是否仍
然成立？请说明理由．
(3)如图3，若
180
ABC
ADC
，点E，F 分别是CB ，CD延长线上的点，若EF
BE
DF
，试判断
EAF
和
BAD
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①60；②EF
BE
FD
(2)结论仍然成立，理由见解析
(3)
1
180
2
EAF
DAB
，理由见解析
【分析】（1）延长FD 到点G，使DG
BE
，连接AG ，则GF
BE
FD
，先依据“SAS ”判定ABE
和
ADG
△
全等得AE
AG
，BAE
DAG
，进而得
60
EAF
GAF
，再依据“SAS ”判定
AEF
△
和AGF
全等
得EF
GF
，由此即可得出BE ，EF ，FD 之间的数量关系；
（2）延长FD 到H，使DH
BE
，连接AH ，则HF
BE
FD
，先证明
B
ADH
，进而可依据“SAS ”
判定ABE
和ADH
全等，则AE
AH
，BAE
HAD
，继而结合已知条件可得出AF 是
HAE
的平分线，
由此可依据“SAS ”判定
AEF
△
和
AHF
△
全等，则EF
HF
，据此即可得出答案；
（3）在DC 延长线上取一点G，使得DG
BE
，连接AG ，先判定ADG
ABE
≌
，再判定AEF
AGF
≌
，
得出
FAE
FAG
，最后根据
360
FAE
FAG
GAE
，推导得到2
360
FAE
DAB
，即可得出结论．
【详解】（1）解：①延长FD 到点G，使DG
BE
，连接AG ，如图1 所示：
∴GF
DG
FD
BE
FD
，
∵
90
B
ADC
，
∴
90
B
ADG
，
在ABE
和
ADG
△
中，
90
AB
AD
B
ADG
DG
BE
，
∴
SAS
ABE
ADG
≌
，
∴AE
AG
，
BAE
DAG
，
∵
120
BAD
，
60
EAF
，
∴
120
60
60
BAE
DAF
BAD
EAF
，
∴
60
DAG
DAF
，即
60
GAF
DAG
DAF
，
∴
60
EAF
GAF
，
②在
AEF
△
和AGF
中，
AE
AG
EAF
GAF
AF
AF
∴
SAS
AEF
AGF
≌
，
∴EF
GF
，
∵GF
BE
FD
，
∴EF
BE
FD
，
∴BE ，EF ，FD 之间的数量关系是：EF
BE
FD
，
故答案为：①60，②EF
BE
FD
．
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
延长FD 到H，使DH
BE
，连接AH ，如图2 所示：
∴HF
DH
FD
BE
FD
，
∵
180
B
ADC
，
180
ADH
ADC
，
∴
B
ADH
，
在ABE
和ADH
中，
AB
AD
ADH
B
DH
BE
，
∴
SAS
ABE
ADH
≌
，
∴AE
AH
，
BAE
HAD
，
∴
BAD
BAE
EAF
HAD
EAF
HAE
，
∵
1
2
EAF
BAD
，
∴
1
2
EAF
HAE
，
∴AF 是
HAE
的平分线，
∴
EAF
HAF
，
在
AEF
△
和
AHF
△
中，
AE
AH
EAF
HAF
AF
AF
，
∴
SAS
AEF
AHF
≌
，
∴EF
HF
，
又∵HF
BE
FD
，
∴EF
BE
FD
，
∴结论仍然成立．
（3）解：
1
180
2
EAF
DAB
，
理由：如图3，在DC 延长线上取一点G，使得DG
BE
，连接AG ，
∵
180
ABC
ADC
，
180
ABC
ABE
，
∴
ADC
ABE
，
在
ADG
△
和ABE
中，
AD
AB
ADC
ABE
DG
BE
，
∴
SAS
ADG
ABE
≌
，
∴AG
AE
，
DAG
BAE
，
∵EF
BE
FD
DG
FD
GF
，
∴EF
GF
，
在
AEF
△
和AGF
中，
AG
AE
AF
AF
EF
GF
，
∴
SSS
AEF
AGF
≌
，
∴
FAE
FAG
，
∵
360
FAE
FAG
GAE
，
∴
2
360
FAE
GAB
BAE
，
∴
2
360
FAE
GAB
DAG
，
即2
360
FAE
DAB
，
∴
1
180
2
EAF
DAB
．
题型4
全等三角形模型之手拉手模型
例7．综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：已知，在
ABC
中，AB
AC
，
90
BAC
，
45
B
ACB
，点D 是直线BC 上的一个动
点，连接AD ，在直线AD 的右侧作
=90
DAE
，且AE
AD
，
45
ADE
AED
，连接DE ，CE ．
实践探究：
(1)如图1 是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D 在线段BC 上，请直接写出线段BD 与CE 的数
量关系与位置关系：①________，②________；
(2)如图2 是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D 在线段BC 的延长线上，请判断（1）中的结论
是否成立，并说明理由；
(3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点D 在射线BC 上运动的过程中，如果
6
BC
，
4
CD
，请直接写出线段CE 的长．
【答案】(1)①BD
CE
；②BD
CE
(2)成立，理由见解析
(3)
2
CE
或10
【分析】（1）通过SAS 证明
CAE
BAD
≌
△
△
，可推出BD
CE
，再根据
45
B
ACE
和
45
ACB
推
出BD
CE
；
（2）当点D 在BC 延长线上时，通过SAS 证明BAD
CAE
≌
，传递边与角的等量关系，可验证（1）的结
论依然成立；
（3）分点D 在线段BC 上和延长线上两种情况，结合前两题的全等三角形结论，分别计算出CE ．
【详解】（1）解：
90
BAC
，即
90
BAD
CAD
，
=90
DAE
，即
90
CAE
CAD
，
CAE
BAD
，
在CAE
和BAD
中，
A
A
CAE
B D
B
AD
E
AC
A
，
SAS
CAE
BAD
≌
，
BD
CE
，
45
B
ACE
，
45
ACB
，
90
BCE
ACB
ACE
，
BC
CE
，即BD
CE
．
（2）解：成立，理由如下：
90
BAC
，
=90
DAE
，
BAC
CAD
DAE
CAD
，
BAD
CAE
，
在DAB
和EAC
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
，
SAS
DAB
EAC
≌
，
BD
CE
，
45
ACE
B
，
45
ACB
，
90
BCE
ACB
ACE
，
CE
BC
，即CE
BD
．
（3）解：当点D 在BC 上时，
由（1）可知
CAE
BAD
≌
△
△
，
6
BC
，
4
CD
，
6
4
2
BD
BC
CD
，
2
CE
BD
；
当点D 在BC 延长线上时，
由（2）可知DAB
EAC
≌
，
6
BC
，
4
CD
，
6
4
10
BD
BC
CD
，
10
CE
BD
，
综上，
2
CE
或10．
例8．综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】
（1）如图1，在
ABC
和
AEF
△
中，AB
AC
，AE
AF
，
BAC
EAF
，连接BE ，CF ，延长BE 交CF
于点D．则BE 与CF 的数量关系为：______．
【类比探究】
（2）如图2，在
ABC
和
AEF
△
中，AB
AC
，AE
AF
，
120
BAC
EAF
，连接BE ，CF ，延长BE ，
FC 交于点D．请猜想BE 与CF 的数量关系及
BDC
的度数，并说明理由．
【答案】（1）BE
CF
；（2）BE
CF
，
60
BDC
，见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角．
（1）证明
SAS
ABE
ACF
≌
，即可得到BE
CF
；
（2）根据等腰三角形的性质，证明
SAS
ABE
ACF
≌
即可得出结论．
【详解】解：（1）∵
BAC
EAF
，
∴
BAC
CAE
EAF
CAE
，
即
BAE
CAF
，
在ABE
和
ACF
△
中，
AB
AC
BAE
CAF
AE
AF
，
∴
SAS
ABE
ACF
≌
，
∴BE
CF
，
故答案为：BE
CF
．
（2）BE
CF
，
60
BDC
，
理由如下：∵
BAC
EAF
，
∴
BAC
EAC
EAF
EAC
，
即
BAE
CAF
，
在ABE
和
ACF
△
中，
AB
AC
BAE
CAF
AE
AF
，
∴
SAS
ABE
ACF
≌
，
∴
AEB
AFC
Ð
= Ð
，BE
CF
，
∵
120
EAF
，AE
AF
，
∴
30
AEF
AFE
，
∴
30
30
60
BDC
BEF
EFD
AEB
AFC
．
【技巧总结】
1. 识特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，拉手线相连。
2. 证全等：用SAS 证拉手线所在三角形全等。
3. 得结论：拉手线相等，夹角等于顶角，连线与底边夹角相等，常用于旋转全等问题。
【变式训练4-1】在ABC
中，AB
AC
，点D 是直线BC 上一点（不与B、C 重合），E 是ABC
外一点，
连接AD
AE
、
，已知AD
AE
，
DAE
BAC
，连接CE
DE
，
．
(1)如图1，点D 在线段BC 上，如果
90
BAC
，则
ACE
______度：
(2)如图2，当点D 在线段BC 上，试判断
ADE
与
ACE
之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D 在线段CB的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【答案】(1) 45
(2)
ADE
ACE
，理由见解析
(3)（2）中的结论不成立，当点D 在CB 的延长线上时，
180
ADE
ACE
．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键．
（1）证BAD
CAE
≌
即可求解；
（2）证BAD
CAE
≌
即可求解；
（3）证BAD
CAE
≌
即可求解．
【详解】（1）解：∵
DAE
BAC
，
∴
DAE
DAC
BAC
DAC
，
即：
CAE
BAD
，
∵AB
AC
，AD
AE
，
∴BAD
CAE
≌
ADE
ACE
∵
90
BAC
，AB
AC
，
45
ACE
ABD
故答案为：45
（2）解：
ADE
ACE
，理由如下：
,
,
AB
AC AD
AE
，
,
ABC
ACB
ADE
AED
DAE
BAC
，
又
1
1
180
,
180
2
2
ABC
BAC
ADE
DAE
，
ABC
ADE
，
,
BAC
DAE
BAC
DAC
DAE
DAC
即：
BAD
CAE
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
，
(SAS),
BAD
CAE
△
≌△
ABC
ACE
ADE
ACE
；
（3）解：（2）中的结论不成立，当点D 在CB 的延长线上时，
180
ADE
ACE
．理由如下：
如图所示：
DAE
BAC
，
DAE
BAE
BAC
BAE
，
即：
DAB
EAC
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
，
(SAS),
BAD
CAE
△
≌△
ABD
ACE
,
,
AB
AC AD
AE
,
ABC
ACB
ADE
AED
DAE
BAC
又
1
1
180
,
180
2
2
ABC
BAC
ADE
DAE
，
,
ABC
ADE
180
ABD
ABC
180
ADE
ACE
．
【变式训练4-2】已知
ABC
与
ADE
中，AB
AC
，AD
AE
，
BAC
EAD
，连接BD 与EC 相交于点
F ，BD 与AC 相交点G ．
(1)猜想：如图1 所示，当
60
BAC
时，则
BFC
______；
(2)探究：如图2 所示，当
90
BAC
时，请求出
BFC
的度数；
(3)拓展延伸：如图3 所示，当AB
CE
∥
，
5
AB
，
8
EC ，请求出DF 的长度．
【答案】(1)60
(2)
90
BFC
(3)3
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定；
（1）先证明
SAS
BAD
CAE
≌
得到
ABD
ACE
，再在
BAG
△
和
CFG
△
中利用三角形内角和得到
BFC
BAC
，根据
60
BAC
，得到
60
BFC
；
（2）先证明
SAS
BAD
CAE
≌
得到
ABD
ACE
，再在
BAG
△
和
CFG
△
中利用三角形内角和得到
BFC
BAC
，根据
90
BAC
，得到
90
BFC
；
（3）由（1）得BAD
CAE
≌
，
BFC
BAC
，则BD
CE
，再由AB
CE
∥
，可得
ACE
BAC
BFC
ABF
，得到GF
GC
，AG
BG
，推出BF
AC
AB
，最后根据
DF
BD
BF
EC
AB
代入求值即可．
【详解】（1）解：
BAC
EAD
，
BAC
CAD
EAD
CAD
，
BAD
CAE
，
在BAD
和CAE
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
，
SAS
BAD
CAE
≌
，
ABD
ACE
．
在
BAG
△
和
CFG
△
中，
AGB
FGC
，
ABD
ACE
，
BFC
BAC
，
∵
60
BAC
，
∴
60
BFC
，
故答案为：60．
（2）解：
BAC
EAD
BAC
CAD
EAD
CAD
BAD
CAE
在BAD
和CAE
中
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
SAS
BAD
CAE
≌
ABD
ACE
．
在
BAG
△
和
CFG
△
中
AGB
FGC
，
ABD
ACE
BFC
BAC
90
BAC
90
BFC
．
（3）解：由（1）得BAD
CAE
≌
，
BFC
BAC
，
BD
CE
，
∵AB
CE
∥
，
ACE
BAC
，
BFC
ABF
，
BFC
BAC
，
ACE
BAC
BFC
ABF
，
GF
GC
，AG
BG
，
AG
GC
BG
GF
，
BF
AC
AB
．
5
AB
，
8
EC ，
3
DF
BD
BF
EC
AB
．
1．在
ABC
中，
6
AC
，中线
7
AD
，则AB 的长度不可能是（
）
A．7
B．9
C．17
D．19
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边
关系求解是解题的关键．延长AD 至E，使DE
AD
，连接CE ，然后利用“边角边”证明
ABD
△
和ECD
全
等，根据全等三角形对应边相等可得AB
CE
，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意
两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围．
【详解】解：如图，延长AD 至E，使DE
AD
，连接CE ，
∵AD 是
ABC
的中线，
∴BD
CD
，
在
ABD
△
和ECD
中，
BD
CD
ADB
EDC
AD
DE
，
∴
SAS
ABD
ECD
≌
△
△
，
∴AB
CE
，
∵
7
AD
，
∴
7
7
14
AE
，
∵14
6
20
，14
6
8
，
∴8
20
CE
，
即8
20
AB
，
AB 的长度不可能是7．
故选：A．
2．如图，在
ABC
中，
60
A
，
ABC
和
ACB
的平分线BD 、CE 相交于点O，BD 交AC 于点D，CE
交AB 于点E，若已知
ABC
周长为20，
7
BC
，
:
5 : 4
AE
AD
，则AE 长为（
）
A．8
3
B．10
3
C．14
3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线
构造全等三角形是解题的关键．
在BC 上截取点F 使得BF
BE
，连接OF ，根据角平分线的定义得到
1
2
OBE
OBF
ABC
，
1
2
OCD
OCF
ACB
，进而得到
60
COD
BOE
OBC
OCB
，先证明OBF
OBE
≌
，得到
60
BOF
BOE
，再证明OCF
OCD
≌
，推出BC
BF
CF
BE
CD
，再利用三角形的周长公式求
出AE 的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，在BC 上截取点F 使得BF
BE
，连接OF ，
∵
60
A
，
∴
180
120
ABC
ACB
A
，
∵
ABC
和
ACB
的平分线BD 、CE 相交于点O，
∴
1
2
OBE
OBF
ABC
，
1
2
OCD
OCF
ACB
，
∴
1
1
1
120
60
2
2
2
OBC
OCB
ABC
ACB
，
∴
60
COD
BOE
OBC
OCB
，
∵BF
BE
，
OBF
OBE
，OB
OB
，
∴
SAS
OBF
OBE
≌
，
∴
60
BOF
BOE
，
∴
180
60
60
60
COF
，
∴
COF
COD
∠
∠
，
又∵
OCF
OCD
，OC
OC
，
∴
ASA
OCF
OCD
≌
，
∴CF
CD
，
∴BC
BF
CF
BE
CD
，
∵
:
5 : 4
AE
AD
，
∴设
5
AE
x
，
4
AD
x
，
∵
ABC
周长为20，
7
BC
，
∴
2
20
AB
AC
BC
AE
BE
CD
AD
BC
AE
AD
BC
，
即5
4
14
20
x
x
，
解得
2
3
x
，
∴
2
10
5
3
3
AE
，
故选：B．
3．如图，在
ABC
中，
90
ABC
，AB
BC
，D 是线段BC 上一点，连接AD ，过点A 作AE
AD
，且
AE
AD
，连接EC 交AB 于点F ，若
3.3
BD
，
2.5
BF
，则AB 的长度为（
）
A．8.3
B．8.5
C．8.7
D．9.1
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点E 作EG
AB
于点G ，则
90
AGE
EGB
，先证明
AEG
DAB
≌
△
△
得到EG
AB
，
3.3
AG
BD
，
则有EG
BC
，进而推出EFG
CFB
≌
，得到
2.5
GF
BF
，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点E 作EG
AB
于点G ，
则
90
AGE
EGB
，
∴
90
EAG
AEG
，
∵AE
AD
，
∴
90
EAD
，
∴
90
EAG
DAB
，
∴
AEG
DAB
，
又∵
90
AGE
DBA
，AE
AD
，
∴
AAS
AEG
DAB
≌
，
∴EG
AB
，
3.3
AG
BD
，
∵AB
BC
，
∴EG
BC
，
又∵
90
EGF
CBF
，
EFG
CFB
，
∴
AAS
EFG
CFB
≌
，
∴
2.5
GF
BF
，
∴
3.3
2.5
2.5
8.3
AB
AG
GF
BF
．
故选：A．
4．在等边
ABC
中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将
BCD
△
绕点B 顺时针旋转60°得到BAE
，连接ED ，
若
6
BC
，
5
BD
，则以下五个结论：（
）
①
BDE
是等边三角形；②
/ /
AE
BC ；③
ADE
的周长是11；④
ADE
BDC
；⑤
AED
ABD
其中正确的个数是（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】由旋转得到BD=BE,根据旋转角60°即可判断①；根据旋转得到△BCD≌△BAE，由此证得
∠BAE=∠C=60°，即可判断②；利用②的全等得到CD=AE，即可推导
ADE
的周长=AC+BD，由此判断③；
利用全等及平行线判断∠AEB 的大小，即可判断④；利用“8 字形”即可判断⑤.
【详解】由旋转得到BD=BE，∠DBE=60°，
∴
BDE
是等边三角形，故①正确；
由旋转得到△BCD≌△BAE，
∴∠BAE=∠C=60°，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∴∠ABC=∠BAE，
∴AE∥BC，故②正确；
∵△BCD≌△BAE，
∴AE=CD,
∵
BDE
是等边三角形，
∴DE=BD=5，
∵AC=BC=6，
∴
ADE
的周长=AD+AE+DE=AC+BD=11，故③正确；
∵∠ABC=∠DBE=60°，点D 在AC 上，
∴∠CBE<120°,
∵AE∥BC,
∴∠CDB=∠AEB>60°，
∵∠BDE=60°，
∴∠ADE<60°，
∴∠ADE<∠BDC,故④错误；
设AB 交DE 于G，
∵∠BAE=∠BDE=60°，∠AGE=∠BGD,
∴180°-∠BAE-∠AGE=180°-∠BDE-∠BGD,
∴
AED
ABD
,故⑤正确，
故选：C.
5．如图，在等边
ABC
中，点E 在线段AB 的延长线上，点D 在直线BC 上，且ED
EC
．若
ABC
的边
长为1，
3
AE
，则CD _____．
【答案】4
【分析】过点E 作EF
CD
于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出
2
BE
，
60
ABC
，根据
直角三角形的性质得出
30
BEF
，根据含30角的直角三角形的性质推出
1
1
2
BF
BE
，根据等腰三角
形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了含30角的直角三角形的性质，熟记含30角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点E 作EF
CD
于点F，
∵
ABC
是等边三角形，边长为1，
3
AE
，
∴
2
BE
AE
AB
，
60
ABC
，
∵EF
CD
，
∴
90
EFB
，
∴
90
60
30
BEF
，
∴
1
1
2
BF
BE
，
∴
2
CF
BF
BC
，
∵ED
EC
，EF
CD
，
∴
2
DF
CF
，
∴
4
CD
DF
CF
．
故答案为：4．
6．如图已知
ABC
中，AD 为BC 边上的中线，AE 平分
CAD
交BC 边于点E ，
90
BAD
CAE
，
5
AD ，
则AC _____．
【答案】10
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定
和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长AD 至点F ，使得AD
DF
，连接BF ，则
10
AF =
，
证明
SAS
ACD
FBD
≌
，得到AC
BF
，
C
DBF
，再推出
BAD
ABF
，从而得到AF
BF
AC
，
即可得解．
【详解】解：如图，延长AD 至点F ，使得AD
DF
，连接BF ，
5
AD
，
10
AF
，
AD
为BC 边上的中线，
BD
CD
，
在ACD
和FBD
中，
AD
FD
ADC
FDB
CD
BD
，
SAS
ACD
FBD
≌
，
AC
BF
，
C
DBF
，
AE
平分
CAD
CAE
DAE
，
90
BAD
CAE
，
90
BAD
DAE
BAE
，
90
ABE
AEB
，
AEB
C
CAE
Q
，
90
ABE
C
CAE
ABE
DBF
CAE
ABF
CAE
，
BAD
ABF
，
AF
BF
，
10
AC
AF
，
故答案为：10．
7．如图，
ABC
的边AC 与ABE
的边BE 相交于点D ，BE
AE
，过点C 作CF
BE
，交BD 于点F ，且
DE
DF
，CF
BF
，若
4
AE
，
3
DE
，则
ABC
的面积是___________．
【答案】28
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角(ASA )”判定ADE
和CDF
全等，利用全等三角
形对应边相等的性质得出AE
CF
；再根据三角形面积公式的应用：将ABC
的面积拆分为ABD
和CBD
的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：∵BE
AE
，CF
BE
，
∴
90
E
DFC
，
在ADE
和CDF
中：
E
DFC
DE
DF
ADE
CDF
，
∴ADE
CDF
≌
，
又∵
4
AE
，
3
DE
，
∴
4
AE
CF
，
3
DE
DF
，
∵CF
BF
，
∴
4
BF
∴
4
3
7
BD
BF
DF
，
1
1
7 4
14
2
2
ABD
S
BD
AE
，
1
1
7 4
14
2
2
CBD
S
BD CF
，
∴
14 14
28
ABC
ABD
CBD
S
S
S
．
故答案为：28 ．
8．已知：
ABC
中，
,
90
AB
AC
BAC
，点D 为直线BC 上一点，过点B 作BG 直线AD 于点G ，过
点C 作CF 直线AD 于点F ．
（1）如图1，若
7,
2
BG
CF
，则GF ___________；
（2）当点D 在直线BC 上运动时，
10
FG
，
6
BG
，则CF ___________．
【答案】
5
16 或4/4 或16
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”．
（1）证明
AAS
AFC
BGA
≌
，则
7,
2
BG
AF
CF
AG
，可得
5
GF
AF
AG
；
（2）分三种情况讨论，证明
AAS
AFC
BGA
≌
，再根据线段和差求解即可．
【详解】解：（1）∵BG 直线AD ，CF 直线AD ，
∴
90
AFC
BGA
，
∵
90
BAC
，
∴
90
ABG
CAF
BAG
，
∵AB
AC
∴
AAS
AFC
BGA
≌
，
∴
7,
2
BG
AF
CF
AG
，
∴
7
2
5
GF
AF
AG
，
故答案为：5；
（2）当点D 线段BC 延长线上时，
∵BG 直线AD ，CF 直线AD ，
∴
90
AFC
BGA
，
∵
90
BAC
，
∴
90
ABG
CAF
BAG
，
∵AB
AC
∴
AAS
AFC
BGA
≌
，
∴
6
AF
BG
，
10
6
4
AG
CF
FG
AF
；
当点D 线段BC 上时，
∵BG 直线AD ，CF 直线AD ，
∴
90
AFC
BGA
，
∵
90
BAC
，
∴
90
ABG
CAF
BAG
，
∵AB
AC
∴
AAS
AFC
BGA
≌
，
∴
6
AF
BG
，
10
6
16
AG
CF
FG
AF
；
当点D 线段CB 延长线上时，
∵BG 直线AD ，CF 直线AD ，
∴
90
AFC
BGA
，
∵
90
BAC
，
∴
90
ABG
CAF
BAG
，
∵AB
AC
∴
AAS
AFC
BGA
≌
，
∴
6
AF
BG
，
10
6
4
AG
CF
FG
AF
，
过点A 作BC 平行线，再过点C 作平行线的垂线，垂足为H ，
∵
,
90
AB
AC
BAC
，AH
BC
∥
，
∴
45
ACB
CAH
，
∴
45 ,
45
CAF
ACF
，
∴CF
AF
，
故点D 线段CB 延长线上不成立，舍，
综上：
16
CF
或
4
CF
，
故答案为：16 或4．
9．【材料阅读】
小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板．
如图：在
ABC
中，
90
ABC
，AB
CB
；在DEF
中，
90
DEF
，
30
EDF
，并提出了相应的
问题．
如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM
DF
，垂足
为M，过点C 作CN
DF
，垂足为N．
(1)图1 中，
3
8
AM
CN
,
，求MN 的长，请补充小明的过程．
90
ABC
，
90
ABM
CBN
，
∵AM
DF
，CN
DF
，
90
AMB
，
90
CNB
，
90
ABM
BAM
，
BAM
CBN
，…
(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP
DE
，
垂足为P，猜想AE ，PE ，CP 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若
8,
2
AE
BE
，
连接CE ，请求出
ACE
△
的面积．
【答案】(1)见解析
(2) PE
PC
AE
，理由见解析
(3) 24
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．
（1）根据两个三角形全等的判定定理得到
(AAS)
ABM
BCN
≌
，利用两个三角形全等的性质，得到
3
AM
BN
，
8
BM
CN
，即可得到
11
MN
MB
BN
；
（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到
ABE
BCP
≌△
△
，利用两个三角形全等的性质，得到AE
BP
，
BE
CP
，由图中BE
BP
PE
，即可得到三者的数量关系；
（3）延长FE ，过点C 作CP
FE
于P ，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到
ABE
BCP
≌△
△
，
从而
2
PC
BE
，
8
PB
AE
，则可求得PE ，延长AE ，过点C 作CF
AE
于F ，如图所示，由平行线
间的平行线段相等可得
6
CF
PE
，代入面积公式得
ACE
S
，即可得到答案．
【详解】（1）解：
90
ABC
，
90
ABM
CBN
，
∵AM
DF
，CN
DF
，
90
AMB
，
90
CNB
，
90
ABM
BAM
，
BAM
CBN
，
∵
BAM
CBN
，
90
AMB
CNB
Ð
= Ð
=
°，AB
BC
，
∴
(AAS)
ABM
BCN
≌
；
,
AM
BN BM
CN
，
∵
3
AM
，
8
CN
，
∴
11
MN
MB
BN
CN
AM
；
（2）解：结论：PE
PC
AE
．理由如下：
90
ABC
，
90
ABE
CBE
，
CP
BE
，
90
CPB
，
90
BCP
CBP
ABE
BCP
，
90
AEB
，
90
AEB
CPB
，
∵AB
BC
，
ABE
BCP
≌
，
AE
BP
，BE
CP
BE
BP
PE
，
PE
BE
BP
PC
AE
；
（3）解：延长FE ，过点C 作CP
FE
于P ，如图所示：
90
ABE
EBC
，
90
ABE
BAE
，
EBC
BAE
，
90
AEB
CPB
，AB
BC
，
∴
AAS
ABE
BCP
≌
，
2
PC
BE
，
8
PB
AE
，
8
2
6
PE
PB
BE
，
延长AE ，过点C 作CF
AE
于F ，如图所示：
AF
PE
CP
PE
，
，
AF
CP
∥
，
AF
PE
CF
AF
，
，
PE
CF
∥
，
由平行线间的平行线段相等可得
6
CF
PE
，
1
1
8 6
24
2
2
ACE
S
AE
CF
．
10．【问题初探】
ABC
和DBE
是两个都含有45角的大小不同的直角三角板．
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D 、B 、C 在同一直线上，AB
BC
，
90
ABD
CBE
，
DB
EB
，
ABD
CBE
△
≌△
．依据的是判定定理_________．
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【类比探究】
（2）当三角板ABC 保持不动时，将三角板DBE 绕点B 顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD 与CE
的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图（3），在四边形ABCD 中，
90
BAD
，AB
AD
，
3
4
BC
CD
，连接AC ，BD ，
45
ACD
，
A 到直线CD 的距离为7，请求出
BCD
△
的面积．
【答案】（1）B；（2）
AD
CE ，AD
CE
；（3）24
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可；
（2）先证明
SAS
DBA
EBC
≌
得到
AD
CE ，
ADB
CEB
，再延长AD 与CE 交于点O，证明
90
ODE
OED
即可得到AD
CE
；
（3）过A 作AC
AM
交CD 延长线于M，作AN
CD
交CD 于N，可证得
ABC
ADM
≌
△
△
，可得BC
DM
，
再由
14
CM
求出BC 和CD 的长即可．
【详解】解：（1）
AB
BC
，
90
ABD
CBE
，DB
EB
，
ABD
CBE
△
≌△
．依据的是判定定理SAS ，
故选：B；
（2）
AD
CE ，AD
CE
，理由如下：
∵
90
DBE
ABC
，
∴
90
DBA
EBC
DBC
，
∵
AB
BC
，DB
EB
，
∴
SAS
DBA
EBC
≌
，
∴
AD
CE ，
ADB
CEB
，
延长AD 与CE 交于点O，如图2，
∵
90
BDE
BED
，
∴
90
BDE
BEC
CED
，
∴
90
BDE
ADB
CED
，
∴
90
ODE
OED
，
∴
90
O
，
∴AD
CE
；
（3）过A 作AC
AM
交CD 延长线于M，作AN
CD
交CD 于N，如图3，
∵
45
ACD
，
∴
45
ACD
M
，
∴AC
AM
，
∵
90
BAD
，AB
AD
，
90
BAC
DAM
DAC
∴
SAS
ABC
ADM
≌
，
∴BC
DM
，
45
ACB
M
，
∴
90
ACD
ACB
ACD
，
∵A 到直线CD 的距离为7，
∴
7
AN
，
∵AC
AM
，
∴
2
14
CM
AN
，
∵
3
4
BC
CD
，
∴
BC
DM
BC
CD
CM
，
∴
6
BC
，
8
CD
，
∴
1
1
6 8
24
2
2
BCD
S
BC CD
．
11．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题：
（1）如图1，AD 是
ABC
的中线，
6
AB
，
4
AC
，写出一个符合条件的AD 的整数值．
【探究方法】
第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD 到E，使得DE
AD
；
②连接BE ．通过三角形全等把
,2
AB AC
AD
,
转化在ABE
中；
③利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB
BE
AE
AB
BE
．从而得到AD 的取值范围是
______，所以AD 的可能取值为______；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题解决】
（2）如图2，OA
OB
，OC
OD
，
180
AOB
COD
，连接AC
BD
，
，E 是AC 的中点，连接OE ，
若
20
COE
，求
D
的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若
90
AOB
，延长EO 交BD 于点F，
2
OF
，
5
OE
，求BOD
的面
积．
【答案】（1）1
5
AD
，2（或3 或4）；（2）
20
D
；（3）
10
BOD
S
△
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是
解题的关键．
（1）先证
SAS
ADC
EDB
≌
，推出
4
BE
AC
，再利用三角形三边关系得出AB
BE
AE
AB
BE
，
即可求解；
（2）延长OE 到F 使EF
OE
，连接CF ，先证
SAS
CEF
AEO
≌
，推出CF
AO
，
F
AOE
，进而
可得CF
AO
∥
，
180
FCO
AOC
，再证
SAS
COF
OBD
≌
，即可得出
20
D
COE
．
（3）延长OE 到G 使EG
OE
，连接CG ，则
2
10
OG
OE
，由（2）得COG
OBD
≌
，推出
D
COE
，
10
BD
OG
，再证
90
DFO
，最后根据
1
2
BOD
S
BD OF
△
即可求解．
【详解】解：（1）∵AD 是
ABC
的中线，
6
AB
，
4
AC
，
∴BD
CD
，
∵DE
AD
ADC
EDB
，
，
∴
SAS
ADC
EDB
≌
，
∴
4
BE
AC
，
可得AB
BE
AE
AB
BE
，
即2
2
10
AD
，
∴1
5
AD
，AD 的可能取值为2，3，4，
故答案为：1
5
AD
，2（或3 或4）；
（2）延长OE 到F 使EF
OE
，连接CF ，
CE
AE
，
CEF
AEO
，
SAS
CEF
AEO
≌
，
CF
AO
，
F
AOE
，
CF
AO
∥
，
180
FCO
AOC
，
180
BOD
AOC
，
FCO
BOD
，
CF
OA
，OA
OB
，
CF
OB
，
又
OC
OD
，
SAS
COF
OBD
≌
，
20
D
COE
．
（3）延长OE 到G 使EG
OE
，连接CG ，则
2
10
OG
OE
，
由（2）得COG
OBD
≌
，
D
COE
，
10
BD
OG
，
180
AOB
COD
，
90
AOB
，
90
COD
，
90
COE
DOF
，
90
D
DOF
，
90
DFO
，
1
1
10 2
10
2
2
BOD
S
BD OF
△
．
12．
（1）如图1，在四边形ABCD 中，
,
90 ,
,
AB
AD
B
ADC
E F
分别是
,
BC CD 上的点，且EF
BE
FD
，
试猜想图中
BAD
与
EAF
的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG
BE
．连
接AG ，先证明
ABE
ADG
△
≌△
，再证明AEF
AGF
≌
，可得出结论，他的结论应是_____________；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，
1
. ,
80
,
F
B
D
AB
AD
E
分别是
,
BC CD 上的点，且EF
BE
FD
，
试探究
BAD
与
EAF
的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD 中，
180 ,
ABC
ADC
AB
AD
，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的
延长线上，如图3 所示，仍然满足EF
BE
FD
，请写出
BAD
与
EAF
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
2
BAD
EAF
；（2）
1
2
EAF
BAD
，理由见解析；（3）
1
180
2
EAF
DAB
，理
由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用．
（1）延长FD 到点G ，使DG
BE
，连接AG ，可判定
ABE
ADG
△
≌△
，进而得出
BAE
DAG
，AE
AG
，
再判定AEF
AGF
≌
，可得出
EAF
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
，据此得出结论；
（2）延长FD 到点G ，使DG
BE
，连接AG ，先判定
ABE
ADG
△
≌△
，进而得出
BAE
DAG
，AE
AG
，
再判定AEF
AGF
≌
，可得出
EAF
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
，即
1
2
EAF
BAD
；
（3）在DC 延长线上取一点G ，使得DG
BE
，连接AG ，先判定ADG
ABE
≌
，再判定AEF
AGF
≌
，
得出
FAE
FAG
，最后根据
360
FAE
FAG
GAE
，推导得到2
360
FAE
DAB
，即可得出结论．
【详解】解：（1）
2
BAD
EAF
；理由如下：
如图，延长FD 到点G ，使DG
BE
，连接AG ，
在ABE
和
ADG
△
中，
90
AB
AD
B
ADG
BE
DG
，
SAS
ABE
ADG
≌
，
BAE
DAG
，AE
AG
，
EF
BE
DF
，DG
BE
，
EF
BE
DF
DG
DF
GF
，
AF
AF
，
SSS
AEF
AGF
≌
，
EAF
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
．
BAE
FAD
EAF
，
2
BAD
EAF
，
故答案为：
2
BAD
EAF
；
（2）
1
2
EAF
BAD
；理由如下：
如图，延长FD 到点G ，使DG
BE
，连接AG ，
180
B
ADF
，
180
ADG
ADF
，
B
ADG
，
又
AB
AD
，
SAS
ABE
ADG
≌
，
BAE
DAG
，AE
AG
，
EF
BE
FD
DG
FD
GF
，AF
AF
，
SSS
AEF
AGF
≌
，
EAF
GAF
DAG
DAF
BAE
DAF
；
即
1
2
EAF
BAD
；
（3）
1
180
2
EAF
DAB
；理由如下：
如图，在DC 延长线上取一点G ，使得DG
BE
，连接AG ，
180
ABC
ADC
，
180
ABC
ABE
，
ADC
ABE
，
又
AB
AD
，
SAS
ADG
ABE
≌
，
AG
AE
，
DAG
BAE
，
EF
BE
FD
DG
FD
GF
，AF
AF
，
SSS
AEF
AGF
≌
，
FAE
FAG
，
360
FAE
FAG
GAE
，
2
360
FAE
GAB
BAE
，
2
360
FAE
GAB
DAG
，
即2
360
FAE
DAB
，
1
180
2
EAF
DAB
．
