文档内容
专题 06 平行四边形常考几何模型专训（8 大题型）
题型一 平行四边形中的旋转模型
题型二 平行四边形中的翻折模型
题型三 平行四边形中的轴对称模型
题型四 平行四边形中的平移问题
题型五 平行四边形中的最值问题
题型六 平行四边形中的动点问题
题型七 平行四边形中的新定义问题
题型八 平行四边形综合
【经典例题一 平行四边形中的旋转模型】
【例1】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，两张正方形的纸片 ， 的一个顶点 重
合，正方形纸片 绕点 旋转一定的角度，使得B，E，G三点在同一条直线上， 与边 相交于
点 ．
（1）若 ，则 （用含 的式子表示）；
（2）若 ， ，则 的长为 ．
1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，正方形 的边长 ，对角线 、 相交于点 ，
将直角三角板的直角顶点放在点 处，三角板两边足够长，与 、 交于 、 两点，当三角板绕点
旋转时，线段 的最小值为 ．2．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知矩形 中， ， ，将矩形 绕
点 逆时针旋转得到矩形 ，点 ， 的对应点分别为点 ．
(1)如图1，当点 落在边 上时，求 的长；
(2)当点 ， ， 在一条直线上时，设 与 的交点为 ，求 的长；
(3)如图2，设点 为边 的中点，连接 ， ， ，在矩形 旋转过程中， 的面积是否
存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
3．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在 和 中， ， ， ．
(1)如图①，当点D在 内部时，求证： ．
(2)将 绕点A旋转，当点D落在线段 上时，若 ．
①如图②，连接 ，若 ，求线段 的长；
②如图③，M，N分别为 ， 的中点，连接 ，判断线段 与 的关系并说明理由．
4．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】
在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形 ，直线 经过点A，并绕点A旋转，作点 关于直线 的对称点 ，直线 交直线 于点F，连接 、
．
【操作发现】
（1）如图1，若 ，则 ________， ________ ．
【拓展应用】
（2）如图2，当直线 在正方形 的外部时
①判断 的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
②求证： ．
【经典例题二 平行四边形中的翻折模型】
【例2】（2025·河北沧州·一模）如图，矩形 中，点 分别为边 上两动点，且 ，
．沿 翻折矩形，使得点 恰好落在边 （含端点）上，记作点 ，翻折后点 对应点为点
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，矩形纸片 中，将矩形纸片翻折，使点B落在
对角线 上的点F处，折痕 交 于点 ，若 ，则 的长度为 ．
2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供了
几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形 的对角线 的
垂直平分线与边 、 分别交于点 、 ．求证：四边形 是菱形．请你帮小明写出证明过程．
（2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形 沿直线 翻折，使点 的对称点与点 重合，
点 的对称点为 ，直线 分别交矩形 的边 、 于点 、 ，若 ， ，求折痕
的长．
（3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形 沿直线 翻折，使点 的对称点与点
重合，点 的对称点为 ，直线 分别交平行四边形 的边 、 于点 、 ，若 ，
， ，求四边形 的面积．
3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）正方形纸片 中， ，
．(1)将正方形 对折，使点 与点 重合．展开铺平，折痕为 ．将 边沿 翻折得到 ，延长
交 于 ．求证： 为 的三等分点．
(2)若 ，点 为射线 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得 ．直线 与直线 交于
点 ．若 ，求 的长．
4．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）综合与实践
折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，
折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题.
问题情境
如图1，在长方形纸片 中， ， ， ，点 是线段 上
的动点，连接 ， 是由 沿 翻折所得到的图形.
（1）如图2，连接 ，当点 落在 上时， 的长为________________.
深入探究
（2）如图3，点 是 的中点，连接 .当点 落在 上时，求 的长.
拓展应用
（3）如图4，点 是 的中点，连接 ， .
① 的最小值为________________；
②当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长.【经典例题三 平行四边形中的轴对称模型】
【例3】（2025九年级下·浙江·学业考试）如图，四边形 是平行四边形， 与 关于
对称， 交 于点 ．
(1)仅用无刻度直尺作 的中线 ；
(2)在（1）所作图形中，求证 ．
1（24-25八年级下·山西·阶段练习）综合与实践
如图，在等腰直角 中，点D是斜边 上的动点（点D与点A不重合），连接 ，以 为直角边
在 的右侧构造等腰 ， ，连接 ．
特例感知
（1）如图1，请判断 与 之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
拓展应用
（2）点F与点C关于 对称，连接 ， ， ，如图2．已知 ，设 ．
① 的面积为_______（用含x的代数式表示）；
②当 时，请直接写出 的长度．
2．（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）请按以下要求完成尺规作图．(1)如图1，菱形 中，点 在对角线 上，请作出一对以 所在直线为对称轴的全等三角形，使交
于点 ，交 于点 ， ．你有几种解法？请在下图中完成；（保留必要作图痕迹，不
写作法）
(2)如图2，点 是菱形 内部一点，请作出一条过点 的直线，交射线 ，射线 于点 ，且
，聪明的你肯定有多种不同作法？请在下图中完成两种作法，并选择其中一种证明： ．
（保留必要作图痕迹，不写作法）
3．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图， 中， ， ， 于点 ，点
在 的延长线上，连接 ，点 与点 关于直线 对称，连接 ．
(1)依题意补全图形；
(2)求证： ；
(3)当 时，连接 ， ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，四边形 是矩形，点 在 边上，点 在 延长线上，
．
如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝
BF．
(1)下列条件：①点 是 的中点；② 平分 ；③点A与点 关于直线 对称．请从中选择一个
能证明四边形 是菱形的条件，并写出完整证明过程．
选择条件：_____（填序号），理由如下．
(2)若 ， ， ，求四边形 的面积是多少．【经典例题四 平行四边形中的平移问题】
【例4】（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图， 中， ， ， ．将
沿射线 方向平移 ，得到 ，A， ， 的对应点分别是D，E，F，连接 ．求证：
四边形 是菱形．
1．（23-24八年级下·浙江·期中）如图1，两个全等的直角三角形 和 的斜边 和 在同一直
线上， ，并连接 ， ．
【操作思考】
（1）在 沿直线 平移过程中，求证： ；
【拓展探究】
（2）如图2，若四边形 为菱形， ， ，求 的长．
2．（2025·河南周口·一模）综合与实践
学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究．
【模型感知】
（1）她把边长为3的正方形纸片 沿着对角线 剪开，如图1．然后固定纸片 ，把纸片
沿剪痕 的方向平移得到 ，如图2．连接 ， ， ，在平移过程中：①四边形 的形状始终是________（点 与点 重合时除外）；
②求 的最小值．
【拓展探究】
（2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形 ， ，将 沿射线 的方向平移得
到 ，连接 ， ， ，请直接写出 的最小值．
3．（23-24九年级上·广东江门·期末）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、
联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，
请你解答：
(1)观察发现：将 为 ， 为 的矩形纸片 沿对角线 剪开，得到 ．如图
1，将 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 ， ，得到 ，过点C作
，交 的延长线于点E，则四边形 的形状是________．
(2)探究迁移：如图2，若将 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到 ，若B、A、 三点
在同一直线上，连接 ，取 的中点F，连接 并延长至点G，使 ，连接 ，得到四
边形 ，请你判断四边形 的形状，并加以证明．
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将 沿着 的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移
到 点， 与 相交于点H，连接 ，求 的长．
4．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）正方形 ，点 分别在 上， 与相交于点 ．
(1)如图1， ，求证： ；
(2)如图2，平移图1中线段 使点 与点 重合点 在 延长线上，连接 ，取 的中点 ，连接
，试探究线段 和 的数量关系并证明你的结论．
【经典例题五 平行四边形中的最值问题】
【例5】（2025·广东东莞·一模）数学活动
按照国际标准，A系列纸为矩形纸，其中 纸的面积为 ．将 纸沿长边对折、裁开，便成 纸，将
纸沿长边对折、裁开，便成 纸，将 纸沿长边对折、裁开，便成 纸，将 纸长边对折、裁开，
便成 纸．
【操作与观察】
（1）将一张 纸按如图所示的方式进行两次折叠（折痕分别是 和 ），线段 落在线段 上，
点 的对应点是点 ，观察发现点 恰好与点 重合，求证： 纸的长是宽的 倍．
【猜想与验证】
（2）利用图，请连接 ，求证： 是等腰直角三角形．
【类比与归纳】
（3）按照国际标准，类比上述研究可以得到用 纸裁剪出的最大正方形的面积为 ．
1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）【阅读理解】亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在 中， ，若点 是斜
边 的中点，则 ．
【牛刀小试】
（1）在图1中，若 ，其他条件不变，则 ___________；
【活学活用】
（2）如图2，已知 ，点 、 分别为 、 的中点， ， ．求
的长；
【问题解决】
（3）为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个运动公园，形状如图3中的四边形 ，其中，
， ， 千米，要在公园的 、 之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑
道铺设成本每米200元，当 最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？
2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）【定理】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【应用】
如图①，在 中，点P、Q分别是边 、 的中点，连结 ，若 ，则线段 的长为
________．
【探究】如图②，在应用的条件下，点 为平面上的一点（ 与 不平行），点M为线段 的中点，连结 、
，当 时，求 的长．
【拓展】
如图②，在探究的条件下，若 ，当 的面积最大时，直接写出 的度数．
3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在边长为2正方形 中，E为 边上一动点（点E不与
B，C重合），连接 ，以 为直角边作等腰直角三角形 ，其斜边 与正方形 边相交于点
N，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当E运动到 的中点时，求线段 的长度；
(3)如图2，连接 交 与点P，G是 的中点，连接 ， ，当 等于多少时， 的最小，
并求出最小值？
4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出
（1）如图1，线段 ，P为线段 上的一动点， 于点A， 于点B．若 ，
，则 的最小值为_________；
问题解决
（2）为培养学生的劳动能力，五育并举．学校计划用栅栏在校园花园内建造学生自用地，围成的两块三
角形区域分别种植菠菜和生菜，且种植菠菜的面积是生菜的面积的2倍．小伟所在的数学建模社团想利用所学的知识进行设计．如图2，建立平面直角坐标系，两条栅栏分别为 ， ．已知点 ， ，
，在四边形 内部确定一点P，使得 ．按照规划要满足 的值最小，请
求出 的值最小时点P的坐标．
【经典例题六 平行四边形中的动点问题】
【例6】（2025八年级下·全国·专题练习）在矩形 中， ， ， 、 是对角线 上的两
个动点，分别从 、 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 秒，其中 ．
(1)若 ， 分别是 ， 中点，则四边形 一定是怎样的四边形（ 、 相遇时除外）并说明理
由；
(2)在（1）条件下，若四边形 为矩形，求 的值．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，点
的对应点为点 ，连接 ．
(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，求 的长；
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）【模型建立】如图1，在 中，点E为边 上一动点，
连接 ．设 ， ， 的面积分别为 ， ， ．写出 ， ， 之间的数量关系，
并用两种不同的方法证明；
【模型应用】
如图2，在 中， ， ， ，点E为边 上的一动点，连接 ．过点B作
．求 的值；
【模型拓展】
如图3，点P为 内一点（点P不在 上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形
的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），写出 的面积，并说明理由．（用含 ，
的代数式表示）
3．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：在四边形 中， 为对角线 上的动点，点 ， 分别在
， 上．
(1)【动手操作】
如图①，若四边形 为正方形， 为对角线 ， 的交点， ， 分别为 ， 的中点时，连
接 ， ，根据题意在图①中画出 ， ，则 为________________度；
(2)【问题探究】
如图②，四边形 为菱形， ， 为对角线 ， 的交点，且 ，探究线段
， ， 之间的数量关系，并说明理由；(3)【问题解决】
如图③，在（2）的条件下，若点 在对角线 上，菱形 的边长为8， ， ，求 的长．
4．（24-25八年级下·四川绵阳·开学考试）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，
那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形 中， ， ， ．
(1)如图1，O为 的中点，则直线 的等腰分割线．（填“是”或“不是”）．
(2)如图2，点P是边 上一个动点，当直线 是 的等腰分割线时，求 的长度．
(3)如图3，若将 放置在如图所示的平面直角坐标系中，点Q是边 上的一点，如果直线 是
的等腰分割线，则点Q的坐标为 ．(直接写出答案)．
【经典例题七 平行四边形中的新定义问题】
【例7】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与
正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度”
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为 ， ，若我们将菱形的“接近度”定义为 ，于是 越小，
菱形就越接近正方形．
①当菱形的一个内角为 时，“接近度”=________；
②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形；
(2)若我们将菱形的“接近度”定义为 ，则：
①菱形的一个内角为 时，“接近度”=________；
②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形；(3)甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义
后面打“√”，不合理的定义后面打“×”．
①甲：设矩形相邻两条边长分别为 ， ，将矩形的“接近度”定义为 ，于是 越小，矩
形越接近于正方形．________
②乙：设矩形相邻两条边长分别为 ， ，将矩形的“接近度”定义为 ，于是 越小，矩形越接
近于正方形．________
1．（24-25九年级上·河南周口·期中）综合与实践
综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻
等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究．
(1)操作判断
如图1，在边长为2的正方形 中， 是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点 在射
线 上移动，三角板的一条直角边始终经过点 ，另一条直角边交射线 于点 ，当 点在 边上时，
四边形 是邻等对补四边形吗?说明理由．
(2)迁移探究
当 点在 边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出
此时 的长．
2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）阅读与思考
小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于
是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务．
《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认
的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一
套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”．
下面是上述命题的证明．
已知：如图1，在 中， ．
求证： ．
证明：如图2，由于 ，故在 边上截取 ，连接 ．
， ，（依据1）
是 的外角， ，（依据2）
， ．
， ， ．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________．
(2)如图3，在四边形 中， ， ．请猜想 和 的关系，并证明你的结论．
(3)如图4，在四边形 中， ，连接 、 相交于点 ， 且 ，点 在
边上， ．求证： ．3．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三
角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
(1)如图1，四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，若 ， ，则
______ ；
(2)如图2，四边形 中， ， ， ， ．
①试说明四边形 是“等腰四边形”；
②如图3，点 在线段 上， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则
的最大值为______；
(3)若在“等腰四边形” 中， ， ，且 为“界线”，请直接写出
的度数为______．
4．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的
两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1， ，四边形 是损矩形，
则该损矩形的直径是线段 ．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同
侧的两个角是相等的．如图1中： 和 有公共边 ，在 同侧有 和 ，此时
；再比如 和 有公共边 ，在 同侧有 和 ，此时
．(1)请在图1中再找出一对这样的角来：____________ ____________．
(2)如图2， 中， ，以 为一边向外作菱形 ，D为菱形 对角线的交点，连
接 ，当 平分 时，判断四边形 为何种特殊的四边形？请说明理由．
(3)在第（2）题的条件下，若此时 ， ，求 的长．
【经典例题八 平行四边形综合】
【例8】（2025八年级下·全国·专题练习） 已知正方形 中， ，点E在 上，且 ，
将 沿 对折至 ，延长 交 于H，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长；
(3)求 的面积．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图 ， 的面积是 ， 是 的中点，连接 ，
的面积是 ；
（2）如图 ，四边形 的面积是 ， 、 分别是一组对边 、 的中点，连接 ， ，则四
边形 的面积是 ；（3）如图 ， 、 分别是一组对边 、 上的点，且 ， ，若四边形 的
面积是 ，连接 ， ，则四边形 的面积是 ；
（4）如图4，平行四边形 的面积是 ， ， ，点 从点 出发沿 以每秒 个单位长
的速度向点 运动，点 从点 出发沿 以每秒 个单位长的速度向点 运动． 、 分别从点 、
同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．请问四边形 的面积的值是否随着时间
的变化而变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明是怎样变化的．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
与 的延长线相交于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)填空：①当 满足条件 时，四边形 是 形；
②当 满足条件 时，四边形 是正方形．
3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．
(1)如图1，在四边形 中， ， ，问四边形 垂直四边形吗？请说明理由；(2)如图2，四边形 是垂直四边形，求证： ；
(3)如图3， 中， ，分别以 、 为边向外作正方形 和正方形 ，连接
， ， ，已知 ， ，求 长．
4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ， ，
，点 从点 出发沿 以每秒 的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 方向以每秒
的速度向点 运动，设运动的时间为 秒，当点 运动到点 时，点 停止运动．过点 作
于点 ．
(1)填空： ， （用含有 的式子表示）；
(2)是否存在某一时刻 ，使四边形 为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)若在某一时刻 ，平面内存在一点 ，使 四点构成的四边形是矩形，求出 的值．
