文档文本内容
专题02 相交线与平行线
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
求一个角的余角、补角
题型2
利用对顶角、余角、补角、直角求角
题型3
点到直线的距离与垂线段最短
题型4
对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别
题型5
平行线的判定和性质多结论题
题型6
平行线的性质在生活中的应用
题型7
平行线的判定和性质综合问题
题型8
平行线的判定与性质中拐点问题
题型9
根据平行线的判定与性质解决光线与旋转问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 对顶角、邻补角性质及计算。
2. 垂线：定义、垂线段最短。
3. 三线八角：同位角、内错角、
同旁内角识别。
4. 平行线：判定与性质的应用。
5. 尺规作图：作一个角等于已知
角。
1.
强化几何推理起步：从直观感知转向演绎论证，重点考查简单
几何命题的逻辑推理与规范表达。
2.
聚焦核心关系判定：突出“三线八角”的识别，以及在复杂图
形中灵活选用平行线的判定与性质。
3.
融入跨学科情境：结合光线传播、工程制图、折叠问题等考查
角度计算与平行条件。
4.
重视作图与综合应用：新增尺规作图作一个角等于已知角，并
与垂直、角平分线综合考查。
考情解码：根据2026 年新教材考情，第二章《相交线与平行线》已从简单识图进阶为规范化的几何
推理入门。命题重点考查对顶角、邻补角及“三线八角”的准确辨析，核心是平行线的判定与性质在
证明或计算中的交替使用。高频题型包括折叠问题、借助三角尺拼图，以及结合生活情境（如光线反
射）求角度，同时重视“尺规作等角”的操作考查。
知识点一对顶角、余角、补角
1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个
角叫做对顶角.
2.对顶角的性质：对顶角相等.
3.互补与互余的概念
互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那
么称这两个角互为余角，也称互余.
4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
【易错警示】
- 对顶角：必须由相交直线形成，相等的前提是角的两边互为反向延长线，勿把邻补角当对顶角。
- 余角/补角：只与角度数有关（和为90°/180°），与位置无关；注意区分“互余/互补”与“邻补角”概念。
即时即练如图，已知点O 为直线AB 上一点，
100
BOC
，OM 平分
AOC
．
(1)求
AOM
的度数；
(2)若
BOP
与
AOM
互余，求
COP
的度数．
知识点二垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另
一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1 所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.
特别提醒：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指
这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到直线AB 的距离
是垂线段PO 的长.
特别提醒：垂线段PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条.
【易错警示】
- 垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，勿忘“在同一平面内”。
- 点到直线距离：是指垂线段的长度，不是线段本身；必须垂直，不能随意作斜线段当距离。
即时即练如图，
, ,
,
A B C D 四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题：
(1)作射线CA ；
(2)连接BD ，交AC 于点E ；
(3)过点D 作DF
AC
于点F ；
(4)点D 到AC 的距离是线段______的长度；
(5)图中点______到
,
B D 两点的距离之和最小，依据是______．
知识点三同位角、内错角与同旁内角
角的名称
位置特征
图形结构特征
同位角
既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧
形如字母“F”（或倒置、反转、旋转）
内错角
既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即
被截线“错开”
形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转）
同旁内角
既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间.
形如字母“U”（或倒置、反转、旋转）
【易错警示】
- 识别关键：看两角是否由截线与两条被截线形成，勿只看位置像。
- 注意前提：只有在“三线八角”图中讨论；两线不平行时，三类角仍存在，但无相等或互补关系。
即时即练如图，直线a，b 被直线c 所截，则下列说法中正确的是（
）
A．
3
与
4
互余
B．
3
与
4
是同位角
C．
1
与
3
不是对顶角
D．
2
与
4
是同位角
知识点四平行线的判定和性质
1.平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.
2.平行线的画法
一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.
3.平行线的公理
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
4.平行线的判定
判定方法1
判定方法2
判定方法3
两条直
线平行
的判定
两条直线被第三条直线所
截，如果同位角相等，那
么这两条直线平行，即同
位角相等，两直线平行
两条直线被第三条直线所
截，如果内错角相等，那么
这两条直线平行，即内错角
相等，两直线平行
两条直线被第三条直线
所截，如果同旁内角互
补，那么这两条直线平
行，即同旁内角互补，两
直线平行
符号语
言
那么∠1=∠2
那么AB//CD
那么∠1=∠2
那么AB//CD
那么∠1+∠2=180°
那么AB//CD
5.平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.
【易错警示】
- 判定：由角的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）得平行，勿用性质证判定。
- 性质：已知平行得角的关系。两者不可混淆因果，且注意前提是“两直线平行”时性质才成立。
即时即练1．如图，在四边形ABCD中，点E 在BC 的延长线上，连接AE 交CD于点F，对于给出的四个条
件：①
1
3
；②
4
B
；③
2
5
180
；④
180
D
BCD
．其中能判断AB
CD
∥
的是（）
A．①或②
B．①或④
C．②或④
D．②或③
2．已知AB
CD
∥
，点E 在AB 上，点H、F 在CD上，点H 在点F 的左侧，点G 在AB 与CD之间．
【探究】如图①，EG
AB
，
140
G
，
50
EFH
．试判断EF 与GH 是否平行，并说明理由．
【迁移】如图②，
90
EGH
，GH
EF
，
AEG
的角平分线交HG 的延长线于点M．
（1）若
50
EFH
，则
AEM
的大小为________度；
（2）若
2
AEG
EFH
，则
EFH
的大小为________度．
题型1
求一个角的余角、补角
例1．若
70
，则
余角的度数为__________．
例2．已知
31 20
，则
的补角大小为_________________．
【技巧总结】
两角互余和为90°，互补和为180°；已知一个角求余角用90°减，补角用180°减，注意单位换算，设
未知数列方程，常结合角平分线或倍分关系建立等量关系。
【变式训练1-1】（1）78 54
_____；
（2）36角的余角是_____，补角是______．
【变式训练1-2】已知
1
的度数是
2
度数的2
3 ，且
2
的补角比
1
的余角的3 倍大15° ，则
1
______° ．
题型2
利用对顶角、余角、补角、直角求角
例3．如图1，
AOC
与
BOC
互为补角，
90
DOC
，且
8
BOD
BOC
．
(1)求
BOC
的度数；
(2)如图2，若OE 平分
AOC
，OF 平分
BOD
，求
EOF
的度数．
例4．如图，已知点O 为直线AB 上一点，
100
BOC
，
90
COD
，OM 平分
AOC
．
(1)求
MOD
的度数；
(2)若
BOP
与
AOM
互余，求
POD
的度数．
【技巧总结】
先找对顶角相等，再根据余角或补角关系转化，结合垂直得90°，用方程思想表示各角；将分散角集中到
三角形或多边形中，利用内角和、外角性质建立等量关系求解。
【变式训练2-1】如图1，已知有公共顶点O的两个角
AOB
，COD
，且，满足
180
，
．
(1)若，满足
2
120
60
0
，则
AOB
，
COD
，
BOC
与
AOD
的特殊关系是；
(2)将图1中的
COD
绕点O逆时针旋转至图2 时，
BOC
与
AOD
是否还具有（1）中的特殊关系？请说明
理由；
(3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当
AOC
与
BOD
互余时，请直接写出
AOC
的度数．
【变式训练2-2】设
AOC
，
0
180 0
180
COB
，
，OD
OE
、
分别是
AOC
、
COB
的角平分线，记
DOE
．如果，互补，或者，互补，则称
AOC
，
COB
是一对“分补角”．
(1)如图1，
130
AOB
，OC 在
AOB
内，
50
AOC
．分别作
AOC
，
COB
的角平分线OD
OE
、
，
则
DOE
______，
AOC
，
COB
______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2，若
120
AOC
，
0
90
COB
，
AOC
，COB
是一对“分补角”，且OB 在
AOC
的外部，求β的值；
(3)如图3，
160
AOB
．若
AOC
和
COB
是一对“分补角”，且OC 在
AOB
内部，请直接写出
AOC
的所有可能值．
题型3
点到直线的距离与垂线段最短
例5．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为
2.56
DA
米，
2.15
DB
米，
2.70
AC
米，则黎明的立定跳远成绩应该为
米．
例6．如图，点P 是直线l 外一点，点A 、B 、C 、D 在直线l 上，PC
l
于点C ，在线段PA 、PB、PC 、
PD 中，最短的线段是
，测量点P 到直线l 的距离是
cm（精确到0.1cm）．
【技巧总结】
点到直线垂线段长度即距离，唯一且最短；求距离常作垂线构造直角三角形，利用面积法或勾股定理计算，
比较线段长短时优先考虑垂线段，注意区分垂足位置。
【变式训练3-1】如图，AB
AC
，AD
BC
，若
4cm
AB
，
3cm
AC
，
2.4cm
AD
，那么A，B 两点之
间的距离为
cm，点A 到直线BC 的距离为
cm，点C 到直线AB 的距离为
cm．
【变式训练3-2】如图，在6 6
的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A 、B 、
C 、D 均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)作线段AB ，作射线AD ；
(2)点D 到直线BC 的距离为线段________的长度；
(3)在线段BD 上找一点O，使它到A 、B 、C 、D 四个点的距离之和最小，作图的理由为________．
题型4
对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别
例7．下列图形中，
1
与
2
是内错角的是（
）
A．
B．
C．
D．
例8．下列图形中，
1
与
2
不属于同位角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧总结】
对顶角由两直线相交形成，形状像“X”；同位角、内错角、同旁内角需两条被截线与一条截线，看位置关
系：同位角“F”型，内错角“Z”型，同旁内角“U”型，找准截线是关键。
【变式训练4-1】如图，下列说法正确的是（
）
A．
3
和
5
是内错角
B．
2
和
6
是对顶角
C．
1
和
6
是同位角
D．
4
和
5
是同旁内角
【变式训练4-2】滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①
1
与
2
是对顶角；②
3
与
4
是同旁内角；③
5
与
6
是同旁内角；④
1
与
4
是内错角．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型5
平行线的判定和性质多结论题
例9．将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知1
2
l
l
∥，
60
ACD
，
1
0
45
，则下列结
论不正确的是（
）
A．
90
BCE
B．
2
45
C．AB
ED
∥
D．当
30
时，
BAC
MAC
例10．如图，已知EF
GH
∥
，A、D 为GH 上的两点，M、B 为EF 上的两点，延长AM 至点C，AB 平分
DAC
，
点N 在直线DB 上，且BN 平分
FBC
，若
110
ACB
．则下列结论：
①
MAB
BAD
；
②
ABM
BAM
；③
NBC
BDH
；④设
CBM
，则
5
2
5
1
BAD
；
⑤
55
DBA
其中，正确的有（
）
A．①②③
B．①②③④
C．①②③⑤
D．②③④⑤
【技巧总结】
先根据已知判定平行，再运用性质推导角的关系；每个结论逐一验证，避免混淆判定与性质，利用“两直
线平行”作桥梁，结合对顶角、邻补角等转化，注意逻辑链条完整。
【变式训练5-1】如图，AF
CD
∥
，CB 平分
ACD
，BD 平分
EBF
，且BC
BD
，下列结论：①BC 平
分
ABE
；②AC
BE
∥
；③
90
BCD
D
；④
60
DBF
．其中正确的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式训练5-2】如图，AB
CD
∥
，F 为AB 上一点，
∥
FD
EH ，且FE 平分
AFG
，过点F 作FG
EH
于
点G，且
2
AFG
D ，则下列结论：①
45
D
；②2
90
D
EHC
；③FD
FG
；④FH 平分
GFD
．其中正确结论的是（
）
A．①②
B．③④
C．②③
D．①②③④
题型6
平行线的性质在生活中的应用
例11．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，
1
86
，则
2
．
例12．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC
DE
∥
，
AB
CD
∥
，当
120
ABC
时，
CDE
的度数为
．
【技巧总结】
将实际问题抽象为平行线模型，利用同位角、内错角相等或同旁内角互补，结合测量数据建立方程；常借
助标杆、光线等构造平行线，通过角度计算求距离或高度。
【变式训练6-1】如图是一款长臂折叠LED 护眼灯示意图，EF 与DF 垂直，当发光的灯管AB 恰好与EF 平
行时，
=110
BAC
，
105
ACD
，则
CDF
的度数为
．
【变式训练6-2】为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池
板AB 与水平线的夹角为30，电池板CD 与水平线的夹角为40，要使AB
CD
∥
，需将电池板CD 逆时针旋
转
0
90
．则的度数为
．
题型7
平行线的判定和性质综合问题
例13．如图，
2
B
，BE 与DF 交于点P ．
(1)若1
52
，求
C
的度数；
(2)若
2
90
D
，AB
CD
∥
，试判断BE 与DF 的位置关系，并说明理由．
例14．如图，直线AB
CD
EF
GH
AEF
∥
∥
，
，
的平分线EP 交CD于点P．
(1)求证：
EPF
PEF
．
(2)若
3
FHG
EPF
，求
EPF
的度数．
(3)若
EFH
的平分线FQ 交GH 于点Q，连接EQ ．若
50
PEQ
EQF
，求
EQF
的度数．
【技巧总结】
先由角的关系判定平行，再由平行推导新角关系，反复交替使用；常作辅助线（如过拐点作平行线）沟通
已知与未知，将分散角集中转化，结合三角形内角和与方程思想求解。
【变式训练7-1】如图，AM
BN
∥
，
60
A
，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC
BD
，
分
别平分
ABP
和
PBN
，分别与射线AM 交于点C，D．
(1)
CBD
______．
(2)点P 运动的过程中，
APB
与
ADB
的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；
若变化，请写出变化规律．
(3)若点P 运动到某处时恰有
ACB
ABD
∠
∠
，判断此时
ABD
△
的形状，并说明理由．
【变式训练7-2】在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴
趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下：
【探究一】如图①，已知
,
AB
CD
EF BC
DE
∥
∥
∥
，测得
98
B
，求
,
,
C
D
E
的度数；
【探究二】保持AB
EF
∥
，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想
,
,
,
ABC
BCD
CDE
DEF
之间
具有什么数量关系？探究并说明理由；
【探究三】在图②的基础上，分别作
BCD
、
DEF
的角平分线并相交于点P ，从而得到图③的形状．若
106 ,
70
B
D
，求
P
的度数．
题型8
平行线的判定与性质中拐点问题
例15．如图，直线BE 与线段AB ，直线CD交于点B 、E ，AB
CD
∥
，点F 为直线BE 上一点（不与点
,
B E
重合），连接AF ，过点F 作射线FG
AF
，交CD于点G （点G 在点
,
C D 之间）．
(1)若点F 在线段BE 上．
①如图1，若
AFB
为钝角，
20
A
，求
FGC
的度数；
②如图2，若
AFB
为锐角，判断
A
与
FGC
的数量关系，并说明理由．
(2)若点F 在线段EB 的延长线上，直接写出
．．．．
A
与
FGC
的数量关系．
例16．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，
如图1，已知直线AB
CD
∥
，点E、G 分别为直线AB 、CD上的点，点F 是平面内任意一点，连接EF 、GF ．
【探索发现】：
(1)如图1，若
60
F
，写出
AEF
与
FGC
的数量关系：______；
【深入探究】：
(2)如图2 点P、Q 分别是直线CD上的点，且
90
PFQ
EFG
，直线MN
FG
∥
，交FQ 于点K，“智胜
小组”探究
FKN
与
PFE
之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的探究基础上，
NKQ
AEF
，“科创小组”探究
CPF
与
EFK
之间的数量关系．请
直接写出它们的关系．
【技巧总结】
从结论或已知出发，分析需证角相等或互补，利用平行线将角转移，结合对顶角、邻补角，常过拐点作辅
助平行线构造“三线八角”，通过等量代换建立角之间的数量关系。
【变式训练8-1】已知射线AB 射线CD，P 为一动点，AE 平分PAB ，CE 平分
PCD
，且AE 与CE 相
交于点E．
(1)在图1 中，当点P 运动到线段AC 上时，
180
APC
．
①直接写出
AEC
的度数______；
②求证：
AEC
EAB
ECD
；
(2)当点P 运动到图2 的位置时，猜想
AEC
与
APC
之间的关系，并加以说明；
(3)当点P 运动到图3 的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出
AEC
与
APC
之间的关系．
【变式训练8-2】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺GEF 中，
90
45
EFG
FEG
EGF
，
，顶点G 在直线AB 上．
【初步感知】
(1)如图①，直线CD交直角三角尺GEF 的边GE 于点P ，若
1
27
，
2
108
∠
，则直线AB 与CD的位置
关系是___________；
【问题探究】
(2)如图②，若AB
CD
∥
，点B，D 为直线AB 和直线CD上任意一点，探究
ABE
、
CDE
与
BED
的数量
关系．并说明理由．
(3)如图③，利用（2）所得的结论，过直角三角尺GEF 的顶点E 作CD
AB
∥
，EH 平分
CEF
GH
，
平分
AGF
，
则
EHG
= °；
【拓展延伸】
(4)如图④，将直角三角尺GEF 绕顶点G 转动，过点E 作CD
AB
∥
，在转动过程中，当点F 在直线CD 的上
方时，直接写出
AGF
与
CEF
之间存在的数量关系．
题型9
根据平行线的判定与性质解决光线与旋转问题
例17．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两
岸河堤AB
CD
、
上安置了P、Q 两盏激光探照灯，如图示．光线
1
PB 按顺时针方向以每秒1的速度从PB旋
转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；光线
1
QC 按顺时针方向以每秒3的速度从QC 旋转至QD 便立即回
转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线
1
PB 和光线
1
QC 旋转时间为t 秒
0
60
t
．
(1)如图1，请用含t 的代数式表示光线
1
PB 转动的角度，即
1
BPB
∠
____________°；用含t 的代数式表示光
线
1
QC 转动的角度，即
1
CQC
∠
____________°；
(2)如图2，当光线
1
QC 与光线
1
PB 垂直，垂足为H 时，求t 的值．
例18．如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如
图②AB ，CD是两根互相平行的铁架，且铁架AC 与两边的铁架AB ，CD互相垂直，在两个铁架的
,
M N 处
分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，M 处光线MP 射向点,
A N 处光线NQ 与
NC 的夹角为30．两灯同时开始旋转，光线MP 绕射灯M 顺时针旋转．光线NQ 绕射灯N 逆时针旋转．当
两灯射出的光线与铁架
,
AB CD 重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点M 处射出的光线每秒
旋转4，点N 处射出的光线每秒旋转1，设旋转时间为t 秒．
(1)当旋转时间为20 秒时，求
CNQ
的度数；
(2)如图③，若两灯射出的光线MP ，NQ 第一次与边AC 相交于一点时，此时
90
MPN
，请求出旋转时
间t 的值；
(3)当旋转时间0
90
t
秒时，直接写出MP
NQ
∥
时t 的值．
【技巧总结】
1. 定基准：以入射光线或镜面为参照，标出角度关系。
2. 用平行：光线反射可转化为角相等，结合平行线的同位角、内错角相等或同旁内角互补建立方程。
3. 旋转归角：物体旋转角度等于方向角变化量，常与平行线中的“拐点”模型结合，作辅助平行线求解。
【变式训练9-1】如图所示，含30的直角三角形ABC ，点A 和点C 在两平行线MN
QR
、
上，AD
AE
、
分别
为
BAN
BAM
、
的角平分线，F 为BC 的延长线与AD 的交点．
(1)求证：EA
AD
；
(2)试判别
AED
和
CFD
的大小关系，并说明理由；
(3)当
36
ADE
时，射线AM 和射线CB 分别以10每秒和30每秒的速度同时顺时针旋转，当射线CB 旋
转一周时，全部停止运动，求射线AM 和射线CB 在旋转过程中平行时对应的时间的值．
【变式训练9-2】如图，直线PQ
MN
∥
，一副三角尺（
90
BAC
CDE
，
30
ABC
，
60
ACB
，
45
ECD
DEC
）按图①放置，其中点E 在直线PQ上，点B，C 均在直线MN 上，且CE 平分
ACN
．
(1)求
DEQ
的度数．
(2)如图②，若将三角形ABC 绕点B 以每秒3 度的速度按逆时针方向旋转（A，C 的对应点分别为G，F），
设旋转时间为
0
60
t s
t
．
①在旋转过程中，若边BF
CD
∥
，求t 的值；
②如图③，若在三角形ABC 绕点B 旋转的同时，三角形CDE 绕点E 以每秒2 度的速度按顺时针方向旋转
（C，D 的对应点为H，K）．请求出当边BF
HK
∥
时t 的值．
1．下列图形中，
1
与
2
是对顶角的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，直线AB ，CD相交于点O，
120
AOD
，
2
2 1
，则
1
的度数为（
）
A．40
B．45
C．50
D．60
3．如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿
AD 斜射入水面，在点B 处发生折射，沿BC 方向射入水中．如果
1
80
，
2
41
，那么光的传播方向
改变了（
）．
A．100
B．80
C．41
D．39
4．如图，AB
CD
∥
，E 为AB 上一点，且EF
CD
，垂足F ，CE
DE
，CE 平分
AEG
，且
CGE
，
则下列结论：①
1
2
EDG
∠
∠
；②
2
CEB
；③
90
CEF
；④
180
FED
DCE
FGE
；其中
正确的是（
）
A．①②
B．①④
C．②③
D．②④
5．若
25
A
，则
A
的补角的度数为______．
6．如图，工人准备从河岸的点P 出发向河对岸搭桥，PE 、PF 、PM 、PN 是计划的四种搭桥方案，其中
PM
EN
，若要使搭建的桥梁最短，则应该沿线段________进行桥梁搭建．（填“ PE ”“ PF ”“ PM ”或“ PN ”）
7．如图，点O 是直线AB 上一点，OC 是一条射线，且
34
AOC
，若过点O 作射线OD ，使OD
OC
，
则
BOD
的度数为______．
8．在Rt
ABC
△
中，
90
C
，点D，E 分别是AB
AC
，
边两个动点．将
ADE
沿DE 折叠得到
FDE
，点
A 的对应点为点F，BDF
的平分线交直线BC 于点G．若边DF 与
ABC
的一条边平行，
40
A
，则
BGD
的度数为______．
9．如图，直线AB ，CD交于点O，已知OF
CD
，OE 在OC 右侧，
2
COE
AOC
．
(1)若
27
BOD
，求
COE
的度数；
(2)若
60
BOF
，试说明
AOC
与
COE
互余．
10．如图1 是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图2 是抽象出来的外部轮廓图，AB
EF
∥
，AH
FG
∥
．
(1)若
80
A
，则
F
的度数为多少？
(2)若
H
120，求
A
F
G
的值．
11．已知MA
BN
∥
．
(1)如图1，若
30
MAC
，
95
ACB
，求
CBN
的度数．
(2)如图2，
90
ACB
，
MAC
，
CBN
的平分线交于点P ．
①求
APB
的度数．
②已知
50
MAC
，E 为射线BN 上的一个动点，过点E 作EF
BC
∥
交直线AP 于点F ，连接EP ．若
10
FEP
，请直接写出
BPE
的度数．
12．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯（探照灯的光束可近似看成一
条射线），便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A 射出的射线AE 自AM 顺时针旋转至AN 便
立即回转，灯B 射出的射线BF 自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的
速度是每秒3 度，灯B 转动的速度是每秒1 度，假定主道路是平行的，即PQ
MN
∥
，且
:
3:1
BAM
BAN
．
(1)填空：
BAN
___________；
(2)若灯B 射线先转动20 秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束
互相平行？
(3)如图2，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若A 射出的光束与B 射出的光束交于点C ，过C 作
CD
AC
交PQ于点D ，则在转动过程中，
BAC
与
BCD
的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其
数量关系；若改变，请求出其取值范围．
