文档内容
专题 12 特殊的平行四边形中的最值和新定义问题的八种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、平行四边形中的最值问题...................................................................................................................2
类型二、矩形中的最值问题...............................................................................................................................8
类型三、菱形中的最值问题.............................................................................................................................13
类型四、正方形中最值问题.............................................................................................................................17
类型五、平行四边形中的新定义型问题..........................................................................................................22
类型六、矩形中的新定义型问题.....................................................................................................................27
类型七、菱形中的新定义型问题.....................................................................................................................32
类型八、正方形中的新定义型问题..................................................................................................................37
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................40
解题知识必备
1.平行四边形
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
2.矩形
1.矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四
边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
3.菱形1.菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，
还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
2.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.正方形
1.正方形的概念、性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是
有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
压轴题型讲练
类型一、平行四边形中的最值问题
例题：（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，E是边
延长线上一点，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，根
据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对
应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：延长 ，在 的延长线上截取 ，连接 ，过点G作 于点H，过
点C作 交 的延长线于点M，如图所示：，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∵垂线段最短，
∴当点E与点H重合时， 最小，此时 ，
∴ 最小值为 ，
故答案为： ．
【变式训练】1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，四边形 是平行四边形， ， ，
点 E 为 的中点，连接 ，点F为线段 上的一个动点，连接 ，则线段 长度的最小值为
．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、垂线段最短
【分析】由“垂线段最短”可知当 时， 的值最小．连接 ， ，由平行四边形的性质可
得 ，又由 ，可得 是等边三角形．由等边三角形“三线合一”的性质可得 ，
，进而得出 ， ，在 中，利用面积法即可求出 的值．
【详解】解：如图，当 时， 的值最小．
连接 ， ，
∵四边形 是平行四边形， ，
， ， ，
，
又 ，
是等边三角形，
又∵点 E 为 的中点，
， ，
， ，
，
，．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了“垂线段最短”、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理．
掌握利用面积法求直角三角形斜边上的高是解题的关键．
2．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在 中， 为 边上的高，点F和点G分别为高
和边 上的动点，且 ．若 ， ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短、用SAS间接证明三角形全等（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四
边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；作辅助线构造全等
三角形是解题的关键；过点D作 ，且 ，分别连接 ；证明
，则有 ，故 ，当点G在 上时， 取得最
小值，且最小值为线段 的长，在 中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点D作 ，且 ，分别连接 ；
则 ，
∴ ；
在 中， ， ，
；
，
,
；
，
，
，
，
当点G在 上时， 取得最小值，且最小值为线段 的长；在 中，由勾股定理得： ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，点M为直线
上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【详解】10．如图，作点A关于直线 的对称点 ，交直线 于点H，连接 交 于点 ，则
，
∴当 重合时， 的值最小，最小值为 的长．
．
．
．
4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知 的面积为 ， ， ，现先将
沿某一方向平移 个单位长度后得到 ，其中点 ， ， ， 的对应点分别为 ， ，
， ；再将 绕点 顺时针旋转 后得到 ，其中点 ， ， 的对应点分别为 ，
， ，连接 ， ，则线段 的最大值为 ，线段 的最小值为 ．【答案】
【知识点】根据旋转的性质求解、利用平移的性质求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角
形
【分析】本题考查平行四边形，平移，旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，平
移和旋转的性质，勾股定理的运用，根据题意，过点 作 交 于点 ，连接 ，根据平行四边
形的性质，勾股定理的运用，求出 ， ； 以点 为圆心，半径为 画圆，为 ，由题意得，
沿某一方向平移 个单位长度后得到 ，则 在 上运动，连接 ， ， ；根据
三角形三边的关系，当 ， ， 三点共线且 在 ， 的中间，此时 有最大值，即可； 过点
作 且 ，以点 为圆心，半径为 画圆，连接 并延长 交于 于点 ，根据勾
股定理求出， ；根据三角形三边的关系，当 与 重合时，此时 有最小值，即可．
【详解】解：过点 作 交 于点 ，连接 ，
∵平行四边形 的面积为
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
以点 为圆心，半径为 画圆，为 ，
∵ 沿某一方向平移 个单位长度后得到 ，
∴ 在 上运动，连接 ， ， ，
在 中， ，
∴当 ， ， 三点共线且 在 ， 的中间，此时 有最大值为 ；
∴ 的最大值为 ；过点 作 且 ，
以点 为圆心，半径为 画圆，连接 并延长 交于 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 在 上运动， ，
∴ 在 上运动，
在 中， ，
∴当 与 重合时，此时 有最小值为 ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
类型二、矩形中的最值问题
例题：（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点D
在 边上， ， ，垂足分别为点E、F，连接 ，则线段 的最小值等于 ．【答案】
【分析】本题主要考查矩形的判定与性质，连接 ，证明四边形 是矩形，得到 ，当
时，线段EF的值最小，根据等积关系可求出 ，进而求出 即可．
【详解】解答：解：如图，连接 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，
此时， ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：
【变式训练】
1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上， ，
点 是 上的动点，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质，垂线段最短，首先判断出点 的运动轨迹是线段 ，过点F作
于点H，则 为 的最小值【详解】解：连接 交于点N，过点 作 于点 ，
∵四边形 是矩形，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴点 是 的中点，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴
∵ 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ 即 ，
∴点 在 上，
过点F作 于点H，
根据题意知，点 的运动轨迹是线段 ，由“垂线段最短”知 为 的最小值，
∵点 是 的中点，
∴ ，
又
∴四边形 是矩形，
∴
∴ 的最小值为 ，
故答案为：
2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠， ， ．
点 是线段BD上一点．则 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最
短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形．
过点 作 于点 ，连接 过点 作 于点 ，，根据含30度角的直角三角形的性质，
得到 ，进而得到 ，进而得到当当 三点共线时，
的值最小为 的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当 时， 最小，即点 与点 重合，
再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵在长方形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将长方形 沿对角线BD折叠，得 ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，连接 过点 作 于点 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小为 的长，
∵点到直线，垂线段最短，∴当 时， 最小，即点 与点 重合，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： 的最小值为 ．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别是边 ，
上的动点，且 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则线段 长的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质．由矩形的性质推出 ， ，
， ，由 推出 ，得到 ，由勾股定理求出
，得到 ，又 ，即可得到线段 长的最大值为 ．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，，
，
线段 长的最大值为 ．
故答案为： ．
类型三、菱形中的最值问题
例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形 中， ， 分别是边 ， 上的动点，
连接 ， ， ， 分别为 、 的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】连接 ，利用三角形中位线定理，可知 ，当 时，最小 ，即 得到最小
值，根据含 角的直角三角形的性质和勾股定理求出 最小值即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
四边形 是菱形，
，
， 分别为 、 的中点，
是 的中位线，
，
当 时，则 ， 最小，即 得到最小值，
，
，
，
，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含 角的直角三角形的性质，勾
股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在菱形 中， ，点E为边 的中点，点P
在对角线 上运动，且 ，则 长的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接 、 、 ，由已知条件得出 ，再利用等边三角形的性质得出
，进而求出最大值即可．
【详解】解：如图，连接 、 、 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
是等边三角形，则 ，
点E为边 的中点，
，
， ，，由勾股定理可得： ，可得 ，
，
，即 长的最大值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定、勾股定理，正确作出辅助线，构造等边三角
形得出 是解题的关键．
2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形 中， ， ，点 ， ， 分别
是线段 ， ， 上的任意一点，连接 、 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最短路线问题以及菱形性质的运用．作点 关于 的对称点 ，则 在 上，
连接 ，则 ，过 作 于 ，当 ， ， 在同一直线上且 时， 的
最小值等于 的长，求得 的长即可得到 的最小值．
【详解】解：如图所示，作点 关于 的对称点 ，则 在 上，连接 ，则 ，过 作
于 ，
当 ， ， 在同一直线上且 时， 的最小值等于 的长，
， ，
， ，
，
中， ，
的长为 ，
的最小值是 ，故答案为： ．
3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形 中，两条对角线 ， ，点 是对角线
上一点（不与端点 重合），则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设 交 于点 ，根据菱形的
性质得 ，证明 为等边三角形，得 ，继而得到 ，
，进一步得 ，则当点 、 、 三点共线且垂直 时，
的值最小，即可得解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设 交 于点 ，
∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴当点 、 、 三点共线且垂直 时， 的值最小，最小值为 ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，熟练运用菱形的性
质是解题的关键．
类型四、正方形中最值问题
例题：（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形 中， 为 边上一点，且
， 是对角线 上的一个动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．连
接 、 ，根据正方形的性质可证出 ，得到 ，利用勾股定理求出 的长，
再利用两点之间线段最短性质即可得出 的最小值．
【详解】解：如图，连接 、 ，
边长为3的正方形 ，
， ， ，
又 ，
，
，
，
，在 中， ，
由两点之间线段最短性质得， ，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形 中， ， ， 分别是边CD， 上的
动点且 ， 与 交于 点，则线段 长的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】根据“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应角相等可得 ，然
后求出 ，取AD的中点 ，连接 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点
到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得 、 、 三点共线时线段 的值最小，然后根
据勾股定理列式求出 ，再求解即可．
【详解】解：取AD的中点 ，连接 ， ，如图：
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，，
，
为AD中点，
，
，
，
根据两点之间线段最短知， 、 、 三点共线时，线段 的值最小，最小值为 ；
线段 长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中
线，勾股定理，确定出点 到AD的中点的距离是定值是解题的关键．
2．（2024·陕西商洛·一模）如图，正方形 的边长为4，点E在线段 上，以 为边构造正方形
，使点G在 的延长线上，连接 ，取 的中点H，连接 ．当点E在 边上运动（不含
A，D）时， 的最小值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，连接
与 交于点O，延长 到点M，使 ，连接 ， ，证明点D、O、M、B在一条直线上，
证明 是 的中位线，得到 ，当 最小时， 最小，即当 时， 最小，
求出 ，证明 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 与 交于点O，延长 到点M，使 ，连接
， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴点D、O、M、B在一条直线上，
∵点E是 的中点，点H是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
当 最小时， 最小，
即当 时， 最小，
∵ ，
∴M点与O点重合时， 最小，
∵正方形 的边长为4，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵点H是 的中点，
∴ ，
∴点H在 的垂直平分线上，
∵四边形 是正方形，
∴点H也在 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ；
故答案为： ．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形 中，对角线 与 交于点 ， ， 是
的中点， 是对角线 上的一条动线段，若 的最大值为 ，则 的长为 ．【答案】1
【分析】本题考查正方形的性质，线段最值问题等知识点，正确作辅助线是解题关键．
过 点作 的平行线，过 点作 的平行线，两平行线交于点 ，取 关于 的对称点 ，连接 ，
， ，根据三角形两边之查小于第三边即可得到 ，在 中，利用勾股定理即可求得
答案．
【详解】解：如图，过 点作 的平行线，过 点作 的平行线，两平行线交于点 ，取 关于 的
对称点 ，连接 ， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 关于 的对称点是 ， 是 的中点，
∴ 是 的中点，即
在 中， ，
∴ ，
当 点运动到与点 ， 在一条直线上的时候 ，即 取到最大值 ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．类型五、平行四边形中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图1，在邻余四边形 中， ，则 ________；
(2)如图2，在 中， ， ， 垂直平分 交 于点 ，垂足为 ，且 ，
， 为 上一点，求证：四边形 是邻余四边形；
(3)如图3、图4，在邻余四边形 中， 为 中点， ，
①如图3，当 时，判断四边形 的形状并证明你的结论；
②如图4，当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)①平行四边形，详见解析；②
【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识．
（1）根据邻余四边形的定义即可求解；
（2）根据垂直平分线的定义可得 ， ，根据勾股定理可得
，进而求出 ，再根据勾股定理的逆定理可得 ，推出 ，即
可证明；
（3）①由 ， 可得 ，推出 ，根据邻余四边形的定义得到
，进而得到 ，推出 ，证明 ，得到 ，即可证
明；②延长 到点 ，使 ，连接 ， ，证明 ，得到 ，
，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当 时，当 时，即
可求解．
【详解】（1）解： 在邻余四边形 中， ，且 ， ，
，
，故答案为： ；
（2）证明： 垂直平分 ， ，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是邻余四边形；
（3）①四边形 是平行四边形，证明如下：
，
，
，
，
，
，
在邻余四边形 中， ，
，
，
，
，
为 中点，
，
在 和 中，
，
，
，
由 ，四边形 是平行四边形；
②如下图，延长 到点 ，使 ，连接 ， ，
为 中点， ，
是 的垂直平分线，
， ，
，
，
， ，
在邻余四边形 中， ，
可分两种情况讨论：
当 时，
则 ，
；
当 时，
则 ，
，与 矛盾，
此种情况不存在；
综上， 的长为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α（
）得到 ，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”，边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补
中心”．特例感知：
（1）在图2，图3中，是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．
①如图2，当 为等边三角形时， 与 的数量关系 ；
②如图3，当 时，则 长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）① ；② ；（2） ，证明见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的
判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明 ，根据全等三角形的性质得到
，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形 是平行四边形，得到 ，根据全等三角形的性质得
到 ，得到答案．
【详解】解：（1）①∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 的“旋补三角形”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵ 是 的“旋补三角形”，
∴ ，
在 和 中，∵
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 的“旋补中线”，
∴ ，
故答案为：4；
（2）猜想 ．
证明：如图，延长 至点E使得 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．类型六、矩形中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的
平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到 的
三个顶点的距离分别为 ，如图1，当 最大时，若 ，则点P就是 的
“幸运点”．
【探究1】如图2，在 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， 的顶点在格点上，若格点P是
的“幸运点”，请画出点P的位置；
【探究2】如图3，矩形 中，对角线 交于点O， ， ，若P是矩形 上的一
点，且点P是 的“幸运点”，求 的长；
【探究3】如图4， 为等边三角形，过点A作 的垂线，点D在该垂线上，以 为边在其右侧作
等边 ，连接 ．
①判断点A是否是 的“幸运点”，并说明理由；
②若 ， ，求 的长．
【答案】[探究1]：见解析；[探究2]： 或 ；[探究3]：①点A是否是 的“幸运点”，
理由见解析；② 或
【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直
角三角形的性质等，理解题中定义，熟练运用勾股定理求解以及分类讨论是解答的关键．
[探究1]根据网格特点，利用勾股定理，结合题中定义可得点P的位置；
[探究2]分点P离A近和点P离B近，设 ，利用矩形性质和勾股定理，结合题中定义列方程求解x值
即可；
[探究3]①连接 ,利用等边三角形的性质和全等三角形的判定推导出 得到 ，
在 中，利用勾股定理可得 ，根据题中定义可得结论；
②由①中结论得 结合已知求得 ，若点D在A的右下方时，如图，过C作
于H，在 中,利用含30度角的直角三角形的性质求得 ， ，在
中，利用勾股定理求得 ；若点D在A左上方时，同理求解即可．
【详解】解：[探究1]如图，点P即为所求作：理由：连接 ， ， ， ，
∴ ，
则格点P是 的“幸运点”；
[探究2]解：若点P离A近，如图，连接 ， ， ，过O作 于H，
∵矩形 中，对角线 交于点O， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得 ，
，
∵点P是 的“幸运点”
∴则 ，
∴ ，
整理，得 ，即 ，
解得 （负值已舍去）；
若点P离B近，如图，同理，得 ， ，
由勾股定理得 ，
，
∵点P是 的“幸运点”
∴则 ，
∴ ，
整理，得 ，即 ，
解得 （大于 的值已舍去），
综上，满足条件的 的值为 或 ；
[探究3] 点A是 的“幸运点”，理由为：
连接 ,
∵ 、 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
故点A是 的“幸运点”；②由①中结论得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
若点D在A的右下方时，如图，过C作 于H，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 ， ，
则 ，
在 中， ，
∴ ；
若点D在A左上方时，如图，
同理可证 ，
同理可求得 ， ，
， ，
∴ ，
综上， 的长为 或 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形 中， ．垂足为 ，则有： ；性质应用：（1）如图1，四边形 是垂美四边形，若 ， ， ，则 ；
性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：
．请以图3为例将重要结论证明出来．
应用变式：（3）①如图4，在矩形 中，O为对角线交点，P为 中点，则 ；（写出
证明过程）
②如图5，在 中， ， ，D是 内一点，且 ， ，则 的最小值
是 ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②
【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识；
（1）由勾股定理可得出答案；
（2）过 作 于 ，交 的延长线于 ，由（1）性质可知： ，由勾股
定理可得出答案；
（3）以 、 为边作矩形 ，连接 、 ，由矩形的性质得出 ，由题意得
，求出 ，当 、 、 三点共线时， 最小，得出 的最小值 的
最小值 ．
【详解】（1）解：如图1，四边形 是垂美四边形，
，
， ， ，
，
．
故答案为： ；
（2）证明：过 作 于 ，交 的延长线于 ，由（1）性质可知： ，
即：
，
又 由勾股定理可知：
，
，
即 ；
（3）解：①设 ，则 ，
由（2）可得 ，
，
；
②以 、 为边作矩形 ，连接 、 ，如图所示：
则 ，
由题意得： ，
即 ，
解得： ，
当 、 、 三点共线时， 最小，
的最小值 的最小值 ；
故答案为： ．
类型七、菱形中的新定义型问题
例题：（2024·浙江·模拟预测）定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．
(1)①写出一种你学过的伪矩形： ．
②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ．
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
(2)如图1，在伪矩形 中， ， ， ，求 的长．
(3)如图2，在伪矩形 中， ， ， ， ，求这个伪矩形的面积．
【答案】(1)①等腰梯形；②C
(2)
(3)
【分析】（1）①根据题意，写出对角线相等的四边形，例如等腰梯形，即可求解；
②根据中位线的性质可得 ，进而根据伪矩形的定义，可得 ，进
而即可得出结论；
（2）根据伪矩形的定义，可得 ，进而勾股定理，即可求解．
（3）作 ，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）①写出一种你学过的伪矩形：等腰梯形；
故答案为：等腰梯形．
②如图所示，伪矩形 中， ，
分别为四边中点，∴
∴
∴四边形 是菱形；
∴顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是菱形，
故选：C．
（2） 在伪矩形 中，
， ， ，
；
（3）解：作 ，垂足为 ，
伪矩形 中， ， ，
，
， ， ，
， ，
，
这个伪矩形的面积为
【变式训练】
1．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条
边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形 中，连接 ，在 的延长线上取点E
使得 ，以 为边作菱形 ，我们称菱形 是菱形 的“伴随菱形”．(1)如图2，在菱形 中，连接 ，在 的延长线上作 ，作 的平分线 交 的延
长线于点 ，连接 ．求证：四边形 为菱形 的“伴随菱形”．
(2)①如图3，菱形 为菱形 的“伴随菱形”，过 作 垂直 于点 ，对角线 相
交于点 ．连接 若 ，试判断 与 的数量关系并加以证明．
②在①的条件下请直接写出 的值．
【答案】(1)详见解析
(2)① ，见解析；②
【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得到四边形 为平行四边形，再根据菱形的判定
即可解答；
（2）①根据菱形的性质及勾股定理得到 ，再根据角平分线的定义及平行线的性质可得到
；根据等腰三角形的性质及勾股定理列方程即可解答．②根据平行线的性质及中位线的定义
，再根据勾股定理列方程即可解答．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 为菱形，
即菱形 为菱形 的伴随菱形；
（2）解：① 理由如下
过点 作 于点 、 于点 ，
过点 作 于点 ，连接 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，点 在 的平分线上，
∴ ，
∵ ，由勾股定理可得 ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴点 在 的平分线上，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵四边形 为菱形，
∴ ，点 在 的平分线上，
∴ ，
∵ ，
由勾股定理可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
设 ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
即 ，
解得： ， （舍），
∴ ，【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的
性质与判定，掌握菱形的性质及判定是解题的关键．
类型八、正方形中的新定义型问题
例题：（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边
形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是
___________（填序号）；
(2)如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连
、 ．求证：四边形 是“宁美四边形”；
【答案】(1)④
(2)见解析
【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论；
（2）证 ，得 ，再由 ，结合 “宁美四边形”的定义即可得出结论；
【详解】（1）解： 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相
垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“宁美四边形”，
故答案为：④．
（2）证明： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
又 ，
四边形 是“宁美四边形”；
【点睛】本题考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平
行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻
找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的
新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形
叫做“中方四边形”
【概念理解】
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填
序号）．
【性质探究】
（2）如图1，若四边形 是“中方四边形”，观察图形，线段 和线段 有什么关系，并证明你
的结论．
【问题解决】
（3）如图2，以锐角 的两边为边长 ，分别向外侧作正方形 和正方形 连结
，依次连接四边形 的四边中点得到四边形 ．求证：四边形 是“中方四边
形”．
【答案】（1）④；（2） ；（3）见解析
【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中
位线的性质，正方形的判定和性质．（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
（2）由四边形 是“中方四边形”，可得 是正方形且E、F、G、H分别是
的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；
（3）如图2，取四边形 各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形 ，连接 交 于
P，连接 交 于K，利用三角形中位线定理可证得四边形 是平行四边形，再证得
，推出 是菱形，再由 ，可得菱形 是正方形，即可证得结论．
【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故答案为：④；
（2）解： ；
理由如下：如图1，
∵四边形 是“中方四边形”，
∴ 是正方形且E、F、G、H分别是 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（3）证明：如图2，连接 交 于P，连接 交 于K，
∵四边形 各边中点分别为M、N、R、L，
∴ 分别是 的中位线，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形，
∵ ，
∴ ．
又∵
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴菱形 是正方形，
即原四边形 是“中方四边形”．
压轴能力测评（10题）
一、单选题
1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ， 是 边上任意一
点，连接 ，以 ， 为邻边作 ，连接 ，则 长的最小值为（ ）
A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8
【答案】A
【知识点】垂线段最短、根据三线合一证明、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】设 ， 交于点O，过点O作 于点F，勾股定理求得 ，等面积法求得 ，根据
垂线段最短，当点D与点F，重合时， 最小，进而求得 的最小值，即可求解．【详解】解：设 ， 交于点O，过点O作 于点F，如图所示，
在四边形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
当点D与点F，重合时， 最小，
∴ 的最小值为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解
题的关键．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形 在第一象限， ，
分别在x轴和y轴上，P，Q分别为 ， 上的动点，点M在 上， ，点N为 中点，
上一点，若点B的坐标是 ，则四边形 的周长最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据矩形的性质求线段长、线段问题(轴对称综合题)、坐标与图形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，先分别做出点M，N关于y轴和x轴的对称点，
结合两点间线段最短，结合矩形性质结合勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得作点M关于y轴的对称点 ，点N关于y轴的对称点 ，∵点M关于y轴的对称点是点 ，点N关于y轴的对称点是点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当点 ， ， ， 四点共线时 最小，此时四边形 的周长最小，
∵长方形 在第一象限，点B的坐标是 ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 的周长最小值为： ，
故选：D．
二、填空题
3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形 的边长为 ， ，P，Q分别是
上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】如图，连接 ，过点C作 ，使得 ，连接 ．证明 ，
推出 ，推出 ，求出 即可解决问题．本题考查轴对称-最短问题，全等
三角形，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中
考常考题型．【详解】解：如图，连接 ，过点C作 ，使得 ，连接 ．
∵四边形 是菱形，
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
4．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形 中， ，对角线 、 交于点O，点
E、F分别为边 、 上的动点（不与端点重合），且 ，连接 、 、 ，则线段 的
最小值为 ．
【答案】【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三
角形的性质和判定
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段的最值
问题等．利用正方形的性质可得 ， ，利用 证明 ，进而
推出 是等腰直角三角形，可得 ，当 时， 取最小值，由此可得线段 的最
小值．
【详解】解： 在正方形 中，对角线 、 交于点O，
， ， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
当 时， 取最小值，
， ，
，
线段 的最小值为 ．
故答案为： ．
三、解答题
5．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，将 沿
所在直线折叠，得到 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，P是 边上的动点，Q是 边上的动点， 的最小值是________．【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】矩形与折叠问题、轴对称中的光线反射问题、含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形
【分析】（1）由矩形的性质可得 与 相等且互相平分，进而可得 ，由轴对称的性质可得
， ，进而可得 ，于是结论得证；
（2）作 于点 ，交 于点 ，由轴对称的性质可得 ， ，进而可得
，由垂线段最短可知，当 、 、 三点共线，且 时， 最小，
即 最小，最小值为 ，由矩形的性质可得 ， ，由轴对称的性质可得
，进而可得 ，由直角三角形的两个锐角互余可得 ，由
含 度角的直角三角形的性质可得 ，然后根据勾股定理可得 ，于是得解．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
与 相等且互相平分，
，
关于 的对称图形为 ，
， ，
，
四边形 是菱形；
（2）解：如图，作 于点 ，交 于点 ，
沿 所在直线折叠，得到 ，
， ，
，
由垂线段最短可知，当 、 、 三点共线，且 时， 最小，即 最小，最小值为
，
，
，
，
，
，，
，
，
即： 的最小值为 ，
故答案为：❑√3．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，菱形的判定，轴对称中的光线反射问题（最短路线
问题），垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余，含 度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌
握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）和垂线段最短是解题的关键．
6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三
角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
(1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若 ， ，则
______°；
(2)如图2，四边形ABCD中， ， ， ， ．试说明四边形ABCD是
“等腰四边形”；
(3)若在“等腰四边形” 中， ， ，且BD为“界线”，请直接写出
的度数为______．
【答案】(1)50
(2)见解析
(3) 或 或 ．
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾
股定理解三角形
【分析】（1）由题意得： ，再利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解
从而可得答案；
（2）如图，连接 ，先证明 是等边三角形，可得 ，根据勾股定理证明
，从而根据新定义可得四边形 是“等腰四边形”；
（3）分三种情况讨论，一是四边形 “等腰四边形”，且 ，可证明 ，得
，则 ， ，所以 ；二
是四边形 “等腰四边形”，且 ，可证明 是等边三角形，则 ，所以 ，则 ，所以 ；三是四边形 “等腰四边形”，且
，设 ，作 于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交
于点 ，连接 ，可证明 是等边三角形，得 ，则 ，
，所以 ，得 ．
【详解】（1）解：∵四边形 是“等腰四边形”， 为”界线”， ， ，
．
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：50．
（2）解：如下图，连接 ，
，
是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
所以四边形 是“等腰四边形”， BD为“界线”．
（3）如图，四边形 “等腰四边形”，且 ，
， ，
，在 和 中，
，
，
，
， ，
；
如图，四边形 “等腰四边形”，且 ，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
如图，四边形 “等腰四边形”，且 ，设 ，
作 于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
， 垂直平分 ，
，
，
，∴ ，
， ，
∴四边形 是矩形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
，
，
综上所述， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了新定义的理解，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股
定理的应用，解题的关键是第（3）题应进行分情况讨论．
7．（2023·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，在 ， ， ，求点C到AB的距离．
【问题延伸】如图②，在 ， ， ．若点M在边 上，点P在线段 上，连
结 ，过点P作 于Q，则 的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形 中， ，点E在边AD上，点M在边AB上，点F在线段 上，
连结 ，若 ，则 的最小值为__________．
【答案】[问题原型] ；[问题延伸] ；[问题拓展]
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解
三角形【分析】[问题原型]过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据等腰三角形的性质可得
，再由勾股定理可得 的长，再结合等面积法即可求解；
[问题延伸]连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．根据题意可得 的最小值
等于 的长，再由当 时， 的长最小，可得 的最小值等于 的长，再根据等腰三角
形的性质可得 ，再由勾股定理可得 的长，再结合等面积法即可求解；
[问题拓展]过点F作 于点H，连接 ，过点E作 于点G，根据直角三角形的性质可得
在 ，从而得到 ，继而得到 的最小值等于
，再由当 时， 的长最小，即 的长最小，可得 的最小值等于 ，即可
求解．
【详解】解：[问题原型]∶如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ．
∵ ，
∴ ．
∴点 到 的距离为 ．
[问题延伸]∶如图，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
∵ ，
∴ 的最小值等于 的长，∵当 时， 的长最小，此时点Q与点H重合，
∴ 的最小值等于 的长，
∵ ，
∴ ．
在 中， ．
∵ ，
∴ ．
即 的最小值为 ；
故答案为： ；
[问题拓展]∶如图，过点F作 于点H，连接 ，过点E作 于点G，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值等于 ，
∵当 时， 的长最小，即 的长最小，此时点H与点G重合，
∴ 的最小值等于 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值等于 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰
三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
8．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图， 是正方形 外一点，连接 ， ，使 是等边
三角形， 为对角线 （不含 点）上任意一点， ， ，连接 、 、 ．(1)求证： ；
(2)①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
(3)当 的最小值为 时，求正方形 的边长．
【答案】(1)见解析
(2)① 点在 上时， 的值最小；② 点在 上时， 的值最小，理由见解析
(3)
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股
定理解三角形
【分析】（1）根据 是等边三角形，得 ，根据 ， ，得
；
（2）①连接 交 于点O，当M点落在O点时，A、M、C三点共线， 的值最小；②连接
，根据 ，得 ，根据 ， ，得 是等边三角形．得
．当M点位于 上时， ， 的值最小．
（3）过E点作 交 的延长线于F，则 ，设正方形的边长为x，则 ．
，根据 ，解得 ．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，正方形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：①连接 交 于点O，当M点落在O点时，
A、M、C三点共线， 的值最小；
②如图，连接 ，
当M点位于 上时， 的值最小．理由如下：
连接 ，由（1）知， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∴ ，最短，
∴当M点位于 上时， 的值最小，
即等于 的长．
（3）解：过E点作 交 的延长线于F，
则 ．
设正方形的边长为x，
则 ， ，
在 中，∵ ，且 ，
∴ ，
解得， ．
【点睛】本题考查正方形和等边三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，勾股定理，含 的直角三角形性质，是解题的关键．
9．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的
新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形
叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是
A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形问题解决：如图2，以锐角 的两边 为边长，分别向外侧正方形 和正方形 ，连
接 ．求证：四边形 是“中方四边形”：
性质探究：如图1，四边形 是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形 的两条站论： ①
；②
拓展应用：如图3，已知四边形 是“中方四边形”，M，N分别是 的中点，
（1）试探索 与 的数量关系，并说明理由．
（2）若 的最小值是4，则 的长度为 ，（不需要解答过程）
【答案】概念理解：D；
问题解决：见解析；
性质探究：① ；② ；
拓展应用：（1） ．理由见解析；（2） ．
【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明
【分析】对于概念理解，结合“中方四边形”的定义解答即可；
对于问题解决，设四边形 的边 的中点分别为M，N，R，L，连接 交 于点P，
连接 交 于点K，先根据三角形中位线的性质说明四边形 是平行四边形，再根据正方形的性质
证明 ，可证明平行四边形 是菱形，
然后说明 ，可得答案；
对于性质探究，根据上述解答过程可得答案；
对于拓展应用，（1）标注 的中点为E，F，连接 ，根据 “中方四边形”的定
义得四边形 是正方形，根据正方形的性质得 ，即可得出答案；（2），连接 交
于点O，连接 ，说明 的最小值 ，再根据直角三角形的性质得
，即可得出答案．
【详解】概念理解：∵四边形 是正方形，点E，F，G，H依次是 的中点，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，同理 ，
∴四边形 是菱形，四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
所以正方形的一定是“中方四边形”；
问题解决，证明：如图，设四边形 的边 的中点分别为M，N，R，L，连接 交
于点P，连接 交 于点K．
∵四边形 各边的中点分别为M，N，R，L，
∴ 分别是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴菱形 是正方形，
即原四边形 是“中方四边形”；
问题解决：① ；② ；
故答案为： ， ；
拓展应用， ．理由如下：
标注 的中点为E，F，连接 ，
∵四边形 是“中方四边形”，M，N分别是 的中点，
∴四边形 是正方形， ，
∴ ，
∴ ．
∵N，F分别是 的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 交 于点O，连接 ，当点O在 上（即点M，O，N共线）时， 最小，最小值为 的长，
∴ 的最小值 ，
由性质探究知 ．
∵M，N分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
由拓展应用（2）知： ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线的定
义和性质，准确的作出辅助线是解题的关键．
10．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上
任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记
为 ．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中， 的对角线 ， 相交于点O，若点A，B的坐标分别为
， ，点G是 边上任意一点．
（1）当点G在边 上时， 的最小值是__________，因此d[点O，线段 ] __________；
（2）当点G在任意边上时， 的最小值是__________，因此d[点O， ] __________；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， 的对角线 ， 相交于点O， 平分 ，点A，
B的坐标分别为 ， ，点 是对角线 上与点A，C，O不重合的一点，点 是对
角线 上与点B，D，O不重合的一点．
（3）当 [线段 ， ] 时，则n的取值范围为__________；
（4）当 时， __________（结果用含n的式子表示）；【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩
绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩
绳的长度．
【答案】（1）4,4；（2）3,3；（3） 或 ；（4） ；应用： 米
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、坐标与图形
【分析】理解：（1）根据定义结合垂线段最短即可得出答案；
（2）根据定义结合垂线段最短即可得出答案；
拓展：（3）证明四边形 是菱形，得出 平分 和 ，推出线段 到四边形 的
距离为 ，从而得到 [线段 ， ] ，即 ，计算即可得解；
（4）由（3）得：四边形 是菱形，作 于 ，交 于 ，作 于 ，则有
，从而得到 ，即可得解；
应用：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离为 米，计算即可得解．
【详解】理解：（1）解：∵点A，B的坐标分别为 ， ，四边形 为平行四边形，
∴根据题意可得，当点G在边 上时，即 时， 的最小值是 ，
∴d[点O，线段 ] ；
故答案为：4；4；
（2）解：∵点A，B的坐标分别为 ， ，四边形 为平行四边形，
∴根据题意可得，当点G在任意边上时，即 或 时， 的最小值是 ，
∴d[点O， ] ；
故答案为：3；3；
拓展：（3）解：如图：，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ 平分 和 ，
∴线段 到四边形 的距离为 ，
∴ [线段 ， ] ，
∴ ，
解得： 或 ；
（4）解：由（3）得：四边形 是菱形，
如图，作 于 ，交 于 ，作 于 ，
则有 ，
∴ ，
∴ ；
应用：解：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离为 米，如图，则所需彩绳的长度为： 米．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用和菱形的判定与性质，
理解新定义，利用数形结合的思想是解此题的关键．
