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1
第03 讲正方形的性质与判定
课程标准
学习目标
1
理解正方形的概念以及它与其它四边形
之间的关系；
2
正方形既是矩形，又是菱形;理解矩
形、菱形、正方形之间的包含关系．
1. 正方形的定义；
2. 正方形的性质；
3. 正方形的判定；
知识点一：正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
补充：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，
正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
【即学即练】
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（
）
2
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间
转换的条件，其中填写错误的是（
）
A．①有一个角是直角
B．②有一组邻边相等
C．③对角线互相垂直
D．④对角线互相平分
知识点二：正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
【即学即练】
3．已知正方形ABCD中，
2cm
AC
，则AB 的长为（
）
A．1cm
B．2cm
C．
2cm
D．3cm
4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，
AOB
的度数是
．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为
2
cm ．
6．正方形的一条边长是4，那么它的面积是
，对角线长是
．
3
知识点三：正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等
（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
【即学即练】
7．已知在四边形ABCD中，AC 与BD 相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是
（
）
A．AC
BD
，AB
CD
，AB
CD
B．AD
BC
∥
，
A
C
C．AO
BO
CO
DO
，AC
BD
D．AO
CO
，BO
DO
，AB
BC
8．四边形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（
）
A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C
D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于点O，
2
AC
BO
，且BD 为
ABC
的平分线，
求证：平行四边形ABCD为正方形．
题型01 用正方形的性质求角度
例：如图，点E 在正方形ABCD的内部，且在对角线BD 的上方，连接AE 、DE ，若
BAE
ADE
，则
AED
的度数为（
）
A．80
B．85
C．90
D．95
【变式训练】
11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边
ADE
，则
BAE
为（
）
4
A．145
B．150
C．155
D．160
12．如图正方形ABCD 中以CD 为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE 度数为(
)
A．15°
B．30°
C．45°
D．20°
13．如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED ，连接BE
CE
，
，则
BEC
的度数为（
）
A．150
B．175
C．120
D．135
题型02 用正方形的性质求面积
例：如图，正方形ABCD的面积为4，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 的中点，则四边
形EFGH 的面积为
．
【变式训练】
15．如图，E ，F 是正方形ABCD的对角线AC 上的两点，
8
AC
，
2
AE
CF
，则四边形BEDF 的面
积是
．
5
16．如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm ，则图中阴影图形
的周长是（
）
A．440cm
B．320cm
C．280cm
D．160cm
17．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之
和为（
）
A．36
B．42
C．55
D．25
18．将两个边长为a 的小正方形放置在边长为b 的大正方形内，三个正方形均重叠部分的面积记为
1S ，无
重叠部分的面积记为
2S ，如图所示，若a 和b 分别是一等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则
1S 与
2S 的大小关系是（
）
A．
1S ＝
2S
B．
1S ＜
2S
C．
1S ＞
2S
D．无法确定
19．如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为
．
6
题型03 用正方形的性质求线段长
例：如图，正方形ABCD的边长为4cm ，将该正方形沿AC 方向平移
2 cm，得到正方形A B C D
，A D
交CD 于点E ，A B
交BC 于点F ，则A E
的长为
cm．
【变式训练】
21．如图，边长为4 的正方形ABCD中，E，F 分别为边AD ，AB 上的点，连接BE ，CF ．若DE
BF
，
则BE
CF
的最小值是
．
22．在平面直角坐标系中放置了一个边长为
5 的正方形，如图所示，点B 在y 轴上，且坐标是
0,2 ，点
C 在x 轴上，则点C 的坐标为
；点D 的坐标为
．
23．如图，设四边形ABCD是边长为1 的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方ACEF 再以对角线AE 为
边作第三个正方形AEGH ，如此下去，则第n 个正方形的边长为
．
7
题型04 用正方形的性质证明
例：如图，四边形ABCD、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：
(1) AE
CG
；
(2) AE
CG
．
【变式训练】
25．如图，在正方形ABCD中，点E ，F 在对角线AC 上，且AE
CF
，连接ED ，DF ，以及BE ，
BF ．求证：四边形BEDF 为菱形．
26．如图，在正方形ABCD中，点E 在BC 上，连接AE ．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点B 作AE 的垂线，分别与AE
CD
，
交于点F，G．（不写作法和证明，保
留作图痕迹）
8
(2)在（1）所作的图形中，求证：AE
BG
．
27．已知：如图，ABC
中，
90
ABC
，BD 是
ABC
的平分线，DE
AB
于点E，DF
BC
于点
F．求证：四边形DEBF 是正方形．
题型05 正方形的判定
例：如图，在四边形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于点O
AB
CD
BAC
ACD
，
，
，延长BC 至点E，
使CE
BC
，连接DE ．
(1)当AC
BD
时，求证：
2
BE
CD
；
(2)当AC
BC
，且
2
CE
CO
时，求证：四边形ACED是正方形．
【变式训练】
28．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（
）
A．若AB
BC
，则▱ABCD是菱形
B．若AC
BD
，则▱ABCD是正方形
C．若AC
BD
，则▱ABCD是矩形
D．若AB
AD
，则▱ABCD是正方形
9
29．在矩形ABCD中，对角线AC 与BD 交于点Q，请添加一个条件：
使得矩形ABCD是正方形．（只写
一个）
30．如图，在
ABCD
中，E、M 分别为AD
AB
、
的中点，DB
AD
，延长ME 交CD 的延长线于点N，连
接AN ．
(1)证明：四边形AMDN 是菱形；
(2)当DAB
满足什么条件时，四边形AMDN 是正方形，说明理由．
题型06 正方形性质与判定
例：如图，在矩形ABCD中，
BAD
的平分线AE 交BC 于点E，EF
AD
于点F，DG
AE
⊥
于点G，DG
与EF 交于点O．
(1)求证：四边形ABEF 是正方形；
(2)若AD
AE
，
2
AB
，
①求AG 的长；
②求OF 的长．
【变式训练】
33．如图，在四边形ABCD中，
90
A
B
，
8
AB
BC
，
6
AD
，E 是边AB 上一点，且
45
DCE
，则DE 的长度是（
）
A．8
B．7.4
C．7
D．6.8
10
34．矩形ABCD第一次沿AE 折叠得到四边形ABEF ，展开后第二次沿MN 折叠，使得点C 与点F 重合．若
12
AD
，
8
AB
，则MB
．
35．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E 是边AB 上一点，DF
CE
于
点F，
,
,
GD
DF AG
DG AG
CF
，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E 是边AB 上一点，
DF
CE
于点F，AH
CE
⊥
于点H，GD
DF
，交AH 于点G，可以用等式表示线段
,
,
FH AH CF 的数量关
系，请你思考并解答这个问题．
36．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为
3 的正方形ABCDD 与边长
为
6 的正方形AEFG 按图1 位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上．连接DG ，
BE ，易得DG
BE
且DG
BE
(不需要说明理由)．
(1)如下图，小明将正方形ABCD绕点A 逆时针旋转，旋转角为
(15
165 )
．
①连接DG ，BE ，判断DG 与BE 的数量关系和位置关系，并说明理由；
11
②在旋转过程中，如下图，连接BG ，GE ，ED ，DB，求四边形BGED面积的最大值．
(2)如下图，分别取BG ，GE ，ED ，DB的中点M，N，P，Q，连接MN ，NP ，PQ ，QM ，则四边形
MNPQ的形状为______，四边形MNPQ面积的最大值是______．
（建议用时45 分钟）
37．下列说法：①矩形的对角线互相垂直平分；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线相等，且互相垂
直的四边形是正方形；④平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个全等的三角形．其中正确的个数
是（
）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
38．如图，在平面直角坐标系中，动点A，B 分别在y，x 轴上，以AB 为边长在第一象限内作正方形
ABCD，连接OC ．若
4
AB
，则OC 的最大值是（
）
12
A．2
2 5
B．2
2 3
C．4 2
D．8
39．如图，点E，F，G，H 分别是四边形ABCD的边
,
,
,
AB BC CD DA的中点，则下列说法中正确的个数是
（
）
①若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH 为矩形；
②四边形EFGH 为平行四边形；
③若四边形EFGH 是菱形，则四边形ABCD是菱形；
④若四边形中AC 与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH 是正方形．
A．1
B．2
C．3
D．4
40．如图，正方形ABCD的边长为2 ，点E 是AB 的中点，点P 是AC 上的动点，则PE
PB
的最小值为
（
）
A．
5
B．2
C．4
D．2 5
41．在
ABCD
□
中，对角线AC
BD
、
相交于点O，E 是近AB 上的一个动点（不与A、B 重合）连接EO并
延长，交CD 于点F，连接AF
CE
，
，下列四个结论中：
甲：对于动点E，四边形AECF 始终是平行四边形；
乙：若
90
ABC
，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是矩形；
13
丙：若AB
AD
，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是菱形；
丁：若AB
AD
，
45
BAC
，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是正方形．以上所有正确说法的
序号是（
）
A．甲、丙、丁正确，乙错误
B．甲、乙、丙、丁都正确
C．甲、乙、丙正确，丁错误
D．甲、乙、丙错误，丁正确
42．七巧板是一种开发智力的玩具，为提高学生的感知能力，老师投影演示如下：在正方形纸板ABCD中，
BD为对角线，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AP
EF
分别交BD，EF 于O，P 两点，M ，N 分别为
BO，DO 的中点，连接MP ，NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．通过观察演示过程，
甲同学得出：图中的三角形都是等腰直角三角形；
乙同学得出：四边形MPEB 是菱形；
丙同学得出：四边形PFDM 的面积占正方形ABCD面积的1
4 ．
则正确的是（
）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
43．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF 的两边OE ，OF 分别变正方形
的边AB ，BC 于点M ，N ．记AOM
的面积为
1S ，CON
的面积为
2S ，若正方形的边长
10
AB
，
1
16
S
则
2S 的大小为
．
14
44．伸缩枪是孩子们喜欢的玩具，它巧妙运用了平行四边形的不稳定性．如图1 它由几个相同的菱形连续
组成．如图2 是对它抽象简化图，点A 是位于枪口内EF 垂直平分线的拉伸控制点．已知枪口宽
4cm
EF
，
菱形边长
5cm
AB
，当
90
DAB
时，AH
cm ；如图3 当点A 被向枪管更内侧拉至点A，且
60
D A B
时，点A 移动的长度AA
．
45．如图①，在正方形ABCD中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC
x
，
PE
PB
y
，图②是y 关于x 的函数图象，且图象上最低点Q 的纵坐标为3 5 ，则正方形ABCD的边长
为
．
46．如图正方形ABCD中，
12
AB
，点E 在CD 上，且
3
CD
DE
，将
ADE
沿AE 对折至
AFE
△
，延长EF
交BC 于点G，连接AG
CF
、
，则BG
．
15
47．如图，在ABC
中，CD
AB
于点D，
20
AC
，
12
CD
，
9
BD
，CE 是
ACB
的角平分线
(1)求证：ABC
是直角三角形；
(2)求点D 到AC 、BC 的距离之和
(3)求线段CE 的长．
48．已知：BD 是ABC
的角平分线，点E 在AB 边上，BE
BC
＝
，过点E 作EF
AC
∥
，交BD于点F ，连
接CF
DE
，
．
(1)如图1，求证：四边形CDEF 是菱形；
(2)如图2，当
90
DEF
AC
BC
，
时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中度数为
ABD
的度数2 倍的角．
49．如图，在ABC
中，O 是AC 上的任意一点（不与点A、C 重合），过点O 平行于BC 的直线l 分别与
BCA
、ABC
的外角
DCA
的平分线交于点E、F．
(1)OE 与OF 相等吗？证明你的结论；
(2)试确定点O 的位置，使四边形AECF 是矩形，并加以证明；
(3)在（2）的条件下，ABC
满足什么条件，四边形AECF 是正方形？证明你的结论．
50．【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O 又是正方形
1
1
1
A B C O 的一个顶点，交AB
于点E，交BC 于点F，则AE 与BF 的数量关系为______；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n 经过正方形ABCD的对称中心O，直线m 分别
与AD
BC
、
交于点E、F，直线n 分别与
、
AB
CD 交于点G、H，且，若正方形ABCD边长为8，求四边形
16
OEAG 的面积；
【问题三】在图②中，连接E、G、F、H 四点，请证明四边形EGFH 是正方形．
51．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC边上一点，
90
AEF
，且EF 交正方形外角的平分线CF
于点F ．求证AE
EF
．（提示：在AB 上取点G ，使BG
BE
，连接EG ．）
(1)请你思考题中“提示”，并进行证明；
(2)如图1，连接BD
AF
、
交于P ，判断AP 与FP 的数量关系，并证明你的结论；
(3)若正方形ABCD的边长为4，AE 交BD于Q ，直接写出PQ的最小值：．
52．如图1，点E 为正方形ABCD内一点，
2
AE
，
4
BE
，
90
AEB
，将直角三角形ABE 绕点A 逆
时针方向旋转度（0
180
）点B、E 的对应点分别为点B、E．
【感知】如图2，在旋转的过程中，点B落在了AC 上，求此时CB的长；
【探究】若
90
，如图3，得到
ADE
△
（此时B与D 重合），延长BE 交DE于点F，试判断四边形
AEFE的形状，并说明理由；
【应用】在直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE长度的取值范围．
