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第 6 讲 解题技巧专题：平行四边形中线段和最值之将军饮马
模型(2 类热点题型讲练)
目录
【考点一 两条线段和的最小值】............................................................................................................................1
【考点二 多条线段和（周长）最小值】..............................................................................................................10
【考点一 两条线段和的最小值】
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
A
A A
B
m
A P
m m
P
B
B B m A'
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例题：（2024·江苏南通·一模）如图，平行四边形 中， 分别是边
上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图， 是边长为6的等边三角形，点D在边 上，且 ，
线段 在边 上运动， ，则 的最小值为 ．2．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，将线段 沿x轴
向右平移得到 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形 中，对角线 于点O，若 ，
，则 的最小值为 ．
4．（22-23八年级下·贵州黔东南·期末）如图，平行四边形 中， ，E是边
上一点，且 是边 上的一个动点，将线段 绕点E逆时针旋转 ，得到 ，连接
，则 的最小值是 ．
5．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，D为
边上一动点（不与点A重合）， 为等边三角形，过点D作 的垂线，F为垂线上任意一点，
连接 ，G为 的中点，连接 ，则 的最小值是 ．6．（22-23八年级下·四川成都·期中）在 中，点 为 边上一点，将 沿着 翻折得到 ，
点 为 中点，连接 、 ，若 ， ， ，则 的最小值为 ．
【考点二 多条线段和（周长）最小值】
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
m
A
A m
m P' P
A
m P
B
n
Q' Q
n B n
Q
B B n B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m A
A P
B
Q
B n
n B'
（4）台球两次碰壁模型1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形
ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
n
A'
A
A'
B A
n n
D Q
A
B m A m
E P
m B' m A"
【最值原理】两点之间线段最短。
例题：（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， ．连
接 ，且 ， 平分 交 与于点 ．点 在 边上， ，若线段 （点P在
点 的左侧）在线段 上运动， ，连 、 ，则 的最小值为 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·山东临沂·期末）已知如图， ． 为x轴上一条动线段，D在C点右
边且 ，当 的最小值为 .
2．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在 中， ， ， ．如
果在三角形内部有一条动线段 ，且 ，则 的最小值为
．
3．（23-24八年级下·浙江·期中）如图， 中， ， ， ，点 为 边上的中点， 为边 上的两个动点，且 ，则五边形 的周长最小值为 ．
4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图， 中， ，点 、点 为边 上的点，且
，点 、 分别为边 、 上的点．已知： ， ，则四边形 的周长的最小
值为 ．
5．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，河的两岸有 ， 两个水文观测点，为方便联络，要在河上修
一座木桥 （河的两岸互相平行， 垂直于河岸），现测得 ， 两点到河岸的距离分别是5米，4米，
河宽3米，且 ， 两点之间的水平距离为12米，则 的最小值是 米．
6．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，
点E、F分别是边 上的点，连接 ，若 ， ， ，则 周
长的最小值是 ．
