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专题01 一元一次方程
核心考点聚焦
1、方程的概念
含有未知数的等式叫做方程
（1）方程含有两个要素，一是含有未知数，二是必须是等式，二者缺一不可；
（2）方程一定是等式，但等式不一定是方程；
（3）方程中含有的未知数个数不限.
2、一元一次方程的概念
定义
只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做
一元一次方程，它的一般形式是
重点
解
读
3、方程的解与解方程
定义
实质
方程的解
使方程等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
具体数值
解方程
求方程解的过程叫做解方程
变形过程
4、等式的性质
语言叙述
字母表示
等式性
质1
等式两边加（或减）同一个数（或式
子），结果仍相等
如果
，那么
等式性
质2
等式两边乘同一个数，或除以一个不为
的数，结果仍相等
如果
，那么
；
如果
，那么
重点解
读
（1）注意等式左右两边同时加、减、乘或除以不能遗漏任一边，并且同时
加、减、乘或除以的数必须是同一个数；
（2）等式的两边除以一个数或整式时，这个数或整式不能为0；
（3）等式还有以下性质：①如果
，
，那么
；②如果
，那么
5、解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
变形名称
依据
具体做法
注意事项
去分母
等式的性质2
在等号两边都乘各分母的
最小公倍数
（1）不要漏乘不含分母的
项；
（2）若分子是一个多项式，
需加上括号
去括号
乘法分配
律、去括号
法则
先去小括号，再去中括
号，最后去大括号
（1）不要漏乘括号里的项；
（2）不要弄错符号
移项
移项法则
把含有未知数的项移动到
方程的一边，其他的项
移动到方程的另一边
（1）移项要变号；
（2）不要丢项
合并
同类项
合并同类项
法则
把方程化为
的形式
（1）字母及其指数不变，系
数相加；
（2）不要漏项
系数
化为1
等式的性质2
在方程
的两
边都除以未知数的系数
，得到方程的解
切忌分子、分母位置颠倒
6、方程(组)与实际问题
解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：
第1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3 步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4 步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5 步：答。
题型归纳
题型一、等式的性质
1．（24-25 七年级下·河南鹤壁·期中）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】B
【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性
质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
、等式的两边同时乘以或除以同一
个不为
数或字母，等式仍成立．
【详解】
、如果
，那么
，原选项正确，不符合题意；
、如果
，
，那么
，原选项错误，符合题意；
、如果
，那么
，原选项正确，不符合题意；
、如果
，那么
，原选项正确，不符合题意；
故选：
．
2．（24-25 七年级下·浙江杭州·期中）已知
，
（1）若
，则与
的等量关系是 ．
（2）若
，则
．（用含
，的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
（1）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案；
（2）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
；
（2）由（1）知，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
3．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）下列等式变形正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A．若
，则
，故原等式变形错误，不符合题意；
B． 若
，当
时，则
，故原等式变形错误，不符合题意；
C． 若
，则
，故原等式变形正确，符合题意；
D． 若
，则
，故原等式变形错误，不符合题意；
故选：C．
4．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）小邱认为，若
，则
．你认为小邱的观点正确吗？
（填“正确”或“不正确”）
【答案】不正确
【分析】本题考查了等式的性质的运用，灵活运用性质是解题的关键. 根据等式的性质2 进行判断即可得
出结论.
【详解】解：小邱认为，若
，则
. 小邱的观点不正确，
原因是当
时，
可以不等于
.
故答案为：不正确.
5．（24-25 七年级下·山西临汾·期中）下列变形正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或
式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0 的
数或式子等式仍然成立．
【详解】解：A、若
，则
，原式变形错误，不符合题意；
B、若
，则
，原式变形错误，不符合题意；
C、
，则
，原式变形错误，不符合题意；
D、若
，则
，原式变形正确，符合题意；
故选：D．
题型二、解一元一次方程
6．（海南省儋州市2024--2025 学年下学期八年级期中学业质量测试数学题）若代数式x+3 的值为6，则x
的值为 （ ）
A．9
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程，先根据题意列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得
，
故选：C．
7．（24-25 七年级下·山西临汾·期中）解方程：
(1)
．
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算．
（1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1 即可得解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1 即可得解．
【详解】（1）去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
.
（2）去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
.
8．（江苏省无锡市锡东片区2024—2025 学年下学期七年级数学期中考试）定义：使
成立的一
对有理数a，b 称为“共生有理数对”，记作
．例如：因为
，所以
是“共生有
理数对”．
(1)判断数对
是否为“共生有理数对”，并说明理由；
(2)若5 是“共生有理数对”中的一个有理数，则这个“共生有理数对”为______；
(3)若数对
是“共生有理数对”，且
，求
的值．
【答案】(1)不是，理由见详解
(2)
或
(3)
【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及代数式的值、一元一次方程的解法，熟练掌握含乘方的
有理数混合运算及代数式的值、一元一次方程的解法是解题的关键；
（1）根据题中所给定义可进行求解；
（2）设另一个有理数为b，根据题意易得
，进而求解即可；
（3）由题意易得
，则有
，然后问题可求解．
【详解】（1）解：因为
，
所以
，
所以数对
不是“共生有理数对”；
（2）解：设另一个有理数为b，因为5 是“共生有理数对”中的一个有理数，
所以
，或
，
解得：
或
，
所以这个“共生有理数对”为
或
；
故答案为
或
；
（3）解：因为数对
是“共生有理数对”，且
，
所以
，
所以
，
∴
．
9．（24-25 七年级下·安徽黄山·期中）老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为
，它的平方根为
，求这个数．小张的解法如下：
解：依据题意可知：
是
和
两个数中的一个．
当
时，解得
………………………………………………①
这个数是
…………………………………………………………②
当
时，解得
……………………………………………③
这个数是
………………………………………………………④
综上可得：这个数为
或
．
(1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序
号）；
(2)请你帮助小张写出正确过程．
【答案】(1)②③④
(2)见解析
【分析】（1）根据平方根，算术平方根与原数的关系解答即可；
（2）根据平方根，算术平方根得定义解答即可．
本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，不难发现②③④都是错误的，
故答案为：②③④．
（2）解：依据题意可知：
是
和
两个数中的一个，
当
时，解得
，
，
这个数为
；
当
时，解得：
，
（不合题意，舍去）；
综上可得：这个数为
．
题型三、一元一次方程的含参数问题
10．（24-25 七年级下·重庆·阶段练习）关于
的一元一次方程
的解为正整数，其中
为整数，则
的值有（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．个
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到
，再根
据方程的解和
都为正整数，确定参数
的值．
【详解】解：解一元一次方程
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
系数化为得：
，
方程的解为正整数，
为正整数，
的值为、
、
、、
，
的值有个．
故选：B ．
11．（24-25 七年级上·陕西渭南·期中）关于
的方程
的解比关于
的方程
（
）的解大
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一
元一次方程的解．通过解关于
的方程
、
，分别求得它们的解，然后依题
意列出关于
的方程，求出
的值即可．
【详解】解方程
的解是：
；
方程
的解是：
，
依题意，得
，
解得，
．
故答案为：
．
12．（24-25 七年级上·河南安阳·期末）已知关于
的方程
有正整数解，则整数
的所有可
能的取值的和为（ ）
A．14
B．45
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解一元一次方程
可得
，再由方程的解为正整数，则
或
，求出
的值即可求解．
【详解】解：
，
，
，
方程有正整数解，
，
，
方程的解是正整数，
或
，
解得
或
，
，
故选：D．
13．（24-25 八年级下·上海·阶段练习）如果关于
的方程
无解，那么
满足的条件是
．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程无解，可得答案，利用一元一次方程无解得出
关于
的方程是解题关键．
【详解】解：∵关于
的方程
无解，
∴
，
解得：
，
故答案为：
．
14．（24-25 七年级上·广东江门·期末）若
是方程
的解，则m 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关
键．将
代入原方程，进行求解即可．
【详解】解：将
代入原方程得：
，
解得：
，
∴m 的值是
．
故答案为：
．
题型四、一元一次方程的错解问题
15．（24-25 七年级下·河南南阳·阶段练习）小华解方程
，去分母时，方程右边
忘记乘
10，因而求的方程的解为
，试求
的值，并正确解方程．
【答案】
，解方程见解析
【分析】此题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次
方程的解，同时考查了一元一次方程的解法，正确求出a 的值是解题的关键．
根据题意得出方程，将
代入求出a 的值，然后代入原方程即可求出正确的解．
【详解】解：把
代入方程
，
得
，
解得
．
把
代入
，
得
．
去分母得，
，
去括号得，
移项，合并同类项得，
，
系数化为1 得，
．
16．（24-25 七年级下·河南新乡·期中）关于
的一元一次方程
．小明在去分母时，没有
将方程右边的项“
”乘以
，因而求得解为
．
(1)试求
的值；
(2)求出原方程的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识．
（1）按小明的错误解法将
代入求解即可求出
的值；
（2）由（1）可知原方程为
，根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，求解即
可．．
【详解】（1）解：根据题意
是方程
的解，
将
代入
得：
；
（2）由（1）知
，
原方程为
，
．
17．（24-25 七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知关于
的方程
，小李由于粗心，把
看成6，解
得
，小王正确解方程
得
．试求a、b 的值．
【答案】
，
【分析】本题考查了含参数的一元一次方程，解题关键是掌握解一元一次方程的基本步骤．将
，
，代入
可得a 的值，再将
代入
可得b 的值．
【详解】解：把
，
代入
得：
，
解得：
，
所以原方程为：
，
把
代入
得：
，
解得：
，
所以
，
．
18．（24-25 七年级上·广东佛山·期末）小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：
”，
△处被污染看不清．若方程的解是
，则▲处的数字是应是 ；
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右
两边相等的未知数的值．把
代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案．
【详解】解：将
代入原方程，
解得：
故答案为：
．
题型五、一元一次方程的同解问题
19．（24-25 七年级下·全国·课后作业）已知方程
与关于
的方程
的解相同，求
的值．
【答案】6
【分析】解第一个方程，得
，把
代入第二个方程，得
，解得
．
本题考查了一元一次方程的解法，同解方程，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：
去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
系数化为1，得
．
由方程
与关于
的方程
的解相同，
得
，
解得
．
20．（24-25 七年级上·江西上饶·期末）已知
与关于x 的方程
的解相同，则
的值
为（ ）
A．18
B．20
C．26
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，求出第一个方程的解是
，根据解相同得
出第二个方程的解是
，把
代入第二个方程求得k 的值，最后代入
求解即可；得到关于k
的一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：解方程
可得
，
∵方程
的解与方程
的解相同，
∴方程
的解为
，
把
代入
可得：
，
解得：
，
∴
．
故选：C．
21．（24-25 七年级上·陕西延安·期末）若关于x 的方程
与方程
有相同的解，求a 的
值．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解方法是解题的关键．解方程
得出
的值，根据题意代入
的值到方程
，即可求出a 的值．
【详解】解：解方程
，得
，
关于x 的方程
与方程
有相同的解，
代入
到方程
，得
，
解得：
，
a 的值为3．
22．（24-25 七年级上·云南昆明·期末）若方程
和
的解相同，则a 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了同解方程，正确计算是解题的关键．先求出方程
的解，再代入方程
中即可求出a 的值．
【详解】解：解方程
，得
，
根据题意把
代入方程
中，
，
解得
，
故答案为：
．
题型六、与解一元一次方程有关的新定义问题
23．（24-25 七年级上·山西朔州·阶段练习）我们规定：若关于
的一元一次方程
的解为
，
则称该方程为“和解方程”．例如
的解为
，且
，则方程
是“和解方程”．
请根据规定解答下列问题：
(1)判断
是否为“和解方程”，并说明理由．
(2)若关于
的一元一次方程
是“和解方程”，求
的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，解一元一次方程，能理解“和解方程”的意义是解此题的
关键．
（1）求出方程的解，再根据“和解方程”的意义得出即可；
（2）根据“和解方程”得出关于p 的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：
是“和解方程”．理由如下：
由方程
，
解得
．
因为
，
所以
是“和解方程”；
（2）解：由方程
，
解得
．
因为关于
的一元一次方程
是“和解方程”，
所以
，
解得
．
24．（24-25 七年级上·陕西榆林·阶段练习）我们规定，若关于
的一元一次方程
的解为
，则称该方程为“有趣方程”．例如，
的解为
，而
，则该方程
就是
“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)若关于
的一元一次方程
是“有趣方程”，则
______．
(2)若关于
的一元一次方程
是“有趣方程”，且它的解为
，求
、
的值．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（）先解方程，再根据“有趣方程”的定义解答即可求解；
（
）先解方程，再根据“有趣方程”的定义及方程的解为
列式解答即可求解；
本题考查了解一元一次方程，方程的解，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：解方程
，得
，
∵方程是“有趣方程”，
∴
，
解得
，
故答案为：
；
（2）解：解方程
，得
，
∵方程是“有趣方程”，
∴
，
，
解得
，
．
25．（24-25 七年级上·辽宁沈阳·期末）我们规定：若关于a 的一元一次方程
的解为
，则称该方
程为“和解方程”．例如：方程
的解为
，且
，则
为“和解方程”．请根
据上述规定解答以下问题：已知关于x 的一元一次方程
是“和解方程”，并且它的解是
，
求b 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义和一元一次方程的解以及代数式求值，根据新定义和一元一次方程解的定
义得到
，
，据此推出
，
，即
，，则
．
【详解】解：∵关于x 的一元一次方程
是“和解方程”，
∴关于x 的一元一次方程
的解是
，
又∵关于x 的一元一次方程
是“和解方程”，并且它的解是
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
26．（24-25 九年级下·辽宁鞍山·阶段练习）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两
个方程为“1 方程”．例如：方程
和
为“1 方程”．
(1)若关于
的方程
与方程
是“1 方程”，求
的值；
(2)若“1 方程”的两个解的差为8，其中一个解为
，求
的值；
(3)若关于
的一元一次方程
和
是“1 方程”，求关于
的一元一次方程
的解．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义：
（1）先解方程
得
，根据“1 方程”的定义得到关于
的方程
的解为
，
则
，解得
；
（2）由题意得，另一个解为
，则根据“1 方程”的定义得到
或
，解方程即
可得到答案；
（3）先解方程
得：
，根据“1 方程”的定义得到关于
的方程
的
解为
，进而得到关于
的方程
的解为
，即可求解．
【详解】（1）解：解方程
得
，
∵关于
的方程
与方程
是“1 方程”，
∴关于
的方程
的解为
，
∴
，
∴
；
（2）解：由题意得，另一个解为
，
“1
∵
方程”的两个解的差为8，
∴
或
，
解得
或
；
（3）解：解方程
得：
，
∵关于
的一元一次方程
和
是“1 方程”，
∴关于
的一元一次方程
的解为
，
∴关于
的一元一次方程
的解为
，
即
的解为
，
∴关于
的方程
的解为
解得：
题型七、一元一次方程与实际问题
类型1 配套问题
27．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60 名工人，每名工人每天可生产14 个电压表或20 个电流表，1
套物理电学实验器材包中要配有1 个电压表和2 个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好
能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【答案】应分配25 名工人生产电压表
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设应分配x 名
工人生产电压表．根据题意列出方程，解出
的值即可解答．
【详解】解：设应分配x 名工人生产电压表，
根据题意，得
，
解得：
．
答：应分配25 名工人生产电压表．
28．（24-25 七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．
该班共有学生55 人，其中男生人数比女生人数少3 人，并且每名学生每小时剪筒身50 个或剪筒底120 个．
(1)该班有男生、女生各多少人？
(2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多
少名学生剪筒底？
【答案】(1)男生26 人；女生29 人
(2)应该分配30 名学生剪筒身，25 名学生剪筒底
【分析】（1）设该班有男生x 人，根据“共有学生55 人，男生人数比女生人数少3 人”即可列方程求得
结果；
（2）设分配剪筒身的学生为y 人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可
列方程求得结果．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程．
【详解】（1）解：设该班有男生x 人，依题意得
，
解得
，
∴该班有男生26 人，女生29 人；
（2）解：设分配剪筒身的学生为y 人，依题意得
，
解得
，
∴
，
∴应该分配30 名学生剪筒身，25 名学生剪筒底．
29．（24-25 七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4 条桌腿．某家具公司的木工师傅用
木材可制作15 个桌面或300 个桌腿，公司现有
的木材．
(1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？
(2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利
，全部出售后销售额为144000 元．求每张餐桌
的进价是多少？
【答案】(1)安排
木材制作桌面，则安排
制作桌腿
(2)每张餐桌的进价是500 元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．
（1）设安排
木材制作桌面，则安排
制作桌腿，根据一个桌面配4 个桌腿列出方程求解即可；
（2）设每张餐桌的进价是y 元，则每张餐桌的售价为
元，再根据销售额等于售价乘以销售量建
立方程求解即可．
【详解】（1）解：设安排
木材制作桌面，则安排
制作桌腿，
由题意得
，
解得
，
∴
，
答：安排
木材制作桌面，则安排
制作桌腿；
（2）解；设每张餐桌的进价是y 元，
由题意得，
，
解得
，
答：每张餐桌的进价是500 元．
类型2 工程问题
30．（24-25 七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600
米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的
倍，甲、乙两工程队合作4 天完成该工程的
．
(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米．
(2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94 万元．已知甲工
程队每天的挖掘费用为5 万元，乙工程队每天的挖掘费用为3 万元，求甲工程队单独挖掘的天数．
【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30 米，乙工程队每天可挖掘隧道20 米
(2)8 天
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程；
（1）设乙工程队每天可挖掘隧道
米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5
米，根据甲、乙两工程队合作4
天完成该工程的
列出等式；
（2）设甲工程队单独挖掘
天，得出乙工程队挖掘
天，再根据总费用为94 万元建立等式求解．
【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道
米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5
米．
由题意得，
．
解得
．
．
答：甲工程队每天可挖掘隧道30 米，乙工程队每天可挖掘隧道20 米．
（2）解：设甲工程队单独挖掘
天，则乙工程队挖掘
天，
即
天．
由题意得，
．
解得
．
答：甲工程队单独挖掘8 天．
31．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）某项工作甲单独做需3 小时完成，乙单独做需4 小时完成，甲、乙
合做一小时后，剩余部分由乙单独完成，则还需多少小时？
【答案】
小时
【分析】设总工作量为1，剩余部分由乙单独完成，还需x 小时，则甲的工作效率为
，乙的工作效率为
，
列出方程
，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键．
【详解】解：设总工作量为1，剩余部分由乙单独完成，还需x 小时，则甲的工作效率为
，乙的工作效
率为
，
根据题意，得
．
解得
，
答：乙还需要
小时．
32．（24-25 七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完
工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24 天，由乙队单独完成需要16 天．甲、乙两队
合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余
工程的时间比两队合作施工的时间少4 天．
(1)求甲、乙两队合作施工的时间．
(2)施工完成后，两队共获得工程款30 万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程
款多少万元？
【答案】(1)甲、乙两队合作8 天才能完成该工程；
(2)甲、乙两队各获得工程款
万元．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列
出方程和算式，准确计算；
（1）设甲、乙两队合作
天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可；
（2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可．
【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作
天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为
天，
依题意可列方程：
，
解得：
，
所以甲、乙两队合作8 天才能完成该工程；
（2）解：由（1）知乙队完成工作量
，则甲队也完成工作量
，
按比例分配得甲队获得工程款
万元，乙队获得工程款
万元，
答：甲、乙两队各获得工程款
万元．
类型3 销售盈亏问题
33．（24-25 七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某社区超市第一次用6000 元购进甲、乙两种商品，其中乙商
品的件数比甲商品件数的
多25 件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（注：获利=售价
进价）
甲
乙
进价（元/件）
20
30
售价（元/件）
26
40
(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
【答案】(1)该超市购进甲种商品150 件、乙种商品100 件
(2)共可获得利润1900 元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；
（1）设第一次购进甲种商品
件，则购进乙种商品
件，根据单价×数量=总价，即可得出关于
的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论．
【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品
件，则购进乙种商品
件，
根据题意得：
，
解得：
，
∴
．
答：该超市购进甲种商品150 件、乙种商品100 件．
（2）解：
（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900 元．
34．（24-25 七年级下·湖南长沙·期中）今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房
超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，
电影票比普通
电影票
贵
元，企业花费
元购买了
张普通
电影票和
张
电影票．
(1)普通
电影票和
电影票的单价各是多少元？
(2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通
电影票超过
张的部分，每张打八折；购买
电影票超过
张的部分，每张打九折．该企业计划购买
张普通
电影票和
张
电影票，
那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？
【答案】(1)普通
电影票的单价为
元，
电影票的单价为
元
(2)
元
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，熟练根据题意列出一元一次方程，并掌握一元一
次方程的解法是解题的关键，
（1）设普通
电影票的单价为
元，则
电影票的单价为
元，根据题意列出一元一次方程，
解方程即可得到答案；
（2）根据电影院推出优惠活动的政策，列出式子并计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设普通
电影票的单价为
元，则
电影票的单价为
元，
由题意得：
，
解得：
，
则
，
答：普通
电影票的单价为
元，
电影票的单价为
元．
（2）解：由题意得：
总价
，
答：该企业需要支付
元．
35．（24-25 七年级上·江苏扬州·阶段练习）水果批发市场批发丰水梨的价格如表：
购买丰水梨（千克）
单价
不超过
千克的部分
元千克
超过
千克但不超过
千克的部分
元千克
超过
千克的部分
元千克
(1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨
千克，需要付费______元；
第三次购买丰水梨
千克，（
超过
千克），需要付费______元（化简结果用含
的式子表示）．
(2)若陈阿姨购买丰水梨花了
元，求她买了多少千克的丰水梨？
(3)若陈阿姨分两次共购买
千克的丰水梨，且第一次购买的数量为
千克（
），请问她这两次
购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含
的式子表示）
【答案】(1)
，
，
；
(2)陈阿姨买了
千克的丰水梨；
(3)当
时，需要付费
元；当
时，需要付费
元．
【分析】本题考查了列代数式，有理数加法和乘法的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解
题的关键．
（）根据题意列出算式和代数式，再根据有理数运算，整式加减运算求解即可；
（
）由陈阿姨购买丰水梨花了
元，可得陈阿姨购买丰水梨超过
千克，再根据（）代数式列出方
程
，然后解方程即可；
（）分当
时和当
时两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费
（元）；
第二次购买丰水梨
千克，需要付费
（元）；
第三次购买丰水梨
千克，（
超过
千克），需要付费
（元）
故答案为：
，
，
；
（2）解：因为陈阿姨购买丰水梨花了
元，
∴陈阿姨购买丰水梨超过
千克，
∴
，
解得：
，
答：陈阿姨买了
千克的丰水梨；
（3）解：当
时，需要付费
元；
当
时，需要付费
元．
类型4 比赛积分问题
36．（24-25 七年级上·安徽阜阳·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5 分，答错一
题扣3 分，一共20 道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76 分，她做对了几题？
【答案】她答对了17 道题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设她答对了
道题，则答错
道题．根据“本次竞赛中获
得了76 分”列出一元一次方程，解方程，即可求解．关键是根据题意找到等量关系式．
【详解】解：设她答对了
道题，则答错
道题．
根据题意，得
解得
答：她答对了17 道题．
37．（24-25 七年级下·云南昭通·阶段练习）某中学举办的中学生禁毒知识竞赛中共有20 道题，每一道题
答对得5 分，答错或不答都扣2 分，小红得了65 分．求小红答对了多少道题？
【答案】小红答对了15 道题
【分析】本题主要考查解一元一次方程，从题目中列出一元一次方程是解题的关键．
设小强答对了x 道题，根据条件列出关于x 的方程，解出即可．
【详解】解：设小红答对了
道题．
依题意，列方程得
，
解得
．
答：小红答对了15 道题．
38．（24-25 七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20 道选择题，各题分值相同，
每题必答．下表记录了3 个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题
数
得分
(1)观察表格数据并填空，参赛者答对1 道题得______分，答错1 道题得______分；
(2)参赛者小明得80 分，他答对了几道题？
【答案】(1)6，
；
(2)小明答对了15 道题．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程
是解题的关键．
（1）利用答对道题得分
参赛者
的得分
参赛者
答对题目数，可求出答对道题得分；利用答错道
题得分
参赛者
的得分答对道题得分参赛者
答对题目数，即可求出答错道题得分；
（2）设小明答对了
道题，则答错
道题，利用小明的得分
答对题目数
答错题目数，可列
出关于
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：参赛者答对道题得
分
答错道题得
分
故答案为：6，
；
（2）设小明答对了
道题，则答错
道题，
根据题意得：
，
解得：
答：小明答对了
道题．
类型5 方案选择问题
39．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题：
方式一
方式二
月租费
30 元／月
0
本地通话费
0.3 元／分钟
0.4 元／分钟
(1)一个月内在本地通话200 分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？
(2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？
【答案】(1)
，
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解掌握统计表的特点及作用，并根据统计表提
供的信息，解决有关实际问题．
（1）根据题意和表格中的数据可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：方式一：
（元），
方式二：
（元），
答：一个月内在本地通话分钟,按方式一需交费
元，按方式二需交费
元.
（2）解：设
分钟两种计费方式收费一样多，
根据题意得，
，
解得
，
答：当通话
分钟时，两种计费方式收费一样.
40．（24-25 七年级上·福建福州·阶段练习）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不
同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200 元后，超出200 元的部分按
收费，在乙商场累计购物超过
100 元后，超过100 元的部分按
收费．设顾客累计购物金额为x 元
(1)用含x 的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费；
(2)顾客到哪家商场购物花费少？
【答案】(1)当
时，甲商场购物的花费为x 元，当
时，甲商场购物的花费为
元；
当
时，乙商场购物的花费为x 元，当
时，乙商场购物的花费为
元；
(2)当
或
时，到两个商场购物花费一样；当
乙商场购物花费少；当
时，
到甲商场购物花费少
【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程和整式加减的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的
关键．
（1）求甲的花费时分
和
两种情况，求乙的花费时分
和
两种情况；
（2）分当
，
和
三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：当
时，甲商场购物的花费为x 元，
当
时，甲商场购物的花费为
元；
当
时，乙商场购物的花费为x 元，
当
时，乙商场购物的花费为
元；
（2）解：当
时，两个商场都没有优惠，故此时到两个商场购物花费一样；
当
时，由于甲商场没有优惠，乙商场有优惠，故此时到乙商场购物花费少；
当
时，解得
，故当
时，此时到两个商场购物花费一样；
∵
，
∴当
时，
，
∴当
时，到乙商场购物花费少；
当
时，
，此时到两个商场购物花费一样；
当
时，
，此时到甲商场购物花费少；
综上所述，当
或
时，到两个商场购物花费一样；当
乙商场购物花费少；当
时，到甲商场购物花费少．
41．（24-25 七年级上·陕西渭南·期中）暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400 元，
当研学人数超过50 人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）：
方案一：研学团队先交1600 元后，每人再收费320 元；
方案二：其中5 人免费，其余每人收费打九折．
当参加研学的总人数是
时．
(1)请用含
的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元；
(2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数．
【答案】(1)当参加研学的总人数是
时，方案一收费
元，方案二收费
元
(2)85
【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）根据两种方案的优惠方法列出关于
的代数式即可；
（2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可．
【详解】（1）解：方案一共收费：
元，
方案二共收费：
元，
答：当参加研学的总人数是
时，方案一收费
元，方案二收费
元；
（2）解：当
时，
解得
，
答：当参加研学的总人数是85 人时，采用两种方案的收费是一样的．
类型6 数字问题
42．（24-25 七年级下·江苏南通·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字
与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2 倍少9，求原来的两位数．
【答案】36
【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决数字问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系．
假设原来的两位数个位上的数字为
，则十位上的数字为
，表示出新数和原来的数，根据两个数的关
系列出方程进行求解即可．
【详解】解：假设原来的两位数个位上的数字为
，则十位上的数字为
，
∴该数为
，新数为
，
根据题意得
，
解得
，
∴原来的两位数为
．
43．（24-25 七年级下·山西临汾·期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且个位上的数字
和十位上的数字之和是这个两位数的
，则这个两位数是 ．
【答案】36
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．设十位上的数
字为
，则个位上的数字为
，根据个位上的数字和十位上的数字之和是这个两位数的
，列出方程进
行求解即可．
【详解】解：设十位上的数字为
，则个位上的数字为
，
由题意，得：
，
解得：
，
∴这个两位数是36；
故答案为：36．
44．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）如果一个四位自然数
的各数位上的数字互不相等且均不为
，
满足
，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数
，
，∴
是“快乐
数”；又如：四位数
，
，∴
不是“快乐数”．若一个“快乐数”为
，则
这个数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据新定义得
，求出
的值即可求解，
理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
，
解得
，
∴这个数为
，
故答案为：
．
类型7 和差倍分问题
45．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6 人，后来重新编组，
每组10 人，这样比原来减少4 组．问这些学生共有多少人？
【答案】60 人
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，设这些学生共有x 人，先表示出原来和后来各多少组，其等
量关系为后来的比原来的少4 组，根据此列方程求解．
【详解】解：设这些学生共有x 人，根据题意，得
，
解得
，
答：这些学生共有60 人．
46．（24-25 七年级下·山西临汾·期中）某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规
定小学部30 个教学班每班要表演1 个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3 倍少2 个，那么舞蹈
类节目有多少个？
【答案】舞蹈类节目有22 个
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设歌唱类节目有x 个，则舞蹈类节
目有
个，然后根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】解：设歌唱类节目有x 个，则舞蹈类节目有
个，由题意得：
，
解得：
，
∴
；
答：舞蹈类节目有22 个．
47．（24-25 七年级上·陕西延安·期末）习近平总书记指出，要培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建
设者和接班人．良好的身体素质是所有的前提保障，体育锻炼是增强体质最有效的手段，某校决定购买一
些羽毛球拍和羽毛球，其中每副羽毛球拍的价格比一桶羽毛球贵12 元，购买5 副羽毛球拍和4 桶羽毛球一
共需要330 元．
(1)每副羽毛球拍和每桶羽毛球的价格分别是多少元？
(2)该校一共购买了羽毛球拍和羽毛球152 件，体育教研组决定为兴趣组的同学每人配1 副羽毛球拍和3 桶
羽毛球，刚好够分，请问学校购买了多少副羽毛球拍，多少桶羽毛球？
【答案】(1)每副羽毛球拍的价格为42 元，每桶羽毛球的价格为30 元
(2)学校购买了38 副羽毛球拍，114 桶羽毛球
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设每桶羽毛球的价格为
元，则每副羽毛球拍的价格为
元，根据题意列出方程，解出
的值
即可解答；
（2）设学校购买了
副羽毛球拍，则购买了
桶羽毛球，根据题意列出方程，解出
的值即可解答．
【详解】（1）解：设每桶羽毛球的价格为
元，则每副羽毛球拍的价格为
元，
由题意得，
，
解得：
，
则
，
答：每副羽毛球拍的价格为42 元，每桶羽毛球的价格为30 元．
（2）解：设学校购买了
副羽毛球拍，则购买了
桶羽毛球，
由题意得，
，
解得：
，
则
，
答：学校购买了38 副羽毛球拍，114 桶羽毛球．
类型8 电费水费问题
48．（24-25 七年级下·四川眉山·期中）“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以
下标准：
用水量/月
单价（元/
）
不超过
超过
的部
分
(1)如果1 月份某用户用水量为
，那么该用户1 月份应该缴纳水费______元．
(2)某用户2 月份共缴纳水费80 元，那么该用户2 月份用水多少
？
【答案】(1)
(2)设该用户2 月份用水
【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数的乘法运算的应用，
一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，根据该用户1 月份应该缴纳水费为
，计算求解即可；
（2）设该用户2 月份用水
，依题意得，
，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，该用户1 月份应该缴纳水费
（元），
故答案为：
；
（2）解：设该用户2 月份用水
，
依题意得，
，
解得，
，
∴该用户2 月份用水
．
49．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，
具体收费标准如下表所示：
一户居民一个月用电量
电费价格（元/千瓦时）
不超过
千瓦时的部分
超过
千瓦时的部分
某居民五月份用电
千瓦时，缴纳电费
元．
(1)求x 和超出部分的电费单价．
(2)若该户居民六月份缴纳电费
元，求该户居民六月份的用电量．
【答案】(1)
，
元/千瓦时
(2)该户居民六月份的用电量为
千瓦时
【分析】本题考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；
（1）根据题意列方程求解，进而求解超出部分的电费单价；
（2）设该户居民六月份的用电量为
千瓦时，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
，
解得
，
所以超出部分的电费单价是
(元千瓦时)；
（2）解：因为
，
所以该户居民六月份的用电量超过
千瓦时；
设该户居民六月份的用电量为
千瓦时，
根据题意，得
，
解得
，
故该户居民六月份的用电量为
千瓦时．
50．（24-25 七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出
专车和
快车两种出租车，它们的收费方式如
下：
专车：千米以内收费
元，超过千米的部分每千米收费
元，不收其他费用；
快车：
计费项目
起步价
里程费
远途费
计费价格
元
2 元/千米
1 元/千米
注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程
千米；里程大于
千米的部分按
计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12 千米，不收远途费，超过
千米的，超出的
部分每千米加收元．
(1)如果乘车路程是千米，使用
专车、
快车出行各需支付费用多少元？
(2)如果乘车路程是
千米，使用
专车、
快车出行各需支付的费用多少元（用含
的式子表示）？
(3)如果乘车路程是
千米时，使用
快车出行的费用比使用
专车出行省4 元，求
的值．
【答案】(1)使用
专车、
快车出行各需支付费用
元、
元；
(2)使用
专车、
快车出行各需支付的费用
元、
元；
(3)
的值为
或
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式
和一元一次方程是解题的关键．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列代数式即可；
（3）分三种情况讨论：当
时，不符合题意；当
时，得到
，求出
；当
时，得到
，求出
，即可得到答案．
【详解】（1）解：使用
专车出行需支付费用为
（元）
使用
快车出行需支付费用为
（元），
答：使用
专车、
快车出行各需支付费用
元、
元；
（2）解：当
时，
使用
专车出行需支付的费用为
（元），
使用
快车出行需支付的费用为
（元），
答：使用
专车、
快车出行各需支付的费用
元、
元；
（3）解：当
时，
使用
专车出行需支付的费用为
元，
使用
快车出行需支付的费用最少为元，
元，
不符合题意；
当
时，
使用
专车出行需支付的费用为
（元），
使用
快车出行需支付的费用为
（元）
，
解得
；
当
时，
使用
专车出行需支付的费用为
（元），
使用
快车出行需支付的费用为
（元），
，
解得
，
综上所述，
的值为
或
．
类型9 行程问题
51．（24-25 七年级下·山西临汾·期中）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少
皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大
桥与五一广场之间的距离为
千米．小聪从迎泽大桥出发，以10 千米/时的速度向五一广场方向跑步；小
明从五一广场出发，以8 千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行．
(1)两人出发后多长时间相遇？
(2)若小聪在出发后5 分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2 分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后
再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？
【答案】(1)12 分钟
(2)
分钟
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程进行求解；
（1）设两人出发后
分钟相遇，根据两人的速度及距离为
千米列出等式求解即可；
（2）先判断出两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇，设两人在出发后分
钟相遇，列出等式求解即可．
【详解】（1）解：设两人出发后
分钟相遇．
由题意得，
，
解得
．
答：两人出发后12 分钟相遇．
（2）解：设两人在出发后分钟相遇．
当
时，
，且小聪跑步速度大于小明跑步速度，
两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇．
由题意得，
．
解得
．
两人在出发后
分钟相遇．
52．（24-25 七年级下·山西长治·期中）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式．某日早上
小飞与
小浩相约在“水上公园”晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，跑完后，他们查看自己运动手表上的
数据，得到如下信息：
信息一：
小飞出发时刻
智能手表数据
小飞结束时刻
智能手表数据
小浩出发时刻
智能手表数据
小浩结束时刻
智能手表数据
时刻
步数（690 步）
心率（92 次/分钟）
时刻
步数（4690 步）
心率（132 次/分钟）
时刻
步数（340 步）
心率（85 次/分钟）
时刻
步数（4840 步）
心率（141 次/分钟）
信息二：小飞每分钟比小浩多跑20 步．
信息三：小飞每步比小浩每步多跑
米．解决问题：
(1)以上“信息一”中的a 为__________；
(2)列方程求起点与终点的距离．
【答案】(1)
(2)起点与终点的距离为
米
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数运算的应用，熟练掌握行程类一元一次方程的应用方
法是解题的关键．
（1）先求出小飞的速度，由小飞每分钟比小浩多跑
步，得出小浩的速度，再求出小浩的步数，即可求
出小浩的运动时间；
（2）设小浩每步跑
米，则小飞每步跑
米，利用两人行驶路程相同列式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知小飞跑步
分钟，步数为
（步），
则小飞跑步的速度为
（步分钟），
由小飞每分钟比小浩多跑
步，
则小浩跑步的速度为
（步分钟），
由小浩跑步的步数为
（步），
则小浩跑步的时间为
（分钟），
由小浩出发时刻为
，
则小浩结束时刻
的值为
，
故答案为：
；
（2）解：设小浩每步跑
米，则小飞每步跑
米，
根据题意得：
，
解得：
，
所以
（米），
答：起点与终点的距离为
米．
53．（24-25 七年级下·福建泉州·期中）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地
上绕着四周跑步，甲
沿着
方向循环跑步，同时乙沿着
方向循环跑步，
米，
米，
若甲速度为2 米/秒，乙速度3 米/秒．
(1)设经过的时间为秒，则用含的代数式表示甲的路程为________米；
(2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为多少秒？请在图中用圆点标出相遇点
的位置．
(3)若甲改为沿着
的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过
多少秒，乙第一次追上甲？请在图中用圆点标出追及点
的位置并直接写出
、
两点间的距离．
【答案】(1)
(2)26 秒，见解析
(3)130 秒，见解析，
、
两点间的距离为8 米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
（1）利用路程=速度×时间，可用含t 的代数式表示甲的路程；
（2）利用甲、乙的路程之和等于
米，可列出关于t 的一元一次方程，解之即可得出t 的值，
将其代入2t 中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点P 的位置；
（3）利用甲、乙的路程之差等于
米，可列出关于t 的一元一次方程，解之即可得出t 的值，
将其代入2t 中，可求出甲的路程，结合甲的路径，即可找出点Q 的位置，再利用
，即
可求出结论．
【详解】（1）解：用含的代数式表示甲的路程为
米，
故答案为：
；
（2）解：依题意，得
，
解得：
，
∴
（米），
（米）．
当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间为26 秒，相遇点
的位置如图所示：
（3）解：依题意，得
，
解得：
，
∴
（米），
（米），
（米）．
答：经过130 秒，乙第一次追上甲，相遇点
的位置如图所示，此时
、
两点间的距离为8 米．
类型10 日历问题
54．（24-25 七年级下·山西临汾·期中）如图所示的是2025 年1 月日历，“U 型”、“十字型”两个阴影
图形分别覆盖其中五个数字（“U 型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），
设“U 型”覆盖的五个数字之和为
，“十字型”覆盖的五个数之和为
．
(1)“U 型”中最小的数为13，则最大的数为_______；
(2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则
的值可以是90 吗？请说明理由．
【答案】(1)22
(2)不可以；理由见解析
【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键：
（1）根据图形，得到“U 型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可；
（2）根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：“U 型”中最大数字与最小数字的差值为9，
∴当“U 型”中最小的数为13 时，最大的数为
；
故答案为：22；
（2）不可以，理由如下：
由题意，得：
，
解得：
，
此时不存在“十字型”，故
的值不可以是90．
55．（24-25 七年级上·四川南充·期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘．
在某月的日历上圈出
个数，
(1)用图1 方框圈2 个数，？位置的数可表示为___________（用含字母
的式子表示）．
(2)用图2 方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数．
(3)①用图3 斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数．
②若干个偶数按每行8 个数排成图4 所示，同样用图3 斜框圈出4 个数，用你学的数学知识说明：这四个
数的和是8 的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n）
【答案】(1)
(2)4
(3)①
；②见解析．
【分析】此题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，根据题意正确列出代数式和方
程是解题的关键．
（1）根据日历表上下两个数相差7 即可得到答案；
（2）设第一个数是x，表示出其余三个数，根据四个数的和是32 列方程，解方程即可得到答案；
（3）①设最大的数是x，表示出其余三个数，根据四个数和是42 列方程，解方程即可得到答案；②设这
四个数中最小的数是n，表示出其余三个数，得到
，根据
且n 为
偶数分析即可得到结论．
【详解】（1）解：由日历可知，用图1 方框圈2 个数，?位置的数可表示为
，
故答案为：
（2）设最小的那个数是x，
则
，
解得
，
即最小的那个数是4，
故答案为：4
（3）①解：设最大的数是x，则
，
解得
，
即最大的数是
，
故答案为：
②设这四个数中最小的数是n，
则
，
∵
且n 为偶数，
∴
一定是正整数，
∴
是8 的整数倍．
即用图3 斜框圈出4 个数，则这四个数的和是8 的整数倍．
56．（24-25 七年级下·吉林长春·阶段练习）如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个
数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是
．
(1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含
的代数式表示，并化简）；
(2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于
．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，用含
的代数式表示其他六个数．
（1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是
，则其他六个数是
、
、
、
、
、
，相加即可得到答案；
（2）由（1）可知，
，解得
，此时最大的数
，而日历中没有
，故“H”
形框不能框到七个数，使这七个数之和等于
．
【详解】（1）解：设“H”形框中的七个数中最中间一个数是
，则其他六个数是
、
、
、
、
、
，
七个数的和是
；
（2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于
，理由如下：
由（1）得，
，
解得
，
此时最大的数
，而日历中没有
，
故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于
．
类型11 古代问题
57．（24-25 七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问
人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6 元，那么多4 元；如果每人付4 元，
那么差4 元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元．
【答案】4 人，20 元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解
题的关键．设有x 人，则物品的价值可表示为
或
，再列方程，解方程即可．
【详解】解：设有x 人， 根据题意得，
，
解得
，
物价：
（元），
答：有4 人共同买这件物品，这件物品的价格为20 元．
58．（24-25 七年级上·广东广州·期末）请用方程来解决下面问题：
【经典数学问题】元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马
日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”
其大意是：快马每天行240 里，慢马每天行150 里，慢马先行12 天，问快马几天可追上慢马？
【答案】快马20 天追上慢马
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．设快马x 天可以追上
慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可．
【详解】解：设快马
天追上慢马，则此时慢马走了
天，
依题意，得
，
解得
，
答：快马20 天追上慢马．
59．（21-22 七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有
木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一
根木条，绳子多出4.5 尺；将绳子对折后量木条，木条多出1 尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方
法解决该问题．
【答案】木条的长度为
尺．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识．设木条的长度为x 尺，则绳子的长度为
尺，根据“将绳子对折后量木条，木条多出1 尺”，可列出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设木条的长度为x 尺，则绳子的长度为
尺，
根据题意得：
，
解得：
．
答：木条的长度为
尺．
真题感知
一、单选题
1．（24-25 七年级上·重庆·期中）按照下面的程序计算：当输入
为32 时，输出结果为155；当输入
为
11 时，输出结果为245；若输入的
的值为正整数，输出结果为95，那么满足条件的
的值最多有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查了程序框图与代数式求值，解一元一次方程；分情况考虑，95 是一次输出的结果；95
是丙次运算输出的结果；95 是三次运算输出的结果；分别利用一元一次方程求解即可．
【详解】解：若95 是一次计算输出的结果，则
，
解得：
；
若95 是经过两次计算输出的结果，由上知，第一次输出的结果为20，第二次输出的结果为95，故
，
解得：
；
若95 是经过三次计算输出的结果，由上知，第二次输出的结果为20，第三次输出的结果为95，故
，
解得：
；
由于输入的
的值为正整数，故满足条件的x 的值最多有3 个；
故选：C．
2．（24-25 七年级下·山西临汾·阶段练习）某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要5 天、10 天完
成．如果先由乙工程队单独施工6 天，然后再由两个工程队同时施工，则还需多少天完成．若设由两个工
程队同时施工
天可完成，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据总工作量等于各劳动分量之和，列出方程即可．
【详解】解：由题意，乙的总工作量为
，甲的总工作量为：
，
∴可列方程为：
；
故选C．
3．（24-25 七年级下·河南周口·阶段练习）某商店以240 元/件的价格卖出两件衣服，一件赚
，一件赔
，则在本次交易中，该商店（ ）
A．赚20 元
B．赔20 元
C．不赔不赚
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，求出两件衣服的进价是解题的关键．
设进价为x 元，根据售价
（1
利润率）进价列出一元一次方程，计算出赚了
的衣服进价，然后再
计算出赔了
的衣服进价，然后再计算出是赔还是赚即可．
【详解】解：设赚了
的衣服的进价是x 元，则
，
解得，
，
则实际赚了
元；
设赔了
的衣服进价是y 元，
则
，
解得
，
则实际赔了
元；
∵
，
∴在这次交易中，该商店是赔了
（元）．
故选B．
4．（24-25 八年级下·山东德州·期中）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是
和
，则x 为（ ）
A．40
B．80
C．40 或80
D．60
【答案】C
【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，邻补角与对顶角的性质，一元一次方程的应用，正确理
解两条直线相交所成角的关系是解题的关键．
由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角、有对顶角，由此列方程解答．
【详解】解：当两个角是对顶角时，
，解得
；
当两个角是邻补角时，
，解得
，
故选：C．
5．（2025·河北唐山·一模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、
、3、
、5、
、7、
分别
填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4 个数字之和都相等，则
的值为（ ）
A．
或4
B．
或1
C．
或
D．1 或
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程．由于八个数的和是
，所以需满足内外两个正方形顶点上的4 个数字
之和都是
，横、竖的和也是
．列方程可得结论．
【详解】解：设小正方形顶点上的数为x，大正方形顶点上的数为y，
，
∵横、竖以及内外两圈上的4 个数字之和都相等，
∴内外两个正方形顶点上的4 个数字之和都是
，横、竖的和也是
，
则
，得
，
，得
，
，
，
∵当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
故选：A．
6．（24-25 七年级下·河北石家庄·期中）在一副三角尺中
，
，
，将它
们按如图所示摆放在量角器上，边
与量角器的
刻度线重合，边
与量角器的
刻度线重合．将
三角尺
绕点
以每秒
的速度逆时针旋转，同时三角尺
绕点
以每秒
的速度顺时针旋转，当
三角尺
的
边与
刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺
的边与
平行时，运动时
间为（ ）秒．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，平行线的性质，由题意知只有
能与
平行，设运动时
间为秒，可得
，
，由平行线的性质得
，进而可得
，解方程即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：∵
与
有公共点
，
∴只有
能与
平行，如图，
设运动时间为秒，
由题意得，
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
解得
，
∵三角尺
的
边与
刻度线重合时，
，
∴
符合题意，
故选：
．
7．（24-25 七年级下·山东济宁·期中）为了亮化某景点，某市在两条笔直且互相平行的景观道
，
上
分别放置E，F 两盏激光灯，如图所示．E 灯发出的光束自
顺时针旋转至
便立即回转，F 灯发出的光
束自
顺时针旋转至
便立即回转，两灯不间断照射，E 灯每秒转动
，F 灯每秒转动
，F 灯先转
动3 秒，E 灯才开始转动．当F 灯光束第一次到达
之前，两灯的光束互相平行时E 灯旋转的时间是
（ ）
A．1 或11 秒
B．3 或
秒
C．1 或
秒
D．3 或11 秒
【答案】D
【分析】设E 灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为
，再分①
，②
两种情况，
先分别画出图形，然后根据平行线的性质，得出角度间的关系，建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设E 灯旋转的时间为秒，
F 灯光束第一次到达
所需时间为
秒，
灯光束第一次到达
所需时间为
秒，
灯先转动3 秒，E 灯才开始转动，
，即
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当
时，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
；
②如图，当
时，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
，
综上，E 灯旋转的时间为3 秒或
秒．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并
据此分情况讨论是解题关键．
8．（24-25 七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳
测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子
测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份
井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（ ）
A．设井深为
尺，所列方程为
B．设绳子的长为
尺，所列方程为
C．绳子的长是32 尺
D．井深8 尺
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
根据题意列方程求解，逐项判断即可．
【详解】解：设井深
尺，
根据题意得
，
故选项A 错误，不符合题意；
解得：
，
井深8 尺，
故选项D 正确，符合题意；
，
绳子的长是
尺，
故选项C 错误，不符合题意；
设绳子的长为
尺，根据题意得
，
故选项B 错误，不符合题意；
故选：D．
9．（24-25 七年级上·四川南充·期中）若a、b、c 为有理数，则下列说法正确的是（ ）
A．因为
，所以
B．因为
，所以
C．因为
，所以
D．因为
，所以
【答案】C
【分析】本题考查了等式的基本性质，“如果
，那么
” ，“如果
，那么
” ，
“如果
，那么
（
）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键．
【详解】解：因为
，所以当
时，
，结论错误，故不符合题意；
B.因为
，所以
，结论错误，故不符合题意；
C.因为
，所以
，结论正确，故符合题意；
D.因为
，所以
或
，结论错误，故不符合题意；
故选：C．
10．（24-25 七年级下·山西临汾·期中）若代数式
与
的值互为相反数，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到
，解方程
即可解答．
【详解】解：∵代数式
与
的值互为相反数，
∴
，
解得
．
故选：A
二、填空题
11．（24-25 七年级下·安徽合肥·期中）对于整数
，
，定义一种新运算“
”：当
为偶数时，规定
；当
为奇数时，规定
．请解答下列问题：
（1）当
，
时，
；
（2）若
，则
的值为 ．
【答案】
或
【分析】本题主要考查新定义下的运算，有理数混合运算，绝对值的性质，解一元一次方程，解题的关键
是掌握知识点的应用以及分类讨论思想．
（）根据新定义即可求解；
（
）分
当
为偶数时，则
为奇数和
当
为奇数时，则
为偶数两种情况分析，然后根据新
定义列出方程，再进行分类讨论即可求解．
【详解】解：（）当
，
时，
为偶数，
∴
，
故答案为：
；
（
）
当
为偶数时，则
为奇数，
，
当
时，
，解得：
（舍）
当
时，
，解得：
（舍），
当
时，
，解得：
（舍）；
当
为奇数时，则
为偶数，
，
当
时，
，解得：
（舍）；
当
时，
，解得：
；
当
时，
，解得：
；
∴
或
，
故答案为：
或
．
12．（24-25 七年级下·山西临汾·阶段练习）在一次劳动课上，有30 名同学在甲处劳动，有12 名同学在乙
处劳动，现在另调25 人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2 倍，如果设调往
甲处
人，那么依题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2 倍，列出方程即
可．
【详解】解：设调往甲处
人，则调往乙处
人，由题意，得：
；
故答案为：
13．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期中）按下面的程序计算，若开始输入的值
为正数，最后输出的结果为
，请写出符合条件的所有
的值 ．
【答案】
或/8 或2
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，根据输出结果，由运算程序求出所
有
的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：若第一次输入
，输出结果为
时，则
，解得：
；
若第二次输出结果为
时，则
，解得：
；
若第三次输出结果为
时，则
，解得：
（不符合题意）；
∴所有正数
的值为
或，
故答案为：
或．
14．（24-25 七年级下·全国·课后作业）根据绝对值的定义可知，
表示数x 在数轴上所对应的点与原点的
距离；规定：
表示数
和数
在数轴上所对应的两点之间的距离．如果
，那么m
的值为 ．
【答案】
或
【分析】本题考查的是数轴与绝对值，一元一次方程的应用，根据绝对值的定义可知：
表
示为m 点到
和3 的距离和为5，分为三种情况：当
时，即
和当
时，即
，当
时，再分别求解即可．
【详解】解：根据绝对值的定义可知：
表示为m 点到
和3 的距离和为5，
∴分为三种情况：
当
时，即
，
解得：
；
当
时，
，
当
时，即
，
解得：
；
综上，m 的值为
或
，
故答案为：
或
．
15．（24-25 七年级下·四川内江·期中）王强进行3000 米的跑步练习，他以6 米／秒的速度跑了一段路程
后，又以4 米／秒的速度跑完了其余的路程，一共花了10 分钟，则他以6 米／秒的速度跑了
米．
【答案】1800
【分析】本题主要考查路程等于速度乘以时间和方程的应用，设王强以6 米/秒速度跑了x 米，那么以4
米/秒速度跑了
米，根据路程和所用时间列出方程求解即可．
【详解】解：设王强以6 米/秒速度跑了x 米，那么以4 米/秒速度跑了
米．
根据题意：
故答案为：1800．
三、解答题
16．（24-25 七年级下·四川绵阳·期中）小军看一本故事书，第一天看了全书的
，第二天又看了35 页，
这时已看页数和未看页数之比是
．这本书共有多少页？
【答案】这本书共有350 页
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这本书共有
页，根据题意列出一元一次方程，解方程即可
得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．
【详解】解：设这本书共有
页，
由题意得：
，
解得：
，
答：这本书共有350 页．
17．（24-25 七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究如图，点
表示的数是
，点
表示的数是
，满足
．动点
从点
出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
秒．
(1)
________，
________．
(2)动点
从点
出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点
，
同时出发．
①问点
运动多少秒时追上点
？
②问点
运动多少秒时使得
？
(3)若点
从
点出发向左运动，
为
的中点，在点
到达点
之前，求证：
的值为定值．
【答案】(1)
，
(2)①点
运动秒时追上点
；②点
运动
秒或
秒时使得
(3)见解析
【分析】本题考查了数轴与一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，掌握相关知
识是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）①由题意得：
，
，得到点
表示的数是
，点
表示的数是
，根据点
追
上点
时两点在数轴上表示的数相同列方程即可求解；②由点
表示的数是
，点
表示的数是
，可得
，根据
列方程即可求；
（3）分别表示出
、
、
，再求
的值即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
解得：
，
，
故答案为：
，
；
（2）解：①由题意得：
，
，
点
表示的数是
，点
表示的数是
，
点
表示的数是
，点
表示的数是
，
点
追上点
时，
，
解得：
，
点
运动秒时追上点
；
②
点
表示的数是
，点
表示的数是
，
，
当
时，
，
解得：
或
，
点
运动
秒或
秒时使得
；
（3）解：
点
表示的数是
，点
表示的数是
，点
表示的数是
，
，
，
，
为
的中点，
，
，
．
18．（24-25 七年级下·山西吕梁·期中）在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，
可以达到简化计算的效果．
例如：在解方程
时，把
看作一个整体．
令
，原方程变为
，
移项，得
，
合并同类项，得
．
系数化为1，得
，
故
，解得
．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：
．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．把
看作一个整体，再按照解一
元一次方程的方法求解即可．
【详解】解：
令
，则原方程变为
，
移项得：
，
合并同类项得：
，
系数化为1 得：
，
故
，
解得：
．
19．（23-24 七年级下·全国·课后作业）定义：若有理数a，b 满足等式
，且
，则称
a，b 是“姊妹有理数对”，记作
，如：数对
都是“姊妹有理数对”．
(1)数对
_______（填“是”或“不是”）“姊妹有理数对”；
(2)若
是“姊妹有理数对”，求x 的值．
【答案】(1)是
(2)
【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用，掌握“姊妹有理数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“姊妹有理数对”的定义，进行判断即可；
（2）根据“姊妹有理数对”的定义，得到关于x 的方程进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
数对
是“姊妹有理数对”，
故答案为：是；
（2）解：
是“姊妹有理数对”，
可得
，
解得
．
20．（24-25 七年级下·吉林长春·期中）如图，在长方形
中，
．动点P 从
A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿
向终点
运动，同时动点
从
点出发，以每秒3 个单位
长度的速度沿
向终点
运动，设点
运动的时间为秒．
(1)当点
到达点
时，求点
走过的路程．
(2)在点
在到达终点
之前的运动过程中．用含的代数式表示
的长．
(3)当
、
两点在运动路线上相距的路程为6 个单位长度时，求t 的值．
(4)连结
、
、
、
．当三角形
的面积与三角形
的面积相等时，直接写出的值
【答案】(1)
(2)
(3)
或
或
(4)
或
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式等知识，数形结合和分类讨论是关键．
（1）求出点
到达点
时的用时，即可求出答案；
（2）分当点P 在
上时和当点P 在
上时两种情况列出代数式即可；
（3）分当
相遇前和当
相遇后两种情况列方程进行解答即可；
（4）分两种情况画出图形列方程进行解答即可．
【详解】（1）解：当点
到达点
时，用时
，
则点
走过的路程为
．
（2）当点P 在
上时，
，其中
，
当点P 在
上时，
，其中
，
∴
（3）当
相遇前在运动路线上相距的路程为6 个单位长度时，则
或
解得
或
，
当
相遇后在运动路线上相距的路程为6 个单位长度时，则
解得
，
综上可知，当
、
两点在运动路线上相距的路程为6 个单位长度时，t 的值为
或
或
．
（4）当
在
上，
在
上时，此时
，
,其中
，
∴
∵
∴
解得
，符合题意，
当
在
上，
在
上时，此时
，
,其中
，
∵
∴
解得
，
综上可知，
或
，
即当三角形
的面积与三角形
的面积相等时，
或
