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专题14 特殊的平行四边形中的图形变换模型之旋转模型
几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、
（特殊）平行四边形的旋转问题。在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，
对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三
角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。近年来虽然关于（特殊）平行四边形旋转
的考查频率高，由于之前的专题有总结过相关的旋转模型，故本专题就只对特殊的平行四边形旋转中的
题型作全面的总结，方便大家学习掌握。
模型1.平行四边形中的旋转模型
1）常规计算型
例1．（2023·山东·八年级期末）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′
（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C
的度数等于（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
例2．（2023·重庆八年级阶段练习）如图，将平行四边形ABCD绕点D逆时针旋转150°，得到平行四边形
DEFG，这时点C，E，G恰好在同一直线上，延长AD交CG于点H．若AD＝2，∠A＝75°，则HG的长是
（ ）
A． B． C． D．2）最值（范围）型
例1．（2023·河南信阳·九年级期中）如图， 和 都为等腰直角三角形， ，
连接 ，以 为邻边作平行四边形 ，连接 ．若 ，现将 绕点
逆时针旋转一周，则在旋转过程中， 的最小值是 ．
例2．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， ，
，对角线 与 交于点 ，将直线 绕点 按顺时针方向旋转，分别交 、 于点 、
，则四边形 周长的最小值是 ．
4）综合证明型
例1．（2023·四川成都·八年级统考期末）在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且
＝4，将B 绕点B逆时针旋转a°得到BE（0°＜a＜180°）．
(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S BCE；(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF
△
交直线AD于点G．①求线段BF的取值范围；②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；
(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直
接写出BN的最大值与最小值．模型2.菱形中的旋转模型
1）常规计算型
例1．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，菱形 ， 是对角线 上一点，将线段 绕点 顺
时针旋转角度 ，点 恰好落在 边上点 处，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·河南·模拟预测） 如图，在菱形OBCD中，OB=1，相邻两内角之比为1：2，将菱形OBCD绕
顶点O顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′，则点C′的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（ ，- ） C．（ ，- ） D．（ ， ）
例3．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将菱形ABCD
绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是( )A． B． C． D．
2）最值（范围）型
例1．（2023·山东济宁·模拟预测）如图，菱形 的边长为 是边 的中点， 是边
上的一个动点，将线段 绕着 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江苏苏州·校联考一模）如图，菱形ABCD的边长为 ，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交
于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应
的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________．
例3．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，已知菱形 和菱形 ， ， ，
，连接 ， ．将菱形 绕点 旋转，当 最大时， 等于（ ）A．2 B． C．1 D．
3）分类讨论型
例1．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，四边形 是菱形， ，点 为平面内一
点，连接 ，将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，连接 ． 点 在直线
上， ，则线段 的长为 ．
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图①，菱形 和菱形 有公共顶点A，点 ， 分别落
在边 ， 上，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)将菱形 绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角 ，且， ， ．①如图②，当 时，则线段 的长度是多少？
②连接 ，当 为直角三角形时，则旋转角 的度数为多少度？
4）综合证明型
例1．（2023·天津·二模）如图，将菱形 绕点A顺时针旋转得到菱形 ，使点 落在对角线
上，连接 ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． 是等边三角形 D．
例2．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB
和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证： ；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺
时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．例3．（2023·重庆·九年级统考期中）如图，在菱形 和菱形 中，点 ， ， 在同一条直线上，
是线段 的中点，连接 ， ．（1）如图1，探究 与 的位置关系，写出你的猜想并加以证
明；（2）如图1，若 ， ，求菱形 的面积．（3）如图2，将图1中的菱形 绕点
顺时针旋转，使菱形 的边 恰好与菱形 的边 在同一条直线上，若 ，
请直接写出 与 的数量关系．
模型3.矩形中的旋转模型
1）常规计算型例1．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，矩形 的顶点为 ， ， 与x轴正半轴的夹角
为 ，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转 ，则第2023秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·湖北·九年级统考期中）已知大小一样的矩形 和矩形 如图1摆放，
，现在把矩形 绕点A旋转，如图2， 交 于点M，交 于点N，若 ，
则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
2）最值（范围）型
例1．（2023·广东·八年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7 ，点P在线段BC上运动
（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值
为 ___．例2．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，有两个全等的矩形纸片， ，点O都是
两矩形对角线的交点，固定矩形 ，使矩形 绕着点O顺时针任意旋转，它们重叠的菱形面积
记为S，则S的取值范围是 ．
3）分类讨论型
例1．（2023·上海·统考二模）如图，平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 将矩形
绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在直线 上的点 处，则点B的对应点 的坐标为 ．
例2．（2023上·吉林四平·九年级统考期末）如图，矩形 中， ， ，P为 边中点，
， 绕点P旋转，其中点E，F在矩形 的边上．在旋转过程中，请探究：(1)矩形 的边落在 内部的线段长的和是否发生变化？为什么？
(2)矩形 与 重叠部分的面积是否发生变化？为什么？
4）综合证明型
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在矩形 中，把矩形 绕点 旋转，得到矩
形 ，且点 落在 上，连接 ， ， 交 于点 ，连接 ，若 平分 ，则下列
结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2022上·福建厦门·九年级厦门一中校考阶段练习）已知：在矩形 中，把矩形 绕点
旋转，得到矩形 ，且点 落在 边上，连接 交 于点 ．(1)如图1，连接 ，求证： 平
分 ；
(2)如图2，连接 ，若 平分 ，判断 与 之间的数量关系，并说明理由．模型4.正方形中的旋转模型
1）常规计算型
例1．（2023上·江西宜春·九年级校联考期中）如图，正方形 和正方形 的边长都是2，正方形
绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（2023·广东揭阳·九年级期中）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到
正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是_____．
2）最值（范围）型
例1．（2023·湖北·鄂州市一模）如图，已知正方形 的边长为3，点E是 边上一动点，连接 ，将 绕点E顺时针旋转 到 ，连接 ，则当 之和取最小值时， 的周长为
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023下·山东威海·八年级统考期末）如图，边长为2的正方形 的对角线交于点O，
，绕点O旋转 ，交边 ， 于点E，F，则线段 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
3）路径（轨迹）型
例1．（2022·湖北武汉·八年级统考期末）如图， ，点 ， 均在线段 上且满足
．线段 上有一动点 ，分别以 ， 为边向上作正方形 ，正方形 ，
点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ，取 的中点 ．那么当点 从 运动到 时，点 移动的路
径长为（ ）
A． B． C．5 D．例2．（2023·广东三模）如图， 是等腰直角三角形，正方形 绕点A逆时针旋转
，再延长 交 于G，以下结论中：① ；② ；③当 ，
时， ，正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．都不对
4）分类讨论型
例1．（2023·云南昆明·统考二模）如图，大正方形 中， ，小正方形 中， ，在
小正方形绕 点旋转的过程中，当 ， ， 三点共线时，线段 的长为_______．
例2．（2023·辽宁辽阳·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于
点H．(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证： ；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．5）综合证明型
例1．（2022·四川南充·中考真题）如图，正方形 边长为1，点E在边 上（不与A，B重合），将
沿直线 折叠，点A落在点 处，连接 ，将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接
．给出下列四个结论：① ；② ；③点P是直线 上动
点，则 的最小值为 ；④当 时， 的面积 ．其中正确的结论是
_________．（填写序号）
例2．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝
90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将Rt△ECF绕
点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为 ；(2)如图
2，当α＝90°时①求证：△AGD≌△FGM；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成
立，请说明理由．课后专项训练
1．（2023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，原点O为 的对称中心， 轴，与y轴交
于点 ， 与x轴交于 ， ．若将 绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
2．（2023·天津红桥·九年级统考阶段练习）如图，在面积为12的
▱
ABCD中，对角线BD绕着它的中点O
按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝2EB，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2023·山西·校联考二模）如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形 ．
此时点A的对应点 恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点 之间的距离为（ ）
A．3 B．6 C． D．
4．（2023·河南安阳·校联考一模）如图，菱形 的顶点 ， ， ，若菱形
绕点 顺时针旋转 后得到菱形 ，依此方式，绕点 连续旋转 次得到菱形 ，
那么点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·黑龙江大庆·九年级统考期中）如图，四边形 是菱形， ，且
，M为对角线 （不含B点）上任意一点，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）如图，将菱形 绕点A按逆时针方向旋转 得到菱形
，当 平分 时，则 与 之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·天津河北·统考一模）如图，在菱形 中， ，将菱形 绕点A顺时
针方向旋转，对应得到菱形 ，点G在 上， 与 交于点H，则 的长 ．
8．（2023·浙江宁波·一模）如图，一副三角板如图1放置， ，顶点 重合，将 绕其顶
点 旋转，如图2，在旋转过程中，当 ，连接 ， ，此时四边形 的面积是
________．9．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期中）如图，正方形 的边长为2cm，正方形 的边长为
1cm，若正方形 绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为 _____．
10．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AB的中点，F是边
AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到EG，连接DG、CG，则DG+CG的最小值为
．
11．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图,菱形ABCD的一个内角是60∘,将它绕对角线的交点O
顺时针旋转90∘后得到菱形 .旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为 ，则菱形ABCD的边
长为 .12．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平
行四边形纸片重叠在一起， ． 将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点
和 分别落在边 和 上时， ，则 的长是 ，两张纸片重合部分（阴影部分）的面
积是 ．
13．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，
CD＝CE＝2，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF
的最小值是 ．
14．（2023上·重庆·九年级专题练习）某设计公司为某品牌 设计如图所示，该图是由一个含60°且边
长为6cm的菱形绕其顶点顺时针分别旋转30°和60°得到，则该品牌 图标的整体面积为 cm2．15．（2023·浙江金华·统考一模）如图，矩形 中， ，将矩形 绕点B按顺时针
方向旋转后得到矩形 ．若点F恰好落在线段 的延长线上，则 的长为 ．
16．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 是菱形 对角线 的中点，
轴且 ， ，将菱形 绕点 旋转，使点 落在 轴上，求旋转后点 的对应点的
坐标．
17．（2021·江西·校联考模拟预测）如图1，菱形 绕点 顺时针旋转 ，得到菱形
，连接 ， ．特例探索（1）当 时， ；当 时， ；
拓展应用（2）如图2，若射线 ， 交于点 ， ．
①求 与 的数量关系；②连接 ，若 ， ，求 的值；
③当 等于多少时，点 ， ， 在同一直线上？请直接写出 的值，不必说明理由．18．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD
上，且∠BAD=60°，连接CF；（1）求证： ；（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针
旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．
19．（2023春·上海·八年级专题练习）如图1，四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，其中点E在BC的
延长线上，点G在DC的延长线上，点H在BC边上，连结AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE
＝BH．（1）求证：△ABH≌△HEF；（2）如图2，当H为BC中点时，连结DF，求DF的长；（3）如图
3，将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°，使点E在AC上，点F在CD上，点G在BC的延长线上，连结
EH，BF．若EH⊥BC，请求出BF的长．20．（2023·广东·一模）如图 ，正方形 中， 、 分别是边 、 上的点， ．
(1)小聪同学通过将 绕点 顺时针旋转 至 ，得到 ．①请直接写出线段
、 、 之间的数量关系：______（用等式表示）；②若 ， 为 边中点，求 ．
(2)如图 ，将正方形 改为矩形，且 ， ，其他条件不变，即： 、 分别是边 、
上的点， ．①记 ， ，试探究 与 之间的数量关系（用等式表示）；
②当 时，求线段 的长．
21．（2023上·江西赣州·九年级统考期中）如图①，已知 是等腰直角三角形， ，点 是
的中点．作正方形 ，使点 分别在 和 上，连接 ．(1)试猜想线段 和 的数量关系，并证明你的结论；(2)将正方形 绕点 逆时针方向旋转一定角
度后（旋转角度大于 ，小于或等于 ），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍
然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
22．（2023上·广东深圳·九年级校考开学考试）已知正方形 与正方形 ，点 是 的中点，
连接 ， ．(1)如图1，点 在 上，点 在 的延长线上，请判断 ， 的数量关系与位置
关系，并直接写出结论；(2)如图2，点 在 的延长线上，点 在 上，（1）中结论是否仍然成立？
请证明你的结论；(3)将图1中的正方形 绕点 旋转，使 ， ， 三点在一条直线上，若 ，
，请直接写出 的长____________________．
