文档文本内容
第05 讲一元二次方程的根与系数的关系
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 利用一元二次方程根与系数的关系求值
题型2 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
题型3 利用一元二次方程根与系数的关系求参数
题型4 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假
题型5 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
韦达定理、两根之和、
两根之积、对称式、判
别式前提。
1. 理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能叙述两根之和、两根
之积与系数的关系。
2. 能利用求根公式推导韦达定理，体会从特殊到一般的数学思想。
3. 能运用根与系数的关系求关于两根的对称式的值（如x12 + x22、
1
�1+
1
�2 等）。
4. 能根据已知一根和系数关系，求另一根及字母系数的值。
学习重点：根与系数的关系：x1 + x2 = -
�
�，x1 x2 =
�
�（a ≠0，∆≥0）。
学习难点：运用韦达定理解决含参数的方程问题，以及构造一元二次方程；注意使用前提（判别式非
负）。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
的两个实数根是
2
1
x
x ，
，那么
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
.
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程
的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【易错提醒】
前提是方程有实数根（Δ≥0）且a≠0。
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
，注意分母a 与符号。
即时即练1．方程
2
3
0
x
mx
m
的两个根为
1
x ，
2x ，若
1
2
1
x
x
，则
1
2
x x
．
2．一元二次方程
2
5
3
0
x
x
的两个根分别为
1
x 、
2x ，则
1
2
1
2
x x
x
x
．
知识点02
一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变
形；如：①
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x
；②
1
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
；③
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
x x
x x
x x
x
x
；
④
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x x
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x x
x x
；⑤
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x x
；
⑥
1
2
(
)(
)
x
k
x
k
2
1
2
1
2
(
)
x x
k x
x
k
；⑦
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x x
；
⑧
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
1
1
(
)
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x
；⑨
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x x
；
⑩
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
|
|
(|
|
|
|)
+2 |
|
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
2 |
|
x
x
x x
x
x
．
(4) 已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数
为根的一元二次方程是
.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程
2
0(
0)
ax
bx
c
a
的两根为
1x 、
2x ，则
①当△≥0 且
1
2
0
x x
时，两根同号．
当△≥0 且
1
2
0
x x
，
1
2
0
x
x
时，两根同为正数；
当△≥0 且
1
2
0
x x
，
1
2
0
x
x
时，两根同为负数．
②当△＞0 且
1
2
0
x x
时，两根异号．
当△＞0 且
1
2
0
x x
，
1
2
0
x
x
时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0 且
1
2
0
x x
，
1
2
0
x
x
时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用
这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根a
b
，则必有一根a
b
（a ，b 为有理数）．
【易错提醒】
先验∆≥0。求x12+x22 用(x1+x2)2-2x1x2；求|x1-x2| 用
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
4
x
x
x
x
x
x
x x
。勿混
淆公式符号。
即时即练1．已知关于x 的方程
2
2
4
4
0
x
x
m
（m 为常数）．
(1)求证：不论m 取何值时，该方程总有实数根；
(2)若该方程的两个实数根
1
x 、
2x 满足
1
2
6
x x
，求m 的值．
2．已知：平行四边形ABCD 的两边AB 、BC 的长是关于x 的方程
2
1
0
2
4
m
x
mx
的两个实数根，
(1)试说明：无论m 取何值方程总有两个实数根．
(2)若AB 的长为2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？
题型1 利用一元二次方程根与系数的关系求值
【例1】已知
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
0
x
x
的两根，且
1
2
x x
．
【例2】若一元二次方程
2
5
6
0
x
x
的两根分别是
1
2
x
x
，
，则
1
2
1
2
x
x
x x
的值为
；
【技巧归纳】
1. 列韦达定理：
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
。
2. 变形目标式：如
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x
x x
，
1
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
。
3. 整体代入：代入已知值求解，注意检验判别式。
【变式1-1】若
,
m n 是方程
2
x
4x
2
的两个根，则m
n
mn
．
【变式3】若关于x 的方程
2
4
2
0
x
x
的两根分别是
1
x ，
2x ，则
1
2
1
2
x
x
x x
的值为
．
题型2 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
【例3】设m 、n 是方程
2
2025
0
x
x
的两个实数根，则
2
2
m
m
n
．
【例4】已知m ，n 是关于x 的一元二次方程
2
2025
1
0
x
x
的两个根，则
1
1
m
n
．
【技巧归纳】
1. 非对称式对称化：将x12+2x2 用韦达定理转化，如利用x12 = -bx1-c 降次，再整体代入。
2. 构造对称式：通过加减乘除凑出x1+x2 和x1x2，整体代入求值。
【变式1-1】若,a b 是关于x 的方程
2
3
0
x
x
的两实数根，则b
a
a
b
的值为
．
【变式3】已知一元二次方程
2
5
3
0
x
x
的两个根为
1
2
x
x
、
，则
2
2
1
2
x
x
的值为
．
题型3 利用一元二次方程根与系数的关系求参数
【例5】设
1
x 、
2x 是方程
2
4
0
x
mx
的两个根，且
1
2
1
2
2
x
x
x x
，则m
．
【例6】已知
1
2
,
x x 是关于x 的一元二次方程
2
3
1
0
x
x
m
的两个实数根．若
1
2
1
2
2
10
0
x
x
x x
，则m
的值为
．
【技巧归纳】
1. 列韦达定理：
a
b
x
x
2
1
，
a
c
x
x
2
1
，代入已知条件（如x1=2x2）。
2. 联立解方程：用参数表示和与积，解方程组求参数。
3. 验判别式：确保Δ≥0，排除增根。
【变式1-1】已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
x
k
有实数根．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为
1
2
,
x x ，若
1
2
1
1
1
x
x
，求k 的值．
【变式3】已知关于x 的一元二次方程
2
4
0
x
x
m
有实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若两实数根分别为
1
x 和
2x ，且
2
2
1
2
1
2
6
x
x
x x
，求m 的值．
题型4 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假
【例7】对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
（
）下列说法：
①若方程的两个根是
1
1
x 和
2
2
x
，则2
0
a
c
；
②若x
c
是方程的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
③若
0
a
b
c
，则它有一个根是
1
x ；
④若方程有一个根是
0
x
m m
（
），则方程
2
0
cx
bx
a
一定有一个实数根
1
x
m
．
其中正确的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【例8】对于两个代数式，记
3
M
x
，
1
N ，以下说法正确的个数是（
）
①若
2
2
11
M
N
MN
，则
1
x ；
②若关于x 的方程
2
1
2
9 M
N
x
m
没有实数根，则
13
4
m
；
③代数式
2
2
M
M
N
有最小值2
；
④若关于x 的方程
2
0
x
M
N
的解为p 和q，则
2
2
p
q
pq
的值为3 5
1
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【技巧归纳】
1. 转化条件：将命题条件（如两根异号）转化为x1x2<0，再代入韦达定理。
2. 列不等式组：结合∆>0 及韦达定理符号要求（如和为正、积为负）。
3. 验证反例：特殊值法快速判断假命题。
【变式1-1】对于一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
，有下列说法：①若
0
a
b
c
，则方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
必有一个根为1；②若方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，则方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
必有两个不相等的实根；③若c 是方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；④若
0x 是一元二次方程
2
0(a
0)
ax
bx
c
的根，则
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
．其中正确的
是（
）
A．只有②
B．只有②④
C．只有②③
D．只有②③④
【变式3】在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
来计算结构的受力
情况．对于这个方程，有下列说法：
①若
0
p
q
r
，则
2
4
0
q
pr
；
②若方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
的两根之积为4 ，则
4
r
p
；
③若方程
2
0
px
r
有两个不相等的实根，则方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
必有两个不相等的实根；
④若r 是方程
2
0(
0)
px
qx
r
p
的一个根，则一定有
1
0
pr
q
成立．
这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
题型5 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题
【例9】已知：关于x 的方程
2
2
5
6
0
x
x
p
．
(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；
(2)若
1
2
x
x
，
是该方程的根，且
2
1
1
2
4
3
x
x
x
，求p 的值．
【例10】已知关于x 的一元二次方程
2
(
3)(
2)
0
x
x
m
．
(1)求证：无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根
，
满足
2
2
17
，求m 的值．
【技巧归纳】
1. 设而不求：用韦达定理表示x1+x2、x1x2。
2. 变形目标：将求证式转化为含和与积的形式。
3. 代入消元：用参数表示后化简，推导出定值或恒等式，注意∆≥0。
【变式1-1】已知关于x 的一元二次方程为
2
1
2
0
4
x
mx
m
．
(1)求证：无论m 为何值，此方程一定有实数根；
(2)若
1
x ，
2x 是该方程的两个不同的根，且满足
2
2
2
1
2
1
2
x
x
m
，求m 的值．
【变式3】已知关于x 的一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
m
m
（m 为常数）．
(1)当
1
m 时，该方程根的判别式Δ _____；
(2)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(3)若该方程有两个实数根
1
2
,
x x ，且
1
2
1
1
5
x
x
，求m 的值．
一、单选题
1．一元二次方程
2
2
3
0
x
x
的两个实数根为
1
x ，
2x ，则下列结论正确的是（
）
A．
1
2
3
x
x
B．
1
2
3
x
x
C．
1
2
2
x
x
D．
1
2
2
x
x
2．已知
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
5
3
0
x
x
的两个实数根，则代数式
2
2
1
2
1
2
x
x
x x
的值为（
）
A．8
B．16
C．24
D．28
3．关于x 的方程
2
2
3
3
0
x
x
m
的两个根
1
2
,
x x 满足
1
2
3
1
x
x
，则m 的值为（
）
A．5
B．
5
C．
5
D．1
4．已知实数m 、n 分别满足
2
2
1
0
m
m
，
2
2
1
0
n
n
，则n
m
m
n
的值为（
）
A．6
B．2
C．6
或2
D．6 或2
5．关于x 的一元二次方程
2
0
mx
nx
p
（m ，n ，p 为常数，且
0
m
，
0
p
），下列说法：
①若方程
2
0
mx
nx
p
有两个不相等的实数根，则方程
2
0
px
nx
m
也有两个不相等的实数根；
②若方程
2
0
mx
nx
p
的一个根为
(
)
0
x
k k
=
¹
，则
1
x
k
必为方程
2
0
px
nx
m
的一个根；
③若方程
2
0
mx
nx
p
的两根之积为1，则m
p
．其中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
6．一元二次方程
2
3
2
0
x
x
的两根为
1
x ，
2x ，则
1
2
1
2
x
x
x x
______．
7．已知菱形ABCD的两条对角线的长分别是方程
2
4
2
0
x
x
的两个根，则该菱形的面积为_____．
8．已知
,
是方程
2
2025
1
0
x
x
的两个实数根，则
2
2
2026
2
2026
2
的值为__________．
9．已知a，b 是方程
2
5
3
0
x
x
的两个根，则
b
a
b
a
a
b
的值________
10．定义：我们把关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
与
2
0
0,
cx
bx
a
ac
a
c
称作一对“友好方
程”．如
2
2
7
3
0
x
x
的“友好方程”是
2
3
7
2
0
x
x
．那么一元二次方程
2
10
3
1
0
x
x
的“友好方程”
的两根之和为__________．
三、解答题
11．已知
1
x ，
2x 是关于x 的方程
2
2
3
1
0
x
x
的两个根，求下列各式的值．
(1)
1
2
1
1
x
x
；
(2)
2
2
1
2
x
x
．
12．若
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
的两个根，求下列代数式的值．
(1)
2
1
2
x
x
；
(2)
1
2
2
1
1
1
x
x
x
x
．
13．已知关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
k
有两个不相等的实根
1x 和
2x ．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)当
1x 和
2x 是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为5 ，求k 的值．
14．已知关于x 的方程
2
3
2
2
0
x
k
x
k
．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为
1
x ，
2x ，求代数式
1
2
2
2
x
x
的值．
15．已知关于x 的一元二次方程
2
4
2
5
0
x
x
m
有两个实数根．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若
1
x ，
2x 是该方程的两个根，且满足
2
1
2
1
2
6
x x
x
x
m
，求m 的值．
16．定义：若关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
0
a
的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对
于“快乐方程”，定义其“快乐数”为
2
4
, ,
4
ac
b
F a b c
a
．
现探究以下问题：
(1)“快乐方程”
2
2
3
0
x
x
的“快乐数”为______；
(2)若关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
2
3
0
x
m
x
m
m
（m 为整数，且1
6
m
）是“快乐方程”，求m 的值，
并求该方程的“快乐数”．
(3)对于“快乐方程”
2
0
x
bx
c
（b、c 为整数），若其“快乐数”
1, ,
F
b c
n
（n 为正整数），且方程的
两根
1
x ，
2x 满足
1
2
4
x
x
，求该方程的“快乐数”所有可能的值．
