专题04 特殊平行四边形中折叠、最值、新定义型问题
内容导航
01 复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标
02 知识重构
→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系
03 题型突破
→汇总常考题型，举一反三，方法提炼
题型1
特殊平行四边形中折叠问题
题型2
特殊平行四边形中最值问题
题型3
特殊平行四边形中新定义型问题
04 综合通关
→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官
05 错题留痕
→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解
常考考点
命题风向
1. 折叠：求折痕长、对应点
位置，利用勾股列方程。
2. 最值：将军饮马模型求线
段和最小值，动点路径长。
3. 新定义：理解定义（如“等
邻边四边形”），判定形状
或计算，考查迁移能力。
1.
折叠问题：从简单求角度转向利用轴对称性质构造方程，重点考查
矩形折叠中通过勾股定理求折痕或对应线段长度，常与中点、三等分点
结合设置多解情况。
2.
最值问题：强化“将军饮马”模型在菱形、正方形中的应用，求两
线段和的最小值；同时开始渗透利用“垂线段最短”求动点到某边距离
的最值。
3.
新定义型问题：以“等邻边四边形”、“半角四边形”等新概念为
背景，综合考查矩形对角线相等、菱形对角线垂直等性质的现场应用与
逻辑迁移能力，成为区卷压轴题新趋势。
考情解码：根据2026 年新教材考情，特殊平行四边形中的折叠、最值及新定义问题成为压轴题的“三
驾马车”。折叠问题本质是轴对称变换，高频考查利用勾股定理或等面积法求折痕或线段长。最值问
题常结合“将军饮马”模型求动点路径和最小值。新定义型问题通过定义“对边四边形”等新概念，
综合考查矩形的对角线性质与菱形的判定，对学生现场学习与迁移能力要求较高。
知识点一特殊平行四边形中折叠问题
（一）核心折叠本质：轴对称变换
1. 折叠前后对应边相等、对应角相等、全等；折痕是对应点连线的垂直平分线。
2. 常见隐含条件：
- 出现等腰三角形：折叠后重合边相等，形成等角对等边；
- 直角构造：矩形折叠多出现Rt△，用勾股列方程（折叠高频考法：设未知数x，剩余边长用边长-x 表示）。
（二）分图形常考模型
1. 矩形折叠
1 沿顶点折：一角落在对边上→直角+勾股方程；
2 沿对角线折→出现等腰三角形（重合部分为等腰△）；
3 沿中线/边上动点折叠→设边长列勾股。
2. 菱形折叠：利用四边相等+对角线垂直，折叠后结合30°/60°特殊直角三角形。
3. 正方形折叠：边角都是90°，常伴半角模型（45°折叠）、全等转化。
（三）易错点
折叠后落点分落在边上/内部/外部多解情况，容易漏解。
【易错警示】
- 对应关系：折叠前后对应边相等、对应角相等，勿错配对应顶点。
- 勾股定理：设未知数，用折叠后构造的直角三角形列方程，勿忘平方。
- 重合条件：折痕是对应点连线的中垂线，勿忽略垂直平分性质。
即时即练在四边形ABCD 中，
90
A
B
C
D
，
10
AB
CD
，
8
BC
AD
，P 为射线BC 上一
点，将ABP
沿直线AP 翻折至
AEP
△
的位置，使点B 落在点E 处．
(1)若P 为线段BC 上一点．
①如图1，当点E 落在边CD 上时，求CE 的长；
②如图2，连接CE ，若CE
AP
∥
，则BP 与BC 有何数量关系?请说明理由；
(2)当PEC
为直角三角形时，PB 的长为．
【答案】(1)①4；②
1
2
BP
BC
，理由见详解；
(2)5 或5 41
25
2
或20 或10
【分析】（1）①利用折叠性质和勾股定理求DE ，进而得CE ；②通过平行线和折叠性质推导BP 与BC 的
关系；
（2）分直角情况，结合勾股定理列方程求解PB．
【详解】（1）解：①由题意可知，
10
AE
AB
，
在Rt ADE
中，
8
AD
，
10
AE
，
则
2
2
2
2
10
8
6
DE
AE
AD
因为
10
CD
，
所以
10
6
4
CE
CD
DE
；
②
1
2
BP
BC
由题意可知，
APB
APE
，
∵CE
AP
∥
，
∴
APB
PCE
，
APE
PEC
，
∴
PCE
PEC
，
∴PC
PE
，
又∵PE
BP
（翻折性质），
∴PC
BP
，
∴
1
2
BP
BC
；
（2）第一种可能：
当E 点在CD 上并且
90
ECP
时：
即PEC
为直角三角形，
设BP
PE
x
，则
8
PC
x
，
由①
4
CE
，
∵
2
2
2
PE
PC
CE
，
∴
2
2
2
(8
)
4
x
x
解得
5
x
，即
5
PB
，
第二种可能：
当E 点在AC 上时：
折叠性质可知
90
B
AEP
，
∴
90
CEP
,
∴PEC
为直角三角形
∵
10
AE
AB
，
8
BC ,
2
2
2
2
10
8
2 41
AC
AB
BC
∴
2 41 10
EC
AC
AE
设PB
PE
y
,
8
PC
y
∵
2
2
2
PC
PE
EC
∴
2
2
2
8
2 41 10
y
y
解得
5 41
25
2
y
第三种可能：
当P 点在BC 延长线上时, 使PEC
为直角三角形，则E 点在CD 延长线上，
∵
10
AB
CD
，
8
AD
BC
，
∴在Rt ADE
中
2
2
2
2
10
8
6
ED
AE
AD
,
则
6 10
16
CE
ED
CD
，
由折叠性质得BP
PE
设CP
m
则
8
BP
PE
m
∵在Rt
PCE
△
中
2
2
2
PE
PC
EC
∴
2
2
2
8
16
m
m
解得
12
m
，即
12
CP
8 12
20
BP
BC
CP
第四种可能：
当P 点在BC 延长线上并且EP
DC
时，PEC
为直角三角形，
此时由折叠性质得BP
PE
又∵
90
A
B
C
D
∴四边形ABPD 为正方形
∴
=10
BP
AB
所以BP 的长为5 或5 41
25
2
或20 或10．
知识点二特殊平行四边形中最值问题
1. 最短路径（将军饮马，高频）
原理：两点之间线段最短、垂线段最短，利用轴对称找点对称，化折线段为直线段。
- 动点在矩形/菱形边上运动，求PA+PB 最小：作定点关于动点所在直线对称点，连线长即最小值。
2. 线段最值（定点+动点）
（1）直角三角形斜边中线定值模型：直角顶点在定直线运动，斜边固定，则斜边中线为定值；
（2）圆轨迹（隐圆）最值：动点到定点距离不变→动点在圆上，利用点到圆距离：最远=圆心距+半径，最
近=圆心距−半径；
常见：正方形/矩形中，固定角、定边长，动点轨迹成圆。
（3）垂线段最短：求某线段最小值，作垂线。
3. 面积最值
特殊平行四边形内动点，底固定→高最大/最小决定面积最值；常结合二次函数（坐标系题型）。
4. 坐标系下最值：结合一次函数、坐标运算。
【易错警示】
- 模型识别：常用“将军饮马”（对称点化折为直）或垂线段最短，勿乱用。
- 动点范围：注意动点是否在边、对角线或延长线上，范围不同最值可能变化。
- 转化思想：将所求线段通过对称或平移转化为共线或垂直，勿直接猜端点。
即时即练综合与实践
问题背景
如图，在菱形ABCD 中，连接AC ，
5
AB
，
6
AC
．
初步探究
（1）菱形ABCD 的面积为．
（2）如图1，若E，F 分别是AB ，CD 上的动点，且AE
DF
，过点E 作EG
AC
，过点F 作FH
AC
，
垂足分别为点G，点H，求EG
FH
的值．
拓展延伸
（3）如图2，P 是CD 上的动点，连接AP ．
①AP 的最小值为；
②如图3，Q 是AD 上的动点，连接CQ，且AQ
DP
，求AP
CQ
的最小值．
【答案】（1）24；（2）4；（3）①24
5 ；②97
【分析】
（1）连接BD ，交AC 于点O，根据菱形的性质得出
1
2
BO
DO
BD
，
1
3
2
AO
CO
AC
，AC
BD
，
根据勾股定理求出
2
2
4
BO
AB
AO
，最后求出结果即可；
（2）连接BD ，交AC 于点O，过点E 作EK
BD
于点K，证明
AAS
BEK
FCH
≌
，得出BK
FH
，即
可得出
4
EG
FH
EG
BK
OK
BK
OB
，求出结果即可；
（3）①过点A 作AP
CD
于点P，根据垂线段最短，得出AP 的最小值为
AP 的长，根据菱形面积求出结
果即可；
②在BC 的延长线上截取CR
CD
，连接PR ，AR ．证明
SAS
CDQ
RCP
≌
，得出CQ
PR
，根据当点A，
点P，点R 在同一条直线上时，AP
PR
有最小值，即AP
PR
的最小值为AR 的长，过点A 作AT
BR
于
点T，根据勾股定理求出
2
2
2
2
24
43
97
5
5
AR
AT
TR
．
【详解】解：（1）连接BD ，交AC 于点O，如图所示：
∵四边形ABCD 为菱形，
∴
1
2
BO
DO
BD
，
1
3
2
AO
CO
AC
，AC
BD
，
∴
2
2
4
BO
AB
AO
，
∴
2 4
8
BD
，
∴
1
6 8
24
2
ABCD
S
菱形
；
（2）如图1，连接BD ，交AC 于点O，过点E 作EK
BD
于点K．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC
BD
，
∵EG
AO
∴四边形EKOG 是矩形
∴EG
OK
∵
1
3
2
OA
AC
EK
AC
，
，
∴
2
2
2
2
5
3
4
OB
AB
OA
，
∵AE
DF
，
∴AB
AE
CD
DF
，即BE
CF
．
∵EK
AC
∥
，
∴
EAG
BEK
．
又∵
EAG
FCH
，
∴
BEK
FCH
，
又∵
90
EKB
FHC
，
∴
AAS
BEK
FCH
≌
，
∴BK
FH
，
∴
4
EG
FH
EG
BK
OK
BK
OB
，
∴EG
FH
的值为4．
（3）①如图2，过点A 作AP
CD
于点P，
∵垂线段最短，
∴AP 的最小值为
AP 的长，
由（1）可知菱形ABCD 的面积为24，
∴
·
24
CD AP
，
即5
24
AP
，
解得：
24
5
AP
，
∴AP 的最小值为24
5 ．
②如图3，在BC 的延长线上截取CR
CD
，连接PR ，AR ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD
CD
，AD
BC
∥
，
∴
D
DCR
，
∵AQ
DP
，
∴AD
AQ
CD
DP
，即DQ
CP
．
又∵CD
CR
，
∴
SAS
CDQ
RCP
≌
，
∴CQ
PR
，
∴AP
CQ
AP
PR
，
∴当点A，点P，点R 在同一条直线上时，AP
PR
有最小值，
即AP
PR
的最小值为AR 的长，
∴AP
CQ
的最小值为AR 的长
过点A 作AT
BR
于点T，
由①易知
24
5
AT
，
∴
2
2
2
2
24
7
5
5
5
BT
AB
AT
，
∴
7
18
5
5
5
CT
BC
BT
，
∴
18
43
5
5
5
TR
CT
CR
，
∴
2
2
2
2
24
43
97
5
5
AR
AT
TR
，
∴AP
CQ
的最小值为97 ．
知识点三特殊平行四边形中新定义型问题
1. 核心思路：现场读懂新定义（新四边形、新运算、新特征），套特殊平行四边形原有性质
常见新定义：准菱形、等邻边四边形、垂等四边形、完美矩形等。
2. 用到的知识点分类
（1）判定类：根据新定义条件，结合矩形/菱形/正方形判定定理证明图形；
（2）计算类：新定义给出边角关系→勾股、全等、特殊角计算边长周长；
（3）探究存在性：是否存在动点构成新定义图形→设未知数、列方程求解。
3. 隐含考点：分类讨论（边长不等、动点位置不同多解）
【易错警示】
- 理解定义：圈画关键条件（边、角、对角线、数量关系），勿凭感觉套用旧概念。
- 举例验证：先构造特殊图形（如正方形）理解定义，再推广到一般情形。
- 性质转化：将新条件转化为熟悉的边角关系，勿死记硬背。
即时即练定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定
义为“郡外四边形”．
(1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______．
(2)如图点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，点O 是线段AC 中点，点E 是射线BC 上一点，且PE
PB
，
连接PD ．
①如图1，当点P 在线段AO 上时，求证：四边形PECD 为“郡外四边形”；
②如图2，当点P 在线段CO上时，试用等式来表示
,
,
PB BC CE 的数量关系，并证明．
【答案】(1)正方形
(2)①见解析；②
2
2
2
2
BC
CE
PB
【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可；
（2）①通过证明
SAS
BCP
DCP
≌
△
△
可得
PB
PD ，由PE
PB
得出PD
PE
，证出PD
PE
即可；②从
两方面分析：当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，此时，PD
PE
；当点E 在BC 的延长线上
时，连接DE ，由PD
PE
，PD
PE
得
2
2
2
2
2
DE
PD
PE
PE
，由正方形性质可得
,
90
BC
DC
BCD
DCE
，利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”；
矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”；
菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”；
正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”；
（2）证明：①∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，
∴
45
BC
DC
BCP
DCP
，
，
∵PC
PC
，
∴
SAS
BCP
DCP
≌
△
△
，
∴PB
PD
PBC
PDC
，
，
∵PE
PB
，
∴PD
PE
PBC
PEB
，
，
∴
PEB
PDC
，
∴
180
PEC
PDC
，
由四边形PECD 内角和为360，
∴
180
DPE
DCE
，
∵
90
DCE
，
∴
90
DPE
，
∴PD
PE
且PD
PE
，
∴四边形PECD 为“郡外四边形”；
证明：②
2
2
2
2
BC
CE
PB
；
∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，
∴
,
45
BA
DA
BAP
DAP
，
∵PA
PA
，
∴
SAS
BAP
DAP
≌
，
∴
PB
PD ，
∵PE
PB
，
∴PD
PE
；
（i）当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，此时，
0
PD
PE
CE
，
，
则由勾股定理有：
2
2
2PB
BC
；
（ii）当点E 在BC 的延长线上时，如图，
∵ADP
ABP
≌
，
∴
ABP
ADP
，
∴
CDP
CBP
，
∵PE
PB
，
∴
CBP
PEC
，
∴
PEC
PDC
，
∵
1
2
，
∴
90
DPE
DCE
，
∴PD
PE
，
连接DE ，如图，
∵PD
PE
且PD
PE
，
∴
2
2
2
2
2
DE
PD
PE
PE
，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
,
90
BC
DC
BCD
DCE
，
∴在Rt DCE
中，
2
2
2
DC
CE
DE
，
∴
2
2
2
2
2
BC
CE
DE
PE
，
∵PB
PE
，
∴
2
2
2
2
BC
CE
PB
；
综上，有
2
2
2
2
BC
CE
PB
．
题型1
特殊平行四边形中折叠问题
例1．如图，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为
8,0 ，点C 的坐标为
0,4 ，把矩形OABC 沿OB 折叠，
点C 落在点D 处，则点D 的坐标为
．
【答案】16
12
5
5
,
【分析】先证明BE
OE
，由勾股定理可求
5
BE
OE
，由面积法可求DF 的长，即可求解．
【详解】解：设BD 与OA交于点E ，作DF
OA
于点F ，
点A 的坐标为
8,0 ，点C 的坐标为
0,4 ，
4
OC
，
8
OA ，
四边形ABCO是矩形，
BC
OA
∥
，
CBO
AOB
，
由翻折变换的性质可知，
DBO
CBO
，
OBD
AOB
，
BE
OE
，
在Rt
EAB
△
中，设BE
OE
x
，则
8
AE
x
，
由勾股定理得
2
2
2
4
(8
)
x
x
，
解得
5
x
，即
5
BE
，
5
OE
BE
，
在Rt
ODE
△
中，
4
OD
OC
，
8
5
3
DE
BD
BE
，
由1
1
2
2
OE DF
OD DE
得1
1
5
4
3
2
2
DF
，
12
5
DF
，
在Rt
ODF
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
2
12
4
5
25
256
OF
OD
DF
，
16
5
OF
，
点D 的坐标为16
12
5
5
,
，
故答案为：16
12
5
5
,
．
例2．如图，在菱形ABCD 中，
60 ,
6
A
AB
，E 是AB 上一点．将BCE
沿CE 折叠后得到
FCE
△
，若
EF
AB
，则折痕EC 的长为
．
【答案】3 6
【分析】本题考查菱形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．过点C 作CG
AB
交
AB 的延长线于点G，由EF
AB
，且根据折叠的性质可知
FEC
BEC
，可得
45
BEC
．再在菱形
ABCD 中，
60 ,
6,
A
AB
AD
BC
∥
，可得出
60 ,
6
CBG
BC
AD
AB
，可得
3
3 3
2
CG
BC
，
再求解即可．
【详解】解：如图，过点C 作CG
AB
交AB 的延长线于点G，
∵EF
AB
，且根据折叠的性质可知
FEC
BEC
，
∴
45
BEC
．
∵在菱形ABCD 中，
60 ,
6,
A
AB
AD
BC
∥
，
∴
60 ,
6
CBG
BC
AD
AB
，
∴
3
3 3
2
CG
BC
，
在Rt
CEG
△
中，
2
3 6
EC
CG
．
故答案为：3 6 ．
【技巧总结】
1. 找等量：折叠前后边、角相等，设未知数表示线段。
2. 构直角三角形：折痕为对称轴，利用勾股定理列方程。
3. 巧用性质：矩形中折叠得等腰三角形；正方形中折叠常用全等或勾股。
4. 求折痕长：作垂直或建坐标系求解。
【变式训练1-1】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】操作一：
如图1，正方形纸片ABCD ，将
B
沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，得到折痕AE ，
点B 的对应点为M，连接AM ；将
D
沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，得到折痕AF ，将纸片展
平，连接EF ．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F 三点共线，则
①
EAF
____________°；
②线段
,
,
EF BE DF 之间的数量关系为_______________．
【深入探究】操作二：
如图2，将∠C 沿EF 所在直线折叠，使点C 落在正方形ABCD 的内部，点C 的对应点为N，将纸片展平，
连接
,
NE NF ．
同学们在折纸的过程中发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同，当点E 在BC 边上某一位置时（点
E 不与点B，C 重合），点N 恰好落在折痕AE 上，此时AM 交NF 于点P，如图3 所示．
（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP
BE
DF
，请判断该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片ABCD 的边长为3，当点N 落在折痕AE 上时，直接写出线段AP 的长．
【答案】（1）①45；②EF
BE
DF
；（2）结论成立，理由见解析；（3）
6
2 3
AP
【分析】
（1）①由正方形的性质得出
90
C
BAD
，由折叠的性质可得：BAE
MAE
，DAF
MAF
，
即可求解；
②由折叠的性质即可求解；
（2）根据正方形的性质和折叠的性质得到ANF
是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解
即可；
（3）证明ANF
是等腰直角三角形，求出
30
BAE
，再由含30角的性质以及勾股定理求解
3
BE
，然
后设DF
x
，则
3
MF
DF
x CF
x
,
，在Rt
CEF
△
中，
2
2
2
EF
CE
CF
，代入数值计算，解得
9
3 3
6
3 3
3
3
x
，由（2）得AP
BE
DF
，则
3
6
3 3
6
2 3
AP
．
【详解】解：（1）①∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90
C
BAD
，
由折叠的性质可得：
BAE
MAE
，
DAF
MAF
，
∴
1
45
2
MAE
MAF
BAE
DAF
BAD
，即
45
EAF
；
②由折叠的性质可得：BE
ME
，DF
MF
，
∵EF
ME
MF
，
∴EF
BE
DF
；
（2）结论：AP
BE
DF
成立，理由如下：
将
C
沿EF 所在直线折叠，使点C 落在正方形ABCD 的内部，点C 的对应点为N ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90
B
C
，
由折叠的性质可得：BE
ME
，DF
MF
，
90
AME
B
C
ENF
，
∴
90
ANF
AMF
，
∵
APN
FPM ，
∴
NAP
NFE
，
由（1）得：
45
EAF
，
∴ANF
是等腰直角三角形，
∴AN
FN
，
∴
ASA
ANP
FNE
≌
，
∴AP
EF
，
∴EF
EM
FM
BE
DF
，
∴AP
BE
DF
；
（3）∵点N 落在折痕AE 上，
∴
BAE
MAE
，
CFE
NFE
，
AFD
AFM
，
∴ANF
是等腰直角三角形，
∴
45
AFN
，
∴
45
AFD
AFM
AFN
NFE
NFE
，
∵
180
AFD
AFM
CFE
，
∴
2
45
180
NFE
NFE
，
∴
30
NFE
，
∵
APN
FPM ，
90
ANF
AMF
，
∴
30
NAP
NFE
，
∴
30
BAE
，
∴
2
AE
BE
，
∵
2
2
2
AB
BE
AE
，
∴
2
2
2
3
2
BE
BE
，
∴
3
BE
，
∴
3
3
CE
BC
BE
．
设DF
x
，
则
3
MF
DF
x CF
x
,
，
在Rt
CEF
△
中，
2
2
2
EF
CE
CF
，
∴
2
2
2
3
3
3
3
x
x
，
则
2
2
3
2 3
9
6 3
3
9
6
x
x
x
x
，
∴
9
3 3
3
3
9
3 3
36 18 3
6
3 3
6
6
3
3
x
，
由（2）得AP
BE
DF
，
∴
3
6
3 3
6
2 3
AP
．
【变式训练1-2】如图，在矩形ABCD 中，
4
AB
，
5
BC
，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运
动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连接MN ．
（1）如图，当E 在边AD 上且
1
DE 时，
AEM
的度数是
．
（2）当直线MN 恰好经过点C 时，DE 的长是
．
【答案】
90
3 或1.5
【分析】（１）画出图形，证明ABE
是等腰直角三角形，得到
45
AEB
ABE
，由对称性知
45
BEM
AEB
，最后根据
AEM
AEB
BEM
即可求解；
（２）分类讨论①当E 在边AD 上时，根据轴对称的性质知，点E 在MN 上，利用三角形全等求解，②点E
在边CD 上时，利用勾股定理，列方程即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴
5
AD
BC
，
90
A
,
∵
1
DE ，
∴
4
AE
AD
DE
AB
，
∴ABE
是等腰直角三角形，
∴
45
AEB
ABE
．
由对称性知
45
BEM
AEB
，
∴
90
AEM
AEB
BEM
；
（2）①如图2，当E 在边AD 上时，根据轴对称的性质知，点E 在MN 上，
∴
90
BMC
A
D
，
∴
2
2
2
2
5
4
3
MC
BC
BM
，
∵AD
BC
∥
，
∴
DEC
BCE
，
∵
4
BM
AB
CD
，
∴
AAS
BCM
CED
≌
，
∴
3
DE
MC
；
②如图3，点E 在边CD 上时，
∵
4
BM
AB
，
5
MN
AD
BC
，
∴
2
2
2
2
5
4
3
MC
BC
BM
，
∴
5
3
2
CN
MN
CM
，
∵
90
BMC
CNE
BCD
∠
∠
∠
，
在Rt
CNE
△
中，设NE
DE
y
，则
4
CE
CD
DE
y
，
根据勾股定理，得
2
2
2
NE
CN
CE
，
∴
2
2
22
4
y
y
，
解得
1.5
y
，
∴
1.5
NE
，
∴
1.5
DE
EN
，
综上所述，DE 的长为3 或1.5．
题型2
特殊平行四边形中最值问题
例3．如图，墙面MO 与地面NO 垂直，一块矩形木板ABCD 的顶点A
B
，分别在OM 和ON 上滑动，连接OC
（图中各点均在同一平面内），已知
8,
3
AB
BC
，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（
）
A．OC 的最大值为9，最小值为3
B．OC 的最大值为
73 ，最小值为3
C．OC 的最大值为9，最小值为2
D．OC 的最大值为
73 ，最小值为1
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半是解题的关键．
取AB 的中点P ，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到
1
4
2
OP
PB
AB
，再根据勾股
定理求得
5
PC ，再利用三边关系求出OC 的最大值，通过观察图形得到最小值．
【详解】解：如图，取AB 的中点P ，
8
AB
OM
ON
，
，
1
4
2
OP
PB
AB
，
90
ABC
，
2
2
2
2
4
3
5
PC
PB
BC
，
4
5
9
OC
OP
PC
，即OC 存在最大值为9，
根据图形，可知当AB 在MO 上时，OC 存在最小值，此时
3
OC
BC
．
故选：A．
例4．如图，在菱形ABCD 中，
2
AB
，
60
ABC
，M 为对角线BD 上的一个动点，点F 在边BC 上，CF
BF
，
则MA
MF
的最小值为
．
【答案】
3
【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，当MA
MF
的值最小时，A 、M 、
F 三点共线，即求AF 的长度，根据题意判断
ABC
为等边三角形，且F 点为BC 的中点，根据直角三角形
的性质，求出AF 的长度即可．
【详解】解：如图，连接AF ，AC ，当A 、M 、F 三点共线时，即当M 点位于M 时，MA
MF
的值最
小，即为AF 的长，
由菱形的性质可知，AB
BC
，
又
60
ABC
，
∴
ABC
为等边三角形，
∵F 点为BC 的中点，
2
AB
，
∴AF
BC
，
1
CF
FB
，
∴在Rt ABF
中，
2
2
2
2
2
1
3
AF
AB
BF
．
故答案为：
3 ．
【技巧总结】
1. 将军饮马：作对称点化折线为直线，利用两点间线段最短求最小值。
2. 垂线段最短：求点到直线距离，直接作垂线。
3. 找轨迹：动点轨迹为线段或弧，利用三角形三边关系求解。
4. 勾股建方程：设变量，用二次函数顶点求最值。
【变式训练2-1】如图，正方形ABCD 的边长为5，点E，F 在对角线AC 上（点E 在点F 的左侧），且
2
EF
．则
DE
BF
的最小值为
．
【答案】3 6
【分析】作BG
AC
∥
，
∥
EG
BF ，连接DG ，得到四边形EGBF 为平行四边形，进而得到EG
BF
，得到
DE
BF
DE
EG
，进而得到当点E 在线段DG 上时，DE
BF
的值最小为DG 的长，作GH
AB
于点H ，
作GM
AD
交DA 的延长线于点M ，易得BHG
为等腰直角三角形，求出
,
BH GH 的长，进而求出
,
DM MG
的长，再利用勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：作BG
AC
∥
，
∥
EG
BF ，连接DG ，则：四边形EGBF 为平行四边形，
∴EG
BF
，
2
BG
EF
，
∴DE
BF
DE
EG
DG
，
∴当点E 在线段DG 上时，DE
BF
的值最小为DG 的长，
作GH
AB
于点H ，作GM
AD
交DA 的延长线于点M ，
∵正方形ABCD ，
∴
45
BAC
，
5,
90
AD
AB
DAB
，
∴
90
MAB
，
∴四边形AMGH 为矩形，
∴
,
AM
HG AH
MG
，
∵BG
AC
∥
，
∴
45
ABG
BAC
，
∴BHG
为等腰直角三角形，
∴
2
2
2
HG
BH
BG
，
∴
2,
5
2
AM
HG
MG
AH
AB
BH
，
∴
5
2
DM
AD
AM
，
∴
2
2
3 6
DG
DM
GM
，
∴DE
BF
的最小值为3 6 ．
【变式训练2-2】如图，点O是矩形ABCD 的对称中心，点P ，点Q 分别位于AD ，BC 上，且PQ经过点O，
6
AB
，
3
AP
，
5
BQ
，点E 在AB 上运动，点M ，N 在CD 上运动，且
3.
MN
则：
（1）
EPQ
△
周长的最小值是
．
（2）四边形PQMN 周长的最小值是
．
【答案】
10
2 10
2 10
73
3
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原
理是解题的关键．
1 作P 关于AB 的对称点P，连接P Q
，交AB 于E ，连接PE ，则PE
QE
的最小值为P Q
，证明出
EPQ
△
周长的最小值为P Q
PQ
，作P F
BC
于F ，PH
BC
于H ，利用勾股定理求出P Q
和PQ即可．
2 将点Q 向上平移3个单位至Q，作Q关于CD 的对称点Q连接Q P
交CD 于N ，在N 的下方3个单位出
找到M ，则PQ为PN
QM
的最小值，四边形PQMN 周长的最小值为PQ
PQ
MN
，作Q G
AD
于点
G ，利用勾股定理求出PQ即可解题．
【详解】解：
1 如图，作P 关于AB 的对称点P，连接P Q
，交AB 于E ，连接PE ，
P E
PE
，
PE
QE
的最小值为P Q
，
EPQ
周长的最小值为P Q
PQ
，
作P F
BC
于F ，PH
BC
于H ，
3
AP
，
3
P A
FB
，
5
BQ
，
8
FQ
，
6
P F
AB
，
10
P Q
，
6
PH
AB
，
5
3
2
HQ
，
2 10
PQ
，
EPQ
周长的最小值为10
2 10
．
故答案为：10
2 10
．
2 如图，将点Q 向上平移3个单位至Q，作Q关于CD 的对称点Q连接Q P
交CD 于N ，在N 的下方3个
单位出找到M ，
NM
QQ
，且NM
QQ
，
四边形NMQQ为平行四边形，
QM
Q N
，由对称得，Q N
Q N
，
PQ
为PN
QM
的最小值，
四边形PQMN 周长的最小值为PQ
PQ
MN
，
作Q G
AD
于点G ，
3
DG
CQ
，
5
PD
BQ
，
8
PG
，
6
3
3
GQ
，
73
PQ
，
四边形PQMN 周长的最小值为：2 10
73
3
．
故答案为：2 10
73
3
．
题型3
特殊平行四边形中新定义型问题
例5．定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形ABCD中，
6,
7
AB
BC
，
“筝形” EFGH 的顶点E 是AB 的中点，点F
G
H
，，
分别在BC
CD
AD
，
，
上，且
5
EF ，则对角线EG 的
长
．
【答案】7 或5 2
【分析】①根据矩形的判定与性质可知
A
B
C
D
，AD
BC
，再根据全等三角形的判定与性质
解答即可；
②根据矩形的判定与性质可知AM
DG
，再根据勾股定理可知即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键．
【详解】解：①如图，EF
EH
，GH
GF
，
∵点E 是AB 的中点，
6
AB
，
∴
3
AE
BE
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
A
B
C
D
，AD
BC
，
∴在Rt AEH
和Rt BEF
中，
EH
EF
AE
BE
，
∴
Rt
Rt
HL
AEH
BEF
≌
，
∴AH
BF
，
∴AD
AH
BC
BF
，
∴DH
CF
，
在Rt DGH
和Rt CGF
中，
GH
GF
DH
CF
，
∴
Rt
Rt
HL
DGH
CGF
≌
，
∴DG
CG
，
∴EG
AD
BC
，
∵
7
BC
，
∴
7
EG
；
②如图，EF
FG
，HE
HG
，
过点G 作GM
AB
于点M ，
∴
90
GMA
GMB
A
D
，
∴四边形AMGD 是矩形，
∴AM
DG
，
∵点E 是AB 的中点，
6
AB
，
∴
3
AE
BE
，
∵
5
EF
，
∴在Rt BEF
中，
2
2
4
BF
EF
BE
，
∵
7
BC
，
∴
3
CF
BC
BF
，
∵
5
EF
GF
，
∴在Rt CGF
中，
2
2
4
CG
GF
CF
，
∴
6
4
2
DG
CD
CG
，
∴
2
AM
DG
，
∴
3
2
1
ME
AE
AM
，
∴在Rt GME
中，
2
2
5 2
EG
GM
EM
，
故答案为7 或5 2 ．
例6．筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；
(2)如图1，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 延长线上一点，连接AE
CE
，
．求证：四边形ABCE 是筝形：
(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB
AD
，BC
DC
，
发现它是一个筝形，还得到
18cm
AB
，
40cm
BC
，
120
ABC
，求筝形ABCD 的面积．
【答案】(1)菱形，正方形
(2)证明见解析
(3)
2
360 3cm
【分析】（1）根据筝形的定义结合所学知识可得答案；
（2）根据正方形的性质利用SAS 证明
ABE
CBE
△
△
≌
，得到AE
CE
，再由AB
CB
，即可证明四边形ABCE
是筝形：
（3）如图所示，过点A 作AE
CB
交CB 延长线于E，连接AC ，先证明
ABC
ADC
△
≌△
，推出
2
ABC
ABCD
S
S
△
四边形
，
求出
30
BAE
，得到
9cm
BE
，进而求出
9 3cm
AE
，利用三角形面积公式求出
2
180 3cm
ABC
S
△
，则
2
2
360 3cm
ABC
ABCD
S
S
△
四边形
．
【详解】（1）解：由题意得，菱形和正方形都是筝形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
45
AB
CB
ABE
CBE
，∠
∠
，
又∵BE
BE
，
∴
SAS
ABE
CBE
≌
△
△
，
∴AE
CE
，
又∵AB
CB
，
∴四边形ABCE 是筝形：
（3）解：如图所示，过点A 作AE
CB
交CB 延长线于E，连接AC ，
∵AB
AD
，BC
DC
，AC
AC
，
∴
SSS
ABC
ADC
≌
△
△
，
∴
ABC
ADC
S
S
△
△
，
∴
2
ABC
ABCD
S
S
△
四边形
，
∵
120
ABC
，
∴
60
ABE
，
∵AE
CB
，即
90
E
，
∴
30
BAE
，
∴
1
9cm
2
BE
AB
，
∴
2
2
9 3cm
AE
AB
BE
，
∴
2
1
1
40
9 3
180 3cm
2
2
ABC
S
BC AE
△
，
∴
2
2
360 3cm
ABC
ABCD
S
S
△
四边形
．
【技巧总结】
1. 读懂定义：抓住核心特征（如“等对角线四边形”），转化为数学条件。
2. 联系模型：匹配特殊平行四边形性质（矩形对角线等、菱形垂直等）。
3. 分类讨论：按定义情形分情况画图验证。
4. 逆向推理：由结论反推需要满足的条件，结合性质列式。
【变式训练3-1】阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角
线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形ABCD 中，若AC 垂直平分BD ，那么四边形ABCD 称为鹞形．
(1)写出图1 所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______；
(2)如图2，在平行四边形ABCD 中，E、F 分别在边BC 和CD 上，且四边形AECF 是鹞形（AC 垂直平分EF ），
求证平行四边形ABCD 是菱形．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AC 、EF ，若
12
AC
，
10
AB
，
4
DF
，则EF 的长度为________．
【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等；
(2)见解析
(3) 48
5
【分析】（1）在
ABC
和
ADC
△
中，
ABC
ADC
△
≌△
即可得出结论；
（2）连接
,
AC EF 相交于点O，由（1）可得
BCA
DCA
，由四边形ABCD 是平行四边形，可得
DCA
BAC
．再证出BC
BA
，然后得出平行四边形ABCD 是菱形即可；
（3）连接BD 与AC 相交于点G ，设
,
AC EF 相交于点O，由勾股定理得出
2
2
8
BG
AB
AG
，再求出
1
1
12 8
48
2
2
ADC
ABC
S
S
AC BG
，再求出
3
3
144
48
5
5
5
ACF
ABC
S
S
，再由面积法求出
144
25
OF
，
即可求解．
【详解】（1）解：AC 垂直平分BD ，
,
AB
AD BC
DC
，
在
ABC
和
ADC
△
中，
AB
AD
BC
DC
AC
AC
，
(SSS)
ABC
ADC
△
≌△
，
BAC
DAC
，
ABC
ADC
，
即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等；
故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等；
（2）证明：如图，连接
,
AC EF 相交于点O，
由（1）可得
BCA
DCA
，
四边形ABCD 是平行四边形，
DCA
BAC
．
BCA
BAC
．
BC
BA
，
四边形ABCD 是菱形；
（3）解：如图，连接BD 与AC 相交于点G ，设
,
AC EF 相交于点O，
四边形ABCD 是菱形，
AC
BD
∴
，
1
6
2
AG
AC
，
2
2
2
2
10
6
8
BG
AB
AG
，
1
1
12 8
48
2
2
ADC
ABC
S
S
AC BG
，
4
DF
，
6
CF
CD
DF
，
3
3
144
48
5
5
5
ACF
ABC
S
S
，
1
2
ACF
S
AC OF
，
1
144
12
2
5
OF
，
24
5
OF
，
48
5
EF
．
故答案为：48
5 ．
【变式训练3-2】定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形ABCD 中，AC
BD
．垂足为O，则有：
2
2
2
2
AB
CD
AD
BC
；
性质应用：
（1）如图1，四边形ABCD 是垂美四边形，若
2,
5,
4
AD
BC
CD
，则AB ___________；
性质变式：
（2）如图2，图3，P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：
2
2
2
2
AP
CP
BP
DP
．请
以图2 为例将此重要结论证明出来．
应用变式：
（3）①如图4，在矩形ABCD 中，O为对角线交点，P 为BO中点，则
2
2
2
PA
PC
PB
___________；
②如图5，在
ABC
中，
4,
6,
CA
CB
D
是
ABC
内一点，且
1,
90
CD
ADB
，则AB 的最小值是
___________．
【答案】（1）13 ；（2）见解析；（3）①10；②
51 1
【分析】本题主要考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，
理解“垂美”四边形的性质是解题的关键．
（1）将
2,
5,
4
AD
BC
CD
代入
2
2
2
2
AB
CD
AD
BC
计算即可；
（2）如图：过P
MN
AB
作
于M ，交DC 的延长线于N ，由（1）性质可知：
2
2
2
2
BH
CP
BP
CH ，即
2
2
2
2
CP
BP
CH
BH ，再结合勾股定理可得
2
2
2
2
CP
BP
HD
AH
；同理可得：
2
2
2
2
PD
PA
HD
AH
2
PH
，则
2
2
2
2
CP
BP
PD
PA
，进而证明结论；
（3）如图：以AD 、BD 为边作矩形ADBE ，连接CE 、DE ，则AB
DE
，由题意得
2
2
2
2
CD
CE
CA
CB ，
再结合题中数据可得
51
CE
；C、D、E 三点共线时，DE 最小，最后根据矩形的对角线相等即可解答．
【详解】（1）解：如图1，四边形ABCD 是垂美四边形，
2
2
2
2
AB
CD
AD
BC
，
2
5
4
AD
BC
CD
，
，
，
2
2
2
2
2
5
4
13
AB
，
13
AB
．
（2）证明：如图：过P
MN
AB
作
于M ，交DC 的延长线于N ，
由（1）性质可知：
2
2
2
2
BH
CP
BP
CH ，
即：
2
2
CP
BP
2
2
CH
BH
2
2
CH
BH
2
2
2
2
HD
DC
AH
AB
2
2
HD
AH ，
又
2
2
2
2
2
PD
PA
HD
PH
AH
2
PH
2
2
HD
AH ，
2
2
2
2
CP
BP
PD
PA ，即
2
2
2
2
AP
CP
BP
DP
．
（3）解：①设PB
a
，则
3
PD
a
，
由（2）可得
2
2
2
2
AP
CP
BP
DP
，
2
2
2
2
2
9
10
AP
CP
a
a
a
，
2
2
2
10
PA
PC
PB
；
②如图：以AD 、BD 为边作矩形ADBE ，连接CE 、DE ，则AB
DE
，
由题意得：
2
2
2
2
CD
CE
CA
CB ，即
2
2
2
2
1
4
6
CE
，解得：
51
CE
，
当C 、D 、E 三点共线时，DE 最小，
AB
的最小值
DE
的最小值
51 1
CE
CD
．
1．如图，把一张矩形纸片ABCD 按如下方法进行两次折叠：第一次将DA 边折叠到DC 边上得到DA，折痕
为DM ，连接
,
A M CM
，第二次将
MBC
△
沿着MC 折叠，MB 边恰好落在MD 边上．若
2
AD
，则AB 的
长为（
）
A．5
2
B．
3
C．
5
D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股
定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
由第一次折叠可知
90
DA M
DAM
，DA
DA
，则四边形AMA D
为正方形，AM
A M
AD
，
2
DM
AD
，由第二次折叠可知
BMC
B MC
，利用平行线的性质得
DCM
BMC
，于是可得
B MC
DCM
，由等边对等角得
2
CD
DM
AD
，以此即可求解．
【详解】解：四边形ABCD 为矩形，
90 ,
,
,
ADC
BAD
AB
CD AB
CD AD
BC
∥
．
由第一次折叠可知，
90 ,
DA M
DAM
DA
DA
，
四边形AMA D
为正方形，
AM
A M
AD
，
2
2
2
2
2
2
DM
AD
AM
AD
．
由第二次折叠可知，
BMC
B MC
，
BM
CD
∥
，
DCM
BMC
，
B MC
DCM
，
2
CD
DM
，
2
AB
CD
．
故选：D．
2．如图，正方形ABCD 中，
4
AB
，点E，F 分别在边AB ，BC 上，点P 在对角线AC 上，EF
AC
∥
，
PE
PF
m
．下列结论错误
．．的是（
）
A．若
2
BE
，则m 的最小值为4
B．若m 的最小值为4，则
2
BE
C．若
0.5
BE =
，则m 的最小值为5
D．若m 的最小值为5，则
0.5
BE =
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题．熟练掌握正方形的性质，轴对称性质，平行线性质，勾股
定理解直角三角形，是解决问题的关键．
在AD 上取点E 关于AC 的对称点G，连接FG 交AC 于点P，则PE
PG
，得到m 的最小值为FG ，根据
4
AG
AE
BE
，BF
BE
，得到
2
2
2 4
EG
BE
，
2
2
2
EF
BE
，得到
2
2
2
4
FG
BE
，当
2
BE
时，
4
FG
，判断A 正确；当
4
FG
时，
2
2
2
4
4
BE
,
2
BE
，判断B 正确；当
0.5
BE =
时，
5
FG
，
判断C 正确；当
5
FG
时，
2
2
2
4
5
BE
，
0.5
BE =
,或
3.5
BE
，判断D 不正确．
【详解】如图，根据正方形的对称性，在AD 上取点E 关于AC 的对称点G，连接FG 交AC 于点P，
则PE
PG
，
∴PE
PF
PG
PF
FG
，为m 的最小值，
∵
4
AG
AE
BE
，
90
BAD
，
∴
2
2
2
2
2
2
2 4
EG
AE
AG
AE
BE
，
∵EF
AC
∥
，
∴
45
BEF
BAC
，
45
BFE
BCA
，
∴BF
BE
，
∴
2
2
2
2
2
EF
BE
BF
BE
，
∵FG
AC
^
，
∴EG
EF
，
∴
90
FEG
，
∴
2
2
2
2
2
4
FG
EF
EG
BE
，
当
2
BE
时，
2
2
2
2
4
4
FG
，
∴A 正确；
当
4
FG
时，
2
2
2
4
4
BE
,
∴
2
2
4
2
BE
，
∴
2
2
4
4
BE
，
∴
2
2
0
BE
，
∴
2
BE
，
∴B 正确；
当
0.5
BE =
时，
2
2
0.5
2
4
5
FG
，
∴C 正确；
当
2
2
2
4
5
FG
BE
时，
2
25
2
4
4
BE
，
∴
2
9
2
4
BE
，
∴
3
2
2
BE
，
∴
0.5
BE =
,或
3.5
BE
，
∴D 不正确．
故选：D．
3．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若
80
D
，则
BCF
的度
数是
．
【答案】80/80 度
【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，
首先根据平行的性质得到BC
CD
，由折叠得BC
CF
，然后求出CF
CD
，然后根据等边对等角和平行
线的性质求解即可．
【详解】∵四边形ABCD 是菱形
∴BC
CD
由折叠可得，BC
CF
∴CF
CD
∴
80
CFD
D
∵四边形ABCD 是菱形
∴AD
BC
∥
∴
80
BCF
DFC
．
故答案为：80．
4．如图，在长方形ABCD 中,
3
AD
，
2
AB
，BF
DE
，则CE+DF 的最小值是
．
【答案】
29
【分析】延长CB 到点M，使得BM
CD
，连接DM ，证明
SAS
ECD
FMB
≌
转化得到DF
FM
DM
，
当D，F，M 三点共线时，CE
DF
取得最小值，勾股定理解答即可．
【详解】解：延长CB 到点M，使得BM
CD
，连接DM ，
∵矩形ABCD ，
2
AB
，
3
AD
，
∴
90
MBF
CDE
DCM
，
2
AB
CD
CM
，
3
BC
AD
，
∴
3
2
5
CM
BC
BM
，
∵
CD
MB
CDE
MBF
DE
BF
，
∴
SAS
ECD
FMB
≌
，
∴CE
MF
，
连接DM
∵DF
FM
DM
，
∴DF
CE
DM
，
故当D，F，M 三点共线时，DF CE
取得最小值，且最小值为
2
2
29
DM
CD
CM
故答案为：
29 ．
5．如图，在
ABC
中，
6
AC
，
8
AB
，
10
BC
，D 为BC 边上一动点，DE
AB
于点E ，DF
AC
于
点F ．
(1)求证：四边形AEDF 是矩形；
(2)在点D 运动的过程中，EF 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，EF 的长度最小值为4.8
【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短，
（1）根据勾股定理的逆定理得到
90
BAC
，根据矩形的判定定理得到四边形AEDF 是矩形；
（2）连接AD ，根据矩形的性质得到AD
EF
，当AD
BC
时，AD 最短，即EF 的长度最小，根据三角
形的面积公式即可得到结论；掌握矩形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵
6
AC
，
8
AB
，
10
BC
，
∴
2
36
AC
，
2
64
AB
，
2
100
BC
，
∴
2
2
2
AC
AB
BC
，
∴
90
BAC
，
∵DE
AB
，DF
AC
，
∴
90
AED
AFD
，
∴四边形AEDF 是矩形；
（2）解：存在．
理由：连接AD ，
∵四边形AEDF 是矩形，
∴AD
EF
，
∵当AD
BC
时，AD 最短，即EF 的长度最小，
∵
1
1
2
2
ABC
S
BC AD
AB AC
△
，
∴1
1
10
6 8
2
2
AD
，
∴
4.8
AD
，
即EF 的长度最小值为4.8 ．
6．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则
称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．
(1)如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在CB 边的延长线上，且DE
BF
，连接AE ，AF ，
请根据定义判断四边形AFCE 是否是“直等补”四边形，并说明理由．
(2)如图2，已知四边形ABCD 是“直等补”四边形，AB
AD
，若
20
AB
，
4
CD
，求BC 的长．
【答案】(1)四边形AFCE 是“直等补”四边形，理由见解析．
(2)28．
【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形AFCE 是否是“直等补”四边形，
关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证
ABF
ADE
△
≌△
，由此可得到AE
AF
，
90
FAE
，
180
FAE
C
o ，即证明四边形AFCE 是“直等补”四边形．
（2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线BD 构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直
等补”四边形定义，可得到
90
BAD
，
90
C
∠
然后利用勾股定理即可求得BC 的长．
【详解】（1）解：四边形ABCD 是正方形，
AB
AD
，
90
BAD
D
ABC
o ，
90
ABF
，
在
ABF
△
与
ADE
中，
AB
AD
D
ABF
BF
DE
ABF
ADE
△
≌△
（SAS ），
AF
AE
，
BAF
DAE
，
90
BAF
BAE
DAE
BAE
o ，
90
FAE
，
180
FAE
C
o ，
四边形AFCE 满足三个条件：①一组对角
FAE
和
C
互补，②一组邻边AE
AF
，③相等邻边夹角
90
FAE
．
故四边形AFCE 是“直等补”四边形；
（2）连接BD ，如下图所示
四边形ABCD 是“直等补”四边形，AB
AD
，
90
BAD
，
180
C
BAD
o ，
90
C
∠
，
20
AB
AD
，
2
2
2
2
20
20
20 2
BD
AB
AD
，
4
CD
，
2
2
800 16
784
28
BC
BD
CD
．
故BC 的长为28．
7．【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与
了矩形折叠活动．
(1)操作与证明：
①如图①所示，小华将矩形ABCD 沿EF 折叠后，使得点C 与点A 重合，点D 与点G 重合，若
60
AFB
，
则
AFE
_______，
AEF
_______；
②如图②所示，张三将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠后，使得点C 与点E 重合，BE 与AD 交于点F，过点
D 作DG
BF
∥
交BC 于点G，求证：四边形DFBG 是菱形；
(2)迁移应用：
如图③所示，李四将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠后，使得点C 与点E 重合，BE 与AD 交于点F，连接AE ，
若
30
CBD
，
3 2
CD
，求AE 的长．
【答案】(1)①60，60；②见解析
(2)3 2
【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30 度角的直角三角形的性质，掌握折叠前
后对应边相等，对应角相等，是解题的关键．
（1）①由折叠得
AFE
CFE
，由AD
BC
∥
得
AEF
CFE
，结合
60
AFB
即可求解；
②由AD
BC
∥
，DG
BF
∥
，证明四边形DFBG 是平行四边形，同①证明
FDB
EBD
，推出FD
FB
，
即可证明四边形DFBG 是菱形；
（2）由折叠得
30
CBD
EBD
，
3 2
ED
CD
，
90
DEF
C
，用含30 度角的直角三角形的
性质和勾股定理解Rt
BCD
△
和Rt EGD
，最后用勾股定理解Rt AGE
即可．
【详解】（1）解：①由折叠得
AFE
CFE
，
60
AFB
，
1
180
60
60
2
AFE
CFE
，
矩形ABCD 中AD
BC
∥
，
60
AEF
CFE
，
故答案为：60，60；
②四边形ABCD 是矩形，
AD
BC
∥
，
又DG
BF
∥
，
四边形DFBG 是平行四边形；
AD
BC
∥
，
FDB
CBD
，
由折叠得
CBD
EBD
，
FDB
EBD
，
FD
FB
，
四边形DFBG 是菱形；
（2）解：四边形ABCD 是矩形，
AD
BC
，
3 2
AB
CD
，
90
C
ABC
，
Rt
BCD
△
中，
30
CBD
，
3 2
CD
，
2
6 2
BD
CD
，
2
2
2
2
6 2
3 2
3 6
BC
BD
CD
AD
，
由折叠得
30
CBD
EBD
，
3 2
ED
CD
，
90
DEF
C
，
90
30
ABF
CBD
EBD
，
又
90
BAF
DEF
，
AFB
EFD
，
30
ABF
EDF
，
如图，过点E 作EG
AD
于点G，
1
3
2
2
2
EG
ED
，
2
2
2
2
3
3
3 2
2
6
2
2
DG
DE
EG
，
3
3
3 6
6
6
2
2
AG
AD
DG
，
2
2
2
2
3
3
6
2
3 2
2
2
AE
AG
EG
．
8．定义引入：
定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形．
（1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______；
猜想与验证：
（2）①如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC
BD
于点O，下列结论正确的是（
）．
A．
2
2
2
2
AB
BC
CD
AD
B．
1
2
ABCD
S
AC
BD
四边形
C．AB
CD
BC
AD
②证明①中正确的结论：
拓展思考：
（3）如图2，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别是3cm 和5cm ，连接
，
，
AE
AG
CE ，且
cm
AE
7
，
ADG
△
的面积和
DCE
△
的面积会相等吗？如果会，请证明并求
DCE
△
的面积，如果不会，请说明理由．
【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为：
2
3.75cm
【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案；
（2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，
1
1
1
1
2
2
2
2
ABD
ABD
ABCD
S
S
S
BD
OA
BD
OC
BD
CO
AO
AC
BD
四边形
即可证明；
（3）连接
，
AC
EG ，连接CG 交AE 于点O，过点E 作EN
CD
于点N ，过点G 作GM
AD
交AD 延长线
于点M ，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到GM
EN
，进而由三角形面积公式即可得到
ADG
△
的
面积和
DCE
△
的面积相等，代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直，
菱形是“对垂”四边形；
正方形的对角线相互垂直，
正方形是“对垂”四边形；
故答案为：菱形或正方形；
（2）①A、AC
BD
，
在Rt AOB
中，由勾股定理可得
2
2
2
AB
OA
OB
；在Rt
COB
△
中，由勾股定理可得
2
2
2
CB
OC
OB
；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AB
BC
OA
OB
OC
OB
OA
OC
OB
；
在Rt AOD
中，由勾股定理可得
2
2
2
AD
OA
OD
；在Rt COD
中，由勾股定理可得
2
2
2
CD
OC
OD
；
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AD
CD
OA
OD
OC
OD
OA
OC
OD
；
当OB
OD
时，
2
2
2
2
AB
BC
CD
AD
；
而题中并未明确OB 与OD 是否相等，该选项不一定正确，不符合题意；
B、
1
1
1
1
2
2
2
2
ABD
ABD
ABCD
S
S
S
BD
OA
BD
OC
BD
CO
AO
AC
BD
四边形
，选项正确，符合题意；
C、由题中四边形的任意性，无法保证AB
CD
BC
AD
，选项错误，不符合题意；
故选：B；
②证明如下：
AC
BD
，
1
1
1
1
2
2
2
2
ABD
ABD
ABCD
S
S
S
BD
OA
BD
OC
BD
CO
AO
AC
BD
四边形
；
（3）
ADG
△
的面积和
DCE
△
的面积相等，
证明如下：
∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别是3cm 和5cm ，
3cm,
5cm,
90
AD
CD
DG
DE
ADC
GDE
，
连接
，
AC
EG ，连接CG 交AE 于点O，过点E 作EN
CD
于点N ，过点G 作GM
AD
交AD 延长线于点M ，
如图所示：
90
GMD
END
CDM
，
GDE
MDE
CDM
MDE
，即
GDM
EDN
，
又DG
DE
，
AAS
GDM
EDN
≌
，
GM
EN
，
又
2
ADG
AD
GM
S
△
，
2
DCE
CD
EN
S
△
，
ADG
的面积和
DCE
△
的面积相等；
90
ADC
GDE
，
ADC
CDE
GDE
CDE
即
ADE
CDG
，
又
,
AD
CD DG
DE
，
SAS
ADE
CDG
≌
，
,
7cm
DAE
DCG CG
AE
，
又
DAE
ADC
DCG
COA
，
90
COA
ADC
，
AE
CG
，
∴四边形AECG 是“对垂”四边形，
2
1
1
7
7
24.5cm
2
2
ACEG
S
AE
CG
四边形
，
又
2
2
2
2
2
Rt
Rt
1
1
1
1
3
4.5cm ,
5
12.5cm
2
2
2
2
ADC
GDE
S
AD
S
DE
△
△
，
2
Rt
Rt
24.5
4.5
12.5
7.5cm
ADG
DCE
ADC
GDE
ACEG
S
S
S
S
S
△
△
△
△
四边形
，
2
3.75cm
ADG
DCE
S
S
△
△
，
DCE
的面积为
2
3.75cm ．
9．在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片ABCD ，要求同学们在对角线BD 上取一点E ，
连接AE ，将ABE
沿AE 折叠，得到
AEF
△
．
(1)同学甲发现
3
DAE
BAE
（图1），通过探索发现点F 落在线段AC 上，从而可证明
2
BAD
DEF
．请
你完整证明：
2
BAD
DEF
；
(2)同学乙取
3
BE
DE
，折叠后发现EF
BA
∥
（图2 ），通过探索可得出AE
EF 为常数，请求出AE
EF 的值；
(3)同学丙通过折叠发现EF
BD
，测得
5
AB
，
7
BE
DE
，连接DF ，发现DF 的长度可求，求出此时DF
的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
6
3
AE
EF
；
(3)
5 2
DF
．
【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌
握知识点的应用是解题的关键．
（1）先推出AF 是
BAD
的平分线，进而得出AF
BD
，推出
90
DEF
ABE
，再根据
2
2 90
BAD
BAF
ABE
即可证明结论；
（2 ）根据折叠的性质，结合EF
AB
∥
推出四边形ABEF 是菱形，结合
3
BE
DE
得出OE
DE
，然后根据勾
股定理求出AE 与EF 的数量关系即可；
（3）根据菱形的性质，结合
7
BE
DE
求出BO
OE
、
及DE 的数量关系，然后由折叠的性质求出AO 和OE
的数量关系，再通过勾股定理求出DE 和FE 的长度，最后由勾股定理求出DF 的长度．
【详解】（1）证明: 由折叠性质可知
BAE
FAE
，
∵
3
DAE
BAE
FAE
DAF
，
∴
2
DAF
BAE
BAF
，
∴AF 是
BAD
的平分线，
∴
2
BAD
BAF
，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB
AD
，AD
BC
∥
，
∴AF
BD
，
∴
90
DEF
AFE
，
根据折叠的性质，
AFE
ABE
Ð
= Ð
，
∴
90
DEF
ABE
，
∵
2
2 90
BAD
BAF
ABE
，
∴
2
BAD
DEF
；
（2）解：根据折叠的性质，AB
AF
，BE
EF
，
AEB
AEF
，
∵EF
AB
∥
，
∴
BAE
AEF
，
∴
AEB
BAE
，
∴AB
BE
AF
EF
，
∴四边形ABEF 是菱形，
连接AC 交BD 于点O，如图，
根据菱形的性质，线段AC 和BD 互相垂直平分，
∵
3
BE
DE
，
∴
2
4
BD
OD
DE
，
∴OE
DE
，
∴
3
BE
OE
，
2
BO
OE
，
设AB
BE
EF
a
，则
2
3
BO
a
，
1
3
OE
a
，
根据勾股定理，
2
2
5
3
AO
AB
BO
a
，
2
2
6
3
AE
AO
OE
a
，
∴
6
3
AE
EF
；
（3）解：如图，连接AC 交BD 于点O，
根据菱形的性质可得AO
BD
，BO
DO
，
∵
7
BE
DE
，
∴
8
BD
DE
，
∴
4
BO
DE
，
3
OE
DE
，
根据折叠的性质得：
1
45
2
BEA
FEA
BEF
，
∴
AOE
△
为等腰直角三角形，AO
OE
，
设DE
b
，则
4
BO
b
，
3
AO
OE
b
，
根据勾股定理得：
2
2
5
5
AB
AO
BO
b
，
∴
1
b ，
∴
1
DE ，
4
BO
，
3
OE ，
7
BE
EF
，
在Rt
FED
△
中，
2
2
2
2
7
1
5 2
DF
FE
DE
．
10．【问题提出】
（1）如图1，正方形ABCD 的边长为6，M 是对角线BD 上的一个动点，N 是边BC 的中点，连接MN ，MC ，
则在点M 的运动过程中，MN
MC
的最小值为______．
【问题探究】
（2）如图2，四边形ABCD 是菱形，
10,
16
AB
BD
，M，N 是对角线BD 上的动点，MN 的长度为4 且始
终保持不变，连接AM ，CN ，求AM
CN
的最小值．
【问题解决】
（3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形ABCD ，如图3．为了效果更好，站在边AE
处的学生队伍要平分
DAC
，其中，教学生军体拳的主教官站在点D 处，另外两位教官分别在边AD 上的
点M 处和边AE 上的点N 处指导纠正学生的动作，即M，N 分别为边AD ，AE 上的动点．通过记录并计算，
得到MN
DN
的最小值为8 2 ，请你计算学生训练方阵正方形ABCD 的边长．
【答案】（1）3 5 ；（2）4 10 ；（3）16
【分析】（1）连接AM ，AN ，先证出ADM
CDM
≌
，根据全等三角形的性质可得AM
CM
，则可得
MN
MC
MN
AM
，再根据两点之间线段最短可得当点
,
,
A M N 共线时，MN
AM
的值最小，最小值为
AN 的长，利用勾股定理求解即可得；
（2）过点A 作AE
BD
，且使得
4
AE
MN
，连接
,
,
AC CE EN ，AC 与BD 交于点O，先根据菱形的性
质可得
,
12
AC
BD AC
，再证出四边形AMNE 是平行四边形，AE
AC
，则可得EN
AM
，然后根据两
点之间线段最短可得当点
,
,
C N E 共线时，EN
CN
的值最小，最小值为CE 的长，利用勾股定理求解即可
得；
（3）在AC 上取一点F ，使得AF
AM
，连接
,
,
FN BD DF ，AC 与BD 交于点O，先根据正方形的性质可
得
2
2
OD
AD
，再证出AFN
AMN
≌
，根据全等三角形的性质可得
FN
MN ，则可得
MN
DN
FN
DN
，然后根据两点之间线段最短可得当点
,
,
D N F 共线时，FN
DN
的值最小，最小值为
DF ，根据垂线段最短可得当DF
AC
时，DF 的值最小，最小值为DO ，则可得
2
8 2
2 AD
，由此即可
得．
【详解】解：（1）如图1，连接AM ，AN ，
∵正方形ABCD 的边长为6，N 是边BC 的中点，
∴
1
6,
3
2
AB
BC
CD
AD
BN
BC
，
90
ABC
，
45
ADM
CDM
，
在
ADM
△
和CDM
中，
AD
CD
ADM
CDM
DM
DM
，
∴
SAS
ADM
CDM
≌
，
∴AM
CM
，
∴MN
MC
MN
AM
，
由两点之间线段最短可知，当点
,
,
A M N 共线时，MN
AM
的值最小，最小值为
2
2
3 5
AN
AB
BN
，
即MN
MC
的最小值为3 5 ，
故答案为：3 5 ．
（2）如图2 和图3，过点A 作AE
BD
，且使得
4
AE
MN
，连接
,
,
AC CE EN ，AC 与BD 交于点O，
∵四边形ABCD 是菱形，
10,
16
AB
BD
，
∴
1
1
,
,
8
2
2
AC
BD OA
OC
AC OB
OD
BD
，
∴
2
2
6
OA
AB
OB
，
∴
12
AC
，
在图2 和图3 中，都有AE
BD
，
4
AE
MN
，
∴四边形AMNE 是平行四边形，AE
AC
，
∴EN
AM
，
∴AM
CN
EN
CN
，
由两点之间线段最短可知，当点
,
,
C N E 共线时，EN
CN
的值最小，最小值为
2
2
4 10
CE
AE
AC
，
即AM
CN
的最小值为4 10 ．
（3）如图4，在AC 上取一点F ，使得AF
AM
，连接
,
,
FN BD DF ，AC 与BD 交于点O，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
1
,
,
,
90
2
OD
OA
OC
AC AD
CD AC
BD
ADC
，
∴
2
2
2
AC
AD
CD
AD
，
∴
2
2
OD
AD
，
∵AE 平分
DAC
，
∴
FAN
MAN ，
在AFN
和AMN
中，
AF
AM
FAN
MAN
AN
AN
，
∴
SAS
AFN
AMN
≌
，
∴
FN
MN ，
∴MN
DN
FN
DN
，
由两点之间线段最短可知，当点
,
,
D N F 共线时，FN
DN
的值最小，最小值为DF ，
由垂线段最短可知，当DF
AC
时，DF 的值最小，最小值为
2
2
DO
AD
，
∵MN
DN
的最小值为8 2 ，
∴
2
8 2
2 AD
，
∴
16
AD
，
即学生训练方阵正方形ABCD 的边长为16．
