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专题03 一元一次不等式
核心考点聚焦
【知识点1】不等式的概念：
一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式。 不等式中可以
含有未知数，也可以不含用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左
右两边为整式的式子叫做一元一次不等式。
【知识点2】不等式的性质：
性质1：如果a>b, b >c 那么a >c
性质2：如果a>b,那么a±c>b±c
即不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
性质3：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c)
如果a>b，c<0，那么ac<bc(或a/c<b/c)
即不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
注；不等式的两边都乘以0,不等号变等号。
【知识点3】一元一次不等式：
1.左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 次的不等式，叫做一元一次不等
式。
2.一元一次不等式的解集：
（1） 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
(3) 求一元一次不等式解集的过程叫做解不等式。
(4) 不等式(组)的特殊解——有限的一个或几个解。[来源:Z§xx§k.Com]
【知识点4】解一元一次不等式的一般步骤：
1、去分母 （不等式性质2） (没分母的也要乘，多项式分子放进括号内)
2、去括号 (去括号法则) (负数乘进去时每项都变号)
3、移项 （不等式性质1） (移动的项要变号)
4、合并同类项（合并同类项法则） (运算法则要熟练)
5、将未知数的系数化为1 （不等式性质2） (乘、除以负数时要变向)
6、在数轴上表示不等式的解集
【知识点5】一元一次不等式组：
（1） 一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
（2）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式
组解集的过程，叫做解不等式组。[来源:学,科,网]
(3) 不等式组的解的求解过程 分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共
部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）。
口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解
【知识点6】列一元一次不等式(组)解应用题：
步骤参照列一元一次方程解应用题，只是最后答的时候写的数值可能要用到取近似数的各种方法。[来源:
方案设计题主要通过解不等式组解决。
【知识点7】不等式解集的表示方法：
（1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最
简单的不等式表达出来，
（2） 用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数
轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。
【知识点8】解一元一次不等式组的步骤：
（1） 求出每个不等式的解集；
（2） 求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）
（3） 用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论）
【知识点9】几种特殊的不等式组的解集：
（1） 关于x 不等式（组）：{x≥a} { x≤a}的解集为：x=a
（2） 关于x 不等式（组）：{x>a} {x<a}的解集是空集。[来源:学#科#网]
题型归纳
题型一、解一元一次不等式（组）
1．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）解下列不等式，并把解集表示到数轴上．
(1)
；
(2)
．
2．（22-23 七年级下·四川泸州·期末）解不等式：
．
3．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）解不等式组
4．（24-25 七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组：
(1)
(2)
题型二、解特殊不等式组
5．（24-25 七年级下·四川内江·期中）数学乐园：解二元一次方程组
，
，得
，当
时，
，同理：
；
符号
称之为二阶行列式，规定：
．
设
，
，
，那么方程组的解就是
．
(1)求二行列式
的值；
(2)解不等式：
；
(3)用二阶行列式解方程组
；
(4)若关于
的二元一次方程组
无解，求
的值．
6．（2025 七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道
于是要解不等式
，我们可以
分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：①当
，即
时，
，
解得
，
所以
；
②当
，即
时，
，
解得
，
所以
．
所以原不等式的解集为
．
根据以上思想，请解下列不等式：
(1)
；
(2)
．
题型三、求一元一次不等式（组）的整数解
7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）求不等式
的最小整数解．
8．（24-25 七年级下·全国·课后作业）求不等式
的正整数解．
9．（2025 七年级下·全国·专题练习）解不等式组：
，并写出它的正整数解．
10．（24-25 七年级下·全国·课后作业）（1）求适合不等式
的最小负整数；
（2）求不等式组
的正整数解．
题型四、解|x|≥a 型不等式
11．（24-25 七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】
的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离．所以，
可理解为：数a 在数轴上对应的点
到原点的距离不大于2．
（1）
可理解为______；
我们定义：形如
，
，
，
（m 为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个
绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式
的解集是
；绝对值不等式
的解集是
或
．
（2）①不等式
的解集是______；
②不等式
的解集是______；
【拓展探究】
（2）请求出绝对值不等式
的解集．
12．（24-25 七年级下·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等
式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．
求绝对值不等式
的解集．
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出
时x 的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示．
观察数轴发现，以点A，B 为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于2；点A 与点
B 之间的点表示的数的绝对值小于2；点B 右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等
式
的解集为
或
．
【迁移应用】
(1)填空：
的解集是 ；
(2)求绝对值不等式
的解集；
(3)直接写出不等式
的解集： ．
题型五、由一元一次不等式组的解集求参数
13．（24-25 八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组
的解集是
，那么m 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·河北·一模）若关于x 的不等式组
有2 个整数解，则实数m 的取值范围是 ．
15．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知关于x 的不等式组
的解集为
，则a，b
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六、由不等式组解集情况求参数
16．（24-25 七年级下·山西临汾·期中）若不等式组
无解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·广东广州·一模）关于
的不等式组
的解集中每一个值均不在
的范围中，
则
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
18．（24-25 七年级下·重庆·期中）若关于x 的不等式组
有解且只有3 个偶数解．同时关
于y 的一元一次方程
解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．
19．（24-25 七年级下·全国·课后作业）若关于x 的不等式组
有三个整数解，求实数a 的
取值范围．
20．（24-25 七年级下·全国·课后作业）若关于x 的不等式组
的整数解共有3 个，则m 的取值范
围是 ．
题型七、不等式组和方程组结合问题
21．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y 的方程组
的解是一对正数，求a 的取
值范围．
22．（23-24 八年级下·福建漳州·阶段练习）已知方程组
的解满足
，
(1)求m 的取值范围；
(2)在m 的取值范围内，若m 为整数，则
____，不等式
的解集为
．
23．（24-25 八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组
，其中方程组的解满足
，则
的取值范围 ．
24．（23-24 八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于
、
的二元一次方程组
．
(1)若方程组的解
、
互为相反数．求
的值；
(2)若方程组的解满足
，求
的取值范围．
题型八、不等式（组）的应用
类型1 经济问题
25．（24-25 七年级下·重庆·期中）某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并
售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15 元，每个售价20 元，手工编织挂件每个成
本8 元，每个售价14 元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150 件手工艺品，总收入为2496 元．
(1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？
(2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80 件，要求总成本不超过885 元，且
纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的
．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案．
26．（24-25 七年级下·安徽蚌埠·期中）为庆祝2025 年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲
比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1 个甲种纪念品和2 个乙种纪
念品共需20 元，购买2 个甲种纪念品和5 个乙种纪念品共需45 元．
(1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；
(2)若要购买这两种纪念品共100 个，所花资金不少于666 元又不多于700 元，有多少种购买方案？
(3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？
27．（24-25 七年级下·湖南郴州·期中）2025 年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加
学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100 个足球和40 个篮球需要4000 元，购买50 个足球和
90 个篮球需要5500 元．
(1)求每个足球、篮球的价格是多少元？
(2)如果需要购买足球、篮球共40 个，且足球的个数不少于32 个，总费用达到或超过980 元，请问有几种
购买这两种体育用品的方案？
类型2 分配问题
28．（24-25 七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同
学．他购买了5 包颗数相同的巧克力，计划每人分20 颗，这样会剩余80 颗．后来因为网店存货不足，所
以少买了2 包，于是改成每人分14 颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14 颗，但是至
少拿到7 颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
29．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、
两种型号的纪念品，若采购A 型10 件，
型
5 件，需要1000 元；若采购A 型5 件，
型3 件，需要550 元．
(1)求采购A 型，
型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A 型纪念品的数量不少于
型纪念品数量的6 倍，且不超过
型纪念品数量
的8 倍，若两种纪念品一共花费4000 元，求A 型、
型纪念品各采购几件？
类型3 方案问题
30．（24-25 七年级下·全国·课后作业）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20 个．
甲种书柜的单价为180 元，乙种书柜的单价为240 元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校
最多能提供资金4320 元，请设计几种购买方案供学校选择．
31．（24-25 七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160 元、120 元的A、B 两种型号的电
器，如表是近两周的销售情况：
销售时
段
销售数量
销售收入
A 种型号
B 种型号
第一周
2 台
3 台
900 元
第二周
3 台
5 台
1430 元
（进价、售价均保持不变，利润
销售收入
进货成本）
(1)求A、B 两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40 台，总费用不超过5700 元，销售完这40 台电器能否实现利润
超过1800 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
32．（24-25 七年级下·安徽合肥·期中）合肥45 中举办经典诵读比赛，需采购诗词手册和书签两种道具作
为班级奖励．首次采购时，购买1 套诗词手册和2 套书签共需50 元；第二次采购时，购买3 套诗词手册和
3 套书签共需105 元．
(1)求每套诗词手册和书签进价各是多少元？
(2)比赛筹备组计划再次采购两种道具共80 套．供应商调整价格：诗词手册进价上涨30%；书签进价降至
原价的八折．若学校要求总费用不超过1548 元，且诗词手册的数量不低于书签的数量，求满足条件的方
案有哪几种？
类型4 其他应用问题
33．（24-25 八年级下·甘肃张掖·期中）现有
、
两种商品，
种商品单价为16 元，
种商品单价为4 元．
如果小静准备购买A，B 两种商品共10 件，总费用不超过120 元，且不低于100 元，问有几种购买方案？
哪种方案费用最低？
34．（24-25 七年级下·安徽合肥·期中）某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如
果每人赠送5 本，则还剩下10 本；如果每人赠送8 本，则最后一名读者得到的图书不足4 本．请问该书店
可能准备的图书数量和获赠读者人数．
35．（24-25 七年级下·北京·期中）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与
零售价格如下表：
水果品种
梨
子
菠
萝
苹
果
车厘
子
4
5
6
40
批发价格（元/
）
零售价格（元/
）
5
6
8
50
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700 元批发了菠萝和苹果共
，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700 元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记
得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于
，这两种水果已全部售出且总利润高于第一
天这两种水果的总利润，通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案？
36．（24-25 八年级下·广东佛山·期中）【问题背景】
2025 年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了
精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发
展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、
两种型号智能机器人进
行快递分拣，相关信息如下：
素材1
若买1 台A 型机器人、3 台
型机器人，共需260 万元；
若买3 台A 型机器人、2 台
型机器人，共需360 万元．
素材2
A 型机器人每台每天可分拣22 万件；
B 型机器人每台每天可分拣18 万件；
问题解决
（1）
求A、
两种型号智能机器人的单价；
问题解决
（2）
现该企业准备用不超过700 万元购买A、
两种型号智能机器人共10 台．
则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
真题感知
一、单选题
1．（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b 满足
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山西·三模）将不等式组
的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输
入x 后程序操作进行了两次就停止，则x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 七年级下·安徽合肥·期中）已知a，b，c 为三个实数，其中a、b 均为负数，且满足
，令
，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川绵阳·三模）已知关于x 的不等式组
解集为
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·浙江杭州·一模）已知
是实数，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 七年级下·安徽合肥·期中）若实数x，y，z 满足
，
，则下列判断正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．当
时，
8．（24-25 八年级下·山西运城·期中）国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024 版）》中提到：减重
期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在
以下．若
设每日添加糖的摄入量为x（
），则x 满足的不等关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（23-24 八年级下·全国·单元测试）已知关于x 的不等式组
有四个整数解，则m 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 八年级下·山西大同·期中）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知
该汽车用油亚动方式行驶1 千米的油费为0.9 元，用电驱动方式行驶1 千米的电费比油费少0.8 元．该汽车
从
地行驶100 千米至
地，若用油和用电的总费用不超过40 元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车
从
地行驶至
地用电行驶
千米，则
满足的不等关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．（24-25 七年级下·重庆·期中）若关于
的一元一次方程
有正整数解，且关于
的一
元一次不等式组
有解，则所有满足条件的整数
的值之和是 ．
12．（24-25 八年级下·山东聊城·期中）若关于
的不等式组
的解集为
，则
．
13．（2025·四川绵阳·二模）某茶叶销售商计划将m 罐茶叶按甲，乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品
盒每盒装4 罐，每盒售价240 元；乙种礼品盒每盒装6 罐，每盒售价300 元，恰好全部装完．已知每罐茶
叶的成本价为30 元，若120 罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000 元，则甲种礼品盒至少有
盒．
14．（24-25 七年级下·福建泉州·期中）一次环保知识竞赛共有16 道题，规定答对一道题得6 分，答错一
题扣两分，如果他想得到70 分以上的成绩，则他至少需答对 道题目．
15．（24-25 七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组
有3 个整数解，求m 的取值范围是 ．
三、解答题
16．（重庆市南川区三校联盟2024-2025 学年七年级下学期5 月联合诊断（期中）数学试题）计算．
(1)解方程组
；
(2)解不等式：
．
17．（24-25 七年级下·辽宁大连·期中）某小区物管中心计划采购A，B 两种花卉用于美化环境．已知购买
30 株A 种花卉和20 株B 种花卉共需要190 元；购买50 株A 种花卉和40 株B 种花卉共需要350 元．
(1)求采购每株A，B 两种花卉各多少元钱．
(2)若该物管中心采购A，B 两种花卉共计10000 株，其中采购的总费用不超过34000 元，则最少采购A 种
花卉为多少株？
18．（2025·北京海淀·模拟预测）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200 袋（每袋均为
同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6 个，豆沙粽每袋4 个，肉粽每袋2 个．设购进的小枣粽
袋，豆沙
粽
袋．
(1)购进的肉粽的个数为________个（用含
，
的代数式表示）；
(2)为了促销，超市计划将所购200 袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成
，
两种套装销售，
套装为
每袋小枣粽4 个，豆沙粽2 个；
套装为每袋小枣粽2 个，肉粽2 个．
①用等式表示
，
的数量关系为________；
②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的
，则豆沙粽最多购进多少袋？
19．（24-25 八年级下·广东佛山·期中）为迎接六一儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B 两种玩具，
其中A 类玩具5 套，B 类玩具4 套，需800 元；A 类玩具3 套，B 类玩具2 套，则需450 元．
(1)求A、B 两类玩具每套进价分别是多少元．
(2)该玩具店购进B 类玩具比A 类玩具的2 倍多4 套，若玩具店销售1 套A 类玩具获利30 元，销售1 套B 类
玩具获利20 元，且全部售出后所获得利润不少于1200 元．问该玩具店至少购进A 类玩具多少套？
20．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加
义务植树活动，并准备了A，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为
，营养成分如图所示．
(1)若要从这两种食品中恰好摄入
热量和
蛋白质，应选用A，B 两种食品各多少包？
(2)若每份午餐选用这两种食品共7 包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于
，最多能选用几包A 种食
品？
