专题02 相交线与平行线
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
求一个角的余角、补角
题型2
利用对顶角、余角、补角、直角求角
题型3
点到直线的距离与垂线段最短
题型4
对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别
题型5
平行线的判定和性质多结论题
题型6
平行线的性质在生活中的应用
题型7
平行线的判定和性质综合问题
题型8
平行线的判定与性质中拐点问题
题型9
根据平行线的判定与性质解决光线与旋转问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 对顶角、邻补角性质及计算。
2. 垂线：定义、垂线段最短。
3. 三线八角：同位角、内错角、
同旁内角识别。
4. 平行线：判定与性质的应用。
5. 尺规作图：作一个角等于已知
角。
1.
强化几何推理起步：从直观感知转向演绎论证，重点考查简单
几何命题的逻辑推理与规范表达。
2.
聚焦核心关系判定：突出“三线八角”的识别，以及在复杂图
形中灵活选用平行线的判定与性质。
3.
融入跨学科情境：结合光线传播、工程制图、折叠问题等考查
角度计算与平行条件。
4.
重视作图与综合应用：新增尺规作图作一个角等于已知角，并
与垂直、角平分线综合考查。
考情解码：根据2026 年新教材考情，第二章《相交线与平行线》已从简单识图进阶为规范化的几何
推理入门。命题重点考查对顶角、邻补角及“三线八角”的准确辨析，核心是平行线的判定与性质在
证明或计算中的交替使用。高频题型包括折叠问题、借助三角尺拼图，以及结合生活情境（如光线反
射）求角度，同时重视“尺规作等角”的操作考查。
知识点一对顶角、余角、补角
1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个
角叫做对顶角.
2.对顶角的性质：对顶角相等.
3.互补与互余的概念
互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那
么称这两个角互为余角，也称互余.
4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
【易错警示】
- 对顶角：必须由相交直线形成，相等的前提是角的两边互为反向延长线，勿把邻补角当对顶角。
- 余角/补角：只与角度数有关（和为90°/180°），与位置无关；注意区分“互余/互补”与“邻补角”概念。
即时即练如图，已知点O 为直线AB 上一点，
100
BOC
，OM 平分
AOC
．
(1)求
AOM
的度数；
(2)若
BOP
与
AOM
互余，求
COP
的度数．
【答案】(1)40
(2)50
【分析】本题考查角的和差关系，余角、补角和角平分线的定义：
（1）根据补角、角平分线的定义及角的和差关系求解；
（2）根据
BOP
与
AOM
互余求出
BOP
即可求解．
【详解】（1）解：
180
AOB
，
100
BOC
，
180
100
80
AOC
AOB
BOC
，
OM 平分
AOC
，
AOM
1
40
2
AOC
；
（2）解：
BOP
与
AOM
互余，
40
AOM
，
90
50
BOP
AOM
，
∴
100
50
50
COP
BOC
BOP
；
知识点二垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另
一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1 所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.
特别提醒：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指
这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到直线AB 的距离
是垂线段PO 的长.
特别提醒：垂线段PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条.
【易错警示】
- 垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，勿忘“在同一平面内”。
- 点到直线距离：是指垂线段的长度，不是线段本身；必须垂直，不能随意作斜线段当距离。
即时即练如图，
, ,
,
A B C D 四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题：
(1)作射线CA ；
(2)连接BD ，交AC 于点E ；
(3)过点D 作DF
AC
于点F ；
(4)点D 到AC 的距离是线段______的长度；
(5)图中点______到
,
B D 两点的距离之和最小，依据是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4) DF
(5) E ，两点之间线段最短．
【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练
掌握作图方法．
（1）根据射线的画法作图即可；
（2）根据线段的画法作图即可；
（3）根据垂线的画法作图即可；
（4）根据垂线的长度求解即可；
（5）根据线段的性质求解即可．
【详解】（1）解：射线CA 如图1 所示，
（2）解：连接BD ，交AC 于点E ，如图2 所示，
（3）解：过点D 作DF
AC
于点F ，如图3 所示，
（4）解：点D 到AC 的距离是线段DF 的长度；
故答案为：DF ；
（5）解：图中点E 到
,
B D 两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短．
故答案为：E ；两点之间线段最短．
知识点三同位角、内错角与同旁内角
角的名称
位置特征
图形结构特征
同位角
既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧
形如字母“F”（或倒置、反转、旋转）
内错角
既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即
被截线“错开”
形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转）
同旁内角
既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间.
形如字母“U”（或倒置、反转、旋转）
【易错警示】
- 识别关键：看两角是否由截线与两条被截线形成，勿只看位置像。
- 注意前提：只有在“三线八角”图中讨论；两线不平行时，三类角仍存在，但无相等或互补关系。
即时即练如图，直线a，b 被直线c 所截，则下列说法中正确的是（
）
A．
3
与
4
互余
B．
3
与
4
是同位角
C．
1
与
3
不是对顶角
D．
2
与
4
是同位角
【答案】D
【分析】此题主要考查了对顶角、同旁内角和同位角．根据对顶角、同旁内角、同位角定义分别分析即可．
【详解】解：A、
3
与
4
是同旁内角，不一定互余，故原题说法错误；
B、
3
与
4
是同旁内角，故原题说法错误；
C、
1
与
3
是对顶角，故原题说法错误；
D、
2
与
4
是同位角，故原题说法正确；
故选：D．
知识点四平行线的判定和性质
1.平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.
2.平行线的画法
一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.
3.平行线的公理
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
4.平行线的判定
判定方法1
判定方法2
判定方法3
两条直
线平行
的判定
两条直线被第三条直线所
截，如果同位角相等，那
么这两条直线平行，即同
位角相等，两直线平行
两条直线被第三条直线所
截，如果内错角相等，那么
这两条直线平行，即内错角
相等，两直线平行
两条直线被第三条直线
所截，如果同旁内角互
补，那么这两条直线平
行，即同旁内角互补，两
直线平行
符号语
言
那么∠1=∠2
那么AB//CD
那么∠1=∠2
那么AB//CD
那么∠1+∠2=180°
那么AB//CD
5.平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.
【易错警示】
- 判定：由角的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）得平行，勿用性质证判定。
- 性质：已知平行得角的关系。两者不可混淆因果，且注意前提是“两直线平行”时性质才成立。
即时即练1．如图，在四边形ABCD中，点E 在BC 的延长线上，连接AE 交CD于点F，对于给出的四个条
件：①
1
3
；②
4
B
；③
2
5
180
；④
180
D
BCD
．其中能判断AB
CD
∥
的是（）
A．①或②
B．①或④
C．②或④
D．②或③
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是明确平行线的判定方法．
根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，可以判断各个小题中的结论是否符合题意．
【详解】解：
1
3
，
AD
BC
∥
，不能判断AB
CD
∥
，故①不符合题意；
4
B
，
AB
CD
∥
，故②符合题意；
2
5
180
，
5
180
AFD
2
AFD
∴
，
AB
CD
∥
，故③符合题意；
180
D
BCD
，
AD
BC
∥
，不能判断AB
CD
∥
，故④不符合题意；
∴能判断AB
CD
∥
的是②或③，
故选：D．
2．已知AB
CD
∥
，点E 在AB 上，点H、F 在CD上，点H 在点F 的左侧，点G 在AB 与CD之间．
【探究】如图①，EG
AB
，
140
G
，
50
EFH
．试判断EF 与GH 是否平行，并说明理由．
【迁移】如图②，
90
EGH
，GH
EF
，
AEG
的角平分线交HG 的延长线于点M．
（1）若
50
EFH
，则
AEM
的大小为________度；
（2）若
2
AEG
EFH
，则
EFH
的大小为________度．
【答案】【探究】判断EF 与GH 平行，理由见解析；【迁移】（1）20 ；（2）30
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，掌握平行线性质及角平分线性质是解题
关键．
【探究】根据平行线性质即可求证；
【迁移】（1）根据平行可得
90
EGH
GEF
，
50
EFH
FEB
，利用ME 平分
AEG
，即可求
解；
（2）根据平行可得
90
EGH
GEF
，则
180
90
90
AEG
FEB
，根据等式可得
2
90
FEB
FEB
，求解即可．
【详解】解：【探究】判断EF 与GH 平行，理由如下：
AB
CD
，
50
BEF
EFH
，
又
EG
AB
，
90
GEB
，
90
50
40
GEF
GEB
BEF
，
40
140
180
GEF
G
，
GH
EF
∥
；
解：【迁移】（1）∵
90
EGH
，GH
EF
，
∴
180
EGH
GEF
，
∴
90
GEF
，
∵AB
CD
∥
∴
50
EFH
FEB
∴
180
90
50
40
AEG
∵ME 平分
AEG
∴
1
1
40
20
2
2
AEM
AEG
故答案为：20；
（2）∵
90
EGH
，GH
EF
，
∴
180
EGH
GEF
，
∴
90
GEF
，
∵AB
CD
∥
∴
EFH
FEB
∵
2
AEG
EFH
∴
2
AEG
FEB
∴
180
90
90
AEG
FEB
∴2
90
FEB
FEB
解得：
30
FEB
∴
30
EFH
故答案为：30.
题型1
求一个角的余角、补角
例1．若
70
，则
余角的度数为__________．
【答案】20
【分析】本题考查余角的定义，两个角的和为90则互为余角，因此用90减去已知角的度数即可求解．
【详解】解：∵
70
，
∴
的余角
90
70
20
．
故答案为：20．
例2．已知
31 20
，则
的补角大小为_________________．
【答案】148 40
【分析】根据补角的性质即可求解．
【详解】解：
的补角大小为180
31 20
148 40
．
【技巧总结】
两角互余和为90°，互补和为180°；已知一个角求余角用90°减，补角用180°减，注意单位换算，设
未知数列方程，常结合角平分线或倍分关系建立等量关系。
【变式训练1-1】（1）78 54
_____；
（2）36角的余角是_____，补角是______．
【答案】
78.9/78.9 度
54/54 度
144/144 度
【分析】本题考查角度的换算，余角和补角的有关计算．利用度分换算关系，将分转换为度后相加；根据
余角和补角的定义直接计算．
【详解】解：（1）
54
78 54
78
78
0.9
78.9
60
；
（2）36角的余角是90
36
54
，补角是180
36
144
，
故答案为：78.9；54；144．
【变式训练1-2】已知
1
的度数是
2
度数的2
3 ，且
2
的补角比
1
的余角的3 倍大15° ，则
1
______° ．
【答案】70
【分析】本题考查了补角、余角的定义，一元一次方程的应用，关键是掌握补角、余角的定义；
【详解】解：设
2
的度数为x ，则
1
的度数为2
3 x ，根据补角的定义，
2
的补角为
180
x
；根据余角
的定义，
1
的余角为
2
90
3 x
，
由题意列方程：
2
180
3 90
15
3
x
x
去括号得：180
270
2
15
x
x
合并同类项得：180
285
2
x
x
移项得：2
285 180
x
x
解得：
105
x
则
2
1
105
70
3
故答案为：70.
题型2
利用对顶角、余角、补角、直角求角
例3．如图1，
AOC
与
BOC
互为补角，
90
DOC
，且
8
BOD
BOC
．
(1)求
BOC
的度数；
(2)如图2，若OE 平分
AOC
，OF 平分
BOD
，求
EOF
的度数．
【答案】(1)10
(2)135
【分析】（1）根据
90
DOC
BOD
BOC
，以及
8
BOD
BOC
，即可求解；
（2）根据
AOC
与
BOC
互为补角可得
180
AOC
BOC
，再根据角平分线的定义可得
1
2
COE
AOC
，
1
2
BOF
BOD
，最后根据
EOF
COE
BOC
BOF
即可求解．
【详解】（1）解：∵
90
DOC
，
∴
90
BOD
BOC
，
∵
8
BOD
BOC
，
∴8
90
BOC
BOC
，
∴
90
9
10
BOC
；
（2）解：∵
AOC
与
BOC
互为补角，
∴
180
AOC
BOC
，
∴
180
180
10
170
AOC
BOC
，
∵OE 平分
AOC
，
∴
1
1
170
85
2
2
COE
AOC
，
∵
90
DOC
，
10
BOC
，
∴
90
10
80
BOD
DOC
BOC
，
∵OF 平分
BOD
，
∴
1
1 80
40
2
2
BOF
BOD
，
∴
85
10
40
135
EOF
COE
BOC
BOF
．
例4．如图，已知点O 为直线AB 上一点，
100
BOC
，
90
COD
，OM 平分
AOC
．
(1)求
MOD
的度数；
(2)若
BOP
与
AOM
互余，求
POD
的度数．
【答案】(1)50
(2)140
【分析】（1）根据题意，易求
AOC
，再根据角平分线的定义，可求
COM
，最后利用
MOD
COD
COM
，计算即可；
（2）由（1）知
AOM
COM
，根据余角的定义，可求
BOP
，从而可得
POC
，再根据
POD
COD
POC
，计算即可求解．
【详解】（1）解：因为点O 为直线AB 上一点，
所以
180
AOB
，
因为
100
BOC
，
所以
180
180
100
80
AOC
BOC
，
因为OM 平分
AOC
，
所以
1
40
2
COM
AOC
，
因为
90
COD
，
所以
90
40
50
MOD
COD
COM
；
（2）由（1）知
40
AOM
COM
，
因为
BOP
与
AOM
互余，
所以
90
50
BOP
AOM
，
因为
100
BOC
，
所以
100
50
50
POC
BOC
BOP
，
因为
90
COD
，
所以
90
50
140
POD
COD
POC
．
【技巧总结】
先找对顶角相等，再根据余角或补角关系转化，结合垂直得90°，用方程思想表示各角；将分散角集中到
三角形或多边形中，利用内角和、外角性质建立等量关系求解。
【变式训练2-1】如图1，已知有公共顶点O的两个角
AOB
，COD
，且，满足
180
，
．
(1)若，满足
2
120
60
0
，则
AOB
，
COD
，
BOC
与
AOD
的特殊关系是；
(2)将图1中的
COD
绕点O逆时针旋转至图2 时，
BOC
与
AOD
是否还具有（1）中的特殊关系？请说明
理由；
(3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当
AOC
与
BOD
互余时，请直接写出
AOC
的度数．
【答案】(1)120；60；互补
(2)
BOC
与
AOD
仍互补，理由见解析
(3)15或75
【分析】本题考查了角度的和差计算，互补、互余的定义，非负数的性质，分类讨论的思想．
（1）先由非负数的性质得出
120
，
60
，进而得
180
AOB
COD
，再由圆周角的性质得
180
BOC
AOD
，再根据互补的定义即可得出结论；
（2）分别用，表示出
BOC
与
AOD
，再将两角相加，即可得出结论；
（3）根据OC 和OD 是否在
AOB
内部分情况讨论，分别画出图形，结合（1）中条件
120
AOB
，
60
COD
求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
120
60
0
，
∴
120
0
且
60
0
，
∴
120
，
60
，
∴
120
AOB
，
60
COD
，
∴
180
AOB
COD
，
∴
360
180
BOC
AOD
AOB
COD
，
∴
BOC
与
AOD
的特殊关系是互补．
（2）解：仍具有．理由如下：将图1 中的
COD
绕点O逆时针旋转至图2 时，
有
BOC
COD
BOD
BOD
，
AOD
AOB
BOD
BOD
，
∵
180
，
∴
180
BOC
AOD
BOD
BOD
，
即将图1 中的
COD
绕点O逆时针旋转至图2 时，
BOC
与
AOD
的特殊关系是互补；
（3）解：在（1）的条件下，
120
AOB
，
60
COD
，
当OC 和OD 都在
AOB
外部时，如图1，此时
120
AOC
AOB
，不可能
AOC
与
BOD
互余；
当OC 和OD 都在
AOB
外部时，如图，
此时
120
BOD
AOB
，不可能
AOC
与
BOD
互余；
当OC 和OD 都在
AOB
内部时，如图，
∴
120
60
60
BOD
AOC
AOB
COD
，不满足
AOC
与
BOD
互余；
当OC 在
AOB
内部，OD 在
AOB
外部时，如图，
∴
120
AOC
AOB
BOC
BOC
，
60
BOD
COD
BOC
BOC
，
∵
AOC
与
BOD
互余，
∴
90
AOC
BOD
，即60
120
90
BOC
BOC
，
∴
45
BOC
，
∴
120
120
45
75
AOC
BOC
；
当OC 在
AOB
外部，OD 在
AOB
内部时，如图，
∴
60
AOC
COD
AOD
AOD
，
120
BOD
BOD
AOD
AOD
，
∵
AOC
与
BOD
互余，
∴
90
AOC
BOD
，即60
120
90
AOD
AOD
，
∴
45
AOD
，
∴
60
60
45
15
AOC
AOD
；
综上所述，
AOC
的度数为15或75．
【变式训练2-2】设
AOC
，
0
180 0
180
COB
，
，OD
OE
、
分别是
AOC
、
COB
的角平分线，记
DOE
．如果，互补，或者，互补，则称
AOC
，
COB
是一对“分补角”．
(1)如图1，
130
AOB
，OC 在
AOB
内，
50
AOC
．分别作
AOC
，
COB
的角平分线OD
OE
、
，
则
DOE
______，
AOC
，
COB
______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；
(2)如图2，若
120
AOC
，
0
90
COB
，
AOC
，COB
是一对“分补角”，且OB 在
AOC
的外部，求β的值；
(3)如图3，
160
AOB
．若
AOC
和
COB
是一对“分补角”，且OC 在
AOB
内部，请直接写出
AOC
的所有可能值．
【答案】(1)65，不是
(2)80
(3)60或100
【分析】（1）利用角平分线的定义可求出
DOE
，再分别求出
AOC
DOE
与
COB
DOE
即可判断
AOC
，
COB
是否是“分补角”；
（2 ）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解；
（3）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵OD 平分
AOC
，OE 平分
COB
，
∴
1
2
COD
AOC
，
1
2
COE
COB
，
∴
1
1
65
2
2
DOE
COD
COE
AOC
COB
AOB
，
∵
130
AOB
，
50
AOC
，
∴
130
50
80
COB
，
∴
50
65
115
AOC
DOE
，
80
65
145
COB
DOE
，
∴
AOC
，
COB
不是一对“分补角”；
（2）解：∵
120
AOC
，OD 平分
AOC
，OE 平分
COB
，
∴
1
60
2
COD
AOC
，
1
1
2
2
COE
COB
，
∴
1
60
2
DOE
COD
COE
，
∵
AOC
，
COB
是一对“分补角”，
∴
180
COB
DOE
，即
1
60
180
2
，
解得
80
；
（3）解：∵OD 平分
AOC
，OE 平分
COB
，且OC 在
AOB
内部，
∴
1
2
COD
AOC
，
1
2
COE
COB
，
∴
1
1
80
2
2
DOE
COD
COE
AOC
COB
AOB
，
如图，当
180
COB
DOE
时，
则
180
80
100
COB
，
∴
160
100
60
AOC
AOB
COB
；
如图，当
180
AOC
DOE
时，
则
180
80
100
AOC
；
综上，
AOC
的可能值为60或100．
题型3
点到直线的距离与垂线段最短
例5．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为
2.56
DA
米，
2.15
DB
米，
2.70
AC
米，则黎明的立定跳远成绩应该为
米．
【答案】2.15
【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解．
【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为
2.15
DB
米．
故答案为：2.15
例6．如图，点P 是直线l 外一点，点A 、B 、C 、D 在直线l 上，PC
l
于点C ，在线段PA 、PB、PC 、
PD 中，最短的线段是
，测量点P 到直线l 的距离是
cm（精确到0.1cm）．
【答案】
PC
2.0
【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键．
由题意可知，PC
l
，则最短的线段是PC ，点P 到直线l 的距离是PC 的长，再测量出PC 的具体数值即
可．
【详解】解：由垂线段最短可知，在线段PA 、PB、PC 、PD 中，最短的线段是PC ，
点P 到直线l 的距离是PC 的长，测量值为2.0cm ，
故答案为：PC ，2.0 ．
【技巧总结】
点到直线垂线段长度即距离，唯一且最短；求距离常作垂线构造直角三角形，利用面积法或勾股定理计算，
比较线段长短时优先考虑垂线段，注意区分垂足位置。
【变式训练3-1】如图，AB
AC
，AD
BC
，若
4cm
AB
，
3cm
AC
，
2.4cm
AD
，那么A，B 两点之
间的距离为
cm，点A 到直线BC 的距离为
cm，点C 到直线AB 的距离为
cm．
【答案】
4
2.4
3
【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，
难度适中．
根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可．
【详解】解：∵
4cm
AB
，
∴A，B 两点之间的距离为4cm ，
∵AD
BC
，
2.4cm
AD
，
∴点A 到直线BC 的距离为AD 的长，即2.4cm ，
∵AB
AC
，
3cm
AC
，
∴点C 到直线AB 的距离为AC 的长，即3cm ．
故答案为：4；2.4 ；3
【变式训练3-2】如图，在6 6
的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A 、B 、
C 、D 均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)作线段AB ，作射线AD ；
(2)点D 到直线BC 的距离为线段________的长度；
(3)在线段BD 上找一点O，使它到A 、B 、C 、D 四个点的距离之和最小，作图的理由为________．
【答案】(1)见解析
(2) DC
(3)两点之间线段最短
【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短
【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是
解题的关键．
（1）连接AB 画出线段AB ，连接并延长AD 画出射线AD 即可；
（2）根据DC
BC
可得点D 到直线BC 的距离为线段DC 的长度；
（3）根据两点之间线段最短，可得OA
OC
的最小值为AC 的长，得点O到A 、B 、C 、D 四个点的距离
之和最小值为AC
BD
．
【详解】（1）连接AB ，连接并延长AD ，即得．
（2）点D 到直线BC 的距离为线段DC 的长度
故答案为：DC
（3）连接AC ，交��于点O，
则OA
OC
AC
，
当点O 运动到AC 上时，OA
OC
AC
，OA
OC
最小，
则OA
OC
OB
OD
AC
BD
，最小．
故答案为：两点之间线段最短．
题型4
对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别
例7．下列图形中，
1
与
2
是内错角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了内错角的识别，解题的关键是掌握内错角的定义．
根据内错角的定义，逐项进行判断即可．
【详解】解：A.该选项
1
与
2
是同位角，不符合题意；
B. 该选项
1
与
2
是内错角，符合题意；
C. 该选项
1
与
2
是同旁内角，不符合题意；
D. 该选项
1
与
2
不是内错角，不符合题意；
故选：B．
例8．下列图形中，
1
与
2
不属于同位角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位
于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中
1
和
2
的位置是否
符合该定义．
【详解】解：选项A：
1
与
2
在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义；
选项B：
1
与
2
在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义；
选项C：
1
与
2
不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角；
选项D：
1
与
2
在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义；
故选：C．
【技巧总结】
对顶角由两直线相交形成，形状像“X”；同位角、内错角、同旁内角需两条被截线与一条截线，看位置关
系：同位角“F”型，内错角“Z”型，同旁内角“U”型，找准截线是关键。
【变式训练4-1】如图，下列说法正确的是（
）
A．
3
和
5
是内错角
B．
2
和
6
是对顶角
C．
1
和
6
是同位角
D．
4
和
5
是同旁内角
【答案】A
【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握
以上相关角的定义．
根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的
一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的
同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，
并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的
反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可．
【详解】解：A 选项，
3
和
5
是内错角，故正确；
B 选项，
2
和
3
是对顶角，
5
和
6
是对顶角，故错误；
C 选项，
1
和
4
是同位角，
3
和
6
是同位角，故错误；
D 选项，
4
和
3
是同旁内角，故错误．
故选：A ．
【变式训练4-2】滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①
1
与
2
是对顶角；②
3
与
4
是同旁内角；③
5
与
6
是同旁内角；④
1
与
4
是内错角．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本
题的关键．
根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题．
【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），1
与
2
是对顶角，
①正确．
②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内
角），
3
与
4
是同旁内角，②正确．
③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，
5
与
6
不是同旁内角，而是邻补角，③错误．
④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），1
与
4
是内错角，④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：C．
题型5
平行线的判定和性质多结论题
例9．将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知1
2
l
l
∥，
60
ACD
，
1
0
45
，则下列结
论不正确的是（
）
A．
90
BCE
B．
2
45
C．AB
ED
∥
D．当
30
时，
BAC
MAC
【答案】D
【分析】本题考查了几何图形的角度运算，三角板有关的计算，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．因为
60
ACD
，则
180
90
BCE
ACB
ACD
，再过点C 作
1
HT
l
，运用平
行线的性质进行分析列式，得
2
45
，结合
60
ACD
，
60
BAC
，故AB
ED
∥
，最后算出
BAC
MAC
,
，再分析，即可作答．
【详解】解：依题意，得
30
ACB
，
60
BAC
，
∵
60
ACD
，
∴
180
90
BCE
ACB
ACD
，
故A 选项不符合题意；
过点C 作
1
HT
l
，如图所示：
∴1
2
l
l
∥，
∴
1
2
HT
l
l
∥
，
∴
1
45
1
HCE
CEF
，
2
180
BAC
ACH
，
∴
2
60
180
ACH
，
∴
120
2
ACH
，
则
180
180
60
120
ACE
ACD
，
∵
ACH
HCE
ACE
，
∴120
2
45
1 120
，
∴
2
45
1
45
，
故B 选项不符合题意；
∵
60
ACD
，
60
BAC
，
∴
BAC
ACD
∴AB
ED
∥
，
故C 选项不符合题意；
∵
2
45
，且
30
，
∴
2
45
30
75
，
∵
60
BAC
，
2
180
BAC
MAC
，
∴
180
75
60
45
MAC
，
∴
BAC
MAC
故D 选项符合题意；
故选：D．
例10．如图，已知EF
GH
∥
，A、D 为GH 上的两点，M、B 为EF 上的两点，延长AM 至点C，AB 平分
DAC
，
点N 在直线DB 上，且BN 平分
FBC
，若
110
ACB
．则下列结论：
①
MAB
BAD
；
②
ABM
BAM
；③
NBC
BDH
；④设
CBM
，则
5
2
5
1
BAD
；
⑤
55
DBA
其中，正确的有（
）
A．①②③
B．①②③④
C．①②③⑤
D．②③④⑤
【答案】C
【分析】AB 平分
DAC
，得到
MAB
BAD
，平行线的性质得到
ABM
BAD
，进而得到
ABM
BAM
，
BN 平分
FBC
，结合平行线的性质，得到
NBC
BDH
，三角形内角和求出
CMB
，平行线的性质，
得到
CAD
的度数，角平分线求出
BAD
的度数，设
CBM
，根据角的和差关系求出
55
DBA
．
【详解】解：∵AB 平分
DAC
，
∴
MAB
BAD
；故①正确；
∵EF
GH
∥
，
∴
ABM
BAD
，
∴
ABM
BAM
；故②正确；
∵EF
GH
∥
，
∴
NBF
BDH
，
∵BN 平分
FBC
，
∴
NBC
NBF
，
∴
NBC
BDH
；故③正确；
∵
110
ACB
，
CBM
，
∴
180 110
70
CMB
，
∵EF
GH
∥
，
∴
70
CAD
CMB
，
∵AB 平分
DAC
，
∴
1
1
35
2
2
BAD
CAD
；故④错误；
设
CBM
，则：
1
1
180
90
2
2
CBN
FBN
CBM
，
由④可知：
1
1
35
2
2
BAD
CAD
，
∴
1
35
2
ABM
BAD
，
∴
1
1
35
35
2
2
ABC
，
∴
1
1
35
90
125
2
2
ABN
，
∴
180
55
DBA
ABN
；故⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤．
【技巧总结】
先根据已知判定平行，再运用性质推导角的关系；每个结论逐一验证，避免混淆判定与性质，利用“两直
线平行”作桥梁，结合对顶角、邻补角等转化，注意逻辑链条完整。
【变式训练5-1】如图，AF
CD
∥
，CB 平分
ACD
，BD 平分
EBF
，且BC
BD
，下列结论：①BC 平
分
ABE
；②AC
BE
∥
；③
90
BCD
D
；④
60
DBF
．其中正确的个数是（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质
是解题的关键．
由BC
BD
得到
90
CBE
DBE
∠
∠
，
90
BCD
D
，则可对③进行判断；再由平行线的性质得
D
DBF
，由角平分线定义得
DBE
DBF
，则
CBE
BCE
，而
ABC
BCE
，所以
ABC
CBE
，则可对①进行判断；接着由CB 平分
ACD
得到
ACB
BCE
，所以
ACB
CBE
，
根据平行线的判定即可得到AF
CD
，于是可对②进行判断；当
2
DBF
ABC
，3
90
ABC
，
30
ABC
，
60
DBF
；利用平行线的性质得到
2
DEB
ABE
ABC
，又因为
D
DBE
DBF
，
D
BED
，
于是可得
2
DBF
ABC
，则可对④进行判断．
【详解】解：∵BC
BD
，
90
CBD
，即
90
CBE
DBE
∠
∠
，
90
BCD
D
，所以③正确；
∵AF
CD
∥
，
∴
D
DBF
，
∵BD 平分
EBF
，
∴
DBE
DBF
，
∴
DBE
D
∵
90
CBE
DBE
∠
∠
，
90
BCE
D
，
∴
CBE
BCE
，
∵AF
CD
ABC
BCE
，
ABC
CBE
，
∴BC 平分
ABE
，即①正确；
∵CB 平分
ACD
，
∴
ACB
BCE
，
∴
ACB
CBE
∴AC
BE
∥
，即②正确；
2
DBF
ABC
时，3
90
ABC
，
∴
30
ABC
，
∴
60
DBF
，
∵
2
DEB
ABE
ABC
，而
D
DBE
DBF
，
D
BED
，
∴
2
DBF
ABC
，
∴
60
DBF
．故④错误．
综上，正确的结论有①②③，共3 个．
故选C．
【变式训练5-2】如图，AB
CD
∥
，F 为AB 上一点，
∥
FD
EH ，且FE 平分
AFG
，过点F 作FG
EH
于
点G，且
2
AFG
D ，则下列结论：①
45
D
；②2
90
D
EHC
；③FD
FG
；④FH 平分
GFD
．其中正确结论的是（
）
A．①②
B．③④
C．②③
D．①②③④
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质．延长FG 交CH 于I ，根据角平分线的定义和平行线
的性质即可解答．
【详解】解：延长FG 交CH 于I ，
AB
CD
∥
，
BFD
D
，
AFG
FIH
，
FD
EH
∥
，
EHC
D
，
FE
平分
AFG
，
2
AFG
D，
2
2
FIH
AFE
EHC
，
FG
EH
，
3
90
FIH
EHC
EHC
，
30
EHC
，
30
D
，
2
2 30
30
90
D
EHC
，
30
D
，故①错误；②正确；
FD
EH
∥
，FG
EH
，
FD
GF
，故③正确；
FE
平分
AFG
，
30
2
60
AFI
，
30
BFD
D
，
90
GFD
，
90
GFH
HFD
，故④不一定正确．
其中正确结论的是②③，
故选：C．
题型6
平行线的性质在生活中的应用
例11．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，
1
86
，则
2
．
【答案】94/94度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：如图，
∵AB
CD
∥
，
∴
3
1
，
∴
2
180
3
180
86
94
故答案为：94．
例12．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC
DE
∥
，
AB
CD
∥
，当
120
ABC
时，
CDE
的度数为
．
【答案】60/60 度
【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁
内角互补，求得
60
BCD
，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案．
【详解】解：
AB
CD
，
180
ABC
BCD
，
120
ABC
，
180
180
120
60
BCD
ABC
，
BC
DE
∥
，
60
CDE
BCD
．
故答案为：60．
【技巧总结】
将实际问题抽象为平行线模型，利用同位角、内错角相等或同旁内角互补，结合测量数据建立方程；常借
助标杆、光线等构造平行线，通过角度计算求距离或高度。
【变式训练6-1】如图是一款长臂折叠LED 护眼灯示意图，EF 与DF 垂直，当发光的灯管AB 恰好与EF 平
行时，
=110
BAC
，
105
ACD
，则
CDF
的度数为
．
【答案】125°/125 度
【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
如图：过点C 作CM
AB
∥
，过点D 作DN
EF
∥
，根据AB
EF
∥
得出AB
CM
DN
EF
∥
∥
∥
，再根据平行
线的性质求出
ACM
CDN
NDF
、
、
的度数，进而完成解答．
【详解】解：如图：过点C 作CM
AB
∥
，过点D 作DN
EF
∥
，
∵AB
EF
∥
，
∴AB
CM
DN
EF
∥
∥
∥
，
∵CM
AB
∥
，
∴
180
BAC
ACM
，
∵
=110
BAC
，
∴
70
ACM
，
∵
105
ACD
，
∴
35
MCD
ACD
ACM
，
∵CM
DN
∥
，
∴
35
CDN
MCD
，
∵DN
EF
∥
，
∴
180
NDF
DFE
，
∵EF
DF
，
∴
90
DFE
，
∴
90
NDF
，
∴
35
90
125
CDF
CDN
NDF
．
故答案为：125．
【变式训练6-2】为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池
板AB 与水平线的夹角为30，电池板CD 与水平线的夹角为40，要使AB
CD
∥
，需将电池板CD 逆时针旋
转
0
90
．则的度数为
．
【答案】10/10 度
【分析】本题考查平行线的知识．由平行线的性质，得
30
EO D
EOB
，则
DOD
EO D
EO D
，计算即可．
【详解】解：∵C D
AB
∥
，
∴
30
EO D
EOB
，
∴
40
30
10
DOD
EO D
EO D
．
故答案为：10．
题型7
平行线的判定和性质综合问题
例13．如图，
2
B
，BE 与DF 交于点P ．
(1)若1
52
，求
C
的度数；
(2)若
2
90
D
，AB
CD
∥
，试判断BE 与DF 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)52
(2) BE
DF
，理由见解析
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等；
（1）由同位角相等，两直线平行得CF
BE
∥
，由两直线平行，同位角相等得
C
1
，即可求解；
（2）由两直线平行，同位角相等得
BFD
D
，由平行线的性质得
90
EPD
CFD
，即可得证；
掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：
2
B
，
CF
BE
∥
，
1
C
，
1
52
，
52
C
；
（2）解：BE
DF
，理由如下：
AB
CD
∥
，
BFD
D
，
2
90
D
，
2
90
BFD
，
180
90
CFD
90
，
由（1）可知，CF
BE
∥
，
90
EPD
CFD
，
BE
DF
．
例14．如图，直线AB
CD
EF
GH
AEF
∥
∥
，
，
的平分线EP 交CD于点P．
(1)求证：
EPF
PEF
．
(2)若
3
FHG
EPF
，求
EPF
的度数．
(3)若
EFH
的平分线FQ 交GH 于点Q，连接EQ ．若
50
PEQ
EQF
，求
EQF
的度数．
【答案】(1)证明见详解
(2)36
(3)65
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角度的和差关系计算．
（1）根据角平分线得
AEP
PEF
，再根据AB
CD
∥
得
AEP
EPF
，由此可得出结论；
（2）设
EPF
，则
3
FHG
，由（1）知，
EPF
PEF
PEA
，根据AB
CD
∥
得
2
EFD
AEF
，然后根据EF
GH
∥
得2
3
180
，由此解出α即可得出
EPF
的度数；
（3）由FQ 平分
EFH
，EF
GH
∥
，得到
QFH
FQH
，从而推出FH
QH
，再由已知条件结合角平
分线的性质证得EP
QF
∥
，最终利用角度的和差关系可求得结果．
【详解】（1）证明：∵AB
CD
∥
，
∴
AEP
EPF
，
∵EP 平分
AEF
，
∴
AEP
PEF
，
∴
EPF
PEF
．
（2）解：设
EPF
，
∴
3
3
FHG
EPF
，
由（1）知，
EPF
PEF
PEA
，
∴
2
AEF
，
∵AB
CD
∥
，
∴
2
EFD
AEF
，
∵EF
GH
∥
，
∴
180
EFH
FHG
，
即2
3
180
，
解得
36
，
∴
EPF
的度数为36．
（3）解：∵FQ 平分
EFH
，EF
GH
∥
，
∴
QFH
FQH
，
∴FH
QH
，
由题意得，
1
2
PEF
AEF
，
∵AB
CD
∥
，
∴
AEF
EFH
，
∴
PEF
EFQ
，
∴EP
QF
∥
，
∴
180
PEQ
EQF
，
∵
50
PEQ
EQF
，
∴
65
EQF
．
【技巧总结】
先由角的关系判定平行，再由平行推导新角关系，反复交替使用；常作辅助线（如过拐点作平行线）沟通
已知与未知，将分散角集中转化，结合三角形内角和与方程思想求解。
【变式训练7-1】如图，AM
BN
∥
，
60
A
，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC
BD
，
分
别平分
ABP
和
PBN
，分别与射线AM 交于点C，D．
(1)
CBD
______．
(2)点P 运动的过程中，
APB
与
ADB
的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；
若变化，请写出变化规律．
(3)若点P 运动到某处时恰有
ACB
ABD
∠
∠
，判断此时
ABD
△
的形状，并说明理由．
【答案】(1)60
(2)数量关系不变，
2
APB
ADB
，理由见解析
(3)直角三角形；理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质与角平分线的定义是解题的
关键．
（1）根据平行线的性质求出
ABN
的度数，再由角平分线的定义得到
1
1
,
2
2
CBP
ABP
DBP
PBN
，
则可得到
1
2
CBD
CBP
DBP
ABN
，据此可得答案；
（2）根据平行线的性质可得
ADB
DBN
，
APB
PBN
，则由角平分线的定义可得
2
2
PBN
DBN
ADB
，据此可得结论；
（3）由平行线的性质和已知条件可得
CBN
ABD
，则可证明
DBN
ABC
，则由角平分线的定义可
得
ABC
CBP
DBP
DBN
．求出
30
ABC
，据此可得结论．
【详解】（1）解：AM
BN
，
180
A
ABN
．
60
A
，
180
60
120
ABN
．
又BC 平分
ABP
，BD 平分
PBN
，
1
1
,
2
2
CBP
ABP
DBP
PBN
．
1
1
2
2
CBD
CBP
DBP
ABP
PBN
ABN
又
120
ABN
，
60
CBD
；
故答案为60 ；
（2）解：数量关系不变，
2
APB
ADB
，理由如下：
AM
BN
，
ADB
DBN
，
APB
PBN
，
BD 平分
PBN
，
2
2
PBN
DBN
ADB
，
2
APB
ADB
；
（3）解：
ABD
△
是直角三角形，理由如下：
AM
BN
∥
，
ACB
CBN
，
180
A
ABN
．
ACB
ABD
，
∴
CBN
ABD
CBN
CBD
ABD
CBD
，即
DBN
ABC
．
BC
BD
，
分别平分
ABP
和
PBN
，
ABC
CBP
，
DBP
DBN
∠
∠
．
1
4
ABC
CBP
DBP
DBN
ABN
．
180
A
ABN
，
60
A
，
120
ABN
．
1 120
30
4
ABC
．
3 30
90
ABD
，故
ABD
△
是直角三角形．
【变式训练7-2】在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴
趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下：
【探究一】如图①，已知
,
AB
CD
EF BC
DE
∥
∥
∥
，测得
98
B
，求
,
,
C
D
E
的度数；
【探究二】保持AB
EF
∥
，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想
,
,
,
ABC
BCD
CDE
DEF
之间
具有什么数量关系？探究并说明理由；
【探究三】在图②的基础上，分别作
BCD
、
DEF
的角平分线并相交于点P ，从而得到图③的形状．若
106 ,
70
B
D
，求
P
的度数．
【答案】【探究一】
82
C
，
82
D
，
98
E
；【探究二】
ABC
BCD
DEF
CDE
，理由
见解析；【探究三】88．
【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同
旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键．
【探究一】根据平行线的性质即可得答案；
【探究二】过点C 作CN
EF
，过点D 作DM
AB
∥
，根据平行线的性质得出
ABC
BCN
DEF
EDM
，利用对顶角相等即可得答案；
（3）过点P 作PH
DE
，交CD于H ，PQ
CD
∥
，根据平行线点性质得出
70
DHP
D
，
70
HPQ
DHP
，
EPH
DEP
，
CPQ
DCP
，利用（2）中所得结论即可得答案．
【详解】解：[探究一]∵AB
CD
∥
，
98
B
，
∴
180
82
C
B
，
∵BC
DE
∥
，
∴
82
D
C
，
∵CD
EF
∥
，
∴
180
98
E
D
．
[探究二]如图，过点C 作CN
EF
，过点D 作DM
AB
∥
，
∵AB
EF
∥
，
∴AB
DM
CN
EF
，
∴
180
ABC
BCN
，
180
DEF
EDM
，
CDM
DCN
，
∴
ABC
BCN
DEF
EDM
，即
ABC
BCD
DCN
DEF
CDE
CDM
，
∴
ABC
BCD
DEF
CDE
[探究三]如图，过点P 作PH
DE
，交CD于H ，PQ
CD
∥
，
∴
70
DHP
D
，
70
HPQ
DHP
，
EPH
DEP
，
CPQ
DCP
，
∵
BCD
、
DEF
的角平分线并相交于点P ，
∴
2
BCD
DCP
，
2
DEF
DEP
，
由（2）可知，
ABC
BCD
DEF
CDE
，
∴106
2
70
2
DCP
DEP
，
∴
18
DEP
DCP
，
∴
70
70
(
)
88
EPC
EPH
HPC
DEP
CPQ
DEP
DCP
．
题型8
平行线的判定与性质中拐点问题
例15．如图，直线BE 与线段AB ，直线CD交于点B 、E ，AB
CD
∥
，点F 为直线BE 上一点（不与点
,
B E
重合），连接AF ，过点F 作射线FG
AF
，交CD于点G （点G 在点
,
C D 之间）．
(1)若点F 在线段BE 上．
①如图1，若
AFB
为钝角，
20
A
，求
FGC
的度数；
②如图2，若
AFB
为锐角，判断
A
与
FGC
的数量关系，并说明理由．
(2)若点F 在线段EB 的延长线上，直接写出
．．．．
A
与
FGC
的数量关系．
【答案】(1)①110；②
90
FGC
A
，理由见解析
(2)
90
FGC
A
【分析】（1）①作FH
AB
∥
，由平行线的性质得
20
AFH
A
，由垂直的定义得
90
AFG
，进而求
出
HFG
，再证FH
CD
∥
，根据平行线的性质可得答案；②作FK
AB
∥
，同①可得
90
FGC
A
；
（2）作FL
AB
∥
，同（1）利用平行线的判定和性质求解．
【详解】（1）解：①如图，作FH
AB
∥
，
FH
AB
∥
，
20
AFH
A
，
FG
AF
，
90
AFG
，
90
70
HFG
AFH
，
FH
AB
∥
，AB
CD
∥
，
FH
CD
∥
，
180
HFG
FGC
，
180
180
70
110
FGC
HFG
；
②
90
FGC
A
，理由如下：
如图，作FK
AB
∥
，
FK
AB
∥
，
AFK
A
，
FG
AF
，
90
AFG
，
90
90
KFG
AFK
A
，
FK
AB
∥
，AB
CD
∥
，
FK
CD
∥
，
180
KFG
FGC
，
180
180
90
90
FGC
KFG
A
A
；
（2）解：
90
FGC
A
．
证明：如图，作FL
AB
∥
，
FL
AB
∥
，
AFL
A
，
FG
AF
，
90
AFG
，
90 +
90 +
LFG
AFL
A
，
FL
AB
∥
，AB
CD
∥
，
FL
CD
∥
，
180
LFG
FGC
，
180
180
90 +
90
FGC
LFG
A
A
；
例16．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，
如图1，已知直线AB
CD
∥
，点E、G 分别为直线AB 、CD上的点，点F 是平面内任意一点，连接EF 、GF ．
【探索发现】：
(1)如图1，若
60
F
，写出
AEF
与
FGC
的数量关系：______；
【深入探究】：
(2)如图2 点P、Q 分别是直线CD上的点，且
90
PFQ
EFG
，直线MN
FG
∥
，交FQ 于点K，“智胜
小组”探究
FKN
与
PFE
之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的探究基础上，
NKQ
AEF
，“科创小组”探究
CPF
与
EFK
之间的数量关系．请
直接写出它们的关系．
【答案】(1)
60
AEF
FGC
(2)
FKN
与
PFE
之间的数量关系为
FKN
PFE
，理由见解析
(3)
2
CPF
EFK
【分析】（1）过点F 作平行于AB 的直线，利用平行线的内错角相等，将
AEF
和
FGC
转化为同一个角
的两部分．
（2）利用
90
PFQ
EFG
推出
180
PFE
GFQ
，再利用平行线的性质即可求证．
（3）过点M 作RS
AB
∥
，设
AEF
NKQ
，利用平行线的性质即可求证．
【详解】（1）解：过点F 作FH
AB
∥
，
AB
CD
，
FH
AB
CD
∥
∥
，
AEF
EFH
，
FGC
GFH
，
60
AEF
FGC
EFH
GFH
EFG
．
（2）解：设
FKM
，
FKM
与
NKQ
是对顶角，
NKQ
FKM
，
180
FKN
，
MN
FG
∥
，
GFQ
FKM
，
又
90
PFQ
EFG
，
90
EFK
，
90
180
PFE
EFK
，
FKN
PFE
．
（3）∵
NKQ
AEF
，
∴设
AEF
NKQ
，
过点M 作RS
AB
∥
，
AB
CD
∥
，
RS
CD
∥
，
∴
EFS
AEF
，
∴
180
2
SFP
PFE
EFS
，
∴
180
2
CPF
SFP
，
又∵
90
EFK
，
∴
2
CPF
EFK
．
【技巧总结】
从结论或已知出发，分析需证角相等或互补，利用平行线将角转移，结合对顶角、邻补角，常过拐点作辅
助平行线构造“三线八角”，通过等量代换建立角之间的数量关系。
【变式训练8-1】已知射线AB 射线CD，P 为一动点，AE 平分PAB ，CE 平分
PCD
，且AE 与CE 相
交于点E．
(1)在图1 中，当点P 运动到线段AC 上时，
180
APC
．
①直接写出
AEC
的度数______；
②求证：
AEC
EAB
ECD
；
(2)当点P 运动到图2 的位置时，猜想
AEC
与
APC
之间的关系，并加以说明；
(3)当点P 运动到图3 的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出
AEC
与
APC
之间的关系．
【答案】(1)①90；②见解析
(2)
2
APC
AEC
，见解析
(3)不成立，
2
360
APC
AEC
【分析】（1）①过点E 作EF
AB
∥
，根据平行线的性质可得
180
PAB
PCD
，然后根据角平分线的
定义可得
1
1
,
2
2
BAE
PAB
DCE
PCD
，根据平行线的性质可得
,
AEF
BAE
CEF
DCE
，从而
可得
AEC
BAE
DCE
，最后根据角的和差即可得；
②由①即可证明；
（2）过点E 作EF
AB
∥
，过点P 作PQ
AB
∥
，由（1）得
1 (
)
2
AEC
PAB
PCD
，同理可得
APC
PAB
PCD
，进而求解即可；
（3）过点E 作EF
AB
∥
，过点P 作PQ
AB
∥
，先根据（1）得
2
PAB
PCD
AEC
，再根据平行线的性
质得
180
,
180
APQ
PAB
CPQ
PCD
，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：①如图，过点E 作EF
AB
∥
，
AB
CD
，且点P 运动到线段AC 上，
180
PAB
PCD
，
AE
平分PAB ，CE 平分
PCD
，
1
1
,
2
2
BAE
PAB
DCE
PCD
，
∵EF
AB
∥
，
AEF
BAE
，
AB
CD
，
EF
CD
，
CEF
DCE
，
1 (
)
90
2
AEC
AEF
CEF
D
PAB
P
BAE
CE
CD
；
②由①可得，
AEC
EAB
ECD
；
（2）解：猜想
2
APC
AEC
，证明如下：
如图，过点E 作EF
AB
∥
，过点P 作PQ
AB
∥
，
由（1）得：
1 (
)
2
AEC
BAE
DCE
PAB
PCD
，
同理可得：
APC
PAB
PCD
，
2
APC
AEC
；
（3）解：
2
360
APC
AEC
，证明如下：
如图，过点E 作EF
AB
∥
，过点P 作PQ
AB
∥
，
由（1）得：
1 (
)
2
AEC
BAE
DCE
PAB
PCD
，
即
2
PAB
PCD
AEC
，
∵PQ
AB
∥
，
180
APQ
PAB
，即
180
APQ
PAB
，
AB
CD
，
PQ
CD
∥
，
180
CPQ
PCD
，即
180
CPQ
PCD
，
APC
APQ
CPQ
，
180
180
PAB
PCD
，
360
PAB
PCD
，
360
2 AEC
，
即
2
360
APC
AEC
．
【变式训练8-2】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺GEF 中，
90
45
EFG
FEG
EGF
，
，顶点G 在直线AB 上．
【初步感知】
(1)如图①，直线CD交直角三角尺GEF 的边GE 于点P ，若
1
27
，
2
108
∠
，则直线AB 与CD的位置
关系是___________；
【问题探究】
(2)如图②，若AB
CD
∥
，点B，D 为直线AB 和直线CD上任意一点，探究
ABE
、
CDE
与
BED
的数量
关系．并说明理由．
(3)如图③，利用（2）所得的结论，过直角三角尺GEF 的顶点E 作CD
AB
∥
，EH 平分
CEF
GH
，
平分
AGF
，
则
EHG
= °；
【拓展延伸】
(4)如图④，将直角三角尺GEF 绕顶点G 转动，过点E 作CD
AB
∥
，在转动过程中，当点F 在直线CD 的上
方时，直接写出
AGF
与
CEF
之间存在的数量关系．
【答案】(1) AB
CD
∥
(2)
ABE
CDE
BED
，理由见解析
(3)45
(4)
90
AGF
CEF
【分析】（1）根据对顶角相等得到
1
27
CPG
，再由同旁内角互补证明直线平行即可；
（2）如图：过E 作EF
AB
∥
，则EF
CD
∥
，由平行线的性质可得
,
ABE
BEF
CDE
DEF
，再根据线
段的和差以及等量代换即可解答；
（3）利用（2）的结论可得
90
CEF
AGF
，再根据角平分线的定义得到
1
1
90
45
2
2
CEH
AGH
CEF
AGF
，再利用（2）的结论可得
CEH
AGH
EHG
即可
解答；
（4）设
AGF
CEF
，
．如图，过点F 作MN
AB
∥
．易得MN
CD
AB
∥
∥
可得
,
180
NFE
CEF
MFG
AGF
，再利用角的和差以及等量代换即可解答．
【详解】（1）解：AB
CD
∥
，证明如下：
1
27
CPG
，
108
2
5
2
45
1
7
0
4
8
CPG
，
∴AB
CD
∥
．
（2）解：
ABE
CDE
BED
，理由如下：
如图：过E 作EF
AB
∥
，
∵CD
AB
∥
，
∴EF
CD
∥
，
∴
,
ABE
BEF
CDE
DEF
，
∵
BEF
DEF
BED
，
∴
ABE
CDE
BED
．
（3）解：由（2）的结论可得：
90
CEF
AGF
EFG
，
∵EH 平分
CEF
GH
，
平分
AGF
，
∴
1
1
,
2
2
CEH
CEF
AGH
AGF
，
∴
1
1
90
45
2
2
CEH
AGH
CEF
AGF
，
利用（2）的结论可得：
45
EHG
CEH
AGH
．
（4）解：设
AGF
CEF
，
．
如图，过点F 作MN
AB
∥
．
∵CD
AB
∥
，
∴MN
CD
AB
∥
∥
．
,
180
NFE
CEF
MFG
AGF
．
180
180
MFG
AGF
．
180
MFG
GFE
NFE
，
180
90
180
．
90
a
，
∴
AGF
与
CEF
之间存在的数量关系
90
AGF
CEF
．
题型9
根据平行线的判定与性质解决光线与旋转问题
例17．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两
岸河堤AB
CD
、
上安置了P、Q 两盏激光探照灯，如图示．光线
1
PB 按顺时针方向以每秒1的速度从PB旋
转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；光线
1
QC 按顺时针方向以每秒3的速度从QC 旋转至QD 便立即回
转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线
1
PB 和光线
1
QC 旋转时间为t 秒
0
60
t
．
(1)如图1，请用含t 的代数式表示光线
1
PB 转动的角度，即
1
BPB
∠
____________°；用含t 的代数式表示光
线
1
QC 转动的角度，即
1
CQC
∠
____________°；
(2)如图2，当光线
1
QC 与光线
1
PB 垂直，垂足为H 时，求t 的值．
【答案】(1)t ；3t
(2)45
【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，并
注意进行分类讨论．
（1）根据题意求出
1
BPB
和
1
CQC
∠
即可；
（2）过点H 作HG
AB
，根据平行线的性质得出
1
BPB
PHG
∠
∠
，
1
DQC
QHG
∠
∠
，得出
1
1
90
BPB
DQC
∠
，即
180
3
90
t
t
，求出t 的值即可
【详解】（1）解：∵光线
1
PB 按顺时针方向以每秒1的速度从PB 旋转，光线
1
QC 按顺时针方向以每秒3的
速度从QC 旋转，
∴
1
BPB
t
；
1
3
CQC
t
；
故答案为：t，3t ；
（2）解：过点H 作HG
AB
，如图所示：
∵AB
CD
∥
，
∴AB
GH
CD
∥
∥
，
∴
1
BPB
PHG
∠
∠
，
1
DQC
QHG
∠
∠
，
∵
90
PHG
QHG
，
∴
1
1
90
BPB
DQC
∠
，
即
180
3
90
t
t
．
解得
45
t
．
例18．如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如
图②AB ，CD是两根互相平行的铁架，且铁架AC 与两边的铁架AB ，CD互相垂直，在两个铁架的
,
M N 处
分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，M 处光线MP 射向点,
A N 处光线NQ 与
NC 的夹角为30．两灯同时开始旋转，光线MP 绕射灯M 顺时针旋转．光线NQ 绕射灯N 逆时针旋转．当
两灯射出的光线与铁架
,
AB CD 重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点M 处射出的光线每秒
旋转4，点N 处射出的光线每秒旋转1，设旋转时间为t 秒．
(1)当旋转时间为20 秒时，求
CNQ
的度数；
(2)如图③，若两灯射出的光线MP ，NQ 第一次与边AC 相交于一点时，此时
90
MPN
，请求出旋转时
间t 的值；
(3)当旋转时间0
90
t
秒时，直接写出MP
NQ
∥
时t 的值．
【答案】(1)50
(2)
12
t
(3)
30
t
或
70
t
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）根据题意可得
30
20 1
CNQ
，即可求解；
（2）根据题意得出AB
CD
∥
，过点P 作PE
AB
∥
，进而根据
90
MPN
EPM
EPN
，建立方程，
解方程，即可求解；
（3）设射线MP 交CD 于点F ，分两种情况讨论，当0
45
t
时，MP 顺时针旋转，当45
90
t
时，MP
逆时针旋转，根据
CNQ
BMF
，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：当
20
t
时，
30
20 1
50
CNQ
；
（2）解：∵
,
AB
AC CD
AC
，
∴AB
CD
∥
．
如图，过点P 作PE
AB
∥
，
∴
4
4
EPM
AMP
t
t
．
∵PE
AB
∥
,
∴PE
CD
∥
．
∴
30
1
30
EPN
PNC
t
t
．
又∵
90
MPN
EPM
EPN
，
∴4
30
90
t
t
．
解得：
12
t
,
（3）解：如图，设射线MP 交CD 于点F ，
∵AB
CD
∥
，
∴
BMF
CFM
，
又∵MP
NQ
∥
，
∴
30
MFC
QNC
t
，
∴
CNQ
BMF
，
当0
45
t
时，MP 顺时针旋转，
∴
180
4
BMP
t
，
∴30
180
4
t
t
，
解得：
30
t
．
当45
90
t
时，MP 逆时针旋转，
∴
4
180
BMP
t
，
∴30
4
180
t
t
，
解得：
70
t
．
综上所述，
30
t
或
70
t
．
【技巧总结】
1. 定基准：以入射光线或镜面为参照，标出角度关系。
2. 用平行：光线反射可转化为角相等，结合平行线的同位角、内错角相等或同旁内角互补建立方程。
3. 旋转归角：物体旋转角度等于方向角变化量，常与平行线中的“拐点”模型结合，作辅助平行线求解。
【变式训练9-1】如图所示，含30的直角三角形ABC ，点A 和点C 在两平行线MN
QR
、
上，AD
AE
、
分别
为
BAN
BAM
、
的角平分线，F 为BC 的延长线与AD 的交点．
(1)求证：EA
AD
；
(2)试判别
AED
和
CFD
的大小关系，并说明理由；
(3)当
36
ADE
时，射线AM 和射线CB 分别以10每秒和30每秒的速度同时顺时针旋转，当射线CB 旋
转一周时，全部停止运动，求射线AM 和射线CB 在旋转过程中平行时对应的时间的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
AED
CFD
，理由见解析；
(3)2.4s或11.4s ．
【分析】（1）先由角平分线得出
1
2
NAD
BAD
BAN
，
1
2
MAE
BAE
BAM
，再根据邻补角的
定义
180
BA
BAN
M
，根据等量代换即可求解；
（2）先通过运算角得出
90
CFD
∠
和
90
AED
，再比较即可求解；
（3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可．
【详解】（1）解：证明∵AD 、AE 分别为
BAN
∠
、
BAM
的角平分线，
∴
1
2
NAD
BAD
BAN
，
1
2
MAE
BAE
BAM
．
∵
180
BA
BAN
M
，
∴
EAD
BAE
BAD
，
1
1
2
2
BAM
BAN
，
1
2
BAM
BAN
，
1
180
2
，
90
，
∴EA
AD
．
（2）∵直角三角形ABC ，
∴
90
ACB
，
∴
90
ACF
，
∴
180
90
AFC
FAC
ACF
FAC
∠
，
∴
180
180
90
90
CFD
AFC
FAC
FAC
，
∴
90
CFD
∠
．
∵由（1）得EA
AD
，即
90
EAD
，
∴
90
AED
ADE
，
∴
90
AED
ADE
，
∴
90
AED
．
∴
AED
CFD
．
（3）∵射线AM 和射线CB 分别以10每秒和30每秒的速度同时顺时针旋转，
∴射线AM 绕点A 以10每秒的速度顺时针旋转到AM ，射线CB 绕点C 以30每秒的速度顺时针旋转到
CB，
∴设
10
MAM
t
，
30
BCB
t
，
∵射线CB 旋转一周时，全部停止运动，
∴
0
30
360
t
，
∴0
12
t
，
∴0
120
MAM
．
∵由（1）得EA
AD
，且
36
ADE
，
∴
90
36
54
AED
．
∴MN
QR
，
∴
54
MAE
AED
，
36
NAD
ADE
，
∵AD 、AE 分别为
BAN
∠
、
BAM
的角平分线，
∴
1
2
NAD
BAD
BAN
，
1
2
MAE
BAE
BAM
，
∴
72
BAN
，
108
BAM
．
∵
30
BAC
，
∴
108
30
138
MAC
BAM
BAC
，
72
30
42
NAC
BAN
BAC
．
①如图，
90
BCB
，即
30
90
t
，
3
t ，
90
MAM
，即
10
90
t
，
9
t
∴0
3
t
∵直角三角形ABC ，
∴
90
ACB
，
∴
90
30
ACB
ACB
BCB
t
．
∵AM
CB
，
∴
180
M AC
ACB
∴
180
MAM
MAC
ACB
，
10
138
90
30
180
t
t
，
20
48
t
，
2.4s
t
；
②如图，
90
BCB
，即
30
90
t
，
3
t
，
90
MAM
，即
10
90
t
，
9
t
∴3
9
t
，
∵直角三角形ABC ，
∴
90
ACB
，
∴
30
90
ACB
BCB
ACB
t
．
∵AM
CB
，
∴
M AC
ACB
∴
MAM
MAC
ACB
，
10
138
30
90
t
t
，
20
228
t
，
11.4s
t
（舍）；
③如图，
90
BCB
，即
30
90
t
，
3
t
，
90
MAM
，即
10
90
t
，
9
t
∴9
12
t
，
∵直角三角形ABC ，
∴
90
ACB
，
∴
30
90
ACB
BCB
ACB
t
．
∵AM
CB
，
∴
180
M AC
ACB
∴180
180
MAM
NAC
ACB
，
180
10
42
30
90
180
t
t
，
20
48
t
，
2.4s
t
（舍）；
④如图，
90
BCB
，即
30
90
t
，
3
t
，
90
MAM
，即
10
90
t
，
9
t
∴9
12
t
，
∵直角三角形ABC ，
∴
90
ACB
，
∴
360
360
30
90
450
30
ACB
BCB
ACB
t
t
．
∵AM
CB
，
∴
M AC
ACB
∴180
MAM
NAC
ACB
，
180
10
42
450
30
t
t
，
20
228
t
，
11.4s
t
；
综上，射线AM 和射线CB 在旋转过程中平行时对应的时间为2.4s或11.4s ．
【变式训练9-2】如图，直线PQ
MN
∥
，一副三角尺（
90
BAC
CDE
，
30
ABC
，
60
ACB
，
45
ECD
DEC
）按图①放置，其中点E 在直线PQ上，点B，C 均在直线MN 上，且CE 平分
ACN
．
(1)求
DEQ
的度数．
(2)如图②，若将三角形ABC 绕点B 以每秒3 度的速度按逆时针方向旋转（A，C 的对应点分别为G，F），
设旋转时间为
0
60
t s
t
．
①在旋转过程中，若边BF
CD
∥
，求t 的值；
②如图③，若在三角形ABC 绕点B 旋转的同时，三角形CDE 绕点E 以每秒2 度的速度按顺时针方向旋转
（C，D 的对应点为H，K）．请求出当边BF
HK
∥
时t 的值．
【答案】(1)75
(2)①5；②3或39
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）根据角平分线的定义并结合平行线的性质计算即可得解；
（2）①由平行线的性质结合题意求出
15
FBC
，从而可得3
15
t
，解方程即可；②分两种情况，分别列
出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：如图①，
，
因为
60
ACB
，
所以
180
120
ACN
ACB
，
因为CE 平分
ACN
，
所以
1
60
2
ECN
ACN
，
因为PQ
MN
∥
，
所以
180
QEC
ECN
，
所以
120
QEC
，
所以
75
QED
QEC
DEC
；
（2）解：①如图②中，
，
因为BF
CD
∥
，
所以
FBC
DCN
，
因为
15
DCN
ECN
ECD
，
所以
15
FBC
，
所以3
15
t
，
所以
5
t
；
②ⅰ.如图③，当BF
HK
∥
时，延长KH 交MN 于点I，
因为BF
HK
∥
，
所以
FBN
KIN
，
因为
75
2
QEK
t
，
K
QEK
KIN
，
所以
90
75
2
15
2
KIN
t
t
，
所以3
15
2
t
t
，
所以
3
t
；
ⅱ.如图④中，当BF
HK
∥
时，延长HK 交MN 于点J，
因为BF
KJ
∥
，
所以
180
FBN
KJM
，
因为
75
2
QEK
t
，
EKJ
PEK
KJM
，
所以
90
180
75
2
25 15
KJM
t
所以3
2
15
180
t
t
，
所以
39
t
，
综上所述，满足条件的t 的值为3或39．
1．下列图形中，
1
与
2
是对顶角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有
这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．
【详解】解：A、选项中
1
与
2
无公共顶点，不是对顶角，不符合题意；
B、选项中
1
与
2
是对顶角，符合题意；
C、选项中
1
与
2
的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意；
D、选项中
1
与
2
无公共顶点，不是对顶角，不符合题意．
2．如图，直线AB ，CD相交于点O，
120
AOD
，
2
2 1
，则
1
的度数为（
）
A．40
B．45
C．50
D．60
【答案】A
【分析】由“对顶角相等”得到
BOC
AOD
，利用
2
1
BOC
求解即可．
【详解】解：直线AB ，CD相交于点O，
120
BOC
AOD
，
2
2 1
，
2
1
3 1
BOC
，
即3 1 120
，
1
40
．
3．如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿
AD 斜射入水面，在点B 处发生折射，沿BC 方向射入水中．如果
1
80
，
2
41
，那么光的传播方向
改变了（
）．
A．100
B．80
C．41
D．39
【答案】D
【详解】解：由题可知：MN
EF
，
所以
1
180
CBN
，
因为
1
80
，
所以
100
CBN
，
因为
2
41
，
所以
180
2
180
41
100
39
DBC
CBN
．
4．如图，AB
CD
∥
，E 为AB 上一点，且EF
CD
，垂足F ，CE
DE
，CE 平分
AEG
，且
CGE
，
则下列结论：①
1
2
EDG
∠
∠
；②
2
CEB
；③
90
CEF
；④
180
FED
DCE
FGE
；其中
正确的是（
）
A．①②
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，角的和差关系等知识点．
根据平行线的性质，角平分线的定义得到
1
90
2
AEC
，继而得到
1
90
2
CEB
∠
，故②错误；根据
垂直的定义得到
1
2
DEB
，
1
2
EDG
，故①正确；根据垂直的定义得到
1
2
CEF
，故③错误；
根据CD
AB
∥
，得到
1
90
2
DCE
，进而根据
1
90
2
FED
，
FGE
∠
，得到
180
FED
DCE
FGE
，故④正确．
【详解】解：∵
CGE
AB
CD
，
，
∴
180
180
AEG
CGE
，
∵EC 平分
AEG
，
∴
1
0
1
2
9
2
CEG
G
AEC
AE
，
∴
1
180
90
2
CEB
AEC
∠
∠
，故②错误；
∵CE
DE
，
∴
90
CED
，
∴
90
D
AEC
EB
，
∴
1
1
90
90
2
2
DEB
，
∵AB
CD
∥
，
∴
1
∠
2
EDG
BED
，故①正确；
∵EF
CD
AB
CD
，
，
∴EF
AB
，
∴
90
AEF
，
∴
90
AEC
CEF
，
∴
1
2
CEF
DEB
，故③错误；
∵CD
AB
∥
，
∴
1
90
2
DCE
AEC
，
∵
1
90
90
2
FED
DEB
，
1
90
2
DCE
FGE
，
，
∴
180
FED
DCE
FGE
，故④正确.
综上所述，正确的有①④．
5．若
25
A
，则
A
的补角的度数为______．
【答案】
155
【详解】解：根据补角的定义，互为补角的两个角的和为180，
已知
25
A
，
则
A
的补角度数为180
25
155
．
6．如图，工人准备从河岸的点P 出发向河对岸搭桥，PE 、PF 、PM 、PN 是计划的四种搭桥方案，其中
PM
EN
，若要使搭建的桥梁最短，则应该沿线段________进行桥梁搭建．（填“ PE ”“ PF ”“ PM ”或“ PN ”）
【答案】PM
【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，结合图形中PM
EN
即可得出
结论．
【详解】解：∵PM
EN
，则PM 是点P 到直线EN 的垂线段，根据垂线段最短的性质，即直线外一点与
直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可得PM 最短．
∴应该沿线段PM 进行桥梁搭建．
7．如图，点O 是直线AB 上一点，OC 是一条射线，且
34
AOC
，若过点O 作射线OD ，使OD
OC
，
则
BOD
的度数为______．
【答案】124或56
【分析】解题的关键是正确画出图形，并进行分类讨论，根据垂线定义可得
90
COD
，然后再由条件
34
AOC
＝
可得
BOD
的度数．
【详解】解：∵OD
OC
，
∴
90
COD
．
如图1，当OD 在直线AB 下方时，
∵
34
AOC
，
∴
180
180
180
90
34
124
BOD
AOD
COD
AOC
；
如图2，当OD 在直线AB 上方时，
∵
34
AOC
，
∴
180
180
34
90
56
BOD
AOC
COD
．
综上，
BOD
的度数为124或56．
8．在Rt
ABC
△
中，
90
C
，点D，E 分别是AB
AC
，
边两个动点．将
ADE
沿DE 折叠得到
FDE
，点
A 的对应点为点F，BDF
的平分线交直线BC 于点G．若边DF 与
ABC
的一条边平行，
40
A
，则
BGD
的度数为______．
【答案】25或65或110
【分析】根据题目DF 与
ABC
的一条边平行，先确定线段DF 的位置，再利用平行线和角平分线的性质求
得对应角的度数求出答案．
【详解】解：∵DG 平分
BDF
，
∴
1
2
BDG
GDF
BDF
，
∵在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
40
A
，
∴
50
B
，
当DF
BC
∥
时，①如图1 所示：
，
∵DF
BC
∥
，
∴
180
GDF
BGD
BDF
B
，
，
∴
1
130 ,
65
2
BDF
BGD
GDB
BDF
；
②如图2 所示：
，
∵DF
BC
∥
，
∴
1
50 ,
25
2
BDF
ABC
BDG
BDF
，
∴
25
BGD
；
当DF
AC
∥
，如图3 所示：
，
∵DF
AC
∥
，
∴
1
40 ,
20
2
BDF
A
GDB
BDF
，
在
DBG
△
中，
20 ,
50
GDB
B
，
∴
110
BGD
．
9．如图，直线AB ，CD交于点O，已知OF
CD
，OE 在OC 右侧，
2
COE
AOC
．
(1)若
27
BOD
，求
COE
的度数；
(2)若
60
BOF
，试说明
AOC
与
COE
互余．
【答案】(1)54
(2)见解析
【分析】（1）先根据对顶角相等和已知条件，求出
AOC
，从而求出
COE
即可；
（2）先根据垂直定义和已知条件求出
90
BOD
BOF
，再根据已知条件求出
COE
，进而求出
90
AOC
COE
即可证明．
【详解】（1）解：
AOC
BOD
Q
，
27
BOD
，
27
AOC
，
2
COE
AOC
，
2
27
54
COE
；
（2）证明：
OF
CD
，
90
DOF
．
60
BOF
，
30
BOD
，
∴
30
AOC
BOD
，
2
60
COE
AOC
，
30
60
90
AOC
COE
，
AOC
与
COE
互余．
10．如图1 是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图2 是抽象出来的外部轮廓图，AB
EF
∥
，AH
FG
∥
．
(1)若
80
A
，则
F
的度数为多少？
(2)若
H
120，求
A
F
G
的值．
【答案】(1)
100
F
．
(2)
300
A
F
G
．
【分析】（1）延长AH 交EF 于点M ．根据平行线的性质得到
AMF
A
，
180
AMF
F
，则
180
A
F
．根据
80
A
即可求出
F
的度数；
（2）由（1）得到
180
A
F
．由平行线的性质得到
120
G
AHG
，即可求出
A
F
G
的
值．
【详解】（1）解：如图，延长AH 交EF 于点M ．
因为AB
EF
∥
，AH
FG
∥
，
所以
AMF
A
，
180
AMF
F
，
所以
180
A
F
．
因为
80
A
，
所以
100
F
．
（2）解：由（1）知
180
A
F
．
因为AH
FG
∥
，
所以
120
G
AHG
，
所以
180
120
300
A
F
G
．
11．已知MA
BN
∥
．
(1)如图1，若
30
MAC
，
95
ACB
，求
CBN
的度数．
(2)如图2，
90
ACB
，
MAC
，
CBN
的平分线交于点P ．
①求
APB
的度数．
②已知
50
MAC
，E 为射线BN 上的一个动点，过点E 作EF
BC
∥
交直线AP 于点F ，连接EP ．若
10
FEP
，请直接写出
BPE
的度数．
【答案】(1)115
(2)①135②当点F 在点P 的左侧时，
60
BPE
；当点F 在点P 的右侧时，
80
BPE
【分析】（1）过点C 作CD
AM
∥
，则有MA
CD
BN
，然后得到
30
ACD
A
，
180
DCB
CBN
+
然后计算解题；
（2）①过点C 作CD
AM
∥
，过点P 作PE
AM
∥
，求出
90
CBN
MAC
，
APE
MAP
，
180
EPB
PBN
，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出，由
APB
APE
EPB
计算即可
得到结论；
②由①可得
90
50
140
CBN
+
，
135
APB
，然后分点F 在点P 的左侧和点F 在点P 的右侧两种情
况进行解题．
【详解】（1）解：过点C 作CD
AM
∥
，
∵MA BN
，
∴MA
CD
BN
，
∴
30
ACD
MAC
，
180
DCB
CBN
+
，
又∵
95
ACB
，
∴
95
95
30
65
DCB
ACD
，
∴
180
180
65
115
CBN
DCB
；
（2）解：①过点C 作CD
AM
∥
，过点P 作PE
AM
∥
，
∵MA BN
，
∴MA
CD
BN
，
∴
ACD
MAC
，
180
DCB
CBN
，
又∵
90
ACB
，
∴
90
ACD
DCB
，即
180
90
MAC
CBN
，
∴
90
CBN
MAC
，
∵PE
AM
∥
，
∴MA
PE
BN
∥
∥
，
∴
APE
MAP
，
180
EPB
PBN
，
∵
MAC
CBN
、
的角平分线交于点P，
∴
1
2
APE
MAC
，
1
2
PBN
CBN
，
∴
1
180
180
2
EPB
PBN
CBN
，
∴
1
1
1
1
180
180
180
90
135
2
2
2
2
APB
APE
EPB
MAC
CBN
MAC
CBN
MAC
MAC
．
②由①得
1
25
2
MAP
MAC
，
90
50
140
CBN
+
，
135
APB
，
∵EF
BC
∥
，
∴
180
180
140
40
FEB
CBN
，
过点P 作PG
AM
∥
，
∵MA BN
，
∴MA
PG
BN
∥
∥
，
∴
25
APG
MAF
，
GPE
PEB
，
∴
25
APE
APG
GPE
PEB
，
当点F 在点P 的左侧时，如图，则
40
10
50
PEB
FEB
FEP
+
+
，
∴
25
25
50
75
APE
PEB
，
∴
135
75
60
BPE
APB
APE
；
当点F 在点P 的右侧时，如图，
则
40
10
30
PEB
FEB
FEP
，
∴
25
25
30
55
APE
PEB
，
∴
135
55
80
BPE
APB
APE
．
综上所述，当点F 在点P 的左侧时，
60
BPE
；当点F 在点P 的右侧时，
80
BPE
．
12．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯（探照灯的光束可近似看成一
条射线），便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A 射出的射线AE 自AM 顺时针旋转至AN 便
立即回转，灯B 射出的射线BF 自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的
速度是每秒3 度，灯B 转动的速度是每秒1 度，假定主道路是平行的，即PQ
MN
∥
，且
:
3:1
BAM
BAN
．
(1)填空：
BAN
___________；
(2)若灯B 射线先转动20 秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束
互相平行？
(3)如图2，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若A 射出的光束与B 射出的光束交于点C ，过C 作
CD
AC
交PQ于点D ，则在转动过程中，
BAC
与
BCD
的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其
数量关系；若改变，请求出其取值范围．
【答案】(1)45
(2) A 灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行
(3)
BAC
与
BCD
的数量关系不发生变化，其数量关系为：2
3
BAC
BCD
．
【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差关系，平角的定义的运用，解决问题的关键是运用分类讨
论思想进行求解，解题时注意利用角的和差关系．（1）根据平角的定义和题目已知条件，得出
3
180
BAN
BAN
，即可得解；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，分三种情况进行讨论：
①在灯A 射线转到AN 之前，0
60
t
时，②在灯A 射线转到AN 之后，60
120
t
时，③当120
160
t
时，
分别求得t 的值即可；（3）设灯A 射线转动时间为t 秒，得出
45
180
3
3
135
3
45
BAC
t
t
t
，
90
90
180
2
2
90
2
45
BCD
BCA
t
t
t
，可得
BAC
与
BCD
的数量关系．
【详解】（1）解：∵
:
3:1
BAM
BAN
，
∴
3
BAM
BAN
，
又∵
180
BAM
BAN
，
∴3
180
BAN
BAN
，即4
180
BAN
，
∴
45
BAN
．
（2）解：设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，
①在灯A 射线转到AN 之前，0
60
t
，如图3，
∵AM
BP
，
∴
BAM
ABP
，
又∵PQ
MN
，
∴
ABQ
BAN
，
∴180
180
BAM
BAN
ABP
ABQ
，
∴
MAM
PBP
，
∵灯A 转动的速度是3 / s
，灯B 转动的速度是1 / s
，
∴
3
20
1
t
t
，
解得；
10
t
；
②在灯A 射线转到AN 之后，又从AN 转到AM 时，60
120
t
，如图4，
∵AM
BP
，
∴
BAM
ABP
，
又∵PQ
MN
，
∴
ABQ
BAN
，
∴180
180
BAM
BAN
ABP
ABQ
，
∴
MAM
PBP
，
∵灯A 转动的速度是3 / s
，灯B 转动的速度是1 / s
，
∴
360
3
20
1
t
t
，
解得；
85
t
；
③同理，当120
160
t
，
3
360
20
1
t
t
，
解得；
190
160
t
（不合题意），
综上所述，当
10
t
秒或
85
t
秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：
BAC
与
BCD
的数量关系不发生变化．理由如下：
设A 灯转动时间为t 秒，如图5，
∵
180
3
CAN
t
，
∴
45
180
3
3
135
3
45
BAC
t
t
t
，
又∵PQ
MN
，过点C 作CK
PQ
，
∴CK
MN
，
∴
BCK
CBD
，
ACK
CAN
，
∴
180
3
180
2
BCA
BCK
ACK
CBD
CAN
t
t
t
，
而
90
ACD
，
∴
90
90
180
2
2
90
2
45
BCD
BCA
t
t
t
，
∴
:
3
45
: 2
45
3: 2
BAC
BCD
t
t
，
∴2
3
BAC
BCD
．
