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第 5 讲 解题技巧专题：平行四边形中折叠、旋转、线段最值
问题(4 类热点题型讲练)
目录
【考点一 平行四边形中折叠求角度问题】............................................................................................................1
【考点二 平行四边形中折叠求线段长或证明】....................................................................................................4
【考点三 平行四边形中旋转问题】......................................................................................................................12
【考点四 平行四边形中求线段最值问题】..........................................................................................................18
【考点一 平行四边形中折叠求角度问题】
1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在 中，将 沿 折叠，使点 落在
边上的点 处，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /109度
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、折叠性质以及三角形的内角和定理，先根据平行四
边形的性质和平行线的性质求得 ，再由折叠性质得 ，然后利用三角形的
内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠性质得 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，将 先沿 折叠，再沿 折叠后，A点落在线段上的 处，C点落在E处，连接 ， ．若恰有 ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，跟进中河底得出
， ， ，求出
， ，根据 ，
，得出 ，求出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
由折叠得 ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2024·吉林松原·一模）如图，在平行四边形 中， 为边 上一点，将 沿 折叠至
处， 与 交于点 ．若 ， ，则 的大小为 度．
【答案】34
【分析】根据折叠性质，得 ， ，根据平行四边形的性质，得
， ， ，利用三角形外角性质，平行线性质解答即可，本题考查了折叠性质，平行
四边形的性质，三角形外角性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】根据折叠性质，得 ， ，∴ ，
∵平行四边形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：34．
4．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形 中，点 ， 在 边上，把 沿直线 折叠，
沿直线 折叠，使点 ， 落在对角线 上的点 处，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质及折叠的性质，熟悉掌握折叠图形边相等的性质是解题的关键．
利用平行四边形的性质和折叠的性质得到 ， ， ，再利用等腰三角
形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，且 沿直线 折叠， 沿直线 折叠，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是平行四边形纸片 的 边上一点，以过点P的直线
为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上 处，折痕与 边交于点M；再以过点P的直线为
折痕折叠纸片，使点B恰好落在 边上 处，折痕与 边交于点N．若 ，则
°．
【答案】16
【分析】本题主要折叠的性质，掌握折叠前后的线段、角对应相等是解题的关键．由折叠的性质可求得 ， ，再结合 、 、 在一条直线上，可求得答案．
【详解】解：∵点 落在纸片所在平面上 处，折痕与 边交于点 ，
故答案为：16．
【考点二 平行四边形中折叠求线段长或证明】
1．（2024·山东青岛·一模）如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别在边
， 上，沿 折叠平行四边形，使点 与点 重合，则线段 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识并正确
作出辅助线．过点 作 交 的延长线于点 ，根据平行四边形的性质可推出 ，
得出 ，在 中，根据勾股定理求出 ，由折叠可知 ，设 ，则
，在 中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：过点 作 交 的延长线于点 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
又 ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
由折叠可知 ，
设 ，则 ， ，在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
线段 的长度为 ，
故答案为： ．
2．（2023·陕西西安·二模）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 、点 分
别为 、 的中点，点 在边 上运动，将 沿 折叠，使得点 落在 处，连接 ，点
为 中点，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】根据三角形中位线定理可得 ，可知当 取得最小值时， 取得最小值，根据折叠
可知 在以点 为圆心， 的长为半径的半圆弧上运动，当点 运动到线段 上时，此时 取得最
小值，最小值为 ，过点 作 于点 ，根据 的直角三角形的性质可得 的长，根据
勾股定理求出 的长，再在 中，根据勾股定理求出 的长，进一步可得 的最小值，即可
求出 的最小值．
【详解】解：连接 ，
点 为 的中点，点 为 的中点，
为 的中位线，
，
当 取得最小值时， 取得最小值，
在平行四边形 中， ， ，
，
， ， ，
， ，
点 为线段 的中点，，
根据折叠可知 ，
点 在以点 为圆心， 的长为半径的半圆弧上运动，
当点 运动到线段 上时，此时 取得最小值，最小值为 ，
过点 作 于点 ，如图所示：
则 ，
，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
的最小值为 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换，线段最小值问题，平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的
性质，找出线段 最小时点 的位置是解题的关键．
3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将 沿对角线 折叠， 折到 位置．
(1)证明 ；
(2)如果 ，B、D两点间距离为 ，请在对角线 上找一点O，使得 的值最小，并求
最小值；
(3)探索：线段 与 满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当线 与 互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析
【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明 ；
（2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明 ；
（3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明 ．【详解】（1）解：证明：如图1中，
四边形 是平行四边形，
，
，
翻折得到 ，
，
，
，
，
，
；
（2）连接 交 于点O，连接 ，
点F与D关于 对称，
，
当点O为 与 交点时， 的值最小，最小值为线段 的长，即最小值为 ；
（3）当线段 与 互相平分时，点D、C、F在同一条直线上．
理由： 与 互相平分， ，
，
，
，
，
即 ，
翻折得到 ，
，
点D、C、F在同一条直线上．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）将 纸片沿 折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．(1)求证： ；
(2)若 的面积等于8， ，试求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，解题
关键是应用折叠的性质找出 所需的条件．
（1）由平行四边形的性质可得 ， ， ，由折叠可知 ， ，
，进而得到 ， ， ，于是 ，
以此即可通过 证明 ，由全等三角形的性质即可证明 ；
（2）由（1）可得 ，由 可得 ，进而求出 ，则
，代入计算即可得到答案．
【详解】（1）证明： 四边形 为平行四边形，
， ， ，
由折叠可知
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）如图，连接 ，由（1）知， ，
，
，
，即 ，
，
，
．
5．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形 中，点E是 边上的动点，现将
沿 折叠，点 是点B的对应点．
(1)如图1，当点 恰好落在 边上时，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，若 点 落在 上时，求 的长；
(3)如图3．若 取 的中点F，连接 ，求 的取值范围
【答案】(1)见解析
(2) 的长是
(3) 的取值范围是
【分析】（1）由平行四边形的性质得 由折叠得 则 进而即
可证明四边形 是平行四边形；
（2）由题意作 交 的延长线于点H，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解；
（3）根据题意取 的中点T、连接 进一步得出 是等边三角形，并且分析出当点F在直线
的上方，且点E与点C重合时 的值最大，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解。【详解】（1）证明：如图1，∵四边形 是平行四边形，
∴
∴
由折叠得
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：如图2，作 交 的延长线于点H，
∵
∴
∵点 落在 上，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ，
∴ 3 ，
∵
∴ ，
∴ 的长是 ．
（3）解：如图3，取 的中点T、连接∵
∴
∴
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∵ 点F是 的中点，T是 的中点，
∴ 3，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ 的最小值是3；
∵点E是 边上的动点，
∴当点F在直线 的上方，且点E与点C重合时 的值最大，
如图4，点E与点C重合，
∴ ，
∴ 三点在同一条直线上，
∴ 且 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的取值范围是 ．
【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于
斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，此题综合性强，难度较大，
属于中考压轴题．
【考点三 平行四边形中旋转问题】
1．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点C在y轴上，对角
线 轴， ， ．将 绕点O逆时针旋转，每秒旋转 ，则第2023秒结束时，点B
的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质，点坐标的规律探究，熟练根据旋转的知识确定旋
转后的位置是解题的关键．先根据平行四边形的性质求出点B的坐标，再作出旋转后的图形，然后找到B
点的坐标规律，并按照规律解答即可．
【详解】解： 中， ， ， 轴，
， ， ，
，
如图：将 绕点O逆时针旋转，每秒旋转 ，
1秒时，由旋转角的性质得： 与x轴重合， ，
， ，，
，
四边形 是平行四边形，
∴四边形 是平行四边形，
，
轴，
，
同理可得： ，
则：每旋转4秒则回到原位置，
∵ ，
∴第2023秒时，完成了505次循环，又旋转了3次，
∴当第2023秒旋转结束时，点B的对应点 是 ．
故选：B．
2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在平行四边形 中， ， ，将平行四边形绕
O点逆时针方向旋转 得平行四边形 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．直
接利用旋转的性质B点的对应点到原点距离相同，进而得出坐标．
【详解】解：∵将平行四边形 绕O点逆时针方向旋转 得平行四边形 的位置， ，
∴点 的坐标是： ．
故选：B．
3．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，把平行四边形 绕点A旋转 得平行四边形 ，
点 落在 边上，若 ，当 ， ， 三点共线时， 的度数为 ．【答案】 /28度
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用平行四边形
和图形旋转的性质是解答本题的关键，由图形旋转的性质可知 ，由平行四边形的性质可知
，再用等腰三角形的性质推得 ，最后根据三角形的内角和定理即可得到答案．
【详解】 平行四边形 绕点A旋转 得平行四边形 ，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形 中， ， ，面积为120，点
是边 上一点，连接 ，将线段 绕着点 旋转 得到线段 ，如果点 恰好落在直线 上，那
么线段 的长为
【答案】2或14
【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，注意分类讨论；由题意得 ；分
顺时针旋转与逆时针旋转两种情况，利用旋转性质及勾股定理即可求解．根据题意确定 是解题的
关键．
【详解】解：∵线段 绕着点 旋转 得到线段 ，点 恰好落在直线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ；当线段 绕着点 顺时针旋转 时，如图，
∴ ，
∴ ；
当线段 绕着点 逆时针旋转 时，
则 在点P的右侧，
∴ ；
综上， 的长为2或14；
故答案为：2或14．
5．（2023·河北承德·一模）如图，在四边形 中， ， ， ．
将 沿 剪下来，以 为旋转中心逆时针旋转 ，旋转过程中， 、 与 所在
的直线的交点分别为 、 ．
(1)求证： ；
(2)当旋转角为 时，如图2所示，求重叠部分的面积；
(3)在旋转过程中，若 ，如图3所示，求 的长；
(4)在旋转过程中，若 ，请直接写出 的长（用含 的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意可得，四边形 是平行四边形，证明 ，即可得证；（2）根据题意得到 是等腰直角三角形， ，根据旋转角为 时， 平分 ，
设 交 于点 ，则 是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（3）如图所示，将 绕点 逆时针旋转 ，使得点 与点 重合，点 是点 的对应点，则
，连接 ，则 ，证明 ，则
，设 ，则 ，在 中， ，勾股定理求得 ，
即可求解；
（4）设 ， ，同（3）的方法，在 中， ，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴四边形 是平行四边形
∴
在 中，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵
∴
∴旋转角为 时， 平分 ，
∴ ，
如图2，设 交 于点 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴重叠面积为
（3）解：如图所示，将 绕点 逆时针旋转 ，使得点 与点 重合，点 是点 的对应点，则
，连接 ，
∴ ，则 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ ；
（4）解：设 ， ，
由（3）可得 ，则 ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
即 ，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，熟练
掌握以上知识是解题的关键．
【考点四 平行四边形中求线段最值问题】
1．（2024·山东青岛·一模）如图，在平行四边形 中， ，点 分别是边
上的动点（不与 重合），点 分别为 的中点，连接 ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，利用三角形中位线定理得出 ，则当
时， 最小，则 最小，利用勾股定理求出 ，然后利用等面积法求出 的最小值，即
可求解．
【详解】解：连接 ，
∵点 分别为 的中点，
∴ ，
当 时， 最小，则 最小，
∵ ，
∴ ，
设 中 边上高为h，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，则 最小值为 ，
故答案为： ．
2．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，对角线与 交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交 、 于点E、F，则四边形 周
长的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，求出 的值，进而求出 的值，根据 证明
，得到 ，即可推出四边形 周长 ，当 的值最小
时，即可得到四边形 周长的最小值，利用垂线段最短即 时，求出 最小值，即可得出答
案．
【详解】解：如图所示，过点 作 ，垂足为 ，
， ， ，
∴ ，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
四边形 周长 ，
当 的值最小时，四边形 的周长最小，此时 ，即 为最小值，
四边形 的周长最小值为 ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，
解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长．
3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知点D与点 ， ， 是平行四边形的四个顶点，
则 长的最小值为 ．
【答案】
【分析】讨论两种情形：① 是对角线，② 是边． 是对角线时 直线 时， 最小．
是边时， ，通过比较即可得出结论．
【详解】解：有两种情况：当 为对角线时，记交于点F，
∵ ，设直线 表达式为： ，
则代入点C得： ，
∴ ,
点C在直线 上，
延长 交x轴于点G，取 中点H，连接 ，
∵点F是平行四边形对角线交点，
∴F为 中点， ，∴ 为 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， 最短，
由 可知点C与点O的水平距离和铅锤距离均是 ，
∴ ，∴当 时 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，则 ，
设直线 表达式为： ，代入得 ，∴ ，
∴直线 表达式为： ，
联立得： ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ；
当 为平行四边形边时，则 ，
综上， 最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、垂线段最短，勾股定理等知识，学会分类讨论
是解题的关键，灵活运用垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型．
4．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在 中， ， ， ， 是 边的中
点， 是 边上一动点，将 沿 所在直线翻折得到 ，连接 ，则 长度的最小值是
．
【答案】 /
【分析】如图连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，首先求出线段 、 的长度；运
用勾股定理求出 的长度，根据三角形三边关系即可解决问题．
【详解】解：如图连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵点 为 的中点， ，
∴ ， ，∴ ,
∴ ， ，
∵
∴
∴ ，
∵
∴点 在 上时，三点共线，此时 的长度最小，
∴ 长度的最小值 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，最短路径等知识，解题关键是恰当作辅助
线，将分散的条件集中；灵活运用平行四边形的性质、勾股定理等几何知识点来分
5．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在平行四边形 中， 是等边三角形， ，且两
个顶点 、 分别在 轴， 轴上滑动，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】由条件可先证得 是等边三角形，过点 作 于点 ，当点 ， ， 在一条直线上，
此时 最短，可求得 和 的长，进而得出 的最小值．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图所示：
是等边三角形，
， ，
平行四边形 中， ， ， ，
，
是等边三角形， ，， 是等边三角形，
为 中点，
， 为 中点，
，
，
，
当点 ， ， 在一条直线上，此时 最短，即 的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，
判断出当点 ， ， 在一条直线上， 最短是解题的关键．
