第2讲一元二次方程_《初中数学•秋季三阶学生讲义分节》789年级(北师)_《初中数学•秋季三阶讲义》9年级(北师)_《初中数学•秋季三阶学生讲义解析》9年级(北师)基础班

第 2 讲 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的概念及解法
一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式
方程叫做一元二次方程.
一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为
一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为
二次项系数、一次项系数
一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
x2  a(a  0) (xb)2  a(a  0)
1. 形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平
方的方法
ax2 bxc  o  a  0 
2. 用配方法解一元二次方程 的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确
判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论
（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
ax2 bxc0(a 0)
（2）一元二次方程 的求根公式是移项得：
二次项系数化为1，得：
：
即
当 时，
即
∴
4. 因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是
原一元二次方程的解
【典例】一元二次方程定义及一般形式
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
1
x2  0
x2 ax2 bxc0
A. B.
(x1)(x2)1 3x2 2xy5y2 0
C. D.
【答案】C.
【解析】解：A：不是整式方程，故本选项错误；
B：当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；
故本选项错误；
C：由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；
D：方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
2.把一元二次方程 化成一般形 其中 、 、 分别
为（ ）
A. 、 、 B. 、 、C. 、 、 D. 、 、
【答案】B.
【解析】原方程可整理为： ， ， ， ．
【方法总结】
（1）一元二次方程必须满足的条件：
①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程
（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方
程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
（3）项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；
3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
【典例2】直接开平方法
a (x 17)2 100 b (y4)2 17 a b
1.若 为方程式 的一根， 为方程式 的一根，且 、 都是
ab
正数，则 之值为何?( )
83 10 17
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】B.
(x 17)2 100 x 17 10 x  1710 x  1710
【解析】由 得 ，∴ 1 ， 2 ，
a a
又 是正数且 是此方程的根，
a  1710 b4 17
∴ ．同理 ，
ab( 17 10)(4 17)6
∴ ．
(x2)2 9
2.解方程 .
x23 x 5 x 1
【解析】根据平方根的定义，得 ，即 1 ， 2 ．
【方法总结】
x2  a(a  0) (xb)2  a(a  0)
形如 或 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如
果a＜0，则方程无解【典例3】配方法
1.已知方程 可以配方成 的形式，那么 可以
配方成下列的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，据题意得p=3，9﹣q=7，
∴p=3，q=2，
∴ 是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
x2 4x20
2.用配方法解方程：
x2 4x2
【解析】
x2 4x424
(x2)2 2
x2 2
x 22
x  22，x  22
1 2
【方法总结】ax2 bxc  o  a  0 
用配方法解一元二次方程 的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(xm)2 n
④化原方程为 的形式；
n0
⑤如果是非负数，即 ，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解
【典例4】公式法
1.一元二次方程4x2﹣2x+ =0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】B.
【解析】解：在方程4x2﹣2x+ =0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（ ）=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+ =0有两个相等的实数根．
故选B
2x2 8x30
2.用公式法解方程： .
a  2,b  8,c 3
【解析】
 b2 4ac 82 423 40
b b2 4ac 8 40
x  
2a 22
4 10 4 10
x  ,x 
1 2 2 2
【方法总结】
解题技巧：（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立ax2 bxc0(a 0)
（2）一元二次方程 的求根公式是
b b2 4ac
x  (b2 4ac0)
1,2 2a
【典例5】因式分解法
1.解方程（x-1）（x+2）=2（x+2）
【解析】原方程可以整理为
∴ 或
∴
2.解方程： .
【解析】
解得 ．
【方法总结】
因式分解法的解题技巧是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是
原一元二次方程的解
【随堂练习】
1．（龙口市期末）按要求解下列方程：
（1） （因式分解法）；
（2） （用配方法）．
【解答】解：（1） ，
或 ，
所以 ， ；（2） ，
，
，
，
所以 ， ．
2．（新泰市期末）解方程：
（1）
（2）
【解答】解：（1） ，
，
，
；
（2） ，
，
或 ；
3．（高新区期末）已知：关于 的方程
（1）不解方程，判断方程的根的情况；
（2）若 为等腰三角形，腰 ，另外两条边是方程 的两个
根，求此三角形的周长．
【解答】解：（1）由题意可知：△ ，
该方程有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两根分别是 与 ，由题意可知： ，
由根与系数的关系可知： ， ，
， ，
解得： 或 ，
当 时，
，
，
该三角形的周长为： ，
当 时，
，
，
该三角形的周长为 ．
4．（海淀区期末）方程 有实数根
（1）求 的取值范围；
（2）若 是该方程的一个根，求 的值．
【解答】解：（1）△ ，
解得 ；
（2）把 代入方程得 ，即 ，
所以 ．
5．（海淀区校级月考）关于 的一元二次方程 ，求证：
（1）方程总有两个实数根；
（2）如果方程的两根相等，求此时方程的根．
【解答】解：（1） △
，
方程总有两个实数根；
（2）如果方程的两根相等，则△ ，
解得 ，
此时方程为 ，
即 ，
解得 ．
6．（新泰市期中）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取满足条件的最小整数值时，求方程的解．
【解答】解：（1）根据题意得△ ，
解得 ；
（2） 的最小整数值为0，
此时方程变形为 ，
，
或 ，
所以 ， ．
7．（鼓楼区期末）已知关于 的方程 为常数）
（1）求证：不论 为何值，该方程总有实数根；
（2）若该方程有一个根是 ，求 的值．
【解答】（1）证明：当 时，方程为 ，解得 ，方程有实数根；
当 时，△ ，方程有两个实数根．
综上所述，不论 为何值，方程总有实数根；
（2）解：将 代入原方程，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解．
所以 ．8．（张店区二模）关于 的一元二次方程 有两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为最大负整数，求此时方程的根．
【解答】解：（1）根据题意得 且△ ，
解得 且 ；
（2） 的最大负整数为 ，
此时方程变形为 ，
△ ，
，
所以 ， ．
知识点2：根与系数的关系
根与系数关系又称为韦达定理：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x，x，那么x＋x＝－，x·x＝
1 2 1 2 1 2
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x，x，那么x＋x＝-p，x·x=q
1 2 1 2 1 2
【典例】
1.已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；
若不存在，说明理由.
【解析】解：(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，
解得k>- ，且k≠0 .即k的取值范围是k>- ，且k≠0 .
(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x , x 的倒数和为0.
1 2
2(k1)
k
0
1 1 k1 k1
 0 0
则x ，x 不为0，且 x 1 x 2 ，即 k ，且 k ，解得k=-1 .
1 2而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>- ，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 .
【方法总结】
解题技巧：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x，x，那么x＋x＝－，x·x＝
1 2 1 2 1 2
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x，x，那么x＋x＝-p，x·x=q
1 2 1 2 1 2
(3)当方程的两个根分别为x、x 满足条件的方程为（x-x）（x-x）=0
1 2， 1 2
(4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题
【随堂练习】
1．（蜀山区期末）若关于 的方程 的一根是 ，则另一根是
A． B． C． D．
【解答】解：把 代入方程 得： ，
解得： ，
即方程为 ，
解得： 或3，
即方程的另一个根是 ，
故选： ．
2．（九龙坡区校级期末）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，
，则代数式 的值为
A．10 B．2 C． D．
【解答】解：由根与系数的关系可知： ， ，
， ，
， ，
原式 ，
故选： ．
3．（寿县期中）已知， ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为
A． B．10 C． D．【解答】解： 是一元二次方程 的实数根，
，
，
，
， 是一元二次方程 的两个实数根，
，
．
故选： ．
4．一元二次方程 的两个根为 ， ，则 的值是
A．10 B．9 C．8 D．7
【解答】解： 为一元二次方程 的根，
，
，
，
根据题意得 ， ，
．
故选： ．
5．（镇平县三模）一元二次方程 有一个根是 ，则 的值及方程的另一
个根是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 关于 的一元二次方程 有一个根是 ，
，解得 ；
设方程的另一个根为 ，
则 ，
解得： ．
故选： ．
6．（贵港）若 ， 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，
则 等于
A． B． C．2 D．3
【解答】解： ， 是关于 的一元二次方程 的两实根，
， ，
，
；
故选： ．
7．（广州）关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，若
，则 的值
A．0或2 B． 或2 C． D．2
【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根为 ， ，
， ．
，即 ，
，
解得： ．
关于 的一元二次方程 有实数根，△ ，
解得： 或 ，
．
故选： ．
二．解答题（共1小题）
8．（蚌埠期末）已知关于的一元二次方程：
（1）求证：无论 为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是2，求另一个根及 的值．
【解答】解：（1） △ ，
无论 取任何值，方程总有实数根．
（2） 是方程 的一个根，
，
解得： ，
设方程的另一个根为 ，则 ，
即 ，
，
则方程的另一个根为1．
知识点3：一元二次方程的应用
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以
及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的
量。
一件商品的利润=售价-进价。
总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。
【典例1】增长率或降低率
1.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．
年市政府共投资 亿元人民币建设了廉租房 万平方米，预计到 年底三年共累计投资 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到 年底共建设了多少万平方米廉租房．
【解析】（1）设每年市政府投资的增长率为 ．
根据题意，得： ，
整理，得： ，
解之，得： ，
∴ ， （舍去），
∴ ，
答：每年市政府投资的增长率为 ．
（2）设到 年底共建廉租房面积 ，
则可得： ，
∴ （万平方米）．
【方法总结】
解这类题的方法是：
(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长
次数，b为增长后的量)
(2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低
次数，b为降低后的量)。
【典例2】利润问题
1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出
180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多
少个？定价为多少元？
【解析】设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，
整理，得x2-110x+3000=0，
解得x=50，x=60．
1 2
当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；
当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．
答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．
【方法总结】
列一元二次方程解决销售利润方案问题时，要理清进价、原来的售价、上升价格或下调价
格，以及销售数量与售价之间满足的函数关系.如果列出的方程是一元二次方程，在解方程
时需要根据应用题的实际意义来决定方程根的取舍问题.
销售问题公式：
价格上升公式为 （原来的售价+上升的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
价格下调公式为 （原来的售价—下降的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
【典例3】面积问题
1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长 米，宽 米的矩形场地 上修建三
条同样宽的人行道，使其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草（如图所
示），若使每一块草坪的面积都为 平方米．求人行道的宽。
【解析】解：设人行道路的宽为 米，根据题意得：
；
解得： 或 （舍去）
答：人行道宽2米。2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园
（围墙 最长可利用 ），现在已备足可以砌 长的墙的材料，若设计一种砌
法，使矩形花园的面积为 ．则 长度为多少
【解析】解：设 m，则 m．
根据题意可得， ，
解得： ， ，
当 ， ，
故 （不合题意舍去），
答： 长度为15m。
【方法总结】
两种不同的算法求图形的面积：
① 利用特殊图形（三角形，长方形，正方形等）的面积公式求；
三角形面积=底乘以高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘以宽；
②利用面积的加减列式求解
不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
【典例4】动点问题
1.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB
边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7平方厘米？说明理由．【解析】解：设t秒后，则AP=t，BP=5-t； BQ=2t．
（1）因为S PBQ=BP×BQ÷2，
所以2t（5-t）=4×2
△
解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，
即25=（5-t）2+（2t）2，t=0（舍去）或t=2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）令S PQB=7，即：BP×BQ÷2=7,
（5-t）×2t=7×2
△
整理得：t2-5t+7=0．
由于b2-4ac=25-28=-3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．
2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D
出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB
以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到
点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；
②当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论）
【解析】解： ①作PM⊥BC，垂足为M．
则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12
∵QB=16﹣t，
∴S= ．
②可知CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：第一种：PQ=BQ，在Rt PMQ中，PQ2=PM2+QM2=122+t2，解t= ．
第二种：BP=BQ，在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122，3t2﹣32t+144=0无实根，
∴PB≠BQ． △
第三种：若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122，解得t= ，t=16（舍去）
1 2
综上可知：t= 或t= ，B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形．
【方法总结】
解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。
首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索
运动中“动”的一般规律。
其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动中是否保留或具有某种性质，要用运动的
眼光观察各种可能的情况进行分类讨论，较为精确的把每种情况一一呈现出来。要学会运
动问题静态化，在整个过程中要深刻理解分类讨论、数学结合等数学思想。
【随堂练习】
1．（历下区期末）如图是一张长 、宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边
长为 的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．
（1）这个无盖纸盒的长为 ，宽为 ；（用含 的式子表示）
（2）若要制成一个底面积是 的无盖长方体纸盒，求 的值．
【解答】解：（1） 纸板是长为 ，宽为 的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长
为 的正方形，
无盖纸盒的长为 ，宽为 ．
故答案为： ； ．（2）依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答： 的值为1．
2．（富阳区期末）把一个足球垂直地面向上踢， （秒 后该足球的高度 （米 适用公式
．
（1）经多少秒时足球的高度为20米？
（2）小明同学说：“足球高度不可能达到21米！”你认为他说得对吗？请说明理由．
【解答】解：（1）足球高度为20米，即 ，
将 代入公式得： ，
解得：
；
（2）小明说得对，理由如下：
假设足球高度能够达到21米，即 ，
将 代入公式得：
由判别式计算可知：△ ，
方程无解，假设不成立，
所以足球确实无法到达21米的高度．
3．（房山区期末）十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中
一个问题为：“一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问长边多长？”．请你用学过
的一元二次方程知识解决这个问题．
【解答】解：设矩的长为 ，则宽为 ，
根据题意得： ，
解得： 或 （舍去）
答：长为11．
4．（阜阳期中）今年春季某地区流感爆发，开始时有 4人患了流感，经过两轮传染后，共
有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．
【解答】解：设每轮传染的人数是 人，根据题意得：，
解得： 或 （不合题意，舍去）．
答：每轮传染的人数是6个人．
5．（邵阳）年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指
出：在年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为 30万亿元人民币．有望继
续保持全球货物贸易第一大国地位．预计我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求
这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
【解答】解：设平均增长率为 ，根据题意列方程得
解得 ， （舍
答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为 ．
6．（双柏县一模）我县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关
房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过
两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以
供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米50元，试问哪种方案更优
惠？
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为 ，
则 ，即：
解得 ， （舍去），
故平均每次下调的百分率为 ；
（2）方案①购房优惠： （元 ，
方案②购房优惠： （元 ，
故选择方案①更优惠．
7．（老河口市模拟）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的
产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品
每件利润增加2元
（1）若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4件．若生产的某档
次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【解答】解：（1） （元 ．
答：该档次蛋糕每件利润为 18 元；
（2）设烘焙店生产的是第 档次的产品，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是四档次的产品．
8．（崇川区校级期末）年，市区某楼盘以每平方米6000元的均价对外销售．因为楼盘滞
销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，年的均
价为每平方米4860元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套 100平方米的住房，他持有
现金15万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？请说明理由．（房价每平
方米按照均价计算）
【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，应舍去）．
答：平均每年下调的百分率为 ．
（2）张强的愿望能够实现．理由如下：
购买的住房费用： （元
现金及贷款为： （万元）．
万元 元，
张强的愿望能够实现．
9．（南关区校级一模）在国家“一带一路”发展战略等多种因素影响下，某企业的利润逐
年提高，据统计，该企业年利润为3亿元，年利润为4.32亿元，若年保持前两年的年平均
增长率不变，该企业年利润能否超过5亿元？
【解答】解：设该企业、年的年平均增长率为 ，依题意，得： ，
解得： ， （舍去），
（亿元）．
答：该企业年利润能超过5亿元．
综合运用：一元二次方程
1.解一元二次方程
【解析】 ，
，
． .
2.用配方法解方程： .
【解析】
, ．
3.用公式法解方程 .
【解析】 .,
此方程无实数根．
4.解方程 （因式分解法）
【解析】
即
解得：
5.果农李明种植的草莓计划以每千克 元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种
植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克
元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买 吨草莓，因为数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其
选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金 元．
试问小刘选择哪种方案更优惠，优惠了多少？请说明理由．
【解析】（1）设平均每次下调的百分率为 ．
由题意，得 ．
解这个方程，得 ， ．
因为降价的百分率不可能大于 ，所以 不符合题意，
符合题目要求的是 ．
答：平均每次下调的百分率是 ．
（2）小刘选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为： （元），
方案二所需费用为： （元），
∵ ， 元，
∴小刘选择方案一购买更优惠，优惠了 元．
6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 台电脑被感
染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
【解析】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑，
∵经过两轮感染后就会有 台电脑被感染，
∴可得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ．
7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 元，按每千克 元出售，平均每天可售
出 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 元，则平均每天的销售可增加 千
克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 元，请回答：
（1）为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的
几折出售？
【解析】（1）解：设每千克核桃应降价 元．
根据题意，得 ．
化简，得
解得 ， ．
答：为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价 元．（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 元或 元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 元．
此时，售价为： （元）， ．
答：该店应按原售价的九折出售．
8.如图，在宽为 ，长为 矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余
下的种植草坪，要使其草坪面积为 ，则宽为多少
【解析】解：设道路得宽为x m，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
道路的宽为 ．
9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向
点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如
果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过
程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运
动的时间；若不存在，说明理由.【解析】解：因为∠C＝90°，所以AB＝ ＝ ＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得 ·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x＝2，x＝4.
1 2
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得 (6－x)·2x＝ × ×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.