文档文本内容
第03 讲用公式法求解一元二次方程
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求一元二次方程中判别式的值
题型2 利用用公式法还原一元二次方程
题型3 用公式法求解一元二次方程
题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题
题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型6 根据一元二方程根的情况求参数
题型7 一元二方程中参数与其他综合问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
公式法、求根公式、判
别式、根的个数、通法。
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，体会配方法的应用。
2. 掌握根的判别式∆= b2 - 4ac 的作用，能判别方程根的情况。
3. 能熟练运用公式法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。
4. 体会从一般到特殊的思想，感受数学公式的简洁美与通用性。
学习重点：求根公式
−�± �2−4��
2�
的运用，以及用判别式判断根的情况。
学习难点：求根公式的推导过程（配方法变形），以及当∆< 0 时对“方程无实数根”的理解。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程
，当
时，
.
2.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x 的一元二次方程
的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c 的值（要注意符号）；③求出
的值；
④若
，则利用公式
求出原方程的解；若
，则原方程无实根.
【易错提醒】
先化为一般式ax2+bx+c=0，准确确定a,b,c 及符号。计算判别式∆=b2-4ac 时，注意公式为x=
−�± ∆
2�，a 在分
母勿漏。
即时即练1．解方程：
2
3
8
3
0
x
x
．
【答案】
1
4
7
3
x
，
2
4
7
3
x
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解答本题的关键．
根据公式法计算即可．
【详解】解：∵
3
a
，
8
b ，
3
c ，
∴
2
( 8)
4 3 3
28
，
8
28
4
7
2 3
3
x
，
1
4
7
3
x
，
2
4
7
3
x
．
2．解方程：
2
2
3
9
0
x
x
．
【答案】
1
3
2
x
，
2
3
x
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
2
2
3
9
0
x
x
．
∴
2,
3,
9
a
b
c
，
2
4
9
72
81
0
b
ac
∴
2
4
3
9
2
4
b
b
ac
x
a
解得
1
3
2
x
，
2
3
x
．
知识点02
一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
中，
ac
b
4
2
叫做一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
的根的判
别式，通常用“ ”来表示，即
ac
b
4
2
；
（1）当△>0 时，一元二次方程有2 个不相等的实数根；
（2）当△=0 时，一元二次方程有2 个相等的实数根；
（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.
要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定
c
b
a
.
,
的值；③计算
ac
b
4
2
的值；④根据
ac
b
4
2
的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程
0
0
2
a
c
bx
ax
中，
（1）方程有两个不相等的实数根
ac
b
4
2
﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根
ac
b
4
2
=0；
（3）方程没有实数根
ac
b
4
2
﹤0.
要点：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0 这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则
ac
b
4
2
≥0.
【易错提醒】
使用前提是方程为一元二次方程（即a ≠0）。∆=b2-4ac。∆> 0 时有两个不等实根；∆= 0 时有两个相等实根；
∆<0 时无实数根。
即时即练1．一元二次方程
2
6
0
x
x
根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根的判别式判断
一元二次方程的根的情况即可．
【详解】解：对于方程
2
6
0
x
x
，
判别式
2
2
4
1
4 1
6
25
0
b
ac
，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
5
0
x
m
x
m
有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根．
【答案】(1)
3
m
(2) 2
【分析】本题考查了一元二次方方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解
此题的关键．
（1）由题意可得
2
2
Δ
2
1
4 1
5
0
m
m
，计算即可得解；
（2）把
2
x
代入方程可得
2
2
2
2
1
2
5
0
m
m
，求出
1
m ，此时一元二次方程化为
2
4
0
x
，解
方程即可得解．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
5
0
x
m
x
m
有两个不相等的实数根，
∴
2
2
Δ
2
1
4 1
5
8
24
0
m
m
m
，
解得：
3
m
（2）解：把
2
x
代入方程可得
2
2
2
2
1
2
5
0
m
m
，
解得：
1
m 或
3
m
，
∵
3
m
，
∴
1
m ，
此时一元二次方程化为
2
4
0
x
，
解方程得
1
2
x
，
2
2
x ，
∴方程的另一个根为2
．
题型1 求一元二次方程中判别式的值
【例1】一元二次方程方程
2
3
1
0
x
x
的根的判别式的值为
．
【答案】13
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据一元二次方程根判别式的定义式可得答案．
【详解】解：
2
2
Δ
4
1
4 3
1
13
b
ac
，
故答案为：13．
【例2】一元二次方程
2
2
5
1
0
x
x
的根的判别式的值是
．
【答案】17
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义求解即可，熟
知对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
根的判别式
2
4
b
ac
是解题的关键．
【详解】解：
2
5
4 2 1 17
，
故答案为：17 ．
【技巧归纳】
1. 化标准式：整理为ax2+bx+c=0，确定a,b,c。
2. 代公式：计算∆= b2-4ac，注意符号与括号。
3. 化最简：结果保留根号或小数，无需开方判断。
【变式1-1】关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
m
的根的判别式的值为24，则m
．
【答案】1
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
的根的判别式为
2
4
b
ac
是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
2
4
0
x
x
m
的根的判别式的值为24，
∴
2
2
4
4
4
2
24
b
ac
m
，
解得：
1
m ．
故答案为：1
．
【变式3】若关于x 的一元二次方程
2
2
1
2
0
2 x
m
x
m
，其根的判别式的值为8，则m 的值是
．
【答案】2
【分析】利用根的判别式的定义得到
2
2
1
(
2)
4
8
2
m
m
，然后解关于m 的方程即可．本题考查了根的判
别式：一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
的根的判别式为
2
4
b
ac
．
【详解】解：根据题意得
2
2
1
(
2)
4
8
2
m
m
，
整理得
2
4
4
0
m
m
，
解得
1
2
2
m
m
，
即m 的值为2
．
故答案为：2
．
题型2 利用用公式法还原一元二次方程
【例3】在用求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a ，b ，c 得到
2
3
3
4
2
( 1)
2
2
x
，则她求解的一元二次方程是（）
A．
2
2
3
1
0
x
x
B．
2
2
4
1
0
x
x
C．
2
3
2
0
x
x
D．
2
3
2
0
x
x
【答案】A
【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．
根据求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
，可找出a ，b ，c 的值，从而可求解．
【详解】解：由题意得，
2
a
，
3
b ，
1
c ，
∴该一元二次方程为
2
2
3
1
0
x
x
，
故选：A．
【例4】用公式法解一元二次方程的根为
2
4
4 3
1
2 3
x
，该方程为（
）
A．
2
3
2
1
0
x
x
B．
2
2
4
1
0
x
x
C．
2
2
3
0
x
x
D．
2
3
2
1
0
x
x
-
- =
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
中字母所表示
的意义．根据求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
解答即可．
【详解】解：由
2
4
4 3
1
2 3
x
知：
3
a
，
2
b ，
1
c ．
所以该一元二次方程为：
2
3
2
1
0
x
x
-
- =
．
故选：D．
【技巧归纳】
1. 反用求根公式：已知根x=
−�± ∆
2�，可设a=1，由和x1+x2=-b，积x1x2=c 还原方程。
2. 注意整数化：将系数化为整数，避免分母。
【变式1-1】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到
2
5
5
4 2
1
2 2
x
，则该一元二次方程
可能为（
）
A．
2
2
5
1
0
x
x
B．
2
2
5
1
0
x
x
C．
2
2
5
1
0
x
x
D．
2
5
2
1
0
x
x
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
，对比已知
式子确定a，b，c 的值．
通过求根公式
2
5
( 5)
4
2
( 1)
2
2
x
，分析出a，b，c ．
【详解】一元二次方程求根公式为
2
4
2
b
b
ac
x
a
，已知
2
5
( 5)
4
2
( 1)
2
2
x
，
由2
2 2
a
，可得
2
a
，
由
5
b
，可得
5
b ，
由4
4
2
( 1)
ac
，可得
1
c ，
将
2
5
1
a
b
c
，
，
代入一元二次方程
2
0
ax
bx
c
，
得到
2
2
5
1
0
x
x
，对应选项B．
故选：B．
【变式3】在用求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a
b
c
、、，得到
2
3
4 2 ( 1)
2
( 3)
2
x
，则她求解的一元二次方程是（）
A．
2
2
3
1
0
x
x
B．
2
2
3
1
0
x
x
C．
2
2
3
1
0
x
x
D．
2
3
2
1
0
x
x
-
- =
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字
母所表示的意义．
根据求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
，可找出a，b，c 的值，从而可求解．
【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为
2
3
4 2 ( 1)
2
( 3)
2
x
，
∴
2
3
1
a
b
c
，
，
，
∴该一元二次方程为
2
2
3
1
0
x
x
，
故选：B．
题型3 用公式法求解一元二次方程
【例5】解方程：
2
3
10
6
0
x
x
【答案】
1
2
5
7
5
7
3
3
x
x
，
【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．先求出
2
4
b
ac
的值，再代入求根公式求出答案即可．
【详解】解：∵
2
3
10
6
0
x
x
，
∴
3
10
6
a
b
c
，
，
，
∴
2
2
Δ=
4
=
10
3 4 6=28
0
b
ac
，
∴
2
4
10
28
5
7
2
6
3
b
b
ac
x
a
，
∴
1
2
5
7
5
7
3
3
x
x
，
．
【例6】解方程：
2
2
6
5
0
x
x
．
【答案】
1
2
3
19
3
19
,
2
2
x
x
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：∵
2,
6,
5
a
b
c
，
Δ
36
4
2
5
76
0
∴
6
2 19
2
2
x
解得：
1
2
3
19
3
19
,
2
2
x
x
．
【技巧归纳】
1. 化为一般式：ax2+bx+c=0（a≠0）。
2. 计算判别式：∆=b2-4ac。
3. 代入求根公式：x=
−�± ∆
2�，∆<0 时无实数根。
【变式1-1】解方程：
2
1
2
2
2
0
2 x
x
．
【答案】
1
2
2
4 2
2
x
，
2
2
2
4 2
2
x
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先将方程化简，得到
1
a ，
4
2 2
b
，
8
c
，再利用公式
法进行求解即可．
【详解】解：
2
1
2
2
2
0
2 x
x
，
方程化为：
2
4
2 2
8
0
x
x
，
1
a
，
4
2 2
b
，
8
c
，
2
2
Δ
4
4
2 2
4 1 8
16 2
8
0
b
ac
，
2
4
4
2 2
16 2
8
2
2
b
b
ac
x
a
，
1
2
2
4 2
2
x
，
2
2
2
4 2
2
x
．
【变式3】解方程
(1)
2
2
5
2
0
x
x
(2)
2
2 2
3
0
x
x
【答案】(1)
1
2
1
2
2
x
x
，
(2)
1
2
2
5
2
5
x
x
，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
2
2
5
2
0
x
x
∴
2
5
2
a
b
c
，
，
，
∴
2
2
Δ
4
5
4
2
2
9
0
b
ac
，
∴
2
4
5
9
5
3
2
4
4
b
b
ac
x
a
，
解得
1
2
1
2
2
x
x
，
；
（2）解：∵
2
2 2
3
0
x
x
，
∴∴
1
2 2
3
a
b
c
，
，
，
∴
2
2
Δ
4
2 2
4 1
3
20
0
b
ac
，
∴
2
2 2
20
4
2 2
2 5
2
2
2
b
b
ac
x
a
，
解得
1
2
2
5
2
5
x
x
，
．
题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题
【例7】嘉嘉同学解一元二次方程
2
2
1
0
x
x
的过程如下．
解：
2
2
1
0
x
x
，①
2
a
，
1
b ，
1
c ，②
2
2
4
2
4
0
b
ac
，③
方程有两个相等的实数根
1
2
1
2
4
b
x
x
a
④
(1)嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误．
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
【答案】(1)公式法，②
(2)步骤见解析，
1
1
x ，
2
1
2
x
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的解题步骤是解决本题的关键．
（1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为表示系数时错误，从第②步开始出现错误；
（2）利用公式法，先求出
9
0
，再求出方程的根即可．
【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，求解过程中
2
a
，
1
b ，
1
c ，他的表示系数时错误，
所以，从第②步开始出现错误，
故答案为：公式法，②；
（2）解：
2
2
1
0
x
x
，
2
a
，
1
b ，
1
c ，
2
2
Δ
4
1
4
2
1
9
b
ac
，
( 1)
9
1
3
2
2
4
x
，
1
1
x
，
2
1
2
x
．
【例8】阅读材料，并回答问题：
嘉淇在学习一元二次方程时，解方程
2
2
3
x
x
的过程如下：
解：∵
2
a
，
1
b ，
3
c
①
∴
2
2
Δ
4
1
4
2 3
b
ac
②
1 24
25
0
③
∴此方程无解．
问题：
(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；
(2)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)①；
(2)过程见解析，
1
3
2
x
，
2
1
x ．
【分析】（1）先把一元二次方程应化为一般形式，然后即可判断；
（2 ）根据公式法解一元二次方程即可；
本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤．
【详解】（1）解：由题意可得，一元二次方程应化为一般形式，
∴从①步开始出现了错误，
故答案为：①；
（2）解：
2
2
3
x
x
2
2
3
0
x
x
∵
2
a
，
1
b ，
3
c ，
∴
2
2
Δ
4
1
4
2
3
25
0
b
ac
，
∴
1
25
1
5
2
2
4
x
，
∴
1
3
2
x
，
2
1
x ．
【技巧归纳】
1. 定位错误：检查a,b,c 符号与计算∆过程，找符号、括号或运算错误。
2. 对照正解：用正确公式重算，对比差异点。
3. 整理步骤：规范书写，避免跳步，复查分母2a 及平方根处理。
【变式1-1】小明在解方程
2
5
3
x
x
的过程中出现了错误，其解答如下：
解：
1
a
，
5
b ，
3
c ，第一步
2
2
4
5
4 1
3
37
b
ac
，第二步
5
37
2
x
，第三步
1
5
37
2
x
，
2
5
37
2
x
．第四步
(1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
【答案】(1)一；
(2)正确的解答见解析．
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的
关键．
（1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c 的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；
（2）方程化为一般式得到
1
a ，
5
b ，
3
c ，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的，
故答案为：一；
（2）解：方程化为一般式为
2
5
3
0
x
x
，
1
a ，
5
b ，
3
c
，
2
2
4
5
4 1 3
13
b
ac
，
5
13
2
x
，
1
5
13
2
x
，
2
5
13
2
x
．
【变式3】发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程
2
7
10
0
x
x
的两个根，求等腰三角形ABC
三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原
因．
涵涵的作业：
解：
2
7
10
0
x
x
．
1
a ，
7
b ，
10
c
．
2
4
9
0
b
ac
，
①
2
4
7
3
2
2
b
b
ac
x
a
．
②
1
5
x
，
2
2
x
．
③
所以，当腰为5，底为2 时，等腰三角形的三条边为5，5，2．
④
当腰为2，底为5 时，等腰三角形的三条边为2，2，5．
⑤
(1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号）．
(2)探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC 的一腰和底边的长是关于x 的方程
2
1
0
2
4
m
x
mx
的两个实数根．
①
2
m
时，求
ABC
的周长；
②当
ABC
为等边三角形时，求m 的值．
【答案】(1)⑤
(2)当
ABC
为等边三角形时，m 的值为1．
【分析】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边
关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系判断；
（2）①把m 的值代入方程，解方程得到
1
1
2
x
，
2
3
2
x
，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算；
②根据一元二次方程根的判别式计算．
【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5 不能构成三角形，
故答案为：⑤；
（2）解：①当
2
m
时，方程为
2
3
2
0
4
x
x
，
1
1
2
x
，
2
3
2
x
，
当
1
2 为腰时，1
1
3
2
2
2
，
1
2 、1
2 、3
2 不能构成三角形；
当3
2 为腰时，等腰三角形的三边为3
2 、3
2 、
1
2 ，
此时
ABC
的周长为3
3
1
7
2
2
2
2
，
答：当
2
m
时，
ABC
的周长为7
2 ；
②若
ABC
为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
2
2
1
Δ
4
2
1
0
2
4
m
m
m
m
，
1
2
1
m
m
，
答：当
ABC
为等边三角形时，m 的值为1．
题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况
【例9】关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
x
x
的根的情况是（
）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，若
2
4
0
b
ac
，则方程有两个不相等的实数根，若
2
4
0
b
ac
，则方程有两个相等的实数根，若
2
4
0
b
ac
，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，
2
2
4 1
3
16
0
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【例10】若
2
x
是方程
2
3
0
x
x
m
的一个根，则此方程的根的情况是（
）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．
0
m
时，没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，先把
2
x
代入方程求出m 的值，
再求出的值即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵
2
x
是方程
2
3
0
x
x
m
的一个根，
∴4
6
0
m
，
∴
2
m
，
∴方程为
2
3
2
0
x
x
，
∵
2
3
4 1 2
1
0
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C ．
【技巧归纳】
1. 化标准式：ax2+bx+c=0（a≠0），计算∆=b2-4ac。
2. 判断：∆>0 两不等实根；∆=0 两相等实根；∆<0 无实根。
【变式1-1】关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
的根的情况是（
）
A．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，根据
0
得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先求
出的值，再进行判断即可．
【详解】解：
2
1
0
x
mx
，
2
2
4 1
1
4
m
m
，
2
0
m
，
2
4
0
m
，即
0
，
关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
有两个不相等的实数根，
故选：B．
【变式3】若
0
k
，关于x 的一元二次方程
2
1
0
kx
x
的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是
解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式进行判断．当
0
时，方程有两个不相等的实数根；当
0
时，有两个相
等的实数根；当
0
时，无实数根．
【详解】解：∵方程
2
1
0
kx
x
中，a
k
，
1
b ，
1
c ．
∴
2
2
Δ
4
1
4
1
1
4
b
ac
k
k
．
∵
0
k
，
∴4
0
k
，
∴
Δ
1
4
1
k
，
即
0
．
故方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
题型6 根据一元二方程根的情况求参数
【例11】已知关于x 的一元二次方程
2
2
1
0
mx
mx
的两个实数根相等，则m
．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的
2
2
1
0
mx
mx
的两个实数根相等，然后计算根据
0
，解出m 的值即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
2
1
0
mx
mx
的两个实数根相等，
∴
2
2
2
4
1
4
4
0
m
m
m
m
，且
0
m
，
解得
1
m ，
故答案为：1
．
【例12】若关于x 的方程
2
3
2
x
x
c
无解，那么实数c 的取值范围是
．
【答案】
17
4
c
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，若
2
4
0
b
ac
，则方程有两个不相等的实数根，若
2
4
0
b
ac
，则方程有两个相等的实数根，若
2
4
0
b
ac
，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解；∵关于x 的方程
2
3
2
x
x
c
无解，
∴关于x 的方程
2
3
2
0
x
x
c
无解，
∴
2
3
4
2
0
c
，
∴
17
4
c
，
故答案为：
17
4
c
．
【技巧归纳】
1. 化标准式：整理为ax2+bx+c=0，注意二次项系数含参数时不等于0。
2. 列不等式：根据根的情况（两不等、两等、无实数根）列∆> 0、=0、< 0。
3. 解参数范围：解不等式或方程，注意二次项系数不为零。
【变式1-1】若关于x 的一元二次方程
2
2
4
1
0
x
x
a
有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是
．
【答案】
3
a
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据
2
4
0
b
ac
列出不等式解答即可求解，掌握一元二
次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
2
4
4
2
1
0
a
，
解得
3
a
，
故答案为：
3
a
．
【变式3】已知关于x 的一元二次方程
2
2
3
1
0
ax
a
x
a
有实数根，则实数a 的取值范围是
【答案】
9
8
a
且
0
a
【分析】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程的定义以及根
的判别式是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可求出答案．
【详解】解：关于x 的一元二次方程
2
2
3
1
0
ax
a
x
a
有实数根，
∴
2
2
3
4
1
0
a
a a
解得：
9
8
a
，
又
0
a
，
则a 的取值范围是
9
8
a
且
0
a
，
故答案为：
9
8
a
且
0
a
．
题型7 一元二方程中参数与其他综合问题
【例13】已知关于x 的方程
2
(
1)
2(
1)
0
x
m
x
m
．
(1)求证：无论m 取何值，该方程总有实数根；
(2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．
【答案】(1)见解析
(2)
1
m 时，方程的两根为
1
2
x
，
2
2
x
【分析】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，熟记求根公式为
2
4
2
b
b
ac
x
a
是解题的关键．
（1）先求出判别式的值，再根据的意义证明即可；
（2）根据求根公式得出
1
2
x
，
2
1
x
m
，即可求出m 的值和方程的根．
【详解】（1）证明：
2
Δ
1
4 1
2
1
m
m
2
2
6
9
3
m
m
m
，
无论m 取任何数，
2
3
0
m
，即
0
，
无论m 取何值，该方程总有实数根；
（2）解：
2
Δ
3
m
，由求根公式得：
2
1
1
3
1
2 1
m
m
x
m
，
2
2
1
3
2
2 1
m
m
x
，
方程的两个根都是整数，
取
1
m 时，方程的两根为
1
2
x
，
2
2
x ．
【例14】已知平行四边形ABCD 的两边AB
AD
、
的长是关于x 的一元二次方程
2
8
0
x
x
m
的两个实数根．
(1)若AB 的长为6，求m 的值；
(2)m 为何值时，平行四边形ABCD 是菱形？求出此时菱形的边长．
【答案】(1)12
(2)
16
m
，平行四边形ABCD 是菱形，菱形的边长是4
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的
判定与性质是解题的关键．
（1）将
6
x
代入原方程可求出m 的值；
（2）根据菱形的性质可得出AB
AD
，结合根的判别式，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出
m 的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长．
【详解】（1）解：
AB
AD
、
的长是关于x 的一元二次方程
2
8
0
x
x
m
的两个实数根，AB 的长为6，
把
6
x
代入
2
8
0
x
x
m
，
得：
2
6
8
6
0
m
，
解得：
12
m
；
（2）解：平行四边形ABCD 是菱形，
AB
AD
，
方程
2
8
0
x
x
m
有两个相等的实数根，
2
Δ
( 8)
4
0
m
，
16
m
，
此时方程为
2
8
16
0
x
x
，
1
2
4
x
x
，
4
AB
AD
，即菱形的边长为4；
答：
16
m
，平行四边形ABCD 是菱形，菱形的边长是4．
【技巧归纳】
1. 先判△：保证方程有实根（含参数时列∆≥0）。
2. 韦达定理：x1+x2、x1x2 代入条件（如x12+x22、
1
�1+
1
�2）列方程。
3. 验取舍：检验参数是否满足∆≥0 及分母不为0。
【变式1-1】已知关于x 的一元二次方程
2
)
2
0
a
c x
bx
a
c
（
，其中a ，b ，c 分别为
ABC
的三边长．
(1)如果方程的一个根为1
，试判断
ABC
的形状，并说明理由．
(2)如果
ABC
是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
(3)如果方程有两个相等的实数根，试判断
ABC
的形状，并说明理由．
【答案】(1)
ABC
是等腰三角形，理由见解析
(2)
1
0
x
，
2
1
x
(3)
ABC
为直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题意将方程的根代入即可求出a ，b 二者关系，从而判断
ABC
的形状．
（2）利用等边三角形的性质可知a ，b ，c 三者相等，将其代入一元二次方程中即可求出关于x 的一元二
次方程，求出x 的值即可．
（3）根据题意即可知道
0
，从而求出a ，b ，c 三者关系，利用勾股定理逆定理即可判断
ABC
的形状．
【详解】（1）解：
ABC
是等腰三角形，理由如下：
将方程的一个根
1
x 代入原方程得：
2
0
a
c
b
a
c
，
a
b
．
a ，b 是
ABC
的两边，
ABC
是等腰三角形．
（2）解：
ABC
是等边三角形，
a
b
c
，
2
2
2
2
2
0
a
c x
bx
a
c
ax
ax
，
0
a
，
2
2
2
0
x
x
，
1
0
x x
，
1
0
x
，
2
1
x ．
这个一元二次方程的根为：
1
0
x
，
2
1
x ．
故答案为：
1
0
x
，
2
1
x ．
（3）解：
ABC
为直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
2
Δ
2
4
0
b
a
c
a
c
，
2
2
2
0
b
a
c
，
2
2
2
b
c
a
．
ABC
为直角三角形．
【变式3】已知关于x 的一元二次方程
2
2
(2
1)
0
x
k
x
k
k
．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若
ABC
的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，
①若
3
k
时，请判断
ABC
的形状并说明理由；
②若
ABC
是等腰三角形，求等腰三角形的周长．
【答案】(1)见解析；
(2)①
ABC
是直角三角形，见解析；②14或16．
【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记
相关结论是解题关键.
（1）对于一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
，若
2
4
0
b
ac
，则方程有两个不相等的实数根；若
2
4
0
b
ac
，则方程有两个相等的实数根；若
2
4
0
b
ac
，则方程没有实数根．据此即可求解．
（2）①
3
k
时，方程为
2
7
12
0
x
x
，解得
1
3
x
，2
4
x
，即可判断；②根据
1
0
，得出AB
AC
，
AB 、AC 中有一个数为5，可求得
1
4
k
，
2
5
k
，分类讨论即可求解；
【详解】（1）证明：∵
2
2
(2
1)
4
k
k
k
1
0
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：①
3
k
时，方程为
2
7
12
0
x
x
；
解得
1
3
x
，
2
4
x
∴
3
AB ，
4
AC
，
∵
5
BC
，；
∴
2
2
2
AB
AC
BC
∴
ABC
是直角三角形；
②∵
1
0
，
∴AB
AC
，
∴AB 、AC 中有一个数为5，
当
5
x
时，原方程为
2
25
5(2
1)
0
k
k
k
，
即
2
9
20
0
k
k
，
解得
1
4
k
，
2
5
k
，
当
4
k
时，原方程为
2
9
20
0
x
x
，解得
1
4
x
，
2
5
x
，
等腰三角形的周长为14；
当
5
k
时，原方程为
2
11
30
0
x
x
，解得
1
5
x ，
2
6
x
，
等腰三角形的周长为16．
一、单选题
1．关于x 的一元二次方程
2
2
5
3
0
x
x
，判别式的值为（
）
A．1
B．1
C．2
D．2
【答案】B
【分析】先确定一元二次方程的各项系数，再代入判别式公式计算即可得到结果．
【详解】解：对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，其判别式为
2
4
b
ac
，
∵方程
2
2
5
3
0
x
x
中
2
a
，
5
b ，
3
c
，
∴
2
Δ
( 5)
4 2 3
25
24
1
，即判别式的值为1．
2．下列一元二次方程的根可以根据
2
3
3
4
2 1
2
2
x
计算得出的是（
）
A．
2
2
3
1
0
x
x
B．
2
2
3
1
0
x
x
C．
2
3
2
0
x
x
D．
2
2
3
0
x
x
【答案】A
【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可．
【详解】解：根据求根公式可得
2
2
4
3
3
4
2 1
2
2
2
b
b
ac
x
a
，
可得
2,
3,
1
a
b
c
，
所以对应的一元二次方程为
2
2
3
1
0
x
x
．
3．方程
2
3
6
x
x
的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式与0 的大小关系即可
判断根的情况．
【详解】将原方程整理为一般形式，得
2
3
6
0
x
x
，
∴根的判别式
2
2
Δ
4
(
3)
4 1 (
6)
33
0
b
ac
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
4．若关于x 的一元二次方程
2
3
1
0
ax
x
无实数根，则a 的值可以是（
）
A．
3
B．0
C．2
D．3
【答案】D
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
3
1
0
ax
x
无实数根，
∴
2
Δ
3
4
1
0
a
解得
9
4
a
，
故D 符合题意．
5．已知一元二次方程
2
2
2
1
0
m
x
x
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（
）
A．
3
m
B．
3
m
且
2
m
C．
3
m
且
2
m
D．
3
m
【答案】C
【分析】一元二次方程有两个不等的实数根则
0
，并且二次项系数不可以为0．
【详解】解：
2
0
m
且
0
，
即
2
2
0
2
4
2
0
m
m
-
-
-
-
>
，
解得，
3
m
且
2
m
．
二、填空题
6．一元二次方程
2
2
1
0
x
x
的根的判别式的值是______．
【答案】8
【分析】根据一元二次方程根的判别式
2
4
b
ac
，代入方程系数计算即可得到结果．
【详解】解：一元二次方程
2
2
1
0
x
x
中的
1
a ，
2
b
，
1
c ．
则这个方程根的判别式的值是
2
2
4
1
1
4
4
8
．
7．一元二次方程
2
2
3
1
x
x
的根为______．
【答案】
1
3
17
4
x
，
2
3
17
4
x
【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，计算根的判别式
2
Δ
4
b
ac
，再利用求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
求解即可．
【详解】解：
2
2
3
1
x
x
移项，得
2
2
3
1
0
x
x
根的判别式
2
Δ
3
4
2
1
9
8
17
0
∴
3
17
3
17
2
2
4
x
即
1
3
17
4
x
，
2
3
17
4
x
．
8．已知方程
2
4
5
0
x
mx
根的判别式的值为124，则m ______．
【答案】
26
2
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式公式是解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式公式，代入系数得到关于m 的方程，然后求解即可．
【详解】解：由方程
2
4
5
0
x
mx
可知，
1
a ，
4
b
m
，
5
c ，
则根的判别式
2
2
2
Δ
4
4
4 1
5
16
20
b
ac
m
m
，
Δ
124
，
2
16
20
124
m
，解得
2
104
13
16
2
m
，
则
13
26
2
2
m
．
故答案为：
26
2
．
9．若关于x 的一元二次方程
2
4
3
0
x
x
m
有两个相等的实数根，则m 的取值是_____．
【答案】4
3
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2
4
3
0
x
x
m
有两个相等的实数根，
∴
2
2
4
( 4)
4 1 3
0
b
ac
m
，
整理得16 12
0
m
，
解得
4
3
m
．
10．若关于x 的一元二次方程
2
2
2
3
0
k
x
x
有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．
【答案】
5
3
k
且
2
k
【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0
求解即可．
【详解】解：∵原方程是关于x 的一元二次方程，
∴二次项系数不为0 ，
即
2
0
k
，
解得
2
k
．
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式
0
，
即
2
Δ
2
4
2
3
0
k
，
解得
5
3
k
，
综上，k 的取值范围是
5
3
k
且
2
k
．
三、解答题
11．用公式法解下列方程：
(1)
2
3
4
1
0
2 x
x
；
(2)
2
6
4
3
x
x
；
(3)
2
3
6
1
0
x
x
．
【答案】(1)
1
4
22
3
x
，
2
4
22
3
x
(2)
1
3
105
12
x
，
2
3
105
12
x
(3)
1
2
2
2
1
3,
1
3
3
3
x
x
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可；
（3）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
3 ,
4,
1
2
a
b
c
Q
，
2
2
3
4
4
4
( 1)
22
0
2
b
ac
，
代入求根公式，得
4
22
4
22
3
3
2
2
x
，
1
4
22
3
x
，
2
4
22
3
x
；
（2）将方程化为一般形式，得
2
6
3
4
0
x
x
，
6,
3,
4
a
b
c
，
2
2
4
( 3)
4 6 ( 4)
105
0
b
ac
，
代入求根公式，得
3
105
3
105
2 6
12
x
，
1
3
105
12
x
，
2
3
105
12
x
；
（3）
3,
6,
1
a
b
c
，
2
2
4
6
4 3 ( 1)
48
0
b
ac
，
代入求根公式，得：
6
48
3
2 3
2 3
3
x
，
1
2
2
2
1
3,
1
3
3
3
x
x
．
12．小明在解方程
2
x
4x
2
时出现了错误，解答过程如下：
1,
4,
2
a
b
c
（第一步）
2
2
4
4
4 1
2
24
b
ac
（第二步）
4
24
2
x
（第三步）
1
2
2
6,
2
6
x
x
（第四步）
(1)小明解答过程开始出错的是_______；
(2)写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)第三步
(2)见解析
【分析】（1）将方程化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行判断即可；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：小明的解答是从第三步开始出错的；
（2）解：方程化为一般式为
2
4
2
0
x
x
，
1,
4,
2
a
b
c
，
2
2
4
4
4 1
2
24
b
ac
，
4
24
4
2 6
2
2
x
，
1
2
2
6,
2
6
x
x
．
13．m 为实数，关于x 的方程为
2
2
1
x
m
x
m
．
(1)判断方程根的情况．
(2)若方程的两根为
1
x ，
2x ，当
1
2
2
3
x
x
时，求m 的值．
【答案】(1)原方程总有两个实数根
(2) 2 或1
【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断；
（2）求出一元二次方程的两个根，根据条件
1
2
2
3
x
x
列式即可求解．
【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为
2
2
1
0
x
m
x
m
．
2
(
2)
4 1 (1
)
m
m
2
4
4
4
4
m
m
m
2
m
．
无论m 为何实数，
2
m 都是非负数．即
0
．
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：由（1），原方程的根
2
2
m
m
x
．
1
x
或
1
x
m
．
若
2 1
1
3
m
，则2 1
3
m
，
2
m
．
若
2 1
1 3
m
，则2
2
1
3
m
，
1
m
．
综上，m 的值为2 或1
．
14．已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
a
c x
bx
a
c
．其中a、b、c 分别为
ABC
边的长．
(1)如果
1
x 是方程的根，试判断
ABC
的形状，并说明理由．
(2)如果方程有两个相等的实数根．试判断
ABC
的形状，并说明理由．
【答案】(1)
ABC
是等腰三角形，理由见解析
(2)
ABC
是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）把
1
x 代入一元二次方程
2
2
0
a
c x
bx
a
c
，得出a
b
，即可得出三角形的形状；
（2）根据方程有两个相等的实数根，得出
2
4
4
0
b
a
c
a
c
，即可得出
2
2
2
b
c
a
，说明三角形为直
角三角形．
【详解】（1）解：∵
1
x 是一元二次方程
2
2
0
a
c x
bx
a
c
的根，
∴
2
0
a
c
b
a
c
，
∴a
b
，
∴
ABC
为等腰三角形．
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴
2
4
4
0
b
a
c
a
c
，
∴
2
2
2
b
c
a
，
∴
ABC
为直角三角形．
15．定义：若一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
满足b
a
c
，则称该方程为“和谐方程”．
(1)下列方程属于“和谐方程”的是；（填序号）
①
2
3
4
1
0
x
x
；②
2
2
1
0
x
x
；③
2
2
2
0
x
x
(2)求证：和谐方程总有实数根；
(3)已知一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c 的数量关
系．
【答案】(1)①③
(2)见解析
(3)a
c
【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可；
（2）求出
2
Δ
a
c
，根据平方的非负性作答即可；
（3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到
2
4
0
b
ac
，进而根据“和谐方程”的定义得到
2
4
0
a
c
ac
，
根据完全平方公式得到
2
0
a
c
，即可得到a，c 的数量关系．
【详解】（1）解：①4
3 1
，是“和谐方程”；
②2
1 1
，不是“和谐方程”；
③2
2
0
，是“和谐方程”；
∴属于“和谐方程”的是①③；
（2）证明：∵该方程为和谐方程，
∴b
a
c
，
∴
2
Δ
4
a
c
ac
2
2
2
4
a
ac
c
ac
2
2
2
a
ac
c
2
a
c
，
∵
2
0
a
c
，
∴
0
，
∴和谐方程总有实数根；
（3）解：∵该方程有两个相等的实数根
∴
0
，
即
2
4
0
b
ac
．
∵方程为和谐方程，
∴b
a
c
，
∴
2
4
0
a
c
ac
，
∴
2
2
2
0
a
c
ac
∴
2
0
a
c
∴a
c
，
∴a，c 的数量关系为a
c
．
