文档内容
专题 12 特殊的平行四边形中的最值和新定义问题的八种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、平行四边形中的最值问题...................................................................................................................2
类型二、矩形中的最值问题...............................................................................................................................8
类型三、菱形中的最值问题.............................................................................................................................13
类型四、正方形中最值问题.............................................................................................................................17
类型五、平行四边形中的新定义型问题..........................................................................................................22
类型六、矩形中的新定义型问题.....................................................................................................................27
类型七、菱形中的新定义型问题.....................................................................................................................32
类型八、正方形中的新定义型问题..................................................................................................................37
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................40
解题知识必备
1.平行四边形
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
2.矩形
1.矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四
边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
3.菱形1.菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，
还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
2.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.正方形
1.正方形的概念、性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是
有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
压轴题型讲练
类型一、平行四边形中的最值问题
例题：（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，E是边
延长线上一点，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，则 的最小值是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，四边形 是平行四边形， ， ，
点 E 为 的中点，连接 ，点F为线段 上的一个动点，连接 ，则线段 长度的最小值为
．
2．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在 中， 为 边上的高，点F和点G分别为高和边 上的动点，且 ．若 ， ， ，则 的最小值为 ．
3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，点M为直线
上一动点，则 的最小值为 ．
4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知 的面积为 ， ， ，现先将
沿某一方向平移 个单位长度后得到 ，其中点 ， ， ， 的对应点分别为 ， ，
， ；再将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，其中点 ， ， 的对应点分别为 ，
， ，连接 ， ，则线段 的最大值为 ，线段 的最小值为 ．
类型二、矩形中的最值问题
例题：（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点D
在 边上， ， ，垂足分别为点E、F，连接 ，则线段 的最小值等于 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上， ，
点 是 上的动点，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则 的最小值为 ．2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠， ， ．
点 是线段BD上一点．则 的最小值为 ．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别是边 ，
上的动点，且 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则线段 长的最大值为 ．
类型三、菱形中的最值问题
例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形 中， ， 分别是边 ， 上的动点，
连接 ， ， ， 分别为 、 的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为
．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在菱形 中， ，点E为边 的中点，点P
在对角线 上运动，且 ，则 长的最大值为 ．2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形 中， ， ，点 ， ， 分别
是线段 ， ， 上的任意一点，连接 、 ，则 的最小值是 ．
3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形 中，两条对角线 ， ，点 是对角线
上一点（不与端点 重合），则 的最小值为 ．
类型四、正方形中最值问题
例题：（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形 中， 为 边上一点，且
， 是对角线 上的一个动点，则 的最小值为 ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形 中， ， ， 分别是边CD， 上的
动点且 ， 与 交于 点，则线段 长的最小值为 ．2．（2024·陕西商洛·一模）如图，正方形 的边长为4，点E在线段 上，以 为边构造正方形
，使点G在 的延长线上，连接 ，取 的中点H，连接 ．当点E在 边上运动（不含
A，D）时， 的最小值为 ．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形 中，对角线 与 交于点 ， ， 是
的中点， 是对角线 上的一条动线段，若 的最大值为 ，则 的长为 ．
类型五、平行四边形中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图1，在邻余四边形 中， ，则 ________；
(2)如图2，在 中， ， ， 垂直平分 交 于点 ，垂足为 ，且 ，
， 为 上一点，求证：四边形 是邻余四边形；(3)如图3、图4，在邻余四边形 中， 为 中点， ，
①如图3，当 时，判断四边形 的形状并证明你的结论；
②如图4，当 ， 时，求 的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α（
）得到 ，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”，边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补
中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．
①如图2，当 为等边三角形时， 与 的数量关系 ；
②如图3，当 时，则 长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
类型六、矩形中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的
平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到 的
三个顶点的距离分别为 ，如图1，当 最大时，若 ，则点P就是 的
“幸运点”．
【探究1】如图2，在 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， 的顶点在格点上，若格点P是
的“幸运点”，请画出点P的位置；
【探究2】如图3，矩形 中，对角线 交于点O， ， ，若P是矩形 上的一点，且点P是 的“幸运点”，求 的长；
【探究3】如图4， 为等边三角形，过点A作 的垂线，点D在该垂线上，以 为边在其右侧作
等边 ，连接 ．
①判断点A是否是 的“幸运点”，并说明理由；
②若 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形 中， ．垂足为 ，则有： ；
性质应用：（1）如图1，四边形 是垂美四边形，若 ， ， ，则 ；
性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：
．请以图3为例将重要结论证明出来．
应用变式：（3）①如图4，在矩形 中，O为对角线交点，P为 中点，则 ；（写出
证明过程）
②如图5，在 中， ， ，D是 内一点，且 ， ，则 的最小值
是 ．
类型七、菱形中的新定义型问题
例题：（2024·浙江·模拟预测）定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形
的中心．
(1)①写出一种你学过的伪矩形： ．
②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ．
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
(2)如图1，在伪矩形 中， ， ， ，求 的长．(3)如图2，在伪矩形 中， ， ， ， ，求这个伪矩形的面积．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条
边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形 中，连接 ，在 的延长线上取点E
使得 ，以 为边作菱形 ，我们称菱形 是菱形 的“伴随菱形”．
(1)如图2，在菱形 中，连接 ，在 的延长线上作 ，作 的平分线 交 的延
长线于点 ，连接 ．求证：四边形 为菱形 的“伴随菱形”．
(2)①如图3，菱形 为菱形 的“伴随菱形”，过 作 垂直 于点 ，对角线 相
交于点 ．连接 若 ，试判断 与 的数量关系并加以证明．
②在①的条件下请直接写出 的值．
类型八、正方形中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边
形”．(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是
___________（填序号）；
(2)如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连
、 ．求证：四边形 是“宁美四边形”；
【变式训练】
1．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的
新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形
叫做“中方四边形”
【概念理解】
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填
序号）．
【性质探究】
（2）如图1，若四边形 是“中方四边形”，观察图形，线段 和线段 有什么关系，并证明你
的结论．
【问题解决】
（3）如图2，以锐角 的两边为边长 ，分别向外侧作正方形 和正方形 连结
，依次连接四边形 的四边中点得到四边形 ．求证：四边形 是“中方四边
形”．
压轴能力测评（10题）
一、单选题
1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ， 是 边上任意一点，连接 ，以 ， 为邻边作 ，连接 ，则 长的最小值为（ ）
A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形 在第一象限， ，
分别在x轴和y轴上，P，Q分别为 ， 上的动点，点M在 上， ，点N为 中点，
上一点，若点B的坐标是 ，则四边形 的周长最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形 的边长为 ， ，P，Q分别是
上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
4．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形 中， ，对角线 、 交于点O，点
E、F分别为边 、 上的动点（不与端点重合），且 ，连接 、 、 ，则线段 的
最小值为 ．三、解答题
5．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，将 沿
所在直线折叠，得到 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，P是 边上的动点，Q是 边上的动点， 的最小值是________．
6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三
角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
(1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若 ， ，则
______°；
(2)如图2，四边形ABCD中， ， ， ， ．试说明四边形ABCD是
“等腰四边形”；
(3)若在“等腰四边形” 中， ， ，且BD为“界线”，请直接写出
的度数为______．
7．（2023·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在 ， ， ，求点C到AB的距离．
【问题延伸】如图②，在 ， ， ．若点M在边 上，点P在线段 上，连
结 ，过点P作 于Q，则 的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形 中， ，点E在边AD上，点M在边AB上，点F在线段 上，
连结 ，若 ，则 的最小值为__________．8．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图， 是正方形 外一点，连接 ， ，使 是等边
三角形， 为对角线 （不含 点）上任意一点， ， ，连接 、 、 ．
(1)求证： ；
(2)①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
(3)当 的最小值为 时，求正方形 的边长．
9．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的
新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形
叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是
A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
问题解决：如图2，以锐角 的两边 为边长，分别向外侧正方形 和正方形 ，连
接 ．求证：四边形 是“中方四边形”：
性质探究：如图1，四边形 是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形 的两条站论： ①
；②
拓展应用：如图3，已知四边形 是“中方四边形”，M，N分别是 的中点，
（1）试探索 与 的数量关系，并说明理由．
（2）若 的最小值是4，则 的长度为 ，（不需要解答过程）
10．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上
任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记
为 ．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中， 的对角线 ， 相交于点O，若点A，B的坐标分别为
， ，点G是 边上任意一点．（1）当点G在边 上时， 的最小值是__________，因此d[点O，线段 ] __________；
（2）当点G在任意边上时， 的最小值是__________，因此d[点O， ] __________；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， 的对角线 ， 相交于点O， 平分 ，点A，
B的坐标分别为 ， ，点 是对角线 上与点A，C，O不重合的一点，点 是对
角线 上与点B，D，O不重合的一点．
（3）当 [线段 ， ] 时，则n的取值范围为__________；
（4）当 时， __________（结果用含n的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩
绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩
绳的长度．
